九上第一章特殊的平行四边形§1.3.正方形的性质与判定(第一课时导学案
九年级上(第一章)1.3特殊的平行四边形(第1课时)导学案 (1)
九年级数学（上）导学案（第一章）1.3特殊的平行四边形（第1课时）一、学习目标 1.理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2.掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。
3.掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。
二、学习重点掌握矩形及直角三角形斜边上中线的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。
三、学习过程【课前预习】学习任务一：阅读教材第13—15页内容，思考并总结本节课学习的主要内容，写在下面的横线上：（要写得详细些）学习任务二：矩形及性质1. 叫做矩形。
矩形是________的平行四边形。
2.从矩形的意义可以探究矩形具有的性质：（1）矩形具有平行四边形具有的一切性质。
（2）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:特殊在“角”上的性质是_____________________________________________.特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________.3.从矩形的性质可以说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的________学习任务三：阅读课本14页观察与思考，不看课本自己在下面独立证明性质定理2：矩形的对角线相等已知：求证：证明：学习任务四：阅读课本14页交流与发现，独立证明推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半已知：求证：证明：学习任务五：阅读课本15页得例1、挑战自我，在下面独立完成。
【课中实施】预习诊断独立完成课后练习1、2题。
精讲点拨在直角三角形ABC 中，∠C=90°，CD 是AB 边上的中线，∠A=30°，AC=5 3，求△ADC的周长。
系统总结【当堂达标】1.由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（ ）A.22.5°B.45°C.30°D.60°2.3.如图，在矩形4.折叠矩形ABCD 为DG 。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定教案(新版)北师大版
1.3.1 正方形的性质与判定（1）教学目标知识与技能：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．过程与方法：经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．情感态度与价值观：培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．重难点、关键重点：探索正方形的性质定理．难点：掌握正方形的性质的应用方法．关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．教学准备教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质，预习本节课内容．学法解析1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，•在取得一定的经验的基础上，认知正方形．2．知识线索：3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点．教学过程一、合作探究，导入新课【显示投影片】显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．【活动方略】教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？•四个角呢？ 2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3．正方形具有哪些性质呢？学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．•正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．实验活动：教师拿出矩形按左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形．教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．二、实践应用，探究新知【课堂演练】（投影显示）演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，•且分别与OA、OB相交于M、N．求证：（1）BM=CN；（2）BM⊥CN．思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON 是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°就可以了．【活动方略】教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流．学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题．证：（1）•∵四边形ABCD是正方形，∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB。
北师大版九年级上数学第一章 特殊的平行四边形 1.3正方形的性质与判定(2个课时)教案
（1）求证： ；
（2）若 ，求证：四边形 是正方形.
第三阶段检测案
1、E、F、G、H分别是正方形ABCD各边上的点，且AE=BF=CG=DH，
求证EFGH是正方形（自己画图）
2、已知：如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′，
C、当∠ABC＝90°时，它是矩形D、当AC=BD时，它是正方形
3、正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）
A、对角线互相平分B、对角线相等
C、对角线互相垂直D、对角线平分一组对角
4、下列四边形是正方形的是（）
A、有一组邻边相等的四边形；B、有一组邻边相等的平行四边形；
C、有一组邻边相等的矩形；D、有一个角是直角的平行四边形；
