天津市第一中学学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案
天津市部分区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
故选：C. 3．C 【分析】根据样本相关系数，回归直线方程，相关指数和残差的概念判断即可．
【详解】对于 A 选项，样本相关系数 r 来刻画成对样本数据的相关程度，当 r 越大，则成 对样本数据的线性相关程度越强，故 A 正确；
天津市部分区 2022-2023 学年高二下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设全集U = {-2, -1, 0,1, 2} ， A = {-2, -1,0} ， B = {0,1, 2} ，则 (ðU A) Ç B = （ ）
的三位数，这样的三位数共有（ ）
A．24 个
B．36 个
C．48 个
D．54 个
8．已知每门大炮击中目标的概率都是 0.5，现有 10 门大炮同时对某一目标各射击一次．
记恰好击中目标 3 次的概率为 A；若击中目标记 2 分，记 10 门大炮总得分的期望值为
B，则 A，B 的值分别为（ ）
A． 15 ，5 128
【分析】求导
f ¢(x) =
2 x
，可得斜率 k
=
f ¢(1) = 2 ，进而得出切线的点斜式方程.
【详解】由
y
=
f
( x)
=
2 ln
x ，得
f
¢( x )
=
2 x
，
则曲线 y = 2 ln x 在点 (1, 0) 处的切线的斜率为 k = f ¢(1) = 2 ，
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（ ） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ， 即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ， 即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件， 故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<， 所以a c b <<， 故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项． 故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =， 由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （ ）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾． 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（ ） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=， 故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（ ）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个 【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确； 对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确， 故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题 分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象： 当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______． 【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==， 所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=， 因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2． 故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为 ；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为 ．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系， 因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=． （2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1． 故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=． （1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ． 【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥， 又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)， 所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)， 设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-， 由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)， 设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=， 则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭， 即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+， 所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >， 所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=， 经检验满足212b >， 所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ； （3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解． 【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==， 则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ． 设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围； （3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-， 由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-． （2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立， 即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立； 当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥， 令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零， 故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥． 综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--， 因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭， 所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=， 又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=， 所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=， 因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减， 故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。
天津市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(附答案)
天津一中2018-2019-2 高一年级数学学科模块质量调查试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100 分，考试用时90 分钟。
第I 卷1 页，第II 卷至2 页。
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
一．选择题1.以下说法正确的有几个（）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,且a cos B = ( 2c - A ，则角A 的大小为（）ππππA．B．C．D．6 4 3 23.在∆ABC 中，若AB ⋅AC = 2 且∠BAC = 30 ，则∆ABC 的面积为（）A B．C D4.设α、β、γ为平面，为m、n、l 直线，则下列判断正确的是（）A．若α⊥β,α⋂β=l, m ⊥l ，则m ⊥β B．若α⋂γ=m,α⊥γ, β⊥γ，则m ⊥βC．若α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α，则m ⊥β D．若n ⊥α,n ⊥β, m ⊥α，则m ⊥βB．C．D．2 3 4 151 1 1 1 1 1A．13B．23C．43D．26．点G 为∆ABC 的重心，AB = 2, BC =1, ∠ABC = 60 ，则AG ⋅CG =（）A．-59B．-98C．59D．197.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点O 是正方形ABCD 的中心，关于直线A1O 下列说法正确的（）A．A1O / / D1C B．A1O / / 平面B1CD1C．A1O ⊥BC D．A1O ⊥平面AB1D18.一个圆锥SC 的高和底面直径相等,且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等, 则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（）A．39.平行六面体ABCD -A B C D 的底面ABCD 是菱形，且∠C CB =∠C CD =∠BCD = 60 ，CD = 2, C C =3 ，则二面角C-BD -C 的平面角的余弦值为（）1 2 1A．12B．13C3D310．如图，在 ∆ABC 的边 AB 、AC 上分别取点 M 、N ，使AM = 1 AB , AN = 1 AC ， BN 与 CM 交于点 P ，若 BP = λ PN , PM = μCP ，3 2则 λ的值为（ ） μA ． 83B ． 38C ． 16D ． 6二．填空题11．已知向量 a , b 满足 | a |= 1 ,| b |= 2 ， | a + b |=，则 | 2a - b |=．12 如图， PA ⊥ 平面ABC ， ∠ACB = 90 且PA = AC ，AC = 2BC ，则异面直线 PB 与 AC 所成的角的正切值等于．13.如图,在直棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中, AB ⊥ AC , AB = AC = AA 1 = 2 , 则二面角 A 1 - BC 1 - C 的平面角的正弦值为．14.在 △ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 2b (2b - c ) cos A = a 2 + b 2 - c 2 ，则内角 A 的值为 ．15.已知正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为1 ，点 E 是棱 BB 1 的中点，则点 B 1 到平面 ADE 的距离为．16.如图，在直角梯形 ABCD 中， ∠BAD = π， AB = AD = 2 ，若 M 、N3分别是边 AD 、BC 上的动点，满足 AM = λ AD ， BN = (1 - λ )BC ，其中λ ∈ (0,1) ，若 AN ⋅ BM = -2 ，则 λ 的值为 ．Nα 1 αα17. 设f (α) =m ⋅n ,其中向量m = ( n = (2 in , cos-1) .2 4 2（1）若f (α) =-1 ,求cos( π-α) 的值；3 2（2）在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,若a cos B +b cos A + 2c ⋅ cos C = 0 ,求函数f ( A) 的取值范围.18. 如图，在几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD , E 为AB 中点.（1）求证：AN / / 平面MEC ；（2）求证：AC ⊥BN .19．如图1 所示，在矩形ABCD 中，AB = 2 A D = 4 ，E 为CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，如图2 所示，O、H、M 分别为AE、BD、AB 的中点，且DM = 2 .（1）求证：OH / / 平面DEC ；（2）求证：平面ADE ⊥平面ABCE .20.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O、E 分别是AD、AB 的中点，AB = 6, AP =5，∠BAD = 60 . （1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的正切值。
天津市第一中学2022届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
天津一中2021-2022高三班级一月考本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟同学务必讲答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
一、选择题：1.=+2)21(i （ ）i A 223.+ i B 223.- i C 221.-- iD 221.+-2.对任意的实数x ，若][x 表示不超过x 的最大整数，则11<-<-y x 是][][y x =的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3. 把函数)(sin R x x y ∈=的图象上全部的点向左平移3π个单位长度，再把全部图象上全部点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ）R x x y A ∈-=),32sin(.πRx x y B ∈+=),62sin(.πR x x y C ∈+=),32sin(.π Rx x y D ∈+=),322sin(.π4. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点为F ，离心率为2，若经过F 和)40(，P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ）144.22=-y x A 188.22=-y x B 184.22=-y x C148.22=-y x D5. 已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，且)(x f 的图象关于1=x 对称，当]1,0[∈x 时，12)(-=xx f ,则)2018()2017(f f +的值为 （ ）2.-A 1.-B 0.C 1.D6. 若函数)cos (sin )(x a x e x f x+=在)2,4(ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） ]1,.(-∞A )1,.(-∞B )1.[∞+，C )1.(∞+，D7. 已知函数1)(2+++=x x ae x f x 经过点)2,0(，且与)(x g 的图象关于直线032=--y x 对称，Q P ,分别是函数)(x f ,)(x g 上的动点，则PQ的最小值是（ ）55.A 5.B 552.C 52.D8. 已知函数x e ax x f ln )(+=与x e x x x g ln )(2-=的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ）e a A -<. 1.>a B e a C >. 13.>-<a a D 或二、填空题：9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 .10. 已知nx )31(+的开放式中含有2x 项的系数是54，则=n . 11. 在极坐标系中，点A 在圆04sin 4cos 22=+--θρθρρ上，则点P的坐标为)10(，，则AP的最小值为 .12. 曲线2x y =与直线x y =所围成的封闭图形的面积为 .13. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，在区间)0,(-∞上单调递减，且0)1(=f ，若实数a 满足)(log )(log 515a f a f ≥，则实数a 的取值范围为 .14. 若关于x 的不等式0<+-a ax xe x的解集为)0)(,(<n n m ，且),(n m 中只有两个整数，则实数a 的取值范围为 .15.已知函数1cos 2cos sin 6)42sin(2)(2+-++-=x x x x x f π，R x ∈（I ）求)(x f 的最小正周期；（II ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值.16.在锐角ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列. （I ）求角B 的值； （II ）若3=a 且b a ≤，求b 的取值范围.17.一对父子参与一个亲子摸奖玩耍，其规章如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色状况与他们获得的积分对应如下表： 所取球的状况 三个球均为红色 三个球均不同色 恰有两球为红色 其他状况所获得的积分1809060（I ）求一次摸奖中，所猎取的三个球中恰有两个是红球的概率；（II ）设一次摸奖中，他们所获得的积分为X ，求X 的分布列及均值（数学期望）)(X E . （III ）依据以上规章重复摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率.18. 已知()ax x x x f -+=2ln 2 （I ）当5=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程及()x f 的单调区间（II ）设()()2211,,,y x B y x A 是曲线()x f y =图象上的两个相异的点，若直线AB 的斜率1>k 恒成立，求实数a 的取值范围19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21,43111++==--n n n a S S a （*∈N n 且2≥n ），数列{}n b 满足：4371-=b 且131+=--n b b n n （*∈N n 且2≥n ）（I ）求数列{}n a 的通项公式（II ）求证：数列{}n n a b -为等比数列（III ）求数列{}n b 的前n 项和的最小值20. 已知函数()()()021ln >+++=a a x ax x f（I ）争辩函数()x f 在()∞+，0上的单调性 （I I ）设函数()x f 存在两个极值点，并记作21,x x ，若()()421>+x f x f ，求正数a 的取值范围（III ）求证：当1=a 时，()1111++>+x e x f x （其中e 为自然对数的底数）参考答案： 一. 选择题1. D2.B3.C4.B5.D6.A7.D8.B 二.填空题9. 12+π 10.4 11.1 12.61 13.[]5,1510 ⎥⎦⎤ ⎝⎛， 14.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2332,43e e三.解答题15.