动态规划矩阵连乘算法
动态规划-(矩阵连乘)
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4、构造最优解
void MatrixChain::Traceback(int i, int j) {
if(i==j) { cout<<'A'<<i; return;} if (i<s[i][j]) cout<<'('; Traceback(i, s[i][j]); if (i<s[i][j])cout<<')'; if(s[i][j]+1<j)cout<<'('; Traceback(s[i][j]+1, j); if(s[i][j]+1<j) cout<<')'; } void MatrixChain::Traceback() { cout<<'('; Traceback(0, n-1); cout<<')'; cout<<endl; }
②当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n ③当i<j时，m [ i ] j ] [ m [ i ] k ] [ m [ k 1 ] j ] [ p i 1 p k p j
这里 A i 的维数为 pi1pi
∴可以递归地定义m[i][j]为：
m [i]j] [ m i k j{ m [i]n k [ ] m [k 0 1 ]j] [ p i 1 p kp j}i i j j
根据MatrixChain动态规划算法： ②计算m[i][j]数乘次数
m[2][5]=min m[2][2]+m[3][5]+p1p2p5=13000
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法
一、矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指在矩阵计算中，给定n个矩阵，求这n个矩阵的连乘积的最优解问题。
矩阵连乘问题既可以用于组合优化，也可以用于信息处理系统中查找最优路径的搜索算法。
它是最基本的组合优化问题。
二、矩阵连乘问题的算法
1. 动态规划法：动态规划法是求解矩阵连乘问题的常用算法。
它采用递归方法，将原问题分解为若干个子问题，然后求出各子问题的最优解，最后组合出原问题的最优解。
2. 贪心算法：贪心算法是一种经典的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题，即通过某种启发式规则，在每一步中都使最优决策，最终得到最优解。
3. 分支定界法：分支定界法是一种由搜索算法和界定法相结合而成的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题。
该算法按照树状的层次结构，向下搜索一个在每一步骤都使得当前最优的路径，然后上溯形成最优解。
4. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种搜索算法，它可以用于求解矩阵连乘问题。
它采用一种模拟物理过程的原理，通过不断地改变解的状态，以求出相对最优解。
- 1 -。
矩阵连乘问题（动态规划算法）
矩阵连乘问题（动态规划算法）动态规划算法思想简介：将⼀个问题分解为多个⼦问题，这点和分治法类似，但是每个⼦问题不是独⽴的⽽是相互联系的，所以我们在求解每个⼦问题的时候可能需要重复计算到其他的⼦问题，所以我们将计算过的⼦问题的解放进⼀个表中，这样就能避免了重复计算带来的耗费，这就是动态规划的基本思想；⼀般地，动态规划思想⼀般⽤来解最优化问题，主要分为以下四个步骤：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；（2）递归地定义最优值；（3）以⾃底向上的⽅式计算出最优值；（4）根据计算得到的最优值时得到的信息，构造最优解；同时，问题的最优⼦结构性质也是该问题可⽤动态规划算法求解的显著特征，这⾥的最优⼦结构性质即指：问题的最优解也即代表着它的⼦问题有了最优解；问题描述：分析过程如下：（1）分析最优⼦结构的性质：（2）分析递归关系，以及利⽤⾃底向上的⽅式进⾏计算：（3）获取最优值和最优解：代码如下：#ifndef MATRIX_CHAIN_H#define MATRIX_CHAIN_Hvoid matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s);void traceback(int i, int j, int **s);#endif#include <iostream>#include "matrix_chain.h"using namespace std;//利⽤动态规划算法获取最优值void matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s) //p:各个矩阵的列数，n：矩阵个数，m：m[i:j]矩阵i到j的相乘次数，s:对应的分开位置{for (int i = 0; i < n; i++){m[i][i] = 0;}for (int r = 2; r <= n; r++){for (int i = 0; i < n - r + 1; i++){int j = i + r - 1;m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];s[i][j] = i;for (int k = i + 1; k < j; k++){int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];if (t < m[i][j]){m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}}}}//利⽤s[i][j]获取最优解void traceback(int i, int j, int **s){if (i == j)return;traceback(i, s[i][j], s);traceback(s[i][j] + 1, j, s);cout << "Multiply A" << i << " , " << s[i][j];cout << "and A" << (s[i][j] + 1) << " , " << j << endl;}#include <iostream>#include "matrix_chain.h"using