【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5全集章末过关检测卷(一)

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【苏教版】高中数学必修5同步辅导与检测：第1章1.3正弦定理、余弦定理的应用(含答案)

第1章解三角形1.3 正弦定理、余弦定理的应用A级基础巩固一、选择题1．在某测量中，设点A在点B的南偏东34°27′，则点B在点A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西55°33′答案：A2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，绘出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是()A．角A，B和边bB．角A，B和边aC．边a，b和角CD．边a，b和角A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的结果不一定唯一，故选D.答案：D3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762 n mileB ．34 6 n mile C.1722n mileD ．34 2 n mile解析：如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，所以MN ＝68×32＝34 6.所以v ＝MN 4＝1726( n mile/h)．答案：A4．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3解析：依题意可得，32＋x 2－2×3·x cos 30°＝(3)2. 解得x ＝23或x ＝ 3. 答案：C5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．10 3 mB ．100 3 mC．2030 m D．30 m解析：设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30 3.在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos 30°，解得BC＝30.答案：D6．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是()A．5 B．10 C．10 2 D．10 3解析：如图所示，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m，由正弦定理，得BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝10 2 (m)．所以斜坡的倾斜角变为30°时，坡底延伸10 2 m. 答案：C 二、填空题7．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在正北，若路途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________m.解析：设塔高为AB ，某人由C 前进到D ，依题意可得CD ＝40 m ，∠ACD ＝90°－60°＝30°，作AE ⊥CD 于点E ，则∠AEB ＝30°，则AD ＝CD sin 30°＝20，AE ＝AD sin 60°＝103，所以AB ＝AE tan 30°＝103×33＝10 m.答案：108．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5 m ，则树干原来的高度为________．解析：如图所示，AB ＝AC ·tan 60°＝53，BC ＝ACsin 30°＝10，所以AB ＋BC ＝(53＋10)m. 答案：(10＋53)m 三、解答题9.如图所示，一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，求此时船与灯塔的距离．解：如题图所示，由正弦定理得， BCsin （90°－60°）＝15×4sin 45°，所以BC ＝30 2 km.所以此时船与灯塔的距离为30 2 km.10．如下图所示，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为 45°，在它的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°，AB 的距离是84 m ，求塔高．解：设塔高CD ＝x m ，则AD ＝x m ，DB ＝3x m.在△ABD 中，利用余弦定理得842＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x tan 45°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x tan 30°2－23·x 2cos(90°＋60°)，解得x ＝±127(负值舍去)，故塔高为127 m.B 级能力提升一、选择题11．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：如题图所示，结合题意得∠ACB ＝180°－60°－40°＝80°. 因为AC ＝BC ，所以∠ABC ＝50°，α＝60°－50°＝10°. 答案：B12．若水平面上，点B 在点A 南偏东30°方向上，则在点A 处测得点B 的方位角是( )A ．60°B ．120°C ．150°D ．210°解析：根据方位角的意义，可得点B 的方位角是180°－30°＝ 150°.答案：C13．当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋ 30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为( )A.217B.22C.32D.5714解析：连接BC .在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC · cos120°＝700，所以BC ＝107，再由正弦定理，得BC sin ∠BAC＝ABsin θ，所以sin θ＝217.答案：A 二、填空题14．(2014·课标全国Ⅰ卷)如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，测山高MN ＝________m.解析：根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AMsin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150(m)．答案：15015．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________小时．解析：设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°.所以y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28⎝⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100. 所以当x ＝514时，y 2有最小值，即两船相距最近．答案：514三、解答题16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝27，B ＝60°，a ＋c ＝10.(1)求sin ()A ＋30°；(2)若D 为△ABC 外接圆中弦AC 所对劣弧上的一点且2AD ＝DC ，求四边形ABCD 的面积．解：(1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝bsin B ＝473，因为a ＋c ＝10，所以sin A ＋sin C ＝5327 .因为B ＝60°，所以C ＝120°－A ，所以sin A ＋sin(120°－A )＝sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A ＝5327，于是得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋30°＝5714.(2)因为A ，B ，C ，D 共圆，B ＝60°，所以D ＝120°.在△ADC 中，由余弦定理可得cos D ＝AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC ＝－12，解之得AD ＝2，所以S △ACD ＝12AD ·CD ·sin 120°＝23，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12.解之得ac ＝24.所以S △ADC ＝12ac sin 60°＝63，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝8 3.。

2019-2020年苏教版高中数学必修5 期末模块综合检测卷(含答案)

模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(每小题共10个小题，每小题共5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝(D ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7解析：∵{a n }为等比数列，∴a 4a 7＝a 5a 6＝－8.又a 4＋a 7＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，a 1＝－8，a 10＝1，∴a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，a 10＝－8，a 1＝1，∴a 1＋a 10＝－7. 综上，a 1＋a 10＝－7.2．某人投资10 000万元，如果年收益利率是5%，按复利计算，5年后能收回本利和为(B )A ．10 000×(1＋5×5%)B ．10 000×(1＋5%)5C ．10 000×1.05×（1－1.054）1－1.05 D ．10 000×1.05×（1－1.055）1－1.05解析：注意与每年投入10 000万元区别开来．3．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为(A )A.1665B.5665 C.1665或5665 D ．－1665解析：∵cos A ＝513＞0，∴sin A ＝1213＞sin B ＝35.∴B 为锐角，故cos B ＝45.从而cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝1665.4．若a c >0，则不等式①ad >bc ；②c a >cb；③a 2>b 2；④a －d －b >0，可得(－ad )>(－bc )，即ad <bc ，故知①错；由a 1b，c >0，故②正确；因为函数y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，故③正确；由d >c >0，得－d <－c <0，故知a －d <b －c ，故④正确．5．设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，下列结论中正确的是(A ) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥22＋2解析：∵1＋x ＋y ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.即x ＋y ≥2(1＋2)(当x＝y ＝1＋2时等号成立)，x ＋y 的最小值为2(1＋2)．6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 015等于(D )A ．1 006B ．1 008C ．－1 006D ．－1 008 解析：由a n ＝n cosn π2可得S 2 015＝1×0－2×1＋3×0＋4×1＋…－2 014×1＋2 015×0＝－2＋4－6＋…－2 010＋2 012－2 014＝2×503－2 014＝－1 008.7．已知方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0有两个正实根，则实数m 的取值范围是(D ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－4] C ．(－5，＋∞) D ．(－5，－4] 解析：方程两根为正，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－（m ＋2）>0，⇒－5<m ≤－4m ＋5>0. 8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是(D)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，112C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，132D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 解析：用待定系数法可得 2a ＋3b ＝52(a ＋b )－12(a －b )，由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＋b ＜3，2＜a －b ＜4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－52＜52（a ＋b ）＜152，－2＜－12（a －b ）＜－1. 两式相加即得－92＜2a ＋3b ＜132.9．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x ，则x 的取值范围是(B ) A ．(1，3) B ．(5，13) C ．(0，5) D ．(13，5)解析：由三角形的三个角为锐角，结合余弦定理的推论可知，⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，32＋x 2－22>0，解得5＜x 2＜13，即5<x < 13.10．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则(A ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x ＝－1，a >0，又∵x 1＋x 2＝0，x 1与x 2的中点为0，x 1<x 2，∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离．∴f (x 1)<f (x 2)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝________．解析：先求出角A 的余弦值，再利用余弦定理求解．由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝±15.∵A 是锐角，∴cos A ＝15.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴49＝b 2＋36－2×b ×6×15.∴b ＝5或b ＝－135.又∵b ＞0，∴b ＝5. 答案：512．(2013·陕西卷)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n 个等式可为____________．解析：当n 为偶数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n （n ＋1）2；当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－（n －1）n 2＋n 2＝n （n ＋1）2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）213．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：作出可行域(如图)，由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，则当目标函数过C (1，－1)时z取得最大值，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.答案：314．若a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n由大到小的顺序是__________________________．解析：用特殊值法或作差比较法都很容易得出答案．答案：a b ＞a ＋nb ＋n ＞b ＋m a ＋m ＞ba三、解答题(本题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 15．(本小题满分12分)等差数列{}a n 不是常数列，a 5＝10，且a 5，a 7，a 10是某一等比数列{}b n 的第1，3，5项．(1)求数列{}a n 的第20项； (2)求数列{}b n 的通项公式．解析：(1)设数列{}a n 的公差为d ，则a 5＝10，a 7＝10＋2d ，a 10＝10＋5d . 因为等比数列{}b n 的第1、3、5项成等比数列，所以a 27＝a 5a 10，即(10＋2d )2＝10(10＋5d )．解得d ＝2.5，d ＝0(舍去)．所以a 20＝47.5.(2)由(1)知{}a n 为各项非负的数列，所以q 2＝b 3b 1＝a 7a 5＝32.∴q ＝±32.又b 1＝a 5＝10， ∴b n ＝b 1q n －1＝±10·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *.16．(本小题满分12分)(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解析：(1)由正弦定理得： 3sin A ＝26sin 2A ，解得cos A ＝63. (2)由cos A ＝63⇒sin A ＝33，又∠B ＝2∠A ， ∴cos B ＝2cos 2A －1＝13.∴sinB ＝223，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×13＋63×223＝539. ∴c ＝a sin Csin A＝5. 17．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，求－cx 2＋2x －a ＞0的解集．解析：由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a ＜0，－13和12是方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由韦达定理－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a ＞0，即－2x 2＋2x ＋12＞0亦即x 2－x －6＜0.其解集为(－2，3)．18．(本小题满分14分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析：方法一设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是 z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．方法二设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出平行域如下图所示．让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．19．(本小题满分14分)如右图，某观测站C在城A南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？解析：根据题意，可得下图，其中BC ＝31千米，BD ＝20千米，CD ＝21千米，∠CAD ＝60°.设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CDB 中，由余弦定理得：cos β＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝212＋202－3122×21×20＝－17，sin β＝1－cos 2β＝437. sin α＝sin(180°－∠CAD －∠CDA ) ＝sin(180°－60°－180°＋β) ＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60° ＝437×12＋17×32＝5314.在△ACD 中，由正弦定理得：AD ＝CDsin A ·sin α＝21sin 60°×5314＝15. 此人还得走15千米到达A 城．20．(本小题满分14分)数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n ； (3)设b n ＝1n （12－a n ）(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有T n ＞m32成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ⇒a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，可知{a n }成等差数列，d ＝a 4－a 14－1＝－2，∴a n ＝8＋(n －1)·(－2)＝10－2n (n ∈N)． (2)由a n ＝10－2n ≥0得n ≤5，∴当n ≤5时，S n ＝－n 2＋9n .当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝n 2－9n ＋40.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，1≤n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥5.(3)b n ＝1n （12－a n ）＝1n （2n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2（n ＋1）＞n －12n ＝T n －1＞T n －2＞…T 1.∴要使T n ＞m 32总成立，需m 32＜T 1＝14恒成立，即m ＜8(m ∈Z)．故适合条件的m 的最大值为。

苏教版高中数学必修五同步分层能力测试题一(正余弦定理)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作同步分层能力测试题（一）A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，若a=5,b=15,A=300,则边c= 。