（I ）()xx x x x f 2cos 2sin 34sin2cos 24cos2sin 2-+⋅-⋅-=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42sin 22πx 所以()x f 的最小正周期为π=T（II ）由于()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡830π，上是增函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡283ππ，上是减函数，又()20-=f ， 22,2283=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf f故函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为22，最小值为2-16. （I ）由于A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列，所以B b A c C a cos 2cos cos =+ 由正弦定理得B B A C C A cos sin 2cos sin cos sin =+ 即()B B B C A cos sin 2sin sin ==+由于21cos ,0sin =∴≠B B又π<<B 0，所以3π=B（II ）3sin sin πbA a =，A b sin 23=∴ 30,π≤<∴≤A b a32π=+C A ,又ABC ∆是锐角三角形，6π>∴A36ππ≤<∴A ,23sin 21≤<∴A 33<≤∴b17. （I ）解：设所取三个球恰有两个是红球为大事A ，则大事A 包含两类基本大事：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为9113122422=⋅C C C C 父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红球其概率为921311241212=⋅C C C C C故()319291=+=A P（II ）解：X 可以取0,60,90,180，取各个值得概率分别为：()1811180132422=⋅==C C C X P , ()9219013241212=⋅==C C C C X P()313132602412122422=⋅+⋅==C C C C C X P , ()187319218110=---==X P故X 的分布为：X 1809060P1819231187X 的均值为：()50187031609290181180=⨯+⨯+⨯+⨯=X E（III ）由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得60个积分的次数⎪⎭⎫⎝⎛313~，B Y 则()()()2773131322333223=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==+==≥C C Y P Y P Y P18. （I ）当5=a 时，()()()()0212522,>--=-+=x x x x x x x f分别解不等式()0,>x f 与()0,<x f ，可得函数()x f 的单调递增区间为()∞+⎪⎭⎫⎝⎛，，，2210， 单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛221，（II ）()()()[]()[]()()x x f x g x x x x f x x f x x x f x f -=⇒>----⇒>--011211221212在()∞+，0上单调递增 由()0,≥x g 在()∞+，0上恒成立，可得3≤a19. （I ）由2111++=--n n n a S S 得2111+=---n n n a S S ，即211=--n n a a （2≥n 且*∈N n ）则数列{}n a 为以21为公差的等差数列，所以()412121143+=⨯-+=n n a n （II ）由于()2131≥+=--n n b b n n ，所以()()2131311≥++=--n n b a b n n n ，所以()()24121311216131412113131111≥⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=--++=----n n b n b n n b a b n n n n n ()()24121411211111≥+-=---=-----n n b n b a b n n n n所以()()23111≥-=---n a b a b n n n n01011≠-=-a b所以（III ）所以数列{}n na b -是以10-为首项，31为公比的等比数列（III ）由（II ）得13110-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=-n n n a b所以11311041213110--⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=n n n n n a b()21131104112131104121---⎪⎭⎫⎝⎛⨯+---⎪⎭⎫⎝⎛⨯-+=-n n n n n n b b ()203120211≥>⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=-n n当1=n 时，010431<-=b 当2=n 时，0310452<-=b 当3=n 时，0910473>-=b所以数列{}n b 从第3项起的各项均大于0，故数列{}n b 的前2项之和最小记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则334-10-4510-432=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=T20. （I ）()()()()()222,121211a x x a a x a x a x x f ++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯++= ()⨯当2≥a 时，()()()()012,022,>++-+=∴>a x x a a x x f x ，函数()x f 在()∞+，0上是增函数 当20<<a 时，由()0,=x f 得()022=-+a a x ，计算得出()a a x --=21（负值舍去） ()a a x -=22所以当()2,0x x ∈时，()022<-+a a x ，从而()0,<x f ，函数()x f 在()2,0x 上是减函数；当()+∞∈,2x x 时，()022>-+a a x ，从而()0,>x f ，函数()x f 在()+∞,2x 上是增函数综上，当2≥a 时，函数()x f 在()∞+，0上是增函数；当20<<a 时，函数()x f 在()()a a -20，上是减函数，在()()+∞-,2a a 上是增函数（II ）由（I ）知，当2≥a 时，()0,>x f ，函数()x f 无极值点 要使函数()x f 存在两个极值点，必有20<<a ，切极值点必为()a a x --=21，()a a x -=22又由函数定义域知1->x ，则有()12->--a a 即()12<-a a 化为()012>-a ，所以1≠a所以，函数()x f 存在两个极值点时，正数a 的取值范围是()()2,11,0由()⨯式可以知道，()⎩⎨⎧-=⋅=+202121a a x x x x()()()()a x ax a x a x x f x f +++++++=+22112121ln 21ln()()()22121212121221ln a x x a x x a x x a x x x x +++++++++=()[]()222241ln a a a a a +-+-= ()[]2121ln 2--+-=a a不等式()()421>+x f x f 化为()[]02121ln 2>--+-a a令()()()2,11,01 ∈=-a t a 所以()()1,00,1 -∈t当()0,1-∈t 时，()()()02,0ln ,22ln 2<<--+-=t t t t t g ，所以()0<t g ，不合题意当()1,0∈t 时，()22ln 2-+=t t t g()()012121222,<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=t t t t t g所以()t g 在()1,0上是减函数，所以()()02121ln 21=-+=>g t g ，适合题意，即()2,1∈a综上，若()()421>+x f x f ，此时正数a 的取值范围是()2,1（III ）当1=a 时，()()121ln +++=x x x f不等式()1111++>+x e x f x 可化为()11111ln +>+++x e x x所以要证不等式()1111++>+x e x f x ，即证()11111ln +>+++x e x x ，即证xe x x 11ln >+设()x x x h 1ln +=，则()22,111x x x x x h -=-=在()1,0上，()0,<x h ，()x h 是减函数；在()∞+，1上，()0,>x h ，()x h 是增函数，所以()()11=≥h x h设()x e x 1=ϕ，则()x ϕ是减函数，所以()()10=<ϕϕx所以()()x h x <ϕ，即x e x x 11ln >+所以当1=a 时，不等式()1111++>+x e x f x。
天津市第一中学2023-2024学年高一下学期阶段性测验2(6月)数学试题
天津市第一中学2023-2024学年高一下学期阶段性测验2（6月）数学试题一、单选题1．若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则 ( )A ．a ∥cB ．a 、c 是异面直线C ．a 、c 相交D ．a 、c 平行或相交或异面2．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量为（ ）A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭3．空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 中点，若2CD AB =，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）．A ．若m α⊂，n β⊂，m n P ，则αβ∥B ．若m α⊂，n ⊂α，m βP ，n βP ，则αβ∥C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥5．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()222tan a c b B ac +-=，则角B 的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π二、多选题6．下列说法错误的是（ ）A ．平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行B ．一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行C ．垂直于同一条直线的两条直线平行D ．平行于同一平面的两个平面互相平行三、单选题7．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于（ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π8．在梯形ABCD 中，已知//,5,1AB CD AB AD CD ===，且7A C B D ⋅=u u u r u u u r ，设点P 为BC边上的任一点，则AP DP ⋅u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．95B ．115C ．3D ．15-四、填空题9．若i 为虚数单位，复数171i z i-=+，则||z =. 10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为．11．设a r ，b r 满足(=,=1,a b r r 且()+a b a ⊥r r r ，则()a b b -⋅r r r 的值为. 12．在正四棱锥P -ABCD 中，P A =2，直线P A 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线P A 与BE 所成角的大小为．13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =．若二面角1C C AB --的大小为60︒，则点C 到平面1ABC 的距离为．14．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC =2BC =，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为.五、解答题15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ； （II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值． （III ）求二面角11A AC E --的正弦值．。
2022-2023学年天津市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知直线：，：，若，则实数（ ）1l2y x =-2l y kx =12//l l k =A ．－2B ．－1C ．0D ．1【答案】D【分析】两直线平行，则斜率相等求解.【详解】已知直线：，：，1l2y x =-2l y kx =因为，12//l l 所以1k =故选：D【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.2．若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（ ）22240+-++=x y x y m 30x y +-=2m A ．B ．C ．D ．1-2-4-31-【答案】C【分析】先将圆的方程转化为标准方程形式,可得圆心为,半径为,再求出圆()1,2-)5r m =<心到直线距离,根据弦长为,即可求得.2=m 【详解】由题,由圆的一般方程可得圆的标准方程为,22240+-++=x y x y m ()()22125x y m -++=-则圆心为,半径为,()1,2-)5r m <所以圆心到直线距离为,d 则弦长为,即,所以,2581m --=4m =-故选:C【点睛】本题考查利用弦长求参数,考查点到直线距离公式的应用,考查圆的一般方程与标准方程的转化.3．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，{}n a 10a =，则（ ）11,,nn n a n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数45a a +=A ．12B ．20C ．28D ．30【答案】B【分析】根据递推关系求得，进而可得答案.2345,,,a a a a 【详解】由已知得，21112a a =++=，2324a a =+=，43318a a =++=，54412a a =+=4581220a a ∴+=+=故选：B.4．与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为（ ）229436x y +=2A ．B ．C ．D ．22143x y +=2216y x +=2216x y +=22185x y +=【答案】B【分析】求出所求椭圆的焦点坐标，可得出的值，由已知条件可得出的值，由此可得出的值，c b a 进而可得出所求椭圆的标准方程.【详解】椭圆可化为标准方程，229436x y +=22149x y +=可知椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，22149x y +=y (0,故可设所求椭圆方程为，则.()222210y x a b a b +=>>c =又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为.22b =1b =2226a b c =+=2216y x +=故选：B.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，要注意分析椭圆焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.5．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，1F 2F 2222:1x y E a b -=M E，则双曲线的渐近线方程为（ ）1221::2:3:4F F F M F M =E A ．B ．C ．D ．2y x =±12y x=±y =y =【答案】C 【解析】由，可得，，，根据双曲线的1221:||:2:3:4F FF M F M =122FF c =23F M c=14F M c=定义求得，进而得到，即可求得双曲线的渐近线方程.2c a =b =【详解】由题意，、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，1F 2F 2222:1x y E a b -=M E 且满足，可得，，，1221:||:2:3:4F F F M F M =122FF c =23F M c=14F M c=由双曲线的定义可知，即，21243a F MF M c c c=-=-=2c a =又由，所以双曲线的渐近线方程为.b ==y =故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转,a c ce a =,,a b c 化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．,a c e e 6．已知等差数列，是其前项和，若，则（ ）{}n a n S n 101010S a ==A ．B ．C ．D ．52a =52a =-518S =520S =-【答案】D 【分析】设数列的公差为，由等差数列的通项公式和前项和公式列关于和的方程，解{}n a d n 1a d 方程求出和，再计算和即可得正确选项.1a d 5a 5S 【详解】设数列的公差为，{}n a d 由题意可得 ，解得，1110910102910a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩182a d =-⎧⎨=⎩所以，5148420a a d =+=-+⨯=，()5154558102202S a d ⨯=+=⨯-+⨯=-故选项D 正确，故选：D.7．设是等比数列的前项和，若，，则（ ）n S {}n a n 34S =4566a a a ++=96S S =A ．B ．C ．D ．32191053196【答案】B【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果.{}n a q 3q 【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾.{}n a q 1q =456133a a a a S ++==所以，，故，则，1q ≠()()33341345631111a q a q q a a a q Sqq--++===--332q =所以，，()()()63113631151112a q a q S q S qq --==+⋅=--，()()()9311369311191114a q a q S q q S qq --==++=--因此，.9363192194510S S S S =⋅=故选：B.8．已知等差数列的前n 项和为，，，则当S 取得最小值时，n 的值为（ ）{}n a n S 130S <140S >A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】利用等差数列的前n 项和公式可知，，即，从而可确定当S 取最小70a <780a a +>80a >值时n 的值.【详解】因为，故.()11371371313213022a a a S a +⨯===<70a <同理，故，()()()11478714814140722a a a a a a S ++===+>780a a +>所以，即当时，取得最小值.870,0a a ><7n =n S 故选：C .【点睛】本题考查等差数列性质和等差数列前n 项和的应用，属于基础题.9．已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物2:8C x y =F P C A线上，且，则的最小值为（ ）C ||4AF =||||PA PO +A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出点坐标，作关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为A O M ||AM 的最小值．||||PA PO +【详解】解：抛物线的准线方程为，=2y -∵，∴到准线的距离为4，故点纵坐标为2，||4AF =A A 把代入抛物线方程可得．2y =4x =±不妨设在第一象限，则，A (4,2)A 点关于准线的对称点为，连接，O =2y -4(0,)M -AM 则，于是||||PO PM =||||||||||PA PO PA PM AM +=+≥故的最小值为||||PA PO +||AM ==故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．10．已知F 是双曲线C ：的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近()222210,0x y a b a b -=>>线垂直，垂足为A ，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B ，若，则双曲线C 的离心率为3FA AB=（ ）A ．2B ．C ．D ．535443【答案】B【分析】设的左焦点为，连接，过作于，根据已知及双曲线性质有为线C 1F 1F B 1F 1FD FB ⊥D 1F D 段的中垂线，结合双曲线定义及关系得到关系，即可得离心率.FB ,,a b c ,a c【详解】设的左焦点为，连接，过作于，C 1F 1F B 1F 1FD FB ⊥D 易知，所以为的中位线，1//F D OA OA OAF △又图中双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，，b=323,b BD b AB FA ===∴则为线段的中点，所以为等腰三角形，即D FB 1BF F △112BF F F c==又，1||4,||422FBb F B b ac ==-=即，2c a b +=c a ∴+=得.53c a =故选：B.二、填空题11．圆的圆心为，且圆与直线相切，则圆的方程为_________________.C (21),-C 3450x y --=C 【答案】22(2)(1)1x y -++=【分析】先求圆心到直线的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方:3450l x y --=程．【详解】圆的圆心为，与直线相切，C (2,1)-:3450l x y --=圆心到直线的距离等于半径，即，1r d =圆的方程为．∴C 22(2)(1)1x y -++=故答案为：．22(2)(1)1x y -++=【点睛】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切关系的应用，是基础题．12．若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.2y mx =1x =【答案】或216y x =-28y x=【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线的准线为，2y mx =4mx =-则，解得或，134m--=16m =-8m =故抛物线的方程为或.216y x =-28y x =故答案为：或.216y x =-28y x =13．等比数列中，，是方程的两根，则的值为___________.{}n a 5a 21a 21150x x ++=71913a a a 【答案】【分析】由韦达定理可得，易知，再由等比数列的性质有5215215,11a a a a =+=-521,0a a <，结合等比数列通项公式判断的符号，进而求目标式的值.271913521a a a a a ==13a 【详解】由题设知：，又为等比数列，5215215,11a a a a =+=-{}n a ∴，且，而，521,0a a <2719135215a a a aa ===81350a a q =<∴13a =71913a a a =故答案为：14．已知椭圆与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 的中点为，则直线l 的斜率为_________；AB (2,1)M -【答案】12【分析】由椭圆离心率和关系可得关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可,,a b c ,a b 得所求值.【详解】由题意可得，c e a===2a b =设，()()1122,,,A x y B x y 则，2222112222221,1x y x y a b a b +=+=两式相减可得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=的中点为，，AB (2,1)M -12124,2x x y y ++∴=-=则直线斜率.212122121211(2)42y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+故答案为：.1215．