新人教版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式优化练习新人教A版选修4_5
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等
二 绝对值不等式1．绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义．2．掌握绝对值三角不等式及其几何意义．3．三个实数的绝对值不等式及应用．1．绝对值的几何意义(1)实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为____的点A 到______的距离．(2)对于任意两个实数a ，b ，设它们在数轴上的对应点分别为A ，B ，那么|a －b |的几何意义是数轴上A ，B 两点之间的______，即线段AB 的______．(1)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，当a >0时，0，当a ＝0时，－a ，当a <0时.(2)对任意实数a ，都有|a |＝a 2.(3)实数积和商的绝对值运算法则： |ab |＝|a |×|b |，|a b |＝|a ||b |(b ≠0)． 2．绝对值三角不等式(1)如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当________时，等号成立．(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a ，b 换成向量a ，b ，当向量a ，b 不共线时，由向量加法的三角形法则，向量a ＋b ，a ，b 构成三角形，因此有向量形式的不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |，它的几何意义是______________．【做一做】 若|x －a |＜h ，|y －a |＜k ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |＜2hB ．|x －y |＜2kC ．|x －y |＜h ＋kD ．|x －y |＜|h －k |3．三个实数的绝对值不等式如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．答案：1．(1)a 原点(2)距离 长度2．(1)ab ≥0(2)三角形两边之和大于第三边【做一做】 C |x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|a －y |＜h ＋k .3．(a －b )(b －c )≥01．对绝对值三角不等式的理解剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab ＞0，ab ＜0，ab ＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．对绝对值三角不等式几何意义的理解剖析：用向量a ，b 替换实数a ，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ，b 不共线时，a ＋b ，a ，b 构成三角形，有|a ＋b|＜|a|＋|b|.当向量a ，b 共线时，a ，b 同向(相当于ab ≥0)时，|a ＋b|＝|a|＋|b|；a ，b 异向(相当于ab ＜0)时，|a ＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并应用定理解题．绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a ＋b |是不小于||a |－|b ||的，|a |－|b |不一定是正数，当然，这需对绝对值不等式有更深的理解，从而使放缩的“尺度”更为准确．题型一 绝对值三角不等式的性质【例1】 若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式：①|x lg n n ＋1|＜5|lg n n ＋1|； ②|x |lgn n ＋1＜5lg n n ＋1； ③x lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1|； ④|x |lg n n ＋1＜5|lg nn ＋1|. 其中，能够成立的有______．反思：判断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素进行分析，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了．题型二 用绝对值三角不等式的性质证明不等式【例2】 设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：|a x ＋b x 2|＜2. 分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a |，|b |和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.反思：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键．题型三 绝对值三角不等式的综合应用【例3】 已知函数f (x )＝lg x 2－x ＋1x 2＋1. (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并给出证明．(2)若t ∈R ，求证：lg 710≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤lg 1310. 分析：(1)借助定义判别f (x )的单调性；(2)利用绝对值三角不等式解决．反思：此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这是关键所在．答案：【例1】 ④ ∵0＜n n ＋1＜1， ∴lg nn ＋1＜0.由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，∴可以否定①②③，而|x |lg nn ＋1＜0，故④成立．【例2】 证明：∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，∴|x |2＞|b |，∴|a x ＋b x 2|≤|a x |＋|b x 2|＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2. ∴|a x ＋b x 2|＜2.故原不等式成立．【例3】 解：(1)f (x )在[－1,1]上是减函数． 证明：令u ＝x 2－x ＋1x 2＋1＝1－x x 2＋1. 取－1≤x 1＜x 2≤1.则u 1－u 2＝x 2－x 1－x 1x 2x 21＋x 22＋， ∵|x 1|≤1，|x 2|≤1，x 1＜x 2，∴u 1－u 2＞0，即u 1＞u 2.由u ＞0，lg u 1＞lg u 2，得f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在[－1,1]上是减函数．(2)∵|t －16|－|t ＋16|≤|(t －16)－(t ＋16)|＝13. |t ＋16|－|t －16| ≤|t ＋16－(t －16)|＝13， ∴－13≤|t －16|－|t ＋16|≤13. 由(1)的结论，有f (13)≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤f (－13)．而f (13)＝lg 710，f (－13)＝lg 1310， ∴lg 710≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤lg 1310.1．设ab ＞0，下面四个不等式①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |中，正确的是( )A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④2．已知实数a ，b 满足ab ＜0，则下列不等式成立的是( )A ．|a ＋b |＞|a －b |B ．|a ＋b |＜|a －b |C ．|a －b |＜||a |－|b ||D ．|a －b |＜|a |＋|b |3．不等式||||||a b a b +-≥1成立的充要条件是________． 4．设|a |≤1，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，证明|f (x )|≤54.答案：1．C ∵ab ＞0，∴a ，b 同号．∴|a ＋b |＝|a |＋|b |.∴①④正确．2．B3．|a |＞|b | ||||||a b a b +-≥1||(||||)||||a b a b a b +---≥0(|a |－|b |)[|a ＋b |－(|a |－|b |)]≥0.而|a ＋b |≥|a |－|b |，∴|a ＋b |－(|a |－|b |)≥0.∴|a |－|b |＞0，即|a |＞|b |.4．证明：|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－x 2＋|x |＝215(||)24x --+ ≤54，即|f (x )|≤54.。
2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法课件新人教A版选修4_5
2．不等式|x－1|<1 的解集为( )
A．(0，2)
B．(－∞，2)
C．(1，2)
D．[0，2)
解析：选 A.由|x－1|<1⇔－1<x－1<1⇔0<x<2，
所以不等式的解集为(0，2)．
3．不等式 3≤|5－2x|<9 的解集为( ) A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7] C．[－2，1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7) 解析：选 D.因为|5－2x|＝|2x－5|，则原不等式等价于 3≤2x－5<9 或－9<2x－5≤－3， 解得 4≤x<7 或－2<x≤1， 故解集为(－2，1]∪[4，7)．
(3)原不等式等价于||xx－ －22||≥ ≤24， .②① 由①得 x－2≤－2，或 x－2≥2， 所以 x≤0，或 x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， 所以－2≤x≤6. 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或 4≤x≤6}．
含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法 化成等价的不等式(组)求解． (2)形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法有 ①等价转化法：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或 f(x)>g(x)． (这里 g(x)可正也可负)
含有两个绝对值号不等式的解法 解下列不等式： (1)|x－1|>|2x－3|； (2)|x－1|＋|x－2|>2； (3)|x＋1|＋|x＋2|>3＋x.