求证：四边形A′B′C′D′是正方形。
3、用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．其中一定能拼成的图形是（）．
A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤
4、能使平行四边形 为正方形的两个条件是_____
___。
课后反思
北师大版九年级上数学第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定1
课题
1.3正方形的性质与判定1
授课时间
主备人
授课人
班级
审核人
第一阶段预学案
目
标
导
航
学习目标
1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别
学习重点
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
北师大版九年级上册数学 第一章 特殊平行四边形专题 学案
特殊的平四边形适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级适用区域 全国课时时长（分钟） 120分钟知识点1四边形以及特殊四边形的概念、性质、判定 2.三角形、梯形中位线定理及其运用3.梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，掌握等腰梯形的性质和判定，运用相关知识进行证明和计算学习目标 1.掌握平行四边形及几种特殊四边形的性质与判定 2.灵活运用有关性质及判定解决问题3.经历四边形基本性质，使学生学会“合乎逻辑地思考”，建立知识体系，获得一定的技能基础4.让学生理解平面几何观念的基本途径是多种多样的，感知和体验几何图形的现实意义，体验二维空间相互转换关系学习重点 理解和掌握几种常见特殊四边形的性质、判定 学习难点发展合情推理和初步的演绎推理能力学习过程一、复习预习上节课我们复习了勾股定理的内容，接下来请同学们回忆一下1．勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+．2. 勾股定理的证明：（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.ABCD S a b c aba b c =+=+⨯∴+=正方形（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()222221=42.正方形EFGH =-+⨯∴+=S c a b aba b c（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形。
()222222121221c b a c ab b a S =+∴+⨯=+=梯形3. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
4. 常用勾股数：3、4、5； 5、12、13； 6、8、10；7、24、25； 8、15、17； 9、40、41。
（牢记）勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．二、知识讲解1、平行四边形性质及判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定1.两组对边分别平行；2.两组对边分别相等；3.一组对边平行且相等;4.两组对角分别相等；5.两条对角线互相平分.1有三个角是直角的四边形;2有一个角是直角的平行四边形;3对角线相等的平行四边形.1.四边相等的四边形；2.对角线互相垂直的平行四边形；3.有一组邻边相等的平行四边形。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定导学案1(B层,无答案)(新版)北师大版(1)
正方形的性质与判定【学习目标】1．理解正方形的概念和性质，了解正方形与平行四边形的区别与联系．2．会初步运用正方形的概念和性质来解决有关问题．【学习过程】一、温故知新1、平行四边形的性质有：对边；对角；对角线。
2、矩形的性质有：对边；四个角；对角线；它是图形（对称性）。
3、菱形的性质有：四边；对角；对角线；它是图形（对称性）。
二、自研自探环节请自主阅读课本P20的内容，然后思考并完成以下问题：1、正方形的定义：有一组领边，并有一个角是的四边形，叫正方形。
2、探索正方形的性质探究一：你能用纸折出一个正方形吗？探究二：正方形是平行四边形吗？探究三：正方形是矩形吗？探究四：正方形是菱形吗？3. 将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入相应的圆圈内。
4.根据上图的从属关系，可知正方形的性质有：边：；角：；对角线：；是对称图形，也是对称图形。
知识归纳：正方形的性质定理1：正方形的四个角都是角，四条边 .正方形的性质定理2：正方形的对角线 .正方形的对称性：正方形是，有条对称轴。
三、合作探究环节：【小对子交流学习】1.观察右图：四边形ABC D是正方形，完成填空：AO BO CO DO②AC BD（数量关系）； AC BD（位置关系）③∠ABD= °，∠BAC= °，∠CBD= °④图中有 个等腰直角三角形2．边长为2的正方形的对角线长是 ， 。
3．对角线长为2的正方形边长是 。
四、展示提升环节∴△BCE ≅△ （ ）∴BE=DF （2） 延长BE交DF 于点M （如右图）∵△BCE ≅△∴∠CBE=∠CDF∵∠DCF=90°∴∠CDF+∠F= °∴∠CBE+∠F= °∴∠BMF= °∴BE ⊥DF例2．如图所示，四边形ABCD 是正方形，DM=CN.证明：AN=BM ，AN ⊥BM （参照上面例1，完成例2）MA B CN五、课堂小结：这节课你学到了什么定理？六、课堂检测1．_______ ___叫做正方形．2．正方形既是_____形，又是_______形，它具有矩形与菱形的所有性质．3.正方形即是中心对称图形，又是图形，它有对称轴.4_____，面积是．。
【精选】九年级数学上册第一章特殊平行四边形第3节正方形的性质与判定第1课时教案新版北师大版
第一章《特殊平行四边形》《正方形的性质与判定》(第1课时)【教学目标】1.知识与技能了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．2.过程与方法经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．3.情感态度和价值观培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．【教学重点】探索正方形的性质定理．【教学难点】掌握正方形的性质的应用方法．【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习回顾(1)平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?菱形的性质有哪些呢？让学生分别从边、角、对角线等方面回忆它们的性质.二、探究新知1.正方形的定义活动1：满足什么条件的菱形是正方形？问题: 从这个图形中你能得到什么？你是怎样想到的？当=90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.定义1.有一个角是直角的菱形叫做正方形。