已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则{}n a n n S 11a=2n S =()2,n n N ≥∈数列的通项公式为_________.{}n a 【答案】21n a n =-【分析】先由题干求出是以为首项，公差为的等差数列，并且求得，进而写出数列112nSn =的通项公式.{}n a 【详解】解：，，0n a >∴0n S >当时，由，2n≥2n S =+.1=是以为首项，公差为的等差数列.∴11.∴()111n n =+-⨯=.∴2n S n =当时，.∴2n ≥()221121n n n a S S n n n -=-=--=-当时，上式成立.1n =故数列的通项公式为.{}n a 21n a n =-故答案为：.21n a n =-【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，考查转化思想，分析问题能力，属于中档题.16．已知等差数列中，，，记数列的前n 项和为，若对任{}n a 39a =517a =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S 2110n n m S S +-≤意的都成立，则实数m 的取值范围为______.*N n ∈【答案】28,9∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】先利用等差数列的通项公式列方程求出数列的通项公式，令，通过计算{}n a 21n n n b S S +=-的正负确定的单调性，进而求出的最大项，则可求出实数m 的取值范围.1n nb b +-{}n b {}n b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 则，解得，315129417a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩114a d =⎧⎨=⎩则等差数列的通项公式为，{}n a 43n a n =-则数列的通项公式为，1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭1143n a n =-令，21n n n b S S +=-则()()11231212322111n n n n n n n n n a a a b b S S S S +++++++-=+----=()()()11140310898541898541n n n n n n n =--+-=<++++++即，即为递减数列，1n n b b +<{}n b 的最大项为，{}n b 131321111149545b S S a a =++-===，141045m ∴≥289m ∴≥故答案为：28,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17．若数列的前n 项和为，且，等差数列满足，.{}n a n S ()*231N n nS a n =-∈{}n b 113b a =324b a =+(1)求数列，的通项公式；{}n a {}n b (2)设，求数列的前n 项和.3nn n b c a ={}n c n T【答案】(1)；13n n a -=21nb n =+(2)223n nn T +=-【分析】（1）利用得到数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得数列，1n n n a S S -=-{}n a {}n a 再代入数列满足的等式可得的通项公式；{}n b {}n b （2）利用错位相减法可求和.【详解】（1），()*231N n n S a n =-∈又，()112312n n S a n --=-≥两式相减得，1233n n n a a a -=-即，故数列是以3为公比的等比数列，13nn a a -={}n a 又当时，，得，1n =1112231S a a ==-11a =，13n n a -∴=，，1133b a ==∴324347b a =+=+=等差数列的公差为，∴{}n b 3142312b b -==-21n b n ∴=+（2）由（1）可得，213+=n n n c ，231357212133333n n n n n T --+∴=+++++ 234113572121333333n n n n n T +-+∴=+++++ 上两式相减得，2311111123222211214243321333333333313n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=++++-=+⨯-=-- 223n nn T +∴=-18．已知数列，，满足，，且.{}n a {}n b 111a b ==1131n n b b n +⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭()*1N nn n b a a n n +-=∈(1)求数列，的通项公式；{}n a {}n b(2)记，求证：．()()()*1211N n n n n b c n n a a ++=∈--12313n c c c c ++++< 【答案】(1)，；1312n n a -+=13n n b n -=⋅(2)证明见解析.【分析】（1）分别利用累乘法和累加法求通项即可；（2）利用裂项相消得到，即可证明12312113231n n c c c c +⎛⎫++++=- ⎪-⎝⎭ 12313n c c c c ++++< 【详解】（1）根据可得，1131n n b b n +⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭113n n b n b n ++=⋅所以121121n n n n n b b b b b b b b ---=⨯⨯⨯⨯ 11231121n n n n n --=⨯⨯⨯⨯⨯-- ，13n n -=⋅当时，，成立，所以，1n =01131b =⨯=13n n b n -=⋅，113n n n a a -+-=所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 2103331n n --=++++ 131131n --=+-，1312n -+=当时，，成立，所以.1n =013112a +==1312n n a -+=（2）由（1）可得，()()1111134321133131313131311122n n n n n n n n n n c n --+++⋅⋅⎛⎫===⋅- ⎪--⎛⎫⎛⎫++--⎝⎭-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以1231223121111113313131313131n n n c c c c +⎛⎫++++=-+-++- ⎪------⎝⎭ ，12113231n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭因为，所以.11112312n +-<-123211323n c c c c ++++<⨯=19．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A 在椭圆C()222210x y a b a b +=>>1F 2F 12上，，，过与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段12AF =1260F AF ∠=︒2F PQ 的中点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点，且，求直线l 的方程.10,8M ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN PQ ⊥【答案】(1)22143x y +=(2) 或3230x y --=210x y --=【分析】(1)根据椭圆的几何性质和条件列方程求出a ，b ，c ；(2)设直线l 的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出中点N 的坐标，再利用 ，求出MN PQ ⊥直线l 的斜率.【详解】（1），在 中，122122,22,2AF AF a AF a F F c +=∴=-=12AF F △ ，222121212122cos F F AF AF AF AF F AF =+-∠ 即 ， ，()()22242222222cos 60c a a ︒=+--⨯⨯-12c e a ==解得： ，，2440,2a a a -+=∴=1,c b ==椭圆C 的方程为： ；22143x y +=（2）由题意设l 的方程为： ， ，()1y k x =-()0k ≠()()1122,,,P x y Q x y 联立方程 ，得 ，()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩222212104333k k k x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，()221212122222863,21343443k k k x x y y k x x k k k k -∴+==+=+-=+++ ， ，22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭22222134243834432034MN k k k k k k k k ++++==--+ ， ，即 ，MN PQ ⊥ 1MN k k ∴=-224243132k k k k ++-=-化简得： ， ，()()23210k k k --=12310,,22k k k ≠∴== 直线l 的方程为 或者 ；3230x y --=210x y --=综上，椭圆C 的方程为：，直线l 的方程为 或者 .22143x y +=3230x y --=210x y --=20．已知数列中，，，，数列的前n 项和为.{}n a 11a =22a =()*24N n n a a n +-=∈{}n a n S (1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前n 项和；215n n b S n =+{}n b n T (3)在（2）的条件下，设，求证：.124n n n n n b c b b ++=1482n n k n +=+<-【答案】(1)21,22,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数(2)()41nn +(3)证明见解析【分析】（1）根据条件可得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分奇偶求数列的通项公{}n a {}n a 式；（2）先分组求和求得，再利用裂项相消法求得；2n S n T （3）先求出以及错位相减法求得的前项和，再通过n c 232n n +<232n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 比较大小可证明结论.【详解】（1）由得数列的奇数项为公差为4的等差数列，偶数项也为公差()*24N n n a a n +-=∈{}n a 为4的等差数列，当为奇数时，n 1114212n n a n +⎛⎫=+-⨯=- ⎪⎝⎭当为偶数时，n 214222n n a n ⎛⎫=+-⨯=- ⎪⎝⎭21,22,n n n a n n -⎧∴=⎨-⎩为奇数为偶数（2）由（1）得()()21321242n n n S a a a a a a -=+++++++ ()()211424422n n n n n n n n--=+⨯++⨯=-()211111414144n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭()11141111114223n n T n n n ⎛⎫∴-=-+-++= ⎪+⎝⎭+ （3）由（2）()124344n n n nn n n n b c b b +++==，3223222n n n n n +++<==⨯令，231579212322222n n n n M -++=+++++ 则，234115792123222222n n n n M +++=+++++ 两式相减得：2341111111522222332372722212222222222212n n n n n n n n M +++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=+++++-=+⨯-=-- 2772n n M +∴=-，2772n n k n =+∴<-又，114273108710222n n n n n n +++++⎛⎫---=+> ⎪⎝⎭，14278722n n n n +++->-。
天津市第一中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．若△ABC ∽△ADE ，若AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，则EC 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，⊙O 的半径OC 垂直于弦AB ，P 是优弧AB 上的一点（不与点A B 、重合），若55BOC ∠=︒，则APC ∠等于（ ）A ．27.5B ．25C ．22.5D ．203．如图，在AOC ∆中，31OA cm OC cm ＝，＝，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90后得到BOD ∆，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）2cm ．A ．2πB ．2πC ．178πD ．198π4．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥－1D ．m ≤－15．已点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）都在反比例函数y ＝1k x -的图象上，并且y 1＜y 2，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＞0 B ．k ＞1 C ．k ＜1 D ．k ≠16．下面是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数1k y x=和2y kx k =-在同一坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．8．如图，E ，F 分别为矩形ABCD 的边AD ，BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB ＝1，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．3D ．29．已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC 的高为 1.6 m ，并测得BC =2.2 m ，CA =0.8 m, 那么树DB 的高度是（ ）A ．6 mB ．5.6 mC ．5.4 mD ．4.4 m10．点A(1，y 1)、B(3，y 2)是反比例函数y ＝9x 图象上的两点，则y 1、y 2的大小关系是( ) A ．y 1＞y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1＜y 2 D ．不能确定11．下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是( )A ．y=4xB ．3y x =C ．1y x =-D ．21y x =-12．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r ＝1，扇形的半径为R ，扇形的圆心角等于90°，则R 的值是（ ）A ．R ＝2B ．R ＝3C ．R ＝4D ．R ＝5二、填空题（每题4分，共24分）13．方程x 2＝1的解是_____．14．如图，在矩形 ABCD 中，如果 AB ＝3，AD ＝4，EF 是对角线 BD 的垂直平分线，分别交 AD ，BC 于 点 EF ，则 ED 的长为____________________________．15．某校七年级共380名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中20名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有______人.16．如图，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 与CB 的延长线上的点E 重合连接CD ，则∠BDC 的度数为_____度．17．一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，估计口袋中白球有__________个．18．把函数y ＝2x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形统计图(如图1)和不完整的扇形图(如图2)，其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分．(1)求条形统计图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；(2)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没有改变，则最多补查了____人．20．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=60°，BE=2，求△ABC的周长．21．（8分）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．22．（10分）如图，在等边△ABC 中，把△ABC 沿直线MN 翻折，点A 落在线段BC 上的D 点位置（D 不与B 、C 重合），设∠AMN ＝α．（1）用含α的代数式表示∠MDB 和∠NDC ，并确定的α取值范围；（2）若α＝45°，求BD ：DC 的值；（3）求证：AM •CN ＝AN •BD ．23．（10分）如图，在ABC ∆中，90,10,6ACB AB AC ︒∠===，正方形DEFG 的顶点D G 、分别在边AC 、BC 上，EF 在边AB 上.（1）点C 到AB 的距离为_________.（2）求DE 的长.24．（10分）（1）解方程：2340x x --=（2）计算：222sin 60cos 602tan 45︒+︒-︒25．（12分）如图，O 的半径为3AB 是O 的直径，F 是O 上一点，连接FO 、FB .C 为劣弧BF 的中点，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，CD 交FB 于点E ，//CG FB ，交AB 的延长线于点G .（1）求证：CG是O的切线；（2）连接BC，若//BC OF，如图2.①求CE的长；②图中阴影部分的面积等于_________.26．如图所示是某路灯灯架示意图，其中点A表示电灯，AB和BC为灯架，l表示地面，已知AB＝2m，BC＝5.7m，∠ABC＝110°，BC⊥l于点C，求电灯A与地面l的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】利用相似三角形的性质得，对应边的比相等，求出AE的长，EC=AC-AE，即可计算DE的长；【详解】∵△ABC∽△ADE，∴AB AC AD AE，∵AB＝9，AC＝6，AD＝3，∴AE=2，即EC=AC-AE=6-2=4；故选C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.2、A【分析】根据题意，⊙O 的半径 O C 垂直于弦 AB ，可应用垂径定理解题， O C 平分弦，平分弦所对的弧、平分弦所对的圆心角，故 55AOC BOC ∠=∠=︒,又根据同一个圆中，同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半，可解得27.5APC ∠=︒【详解】 ⊙O 的半径 O C 垂直于弦AB ， AC BC ∴=55BOC ∠=︒127.52APC BOC ∴∠=∠=︒ 故选A【点睛】本题考查垂径定理、圆周角与圆心角的关系，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题关键.3、B【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积，利用扇形的面积公式即可求解．【详解】解：AOC BOD ∆∆≌，∴阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积229039012360360πππ⋅⨯⋅⨯=-= 故选B ．【点睛】考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积是解题关键．4、C【解析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小．【详解】解：∵函数的对称轴为x=222b m m a -=-=-，又∵二次函数开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵x＞1时，y随x的增大而增大，∴-m≤1，即m≥-1故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5、B【分析】利用反比例函数的性质即可得出答案．【详解】∵点A（﹣1，y1），B（1．y1）都在反比例函数y＝1kx的图象上，并且y1＜y1，∴k﹣1＞0，∴k＞1，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象上的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6、D【分析】根据几何体的三视图的定义以及性质进行判断即可．【详解】根据几何体的左视图的定义以及性质得，这个几何体的左视图为故答案为：D．【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握几何体三视图的性质是解题的关键．7、D【解析】试题分析：当k＜0时，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限；当k＞0时，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限．故选D．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象．8、D【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，∴AE ABAB AD=，即121AD＝1AD，解得，AD，∴矩形ABCD的面积＝AB•AD，故选：D．【点睛】此题主要考查相似多边形，解题的关键是根据相似的定义列出比例式进行求解.9、A【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．