2020学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1不等式3.三个正数的算术几何平均不等式课件新人教A版选修4_5
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[证明] (1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又 abc ＝1，
故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ＝ab＋abbcc＋ca ＝1a＋1b＋1c. 所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.
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(2)因为 a，b，c 为正数且 abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33 a＋b3b＋c3a＋c3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac) ＝24， 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
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[解] 设圆柱形桶的底面半径为 r 米，高为 h 米，则底面积为 πr2 平方米，侧面积为 2πrh 平方米．
设用料成本为 y 元，则 y＝30πr2＋40πrh. ∵桶的容积为π2， ∴πr2h＝π2， ∴rh＝21r.
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用平均不等式求解实际问题
【例 2】如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正
中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子
边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不
亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和
电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正
比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝
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已知 a，b，c 为正数，则ab＋bc＋ac有( )
A．最小值为 3
B．最大值为 3
C．最小值为 2
D．最大值为 2
A [ab＋bc＋ac≥3 3 ab×bc×ac＝3， 当且仅当ab＝bc＝ac，即 a＝b＝c 时，取等号．]
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教材整理 2 基本不等式的推广 阅读教材 P9～P9“例 5”以上部分，完成下列问题． 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于 它们 的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝… ＝an 时，等号成立．
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1 不等式的基本性质课件 新人教A版选修4-5
探究二 不等式性质的简单应用
[例 2] 若 a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A.1a<1b，
B．a2>b2
C.c2＋a 1＞c2＋b 1
D．a|c|>b|c|
[解析] 选项 A，还需有 ab>0 这个前提条件；选项 B，当 a，b 都为负数或一正
一负时都有可能不成立，如 2>－3，但 22>(－3)2 不正确；选项 C，c2＋1 1>0，因而
)
A．2 x
B．x＋1
1 C.1－x
D．无法确定
解析：∵0<x<1，x＋1－2 x＝( x－1)2>0， ∴x＋1>2 x. 又1－1 x－(x＋1)＝1－x2x>0，
∴1－1 x>x＋1. 答案：C
∴2 x，x＋1，1－1 x三个数中最大的是1－1 x.
4．已知 a＋b>0，则ba2＋ab2与1a＋1b的大小关系是________． 解析：ba2＋ab2－1a＋1b＝a－b2 b＋b－a2 a ＝(a－b)b12－a12＝a＋ba2ba2－b2. ∵a＋b>0，(a－b)2≥0.
探究一 作差法比较大小 [例 1] 若 x∈R，试比较(x＋1)x2＋x2＋1 与x＋12(x2＋x＋1)的大小．
[解析] ∵(x＋1)x2＋x2＋1＝(x＋1)x2＋x＋1－x2 ＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)． x＋12(x2＋x＋1)＝x＋1－12(x2＋x＋1) ＝(x＋1)(x2＋x＋1)－12(x2＋x＋1)． ∴(x＋1)x2＋x2＋1－x＋12(x2＋x＋1)
＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)－(x＋1)(x2＋x＋1)＋12(x2＋x＋1) ＝12(x2＋x＋1)－12(x2＋x) ＝12>0. ∴(x＋1)x2＋x2＋1>x＋12(x2＋x＋1)．
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式讲义含解析新人教A版选修
1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．②若a ，b 共线，当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 反向时，|a ＋b |<|a |＋|b |.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |；②点B 不在A ，C 上时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．[例1] 已知|A －a |<3，|B －b |<3，|C －c |<3. 求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .[思路点拨] 原式――→变形 重新分组――→定理 转化为|A －a |＋|B －b |＋|C －c |―→得出结论 [证明] |(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c |≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |.因为|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3，所以|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s 3＝s .含绝对值不等式的证明题两种类型及解法(1)比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；(2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．以下四个命题：①若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；②若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；③若|x |<2，|y |>3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y <23；④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)．其中正确的命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选A ∵|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a |＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确；∵1>|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |<|b |＋1，②正确；∵|y |>3，∴1|y |<13.又∵|x |<2，∴|x ||y |<23，③正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |)≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |，∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |.∴lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确．2．已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |>|b |，左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |. ∴左边≥|a |－|b |2＝右边． ②若|a |<|b |，左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．③若|a |＝|b |，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立.[例2] (1)(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)只要a 不大于|x －3|＋|x －4|的最小值，则|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，而|x －3|＋|x －4|＝|x －3|＋|4－x |≥|x －3＋4－x |＝1，当且仅当(x －3)(4－x )≥0，即3≤x ≤4时等号成立．∴当3≤x ≤4时，|x －3|＋|x －4|取得最小值1.