活动2：满足什么条件的矩形是正方形？邻边相等定义2.邻边相等的矩形叫做正方形。
活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？定义3.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形在生活中随处可见，你能举出一些生活中正方形的例子吗？与同伴交流。
2.正方形的性90°┓质：活动4.正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
1.对称性：正方形是中心对称图形,对称中心为点O，它也是轴对称图形,有4条对称轴.2.性质：(1)它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分.(2)具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等.(3)具有菱形的一切性质：四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.活动5：证明定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
已知：正方形ABCD，求证:AB=BC=CD=AD ,∠A=∠B=∠C=∠D.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∵四边形ABCD是正方形∴四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD ,∵四边形ABCD是正方形∴四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D.证明定理：正方形的对角线相等且互相垂直.已知ABCD是正方形，AC、BD分别是正方形的两条对角线，且交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD.证明：∵ABCD是正方形,∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,∵BC=BC.∴ΔABC≌ΔDCB,∴AC=BD.∵OB=OD,AB=AD,OA=OA,∴ΔAOB≌ΔAOD,∴∠AOB=∠AOD,又∠AOB+∠AOD=90°,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,即对角线互相垂直且相等.三、例题讲解例1．正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=_______.解析：∵四边形ABCD是正方形∴BC=AB=2,∠ABC=90°，在Rt△ABC中，.例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.分析：由正方形的性质可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA.解：∵ABCD是正方形∴AO=AC=5 ,∠BAC=45°,AC⊥BD 又∵PE⊥AC, PF⊥BD∴四边形PEOF为矩形∴PF=OE∴在△APE中,∠PAE=45°∴AE=PE∴PE+PF=AE+OE=AO=5.例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.分析：(1)由正方形的性质得到∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，结合CE=CF，可证△BCE≌△DCF，从而有BE=CF;(2)延长BE交DE于点M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代换得到∠BMF=90°，从而有BE⊥CF.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.(2)如图，延长BE交DE于点M，∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.四、巩固练习：1.判断题：（1）四个角都相等的四边形是正方形. （×）(2)四条边都相等的四边形是正方形. （×）（3）对角线相等的菱形是正方形. ( √ ) (4)对角线互相垂直的矩形是正方形. （√）（5）对角线垂直相等的四边形是正方形. ( × )(6)四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形. ( √ )2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.解∵四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形∴∠BCE=90+60=150°,CB=CE∴∠CEB=15°同理∠AED=15°∴∠AEB=60-15-15=30°3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF=8cm，则AC=________.提示：AC=2OA=2(ME+MF)=16cm.4.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。
九上第一章特殊的平行四边形§1.2.矩形的性质与判定-(第一课时)导学案
1§1.2.矩形的性质与判定 （第一课时）学习目标1、知识与技能：能够用综合法证明矩形的性质定理以及其它相关结论。
2、过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。
3、情感态度与价值观：体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化的数学思想方法，培养学生热爱数学，积极探索、勇于创新的精神。
学习重点：矩形性质定理的证明及综合应用。
学习难点：矩形的性质的灵活应用 学习过程： 一、课前自主学习1、平行四边形的对称性： ；菱形的对称性：2、平行四边形的性质： 菱形的性质： 二、课内探索新知。