namespace std;int main(void){int matrix_num = 0; //矩阵个数cout << "请输⼊矩阵个数：" << endl;cin >> matrix_num;int **m = new int *[matrix_num];for (int i = 0; i < matrix_num; i++)m[i] = new int[matrix_num];int **s = new int *[matrix_num];for (int i = 0; i < matrix_num; i++)s[i] = new int[matrix_num];int *p = new int[matrix_num];cout << "请输⼊各矩阵的列数：" << endl;for (int i = 0; i < matrix_num; i++){cin >> p[i];}matrix_chain(p, matrix_num, m, s);traceback(0, matrix_num - 1, s);system("pause");return1;}可结合我的另⼀篇关于贪⼼算法的博客进⾏⽐较，了解这两者的区别；。
动态规划算法-装配线调度和矩阵链乘法
动态规划算法-装配线调度和矩阵链乘法⼀、动态规划之我见动态规划是算法中很常见的⼀种，这两天系统的⼜把其细看了下，有点⼼得，写下来做个备忘。
动态规划主要有⼏种类型：装配线调度（单次并⾏正向规划—⼀维，反向输出）矩阵链乘法（多次正向规划--⼀维，不同步长，正向输出）最长公共⼦序列（多次串⾏正向规划-⼆维，反向输出）最优⼆叉查找树（多次正向规划-⼀维，不同步长，正向输出）⼆、装配线调度简单的说，装配线调度是指在多条并⾏的流⽔线上（每个流⽔线能够进⾏转换）找到最快的输出结果的路径，是⼀个顺序的过程，所以只需要⼀次规划（循环）就能达到。
1.问题：⼀个车间，有N条流⽔线，每条流⽔线都有M个节点，每条流⽔线上的对应第m个节点的功能是相同的，且需要消耗不同的时间完成同⼀个功能，每个节点都能通过消耗⼀定的时间跳到另⼀条流⽔线的对应的下⼀个节点上，求在这N条流⽔线上，从第1个节点到第M个节点所需要的最短时间2.⼦问题拆分：既然求第1个节点到第M个节点所需要的最短时间，就需要每条流⽔线从第1个节点到第M个节点所需要的最短时间，进⼀步可以划分每条流⽔线上第1个节点到第M-1个节点所需要的最短时间，再加上该流⽔线上第M个节点所消耗的时间，就是该流⽔线上的第1个节点到第M个节点所需要的最短时间。
公式表达（以两条流⽔线为例）：注：e1和e2表⽰进⼊1和2流⽔线的消耗， t2,j-1表⽰第2条流⽔线的第j-1个节点到第1条流⽔线的第j个节点的消耗。
f1[j-1]表⽰第1条流⽔线上第1个到第j-1个节点的最短时间。
3.伪代码FASTEST-WAY(a, t, e, x, n)f1[1] <- e1 + a[1, 1]f2[1] <- e2 + a[2, 1]for j <- 2 to nif f1[j - 1] + a[1, j] < f2[j - 1] + t[2, j - 1] + a[1, j]f1[j] = f1[j - 1] + a[1, j]l1[j] = 1elsef1[j] = f2[j - 1] + t[2, j - 1] + a[1, j]l1[j] = 2if f2[j - 1] + a[2, j] < f1[j - 1] + t[1, j - 1] + a[2, j]f2[j] = f2[j - 1] + a[2, j]l2[j] = 2elsef2[j] = f1[j - 1] + t[1, j - 1] + a[2, j]l2[j] = 1if f1[n] + x1 <= f2[n] + x2f* <- f1[n] + x1l* <- 1elsef* <- f2[n] + x2l* <- 24.代码#include <iostream.h>using namespace std;int Fastest_way(int *a, int *t, int *e, int *x, int n, int *l, int *f){int f1[n], f2[n];int ret = 0;f1[0] = e[0] + a[0 * n + 0];f2[0] = e[1] + a[1 * n + 0];for(int j = 1; j < n; j++){if(f1[j - 1] + a[0 * n + j] <= f2[j - 1] + t[1 * (n - 1) + j - 1] + a[0 * n + j]){f1[j] = f1[j - 1] + a[0 * n + j];l[0 * (n - 1) + j - 1] = 0;}else{f1[j] = f2[j - 1] + t[1 * (n - 1) + j - 1] + a[0 * n + j];l[0 * (n - 1) + j - 1] = 1;}if(f2[j - 1] + a[1 * n + j] <= f1[j - 1] + t[0 * (n - 1) + j - 1] + a[1 * n + j]){f2[j] = f2[j - 1] + a[1 * n + j];l[1 * (n -1) + j - 1] = 1;}else{f2[j] = f1[j - 1] + t[0 * (n - 1) + j - 1] + a[1 * n + j];l[1 * (n - 1) + j - 1] = 0;}}if(f1[n] + x[0] <= f2[n] + x[1]){*f = f1[n] + x[0];ret = 0;}else{*f = f2[n] + x[1];ret = 1;}return ret;}void Print_Stations(int *l, int num, int n){int i = num;cout<<"line "<<i + 1<<", station "<<n<<endl;for(int j = n - 2; j >= 0; j--){i = l[i * (n - 1) + j];cout<<"line "<<i + 1<<", station "<<(j - 1) % (n - 1) + 2<<endl;}}int main(int argc, char *argv[]){int a[2 * 6] = {7, 9, 3, 4, 8, 4, 8, 5, 6, 4, 5, 7};int t[2 * 5] = {2, 3, 1, 3, 4, 2, 1, 2, 2, 1};int l[2 * 5];int e[2] = {2, 4};int x[2] = {3, 2};int f = 0;int n = 6;int ret = Fastest_way(a, t, e, x, n, l, &f);Print_Stations(l, ret, n);return0;}三、矩阵链乘法矩阵链乘法是解决矩阵相乘问题的⼀个算法，⼤家都知道矩阵A(r*p)与B(p*q)相乘得到的矩阵C的维数将是r*q，乘法次数为r*p*q，如果多个矩阵相乘，其中相乘的顺序可以导致最终的相乘次数，相乘次数越少效率也就越⾼。