1. 25或5。

【解析】由余弦定理，得a 2=c 2+b 2-2cb ·cosA,代入整理得c 2-35c+10=0,∴c=25或5。

2. 在△ABC 中，已知A=450，B=600，c =1，则a= .2.213-。

【解析】由A+B+C=180，得C=1800-450-600=750。

由正弦定理，得045sin a =75sin 1， ∴a=213-。

3. 在△ABC 中，已知a=5,b=12,c=13.最大内角为度。

3.90.【解析】cosC=bca cb 2222-+=222512132512+-⨯⨯=0,C=900.4. 在△ABC 中，已知b=4,c=8,B=300.则a= 。

4. 23。

【解析】（1）由正弦定理，得sinC=bB c sin =430sin 80=1。

所以 C=900，A=180-90-30=60。

又由正弦定理，得a=B A b sin sin =30sin 60sin 4=23。

5. a,b,c 是△ABC 的三边，且B=1200,则a 2+ac+c 2-b 2的值为 .5.0.【解析】由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB= a 2+ac+c 2.6．在△ABC 中，若a=50，b=25 6 , A=45°则B= .6. 60°或120°。

【解析】由正弦定理得050256sin 45sin B=，sinB=32,故B=60°或120°。

7.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④sin sin sin a b cA B C+=+. 其中恒成立的等式序号为_______________.7.②④。

苏教版高中数学必修5试卷参考答案【试题试卷】.docx

参考答案专题一《正弦定理、余弦定理及其应用》综合检测一、选择题二、填空题11. 45°12. —13.40°14. 30^23三、解答题15.a= *+ 耳 A = 105°, C=30°16.略17. 60°18.不能2专题一《正弦定理、余弦定理及其应用》模拟试卷二、填空题13. 45°14. 5^2 15. (V2,V3)16. 9 17. (V5,而)18. V5 :3三、解答题19.468m 20 .等腰三角形或直角三角形21・tz=6, Z?=5, c~~422.-9 23. (l)sin<9-V3 cos^ + —V34(2)2+-^34【选做题】方法1正确.专题二《等差数列、等比数列》综合检测、选择题二、填空题17. (1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只18. 3n -n-1专题二《等差数列、等比数列》模拟试卷二、填空题13.芝314. 2n15.曜416. ±16n(n +1) 117. D ——+1- —2 2"18. 1三、解答题19. 60 20.略21. q =］或 a n32 12 = - n5 522. 299623.冬 1-0aq(l-q n ^(F【选做题】(1)4022031(2)3 (3)5928专题三《不等关系、一元二次不等式》综合检测一、选择题二、填空题11. (—8, 8) 12.(-, +oo| 13. -2A /2 14. 1812.713. 1 =h 也…如"(n < 17,n e N*)三、解答题15.⑴ a.=6 2n -'n(ji +1)(x = 1),16. (1) a n = In(2) S n =\2x(l-r) 2"z. v I(5、(l-x)1-.X⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了(3)第2年的规模最大三、解答题15. 当。

【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5第3模块综合检测卷(一)

模块综合检测卷(一)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(每小题共12个小题，每小题共5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M＝{x|x2<4}，N＝{x|x2－2x－3<0}，则集合M∩N 等于()A．{x|x<－2}B．{x|x>3}C．{x|－1<x<2} D．{x|2<x<3}解析：M＝{x|－2<x<2}，N＝{x|－1<x<3}，故M∩N＝{x|－1<x<2}．答案：C2．某人投资10 000万元，如果年收益利率是5%，按复利计算，5年后能收回本利和为()A．10 000×(1＋5×5%)B．10 000×(1＋5%)5C．10 000×1.05×（1－1.054）1－1.05D．10 000×1.05×（1－1.055）1－1.05解析：注意与每年投入10 000万元区别开来．答案：B3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝30°，c＝5，a＝8，则cos A等于()A.35 B ．±35 C ．－35 D.45 解析：由正弦定理得5sin 30°＝8sin A ，所以sin A ＝45.又a ＝8>c ＝5，所以A >30°.所以cos A ＝±35，故选B.答案：B4．若a c >0，则不等式①ad >bc ；②c a >cb ；③a 2>b 2；④a －d －b >0，可得(－ad )>(－bc )，即ad <bc ，故知①错；由a 1b ，c >0，故②正确；因为函数y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，故③正确；由d >c >0，得－d <－c <0，故知a －d <b －c ，故④正确．答案：C5．设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，下列结论中正确的是( ) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥22＋2解析：因为1＋x ＋y ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，即x ＋y ≥2(1＋2)(当x ＝y ＝1＋2时等号成立)，x ＋y 的最小值为2(1＋2)．答案：A6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 015等于( )A ．1 006B ．1 008C ．－1 006D ．－1 008 解析：由a n ＝n cosn π2可得 S 2 015＝1×0－2×1＋3×0＋4×1＋…－2 014×1＋2 015×0＝－2＋4－6＋…－2 010＋2 012－2 014＝2×503－2 014＝－1 008.答案：D7．已知方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0有两个正实根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－4]C ．(－5，＋∞)D ．(－5，－4]解析：方程两根为正，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－（m ＋2）>0，⇒－5<m ≤－4m ＋5>0. 答案：D8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，112 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，132 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132解析：用待定系数法可得 2a ＋3b ＝52(a ＋b )－12(a －b )，由⎩⎨⎧－1＜a ＋b ＜3，2＜a －b ＜4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－52＜52（a ＋b ）＜152，－2＜－12（a －b ）＜－1.两式相加即得－92＜2a ＋3b ＜132.答案：D9．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0，得a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即cos C ＝12，所以C ＝π3.答案：B10．已知x ＝a ＋1a －2(a >2)，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2(b <0)，则x 、y 之间的大小关系是( )A ．x >yB ．x <yC ．x ＝yD ．不能确定解析：x ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥4(a >2)，当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时取“＝”．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2.因为b <0，所以b 2－2>－2.所以y <4.所以x >y . 答案：A11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94解析：因为x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，所以z ＝x 2－3xy ＋4y 2，又x ，y ，z 为正实数，所以z xy ＝x y ＋4yx －3≥2x y ·4yx－3＝1(当且仅当x ＝2y 时取“＝”)，即x ＝2y (y ＞0)，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －(x 2－3xy ＋4y 2)＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2.所以x ＋2y －z 的最大值为2.答案：C12．在△ABC 中，若三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，则边b 所对的角为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不能确定解析：因为2b ＝1a ＋1c ≥21ac，所以b 2≤ac .所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥a 2＋c 2－ac 2ac ≥ac 2ac ＝12.所以B 为锐角．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sin B sin C ＝0，则tan A 的值是______．解析：依题意及正弦定理可得，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，则由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又0<A <π，所以A ＝2π3，tan A＝tan2π3＝－ 3. 答案：－ 314．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n 个等式可为_______________．解析：当n 为偶数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n （n ＋1）2；当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－（n －1）n 2＋n 2＝n （n ＋1）2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）215．(2015·课标全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12处z 取得最大值，且z max ＝32.答案：3216．在R 上，定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则a 的取值范围是______．解析：(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝(x －a )·(1－x －a )．则(x －a )⊗(x ＋a )<1⇒(x －a )(1－x －a )<1.又(x －a )(1－x －a )<1对x ∈R 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对x ∈R 恒成立，所以Δ＝1－4(1＋a －a 2)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32三、解答题(本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且sin Csin B＝35. (1)求AC ； (2)求角A .解：(1)由正弦定理，得AC sin B ＝ABsin C .所以AB AC ＝sin C sin B ＝35.所以AC ＝AB ·sin B sin C ＝5×33＝5.(2)由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋25－492×3×5＝－12.又0°<A <180°，所以A ＝120°.18．(本小题满分12分)若a <1，解关于x 的不等式axx －2>1.解：不等式axx －2>1可化为（a －1）x ＋2x －2>0.因为a <1，所以a －1<0. 故原不等式可化为x －21－ax －2<0.故当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪2<x <21－a .当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪21－a <x <2. 当a ＝0时，原不等式的解集为∅.19．(本小题满分12分)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知13S 3，14S 4的等比中项为15S 5；13S 3，14S 4的等差中项为1，求数列{a n }的通项公式．解：设等差数列{a n }的首项a 1＝a ，公差为d ，则S n ＝na ＋n （n －1）2d ，依题意，有 ⎩⎨⎧13⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3×22d ×14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋4×32d ＝125⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＋5×42d 2，13⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3×22d ＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋4×32d ＝1×2，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3ad ＋5d 2＝0，2a ＋52d ＝2.所以a ＝1，d ＝0或a ＝4，d ＝－125.所以a n ＝1或a n ＝325－125n ，经检验，a n ＝1和a n ＝325－125n 均合题意．所以所求等差数列的通项公式为a n ＝1或a n ＝325－125n .20．(本小题满分12分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如下图所示．让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．21．(本小题满分12分)如右图所示，某观测站C 在城A 南偏西20°的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？解：根据题意，可得下图，其中BC ＝31千米，BD ＝20千米，CD ＝21千米，∠CAD ＝60°.设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CDB 中，由余弦定理得：cos β＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD＝212＋202－3122×21×20＝－17， sin β＝1－cos 2β＝437. sin α＝sin(180°－∠CAD －∠CDA )＝sin(180°－60°－180°＋β)＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝437×12＋17×32＝5314. 在△ACD 中，由正弦定理得：AD ＝CD sin A ·sin α＝21sin 60°×5314＝15. 此人还得走15千米到达A 城．22．(本小题满分12分)数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n ；(3)设b n ＝1n （12－a n ）(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有T n ＞m 32成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ⇒a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，可知{a n }成等差数列，d ＝a 4－a 14－1＝－2，所以a n ＝8＋(n －1)·(－2)＝10－2n (n ∈N *)．(2)由a n ＝10－2n ≥0得n ≤5，所以当n ≤5时，S n ＝－n 2＋9n .当n ＞5时， S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝n 2－9n ＋40.故S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n ，1≤n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥5.(3)因为b n ＝1n （12－a n ）＝1n （2n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋1＝n 2（n ＋1）＞n －12n＝T n －1＞T n －2＞…T 1.所以要使T n ＞m 32总成立，需m 32＜T 1＝14恒成立，即m ＜8(m ∈Z)．故适合条件的m 的最大值为7.。

【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5 章末过关检测卷(一)