探索矩形的性质 1、矩形的定义： 2、矩形的性质：3、矩形的对称性： 412 四、展示反馈1、下列说法错误的是（ ）．A 、矩形的对角线互相平分B 、矩形的对角线相等C 、有一个角是直角的四边形是矩形D 、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )A 、两组对边分别平行B 、对角相等C 、对角线互相平分D 、对角线相等 3、在直角三角形ABC 中，AC=6，BC=8，M 为斜边AB 的中线，则CM=_____ 4、在矩形ABCD 中,∠ACB=30°,两条对角线的和是10cm5、矩形ABCD 的周长为56cm ，O 是它的对角线交点，△BOC 比△AOB 周长多4cm ，求矩形各边长和对角线长。
6、已知：如图 ，矩形 ABCD 中，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．7、已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ．五、拓展延伸：1已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，求∠EAO 的度数．2、如果矩形的一个内角平分线将它的一边分成3cm 和5cm 两部分，则它的面积是多少？3、已如图,在矩形ABCD 中,AE ⊥BD 于E,对角线AC 、BD 相交于点O,且BE ∶ED=1∶3，AD=6㎝，求AE 的长.。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定导学案2(B层,无答案)(新版)北师大版(1)
正方形的性质与判定【学习目标】1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
2．知道特殊四边形的中点四边形的形状，并理解决定中点四边形形状的因素。
【学习过程】一、温故知新1、有一个的平行四边形是矩形2、有一组邻边的平行四边形是菱形二、自研自探环节请自主阅读课本P14至P16，然后思考什么样的图形称为正方形？并完成以下问题：1、定义：叫正方形。
2、矩形：①有的矩形是正方形（判定定理1）②对角线的矩形叫正方形（判定定理2）3、菱形：①有的菱形是正方形（判定定理3）②对角线的菱形叫正方形（判定定理4）4、平行四边形：①有，有的平行四边形是正方形②对角线的平行四边形是正方形5、完成图形关系三、合作探究环节：【小对子交流学习】1.在平行四边形ABCD中，∠A=90°，如果添加一个条件推出该四边形是正方形，则这个条件是（）A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD2.下列说法错误（）Ａ.两条对角线相等的菱形是正方形Ｂ.两条对角线相等且垂直平分的四边形是正方形Ｃ.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形Ｄ.两条对角线垂直的矩形是正方形3.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（）。
A．60° B.30° C.45° D.90°四、展示提升环节（小组合作展示）例1 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF 是正方形.例2 判断中点四边形的形状特征：图1 图2 图3 1.如图1，在ΔABC 中，EF 为ΔABC 的中位线， ①若∠BEF=30°，则∠A= . ②若EF=8cm ，则AC= .2.在AC 的下方找一点D,做CD 和AD 的中点G 、H,问EF 和GH 有怎样的关系？EH 和FG 呢？3.四边形EFGH 为四边形ABCD 的中点四边形，问四边形E FGH 的形状有什么特征？4.动手画一画，平行四边形、矩形、菱形、正方形的中点四边形EFGH ，并判断中点四边形的形状。
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定(教案)
-正方形判定方法的灵活运用：对于不同形状的图形，学生需要能够快速准确地判断其是否为正方形，这需要学生对判定方法有深刻理解和灵活运用。
-正方形性质的应用：在解决实际问题时，学生需要将正方形的性质与问题相结合，找到解题的关键点。
-空间想象能力的培养：对于一些较复杂的几何问题，学生需要具备较强的空间想象能力，这在一定程度上是学生的难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如判定方法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题，如正方形周长和面积的求解。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量一个正方形的边长和角度，验证其性质。
这些核心素养目标旨在帮助学生全面发展，为今后的学习和生活打下坚实基础，符合新教材对学生能力培养的要求。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形的定义及其性质：这是本节课的核心内容，需要学生深刻理解正方形的定义，即四条边相等且相互平行，四个角都是直角。在此基础上，掌握正方形的性质，如对角线相等、垂直平分等。
-正方形的判定方法：教授学生掌握判定正方形的几种方法，包括边长相等且角度为直角、邻边相等且夹角为直角的矩形、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形等，以便在实际问题中正确识别和应用。
-正方形周长和面积的求解：重点讲解正方形周长和面积的公式，以及如何运用这些公式解决具体问题。
举例：正方形ABCD，如何求解其周长和面积？通过强调正方形边长相等的性质，引导学生运用边长乘以4得到周长，边长的平方得到面积。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定导学案1A层无答案新版北师大版word格式
正方形的性质与判定学习目标1、理解并掌握正方形的定义和性质定理；2、了解正方形与平行四边形、菱形和矩形的关系；3、会用正方形的性质定理解决几何问题。
学习过程一、自研自探 (一)、温故知新1.有一个内角是的平行四边形是矩形。
2.有一组相等的平行四边形是菱形。
3.下列性质中：①对角相等；②对边相等；③对角互补；④对角线相等；⑤对角线互相平分；⑥对角线互相垂直；⑦一条对角线平分一组对角；矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是；菱形具有而一般的平行四边形不具有的性质是。
4.下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（把序号填在横线上）①等边三角形，②平行四边形，③矩形，④线段，⑤菱形，⑥角。