动态规划法解矩阵连乘问题
动态规划法解矩阵连乘问题实验内容给定n个矩阵｛A1,A2,….An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,3。
，n-1。
我们要计算这n个矩阵的连乘积。
由于矩阵乘法满足结合性，故计算矩阵连乘积可以有许多不同的计算次序。
这种计算次序可以用加括号的方式确定。
若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则我们可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
解题思路将矩阵连乘积A(i)A(i+1)…A(j)简记为A[i:j]，这里i <= j 。
考察计算A[i:j]的最优计算次序。
设这个计算次序在矩阵A(k)和A(k+1)之间将矩阵链断开，i <= k < j, 则其相应完全加括号方式为(A(i)A(i+1) …A(k)) * (A(k+1)A(k+2) …A(j))。
特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。
矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。
设计算A[i:j] , 1 <= i <= j <= n ，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1, n]当i = j 时，A[i:j]=Ai ，因此，m[i,i] = 0 , i = 1,2, …,n当i < j 时，m[i,j] = m[i,k] + m[k+1,j] + p(i-1)p(k)p(j) 这里A(i)的维数为p(i-1)*(i)( 注：p(i-1)为矩阵A(i)的行数，p(i)为矩阵A[i]的列数)实验实验代码#in elude <iostream>#in elude <vector>using n amespaee std ;class matrix_cha in{public:matrix_eha in(const vector <int> & c){ cols = c ;count = cols.size (); mc.resize (co unt);s.resize (co unt);for (i nt i = 0; i < count; ++i) { mc[i].resize (co unt); s[i].resize (co unt);}for (i = 0; i < count; ++i) { for (int j = 0; j < count; ++j) { mc[i][j] = 0 ;s[i][j] = 0 ;//记录每次子问题的结果void lookup_cha in () {__lookup_cha in (1, count - 1);min_count = mc[1][co unt - 1];cout << "min _multi_co unt = "<< min_count << endl ;//输出最优计算次序__trackback (1, count - 1);}//使用普通方法进行计算void calculate () {int n = count - 1; //矩阵的个数// r表示每次宽度// i,j表示从从矩阵i到矩阵j// k表示切割位置for (i nt r = 2; r <= n; ++ r) {for (int i = 1; i <= n - r + 1; ++ i) {int j = i + r - 1 ;//从矩阵i到矩阵j连乘，从i的位置切割，前半部分为0mc[i][j] = mc[i+1][j] + cols[i-1] * cols[i] * cols[j];s[i][j] = i ;for (int k = i + 1; k < j; ++ k) {int temp = mc[i][k] + mc[k + 1][j] +cols[i-1] * cols[k] * cols[j];if (temp < mc[i][j]) {mc[i][j] = temp ;s[i][j] = k ;}} // for k} // for i} // for rmin_count = mc[1][ n];cout << "min _multi_co unt = "<< min_count << endl ;//输出最优计算次序__trackback (1, n);private:int __lookup_cha in (int i, i nt j) {//该最优解已求出，直接返回if (mc[i][j] > 0) {return mc[i][j];}if (i == j) {return 0 ; //不需要计算，直接返回}//下面两行计算从i到j按照顺序计算的情况int u = __lookup_cha in (i, i) + __lookup_cha in (i + 1, j)+ cols[i-1] * cols[i] * cols[j];s[i][j] = i ；for (int k = i + 1; k < j; ++ k) {int temp = __lookup_cha in (i, k) + __lookup_cha in(k + 1, j)+ cols[i - 1] * cols[k] * cols[j];if (temp < u) {u = temp ;s[i][j] = k ；}}mc[i][j] = u ;return u ;}void __trackback (int i, i nt j) {if (i == j) {return ;}__trackback (i, s[i][j]);__trackback (s[i][j] + 1, j);cout <<i << "," << s[i][j] << " " << s[i][j] + 1 << "," << j << endl;}private:vector<int> cols ; // 列数int count ; // 矩阵个数+ 1vector<vector<int> > mc; //从第i个矩阵乘到第j个矩阵最小数乘次数vector<vector<int> > s; //最小数乘的切分位置int min_count ; //最小数乘次数};int mai n(){//初始化con st i nt MATRIX_COUNT = 6 ;vectorvi nt> c(MA TRIX_COUNT + 1);c[0] = 30 ;c[1] = 35 ;c[2] = 15 ;c[3] = 5 ;c[4] = 10 ;c[5] = 20 ;c[6] = 25 ;matrix_cha in me (c); // mc.calculate (); mc」o okup_cha in (); return 0 ;}实验结果实验验证从s 可知计算顺序为((A1(A2A3))((A4A5))A6))实验总结在这次实验中懂得了动态规划法运用方法和解题思路的重要性，在这个程序中如何 建立动态规划的过程建立递归过程 保存已解决的子问题答案。
动态规划矩阵链相乘
A2(A[3:4]): 计算A[3:4]的计算量+计算A2乘 (A[3:4])的计算量：240+10 ☓4 ☓10=640
A1 5☓10 A2 10☓4 A3 4☓6 A4 6☓10
50 ☓5 ☓ 100 +50 ☓100 ☓ 10 =75000 按A(BC）计算，所需乘法次数为：
5 ☓100 ☓ 10 + 50☓5 ☓10=7500 可见如何结合十分影响计算的效率，自然提 出了矩阵链相乘的最优计算次序问题
完全加括号的矩阵连乘积
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的；
两个矩阵相乘
若A是一个p*q矩阵，B是一个q*r矩阵，则 其乘积C=AB是一个p*r矩阵。
for(i=1;i<=p;i++) for(j=1;j<=r;j++) {c[i][j]=0; for(k=1;k<=q;k++)c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]; } 总共需要pqr次数乘。
（A1A2A3）乘A4的计算量：320+5 ☓6 ☓10=620
(A1A2)(A3A4): 200+240+5 ☓4 ☓10=640
A1(A2A3A4 ): 640 &#来存储 计算A[i:j]的最少数乘次数 例7.1：A1 5☓10 A2 10☓4 A3 4☓6 A4 6☓10 请给出计算A[1：4]的最优计算次序 1、计算规模为2的子问题 计算A[1：2] 所需乘法次数：5☓10 ☓4=200 计算A[2：3] 所需乘法次数：10☓4 ☓6=240 计算A[3：4]所需乘法次数： 4☓6☓10=240
矩阵链乘法（动态规划）
矩阵链乘法（动态规划）
⼀题意描述：
给定由n个要相乘的矩阵构成的序列（链）<A1,A2,A3,····A n>。
由于矩阵满⾜结合律（加括号⽅式表⽰结合⽅式），不同的计算⽅式导致的求出最终计算结果的代价相异，有的花的时间很少，有的⽅式所花时间很多，那么下⾯的任务就是求出算出结果所需要的最少时间及⼀个最优解。
⼆思路分析：
设p(n)表⽰⼀串n个矩阵可能的加全部括号⽅案数。
当n=1时，只有⼀个矩阵，此时p(1)=1。
当n>=2时，⼀个加全部括号的矩阵乘积等于两个加全部括号的⼦矩阵乘积的乘积，⽽且这两个⼦乘积之间的分裂可能发⽣在第k个和第k+1个矩阵之间，其中k=1，2，····，n-1;因此可以求得递归式：
1.找局部最优解：把问题：转化成两个最优⼦问题：及
2.构造递归解：
⾸先定义m[i,j]为解决⼦问题A[i....j]的最⼩计算次数，那么解决整个问题A[1,n]所花的最⼩时间为m[1,n]。
那么递归⽅程可以写成如下形式：
为了跟踪如何构造⼀个最优解我们可以定义s[i,j]为这样的⼀个k值，在该处分裂乘积后可得⼀个最优解。
3.构造函数进⾏求解
输出最优路径的函数⾃⼰编写，经过调⽤数组s[i][j]即可。
动态规划之矩阵链相乘问题（算法导论）
动态规划之矩阵链相乘问题（算法导论）问题描述：给定n个矩阵序列，(A1,A2,A3,A4,...,An). 计算他们的乘积：A1A2A3...An.由于矩阵的乘法运算符合结合律，因⽽可以通过调整计算顺序，从⽽降低计算量。
样例分析：⽐如有三个矩阵分别为：A1: 10*100,A2: 100*5,A3: 5*50假如现在按照(A1A2)A3的顺序计算需要的计算量为：10*100*5+10*5*50=7500次运算。
若按照A1(A2A3)的顺序计算，需要的计算量为：100*5*50+10*100*50=75000次运算。
上⾯两种不同的运算顺序所有的计算量相差⼗倍。
因⽽，⼀种最优的计算顺序将能很⼤程度的减少矩阵连乘的运算量。
问题解析：此问题的⽬的是寻找⼀种最优的括号化⽅案。
下⾯⽤动态规划的思想来进⾏分析：1、动态规划的第⼀步：寻找最优⼦结构。
为⽅便起见，使⽤Ai..j表⽰AiAi+1...Aj的乘积结果矩阵。
对于k(i<=k<j), 计算Ai..j所需要的计算量为：Ai..k 和 Ak+1..j 以及⼆者相乘的代价和。
2、设m[i][j]为Ai..j的最优计算顺序所要花费的代价。
则其求解公式为：if i == j, m[i][j] = 0; //因为只有⼀个矩阵时计算代码为0，即不需要计算。
m[i][j]=min{m[i][k] + m[k+1][j] + Pi-1PkPj} i<=k<j3、为了能够输出求解顺序，需要保存区间中的⼀些分割点。
假如Ai..j中的最优分割点为k，则我们使⽤s[i][j]=k。
即在Ai..j 中，分别计算Ai..k 和 Ak+1..j 所⽤的计算开销最⼩。
4、采⽤⾃底向上的表格法。
依次求解矩阵长度为2,3,...,n的最优计算顺序。
算法思想：1、对m[i][i]全部初始化为0.2、在矩阵链A1..n中，依次计算长度len为2,3,...,n的m[i][j]⼤⼩。