章末过关检测卷(一)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或120°解析：由a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝43×124＝32.又a <b ，所以B ＝60°或120°.答案：D2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：由c 2＝72＋82－2×7×8×1314，得c ＝3，所以B 是最大角，cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.答案：C3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53 B.23 C ．－53 D.53解析：因为a sin A ＝bsin B ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.答案：A4．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 3解析：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，所以 b ＝2.答案：C5．已知三角形的两边之差是2，这两边夹角的余弦值为35，且这个三角形的面积为14，那么这两边的长分别为( )A ．3，5B ．4，6C ．6，8D ．5，7解析：设三角形的两边为a ，b ，夹角为α，由cos α＝35可知，sinα＝45，由三角形面积公式，得12ab ·45＝14，得ab ＝35，观察选项知选D.答案：D6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，又a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 解析：由正弦定理得，sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝12⇒sin(A ＋C )＝12，亦即sin B ＝12，又a ＞b ，所以B ＝π6.答案：A7．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于( )A.63B.62C.12D.32解析：由大边对大角知A ＝75°，故边a 最长，边b 最短，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b ＝63.答案：A8．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56解析：由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，所以a ＝52 b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，所以sin 2B sin B ＝52，所以cos B ＝54. 答案：B9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(a 2，b 2)，n ＝(tan A ，tan B )，且m ∥n ，那么△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形解析：由m ∥n 得：a 2tan B ＝b 2tan A ，结合正弦定理有sin 2Bsin 2A＝tan B tan A ，所以sin B sin A ＝cos Acos B，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π. 所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，即△ABC 是等腰或直角三角形．答案：D10．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为A ＝60°，所以第三边即为a .又b ＋c ＝7， bc ＝11，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3× 11＝16. 所以a ＝4. 答案：C11．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解解析：A 中，因为a sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，所以B ＝90°，即只有一解；B 中，因为sinC ＝20sin 60°18＝539，且c ＞b ，所以C ＞B ，故有两解；C 中，因为A ＝90°，a ＝5，c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解．故A 、B 、C 都不正确，用排除法应选D.答案：D12．(2015·湖北卷)如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.A ．100B ．100 6C ．120 6D ．200 6解析：在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，由600sin 45°＝BCsin 30°得BC ＝300 2 (m)．在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝2，b ＝3，cos C ＝13，则其外接圆半径为________．解析：因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×13＝9，所以c ＝3，sin C ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.所以R ＝c2sin C ＝98 2.答案：982 14．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________．解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，因为 a ＝4，b ＝5，c ＝6，所以 sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：115．(2015·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________．解析：因为 3sin A ＝2sin B ，所以 3a ＝2b . 又a ＝2，所以 b ＝3.由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，得c ＝4.答案：416．(2014·山东卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．解析：已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积 S ＝12|AB →||AC →|· sin π6＝12×23×12＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)(2015·课标全国Ⅱ卷)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin B sin C；(2)若∠BAC ＝60°，求B . 解：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋12sin B .由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，所以B ＝30°.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解：(1)因为cos B ＝35>0，且0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝4，所以12×2·c ·45＝4，所以c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解：(1)因为m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B2－1，m ∥n .所以2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ，所以tan 2B ＝－ 3. 又因为角B 为锐角，所以2B ＝2π3，即B ＝π3.(2)已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．因为△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，所以△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.20．(本小题满分12分)如图所示，货轮在海上以35 n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为 122°.半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．解：在△ABC 中，∠B ＝152°－122°＝30°，∠C ＝180°－152°＋32°＝60°，∠A ＝180°－30°－60°＝90°，BC ＝352，所以AC ＝352sin 30°＝354.所以船与灯塔间的距离为354n mile.21．(本小题满分12分)(2014·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33，又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63. 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2，得 cos B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )．所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A ×cos B ＋cosA sinB ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322. 22．(本小题满分12分)(2014·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值； (2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．解：(1)由题意可知：c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，可得： sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A 2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C . 因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知：a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.。

【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5章末过关检测卷(二) (2)

第2章数列 2.3 等比数列 2.3.3 等比数列的前n 项和A 级基础巩固一、选择题1．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，要使{a n }是等比数列，则b 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝3＋b （n ＝1），S n －S n －1＝2·3n －1（n ≥2），要使{a n }成等比数列，则3＋b ＝2·31－1＝2，即b ＝－1. 答案：C2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1q ＋10a 1，a 1q 4＝9⇒⎩⎨⎧a 1＝19，q 2＝9.答案：C3．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152 D.172解析：S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝15a 1，a 2＝a 1q ＝2a 1，所以S 4a 2＝152.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：由3a n ＋1＋a n ＝0得a n ＋1a n ＝－13，所以{a n }是以－13为公比的等比数列．而a 2＝－43，所以a 1＝4，故S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝3(1－3－10)．答案：C5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶3解析：在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.答案：A二、填空题6．在由正数组成的等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝4，则a 5＋a 6＝________．解析：因为{a n }成等比数列，所以a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．所以(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)．所以a 5＋a 6＝421＝16.答案：167．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公式q ＝________．解析：设{a n }的公比为q ，由已知可得q ≠1，则奇数项也构成等比数列，其公式为q 2，首项为a 1， S 2n ＝a 1（1－q 2n ）1－q ，S 奇＝a 1[1－（q 2）n ]1－q 2.由题意得a 1（1－q 2n ）1－q ＝3a 1（1－q 2n ）1－q 2，所以1＋q ＝3.所以q ＝2. 答案：28．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________．解析：由⎩⎨⎧a 2a 3＝2a 1，a 4＋2a 7＝52⇒⎩⎨⎧a 1qa 1q 2＝2a 1，a 1q 3＋2a 1q 6＝52.解得⎩⎨⎧a 1＝16，q ＝12.所以S 5＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.答案：31 三、解答题9．在14与78之间插入n个数，组成各项总和为958的等比数列，求该数列的项数．解：插入n个数后，数列共有(n＋2)项，应用求和公式S n＝a1－a n q1－q，得778＝14－78q1－q，即77－77q＝112－7q，解得q＝－1 2.应用通项公式a n＝a1q n－1，得78＝14·qn＋1，q n＋1＝116，故得n＝3，所以项数n＋2＝5.所以该数列的项数为5.10．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n}中的b3，b4，b5.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以数列{b n}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.又因为{b n}为等比数列，所以(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．于是b3＝5，b4＝10，q＝b4b3＝2，所以b n＝5·2n－3.(2)由(1)知数列{b n}是首项b1＝54，公比q＝2的等比数列，根据等比数列的前n 项和公式可知 S n ＝54（1－2n ）1－2＝5·2n －2－54.B 级能力提升一、选择题11．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米解析：小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝2993964≈300(米)．答案：A12．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列b n ＝1a n a n ＋1前n 项的和为( )A ．4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 B ．4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1 C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1解析：因为a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n （n ＋1）2n ＋1＝n2，所以b n ＝1a n a n ＋1＝4n （n ＋1）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.所以S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. 答案：A13．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析：设{a n }的公比为q ，对于①f （a n ＋1）f （a n ）＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2是常数；对于②，f （a n ＋1）f （a n ）＝2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 不是常数；对于③，f （a n ＋1）f （a n ）＝|a n ＋1||a n |＝|q |是常数；对于④，f （a n ＋1）f （a n ）＝ln|a n ＋1|ln|a n |不是常数．答案：C 二、填空题14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 2，3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．解析：由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．所以a 2＝3a 3，所以{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.答案：1315．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．解析：由题意a1＋a3＝5，a1a3＝4，又{a n}是递增数列，所以a1＝1，a3＝4，q2＝a3a1＝4，所以q＝2.从而S6＝（1－26）1－2＝63.答案：63三、解答题16．已知等比数列{a n}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1a1＋1a2＋…＋1a m≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)由a1a2a3＝125，即a32＝125，即a2＝5，又|a2－a3|＝10，即a2|q－1|＝10得q＝－1或3.所以通项公式为a n＝5×(－1)n－2或a n＝5×3n－2，n∈N*.(2)若q＝－1，则1a1＋1a2＋…＋1a m＝－15或0，不存在这样的正整数m；若q＝3，则1a1＋1a2＋…＋1a m＝910⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫13m＜910＜1，也不存在这样的正整数m.综上，这样的m不存在．。

高中数学苏教版必修5同步训练：第一章章末检测

第一章章末检测1、在ABC △中,60A =︒,且最大边长和最小边长是方程27110x x -+=的两个根,则第三边的长为( )A.2B.3C.4D.52、在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()22m ,,tan ,tan a b n A B ==,且//m n ,那么ABC ∆一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形3、根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是( )A. 8a =,16b =,30A =︒,有两解B. 18b =,20c =,60B =,有一解C. 5a =,2c =,90A =︒,无解D. 30a =,25b =,150A =,有一解4、如图所示,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD =______m .A. 100B. 1006C. 1206D. 20065、在ABC ∆中,若a= b,A=2B 52,则cosB 等于( )A.B. 4C. 5D.6、在ABC ∆中, 45B =︒,60C =︒,1c =,则最短边的边长等于( )A.B. 2C. 12D.2 7、在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,又1 2asin Bcos C csin Bcos A b +=,且a b >,则B =( ) A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π 8、已知三角形的两边之差是2,这两边夹角的余弦值为35,且这个三角形的面积为14,那么这两边的长分别为( )A.3,5B.4,6C.6,8D.5,79、设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2, a c cos A ===,且b c <,则b =( )A. 3B. C. 2D. 10、在ABC ∆中, 15,20,30a b A ===︒,则cosB =( )A. B. 23C. -D. 311、一艘船以20km/h 的速度向正北航行,船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向上,1h 后,船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75︒的方向上,这时船与灯塔的距离BC 等于_____km .12、在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若22a b -=,sin C B =,则A 等于__________.13、已知角,,A B C 是三角形ABC 的内角,,,a b c 分别是其对边长,向量223sin ,cos ,cos ,2,222A A A m n m n ⎛⎫⎛⎫==-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且2, 2a cos B ==则b =__________ 14、在ABC ∆中,已知 AB AC tan A ⋅=,当π6A =时ABC ∆的面积为________. 15、如图所示,已知O 的半径是1,点C 在直径AB 的延长线上, 1BC =,点P 是O 半圆上的一个动点,以PC 为边作等边三角形PCD ,且点D 与圆心分别在PC 的两侧.(1)若POB θ∠=,试将四边形OPDC 的面积y 表示成关于θ的函数;(2)求四边形OPDC 面积的最大值.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：在ABC △中,60A =︒,所以,B C 不可能均大于A 或均小于A ,一角比A 大,一角比A 小, 故,b c 分别是最大边长和最小边长且为方程27110x x -+=的两个根,7,11b c bc +==, 第三边的长()22222cos 216a b c bc A b c bc bc =+-=+--=,4a =.2答案及解析：答案：D解析：由//m n 得: 22a tan Bb tan A =,结合正弦定理有=22sin B tanB sin A tanA ,所以=sinB cosA sinA cosB , 所以22sin A sin B =,所以22A B =或22A B π+=.所以A B =或2A B π+=,即ABC ∆是等腰或直角三角形.3答案及解析：答案：D解析：A. 8,16,30a b A ===︒,则90B =,有一解;B. 18,20,60b c B ===︒,由正弦定理得1820,sin sin sin 60sin b c B C C==︒解得sin C =,因为b c <,有两解; C. 5,2,90a c A ===︒,有一解;D. 30,25,150a b A ===︒,有一解是正确的.故选D.考点:三角形解得个数的判断.4答案及解析：答案：B解析：在ABC ∆中,30,18075105BAC ABC ∠=︒∠=︒-︒=︒,故45ACB ∠=︒.又600AB m =,由=︒︒600BC sin45sin30得)BC m =.在Rt BCD ∆中, )30CD BC tan m =⋅︒==.5答案及解析：答案：B解析：由正弦定理得sin sin a A b B=,所以可化为=sinA sinB .又2A B =,所以=sin2B sinB ,所以cosB =6答案及解析：答案：A解析：∵45,60,1B C c =︒=︒=,∴由正弦定理sin sin b c B C=得sin sin 45sin sin 603c B b C ︒===︒,故选A. 考点:本题考查了正弦定理的运用点评:熟练掌握正弦定理及其变形是解决此类问题的关键,属基础题7答案及解析：答案：A解析：由正弦定理得,12sinAsinBcosC sinCsinBcosA sinB +=, 即()1122sinAcosC cosAsinC sin A C +=⇒+=, 亦即1sin 2B =,又a b >,所以.6B π=8答案及解析：答案：D 解析：设三角形的两边为,a b ,夹角为α,由3cos 5α=可知, sin α=45,由三角形面积公式,得1142ab ⋅=45,得 35ab =,观察选项知选D.9答案及解析：答案：C解析：由2222?a b c bccos A =+-,得24126b b =+-,解得2b =或4.又b c <,所以2b =.10答案及解析：答案：A解析：因为sin sin a b A B =,所以=︒1520sin30sinB,解得sinB=23.因为b a>,所以BA>,故B有两解,所以.cos B=±511答案及解析：答案：202解析：如图所示,易知30B∠=︒,则sin45sin30BC AC=︒︒,所以()202sin45202km1sin3022ACBC=⨯︒=⨯=︒.12答案及解析：答案：30°解析：由sin23C B=,得23c b=,把它代入223a b bc-=得2226a b b-=, 即227a b=.由余弦定理,得222222223cos222343b c aAbc b b b+-====⋅.又∵0180A︒<<︒,∴30A=︒.13答案及解析：423解析：∵0m n ⋅=∴220,222A A cos co A s -=∵ 0,cos ≠30,60,2A tan A ∴=∴=︒∴=︒∵,sin sin sin 3a b B A B ===∴2sin sin a B b A ===14答案及解析：答案：16解析：已知π6A =,由题意得c s 23o AB AC tan AB AC ππ⋅=⋅=66, 所以ABC ∆的面积1121sin 122326S AB AC π=⋅⋅=⨯⨯=615答案及解析：答案：(1) 2sinππ3y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2) 2+解析：(1)在POC △中,由余弦定理得:2222cos 54cos PC OP OCOP OC θθ=+-⋅=-,∴ 112sin 4cos )2OPC PCDy S S θθ=+=⨯⨯-△△ 2sin ππ3⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)当2ππ3θ-=,即5π6θ=时, max 2y =. 即四边形OPDC 面积的最大值为2.由Ruize收集整理。