【详解】解：∵EC∥AB，BD⊥AB，∴EC∥BD，∠ACE=∠ABD=90°，在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A=∠A，∠ACE=∠ABD=90°，∴Rt△ACE∽Rt△ABD，∴EC CABD CA BC=+，即1.60.80.8 2.2BD=+，解得BD=6m．故选A．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．10、A【解析】∵反比例函数y＝9x中的9>0，∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，又∵A(1,y₁)、B(3,y₂)都位于第一象限，且1<3，∴y₁>y₂，故选A.11、C【解析】根据反比例函数的定义判断即可．【详解】A、y＝4x是正比例函数；B 、y x＝3，可以化为y ＝3x ，是正比例函数； C 、y ＝﹣1x 是反比例函数； D 、y ＝x 2﹣1是二次函数；故选C ．【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，形如y ＝k x （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数． 12、C【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．【详解】解：扇形的弧长是：90180R π＝2R π， 圆的半径r ＝1，则底面圆的周长是2π， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：2R π＝2π， ∴2R ＝2， 即：R ＝4，故选C ．【点睛】本题主要考查圆锥底面周长与展开扇形弧长关系,解决本题的关键是要熟练掌握圆锥底面周长与展开扇形之间关系.二、填空题（每题4分，共24分）13、±1 【解析】方程利用平方根定义开方求出解即可.【详解】∵x 2＝1∴x ＝±1． 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法.14、258【分析】连接EB ，构造直角三角形，设AE 为x ，则4DE BE x ==-，利用勾股定理得到有关x 的一元一次方程，即可求出ED 的长．【详解】连接EB ，∵EF 垂直平分BD ，∴ED=EB ，设AE x =，则4ED EB x ==-，在Rt △AEB 中，222AE AB BE +=，即：()22234x x +=-， 解得：78x =． ∴725488ED EB ==-=， 故答案为：258． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，线段的垂直平分线的性质和勾股定理，正确根据勾股定理列出方程是解题的关键． 15、152.【解析】随机抽取的50名学生的成绩是一个样本，可以用这个样本的优秀率去估计总体的优秀率，从而求得该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数．【详解】随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有20名学生成绩达到优秀，∴样本优秀率为：20÷50=40%， 又∵某校七年级共380名学生参加数学测试，∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：380×40%=152人. 故答案为：152.【点睛】本题考查了用样本估计总体，解题的关键是求样本的优秀率.16、1【分析】根据△EBD 由△ABC 旋转而成，得到△ABC ≌△EBD ，则BC ＝BD ，∠EBD ＝∠ABC ＝30°，则有∠BDC ＝∠BCD ，∠DBC ＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出15BDC ∠=︒.【详解】解：∵△EBD 由△ABC 旋转而成，∴△ABC ≌△EBD ，∴BC ＝BD ，∠EBD ＝∠ABC ＝30°，∴∠BDC ＝∠BCD ，∠DBC ＝180﹣30°＝10°， ∴()1180150152BDC BCD ∠=∠=︒-︒=︒； 故答案为1．【点睛】此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．17、15【分析】由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．【详解】解：设白球个数为：x 个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%， ∴5154x =+， 解得x=15，检验：x=15是原方程的根，∴白球的个数为15个，故答案为：15.【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出和分式方程的解法解题关键．18、y ＝1（x ﹣3）1﹣1．【分析】利用二次函数平移规律即可求出结论．【详解】解：由函数y ＝1x 1的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新函数的图象，得 新函数的表达式是y ＝1（x ﹣3）1﹣1，故答案为y ＝1（x ﹣3）1﹣1．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键．三、解答题（共78分）19、 (1)被遮盖的数是9，中位数为5；(2)1.【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；（2）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．【详解】解：（1）抽查的学生总数为6÷25%=24（人），读书为5册的学生数为24-5-6-4=9（人），所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；（2）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了1人．故答案为1．【点睛】本题考查了统计图和中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．20、（1）证明见解析；（2）1．【解析】试题分析：（1）根据DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AB=AC ，求证∠B=∠C ．再利用D 是BC 的中点，求证△BED ≌△CFD即可得出结论．（2）根据AB=AC ，∠A=60°，得出△ABC 为等边三角形．然后求出∠BDE=30°，再根据题目中给出的已知条件即可算出△ABC 的周长．试题解析：（1）∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC ，∴∠B=∠C （等边对等角）．∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ．在△BED 和△CFD 中，{BED CFDB CBD CD ∠=∠∠=∠=，∴△BED ≌△CFD （AAS ）．∴DE=DF（2）∵AB=AC ，∠A=60°，∴△ABC 为等边三角形．∴∠B=60°，∵∠BED=90°，∴∠BDE=30°，∴BE=12BD ，∵BE=2，∴BD=4，∴BC=2BD=8，∴△ABC的周长为1．考点：全等三角形的判定与性质．21、(1)抛物线的解析式为：y=﹣x1+x+1(1)存在，P1（，2），P1（，），P3（，﹣）(3)当点E运动到（1，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（1）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P1，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F 的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x1+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，1）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x1+x+1；（1）∵y=﹣x1+x+1，∴y=﹣（x﹣）1+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，1），∴OC=1．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP1=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=1，∴DP1=2．∴P1（，2），P1（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x1+x+1∴x1=﹣1，x1=2，∴B（2，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+1．如图1，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+1），F（a，﹣a1+a+1），∴EF=﹣a1+a+1﹣（﹣a+1）=﹣a1+1a（0≤x≤2）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a1+1a）+（2﹣a）（﹣a1+1a），=﹣a1+2a+（0≤x≤2）．=﹣（a﹣1）1+∴a=1时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（1，1）．考点：1、勾股定理；1、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；2、二次函数的最值22、（1）∠MDB＝＝2α﹣60°，∠NDC＝180°﹣2α，（30°＜α＜90°）；（23；（3）见解析【分析】（1）利用翻折不变性，三角形内角和定理求解即可解决问题．（2）设BM＝x．解直角三角形用x表示BD，CD即可解决问题．（3）证明△BDM∽△CND，推出DMND＝BDCN，推出DM•CN＝DN•BD可得结论．【详解】（1）由翻折的性质可知∠AMN＝∠DMN＝α，∵∠AMB＝∠B+∠MDB，∠B＝60°，∴∠MDB＝2α﹣60°，∠NDC＝180°﹣∠MDB﹣∠MDN＝180°﹣（2α﹣60°）﹣60°＝180°﹣2α，（30°＜α＜90°）（2）设BM＝x．∵α＝45°，∴∠AMD＝90°，∴∠BMD＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BDM＝30°，∴BD＝2x，DN＝BD•cos30°3，∴MA＝MD3，∴BC＝AB＝x3，∴CD＝BC﹣BD3﹣x，∴BD ：CD ＝2x ：（3x ﹣x ）＝3+1． （3）∵∠BDN ＝∠BDM +∠MDN ＝∠C +∠DNC ，∠MDN ＝∠A ＝∠C ＝60°，∴∠BDM ＝∠DNC ， ∵∠B ＝∠C ，∴△BDM ∽△CND ，∴DM ND ＝BD CN， ∴DM •CN ＝DN •BD ，∵DM ＝AM ，ND ＝AN ，∴AM •CN ＝AN •BD ．【点睛】本题考查了翻折变换、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.23、（1）245；（2）12037【分析】（1）根据勾股定理即可得出BC=8，再运用等面积法，即可得出答案.（2）根据正方形的性质，即可得出//DG AB ，再根据相似三角形的判定可得出CDG CAB ∆∆，进而得出::DG AB CN CM =，设x 得出方程进行求解即可.【详解】解：（1）∵90,10,6ACB AB AC ︒∠===∴BC=8∴ABC S ∆ =1682⨯⨯ =24 ∴110h=242⨯⨯ ∴点C 到AB 的距离是245. （2）如图，过点C 作CM AB ⊥于点M ，交DG 于点N ，∵四边形DEFG 是正方形，∴//DG AB ，∴,MN DE CN DG =⊥，∴CDG CAB ∆∆，∴::DG AB CN CM =.设DE DG x ==，则2424:10:55x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解得12037x =∴DE 的长为12037. 【点睛】本题主要考察了勾股定理和相似三角形，正确找出三角形的线段关系和灵活运用等面积法是解题的关键.24、（1）121,4x x =-=;（2）-1【分析】（1）方程因式分解后即可求出解；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．【详解】（1）()()2x 3x 4x 4x 10--=-+=， ()()x 40x 10-=+=或，x 4x 1==-所以，解得或；（2）22231sin 60cos 602tan 452144︒+︒-︒=+-⨯=1-2=-1 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．25、（1）见解析；（2）①2CE =，②2S π=阴.【分析】（1）连接OC ，利用等腰三角形三线合一的性质证得OC ⊥BF ，再根据CG ∥FB 即可证得结论； （2）①根据已知条件易证得OBC 是等边三角形，利用三角函数可求得CD 的长，根据三角形重心的性质即可求得答案；②易证得OBC FBC S S =，利用扇形的面积公式即可求得答案.【详解】（1）连接CO . C 是BF 的中点，BOC FOC ∴∠=∠.又OF OB =，OC BF ∴⊥.//CG FB ，OC CG ∴⊥.CG ∴是O 的切线.（2）①//OF CB ，∴FOC OCB ∠=∠.OC OB =，BOC FOC ∠=∠60AOF COF BOC ∴∠=∠=∠=︒.∴OBC 是等边三角形.CD OB ⊥，OC BF ⊥，又O 的半径为23在Rt OCD 中，3sin sin 60233CD OC COD OC ∠==︒=⨯=, ∵BF ⊥OC ，CD ⊥OB ，BF 与CD 相交于E ，点E 是等边三角形OBC 的垂心，也是重心和内心，∴223CE CD ==. ②∵AF ∥BC ，∴OBC FBC S S =∴(260232360OBC S S ππ⨯⨯===阴扇形.【点睛】要题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数的知识，扇形的面积公式，根据三角形重心的性质求得CE的长是解题的关键.26、电灯A距离地面l的高度为6.4米．【分析】过A作AD⊥l，过B作BE⊥AD于E，则DE＝BC＝5.7m，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过A作AD⊥l，过B作BE⊥AD于E，则DE＝BC＝5.7m，∵∠ABC＝110°，∴∠ABE＝20°，∴∠A＝70°，∴sin20°＝AEAB＝AE2＝0.34，解得：AE＝0.68，∴AD＝AE+DE≈6.4；答：电灯A距离地面l的高度为6.4米．【点睛】考核知识点：解直角三角形应用.构造直角三角形，解直角三角形是关键.。
天津市第一中学滨海学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题
天津市第一中学滨海学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题一、单选题1．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（ ）A ．i -B ．1-C ．3i -D ．3-2．采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（ ）A ．15B ．12 C ．23 D ．253．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m 人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m ＝（ ）A ．50B ．60C ．64D ．754．已知直线m 和两个不同的平面,αβ，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若,m αββ⊥⊂，则m α⊥B ．若//,//m αβα，则//m βC ．若//,//m m αβ，则//αβD ．若//,m αβα⊥，则m β⊥5．为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2022～2023学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．直方图中x 的值为0.035B ．估计全校学生的平均成绩不低于80分C ．估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为60分D ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)60,70的学生数为106．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（ ）A ．14B ．38 C ．12 D ．347．如图，在直三棱柱111ABD A B D -中，1,45AB AD AA ABD ==∠=︒，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．已知向量()()1,2,3,1a b ==-r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影向量是（ ）A ．10b -rB ．10b r C ． D 9．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）A ．“至少有1个红球”与“都是黑球”B ．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C ．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D ．“都是红球”与“都是黑球”10．若数据1x m +、2x m +、L 、n x m +的平均数是5，方差是4，数据131x +、231x +、L 、31n x +的平均数是10，标准差是s ，则下列结论正确的是（ ）A ．2m =，6s =B ．2m =，36s =C ．4m =，6s =D ．4m =，36s =11．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法中不正确的是（ ）A ．2,30a A ==︒，则ABC V 的外接圆半径是2B ．在锐角ABC V 中，一定有sin cos A B >C ．若cos cos a A b B =，则ABC V 一定是等腰直角三角形D ．若sin cos sin B A C >，则ABC V 一定是钝角三角形12．已知正四棱锥P ABCD -的侧棱长为2，且二面角P AB C --外接球表面积为（ ）A ．16π3B ．6πC ．8πD ．28π3二、填空题13．在ABC V 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ππ1,,46a A B ===，则b =. 14．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为,a b ，则事件“1a b -≤”的概率为.15．某射击运动员在一次射击测试中，射靶10次，每次命中的环数如下：7,5,9,8,9,6,7,10,4,7，记这组数的众数为M ，第75百分位数为N ，则M N +=.16．在梯形ABCD 中，//,2,AB DC DC AB E =为AD 中点，若CE AD AB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=..171，则此三棱锥的外接球的体积为；此三棱锥的内切球的表面积为.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为1，底面ABC 为直角三角形，1AB AC ==，90BAC ∠=︒．则二面角1B AC B --的大小为；点A 到平面11BCC B 的距离等于．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1B C 上异于1B ，C 的动点，则下列四个命题：①平面11A ACC ⊥平面1A BD ；②二面角1A BD A --③设CM x =，则三棱锥1A ADM -的体积随着x 增大先减少后增大；④连接1D M ，总有1//D M 平面1A BD ．其中正确的命题是．20．已知非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且6A B A C A C -=+=u u u r u u u r 点D 是ABC V 的边AB 上的动点，则DB DC ⋅u u u r u u u r 的最小值为.三、解答题21．已知向量(,1)a m =-r ，(1,2)b =r .(1)若()+2a b b ⊥r r r ，求2a b +r r ； (2)若向量(2,1)c =-r ，a c ∥r r ，求a r 与2a b -r r 夹角的余弦值.22．经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分段，并得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值，以及此次问卷调查分数的中位数；(2)若分数在区间[60,70)的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．23．如图，四边形ABCD 是矩形，2AD =，1DC =，AB ⊥平面BCE ，BE EC ⊥，1EC =．点F 为线段BE 的中点．(1)求证：CE ⊥平面ABE ；(2)求证：//DE 平面ACF ；(3)求AC 和平面ABE 所成角的正弦值．24．如图，在ABC V 中，2AB =，3cos cos cos a B b C c B -=，点D 在线段BC 上．(1)若34ADC π∠=，求AD 的长；(2)若2BD DC =，ACD V sin sin BAD CAD ∠∠的值．。
天津市部分区2023-2024学年高二下学期期末练习数学试题
A．
f
(x)
=
ex
+ e-x x
B．
f
(x)
=
ex
- e-x x
C．
f
(
x)
=
lnx x
D．
f
(x)
=
ln x x
4．已知离散型随机变量 X 的方差为 2，则 D (2X -1) = （ ）
A．2
B．3
C．7
5．
æ çè
9x
-
3
1 x
ö6 ÷ø
的展开式中的常数项为（
）
A．20
B．15
C． -20
D．8 D． -15
试卷第11 页，共33 页
6．下列各对函数中，互为反函数的是（ ）
A． y = lnx, y = ex
B． y = log2 x, y = log0.5x
C． y = 2log2 x, y = 2x
D．
y
=
æ çè
1 2
öx ÷ø
,
y
=
2x
7．若 a = ln1.1, b = 20.1, c = log25 ，则 a,b, c 的大小关系为（ ）
药物 A
疾病 B
合计
未患病 患病
未服用 服用 8
7 19
试卷第31 页，共33 页
合计 (2)依据a = 0.05 的独立性检验，分析药物 A 对预防疾病 B 的有效性.