∴a的取值范围为(－∞，1]．(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析：∵|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.答案：5 14．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|的最小值为a，求a的值．解：因为|x＋1|＋|x－5|≥|(x＋1)－(x－5)|＝6，当且仅当－1≤x≤5时，等号成立，所以f(x)的最小值等于6，即a＝6.5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．解：∵a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，∴a<(|x＋1|－|x－2|)min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：选B 当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立，故A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．2．若|a－c|<b，则下列不等式不成立的是( )A．|a|<|b|＋|c| B．|c|<|a|＋|b|C．b>|c|－|a| D．b<||a|－|c||解析：选D ∵|a－c|<b，令a＝1，c＝2，b＝3.则|a|＝1，|b|＋|c|＝5，∴|a|<|b|＋|c|成立．|c|＝2，|a|＋|b|＝4，∴|c|<|a|＋|b|成立．||c|－|a||＝||2|－|1||＝1，∴b>||c|－|a||成立．故b<||a|－|c||不成立．3．不等式|a＋b||a|＋|b|<1成立的充要条件是( )A．a，b都不为零B．ab<0C．ab为非负数D．a，b中至少有一个不为零解析：选 B|a＋b||a|＋|b|<1⇔|a＋b|<|a|＋|b|⇔a2＋b2＋2ab<a2＋b2＋2|ab|⇔ab<|ab|⇔ab<0.4．“|x－a|<m且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵|x－a|<m，|y－a|<m，∴|x－a|＋|y－a|<2m.又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|<2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|<2×2.5，但|3－(－2)|>2.5，|1－(－2)|>2.5，∴|x－y|<2m不一定有|x－a|<m且|y－a|<m，故“|x－a|<m且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的充分不必要条件．5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.答案：[－2,4]6．若ab>0，则下面四个不等式：①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|中，正确的有________．解析：∵ab>0，∴a，b同号．∴|a＋b|＝|a|＋|b|.∴①④正确．答案：①④7．下列四个不等式：①log x10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的是________．(填序号)解析：log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0时，b a 与a b同号， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上可知①③④正确．答案：①③④8．设a ，b ∈R ，ε>0，|a |<ε4，|b |<23ε. 求证：|4a ＋3b |<3ε.证明：∵|a |<ε4，|b |<23ε，∴|4a ＋3b |≤|4a |＋|3b |＝4|a |＋3|b |<4·ε4＋3·2ε3＝3ε.9．已知函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，且|a |≤1，求证：|f (x )|≤54. 证明：∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1，又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 10．设函数y ＝|x －4|＋|x －3|.求(1)y 的最小值；(2)使y <a 有解的a 的取值范围；(3)使y ≥a 恒成立的a 的最大值．解：(1)∵y ＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x |＝1，当且仅当3≤x≤4时取等号，∴y min＝1.(2)由(1)知y≥1.要使y<a有解，∴a>1.即a的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可．∴a max＝1.。
人教课标版高中数学选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式二 绝对值不等式
② 解不等式│x│< 2 -2 0 ③ 解不等式│x│> 2 -2 0
含 绝 对 值 的 不 等 式 解 法
一、知识回顾
│x│＝a（a>0)
其几何意义：数轴上表示实数x的点到原点的距离等于a.
① 解方程
│x│＝a
-2 0
解集为{x│x=2, x=-2} 2 解集为{x│-2 < x < 2 } 2 解集为{x│x > 2或x<-2 } 2
(x+3)(x-1)>0
-3
1
－5<x<3
x<－3或x>1
-5
-3
1
3
－5< x< －3或1<x<3 ∴原不等式的解集是{x|－5< x< －3或1<x<3}
常规法解不等式的关键 1去绝对值 2交集与并集的取法
f(x) 分析二 A B C D y=6
解二 ∴ |x² +2x－9|=6 ∴x² +2x－9=6 或 ∴ x² +2x－15=0 (x+5)(x－3) =0
X－500≤5
-(X－500)≤5
由绝对值得意义，这个结果也可以表示成
│X－500│≤5
含 绝 对 值 的 不 等 式 解 法
一、知识回顾
│x│＝a（a>0)
其几何意义：数轴上表示实数x的点到原点的距离等于a.
① 解方程
│x│＝2 -2 0
解集为{x│x=2, x=-2} 2 解集为{x│-2 < x < 2 } 2 解集为{x│x > 2或x<-2 } 2
（2）不等式x² －5x + 4 < 0的解集是
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质讲义(含解析)新人教A版选修4_5
1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0，那么na＞nb(n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0⇒1a＜1b，而反之不成立．数、式大小的比较[例1] 已知p q p q px qy 2px 2qy 2[思路点拨] 利用作差法比较两数的大小，并注意等号成立的条件． [解] (px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋2pqxy ＋q 2y 2－px 2－qy 2＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0. 所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2≥0， (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 与n 的大小．解：m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y )，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0，即m ≥n ，当且仅当x ＝y 时取等号．不等式的证明[例2] 已知a >b c d e 求证：ea －c >eb －d.[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：e a －c －eb －d ＝e (b －d －a ＋c )(a －c )(b －d )＝e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0. 又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )>0.即ea －c >eb －d.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b .证明：法一：∵a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a 2＋b 2)(a ＋b )>0， ∴原不等式成立．法二：∵a >b >0，故a 2>b 2>0. 故左边>0，右边>0.∴左边右边＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴原不等式成立．4．已知a >b >0，d >c >0，求证：a c >b d. 证明：因为d >c >0，所以1c >1d>0.又因为a >b >0， 所以a ·1c >b ·1d ，即a c >bd.利用不等式的性质求范围[例3] 已知30<x <42,16<y <24，求x ＋y ，x －2y ，xy的取值范围． [思路点拨] 根据题目提供的条件，结合不等式的性质进行求解． [解] ∵30<x <42,16<y <24， ∴46<x ＋y <66. ∵16<y <24， ∴－48<－2y <－32， ∴－18<x －2y <10. ∵16<y <24， ∴124<1y <116. ∴54<x y <218.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知－π2≤α＜β≤π2，求α－β的取值范围．解：∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2，且α＜β.∴－π≤α－β＜π，且α－β＜0.∴－π≤α－β＜0.即α－β的取值范围为[－π，0)．