n个矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是一个经典的优化问题，其目标是在给定一组矩阵和它们之间的乘法顺序下，找出最少的括号方案数，使得乘法操作可以按照给定的顺序进行。
假设有n个矩阵A1, A2, ..., An，我们需要计算它们的连乘积。
每个矩阵Ai都有m×m的元素。
矩阵连乘问题可以转化为以下动态规划问题：
1. 定义dp[i][j]为计算矩阵Ai到Aj的连乘积所需的最少括号方案数。
2. 初始化dp[i][i]=0，表示单个矩阵不需要任何括号。
3. 对于i<j，计算dp[i][j]的递推关系：
dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]，其中k=i,...,j-1。
其中p是任意一个正整数，表示矩阵的维度m。
4. 最终答案为dp[1][n]。
以下是Python代码实现：
计算结果为：最少需要15个括号方案数。
矩阵连乘问题python
矩阵连乘问题python矩阵连乘问题是一个经典的动态规划问题，我们可以使用动态规划来解决。
假设有n个矩阵需要连乘，其中第i个矩阵的维度为d[i-1] * d[i]，其中d是一个长度为n+1的数组，表示矩阵的维度。
我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵的最小乘法次数。
初始化dp数组，对于i=j的情况，dp[i][j]=0；对于i>j的情况，dp[i][j]=无穷大。
接下来，我们可以使用动态规划的思想来填充dp数组。
假设我们要计算dp[i][j]，我们可以枚举中间的分割点k，将问题分解为两个子问题：从i到k的矩阵连乘和从k+1到j的矩阵连乘。
则dp[i][j]的值可以通过以下方式计算：dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + d[i-1]*d[k]*d[j]) 最后，dp[1][n]即为所求的最小乘法次数。
以下是一个使用动态规划解决矩阵连乘问题的Python代码示例： ```pythondef matrix_chain_order(d):n = len(d) - 1dp = [[float("inf")] * (n+1) for _ in range(n+1)]for i in range(1, n+1):dp[i][i] = 0for l in range(2, n+1):for i in range(1, n-l+2):j = i + l -1for k in range(i, j):cost = dp[i][k] + dp[k+1][j] + d[i-1] * d[k] * d[j]if cost < dp[i][j]:dp[i][j] = costreturn dp[1][n]```使用示例：```pythond = [10, 20, 30, 40, 30]result = matrix_chain_order(d)print(result) # 输出：30000```以上代码中，d是一个长度为n+1的数组，表示n个矩阵的维度。
动态规划之矩阵连乘
动态规划之矩阵连乘【问题描述】给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。
如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的维数分别是10*100，100*5和5*50，采⽤（A1A2）A3，乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次，⽽采⽤A1（A2A3），乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法，显然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次数为7500次。
分析：矩阵链乘法问题描述：给定由n个矩阵构成的序列｛A1，A2，...，An}，对乘积A1A2...An，找到最⼩化乘法次数的加括号⽅法。
1）寻找最优⼦结构此问题最难的地⽅在于找到最优⼦结构。
对乘积A1A2...An的任意加括号⽅法都会将序列在某个地⽅分成两部分，也就是最后⼀次乘法计算的地⽅，我们将这个位置记为k，也就是说⾸先计算A1...Ak和Ak+1...An，然后再将这两部分的结果相乘。
最优⼦结构如下：假设A1A2...An的⼀个最优加括号把乘积在Ak和Ak+1间分开，则前缀⼦链A1...Ak的加括号⽅式必定为A1...Ak的⼀个最优加括号，后缀⼦链同理。
⼀开始并不知道k的确切位置，需要遍历所有位置以保证找到合适的k来分割乘积。
2）构造递归解设m[i,j]为矩阵链Ai...Aj的最优解的代价，则3）构建辅助表，解决重叠⼦问题从第⼆步的递归式可以发现解的过程中会有很多重叠⼦问题，可以⽤⼀个nXn维的辅助表m[n][n] s[n][n]分别表⽰最优乘积代价及其分割位置k 。
辅助表s[n][n]可以由2种⽅法构造，⼀种是⾃底向上填表构建，该⽅法要求按照递增的⽅式逐步填写⼦问题的解，也就是先计算长度为2的所有矩阵链的解，然后计算长度3的矩阵链，直到长度n；另⼀种是⾃顶向下填表的备忘录法，该⽅法将表的每个元素初始化为某特殊值(本问题中可以将最优乘积代价设置为⼀极⼤值)，以表⽰待计算，在递归的过程中逐个填⼊遇到的⼦问题的解。
典型的动态规划举例矩阵连乘问题
二、 LITTLE SHOP OF FLOWERS
PROBLEM
You want to arrange the window of your flower shop in a most pleasant way. You have F bunches of flowers, each being of a different kind, and at least as many vases ordered in a row. The vases are glued onto the shelf and are numbered consecutively 1 through V, where V is the number of vases, from left to right so that the vase 1 is the leftmost, and the vase V is the rightmost vase. The bunches are moveable and are uniquely