【苏教版】高中数学必修5同步辅导与检测：章末知识整合(含答案)

章末知识整合[整合·网络构建]专题1利用正弦、余弦定理解三角形[典例1]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－2a sin C＝b sin B.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.分析：(1)由已知等式的特点，利用正弦定理把已知等式转化为边之间的关系，然后再结合余弦定理求解．(2)由(1)知两角和一角的对边，利用正弦定理求解．解：(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ·sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ·sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 归纳拓展解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .[变式训练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值．解：由题意得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因此A ＝60°. 在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B .由已知条件可得：12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin （120°－B ）sin B＝sin 120°cos B －cos 120°sin B sin B＝32tan B ＋12，从而tan B ＝12. 专题2 三角形形状的判断[典例2] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．分析：只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理，可得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°.(2)法一：由(1)知B＋C＝60°，B＝60°－C，由sin B＋sin C＝1，得sin(60°－C)＋sin C＝1，即sin 60°cos C－cos 60°sin C＋sin C＝1，即sin(C＋60°)＝1，而0°＜C＜60°，所以C＝30°.故B＝30°，所以△ABC为等腰钝角三角形．法二：由(1)b2＋c2＋bc＝a2得sin2B＋sin2C＋sin B sin C＝sin2A，即(sin B＋sin C)2－sin B sin C＝3，4所以sin B sin C＝14.与sin B＋sin C＝1联立，解得sin B＝sin C＝1，2而0°＜B，C＜60°，所以B＝C.所以△ABC为等腰钝角三角形．归纳拓展要注意正弦的多值性，否则可能漏解．另外，还要注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的区别．判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角函数方法求解．在解三角形时的常用结论有：(1)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2，则cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C 2. (3)在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2⇔C >π2，a 2＋b 2＝c 2⇔C ＝π2，a 2＋b 2>c 2⇔0<C <π2. [变式训练]2．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．解：法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C .因为B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.则A ＝120°－C ，代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ，整理得32sin C ＋12cos C ＝1. 所以sin(C ＋30°)＝1，所以C ＋30°＝90°，所以C ＝60°.故A ＝60°.所以△ABC 为正三角形．法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为B ＝60°，b ＝a ＋c 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°.整理，得(a －c )2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c .所以△ABC 为正三角形．专题3 求三角形的面积[典例3] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b . (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S . 分析：(1)利用正弦定理将已知等式左边化成角，进而化简整理等式可求解；(2)利用余弦定理及(1)的结论先求出边c ，再求面积．解：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin C sin A＝2.(2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a . 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2·14，解得a ＝1.从而c ＝2. 又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154. 因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154. 归纳拓展三角形面积公式：S △＝12ah a ＝12bc sin A ＝abc 4R＝pr ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中A ，B ，C 分别为△ABC 的边a ，b ，c 的对角，R ，r 分别为△ABC 的外接圆和内切圆半径，p ＝12(a ＋b ＋c )．[变式训练]3．在△ABC 中，已知a ＝3，cos A ＝78，且b 2－bc －2c 2＝0. (1)求b ，c 的值；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由b 2－bc －2c 2＝0得(b ＋c )(b －2c )＝0，即b ＝2c ，再由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得3＝(2c )2＋c 2－2×2c 2·78，解得c ＝2，b ＝2 2.(2)因为cos A ＝78，所以sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×22×2×158＝154. 题型4 正弦、余弦定理的应用[典例4] 已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？分析：由题意画出图形，把实际问题转化为数学问题，用解三角形的方法解决．解：如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202(海里)，∠ABC ＝90°－75°＝15°，∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°.由正弦定理，得AC sin 15°＝BC sin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)．故A 到航线的距离为AD ＝AC sin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．归纳拓展应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等．(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[变式训练]4．2009年国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图所示，在坡度为 15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排距离为106米，求旗杆的高度．解：设旗杆的高度为x 米，∠ABC ＝105°，∠CAB ＝45°，所以∠ACB ＝30°.根据正弦定理可知BC sin 45°＝106sin 30°，即BC ＝20 3.所以旗杆高度x＝BC sin 60°＝203×3＝30(米)．2故旗杆的高度为30米．。

苏教版高中数学同步辅导与检测：必修5 第1章1.2余弦定理

第1章解三角形1.2 余弦定理A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2－a2－b22ab>0，则△ABC( )A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形解析：由题意知a2＋b2－c22ab<0，即cos C<0，所以△ABC为钝角三角形．答案：C2．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则B等于( ) A．30° B．45° C．60° D．120°解析：cos B＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12，所以B＝60°.答案：C3．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：设边长为7的边所对的角为θ，则由余弦定理得：cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，所以θ＝60°. 所以最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：因为a 2＝b 2－c 2＋2ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，又0°<B <180°，所以B ＝45°.答案：A5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19解析：由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19. 答案：D二、填空题6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C ＝_____________________________.解析：由3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0得a 2＋b 2－c 2＝－23ab ，从而cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－13. 答案：－137．(2014·福建卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．解析：由余弦定理可知：cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝4＋AB 2－32×2AB ＝12，所以AB ＝1.答案：18．设2a ＋1，a ，2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________．解析：由题意知2a ＋1是三角形的最大边，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋2a －1>2a ＋1，a 2＋（2a －1）2－（2a ＋1）22a （2a －1）<0，所以2<a <8.答案：(2，8)三、解答题9．在△ABC 中，B ＝120°，若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以ac ＝3.故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334. 10．在△ABC 中，∠C ＝90°，现以a ＋m ，b ＋m ，c ＋m (m ＞0)为边长作一个△A ′B ′C ′，试判断△A ′B ′C ′的形状．解：最大边长c ＋m 所对角为C ′，则cos C ′＝（a ＋m ）2＋（b ＋m ）2－（c ＋m ）22（a ＋m ）（b ＋m ）＝（a 2＋b 2－c 2）＋2m （a ＋b －c ）＋m 22（a ＋m ）（b ＋m ）＝2m （a ＋b －c ）＋m 22（a ＋m ）（b ＋m ）＞0，所以C ′为锐角，而C ′为△A ′B ′C ′的最大角，故△A ′B ′C ′为锐角三角形．B 级能力提升一、选择题11．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4解析：设夹角为α，所对的边长为m ，则由5x 2－7x －6＝0，得(5x ＋3)(x －2)＝0，故得x ＝－35或x ＝2，因此cos α＝－35，于是m 2＝52＋32－2×5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝52，所以m ＝213. 答案：B12．在不等边三角形中，a 为最大边，如果a 20，故知A为锐角，又A是不等边三角形的最大角，故A>60°，所以60°<A<90°.答案：C13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则B＝( )A.π6B.π3或2π3C.π6或5π6D.π3解析：由(a2＋c2－b2)tan B＝3ac得a2＋c2－b2＝3actan B，再由余弦定理得：cos B＝a2＋c2－b22ac＝32tan B，即tan B cos B＝32，即sin B＝32，所以B＝π3或2π3.答案：B二、填空题14．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．解析：由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝32 c.代入b－c＝14a，整理得a＝2c.故cos A＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c·c＝－14.答案：－1 415．已知△ABC的三边a，b，c，且面积S＝a2＋b2－c24，则C＝________．解析：由12ab sin C＝a2＋b2－c24得a2＋b2－c2＝2ab sin C，再由余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab得sin C＝cos C，所以C＝π4.答案：π4三、解答题16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cos C＝14 .(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A －C )的值．解：(1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，所以c ＝2.所以△ABC 的周长为1＋2＋2＝5.(2)因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22＋22－122×2×2＝78. 所以sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158. 所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.。