6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12(α＋β)≤2，－3≤32(α－β)≤－32，∴－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.1．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：选B ∵x <y <0，∴|x |>|y |>0. 故P 在Q 的右边．2．已知a ，b ，c ∈R ，且ab >0，则下面推理中正确的是( ) A ．a >b ⇒am 2>bm 2B.a c >b c⇒a >bC ．a 3>b 3⇒1a <1bD ．a 2>b 2⇒a >b解析：选C 对于A ，若m ＝0，则不成立；对于B ，若c <0，则不成立；对于C ，a 3－b 3>0⇒(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2>0恒成立，∴a －b >0，∴a >b .又∵ab >0，∴1a <1b.∴C 成立；对于D ，a 2>b 2⇒(a －b )(a ＋b )>0，不能说a >b .3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：选 A 由ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，可得c a ＋b＋1＜a b ＋c＋1＜b c ＋a＋1，即a ＋b ＋ca ＋b＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋cc ＋a ，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .4．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a”的必要条件，即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分不必要条件．5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是f (x )________g (x )．解析：∵f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1>0，∴f (x )>g (x )．答案：> 6．下列命题： ①c －a <c －b ⇔a >b ；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；③c a <c b ，且c >0⇒a >b ；④ na <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . 其中真命题是________．(填序号) 解析：①c －a <c －b ⇒－a <－b ⇒a >b . ②a ＜0＜b ⇒1a ＜0，1b ＞0⇒1a ＜1b.③c a －c b ＝c (b －a )ab<0，∵c >0，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ b －a >0，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧b －a <0，ab >0即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，ab >0.∴③不正确，④中无论n 为奇数或偶数， 均可由n a <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . ∴①②④正确． 答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 令f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴3≤3f (－1)≤6， ∴5≤f (1)＋3f (－1)≤10， ∴5≤f (－2)≤10.故f (－2)的取值范围为[5,10]． 10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各组大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，a m ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a >0，a ≠1， ∴①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a . ②a 3＋1－(a 2＋a ) ＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0， ∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2) ＝a 3(a 2－1)－(a 2－1) ＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 即a 5＋1>a 3＋a 2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.证明如下：a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.。
高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 二、绝对值不等式 第一课时 绝对值三角不等式练习 新人教A版
第一课时 绝对值三角不等式[基础达标]1.若实数a ，b ，c 满足|a －c |＜|b |，则下列不等式中成立的是 A.|a |＞|b |－|c |B.|a |＜|b |＋|c |C.a ＞c －bD.a ＜b ＋a解析 由|a |－|c |≤|a －c |＜|b |知|a |－|c |＜|b |， 即|a |＜|b |＋|c |. 答案B2.已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是A.m >nB.m <nC.m ＝nD.m ≤n解析 由绝对值不等式的性质，知 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. ∴|a |－|b ||a －b |≤1≤|a |＋|b ||a ＋b |.∴m ≤n .答案D3.已知a 和b 是任意非零实数，则|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为________.解析|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝4.答案 44.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值X 围是________. 解析 利用绝对值不等式的性质求解.∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案 －2≤a ≤45.已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |＝s3，求证|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .证明 ∵|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3， ∴|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s3＝s .∴|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .[能力提升]1.对于|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，下列结论正确的是 A.当a 、b 异号时，左边等号成立 B.当a 、b 同号时，右边等号成立 C.当a ＋b ＝0时，两边等号均成立D.当a ＋b ＞0时，右边等号成立；当a ＋b ＜0时，左边等号成立 答案B2.若对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，则a 的取值X 围是 A.(－∞，3)B.(－∞，3]C.(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析 恒成立问题，往往转化为求最值问题，本题中a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，即a <[|x ＋1|－|x －2|]min ，也就转化为求函数y ＝|x ＋1|－|x －2|的最小值问题.∵||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.∴[|x ＋1|－|x －2|]min ＝－3，∴a <－3. 答案C3.函数y ＝|x ＋1|＋|2－x |的最小值是 A.3B.2C.1D.0解析 ∵y ＝|x ＋1|＋|2－x |≥|(x ＋1)＋(2－x )|＝3，∴y min ＝3. 答案A4.若1＜1a ＜1b，则下列结论中不正确的是A.log a b ＞log b aB.|log a b ＋log b a |＞2C.(log b a )2＜1D.|log a b |＋|log b a |＞|log a b ＋log b a |答案D5.正数a 、b 、c 、d 满足a ＋d ＝b ＋c ，|a －d |<|b －c |，则 A.ad ＝bcB.ad <bcC.ad >bcD.ad 与bc 大小不定答案C6.若关于x 的不等式|x |＋|x －1|<a (a ∈R)的解集为∅，则a 的取值X 围是 A.[－1，1]B.(－1，1)C.(－∞，1]D.(－∞，1)解析 ∵|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，∴若关于x 的不等式|x |＋|x －1|的解集为∅，则a 的取值X 围是a ≤1.答案C7.设x 1、x 2是函数f (x )＝2 011x定义域内的两个变量，且x 1＜x 2，若α＝12(x 1＋x 2)，那么下列不等式恒成立的是A.|f (α)－f (x 1)|＞|f (x 2)－f (α)|B.|f (α)－f (x 1)|＜|f (x 2)－f (α)|C.|f (α)－f (x 1)|＝|f (x 2)－f (α)|D.f (x 1)f (x 2)＞f 2(α) 答案B8.