identified by integers between 1 and F. These id-numbers have a significance: They determine the required order of appearance of the flower bunches in the row of vases so that the bunch i must be in a vase to the left of the vase containing bunch j whenever i < j. Suppose, for example, you have a bunch of azaleas (id-number=1), a bunch of begonias (id-number=2) and a bunch of carnations (id-number=3). Now, all the bunches must be put into the vases keeping their id-numbers in order. The bunch of azaleas must be in a vase to the left of begonias, and the bunch of begonias must be in a vase to the left of carnations. If there are more vases than bunches of flowers then the excess will be left empty. A vase can hold only one bunch of flowers. Each vase has a distinct characteristic (just like flowers do). Hence, putting a bunch of flowers in a vase results in a certain aesthetic value, expressed by an integer. The aesthetic values are presented in a table as shown below. Leaving a vase empty has an aesthetic value of 0.
矩阵链相乘问题的算法是用
矩阵链相乘问题的算法是用矩阵链相乘问题是一个经典的问题，它的目标是找到一种最优的方式来连乘一系列矩阵，使得计算乘积的总运算量最小。
这个问题在计算机科学和数学领域都具有重要的应用价值。
一种常用的算法解决矩阵链相乘问题是动态规划算法。
动态规划算法是一种通过构建一个最优解的递归结构，并利用子问题的最优解来逐步构建整个问题的最优解的方法。
为了使用动态规划算法解决矩阵链相乘问题，首先需要定义一个特定的问题形式，并设计一个递归解法来解决它。
对于矩阵链相乘问题，可以定义以下形式：假设有n个矩阵 {A1, A2, ..., An}，它们的维度分别是 {d0, d1,d2, ..., dn}，其中Ai的维度是di-1 x di。
要解决矩阵链相乘问题，需要找到一种最优的括号方案，使得计算乘积的总运算量最小。
可以定义一个函数MCM(i, j)来表示解决从第i个矩阵到第j个矩阵的子问题所需要的最小运算量。
那么，这个问题可以分解为以下两个子问题：1. 计算第i个矩阵到第k个矩阵的子问题所需要的最小运算量：MCM(i, k)2. 计算第k+1个矩阵到第j个矩阵的子问题所需要的最小运算量：MCM(k+1, j)接下来，需要设计一个递归解法来解决这个问题。
可以使用一个循环来遍历可能的k值，从而得到所有可能的组合方式。
对于每个k值，可以计算出相应的运算量，并选择最小的结果。
递归方程可以表示如下：MCM(i, j) = min { MCM(i, k) + MCM(k+1, j) + di-1 * dk * dj } 其中i ≤ k < j，i ≤ 1 < n，MCM(i, i) = 0通过自底向上的方式，可以使用动态规划算法来解决矩阵链相乘问题。
需要构建一个二维数组dp来保存中间计算结果，其中dp[i][j]表示解决从第i个矩阵到第j个矩阵的子问题所需要的最小运算量。
动态规划算法的伪代码如下所示：```for l = 2 to n:for i = 1 to n-l+1:j = i + l - 1dp[i][j] = infinityfor k = i to j-1:q = dp[i][k] + dp[k+1][j] + di-1 * dk * djif q < dp[i][j]:dp[i][j] = q```最后，动态规划算法的最优解可以通过访问dp[1][n]来获取。
动态规划-矩阵链相乘
感谢您的观看
THANKS
应用场景
稀疏矩阵的矩阵链相乘问题在科学计算、工程仿真等领域有广泛的应用。例如，在计算流体动力学中， 需要将多个稀疏矩阵相乘来模拟流体流动；在电磁场分析中，需要将多个稀疏矩阵相乘来计算电磁场的 分布。
矩阵链相乘问题的近似算法
定义
求解方法
矩阵链相乘问题的近似算法是指在保 证计算精度的情况下，通过牺牲一定 程度的计算量来加速计算过程的方法 。
标量乘法次数最少。
02
矩阵链相乘的动态规划算法
动态规划的基本概念
最优化原理
将原问题分解为若干个子问题 ，并从最优子问题的解逐步构
造出原问题的最优解。
状态
描述问题的中间状态，通常用 变量表示。
决策
在状态之间进行选择，通常用 函数表示。
状态转移方程
描述状态之间的依赖关系。
矩阵链相乘问题的动态规划解决方案
矩阵链相乘问题的最优解
最优解的求解过程
确定矩阵链
首先需要确定要相乘的矩阵链，即确定矩阵的顺 序。
构建状态转移方程
根据确定的矩阵链，构建状态转移方程，描述子 问题的最优解与原问题的最优解之间的关系。
求解状态转移方程
通过迭代求解状态转移方程，得到每个子问题的 最优解，进而得到原问题的最优解。
最优解的验证
验证解的有效性
通过检查每个子问题的最优解是否满 足状态转移方程，验证求解过程的有 效性。
验证解的正确性
通过将最优解代入原问题，验证其是 否能够得到正确的结果。
最优解的应用场景
矩阵运算优化
在科学计算、机器学习等领域中，经常需要进行大规模的矩 阵运算，矩阵链相乘问题的最优解可以用于优化这些运算过 程。
矩阵连乘算法
矩阵连乘算法
矩阵连乘是指将多个矩阵相乘的计算过程。