【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5 章末知识整合

章末知识整合[整合·网络构建]专题1 转化与化归思想的应用[典例1] 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．分析：“范围”问题是数学中的常见问题，一般可将“范围”看成函数定义域、值域，或看成不等式的解集等．解：法一(看成函数的值域)：因为ab ＝a ＋b ＋3，所以b ＝a ＋3a －1(显然a ≠1)，且a ＞1. 所以ab ＝a ·a ＋3a －1＝（a －1）2＋5（a －1）＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号．又a ＞3时，(a －1)＋4a －1＋5单调递增，所以ab 的取值范围是[9，＋∞)．法二(看成不等式的解集)：因为a ，b 为正数，所以a ＋b ≥2ab .又ab ＝a ＋b ＋3，所以ab ≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0. 解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)，所以ab ≥9，即ab 的取值范围是[9，＋∞)．法三：若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（t －3）2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3＞0，ab ＝t ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t ＞3，t ＞0，解得t ≥9，即ab ≥9，所以ab 的取值范围是[9，＋∞)．归纳拓展不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解．由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的，这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．[变式训练]1．如果关于x 的不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为4x 2＋6x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0恒成立，从而原不等式可以利用不等式的基本性质，等价转化为2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3(x ∈R)．即2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )＞0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(6－2m )2－4×2(3－m )＝4(m －1)·(m －3)＜0，解得1＜m ＜3.答案：(1，3)2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：法一：在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，而y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在定义域内单调递增，所以当x ＝1时，y min ＝3＋a .于是当y min ＝3＋a >0时，不等式f (x )>0恒成立，故a >－3.法二：f (x )＝x ＋a x＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )单调递增，故当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故－3<a <0.综上可得实数a 的取值范围是a >－3.专题2 函数与方程思想的应用[典例2] 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1，4]，求实数a 的取值范围．解：M ⊆[1，4]有两种情况：其一是M ＝∅，此时Δ<0；其二是M ≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a 的取值范围．设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，则有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)，(1)当Δ<0时，－1<a <2，M ＝∅⊆[1，4]；(2)当Δ＝0时，a ＝－1或2.当a ＝－1时，M ＝{－1} [1，4]．当a ＝2时，M ＝{2}⊆[1，4]；(3)当Δ>0时，a <－1或a >2.设方程f (x )＝0的两根x 1，x 2，且x 1<x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M ⊆[1，4]⇔1≤x 1≤x 2≤4⇔⎩⎨⎧f （1）>0，且f （4）>0，1≤a ≤4，且Δ>0.即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3>0，18－7a >0，1≤a ≤4，a <－1或a >2.解得2<a <187，所以M ⊆[1，4]时，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，187. 归纳拓展函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决．方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识，通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决．函数与方程二者密不可分，如函数解析式y＝f(x)也可看作方程．函数有意义则方程有解，方程有解则函数有意义等．函数与方程思想体现了静与动，变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一．具体包括：(1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况，讨论不等式的取值情况．(2)利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实际中的应用．(3)利用方程解决有关函数的问题．函数、方程、不等式三者密不可分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑．在不等式问题中，很多可以从函数的角度进行求解．如f(x)＞a恒成立等价于f(x)min＞a.[变式训练]3．求证：sin2x＋4sin2x≥5.证明：设sin2x＝t，原式变形为f(t)＝t＋4 t ，则f(t)在t∈(0，1]时为单调递减函数．因为0＜sin2x≤1，所以当sin2x＝1.即t ＝1时，f (t )有最小值，f (t )min ＝5.所以f (t )＝t ＋4t ≥5，即sin 2 x ＋4sin 2 x≥5. 4．定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：由f (1－a )＋f (1－a 2)＜0得f (1－a )＜－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，1－a ＞a 2－1，－1＜1－a 2＜1⇒0＜a ＜1.所以a 的取值范围是(0，1)．专题3 分类讨论思想的应用[典例3] 解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0(a ∈R)．分析：先将不等式左边分解因式，然后对两根的大小比较，分类求解不等式．解：原不等式转化为(x －2a )(x ＋a )<0.对应的一元二次方程的根为x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)当a >0时，x 1>x 2，不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)当a ＝0时，原不等式化为x 2<0，无解；(3)当a <0时，x 1<x 2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．综上所述，原不等式的解集为：当a>0时，{x|－a<x<2a}；a＝0时，x∈∅；当a<0时，{x|2a<x<－a}．归纳拓展分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破．在解答数学题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决．这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，先去解决各个局部问题，最后达到整体上的解决．通俗一点说，就是“化整为零，各个击破”，这种处理数学问题的思想，就是“分类讨论”的思想，分类讨论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用．分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象，确定对象的范围．(2)确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏．(3)逐类讨论，获得阶段性结果．(4)归纳总结，得出结论．[变式训练]5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．解：当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立．当a －2≠0时，由题意得⎩⎨⎧a －2<0，Δ<0，即⎩⎨⎧a <2，4（a －2）2－4（a －2）（－4）<0.解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为－2<a ≤2.6．求函数y ＝2－3x －4x的最值．解：显然x ≠0.①当x >0时，y ＝2－⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ，令y 1＝3x ＋4x ，因为x >0，所以3x >0，4x>0. 故y 1＝3x ＋4x ≥2 3x ·4x＝4 3. 当且仅当3x ＝4x ，即x ＝23(负值舍去)时，取等号，所以(y 1)min ＝43，当y 1取最小值时，y 取最大值．所以当x ＝23时， y max ＝2－4 3.②当x <0时，y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ，令y 2＝3x ＋4x ，则－y 2＝(－3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x . 因为x <0，所以－3x >0，－4x>0. 故－y 2≥2 （－3x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝43，即y 2≤－43，当且仅当－3x ＝－4x ，即x ＝－23(正值舍去)时，取等号所以(y 2)max ＝－43，当y 2取最大值时，y 取最小值．题型4 数形结合思想的应用[典例4] 求使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围．分析：因不等式左边为对数式，右边为整式，故不可解，所以可借助函数图象求解．解：如右图所示，在同一平面直角坐标系中作出函数y 1＝log 2(－x )，y 2＝x ＋1的图象，易知两图象交于点(－1，0)．显然y 1＜y 2的x 的取值范围是(－1，0)．归纳拓展数形结合就是把数学关系的精确刻画(代数关系)与几何图形的直观形象有机结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题变得简单，数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等，有时，可以用数形结合的思想寻找解题思路，具体体现为：(1)由数化形，由条件绘制相似图形，使图形能充分反映出它们的数量关系，从而解决问题．(2)由形化数，借助于图形，通过观察研究，得出图形中蕴含的数量关系，反映出事物的本质特征．(3)数形转换，化抽象为直观，化难为易．[变式训练]7．已知f(x)是定义域R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)＜5的解集是________．解析：作出y＝f(x)的图象如图所示，f(5)＝f(－5)＝5.所以|x＋2|＜5，即－7＜x＜3.答案：(－7，3)8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且－1≤f (－1)≤0，2≤f (1)≤4，求b ＋1a ＋2的取值范围．解：由－1≤f (－1)≤0，2≤f (1)≤4，可得－1≤a －b ≤0，2≤a ＋b ≤4.求b ＋1a ＋2的取值范围即是求经过点(a ，b )和点(－2，－1)的直线的斜率的范围．关于a ，b 构成的平面区域如图所示，根据图象可以得到b ＋1a ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1.。

苏教版高中数学同步辅导与检测：必修5章末过关检测卷(二) (1)

章末过关检测卷(二)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．在等差数列{a n }中，已知a 6＝8，则前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176解析：由等差数列的求和公式和性质可得：S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝88. 答案：B2．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，＋∞ B ．(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 解析：依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 9≤0，a 10＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－24＋8d ≤0，－24＋9d ＞0，解得83＜d ≤3.答案：D3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9根B ．10根C ．19根D ．29根解析：设钢管被放成n 层，则钢管数为S n ＝n （n ＋1）2，当n ＝19时，钢管数为190，当n ＝20时，钢管数为210＞200，故知只能放19层，剩余钢管为10.答案：B4．(2014·天津卷)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1，2a 1－1，4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1 ·(4a 1－6)．解得a 1＝－12.答案：D5．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24解析：由等比数列的前三项为x，3x＋3，6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x＝－3，公比q＝3x＋3x＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.答案：A6．等差数列{a n}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是( ) A．a11 B．a10 C．a9 D．a8解析：因为数列{a n}的前11项的平均值是5，即a1＋a112＝5，故得a11＝15，又数列前11项的和为55，抽取1项后，余下10项的和为40，故知抽取的项是15，即抽取的项是a11.答案：A7．等差数列{a n}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A．a8 B．a9 C．a10 D．a11解析：由已知a n＝70＋(n－1)·(－9)＝79－9n.令a n＝0得n＝799，所以n＝9时，|a9|＝|－2|＝2，即绝对值最小的项为a9.答案：B8．若{a n}，{b n}满足a n·b n＝1，a n＝n2＋3n＋2，则{b n}的前10项和为( )A.12B.512C.13D.712解析：b n＝1a n＝1n2＋3n＋2＝1（n＋1）（n＋2），用裂项法可求{b n}的前10项和为5 12.答案：B9．将全体正整数排成一个三角数阵(如图所示)，根据图中规律，数阵中第n行(n≥3)的从左到右的第3个数是( )12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………A.n（n－1）2B.n（n＋1）2C.n（n－1）2＋3 D.n（n＋1）2＋3解析：由第一行起每行中的第一个数构成一个数列{a n }，由表格可知a n －a n －1＝n －1，由叠加法可得a n ＝1＋n （n －1）2，故第n 行第3个数为n （n －1）2＋3.答案：C10．各项都是正数的等比数列{a n }中，公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于( )A.－1－52 B ．2＋ 5 C.5＋12 D.5－12解析：由2a 5＝a 3＋a 6，得2a 1q 4＝a 1q 2＋a 1q 5，即2q 2＝1＋q 3，q 2－1＝q 3－q 2，因为q ≠1，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1±52，又a n >0，所以q ＝1＋52.而a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 1q 2（1＋q 2）a 1q 3（1＋q 2）＝1q ＝5－12. 答案：D11．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列．则( )A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0解析：因为{a n}是等差数列，则a n＝a1＋(n－1)d，所以2a1a n＝2a21＋a1(n－1)d，又由于{2a1a n}为递减数列，所以2a1a n2a1a n＋1＝2－a1d＞1＝20，所以a1d＜0.答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为( )A．q B．12qC．(1＋q)12D．(1＋q)12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S2－S1S1＝S2S1－1＝(1＋q)12－1.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2015·课标全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝______．解析：由题意知{a n }为等比数列．首项a 1＝2，公比q ＝2，由S n＝2（1－2n ）1－2＝126，得n ＝6.答案：614．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，a 1＝2，且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项公式b n ＝________．解析：由3a n ＋1＝a n ，a 1＝2得a n ＝2×13n ＋1，又因为b n ＝a n ＋a n ＋12，所以b n ＝2×13n －1＋2×13n2＝13n －1＋13n ＝43n .答案：43n15．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋2tn ，当且仅当n ＝7时S n 最大，则t 的取值范围是________．解析：数形结合，利用二次函数图象可得对称轴x ＝t ∈(6.5，7.5)．答案：(6.5，7.5)16．(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝__________.解析：因为 a 2，a 3，a 7成等比数列，所以 a 23＝a 2·a 7，所以 (a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.① 又因为 2a 1＋a 2＝1，所以 3a 1＋d ＝1.② 由①②解得a 1＝23，d ＝－1.答案：23－1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)(2015·重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和为S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92，解得a 1＝1，d ＝12，故{a n }的通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2，故{b n }的前n 项和T n ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1.18．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{}a n 的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{}a n 的通项公式为a n ＝13－3n (n ∈N *)．(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n10（10－3n）.19．(本小题满分12分)(2015·北京卷)已知等差数列{a n}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？解：(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以a4＝4＋2(n－1)＝2n＋2 (n＝1，2，…)．(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63，所以b6与数列{a n}中的第63项相等．20．(本小题满分12分)(2015·广东卷)设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*.已知a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当n≥2时，4S n＋2＋5S n＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．(1)解：当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n－S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．因为 4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以 4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以 a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．21．(本小题满分12分)用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%，按复利计算．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保留4个有效数字)参考数据：(1＋1%)19＝1.208，(1＋1%)20＝1.220，(1＋1%)21＝1.232.解：由题易得x (1＋1%)19＋x (1＋1%)18＋…＋x (1＋1%)＋x ＝1 000(1＋1%)20，即x ·（1＋1%）20－11%＝1 000×(1＋1%)20，所以x ＝1 000×1%×（1＋1%）20（1＋1%）20－1≈55.45，即每月还款55.45元．所以买这件家电实际付款55.45×20＋150＝1 259(元)，每月还款55.45元．22．(本小题满分12分)(2014·课标全国Ⅰ卷)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2.所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.。