对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________. 解析解法一 |x －1|≤1⇒0≤x ≤2，|y －2|≤1⇒1≤y ≤3，可得可行域如图(阴影部分).∵|x －2y ＋1|＝5·|x －2y ＋1|5.其中z ＝|x －2y ＋1|5为点(x ，y )到直线x －2y ＋1＝0的距离.当(x ，y )为(0，3)时z 取得最大值|0－2×3＋1|5＝55.故|x －2y ＋1|max ＝5.解法二 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取最大值为5.答案 59.已知|a ＋b |＜－c (a 、b 、c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a |＜|b |－c ； ⑤|a |＜－|b |－c .其中一定成立的不等式是________(注：把成立的不等式的序号都填上). 答案 ①②④10.对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试某某数x 的取值X 围.解析 由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，则|x －1|＋|x －2|小于或等于|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值，∵|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |， 当且仅当(a ＋b )(a －b )≥0时取等号， ∴|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值等于2，∴x 的X 围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解.∵|x －1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，又数轴上的12，52对应点到1和2对应点的距离之和等于2，∴不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52. 11.已知f (x )＝x 2－x ＋c 定义在区间[0，1]上，x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，求证： (1)f (0)＝f (1)；(2)|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 1－x 2|. 证明 (1)f (0)＝c ，f (1)＝c ， 故f (0)＝f (1). (2)|f (x 2)－f (x 1)| ＝|x 22－x 2＋c －x 21＋x 1－c |＝|x 2－x 1||x 2＋x 1－1|，∵0≤x 1≤1，0≤x 2≤1，0＜x 1＋x 2＜2(x 1≠x 2)， ∴－1＜x 1＋x 2－1＜1， ∴|x 2＋x 1－1|＜1，∴|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 1－x 2|.12.设x 、y ∈R，求证：|2x－x |＋|2y－y |＋|x ＋y |≥2x ＋y2＋1.证明 由绝对值不等式的性质得： |2x－x |＋|2y－y |≥|2x＋2y －(x ＋y )| ≥|2x＋2y|－|x ＋y |， ∴|2x－x |＋|2y－y |＋|x ＋y | ≥|2x＋2y|＝2x＋2y. 又∵2x＋2y≥22x·2y＝2x ＋y2＋1，∴|2x－x |＋|2y－y |＋|x ＋y |≥2x ＋y2＋1.。
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对不等式的解法 新人教A版
2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式有 三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区 间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法 直观，但只适用于数据较简单的情况．
(2)分段讨论法． 转化为不含绝对值的不等式求解． (3)数形结合法． 从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)|x|＜1 的解集为{x|－1＜x＜1}．( ) (2)|x|＜1 的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 1 的点的集合．( ) (3)|x|≥1 的解集是{x|x≥1 或 x≤－1}．( ) (4)|x|＞1 的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 1 的点的集合．( )
1．|x|＞a 与|x|＜a(α＞0)型的不等式 当 a＞0 时，不等式|x|＞a 的解集是{x|x＞a 或 x＜－ a}，不等式|x|＜a 的解集是{x|－a＜x＜a}．
2．|ax＋b|＞c，(c＞0)与|ax＋b|＜c，(c＞0)型的不等
式 不等式|ax＋b|＞c 的解集是{x|ax＋b＞c 或 ax＋b＜－
＜－4或x＞2.
答案：A
3．(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－
1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为2－x≥0，所以x≤2，因为|x－1|≤1，所
以0≤x≤2.因为当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一
定有x≤2，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不
当 x≥ 1－a时，f(x)＝x＋ a－x＋ 1－a＝ a＋ 1－a.
所以[f(x)]max＝ a＋ 1－a.(7 分)
人教A版选修4-5 第一章 二 1.绝对值三角不等式 课件(28张)
第一讲 不等式和绝对值不等式
求 f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和 f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方 法 (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解． (2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的 “差”还是“和”的绝对值为定值． (3)利用绝对值的几何意义求解．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)因为||x－1|－|x＋1||≤|(x－1)－(x＋1)|＝2， 当且仅当(x－1)(x＋1)≥0， 即 x≥1 或 x≤－1 时取等号，即－2≤|x－1|－|x＋1|≤2， 当 x≥1 时函数取得最小值－2，当 x≤－1 时，函数取得最大 值 2，当－1＜x＜1 时，－2＜|x－1|－|x＋1|＜2，故函数 f(x) 的值域为[－2，2]．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)当 a＝0 时，f(x)＝x； 当－1≤x≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝1， 不满足题设条件，所以 a≠0. 又 f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1， 故 f(±1)均不是最大值． 所以 f(x)的最大值187应在其对称轴上顶点位置取得， 所以 a＜0.
第一讲 不等式和绝对值不等式
【解】 (1)因为|x|≤1，|a|≤1， 所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x2|＋|x| ＝－|x|2＋|x|＋1 ＝－|x|－122＋54≤54. 所以|x|＝12时，|f(x)|取得最大值54.
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
－1＜－21a＜1， 所以命题等价于f－21a＝187，
a＜0，
2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式优化练习
1 绝对值三角不等式[课时作业][A 组 基础巩固]1．设ab ＞0，下面四个不等式：①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |中，正确的是( )A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④解析：∵ab ＞0，①|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a |，正确；②|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|b |，所以②错；③|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a －b |，所以③错；④|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a －b |≥|a |－|b |，正确．所以①④正确，应选C.答案：C2．已知x 为实数，且|x －5|＋|x －3|<m 有解，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1C ．m >2D ．m ≥2解析：∵|x －5|＋|x －3|≥|x －5＋3－x |＝2，∴|x －5|＋|x －3|的最小值为2.∴要使|x －5|＋|x －3|<m 有解，则m >2.答案：C3．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是()A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：令a ＝3，b ＝2，则m ＝1，n ＝1；令a ＝－3，b ＝2，则m ＝15，n ＝5，∴n ≥m ，选D.