（二）、探究新知知识点一:一、情境导入：生活中见过哪些物体是正方形的？举例后思考下列问题：1．正方形四条边有什么关系？•四个角呢？2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3．正方形具有哪些性质呢？知识点二:1、怎样将一张矩形的纸片裁剪成正方形纸片？请动手试试，并讨论出正方形的定义与性质。
2、由活动的菱形框架通过怎样变形，才能成为正方形的框架？3、正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．4、正方形性质：（1）、边的性质：（2）、角的性质：（3）、对角线的性质： .（4）、对称性： .二、互动合作小组成员之间交换导学案，看看同学的结论(答案)与你的有什么不同。
把你的修改意见在导学案上直接写(标注)下来。
【内容一】 1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，•且分别与OA、OB相交于M、N。
求证：（1）、BM=CN；（2）、BM⊥CN【内容二】2：已知：如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AD，F为AB的中点，求证：△CEF是直角三角形.三、展示提升请组长组织，全组同学完成互动合作，并在白板上展示出来。
四、课堂小结(你学到了什么?)正方形的性质有哪些？五、巩固训练1．正方形的一边长5cm，则周长为cm，面积为c m22．E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠ABE＝3．E是正方形ABCD内一点，且△EAB是等边三角形，则∠ADE＝4．正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于cm5、图中的矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，求这个矩形的长和宽各是多少？6.如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度数。
2019秋北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定学案
2019秋北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定学案1.3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质一、学习准备：1、有一组_______相等并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形。
有一个角是________的菱形叫做正方形；一组________相等的矩形叫做正方形。
2、正方形既是_____，又是_____，所以它具有_____ 和 _____ 的性质：（1）正方形的四个角都是_____ ，四条边都 _____ ；（2）正方形的对角线_____且 ________，每条对角线平分__________；（3）正方形是_______图形，____________的交点是它的对称中心；（4）正方形是_______图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。
如上图，画出该正方形的对称轴。
3、如图，正方形ABCD的对角线把它分成了____个三角形，它们是_____三角形，它们全等吗？请简单说明理由____________________________________________________。
二、学习目标：1．理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定；2．能运用正方形的性质和判定进行简单的计算与证明．三、自学提示：（一）自主学习：1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是（）A. 四条边都相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（）A. 四个角相等B. 四条边相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等3、已知一个正方形的边长为2cm，则对角线长为______。
4、已知一正方形的对角线长为2cm，则它的边长为_______。
5、若正方形的一条对角线长为4cm，则正方形的周长为______，面积为________；对角线的交点到边的距离为_______。
（二）合作探究：6、顺次连接正方形各边中点，得4个等腰直角三角形，则每个小三角形的面积为原正方形面积的______ 。
九年级数学 第一章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定(第1课时)正方形的性质
解：(1)四边形 ACED 是平行四边形． 理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD∥BC，即 AD∥CE. 又∵DE∥AC， ∴四边形 ACED 是平行四边形． (2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD． ∵BD＝8 cm，
∴BC＝ 22BD＝ 22×8＝4 2 (cm)， ∴BE＝BC＋CE＝4 2＋4 2＝8 2 (cm)．
又∵∠DAE＝∠DCG，DE＝DG， ∴△AED≌△CGD(AAS)， ∴AE＝CG.
第二十页，共二十五页。
(2)BE∥DF，理由如下： 在正方形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCG.
又∵AE＝CG，AB＝CD， ∴△AEB≌△CGD(SAS)，∴∠AEB＝∠CGD． ∵∠CGD＝∠EGF， ∴∠AEB＝∠EGF，∴BE∥DF.
答图
第十八页，共二十五页。
5．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，点 F 在边 BC 上，连 接 BE，DF，DF 交对角线 AC 于点 G，且 DE＝DG.
(1)求证：AE＝CG. (2)试判断 BE 和 DF 的位置关系，并说明理由．
第十九页，共二十五页。
解：(1)证明：在正方形 ABCD 中， ∵AD＝CD， ∴∠DAE＝∠DCG. ∵DE＝DG， ∴∠DEG＝∠DGE， ∴∠AED＝∠CGD．
第七页，共二十五页。
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE， ∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE， ∴∠MEA＝∠AFO， ∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF.