【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5不等式的综合应用章末过关检测卷(三)

章末过关检测卷(三)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a ＞1b B ．2a ＞2b C ．|a |＞|b |D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b解析：因为a ＜b ＜0，所以ab ＞0.所以a ·1ab ＜b ·1ab ，即1a ＞1b.由y ＝|x |(x ＜0)为减函数和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数知C 、D 成立，因此不能成立的是B.答案：B2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5 解析：1a ＋4b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92. 答案：C3．不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由已知得a <0且13，12为方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根，故13＋12＝－5a ，13×12＝ca ，解得a ＝－6，c ＝－1，故选B. 答案：B4．(2014·浙江卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：由题意得⎩⎨⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，化简得⎩⎨⎧3a －b －7＝0，4a －b －13＝0，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝11.所以f (－1)＝c －6.所以0＜c －6≤3.解得6＜c ≤9，故选C. 答案：C5．已知向量a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z )且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[－2，3]C ．[－3，2]D ．[－3，3]解析：由a ⊥b ⇒a ·b ＝0即2(x ＋z )＋3(y －z )＝0亦即z ＝2x ＋3y ，由约束条件|x |＋|y |≤1，画出平行域．可知z 在(0，－1)和(0，1)时分别得最小值－3和最大值3，故z ∈[－3，3]．答案：D6. 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x (k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x＝45x ，即x ＝5时等号成立．答案：A7．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2 C.b a ＋ab＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b |解析：由1a ＜1b ＜0，所以a ＜0，b ＜0.所以0＞a ＞b .由不等式基本性质知A 、B 、C 正确．答案：D8．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( )A ．(－3，4)B ．(－3，－4)C ．(0，－3)D ．(－3，2)解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x ＋2y ＋5>0.答案：A9．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( )A ．(－5，－4]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4]解析：令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －2）2－4（5－m ）≥0，f （2）>0，－m －22>2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥16，m >－5，m <－2.⇒－5<m ≤－4，故选A.答案：A10．下列结论正确的是( ) A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值解析：由基本不等式知：因为x ＞0，所以x ＞0. 由x ＋1x≥2x ·1x ，即x ＋1x≥2，所以x ＝1x，x ＝1 时“＝”成立．答案：B11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xyz取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：xy z ＝xyx 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝－1y2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：B12．(2015·重庆卷)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为()A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D的坐标分别为A (2，0)，B (1－m ，1＋m )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m ，0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2015·广东卷)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)解析：由－x 2－3x ＋4>0，得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1. 答案：(－4，1)14．(2015·课标全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A (1，3)处， yx取得最大值3.答案：3 15．函数y ＝1x －2＋x ＋1(x >2)的图象的最低点的坐标是________．解析：由y ＝1x －2＋x ＋1＝1x －2＋x －2＋3≥2＋3＝5(x >2)当且仅当1x －2＝x －2，即x ＝3时，取“＝”号．故函数y ＝1x －2＋x ＋1的图象最低点为(3，5)．答案：(3，5)16．如图建立平面直线坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为______千米．解析：令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)解下列不等式： (1)3x 2＋5x －2＞0； (2)x ＋1x＜3.解：(1)3x 2＋5x －2＝(3x －1)(x ＋2)＞0，所以x ＞13或x ＜－2，即不等式的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)原不等可变形为2x －1x＞0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞12.18．(本小题满分12分)已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切实数x 恒成立．显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2.从而有⎩⎨⎧a ＋2>0，Δ＝42－4（a ＋2）（a －1）<0，整理得⎩⎨⎧a >－2，（a －2）（a ＋3）>0，所以⎩⎨⎧a >－2，a <－3或a >2，即a >2，故a 的取值范围是(2，＋∞)．19．(本小题满分12分)设f (x )＝ax 2＋bx ，1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎨⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎨⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10.20．(本小题满分12分)设f (x )＝2x ＋44x ＋8.(1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a 、b 恒有f (a )＜b 2－3b ＋214. (1)解：f (x )＝16×2x 22x ＋8＝162x ＋82x ≤162 2x·82x ＝1642＝22，当且仅当2x ＝82x 时，即x ＝32时，等号成立．所以f (x )的最大值为2 2.(2)证明：因为b 2－3b ＋214＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋3，所以当b ＝32时，b 2－3b ＋214有最小值3.由(1)知f (a )有最大值22，且22＜3，所以对任意实数a ，b 都有f (a )＜b 2－3b ＋214.21．(本小题满分12分)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时，A 、B 两种设备每月有效使用工时分别为400小时和500小时．如何安排生产可使月收入最大？解：设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，y ≥0，目标函数是f ＝3x ＋2y ，要求出适当的x ，y 使f ＝3x ＋2y 取得最大值．作出可行域，如图所示．设3x ＋2y ＝a ，a 是参数，将它变形为y ＝－32x ＋a 2，这是斜率为－32，随a 变化的一簇直线．当直线与可行域相交且截距a 2最大时，目标函数f 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝400，2x ＋y ＝500得⎩⎨⎧x ＝200，y ＝100.因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200件和100件时，可得最大收入800千元．22．(本小题满分12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x＋1y＋xy ； (2)设1＜a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2，此式的右边减去左边得y ＋x ＋(xy )2－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)·(y －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0.故所证不等式成立．(2)令log a b ＝x ，log b c ＝y ，则 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x， log c b ＝1y，log a c ＝xy .由1＜a≤b≤c得x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.由(1)亦即得到所证的不等式成立．。

【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集章末过关检测卷(一)

章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：因为Q＝{x|－2<x<2}，所以Q⊆P.答案：B2．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝() A．{1} B．{2} C．{(1，2)} D．∅解析：由于A是数集，B是点集，故A∩B＝∅.答案：D3．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是() A．0∈A B．1∉AC．－1∈A D．0∉A解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，则集合A中有两个元素0和1，所以0∈A，1∈A.答案：A4．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝() A．{0} B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}解析：因为A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，所以A∩B ＝{0，2}．答案：C5．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为()A．1 B．0C．0或1 D．以上答案都不对解析：当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k ＝1.故k＝0或k＝1.答案：C6．下列四句话中：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：空集是任何集合的子集，故④正确，②错误；③不正确，如∅只有一个子集，即它本身；结合空集的定义可知①不正确；故只有1个命题正确．答案：B7．(2015·山东卷)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}．则A∩B＝()A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)解析：易知B＝{x|1＜x＜3}，又A＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2，3)．答案：C8．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅解析：⎩⎨⎧a －1≤3，5≤a ＋2⇒3≤a ≤4. 答案：B9．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |－1≤x ≤0}，则A ∪∁U B 等于( )A ．{x |x <－1或x >0}B ．{x |x <－1或x >1}C ．{x |x <－2或x >1}D ．{x |x <－2或x ≥0}解析：∁U B ＝{x |x <－1或x >0}，所以A ∪∁U B ＝{x |x <－1或x >0}．答案：A10．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅解析：由题意A ∪B ＝{1，2，3}，又B ＝{1，2}．所以∁U B ＝{3，4}，故A ∩∁U B ＝{3}．答案：A11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0＜x ＜2}，则(∁U A )∪B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：因为A ＝{x |x ≤1}，所以∁U A ＝{x |x ＞1}．所以(∁U A )∪B ＝{x |x ＞0}．答案：D12．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，集合A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，若点P (2，3)∈A ∩(∁U B )，则下列选项正确的是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：由P (2，3)∈A ∩(∁U B )得P ∈A 且P ∉B ，故⎩⎨⎧2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，解得⎩⎨⎧m ＞－1，n ＜5.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U ＝M ∪N ＝{1，2，3，4，5}，M ∩∁U N ＝{2，4}，则N ＝________．答案：{1，3，5}14．已知集合A ＝{(x ，y )|ax －y 2＋b ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2－ay ＋b ＝0}，且(1，2)∈A ∩B ，则a ＋b ＝________．解析：因为(1，2)∈A ∩B ，所以⎩⎨⎧a －4＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0⇒a ＝53，b ＝73.故a ＋b ＝4.答案：415．设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则集合{x |x ∈A ，且x ∉A ∩B }＝________．解析：A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >3或x <1}，A ∩B ＝{x |3<x <4或－4<x <1}，所以{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝{x |1≤x ≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}16．设集合M ＝{x |2x 2－5x －3＝0}，N ＝{x |mx ＝1}，若N ⊆M ，则实数m 的取值集合为________．解析：集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－12.若N ⊆M ，则N ＝{3}或⎝ ⎛⎭⎬⎫－12或∅.于是当N ＝{3}时，m ＝13；当N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12时，m ＝－2；当N ＝∅时，m ＝0.所以m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，13. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2.0，13 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时写出必要文字说明、计算或证明推理过程)17．(本小题满分10分)A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .当B ＝∅时，即a ＝0时，显然满足条件．当B ≠∅时，则B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2a ，A ＝{1，2}，所以2a ＝1或2a＝2，从而a ＝1或a ＝2. 故集合C ＝{0，1，2}．18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R.(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，(∁R A )∩B ＝{x |x ＜1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |7≤x ＜10}．(2)当a ＞1时，满足A ∩C ≠∅.因此a 的取值范围是{a |a ＞1}．19．(本小题满分12分)已知A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：集合A ＝{0，－4}，由于B ⊆A ，则：(1)当B ＝A 时，即0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入解得a ＝1.(2)当B ≠A 时：①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；②当B ＝{0}或B ＝{－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件．综上可知a ＝1或a ≤－1.20．(本小题满分12分)已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}. 所以A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}．(2)因为A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，又A ∪B ＝R ，所以⎩⎨⎧a －4＜－1，a ＋4＞5⇒1＜a ＜3. 所以所求实数a 的取值范围是{a |1＜a ＜3}.21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 取何值时，A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立．解：因为B ＝{2，3}，C ＝{2，－4}，由A ∩B ≠∅且A ∩C ＝∅知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，所以a 2－3a －10＝0.解得a ＝－2或a ＝5.当a ＝－2时，A ＝{3，－5}，适合A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立；当a ＝5时，A ＝{2，3}，A ∩C ＝{2}≠∅，故舍去．所求a 的值为－2.22．(本小题满分12分)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}．(1)已知a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a ＝3，所以集合P ＝{x |4≤x ≤7}．所以∁R P ＝{x |x ＜4或x ＞7}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x ＜4}．(2)因为P ∪Q ＝Q ，所以P ⊆Q .①当a ＋1＞2a ＋1，即a ＜0时，P ＝∅，所以P ⊆Q ；②当a ≥0时，因为P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≥－2，2a ＋1≤5.所以0≤a ≤2. 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]．。