答案：D4．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值及取得最小值时x 的值分别是( )A ．1，x ∈[－1,2]B ．3,0C ．3，x ∈[－1,2]D ．2，x ∈[1,2]解析：运用含绝对值不等式的基本性质有|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3.当且仅当(x ＋1)(2－x )≥0时等号成立，即取得最小值的充要条件，∴－1≤x ≤2.答案：C5．下列不等式中恒成立的个数是( )①x ＋1x≥2(x ≠0)； ②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0，a <b )； ④|a ＋b |＋|b －a |≥2a .A ．4B ．3C ．2D ．1解析：①不成立，当x <0时不等式不成立；②成立， a >b >0⇒a ab >b ab 即1b >1a， 又由于c >0，故有c b >c a ；③成立，因为a ＋m b ＋m －a b ＝b －a m b b ＋m >0(a ，b ，m >0，a <b )，故a ＋m b ＋m >a b； ④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a ＋b |＋|b －a |≥|(a ＋b )－(b －a )|＝|2a |≥2a ，故选B.答案：B6．已知|a ＋b |<－c (a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式：①a <－b －c ；②a >－b ＋c ；③a <b －c ；④|a |<|b |－c ；⑤|a |<－|b |－c .其中一定成立的不等式是________(把成立的不等式的序号都填上)．解析：∵|a ＋b |<－c ，∴c <a ＋b <－c ，∴a <－b －c ，a >－b ＋c ，①②成立，|a |－|b |<|a ＋b |<－c ，∴|a |<|b |－c ，④成立．答案：①②④7．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为________．解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2，当且仅当4≤x ≤6时，等号成立． 答案：28．若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为________．解析：∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|≥|4－x＋x＋5|＝9.∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．答案：(－∞，9)9．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．10．已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．解析：(1)函数的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a>0，即|x－1|＋|x－5|＞a，设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，由|x－1|＋|x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，可知g(x)min＝4，∴f(x)min＝log2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4.∵|x－1|＋|x－5|－a>0，∴a<g(x)min时，f(x)的定义域为R.∴a<4，即a的取值范围是(－∞，4)．[B组能力提升]1．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.答案：B2．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.答案：C3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2 (y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.答案：54．设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m >0，使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为F 函数．给出下列函数：①f (x )＝0；②f (x )＝x 2；③f (x )＝2(sin x ＋cos x )；④f (x )＝x x 2＋x ＋1；⑤f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|.其中是F 函数的序号是________．解析：由|f (x )|≤m |x |，当x ≠0时，知m ≥|f x |x |，对于①，有|f x |x |＝0，x ≠0，故取m >0即可；对于②，由|x 2|＝|x |2，∴|f x |x |＝|x |，无最大值；对于③，由f (x )＝2sin(x＋π4)，而|f x |x |＝|2six ＋π4|x |无最大值；对于④，由|f x|x |＝1x 2＋x ＋1≤43，x ≠0，只要取m ＝43即可； 对于⑤，令x 2＝0，x 1＝x ，由f (0)＝0，知|f (x )|≤2|x |.答案：①④⑤5．对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m ，求m 的值．解析：不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，即左边恒小于或等于右边的最小值．因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立，即|a |≥|b |时，等号成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2. 所以m ＝2.6．已知|x 1－2|<1，|x 2－2|<1.(1)求证：2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|<2.(2)若f (x )＝x 2－x ＋1，x 1≠x 2， 求证：|x 1－x 2|<|f (x 1)－f (x 2)|<5|x 1－x 2|. 证明：(1)∵|x 1－2|<1，|x 2－2|<1， ∴2－1<x 1<2＋1,2－1<x 2<2＋1， 即1<x 1<3,1<x 2<3，∴2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|＝|(x 1－2)－(x 2－2)| ≤|x 1－2|＋|x 2－2|<1＋1＝2， 即|x 1－x 2|<2.(2)∵f (x )＝x 2－x ＋1，∴|f (x 1)－f (x 2)|＝|x 21－x 1－x 22＋x 2| ＝|(x 1－x 2)·(x 1＋x 2－1)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2－1|，由(1)知2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|>0， ∴|x 1－x 2|<|x 1－x 2|·|x 1＋x 2－1|<5|x 1－x 2|， 即|x 1－x 2|<|f (x 1)－f (x 2)|<5|x 1－x 2|.。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等
二 绝对值不等式2.绝对值不等式的解法1．掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题． 2．了解绝对值不等式的几何解法．1．含有绝对值的不等式的解法(同解性) (1)|x |＜a⎩⎪⎨⎪⎧，a >0， ，a ≤0.(2)|x |＞a ⎩⎪⎨⎪⎧，a >0， ，a ＝0，，a <0.对于不等式|x |＜a (a ＞0)，由绝对值的几何定义知，它表示数轴上到原点的距离小于a 的点的集合．如图：【做一做1】 若集合M ＝{x ||x |≤2}，N ＝{x |x 2－3x ＝0}，则M ∩N ＝( ) A ．{3} B ．{0} C ．{0,2} D ．{0,3} 2．|ax ＋b |≤c (c ＞0)，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c ＞0)型不等式的解法是：先化为不等式组__________，再利用不等式的性质求出原不等式的解集．(2)|ax ＋b |≥c (c ＞0)的解法是：先化为________或__________，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集．【做一做2－1】 若条件p ：|x ＋1|≤4，条件q ：x 2＜5x －6，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【做一做2－2】 |2x ＋1|＞|5－x |的解集是__________． 3．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法 有三种不同的解法：解法一可以利用绝对值不等式的________．解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的“______”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的______，进而去掉__________．解法三可以通过________，利用__________，得到不等式的解集．|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 型的不等式的三种解法可简述为：①几何意义；②根分区间法；③构造函数法．【做一做3】 不等式|x －1|＋|x －2|＜2的解集是__________．答案：1．(1)－a ＜x ＜a 无解 (2)x ＞a 或x ＜－a x ≠0 x ∈R【做一做1】 B 方法一：由代入选项验证可排除选项A 、C 、D ，故选B. 