参考公式：
c
2
=
(a
+
n(ad - bc)2
b)(c + d)(a +c)(b
+
d
)
，其中
天津市武清区杨村第一中学2022-2023学年高二下学期第三次学业质量检测数学试题
天津市武清区杨村第一中学2022-2023学年高二下学期第三次学业质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．(),2-¥B ．(),ln 2-¥C ．()ln 2,+¥D ．()2,+¥三、双空题13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是__________，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A ， “第二次取到红球”为事件B ，则()|P B A =__________.第二类：3.12开头的，剩余5个数字全排列有55A 120=种.根据分类加法计数原理可知，共120120240+=种.故选：A ．9．B【分析】根据题意分析可得()3e 8x f x >，构建()()3=e x g x f x ，求导，结合函数单调性解不等式.【详解】∵()38e x f x ->，且3e 0x >，可得()3e 8x f x >，故原不等式等价于()3e 8x f x >，构建()()3=e x g x f x ，则()()()()()333=e 3e 3e x x x g x f x f x f x f x ¢¢+=+éùëû¢，∵()()330,e 0x f x f x ¢+<>，则()()()330e x f x f x g x ¢=+<éùëû¢恒成立，∴()g x 在定义域内单调递减，且()()33ln 2ln 2=ln 2e 28g f ==，则对于()3e 8x f x >，解得ln 2x <，故不等式()38e x f x ->的解集为(),ln 2-¥.故选：B.10．(]1,2-.【分析】由题意得到关于x 的不等式组，解不等式组可得函数的定义域．【详解】由题意得21040x x +>ìí-³î，解得12x -<£，所以函数的定义域为(]1,2-．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，可根据解析式的特征得到关于自变量x 的。
天津市第一中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题
天津市第一中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数3i 12i 1z -=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．0 B C D ．2 2．下列四式不能化简为AD u u u r 的是（ ）A ．MB AD BM +-u u u r u u u r u u u u r B ．()()AD BM BC CM +-+u u u r u u u u r u u u r u u u u r C ．()AB CD BC ++u u u r u u u r u u u r D ．OC OA CD -+u u u r u u u r u u u r3．已知向量()()2,2,,3a b x ==-r r ，则“3x <”是“a r 与b r 的夹角为钝角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．圆锥SO 中，S 为圆锥顶点，O 为底面圆的圆心，底面圆O 半径为3，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点,A B ，则SAB △面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．D ．65．已知向量,,a b c r r r 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()c a b ⋅-=r r r （ ）A ．1-B ．1C ．7-D ．76．若复数2i z =+，且z 和2z 在复平面内所对应的点分别为P ，Q ，O 为坐标原点，则cos POQ ∠=（ ）A ．B ．CD 7．柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为4π3，则此正八面体的表面积为（ ）AB C ．D ．8．已知OA =u u u r ，OB u u u r 且OA u u u r ，OB u u u r 的夹角为5π6，则AB u u u r 在OB u u u r 上的投影向量为（ ）A ．u u rB u u rC ．32OB -u u u rD ．32OB u u u r 9．如图，四边形ABCD 是直角梯形，其中AB ＝1，CD ＝2，AD ⊥DC ，O 是AD 的中点，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点P ．以AD 为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）①圆台的母线长为3；②③将圆台的母线延长交DA 的延长线于点H ，则得到的圆锥的高为④点P 的轨迹的长度是3π．A ．1B ．2C ．3D ．410．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的中心O ，圆O 的半径为2，点P 在圆O 上运动，则PE OF ⋅u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．-8B ．-4C ．0D ．4二、填空题11．若复数z 满足()12i 1i z ⋅-=+，则z =．12．设向量,a b r r 的夹角的余弦值为13-，且|2||3|6a b ==r r ，则|2|a b +=r r ． 13．在ABC V 中，5AB =，π4C =，且tan 3A =，则AB 边上的高h =. 14．我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC 和BOD 均是以2为半径的半圆，平面AOC 和平面BOD 均垂直于平面ABCD ，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．类比利用祖暅原理求半球的体积的计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱和一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为．15．已知平行四边形ABCD 的面积为23πBAD ∠=，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ=，AF u u u r 的最小值为. 16．ABC V 中，2sin cos 22B AC -=，则B ∠的范围是．三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠=o ．(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -的值．18．已知tan 2α=，tan()3αβ-=，,(0,π)αβ∈．(1)求cos 2α；(2)求2αβ-．19．已知ABC V 中，A B C ∠∠∠、、所对的边分别是a b c 、、，AB 边上的中线2CO =，设mu r=（2sin C ，，n r =（cos 2C ，22cos 1C -），且0m n ⋅=u r r ，若动点P 满足2sin AP AOθ=⋅u u u r u u u r 2cos AC θ+⋅u u u r (R)θ∈．(1)求角C 的集合；(2)求()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值；(3)若c 且t a n 1C >，S 为ABC V 的面积，求cos S A B 的最大值及此时,A B 的值．20．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足cos sin 0a C C b c --=． (1)求角A ；(2)若a =ABC V 周长的最大值；(3)求2bc ab ac a --的取值范围．。
2023-2024学年天津市第一中学高二上学期期中数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市第一中学高二上学期期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为( )A. B.C. D.2.设点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )A.或 B. 或 C. D.3.“”是“直线和直线互相垂直”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知圆，若直线与圆C相交于A，B两点，则的最小值为( )A. B. C. 3 D.5.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，，分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点的一条弦，且的周长为若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为( )A. 米B. 米C. 米D. 米6.已知双曲线C的焦点与椭圆E：的上、下顶点相同，且经过E的焦点，则C的方程为( )A. B. C. D.7.圆关于直线对称，则的最小值是.( )A. B. C. 4 D.8.双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且B为的中点，若的周长为6a，则双曲线C的渐近线方程为( )A. B. C. D.9.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为( )A. B. C. D. 410.椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为1的直线l过左焦点且交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是__________.12.若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为__________.13.直线l过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线l的方程为__________14.若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是__________.15.已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点作的平分线的垂线，垂足为H，则__________.16.已知点是函数的图象上的动点，则的最小值为__________.三、解答题：本题共4小题，共46分。
2019-2020学年天津市第一中学高二上学期期中考试数学试题 pdf版
天津一中 2019-2020-1高二年级数学学科期中模块质量调查试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90 分钟。
第I 卷 第1页，第II 卷 第2页。
考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。
一、选择题：(每小题3分,共30分）1．已知等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为A ．13B ．12C ．11D ．10 2．已知等比数列{a n }中,a 2+a 3=1,a 4+a 5=2,则a 6+a 7等于A ．2B ．C ．4D ．3．已知数列{a n }满足a n+1=ka n -1(n ∈N *，k ∈R *)，若数列{a n -1}是等比数列，则k 值等于 A ．1 B ．-1C ．-2D ．24．已知数列{a n }满足a 1=-1，a n+1=|a n -1|+2a n +1，其前n 项和S n ，则下列说法正确的个数是①数列{a n }是等差数列; ②a n =3n-2;③S n =1332n --.A ．0B ．1C ．2D ．3 5．已知a=20190.2，b=0.22019，c=log 20190.2，则 A ．c>a>bB ．b>a>cC ．a>b>cD ．a>c>b 6．若a<b<0,则下列不等式一定成立的是 A ．11a b b >- B ．a 2<abC ．+1+1b b aa <D ．a n >b n7．若0<2x<3,则(3-2x)x 的最大值为 A ．916B ．94C ．2D ．988．已知x>0,y>0，且x+y+1x +1y=5，则x+y 的最大值是 A ．3B ．4C ．6D ．89．若数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=k(-1)n+2018，b n=2+()20191n n+-，且a n <b n ，对任意n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是 A ．[-1,12） B ．[-1,1) C ．[-2,1) D ．[-2,32） 10．已知函数f(x)=24x ，若存在实数t ，使得任给x ∈[1,m]，不等式f(x+t)≤x 恒成立，则m 的最大值为A ．3B ．6C ．8D ．9二、填空题：(每小题4分,共24分)11．已知等差数列{a n }中，a 15=33，a 25=66，则a 35=__________.12．已知等比数列{a n }的公比为2，S 99=77，则a 3+a 6+a 9+⋯+a 99=__________.13．已知数列{a n }满足a 1=15，且3a n+1=3a n -2，若a k a k+1<0，则正整数k=__________.14．若0<a<1，则不等式x 2-(1a a+)x+1<0的解集是__________.15．若1<a<3，-4<b<2，则a-|b|的取值范围是__________.16x>0，y>0恒成立，则实数a 的取值范围是______. 三、解答题：(共4题,46分) 17．已知函数f(x)=-x 2+a(6-a)x-4 （1）解关于a 的不等式f(1)>0;（2）若不等式f(x)>b 的解集为(-1,3)，求实数a,b 的值;（3）对任给的x ∈[1,3]，不等式f(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围.18．已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=1n n +a n +12n n + n ∈N *, （1）设b n =na n，求数列{a n }和{b n }的通项公式; （2）求数列{a n }的前n 项和S n .19．已知等差数列{a n }的公差d>0，首项a 1=1，且2a 1、a 2+1、a 3+3成等比数列. （1）求数列{a n }的通项公式; （2）求数列{11n n a a +}的前n 项和P n ; （3）比较P n 与22nn的大小.20．已知函数f(x)=2x ax b+(a 、b 为常数),方程f(x)-x+12=0有两个实根3和4,（1）求f(x)的解析式;（2）设k>1,解关于x 的不等式f(x)< (1)2k x kx+--;（3）已知函数g(x)是偶函数，且g(x)在[0,+∞)上单调递增，若不等式g(mx+1)≤g(x-2)在任给x ∈[12,1]上恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一．选择题 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．C 7．D8．B9．D10．D二．填空题 11．99 12．44 13．23 14．（a ，1a） 15．（-3，3） 16．+∞）三．解答题 17．解：（1）由f(1)>0即，a 2-6a+5<0. 1<a<5 解集为a ∈（1，5）（2）由f(x)>b 即，x 2-a(6-a)x+b+4<0可知-1与3是方程x 2-a(6-a)x+b+4=0两实根2(6)262034377a a a a ab b b ⎧-=⎧-+=⎧=⎪⇒⇒⎨⎨⎨+=-=-=-⎪⎩⎩⎩3377a ab b ⎧⎧=+=⎪⎪⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩故或（3）对∀x ∈[1，3]，f(x)≤0恒成立等价于. -x 2+a(6-a)x-4≤0即24(6)x a a x +-≤，满足24(6)min x a a x ⎧⎫+-≤⎨⎬⎩⎭设24().x g x x +=x ∈[1，3]，44,x x =+≥=当且仅当[1,3]4x x x ∈⎧⎪⎨=⎪⎩即x=2时“=”成立 故a(6-a)≤4，a 2-6a+4≥0 a ≤a ≥（1）由1112n n n n n a a n +++=+，可知1=12n n n a a n n ++ 即112n n n b b +-=，当n ≥2，1112n n n b b ---=111a b == 12212n n n b b ----=……2112b b -= 累加得 121111222n n b b --=+++112111()1111212(),11222212n n n n b b ---=++++==-=-∴112,*2n n b n N -=-∈122n n n n a nb n -==- （2）设21231222n n n T -=++++ 21112122222n n nn n T --=++++21111122222n n nn n T -=++++-∴1242n n n T -+=-∴12(1)42n n n S n n -+=+-+（1）由2213(1)2(3)a a a +=+即2(2)2(42)d d d ⎧+=+⎨>⎩∴d=2 ∴a n =2n-1 （2）111111((21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+11111111(1233557212111=(1)22121n P n n n n n =-+-+-++--+-+=+ ∴21n n P n =+（3）由111(12212n P n =-<+设22()n f n n = 则12222222[(2)1](1)()(1)(1)n n n n n f n f n n n n n +--+-=-=++当n ≥3时 f(n+1)>f(n) f(n)单调递增8()(3)91()2n n f n f P f n P ⎧≥=⎪⎪⎨⎪<∴>⎪⎩ 当n=1时 11(1)23f P =>=当n=3时 22(2)15f P =>= 综上22n n P n<（1）由f(x)-x+12=0即 (1-a)x 2+(12a-b)x+12b=0两根之和4127571121121b aa b ab a b a-⎧=⎪-=-⎧⎪-⎨⎨+=⎩⎪=⎪-⎩ ∴12a b =-⎧⎨=⎩ 故2(),(2)2x f x x x =≠- （2）由2(1)22x k x kx x+-<-- 即(x-k)(x-1)(x-2)>0 1°当1<k<2时 解集x ∈（1，k ）∪（2，+∞） 2°当k=2时 解集x ∈（1，2）∪（2，+∞） 3°当k>2时 解集x ∈（1，2）∪（k ，+∞） （3）由g(x)是偶函数在[0，+∞]单增，则在（-∞，0）单减 由g(x+1)≤g(x-2)可知 |mx+1|≤|x-2|，1[,1]2x ∈1212mx x mx x +≤-⎧⎨+≥-⎩ 即13x m x x m x -⎧≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩ min max 1131x m x x x m x x ⎧-⎧⎫≤=⎨⎬⎪⎩⎭⎪⎨-⎧⎫⎪≥=⎨⎬⎪⎩⎭⎩时时，02m m ≤⎧⎨≥-⎩∴m ∈[-2，0]。