高中数学苏教版必修5同步训练：第三章章末检测

第三章章末检测1、若不等式组20{22020x y x y x y m +-≤+-≥-+≥，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A. 3-B. 1C. 43D. 32、设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时, 212x y z +-的最大值为( )A. 0B. 1C. 94D. 33、下列结论正确的是( )A.当0x >且x 1≠时, 1lg lg 2x x+≥ B.当0x >时,2≥ C.当2x ≥时, 1x x+的最小值为2 D.当02x <≤时, 1x x +无最大值 4、方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2,则m 的取值范围是( ) A. (]5,4?--B. (],4-∞-C. (),2-∞-D. ()(],55,4--∞--5、直线3250x y ++=把平面分成两个区域,下列各点与原点位于同一区域的是( )A. ()3,?4-B. ()3,4--C. ()0,3-D. ()3,2-6、若110a b<<,则下列结论不正确的是( ) A. 22a b <B. 2ab b <C. 2b a a b+> D. a b a b -=-7、某公司租地建仓库,每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10km 处建仓库,这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )A. 5km 处B. 4km 处C. 3km 处D. 2km 处8、已知向量()(),3,2,a x z b y z =+=-且a b ⊥,若,x y 满足不等式1x y +≤,则z 的取值范围为( )A. []2,2-B. []2,3-C. [3,2]-D. [3,3]-9、已知函数()3?2f x x ax bx c =+++,且()()()01233f f f <-=-=-≤,则( ) A. 3c ≤B. 36c <≤C. 69c <≤D. 9c >10、不等式250ax x c ++>的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,则,a c 的值为( ) A. 6,1a c ==B. 6,1a c =-=-C. 1,1a c ==D. 1,6a c =-=- 11、设,,x y z 均为正实数,满足230x y z -+=,则2y xz的最小值是__________. 13、不等式2340x x --+>的解集为__________(用区间表示)14、已知等比数列{}n a 各项均为正数,公比1q ≠,设2947,,2a a P Q a a +==则P 与Q 的大小关系是__________15、证明下列题目:1.设1x ≥,1y ≥,证明111x y xy xy x y++≤++; 2. 1a b c <≤≤,证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++.12某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品需要甲材料,乙材料,用个工时;生产一件产品需要甲材料,乙材料,用个工时,生产一件产品的利润为元,生产一件产品的利润为元.该企业现有甲材料,乙材料,则在不超过个工时的条件下,生产产品、产品的利润之和的最大值为元.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：如图，由于不等式组20{22020x y x y x y m +-≤+-≥-+≥,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于43，再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形，易知，()2,0A ,()24221,1,,33m m B m m C -+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭;从而 1122422?122?2233ABC m S m m m ∆+=++-+=, 化简得：()214m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =;故选B.考点：线性规划与三角形的面积.2答案及解析：答案：B解析：含三个参数,,x y z 消元,利用基本不等式即配方法求值.2234(0,0,0)z x xy y x y z =-+>>>,所以22114343xy xy x y z x xy y y x==≤=-++-. 当且仅当4x y y x=,即2x y =时等号成立, 此时222222344642z x xy y y y y y =-+=-+=, 所以2222122121211122x y z y y y y y y ⎛⎫+-=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭, 所以当1y =时,212x y z +-的最大值为1.3答案及解析：答案：B解析：由基本不等式知:因为0x >,0>.≥,2≥,=,1?x = 时“=”成立. 4答案及解析：答案：A解析：令()()225f x x m x m =+-+-,要使()0?f x =的两根都大于2,则()()()2245020222m m f m ⎧⎪∆=---≥⎪>⎨⎪-⎪>⎩解得21652.54m m m m ⎧≥⎪>-⎨⎪<-⇒-<≤-⎩,故选A.5答案及解析：答案：A解析：当0x y ==时, 32550x y ++=>,则原点一侧对应的不等式是3250x y ++>,可以验证仅有点()3,?4-满足3250x y ++>.6答案及解析：答案：D解析：由110a b<<,所以a<0,b<0.所以0a b >>. 由不等式基本性质知A 、B 、C 正确.7答案及解析：答案：A解析：设仓库到车站的距离为xkm ,11k y x=,22y k x =.依题意, 得1210k =,28?1?0k =,∴120k =,245k =,122045y y x x +=+.∵20485x x +≥=,当且仅当2045x x =即5x =时,等号成立, ∴仓库应建在离车站5km 处.8答案及解析：答案：D解析：由·0a b a b ⊥⇒=即()()230x z y z ++-=亦即23z x y =+,由约束条件1x y +≤,画出平行域.可知z 在()0,1-和()0,1时分别得最小值3-和最大值3,故[]3,3.z ∈-9答案及解析：答案：C解析：由题意得1842{12793a b c a b c a b c a b c-+-+=-+-+-+-+=-+-+ 化简得3704130a b a b --=⎧⎨--=⎩解得6{11a b == 所以()16f c -=-. 所以063c <-≤.解得69c <≤,故选C. 10答案及解析：答案：B解析：由已知得0a <且13,12为方程250ax x c ++=的两根,故11511,3232c a a +=-⨯= 解得6,1a c =-=-,故选B.11答案及解析：答案：3解析：由230x y z -+=得32x z y +=,把上式代入2y xz ,得229666344x z xz xz xz xz xz+++≥=, 当且仅当3x z =时取等号.12答案及解析：答案： 216000解析：设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么①目标函数.二元一次不等式组①等价于 ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图),即可行域。

高中数学苏教版必修5同步训练：第二章章末检测

第二章章末检测1、等比数列,33,66x x x ++,…的第四项等于( ) A.-24B.0C.12D.242、现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9B.10C.19D.293、设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列{}12n a a 为递减数列,则( ) A. 0d < B. 0d > C. 10a d > D. 10a d <4、某工厂月生产总值的平均增长率为q ,则该工厂的年平均增长率为( ) A. q B. 12q － C. ()q +121 D. ()1q +-1215、各项都是正数的等比数列{}n a 中,公比1q ≠,且356,,a a a 成等差数列,则3546a a a a ++等于( ) A.B.C.D.6、将全体正整数排成一个三角数阵(如图所示),根据图中规律,数阵中第n 行(3n ≥)的从左到右的第3个数是( )A.()12n n - B.()12n n + C.()132n n -+ D.()132n n ++ 7、若{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项和为( )A.12 B. 512C. 13D. 7128、等差数列{}n a 的首项为70,公差为9-,则这个数列中绝对值最小的一项为( ) A. 8a B. 9aC. 10aD. 11a9、等差数列{}n a 中, 15a =-,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项的平均值是4,则抽取的是( ) A. 8a B. 9a C. 10a D. 11a10、设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列, n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A. 2 B. 2-C.12 D. 12-11、已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,若237,,a a a 成等比数列,且1221a a +=,则1a = , d = .12、数列{}n a 是等差数列,若11a +,33a +,55a +构成公比为q 的等比数列,则q =__________.13、数列{}n a 中, 12a =,12n n a a +=,n S 为{}n a 的前n 项和,若126n S =,则n =__________.14、在数列{}n a 和{}n b 中, n b 是n a 与1n a +的等差中项, 12a =,且对任意*n N ∈都有130n n a a +-=,则数列{}n b 的通项公式n b =________.15、已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且1212112a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,34534511164a a a a a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.1.求{}n a 的通项公式.2.设21n n n b a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求数列{}n b 的前n 项和n T .答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：由题意知()()23366x x x +=+,即2430x x ++=,解得3x =-或1x =- (舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.2答案及解析：答案：B解析：设钢管被放成n 层,则钢管数为()12n n n S +=,当19n =时,钢管数为190,当20n =时,钢管数为210200>,故知只能放19层,剩余钢管为10.3答案及解析：答案：D 解析：设12na a nb =,则1112n a a n b ++=,由于{}12na a 是递减数列,则1n n b b +>,即11122nn a a a a +>.∵2xy =是单调增函数, ∴111n n a a a a +>,∴()110n n a a a a d -+>, ∴()10n n a a a d -->, 即()10a d ->, ∴10a d <4答案及解析：答案：D 解析：设第一年第1个月的生产总值为1,公比为()1q +,该厂一年的生产总值为()()()21111111S q q q =+++++⋯++.则第2年第1个月的生产总值为()121q +,第2年全年生产总值()()()()12132312211111S q q q q S =++++⋯++=+,所以该厂生产总值的年平均增长率为()2121112111S S S q S S =-=-+-.5答案及解析：答案：D 解析：由5362a a a =+,得4251112a q a q a q =+,即2323221,1q q q q q =+-=-,因为1q ≠,所以210q q --=,解得q =, 又0n a >,所以12q +=. 而()()221353246111121a q q a a a a q a q q ++===++6答案及解析：答案：C 解析：由第一行起每行中的第一个数构成一个数列{}n a ,由表格可知11n n a a n --=-,由叠加法可得()112n n n a -=+,故第n 行第3个数为()132n n -+.7答案及解析：答案：B 解析：()()21113212n n n b a n n n =++==++,用裂项法可求{}n b 的前10项和为512.8答案及解析：答案：B 解析：由已知()()7019799n a n n ⋅=+--=-. 令0n a =得9,79n =所以9n =时9,22a =-=, 即绝对值最小的项为9a .9答案及解析：答案：D解析：试题分析:设抽取的是第n 项. ∵111155,a 40n S S =-=∴15n a =又∵11611,a 55S ==,解得65a =由15a =-61261a a d -==-令1552(1)n =-+-∴11n = 故答案为:D10答案及解析：答案：D 解析：因为等差数列{}n a 的前n 项和为()112n n n S na d -=+,所以124,,S S S 分别为111,21,46a a a --.因为124,,S S S 成等比数列,所以()()21112146a a a -=⋅-.解得11.2a =-11答案及解析：答案：23, 1?- 解析：∵237,,a a a 成等比数列,∴2327a a a =⋅,即()()()211126a d a d a d +=++,化简得132d a =-. 又121231a a a d +=+=,∴1312a =,即12,13a d ==-.12答案及解析：答案：1解析：因为1351,3,5a a a +++成等比,所以()()111141a a d +⋅+++⎡⎤⎣⎦()21121a d =+++⎡⎤⎣⎦,令11a x +=,1d y +=,则()()242x x y x y +=+,即222444x xy x xy y +=++,所以0y =,即10d +=,所以1q =.13答案及解析：答案：6解析：∵12a =,12n n a a +=∴数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列∴2(12)12612n n S -==- ∴264n = ∴6n =考点:等比数列定义与前n 项和公式14答案及解析：答案：43n 解析：由13n n a a +=,12a =得1132n n a +=⨯,又因为12n n n a b a ++=,所以111122114332333n n n n n nb --⨯+=+==⨯15答案及解析：答案：1.设公比为q ,则11n n a a q -=.由已知,得111123411123411111+2{11164a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭,化简,得212612{64a q a q ==.又10a >,故2q =,11a =,所以12n n a -=.2.由1问知222112n n n n n b a a a a ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ 111424n n --=++. 因此()11111441244n n n T n --⎛⎫=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭11414214114nn n --=++-- ()1144213n n n -=-++. 解析：1.本题考查了数列通项、前n 项和及方程与方程组的基础知识.设出公比根据条件列出关于1a 与q 的方程,求得1a 与q ,可求得数列的通项公式;2.由1中求得数列通项公式,可求出n b 的通项公式,由其通项公式可知其和可分成两个等比数列,分别求和即可求得.【点评】本题在求数列{}n b 的前n 项和过程中运用了分组求和,这是一种很重要的数学方法,在平时的解题中时常用到,应熟练掌握.由Ruize收集整理。