方法二：M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{0,3}， ∴M ∩N ＝{0}．2．(1)－c ≤ax ＋b ≤c (2)ax ＋b ≥c ax ＋b ≤－c【做一做2－1】 A ∵由p ：|x ＋1|≤4，得－4≤x ＋1≤4，即－5≤x ≤3，又q ：2＜x ＜3，∴p 为x ＞3或x ＜－5，q 为x ≥3或x ≤2.∴p q ，而q p ，∴p 是q 的必要不充分条件．【做一做2－2】 (－∞，－6)∪(43，＋∞)∵|2x ＋1|＞|5－x |，∴(2x ＋1)2＞(5－x )2.∴3x 2＋14x －24＞0. ∴x ＜－6或x ＞43.3．几何意义零点 符号 绝对值符号 构造函数 函数的图象【做一做3】 (12，52) 当x ≤1时，1－x ＋2－x ＜2，即2x ＞1，∴12＜x ≤1；当1＜x＜2时，x －1＋2－x ＜2恒成立，即1＜x ＜2；当x ≥2时，x －1＋x －2＜2，即2x ＜5，∴2≤x ＜52.综上，12＜x ＜52.1．用分段讨论法解含绝对值的不等式 剖析：用分段讨论法解含绝对值的不等式时，先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解．在分段讨论过程中，每一段的讨论都有一个“x ”的范围(或值)作为本段讨论的前提，这与解含参数的不等式有些类似，但本质上又不同，每一段的讨论结果，都是“x ”的前提范围与本段含绝对值不等式去掉绝对值号的不等式解集的交集，而最后的不等式的解集应是每一段结果的并集．解含参数的不等式讨论时，每一步的前提条件是参数所取的范围(或值)，每一步间的结果各自独立，不存在“交、并”集的说法，因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论．所以解含绝对值不等式与解含参数不等式，虽然用的都是分段讨论法，但实质上是不同的．这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程，以免出错．2．几个特殊的含绝对值的不等式的区别剖析：(1)|x －4|－|x －3|＞a 有解，则a 的取值范围是______；(2)|x －4|－|x －3|＞a 的解集为R ，则a 的取值范围是______； (3)|x －4|＋|x －3|＜a 的解集为，则a 的取值范围是______； (4)|x －4|＋|x －3|＞a 的解集为R ，则a 的取值范围是______．处理以上这种问题，我们可以与函数y ＝|x －4|－|x －3|，y ＝|x －4|＋|x －3|的最值(值域)等联系起来，第一个函数的值域为[－1,1]，而第二个函数的最小值为1，即|x －4|＋|x －3|≥1，所以(1)|x －4|－|x －3|＞a 有解，只需a ＜1；|x －4|－|x －3|＞a 的解集是R ，则说明是恒成立问题，所以a ＜[|x －4|－|x －3|]min ＝－1，即a ＜－1；|x －4|＋|x －3|＜a 的解集为，说明a ≤[|x －4|＋|x －3|]min ＝1，所以a ≤1；|x －4|＋|x －3|＞a 的解集为R ，说明a ＜[|x －4|＋|x －3|]min ＝1.以上这几种不等式问题，实质是与两种函数的值域或最值相联系的问题，当然也可以借助函数的图象，用数形结合来解得a 的范围．而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助．题型一 解|ax ＋b |≥c (c ＞0)和|ax ＋b |≤c (c ＞0)型的不等式 【例1】 不等式|3x －2|＞4的解集是( ) A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ＜－23}C ．{x |x ＜－23或x ＞2}D ．{x |－23＜x ＜2}【例2】 不等式|5x －x 2|＜6的解集为( )A ．{x |x ＜2或x ＞3}B ．{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}C ．{x |－1＜x ＜6}D ．{x |2＜x ＜3}反思：形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式的简单解法是等价命题法，即①当a ＞0时，|f (x )|＜a －a ＜f (x )＜a .|f (x )|＞a f (x )＞a 或f (x )＜－a . ②当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a |f (x )|≠0.③当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a f (x )有意义．题型二 解|f (x )|＞g (x )型的不等式【例3】 解不等式|x －x 2－2|＞x 2－3x －4.反思：本题形如|f (x )|＞g (x )，我们可以借助形如|ax ＋b |＞c 的解法转化为f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )，当然|f (x )|＜g (x )－g (x )＜f (x )＜g (x )．而如果f (x )的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解不等式．题型三 解|x ＋a |＋|x ＋b |≥c (c ＞0)型的不等式 【例4】 解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|x ＋a |＋|x ＋b |的代数式，可以认为是分段函数．反思：|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．①分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解，即|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －xx ＜，也即x 为非负数时，|x |为x ；x 为负数时，|x |为－x ，即x 的相反数．②|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的图象解法和画出函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |－c 的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f (x )的分段表达式．不妨设a ＜b ，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋b －c x ≤a b －a －c a ＜x ＜b2x －a －b －c x ≥b.这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．③几何解法的关键是理解绝对值的几何意义． 题型四 含有参数的绝对值不等式的解法【例5】 (2010福建高考，理21选做3)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 反思：含有参数的不等式的求解问题分两类，一类要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a 并没有进行讨论，而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集．答案：【例1】 C 可以利用|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法进行等价转化，或者利用数形结合法．方法一：由|3x －2|＞4， 得3x －2＜－4或3x －2＞4.即x ＜－23或x ＞2.所以原不等式的解集为{x |x ＜－23或x ＞2}．方法二：(数形结合法)画出函数y ＝|3x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≥23，2－3x ， x <23的图象，如下图所示：由|3x －2|＝4，解得x ＝2或x ＝－23.在同一坐标系中画出直线y ＝4，所以交点坐标为(2,4)与(－23，4)．所以|3x －2|＞4时，x ＜－23或x ＞2.所以原不等式的解集为{x |x ＜－23或x ＞2}．【例2】 B 可以利用|x |＜a (a ＞0)的结论进行转化，然后解一元二次不等式，取交集可得结果，本题还可以用数形结合法求结果．方法一：由|5x －x 2|＜6，得|x 2－5x |＜6.∴－6＜x 2－5x ＜6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0x 2－5x －6<0⎩⎪⎨⎪⎧x －x －x －x ＋⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >3，－1<x <6.∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}．方法二：作函数y ＝x 2－5x 的图象，如下图所示．|x 2－5x |＜6表示函数图象中直线y ＝－6和直线y ＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x 2－5x ＝6，得x 1＝－1，x 2＝6.解方程x 2－5x ＝－6，得x 1′＝2，x 2′＝3.即得到不等式的解集是{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}．【例3】 解：∵|x －x 2－2|＝|x 2－x ＋2|，而x 2－x ＋2＝(x －12)2＋74＞0，∴|x －x 2－2|＝|x 2－x ＋2|＝x 2－x ＋2， 故原不等式等价于x 2－x ＋2＞x 2－3x －4. ∴x ＞－3.∴原不等式的解集为{x |x ＞－3}．【例4】 解法一：如下图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .所以－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离和为3，B 1对应数轴上的x ， 所以x －1＋x －(－1)＝3.所以x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．解法二：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1＜x ＜1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.