天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(无答案)
2024-2025-1高二年级数学学科第一次月考试卷满分：150分考试时间：100分钟一、单选题（每题5分，共60分）1的倾斜角为，则（ ）A ．1B ．2C ．D ．2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．B ．C ．D ．4．圆的圆心到直线的距离为（ ）AB ．2C ．3D ．5．若直线：的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知直线与直线，则（ ）A ．B ．或C ．或11D ．6或9．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）20my ++=π3m =1-2-2242x y x y a +-+=a (),5-∞-()5,-+∞(),0-∞()0,+∞()2,1-y ()()22211x y ++-=()()22214x y ++-=()()22211x y -++=()()22214x y -++=22260x y x y +-+=20x y -+=l y kx =2360x y +-=l π,6π2⎛⎫⎪⎝⎭π,6π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭π,3π2⎛⎫⎪⎝⎭π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1l 10x my --=2l ()2310m x y --+=1m =-12l l ∥S ABCD -()4,2,3AB =- ()4,1,0AD =- ()3,1,4AS =--S ABCD30x y λ++=2610x y ++=λ=9-92-1129-4-l ()2,3,1A ()0,1,1s =()4,3,2P lABCD10．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数，满足．则的最小值为（ ）A ．B ．C ．1D ．11．已知集合，，，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知、为圆：不同两点，且满足，则）AB ．C ．D ．二、填空题（每题5分，共40分）13．已知经过、两点的直线的方向向量为，则实数的值为_________．14．如图，直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为_________．15．已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点，则直线的一般式方程为_________．16．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为_________．D ABC △O ABC x y 32OD OC xOA yOB =--222x y +132343()3,2,1y A x y y x ⎧⎫-==∈⎨⎬-⎩⎭R (){},4160,,B x y x ay x y =+-=∈R A B ≠∅ a ()(),44,-∞-+∞ ()(),22,-∞-+∞ ()()(),22,44,-∞--+∞ ()()(),44,22,-∞--+∞ ()11,A x y ()22,B x y C 221x y +=12OA OB ⋅= 22()1,1A a a -+()3,2B a l ()1,2-a 111ABC A B C -90BCA ∠=︒M N 11A B 11A C 1BC CA CC ==BM AN l α4sin 5α=l ()3,5P l 1111ABCD A B C D -1160A AB A AD ∠=∠=︒13AA =1AC17．如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是_________．18．①坐标系中，经过三点，，的圆的方程为_________．②过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为_________．19．如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则点形成的轨迹长度为_________，点与距离的最小值是_________．20．已知圆：，点的坐标为，过点作直线交圆于、两点，则的取值范围为_________．三、解答题（前两题每题12分，后两题每题13分，共50分）21．已知点，直线：和：（1）过点作的垂线，求垂足的坐标；（2）过点作分别于，交于点、，若恰为线段的中点，求直线的方程．22．如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，()4,0A ()0,4B ()2,0P AB OB OB P ()0,0()1,1()2,0()5,0()2,1-3100x y --=SAB O M SO P AM MP ⊥P S P C ()2269x y -+=M ()2,4()4,0N l C A B MA MB +()1,2P -1l 430x y ++=2l 3550x y --=P 1l PH H P l 1l 2l A B P AB l P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD，点是棱的中点，点是棱上的一点，且．（1）证明：平面平面；（2）求平面和平面夹角的大小．23．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上．（1）求圆的标准方程；（2）若直线：与圆交于，两点，求弦的最短长度．24．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面，若存在求出的长，若不存在说明理由．PC =E PB F PC 2PF FC =AEC ⊥PBC AEF AFC M 340x +=(M x M l ()()()21174m x m y m m +++=+∈R M P Q PQ E ABCD -ABCD ⊥ABE AB DC ∥AB BC ⊥222AB BC CD ===AE BE ==M BE CM ∥ADE AD N MD BEN AN。
2020-2021学年天津市四校联考高二下学期期末数学试卷【含答案】
2020-2021学年天津市四校联考高二下学期期末数学试卷一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）.1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{0，1}，则A∪（∁U B）＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设x∈R，则“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为＝0.85x+2.1，则表中看不清的数据为（）x0 1 3 4y 3.3 4.8 5.7 A．2.2 B．1.8 C．1.6 D．1.44．函数f（x）＝e x﹣cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．高二1班在5道党史题（2道选择题和3道填空题）依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到填空题”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．6．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为（）A．60种B．50种C．30种D．24种7．曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（）A．B．C．D．8．如图，计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（）A．550m2B．538m2C．528m2D．504m29．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，则下列结论中正确的是（）①x1f（x2）＞x2f（x1）；②x2+f（x2）＞x1+f（x1）；③＞0；④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）．A．①②③B．②④C．①③④D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分．10．命题p：∀n∈N，n2＞2n，则￢p是．11．在（x+）9的展开式中，x3的系数是.（用数字作答）12．天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，发现这些数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），若P（X＜10）＝0.91，则P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝．13．有甲，乙，丙三个箱子，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球．现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率是．14．已知a＞b＞0，且ab＝，则的最小值是，此时b ＝．15．已知函数f（x）＝x3﹣ax+sin x，当a＝6时，函数f（x）的极值点的个数是；若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为，，，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为．（Ⅰ）设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（Ⅰ）若f（x）＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，求不等式bx2+cx+8≥0的解集；（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，解关于x的不等式f（x）＞0．18．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝2处取得极值，求函数f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．19．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球正面预选着陆区着陆，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选100名学生进行调查，调查样本中男生、女生各50名，如图是根据样本调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示“得分超过85分的部分”）．得分不超过85分的人得分超过85分的人数合计数女生男生合计（Ⅰ）请将上面列联表填写完整．（Ⅱ）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？（Ⅲ）现从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽选3人参加下一轮调查，记X为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．如表是K²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．k00.1 0.05 0.01 0.005 0.001P（K2≥k0） 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．（16分）已知函数f（x）＝x﹣e x+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣f（x）﹣1，x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，求整数k的最大值；（Ⅲ）求证：n∈N*时，＞ln（n+1）．参考答案一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{0，1}，则A∪（∁U B）＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，1} C．{﹣2，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1} 【分析】可求出集合A，然后进行补集和并集的运算即可．解：U＝{﹣2，﹣1，0，1}，A＝{1，﹣2}，B＝{0，1}，∴∁U B＝{﹣2，﹣1}，A∪（∁U B）＝{﹣2，﹣1，1}．故选：B．2．设x∈R，则“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求解一元二次不等式与一元一次不等式，然后结合充分必要条件的判定得答案．解：由x2﹣5x+6＞0，解得x＜2或x＞3，由x﹣4＞0，得x＞4，即由x2﹣5x+6＞0不能得到x﹣4＞0，反之，由x﹣4＞0，能够得到x2﹣5x+6＞0．即“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选：B．3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为＝0.85x+2.1，则表中看不清的数据为（）x0 1 3 4y 3.3 4.8 5.7 A．2.2 B．1.8 C．1.6 D．1.4【分析】先求出样本中心，再利用线性回归方程必过样本中心，求解即可．解：由题意可知，，，则样本中心在回归方程为＝0.85x+2.1上，所以，解得m＝1.4．故选：D．4．函数f（x）＝e x﹣cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析，结合函数的解析式分析可得当x＞0时，f（x）＝e x﹣cos x＞0，排除AC，又由f（﹣）＝＞0，排除B；即可得答案．解：根据题意，f（x）＝e x﹣cos x，当x＞0时，e x＞1而cos x≤1，则有f（x）＝e x﹣cos x＞0，即在y轴右侧，函数图象在x轴上方，排除A、C，又由f（﹣）＝﹣cos（﹣）＝﹣0＞0，排除B；故选：D．5．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．高二1班在5道党史题（2道选择题和3道填空题）依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到填空题”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【分析】利用条件概率的含义结合古典概型的概率公式求解即可．解：因为共有2道选择题和3道填空题，依次不放回地随机抽取2道题作答，第1次抽到选择题，故剩下1道选择题和3到填空题，所以P（B|A）＝．故选：A．6．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为（）A．60种B．50种C．30种D．24种【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为1﹣2﹣2的三组，②学生甲所在的组报名乒乓球兴趣小组，剩下2组报名参加其他2个组，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为1﹣2﹣2的三组，有＝15种分组方法，②学生甲所在的组报名乒乓球兴趣小组，剩下2组报名参加其他2个组，有A22＝2种安排方法，则有15×2＝30种报名方法，故选：C．7．曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（）A．B．C．D．