例如，对于三个矩阵A，B，C，其连乘结果可以表示为：A x B x C。
矩阵连乘算法是一个动态规划算法，用于寻找最优的矩阵连乘顺序，从而实现最小化矩阵乘法的操作次数。
该算法的基本思想是从最小的子问题开始逐步递推，找到最佳的矩阵连乘顺序。
具体实现过程如下：
1. 定义一个二维数组m[][]，其中m[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵的最小操作次数。
2. 对于每个长度为1的子序列，即i=j的情况，m[i][j]=0。
3. 对于每个长度大于1的子序列，即i<j的情况，计算m[i][j]的值，其中k是一个中间点，它将序列分为两个子序列：i到k和k+1到j。
用以下公式更新
m[i][j]的值：
m[i][j] = min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]}
其中p[]为矩阵的维数，p[i-1]表示第i个矩阵的行数，p[i]表示第i个矩阵的列
数，p[j]表示第j个矩阵的列数。
4. 最后，m[1][n]的值即为矩阵连乘的最小操作次数。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为矩阵的个数。
leetcode有关于矩阵连乘的题目
矩阵连乘是计算机科学中的重要问题，它涉及到矩阵乘法的次序问题。
在LeetCode上，也有一些与矩阵连乘相关的题目，这些题目涉及到动态规划、递归等算法，对于熟练掌握这些算法的同学来说，可以通过LeetCode的练习更加深入地理解矩阵连乘问题。
下面我们将重点介绍LeetCode上几道与矩阵连乘相关的题目，帮助大家更好地理解和掌握这一重要问题。
一、矩阵链乘问题矩阵链乘问题是LeetCode上经典的动态规划问题之一。
给定一系列的矩阵，要求以最少的乘法次数将它们相乘在一起。
这个问题可以用动态规划来解决，其状态转移方程为：dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + matrix[i-1]*matrix[k]*matrix[j])其中，dp[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵相乘所需的最少次数，matrix数组存储了每个矩阵的行和列。
二、矩阵中的路径矩阵中的路径问题也是LeetCode上与矩阵相关的经典问题之一。
给定一个矩阵和一个字符串，要求判断矩阵是否存在一条路径可以组成给定的字符串。
这个问题可以用深度优先搜索（DFS）来解决，对矩阵中的每一个位置进行递归查找，直到找到符合条件的路径或者遍历完所有可能的路径。
该问题的关键在于如何设计递归函数和辅助函数，以及如何剪枝和优化搜索过程。
三、岛屿的最大面积岛屿的最大面积是经典的与矩阵相关的问题之一。
给定一个由0和1组成的矩阵，求其中由1组成的最大岛屿的面积。
这个问题可以用深度优先搜索（DFS）或者广度优先搜索（BFS）来解决，对矩阵中的每一个位置进行搜索，直到找到一个岛屿为止，然后更新最大岛屿的面积。
这里需要注意如何设计递归函数和辅助函数，以及如何遍历整个矩阵并标记已经搜索过的位置。
总结LeetCode上关于矩阵连乘的题目涉及到了动态规划、递归、深度优先搜索和广度优先搜索等算法。
掌握这些算法对于解决矩阵连乘问题是非常重要的。
通过LeetCode的练习，可以帮助我们更好地理解和掌握这一问题，提高我们的算法水平。
实现矩阵连乘的动态规划算法
实现矩阵连乘的动态规划算法1.计算连个矩阵乘积的标准算法：//标准算法void MatrixMultiply(int a[][MAXN], int b[][MAXN], int p, int q, int r){int sum[MAXN][MAXN];memset(sum, 0, sizeof(sum));int i, j, k;//遍历矩阵a的⾏for (k = 0; k < p; k++){//遍历矩阵b的列for (j = 0; j < r; j++){//对应位置相乘for (i = 0; i < q; i++){sum[k][j] += a[k][i] * b[i][j];}}}}所以A、B两个矩阵相乘的计算量为p*q*r。
2. 计算连个矩阵乘积的动态规划算法：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<Windows.h>#define MAX 100int matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s){//a[][]最⼩乘次数//s[][]最⼩乘数时的断开点int i,j,r,k;for (i = 0; i < n; i++) //单⼀矩阵的最⼩乘次都置为0{m[i][i] = 0;}for (r = 2; r <= n; r++) //r为连乘矩阵的个数{for (i = 0; i <= n-r; i++) //i表⽰连乘矩阵中的第⼀个{j = i + r -1; //j表⽰连乘矩阵中的最后⼀个m[i][j] = 99999;for (k = i; k <= j-1; k++) //在第⼀个与最后⼀个之间寻找最合适的断开点，注意，这是从i开始，即要先计算两个单独矩阵相乘的乘次{int tmp = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i]*p[k+1]*p[j+1];if (tmp < m[i][j]){m[i][j] = tmp;s[i][j] = k;}}}}return m[0][n-1];}void print_chain(int i, int j, char **a,int **s){ //递归的⽅式来把最⼩乘数的表达式输出if (i == j){printf("%s",a[i]);}else{printf("(");print_chain(i,s[i][j],a,s);print_chain(s[i][j]+1,j,a,s);printf(")");}}int main(){//min_part[i][j]存储的是i+1到j+1的最⼩乘次，因为是从0开始//min_point[i][j]存储的是i+1到j+1之间最⼩乘次时的分割点int *p, **min_part, **min_point;char **a;int n = 6,i;int ret;p = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));a = (char **)malloc(n*sizeof(char*));min_part = (int **)malloc(n*sizeof(int *)); min_point = (int **)malloc(n*sizeof(int *));for (i = 0; i < n; i++){min_part[i] = (int *)malloc(n*sizeof(int)); min_point[i] = (int *)malloc(n*sizeof(int));a[i] = (char *)malloc(n*sizeof(char));}p[0] = 30; //第⼀个矩阵的⾏数p[1] = 35; //第⼆个矩阵的⾏数p[2] = 15; //……p[3] = 5; //……p[4] = 10; //……p[5] = 20; //第六个矩阵的⾏数p[6] = 25; //第六个矩阵的列数a[0] = "A1";a[1] = "A2";a[2] = "A3";a[3] = "A4";a[4] = "A5";a[5] = "A6";ret = matrix_chain(p,n,min_part,min_point); printf("Minest times:%d.\n",ret);print_chain(0,n-1,a,min_point);printf("\n");free(p);free(min_part);free(min_point);free(a);system("pause");return 0;}3.递归加括号的过程的运算量：//加括号的过程是递归的。
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问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。
这种计算次序可以用加括号的方式来确定。
若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
（1）单个矩阵是完全加括号的；
（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)
例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。
每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。
看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数
((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次
所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。
算法思路：
例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：
A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4：5*10; A5：10*20; A6：20*25
递推关系：
设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。
当i=j时，A[i:j]=A i，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
当i<j时，若A[i:j]的最优次序在A k和A k+1之间断开，i<=k<j,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p i-1p k p j。
由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。
不过k的位置只有j-i个可能。
因此，k 是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。
综上，有递推关系如下：
构造最优解：
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。
s[i][j]中的
数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵A k和A k+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。
因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为
(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为
(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。
同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。
1、穷举法
列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。
对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。
每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...A k)(A k+1…A n)可以得到关于P(n)的递推式如下：
以上递推关系说明，P(n)是随n的增长呈指数增长的。
因此，穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。
2、重叠递归
从以上递推关系和构造最优解思路出发，即可写出有子问题重叠性的递归代码实现：
....
m[4:6]=min(m[4:4]+m[5:6]+p[3]*p[4]*p[6],m[4:5]+m[6:6] +p[3]*p[5]*p[6]);
......
依次类推，根据之前计算的m值，迭代计算最优解。
与备忘录方法相比，此方法会将每个子问题计算一遍，而备忘录方法则更灵活，当子问题中的部分子问题不必求解释，用备忘录方法较有利，因为从控制结构可以看出，该方法只解那些确实需要求解的子问题。