第八页，共二十五页。
(2)OE＝OF 成立． 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
北师版初中数学九年级上册教案 第1章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质
3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质教师备课素材示例●归纳导入在小学学过有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性质呢？(1)边的性质：__正方形的四条边都相等__；(2)角的性质：__正方形的四个角都是直角__；(3)对角线的性质：__正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角__；(4)对称性：__轴对称、中心对称__．【教学与建议】教学：归纳矩形、菱形的性质探求正方形的性质．建议：通过演示操作，发现正方形与矩形、菱形之间存在的特殊与一般的关系．●情景导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．今天我们先来学习正方形的有关知识．【教学与建议】教学：实际操作从矩形中折叠出正方形，感知正方形．建议：借助图形的特征从边、角、对角线、对称性上分析．正方形的四条边都相等，正方形的四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分．【例1】(1)如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE＝BC，则∠BEC 为(C)A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°[第（1）题图][第（2）题图](2)如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别于正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E.若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__13__．利用正方形轴对称性可以将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．【例2】(1)用两条直线四等分正方形的面积，不同的画法有(D) A ．一种B ．两种C ．三种D ．无数种(2)如图，正方形ABCD 的边长为1，E ，F 是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB ，EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J.则图中阴影部分的面积等于(B)A ．1B ．12C ．13D ．14在矩形或正方形中，可以根据垂线段最短或根据两点之间线段最短求最小值．【例3】(1)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上一动点，ME ⊥BC 于E ，MF ⊥CD 于F ，则EF 的最小值为(B)A ．42B ．22C ．2D ．1[第（1）题图] [第（2）题图](2)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE ＝1，F 为AB 的中点，P 为AC 上的一个动点，PF ＋PE 的最小值是．综合运用正方形、矩形、三角形等图形的性质，考查综合运用所学知识推理论证的能力．【例4】(1)如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为(B)A ．2B ．22C ．2＋1D ．22＋1(2)以正方形ABCD 的边AD 作等边△ADE，则∠BEC 的度数是__30°或150°__．高效课堂教学设计1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．2．会利用正方形的性质进行相关计算和证明．▲重点探索正方形的性质定理．▲难点正方形的性质的应用方法．◆活动1 创设情境导入新课(课件)显示投影片：展示生活中有关正方形的图片(多幅幻灯片)．教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形的四条边有什么关系？四个角呢？2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3．正方形具有哪些性质呢？学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片，进行联想．易知：正方形的四条边都相等(小学已学过)；正方形的四个角都是直角(小学已学过)．试验活动：教师拿出矩形按下图折叠，然后展示，让学生发现：只要矩形有一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，框架变形过程中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形．◆活动2 实践探究交流新知【探究1】正方形的概念问题：什么样的图形叫做正方形？归纳：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．有一个角是直角的__菱形__是正方形．有一组__邻边相等__的矩形是正方形．【探究2】正方形的性质组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以具有菱形的一切性质．归纳：正方形的性质：(1)边的性质：对边__平行且相等__，四条边都__相等__．(2)角的性质：四个角都是__直角__．(3)对角线的性质：两条对角线__互相垂直平分__且__相等__，每条对角线__平分一组对角__．(4)对称性：是__轴对称图形__，有__四__条对称轴，也是__中心__对称图形．◆活动3 开放训练应用举例例1 (教材P21例1)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F 为BC延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．【方法指导】正方形的性质及三角形全等的应用．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)，∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°，∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)，∴BE＝DF；(2)延长BE交DF于点M，∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF ＋∠F＝90°， ∴∠CBE ＋∠F＝90°， ∴∠BMF ＝90°， ∴BE ⊥DF.例2 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，BD 相交于点O ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，求DE 的长．【方法指导】过点E 作EF⊥DC 于F ，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE 的长．解：过点E 作EF⊥CD 于F. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，∠BDC ＝45°， ∴∠EDF ＝45°，∴EF ＝DF. ∵CE 平分∠ACD 交BD 于点E ， ∴EO ＝EF.又∵∠EOC＝∠EFC＝90°，EC ＝EC ， ∴Rt △CEO ≌Rt △CEF.∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AC ＝2，∴CO ＝12AC ＝22，∴CF＝CO ＝22，∴DF ＝DC －CF ＝1－22，在Rt △DEF 中，由勾股定理，得 DE ＝EF 2＋DF 2＝2－1. ◆活动4 随堂练习1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A) A ．对角线互相平分 B ．对角线相互垂直 C ．对角线相等D ．对角线互相垂直平分且相等2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(C)A．14 B．15 C．12 D．173．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A的坐标为(0，1)，点B 的坐标为(0，0)，则点C，D的坐标分别为__(1，0)__和__(1，1)__．(只写一组)4．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的度数．解：在Rt△ABF和Rt△AGF中，AB＝AG，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AGF(HL)，∴∠BAF＝∠FAG.同理可证：∠GAE＝∠DAE，∵∠BAD＝90°＝∠BAG＋∠GAD＝2∠FAG＋2∠GAE，∴∠FAG＋∠GAE＝45°，即∠EAF＝45°.◆活动5 课堂小结与作业学生活动：你这节课的收获是什么？教学说明：正方形的性质：四个角都是直角、四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，灵活运用其性质和定义解决数学问题．作业：课本P22习题1.7中的T1、T2、T3、T4.本节课让学生在知道正方形是特殊的菱形和矩形的基础上，小组讨论得出正方形的性质，有利于学生的自主学习．通过学生的动手操作，讨论如何剪成正方形，培养学生的动手能力和思维能力．。
九年级数学上册 1.3 正方形的性质和判定（第一课时）导学案
1.3 正方形的性质和判定
【学习目标】
课标要求：
一、在对平行四边形、矩形、菱形的熟悉基础上探讨正方形的性质，体验数学发觉的进程，并得出正确的结论．
二、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的彼此关系，并形成文本信息与图形信息彼此转化的能力．
目标达到：
一、学会正方形的概念及性质
二、正方形的性质应用
学习流程：
【课前展现】
学生搜集的图片或实物（部份）：
【创境激趣】
教师能够给学生一个示范性的数据整理模式（如下表），但不要强求。
图形名称数据
角
线边数量关系
位置关系
对角线数量关系
位置关系
【自学导航】
①引出“有一组临边相等的矩形叫做正方形”②通过数据的交流自然的回答了“议一议”中的两个问题：（1）正方形是菱形吗?(2）你以为正方形有哪些性质？
【合作探讨】
1.通过引导学生回忆关于矩形、菱形的性质、“正方形既是矩形又是菱形”得出关于正方形的两个定理“正方形的四个角都是直角四条边都相等”“正方形的对角线相互垂直平分”
2.引用书上的议一议，让学生解决“正方形有几条对称轴”
【强化训练】
①引用讲义例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间又如何的关系？请说明理由。
②选用讲义议一议进行时期小结“平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流”
【归纳总结】
一、正方形的性质
二、正方形的判定。
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§1.3.正方形的性质与判定（第一课时）
学习目标：
知识与技能：1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别
过程与方法：经历探索正方形有关性质的过程．在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
3、情感态度与价值观：通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学
生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质灵活运用．
学习过程
一、课前自主学习
1、平行四边形的性质有：
2、矩形的性质有：对边；四个角；对角线；它是图形（对称性）。
3、菱形的性质有：四边；对角；对角线；它是图形（对称性）。
二、课内探索新知。
探索正方形的性质
1、探究一：你能用纸折出一个正方形吗
探究二：正方形与平行四边形的关系
探究三：正方形与矩形的关系
探究四：正方形与菱形的关系
2、将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入相应的圆圈内。
3、根据上图的从属关系，可知正方形的性质有：边：；
角：；对角线：；
是对称图形，也是对称图形。
三、小组合作
1、边长为2的正方形的周长和面积分别是多少？
2、边长为2的正方形的对角线长是多少？
3、对角线长为2的正方形边长是多少？
4、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
5、已知：如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，
且DE ＝BF ． 求证：∠AFE ＝∠AEF ．
四、展示反馈
1、下列说法中，不正确的是（ ） A 、既是矩形，又是菱形的四边形是正方形。
B 、正方形是对角线相等的菱形。
C 、正方形是对角线互相垂直的矩形。
D 、正方形是对角线平分的平行四边形
2、已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A 、当AB=BC 时，它是菱形
B 、当A
C ⊥B
D 时，它是菱形。
C 、当∠ABC ＝90°时，它是矩形
D 、当AC=BD 时，它是正方形
3、正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ）
A 、对角线互相平分
B 、对角线相等
C 、对角线互相垂直
D 、对角线平分一组对角
4、下列四边形是正方形的是（ ）
A 、有一组邻边相等的四边形；
B 、有一组邻边相等的平行四边形；
C 、有一组邻边相等的矩形；
D 、有一个角是直角的平行四边形；
5、如图，E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 与∠ECD
6、已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且DE =BF ．
求证：EA ⊥AF ．
7、已知：如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，AF 平分∠DAE 交CD 于F ，
求证：AE =BE +DF ．
五、拓展延伸
已知：如图，正方形ABCD 中，对角线的交点为O ，E 是OB 上的一点，DG ⊥AE 于G ，DG 交OA 于F ．求证：OE =OF ．
A B C D E
F。