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．解：由f（x）＝xe x，得f′（x）＝e x+xe x，∴f′（2）＝3e2，又f（2）＝2e2，∴曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l的方程为y﹣2e2＝3e2（x﹣2），即y＝3e2x﹣4e2．取x＝0，得y＝﹣4e2，取y＝0，得x＝，∴曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是S＝．故选：A．8．如图，计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（）A．550m2B．538m2C．528m2D．504m2【分析】根据已知条件，可得人行道面积S＝，再结合均值不等式，即可求解．解：设草坪南北方向长为x米，则草坪东西方向长为，人行道占地面积为S平方米，∵要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，∴S＝＝，当且仅当，即x＝40时，等号成立，S取得最小值504．故选：D．9．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，则下列结论中正确的是（）①x1f（x2）＞x2f（x1）；②x2+f（x2）＞x1+f（x1）；③＞0；④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）．A．①②③B．②④C．①③④D．①④【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．解：对于①，令g（x）＝＝lnx，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，由0＜x1＜x2，可得g（x1）＜g（x2），即＜，即x1f（x2）＞x2f（x1），故①正确；对于②，令h（x）＝f（x）+x＝xlnx+x，h′（x）＝lnx+2，由h′（x）＞0可得x＞e﹣2，由h′（x）＜0可得0＜x＜e﹣2，所以h（x）在（0，e﹣2）上单调递减，在（e﹣2，+∞）上单调递增，当0＜x1＜x2＜e﹣2时，h（x1）＞h（x2），即x1+f（x1）＞x2+f（x2），故②错误；对于③，令m（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，m′（x）＝lnx，在（0，1）上，m′（x）＜0，m（x）单调递减，在（1，+∞）上，m′（x）＞0，m（x）单调递增，故当0＜x1＜x2＜1时，m（x1）＞m（x2），即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，所以f（x2）﹣f （x1）＜x2﹣x1，所以＜0，故③错误；对于④，因为lnx＞﹣1时，f′（x）＝lnx+1＞0，所以f（x）单调递增，由①可知，x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1），故④正确．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分．10．命题p：∀n∈N，n2＞2n，则￢p是∃n∈N，n2≤2n．【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求解．解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，可知命题p：∀n∈N，n2＞2n的否定￢p是：∃n∈N，n2≤2n．故答案为：∃n∈N，n2≤2n．11．在（x+）9的展开式中，x3的系数是126.（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得常数项．解：∵（x+）9的展开式中，通项公式为T r+1＝•，令9﹣＝3，求得r＝4，可得x3的系数是＝84，故答案为：126．12．天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，发现这些数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），若P（X＜10）＝0.91，则P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝0.5．【分析】利用正态曲线的对称性求解即可．解：因为数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），故正态分布曲线的对称轴为X＝9，因为P（X＜10）＝0.91，所以P（X＞10）＝1﹣0.91＝0.09，P（8≤X≤9）＝P（9＜X＜10）＝0.5﹣P（X＞10）＝0.5﹣0.09，所以P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝0.5﹣0.09+0.09＝0.5．故答案为：0.5．13．有甲，乙，丙三个箱子，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球．现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率是．【分析】利用古典概型的概率公式以及分类计数原理进行分析求解即可．解：由题意，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球，现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率为＝．故答案为：．14．已知a＞b＞0，且ab＝，则的最小值是2，此时b＝．【分析】化简，利用基本不等式性质可求得答案．解：由a＞b＞0，且ab＝，＝＝（2a+b）+≥2＝2，当且仅当2a+b＝时，等号成立，故的最小值为2，由2a+b＝，ab＝，解得b＝，或b＝，由a＞b＞0，b＝舍去，故答案为：．15．已知函数f（x）＝x3﹣ax+sin x，当a＝6时，函数f（x）的极值点的个数是2；若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．【分析】函数f（x）的极值点的个数即f′（x）变号零点个数，令f′（x）＝0，即6﹣3x2＝cos x，数形结合可得方程有2个解，进而得到函数f（x）的极值点的个数是2；函数f（x）在R上是增函数，即f′（x）⩾0在R上恒成立，即不等式a⩽3x2+cos x在R上恒成立，构造函数g（x）＝3x2+cos x，求函数g（x）的最值可求实数a的取值范围．解：f（x）＝x3﹣ax+sin x，当a＝6时，f（x）＝x3﹣6x+sin x，则f′（x）＝3x2﹣6+cos x，令f′（x）＝0，即6﹣3x2＝cos x，作出函数y＝6﹣3x2和y＝cos x的图象，数形结合可知方程6﹣3x2＝cos x有两个解，即方程f′（x）＝0有两个解，所以f′（x）＝3x2﹣6+cos x有两个零点，且都为变号零点，所以函数f（x）的极值点个数是2．若函数f（x）在R上是增函数，则f′（x）⩾0在R上恒成立，即f′（x）＝3x2﹣a+cos x⩾0⇔a⩽3x2+cos x，令g（x）＝3x2+cos x，则g′（x）＝6x﹣sin x，因为g′′（x）＝6﹣cos x＞0，所以g′（x）在R上单调递增，又g′（0）＝0，所以当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（0）＝1，所以a⩽1．即a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：2；（﹣∞，1]．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为，，，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为．（Ⅰ）设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（I）根据已知条件，事件A可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．（II）由题意可得，X的值可能为0，1，2，3，分别计算出其所对应的概率，再结合期望公式，即可求解．解：（I）事件A可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，∴．（II）由题意可得，X的值可能为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，即X的分布列为∴＝．17．已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（Ⅰ）若f（x）＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，求不等式bx2+cx+8≥0的解集；（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，解关于x的不等式f（x）＞0．【分析】（Ⅰ）由题意，利用不等式对应方程的关系，结合根与系数的关系求得b、c的值，再代入不等式求出对应的解集；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，则p⊊q，可求得a的取值范围；（Ⅲ）把b＝a﹣1，c＝a﹣2代入不等式f（x）＞0中，求含有字母系数的不等式的解集即可．解：（Ⅰ）由题意知：﹣1，2是方程x2+bx+c＝0的两根，由根与系数的关系，得，解得b＝﹣1，c＝﹣2，代入不等式bx2+cx+8≥0，可得：﹣x2﹣2x+8≥0，化简得（x+1）2≤9，解得﹣4≤x≤2，故所求不等式的解集为：[﹣4，2]．（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，则p⊊q，可得，解得a≥3，故实数a的取值范围为：[3，+∞）．（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，则不等式f（x）＞0化为x2+（a﹣1）x+a﹣2＞0，Δ＝（a﹣1）2﹣4×（a﹣2）＝（a﹣3）2≥0，当a＝3时，不等式化为x2+2x+1＞0，则不等式的解集为{x|x≠﹣1}，当a≠3时，两根为﹣1，2﹣a，当a＞3时，﹣1＞2﹣a，则不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜2﹣a}，当a＜3时，2﹣a＞﹣1，则不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜﹣1}，综上得：a＝3时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}，a＞3时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜2﹣a}，a＜3时，则不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜﹣1}．18．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝2处取得极值，求函数f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+lnx，求导得f′（x）＝x﹣2+，由导数的几何意义可得k切＝f′（4），又f（4）＝2ln2，进而可得答案．（Ⅱ）求导得f′（x）＝，由于函数f（x）在x＝2处取得极值，则f′（2）＝0，解得a＝，分析f（x）的单调性，最值，即可得出答案．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+lnx，f′（x）＝x﹣2+，所以k切＝f′（4）＝，又f（4）＝×42﹣2×4+ln4＝2ln2，所以曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程：y﹣2ln2＝（x﹣4），即9x﹣4y﹣36+8ln2＝0．（Ⅱ）f′（x）＝ax﹣（a+1）+＝＝，因为函数f（x）在x＝2处取得极值，所以f′（2）＝0，解得a＝，所以f（x）＝x2﹣x+lnx，f′（x）＝x﹣+＝＝，在（1，2）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（2，3）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）极小值＝f（2）＝×22﹣×2+ln2＝﹣2+ln2，f（1）＝﹣，f（3）＝﹣+ln3，且f（1）＜f（3），所以f（x）的最大值为﹣+ln3，最小值为﹣2+ln2．19．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球正面预选着陆区着陆，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选100名学生进行调查，调查样本中男生、女生各50名，如图是根据样本调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示“得分超过85分的部分”）．得分不超过85分的人得分超过85分的人数合计数女生男生合计（Ⅰ）请将上面列联表填写完整．（Ⅱ）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？（Ⅲ）现从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽选3人参加下一轮调查，记X为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．如表是K²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．k00.1 0.05 0.01 0.005 0.001P（K2≥k0） 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．【分析】（I）由图中可得，女生中不超过85的人数：超过85分的人数＝7：3，男生中不超过85分的人数：超过85分的人数＝1：1，根据男女生人数均为50人，即可补充联表的数据．（II）根据已知条件，运用独立性检验公式，即可求解．（III）运用分层抽样的方法，可知抽取的8人中男生占5人，女生占3人，且X取值可能为0，1，2，3，分别求出其概率，再结合期望公式，即可求解．解：（I）根据图可得，女生中得分不超过85分的人数50×，女生得分超过85分的人数50﹣35＝15，男生中得分不超过85分的人数，男生得分超过85分的人数25，即可得表中的数据得分超过85分的人数合计得分不超过85分的人数女生35 15 50男生25 25 50合计60 40 100（II）∵K2＝＝＞3.841，又∵α＝0.05，∴该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联．（III）由（I）可得，得奖人数中男生：女生＝5：3，从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，则男生占5人，女生占3人，则X取值可能为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，随机变量X的分布列为X0 1 2 3PEX＝．20．（16分）已知函数f（x）＝x﹣e x+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣f（x）﹣1，x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，求整数k的最大值；（Ⅲ）求证：n∈N*时，＞ln（n+1）．【分析】（Ⅰ）求导得f′（x）＝1﹣e x，分析导数的正负，进而可得f（x）的单调区间．（Ⅱ）根据题意可得g（x）＝﹣x+e x﹣2，求导得g′（x）＝﹣1+e x，，则若x＞0时，（x ﹣k）g′（x）+x+1＞0，转化为当x＞0时，k＜+x，令h（x）＝+x，只需k ＜h（x）min，即可得出答案．（Ⅲ）设p（x）＝x﹣lnx﹣1，求导分析单调性，最值，得p（x）≥p（0）＝0，即x﹣1≥lnx，令x＝，得＞ln，进而可得答案．解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣e x，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）g（x）＝﹣f（x）﹣1＝﹣x+e x﹣2，g′（x）＝﹣1+e x，若x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，则x＞0时，（x﹣k）（﹣1+e x）+x+1＞0，当x＞0时，k＜+x，令h（x）＝+x，h′（x）＝+1＝，令H（x）＝e x﹣x﹣2，H′（x）＝e x﹣1，当x＞0时，H′（x）＞0，H（x）单调递增，而H（1）＜0，H（2）＞0，所以H（x）在（0，+∞）内存在唯一的零点，设x0，则x0∈（1，2），当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）在（0，+∞）上的最小值h（x0）＝+x0＝1+x0∈（2，3），所以k＜+x恒成立，所以整数k的最大值为2．（Ⅲ）证明：设p（x）＝x﹣lnx﹣1，p′（x）＝1﹣＝，当x＞1时，p′（x）＞0，p（x）单调递增，当0＜x＜1时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，所以p（x）min＝p（1）＝0，所以p（x）≥p（0）＝0，所以x﹣lnx﹣1≥0，所以x﹣1≥lnx，令x＝，得＞ln，所以1+++...+＞ln（n+1）．。
天津市天津中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题
为
．
11．不论 m 为何实数，直线 l：(m 1)x (2m 3) y m 0 恒过定点
.
12．已知直线 l1 ： ax y 3 0 与 l2 ： 2x a 1 y a 1 0 平行，则 a
.