苏教版高中数学必修五章末综合测评(一)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝ .【导学号：92862026】【解析】 C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2.【答案】 22．在△ABC 中，已知c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b ＝ . 【解析】由b 2＝16＋36－2×4×6cos 120°，得b ＝219. 【答案】 2193．在△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B ＝ . 【解析】 sin B ＝b sin A a ＝43sin 30°4＝32.又a A ，∴B ＝60°或120°. 【答案】 60°或120°4．在△ABC 中，化简b cos C ＋c cos B ＝ .【解析】利用余弦定理，得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a .【答案】 a5．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝ . 【解析】 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4. 设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，则 cos C ＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k ＝－14.【答案】－146．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，S △ABC ＝2203，则a ＝ . 【解析】由12bc sin A ＝2203，可知c ＝55.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401， ∴a ＝49. 【答案】 497．在△ABC 中，若sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是．【解析】 ∵c sin C ＝a sin A ＝403， ∴c ＝403sin C ，∴0<c ≤403. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，4038．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是．(填序号)【导学号：92862027】(1)a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； (2)b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； (3)a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解； (4)a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解．【解析】 (1)中，∵a sin A ＝bsin B ， ∴sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解； (2)中，sin C ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；(3)中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故(1)(2)(3)都不正确．所以答案为(4)．【答案】 (4)9．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝ .【解析】化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据解方程，得b ＝5.【答案】 5 10．在△ABC 中，若acos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，那么△ABC 是三角形．【解析】由正弦定理得，sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.∵0<A 2，B 2，C 2<π2，∴A 2＝B 2＝C2，即A ＝B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形．【答案】等边11．如图1所示，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，那么DB →的模为．图1【解析】由三角形内角平分线的性质得|AC →|∶|BC →|＝|AD →|∶|DB →|，故|DB →|＝32. 【答案】 3212．如图2所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为m.图2【解析】由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000.由正弦定理可知BS sin 15°＝1 000sin 30°，∴BS ＝2 000sin 15°，∴BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°cos 15°＝1 000sin 30°＝500，且DC ＝1 000sin 30°＝500，∴BC ＝DC ＋BD ＝1 000 m.【答案】 1 00013．已知角A ，B ，C 是三角形ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2，m ⊥n ，且a ＝2，cos B ＝33，则b ＝ .【解析】 ∵m·n ＝0，∴23sin A 2cos A 2－2cos 2A 2＝0，∵cos A2≠0， ∴tan A 2＝33，∴A2＝30°，∴A ＝60°， ∵a sin A ＝bsin B ，sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63， ∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝43 2.【答案】 43 214．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是．【解析】 ∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2＝32c 2， ∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求角A 的大小及b sin Bc .【解】由b 2＝ac 及a 2－c 2＝ac －bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc . 在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa .又∵b 2＝ac ，A ＝60°， ∴b sin B c ＝b 2sin A ac ＝sin 60°＝32.16．(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 17．(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．【解】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2，所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1，因此b ＝2.18．(本小题满分16分)在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状.【导学号：92862028】【解】 (1)由2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴2bc cos A ＝－bc ，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)， ∴A ＝2π3.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12. 又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰三角形．19．(本小题满分16分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影．【解】 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. 又0<A <π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.20．(本小题满分16分)如图3，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.图3(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sin[]π－(A＋C)＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由ABsin C＝ACsin B，得AB＝ACsin B×sin C＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×12 13＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t＝3537min时，甲、乙两游客距离最短．(3)由BCsin A＝ACsin B，得BC＝ACsin B×sin A＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。

2019-2020学年高中数学苏教版必修5同步训练：第一章章末检测 Word版含答案

第一章章末检测1、在ABC △中,60A =︒,且最大边长和最小边长是方程27110x x -+=的两个根,则第三边的长为( ) A.2B.3C.4D.52、在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()22m ,,tan ,tan a b n A B ==,且//m n ,那么ABC ∆一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形 3、根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是( ) A. 8a =,16b =,30A =︒,有两解 B. 18b =,20c =,60B =,有一解 C. 5a =,2c =,90A =︒,无解 D. 30a =,25b =,150A =,有一解4、如图所示,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD =______m .A. 100B.C.D.5、在ABC ∆中,若a=b,A=2B 2,则cosB 等于( )A.B.4C.5D.66、在ABC ∆中, 45B =︒,60C =︒,1c =,则最短边的边长等于( )A.B.C.12D.7、在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,又12asin Bcos C csin Bcos A b +=,且a b >,则B =( )A. 6πB. 3πC. 23πD. 56π8、已知三角形的两边之差是2,这两边夹角的余弦值为35,且这个三角形的面积为14,那么这两边的长分别为( )A.3,5B.4,6C.6,8D.5,79、设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2, a c cos A ===,且b c <,则b =( ) A. 3B. C. 2D.10、在ABC ∆中, 15,20,30a b A ===︒,则cosB =( )A. B.23C. -D.11、一艘船以20km/h 的速度向正北航行,船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向上,1h 后,船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75︒的方向上,这时船与灯塔的距离BC 等于_____km . 12、在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若22a b -=,sin C B =,则A 等于__________.13、已知角,,A B C 是三角形ABC 的内角,,,a b c 分别是其对边长,向量223sin ,cos ,cos ,2,222A A A m n m n ⎛⎫⎛⎫==-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且2, 2a cos B ==则b =__________ 14、在ABC ∆中,已知 AB AC tan A ⋅=,当π6A =时ABC ∆的面积为________. 15、如图所示,已知O 的半径是1,点C 在直径AB 的延长线上, 1BC =,点P 是O 半圆上的一个动点,以PC 为边作等边三角形PCD ,且点D 与圆心分别在PC 的两侧.(1)若POB θ∠=,试将四边形OPDC 的面积y 表示成关于θ的函数; (2)求四边形OPDC 面积的最大值.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：在ABC △中,60A =︒,所以,B C 不可能均大于A 或均小于A ,一角比A 大,一角比A 小, 故,b c 分别是最大边长和最小边长且为方程27110x x -+=的两个根,7,11b c bc +==, 第三边的长()22222cos 216a b c bc A b c bc bc =+-=+--=,4a =.2答案及解析：答案：D 解析：由//m n 得: 22a tan Bb tan A =,结合正弦定理有=22sin B tanB sin A tanA ,所以=sinB cosAsinA cosB, 所以22sin A sin B =,所以22A B =或22A B π+=. 所以A B =或2A B π+=,即ABC ∆是等腰或直角三角形.3答案及解析：答案：D解析：A. 8,16,30a b A ===︒,则90B =,有一解; B. 18,20,60b c B ===︒,由正弦定理得1820,sin sin sin 60sin b c B C C==︒解得sin C =,因为b c <,有两解; C. 5,2,90a c A ===︒,有一解;D. 30,25,150a b A ===︒,有一解是正确的.故选D. 考点:三角形解得个数的判断.4答案及解析：答案：B 解析：在ABC ∆中,30,18075105BAC ABC ∠=︒∠=︒-︒=︒,故45ACB ∠=︒.又600AB m =,由=︒︒600BCsin45sin30得)BC m =.在Rt BCD ∆中, )30CD BC tan m =⋅︒==.5答案及解析：答案：B 解析：由正弦定理得sin sin a Ab B =,所以a=2可化为=sinA sinB 2.又2A B =,所以=sin2B sinB ,所以cosB =6答案及解析：答案：A解析：∵45,60,1B C c =︒=︒=,∴由正弦定理sin sin b cB C=得sin sin 45sin sin 60c B b C ︒===︒故选A. 考点:本题考查了正弦定理的运用点评:熟练掌握正弦定理及其变形是解决此类问题的关键,属基础题7答案及解析：答案：A 解析：由正弦定理得,12sinAsinBcosC sinCsinBcosA sinB +=, 即()1122sinAcosC cosAsinC sin A C +=⇒+=, 亦即1sin 2B =,又a b >,所以.6B π=8答案及解析：答案：D解析：设三角形的两边为,a b ,夹角为α,由3cos 5α=可知, sin α=45,由三角形面积公式,得1142ab ⋅=45,得35ab =,观察选项知选D.9答案及解析：答案：C解析：由2222?a b c bccos A =+-,得24126b b =+-,解得2b =或4.又b c <,所以2b =.10答案及解析：答案：A 解析：因为sin sin a b A B =,所以=︒1520sin30sinB,解得sinB =23.因为b a >,所以B A >,故B 有两解,所以 cos B =11答案及解析：答案：解析：如图所示,易知30B ∠=︒,则sin 45sin 30BC AC=︒︒,所以)20sin 45km 1sin 3022AC BC =⨯︒=⨯=︒.12答案及解析：答案：30°解析：由sin C B =,得c =,把它代入22a b -=得2226a b b -=, 即227a b =.由余弦定理,得2222222cos 2b c a A bc +-====. 又∵0180A ︒<<︒, ∴30A =︒.13答案及解析：解析：∵0m n ⋅=∴220,222A A cos co As -=∵ 0,cos ≠30,60,2A tanA ∴=∴=︒∴=︒∵,sin sin sin 3a b B A B ===∴2sin sin a Bb A===14答案及解析：答案：16解析：已知π6A =,由题意得c s 23o AB AC tan AB AC ππ⋅=⋅=66, 所以ABC ∆的面积1121sin 122326S AB AC π=⋅⋅=⨯⨯=615答案及解析：答案：(1) 2sinππ3y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2) 2+解析：(1)在POC △中,由余弦定理得:2222cos 54cos PC OP OCOP OC θθ=+-⋅=-, ∴ 112sin 4cos )2OPC PCDy S S θθ=+=⨯⨯-△△2sin ππ3⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)当2ππ3θ-=,即5π6θ=时, max 2y =. 即四边形OPDC 面积的最大值为2.。

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