13．点 P 1, 2 到直线 3x 4y 6 0 的距离为
．
14．点 0, 1 到直线 y k x 1 距离的最大值为
值为
．
25．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可
以转化为几何问题加以解决．例如：与 x a2 y b2 相关的代数问题，可以转化
为点 A x, y 与点 B a,b 之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数
f x x2 2x 2 x2 2x 2 ， f x 的最小值为
．
二、证明题 26．在三棱台 ABC - A1B1C1 中，若 A1A 平面 ABC, AB AC, AB AC AA1 2, A1C 1 1, M ， N 分别为 BC, AB 中点．
(1)求证： A1N // 平面 C1MA ； (2)求平面 C1MA 与平面 ABB1A1 所成角的余弦值； (3)求点 B1 到平面 C1MA 的距离； (4)求点 B1 到直线 C1M 的距离． 27．直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AA1 AB AC 2, AA1 AB, AC AB, D 为 A1B1 中点，E
．
3．已知直线 l 斜率的取值范围是 3,1 ，则 l 的倾斜角的取值范围是
．
4．两直线 3x＋y－3＝0 和 6x＋my－1＝0 平行，则它们之间的距离为
.
5．已知直线 l1 : (a 1)x 2 y 1 0与直线 l2 : x ay 3 0 垂直，则 a 等于
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天津一中 2０17－2０18-2 高二年级数学学科期末质量调查试卷（理科）本试卷分为第 Ｉ 卷(选择题)、第 I Ｉ 卷（非选择题)两部分,共 100 分,考试用时 ９0 分钟。
第 Ｉ 卷 至ﻩ页,第 II 卷 至ﻩ页。
考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定 位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利! 一.选择题：（每小题 3 分,共 ３0 分)⎧⎪ﻩ x ⎛ ⎫ ⎪1．设集合 A = {x -1 < x < 2} ， B = ⎨ ｘ 1< 1⎪< 1⎬ ，则 Ａ B = ( )⎪⎩ﻩ8 ⎝ 2 ⎭ ⎭⎪ Ａ. (０, 3)ﻮB. (1，3)ﻮC ． (0， 2) ﻮD. (1，+∞)２.命题“如果 ｘ ≥ a 2+ b 2 ，那么 x ≥ 2ab ”的逆否命题是(ﻩ）Ａ．如果 x< a ２+ b 2 ﻮ，那么 ｘ < 2ab B ．如果ﻮx ≥ 2ab,那么ﻮx ≥ a2- b 2C ．如果 x < 2a ｂ ,那么 x < a 2+ b 2D ．如果 ｘ ≥ a 2- b２，那么 x < ２ab3.位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位，移动的方向为1向上或向右，并且向上和向右移动的概率都为是（ﻩ) ﻮ,质点 P 移动 5 次后位于(2,３）的概率21 3A.ﻩB.4 ﻩ４ﻮ5 7C ．ﻩD.16 ﻩ1６４.若 f ( x ) 在 R 上可导, f ( x ) = x ２ + 2 f ' (２) x + 3 , 则 f '（1） ＝（ )Ａ． -6 B. 6C ． ４D. - 4５．设 6 ﻩ２6(2 -x ）= a 0 + a 1 ｘ + a 2 xﻮ+ + a 6 ｘ ﻮ,则 ｜ a 1 | + | ａ2 ｜ +⋅ ⋅ ⋅ + ｜ a 6 | 的值是()A.665B.729 Ｃ．728ﻩＤ.636．如图,由曲线y=x 2 -1，直线ｘ= 0,x= 2 和ｘ轴围成的封闭图形的面积是(ﻩ） A.1２B．３4C．３Ｄ． 27.若 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，当ｘ<0 时，f （x) +xf '( x）< 0 ，且ｆ(-４) =０，则不等式xf (x)> 0 的解集为( ）A．(-4,０)∪(4,＋∞）Ｂ．(－4,０)∪(0,４)Ｃ．(－∞,-４）∪(4,＋∞)ﻩD．（－∞，－4)∪(0，4)ﻬ８．如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（)种. A．12０ﻩB．260C．340 D.420(8 题图)9. 已知函数 f （ x ) = - x ３- 7 x + sin ｘ ,若 ｆ (a２) + ｆ (ａ - 2) > ０ ,则实数 a的取值范围是 (ﻩ) A ． B ． C.Ｄ．⎧ｘ 2 + x , (-2 ≤ x ≤ -1）10．已知函数 ｆ ( ｘ) = ⎨ ⎩ln(ｘ + ２）， (-1 < ｘ ≤ ２)ﻮ,若 g （ x ) = ﻮf （ ｘ） - a （ ｘ + ２) 的图像与 ｘ 轴 有 ３ 个不同的交点,则实数 ａ 的取值范围是（ﻩ）A ． （0, １ ) ﻮＢ. (0， 1 )C ． ［ ln2 , 1 ）ﻮD ． [ 2 l ｎ 2, １ )e - 1 3e ﻮ2 ﻩe ﻩ3 3e二.填空题:(每小题 4 分,共 24 分） 1１.已知复数 z 满足1 + ｉ= 2ｉ3 + 2i 4 ，其中 i 为虚数单位,则复数 z =.ｚ１2．若函数 ｙ = x 3- 3x ２+ a 在[-1，1]上有最大值 3,则该函数在[-1，1]上的最小值是 2ﻩ．⎧⎪ｌg x , x > 0 8 13.设 f （ x ) = ⎨ ｂ⎪ x + ⎰ t ２ dt ， x ≤ 0 ﻮ,若 f ( f (1)) = ﻩ，则常数 b = .3⎩ ﻩ０1４. 已知函数 ｆ ( x ) = ax 2 + bx (a > 0, ｂ > 0) 的图象在点 （１， f （1)) 处的切线的斜率为 ２,8a + b 则 的最小值为 ﻩ．ａb15.已知函数 f ( x ） =.ﻮm ｘ-1+ln x 在[e, +∞) 上存在极值点，则实数m 的取值范围为16.已知函数f （x) = ( x+１)e x- 2 x-a, 若f (ｘ)< 0 有且只有一个整数解，则a 的取值范围为．三、解答题:（共 4 题,共４6 分）17.一盒中装有９张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是１,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是３,从盒中任取３张卡片。
(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；(2)设X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求X 的分布列与数学期望。
（注：若三个数ａ, b，ｃ满足a≤b≤c,则称ｂ为这三个数的中位数）1８.2017 年８月 20 日起，市交警支队全面启动路口秩序环境综合治理，重点整治机动车不礼让斑马线和行人的行为,经过一段时间的治理,从市交警队数据库中调取了 20 个路口近三个月的车辆违章数据,经统计得如图所示的频率分布直方图,统计数据中凡违章车次超过3０次的设为“重点关注路口”.(１）现从“重点关注路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤,求抽出来的路口的违章车次一个在,一个在中的概率；(２）现从支队派遣５位交警，每人选择一个路口执勤，每个路口至多1 人,违章车次在的路口必须有交警去,违章车次在的不需要交警过去，设去“重点关注路口”的交警人数为X，求Ｘ的分布列及数学期望.19．已知点(2, 3)在椭圆x ﻮ２y 2+ﻮ=1(a>b>0）上,设A，Ｂ，C 分别为椭圆的左顶点,a２ﻩb2上顶点，下顶点,且点 C 到直线ＡB 的距离为４7 b .7(1)求椭圆的方程；(2)设O 为坐标原点, M( ｘ1，ｙ1) ，N ( x２, y2)( x1 ≠x２）为椭圆上两点，且ﻮa2 x x +ｂ２y ｙＯM ⋅ON =是，说明理由.ﻮ1 2 １ 2 ,试问∆MＯN 的面积是否为定值，若是，求出定值；若不ａ2 + b 2１ ２０．已知 ｆ ( x ） = ln x + ﻩ+ 1 , ｇ ( x ) = ｘ + ｘ1( x > 0） . ｘ（1）求 f （ x ) 的极值；(2） 函数 h ( x ) = f ( ｘ) - ａｇ ( x ) 有两个极值点 x 1 , x 2 ( x １ < ｘ2 ) ,若 h ( x １ ) < m恒成立，求实数 m 的取值范围.参考答案一.选择题：（每小题 3 分,共３0 分）1.C 2．C 3．C 4.A 5．Ａ6．D ７.D 8．D 9．A 10．C二.填空题:（每小题 4 分，共 2４分)i11．２16．1 <ａ≤2ﻮ１12．213.2ﻩ14．9ﻩ15．m ≥e+1-2ｅ三、解答题:(共４题,共 46 分）1７.解：5（1)84(2）X3ﻩ2ﻩ1ﻩPEＸ=472817 43ﻩ１4２ﻩ８4ﻩ1218．解：（１)根据频率分布直方图，违章车次在的路口有, 在中的路口有，设抽出来的路口违章车次一个在，一个在的事件为，则.(２）由题知随机变量可取值2,３,４,5，, ,, ..2219.解:x2 y 2（１) +=11６ﻩ1２(２) x1 ≠x2 知直线MＮ的斜率存在，设直线ＭN 的方程为y =kx +m(ｍ≠ 0) ,x2ﻩy２代入+=1，并整理得（３+４k ２）ｘ2 + 8kmx+ 4m2 - 48 = 0．１6ﻩ12∵∆= 64k2m2 -16(3 + 4ｋ２)（ｍ2 -12) =４8(12 +16k２-ｍ2 ) > 0,∴12 +1６k 2 -ｍ２>0，x +x=-ﻮ8kmﻮ,x x=4（mﻮ-１2)，∴１２ﻩﻮ3+４k2ﻮ1 23ﻩ+4k 22ﻩ23m 2 -４8k 2∴y1 y2= (kｘ1 +m）(ｋx２+m) =ｋx1x2 +kｍ( x1+ｘ２) +m =又ＯM ⋅ＯN=x1 ｘ２+y１y２,ﻮ.３+ 4k２ａ2 x x+b2 yy1６xxﻮ+12ｙy∴ｘ1ｘ2 +y１ｙ2=ﻮ1 2 1 2 =ａ２+b２ﻮ1 ２1ﻩ 2，16 +12整理得m２= 6 + 8k 2 （满足∆>０),∵ﻩ2MN=ﻮ1 +kﻮ⋅x１-ｘ2=2ﻩ2ｘ2）２- 4ｘ1x2=+ｋ２⋅4８(2m -ｍ)⎛m2⎫ﻮ=⨯１+ k.ｍ2⎪⎝⎭又点O 到直线MN的距离ｄ=ﻮ，1ﻩ1 １+∴S =ﻩ⨯MN ⨯ｄ=⨯３⨯ﻩ⨯∆ＭOＮ 2 ﻮ２m 2∴∆MOＮ的面积为定值3．2０.解：(1)域为(0, +∞）, f＇(x）=1-1ﻮ=ｘ-1,xﻩx２ﻩｘ2令f '(ｘ) =0 ,得ｘ=1 ，当x ∈(０,1) 时，f'（x)<０，f ( ｘ) 单调递减，当x ∈(1, +∞) 时，f '(ｘ) >０, f （x)单调递增,所以 f ( ｘ) 在x = 1 处取得极小值，且极小值f (１) =２，无极大值.(2) h( x) =ﻮｆ（x)-ag(x) =ｌｎｘ+１+1-ax -ａ,其定义域为(0, +∞）,ｘﻩxh'(x）=1-１ﻮa -aｘ2+ x+ a-１（ｘ-1)(ａx + a-1)-a +ﻩ=ﻩ=-ﻩ，则x x2 ｘ2 ﻩx2 x2当a=0 时, h＇( x)=０仅有一解x =1 ,不合题意.当 a ≠ 0 时,令 h '( x ） = ０ 得 ｘ = 1 或 x = 1 - a．a 由题意得, 1 - aa > ０ ，且 ﻮ1 - aa ≠1，所以 a∈(0， 1 ）( １ ,１)， 2２此时 h ( ｘ) 的两个极值点分别为 x = 1 , x = 1 - a ． a1 当 a ∈ (0， )时, 2 1 - aa > 1 ，所以 ｘ = 1 , x = 1 - ａ，１ ２ ﻩa h ( x 1 ) = h （１) = 2 - 2a ，而 2 - 2ａ ∈ (1, ２) ,又 h （ x 1 ） < m 恒成立,则 m≥ ２ .1当 a ∈ ( ,１) 时， ２ 1 - a aﻮ<1 ，所以ｘ= １-ａ ,x = 1 ，１ a ２h ( x ） = h 1 - a ） = ln 1 - a + 2a ． 1 ﻩ( a ﻩａ 1 - a ﻮ-2a ２ + 2a -1 2(a - 1 )2 + 1 ２2ﻩ 设 ϕ (a ) = ln a + 2a ，则 ϕ '(a ） = a (1 -a ）ﻮ= -ﻩ< 0 ， a (1 - a )所以 ϕ （a ) 在 (１ ,1） 上为减函数, ϕ （a ) < ϕ ( １ ) = １ , ２ﻩ２所以 h ( ｘ１ ） < 1, 又 ｈ( x 1 ) < m 恒成立，则 m ≥ 1.综上所述，实数 ｍ 的取值范围为 [2， +∞） .。