综上，可知原不等式的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞)．解法三：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3， x ≤－1，－1， －1<x <1，2x －3， x ≥1.作出函数的图象(如图)．函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞)．【例5】 解：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.所以实数a 的值为2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x ＞2时，g (x )＞5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立， 则m 的取值范围为(－∞，5]．1．不等式|1||1|x x +-＜1的解集为( )A ．{x |0＜x ＜1}∪{x |x ＞1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |－1＜x ＜0}D ．{x |x ＜0}2．|21|2|3|x x --+＞0的解集为( )A ．{x |x ＞32或x ＜12-} B ．{x |1322x -<<} C ．{x |x ＞32或x ＜12-且x ≠－3}D ．{x |x ∈R 且x ≠－3}3．不等式4＜|3x －2|＜8的解集为______．4．解不等式：|x ＋1|＋|x －1|≤1.5．(2012东北四校一模)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a ＞0)． (1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．答案：1．D 1||1x x +-＜1－1＜11x x +-＜1111111x x x x +⎧>-⎪⎪-⎨+⎪<⎪-⎩11011101x x x x x x ++-⎧>⎪⎪-⎨+-+⎪<⎪-⎩2(1)010x x x ->⎧⎨-<⎩x ＜0. 2．C |21|2|3|x x --+＞|21|230x x ->⎧⎨+≠⎩2122123x x x ->-<-⎧⎨≠-⎩或31,223.x x x ⎧><-⎪⎨⎪≠-⎩或 3．{x |2＜x ＜103或－2＜x ＜23-} 本题是由两个绝对值不等式构成的不等式组，可分别解出其解集，然后取交集即可．由4＜|3x －2|＜8，得|32|4|32|8x x ->⎧⎨-<⎩3243248328x x x -<-->⎧⎨-<-<⎩或22,3102.3x x x ⎧<->⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩或 ∴－2＜x ＜23-或2＜x ＜103. ∴原不等式的解集为{x |－2＜x ＜23-或2＜x ＜103}． 4．解：当x ≤－1时，原不等式可化为－(x ＋1)－(x －1)≤1，无解．当－1＜x ＜1时，原不等式可化为 x ＋1－(x －1)≤1， 解得2≤1，无解．当x ≥1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤1，无解． 综上，可知原不等式的解集为空集．5．解：(1)令|2x ＋1|－|x －1|＝f (x )，当a ＝4时，f (x )≤2，x ＜12-时，－x －2≤2，得－4≤x ＜12-； 12-≤x ≤1时，3x ≤2，得12-≤x ≤23； x ＞1时，x ≤0，此时x 不存在．∴不等式的解集为2|43x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)∵设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝12, 213, 22, 1x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩1故f (x )∈3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，即f (x )的最小值为32-，所以f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥32-， 解得a，即a的取值范围是4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.。
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1 绝对值三角不等式[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设ab ＞0，下面四个不等式：①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a＋b |＞|a |－|b |中，正确的是( )A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④解析：∵ab ＞0，①|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a |，正确；②|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|b |，所以②错；③|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a －b |，所以③错；④|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a －b |≥|a |－|b |，正确．所以①④正确，应选C.答案：C2．已知x 为实数，且|x －5|＋|x －3|<m 有解，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1C ．m >2D ．m ≥2解析：∵|x －5|＋|x －3|≥|x －5＋3－x |＝2，∴|x －5|＋|x －3|的最小值为2.∴要使|x －5|＋|x －3|<m 有解，则m >2.答案：C3．已知|a |≠|b |，m ＝|a|－|b||a －b|，n ＝|a|＋|b||a ＋b|，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：令a ＝3，b ＝2，则m ＝1，n ＝1；令a ＝－3，b ＝2，则m ＝15，n ＝5，∴n ≥m ，选D.答案：D4．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值及取得最小值时x 的值分别是( )A ．1，x ∈[－1,2]B ．3,0C ．3，x ∈[－1,2]D ．2，x ∈[1,2]解析：运用含绝对值不等式的基本性质有|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3.当且仅当(x ＋1)(2－x )≥0时等号成立，即取得最小值的充要条件，∴－1≤x ≤2.答案：C5．下列不等式中恒成立的个数是( )①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb(a >b >c >0)；③a ＋mb ＋m >ab(a ，b ，m >0，a <b )；④|a ＋b |＋|b －a |≥2a .A ．4B ．3C ．2D ．1解析：①不成立，当x <0时不等式不成立；②成立，a >b >0⇒a ab >b ab 即1b >1a ，又由于c >0，故有c b >c a；③成立，因为a ＋m b ＋m －ab＝－＋>0(a ，b ，m >0，a <b )，故a ＋m b ＋m >ab；④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a ＋b |＋|b －a |≥|(a ＋b )－(b －a )|＝|2a |≥2a ，故选B.答案：B6．已知|a ＋b |<－c (a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式：①a <－b －c ；②a >－b ＋c ；③a <b －c ；④|a |<|b |－c ；⑤|a |<－|b |－c .其中一定成立的不等式是________(把成立的不等式的序号都填上)．解析：∵|a ＋b |<－c ，∴c <a ＋b <－c ，∴a <－b －c ，a >－b ＋c ，①②成立，|a |－|b |<|a ＋b |<－c ， ∴|a |<|b |－c ，④成立．答案：①②④7．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为________．解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2，当且仅当4≤x ≤6时，等号成立．答案：28．若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为________．解析：∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|≥|4－x＋x＋5|＝9.∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．答案：(－∞，9) 9．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．10．已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．解析：(1)函数的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a>0，即|x－1|＋|x－5|＞a，设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，由|x－1|＋|x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，可知g(x)min＝4，∴f(x)min＝log2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4.∵|x－1|＋|x－5|－a>0，∴a<g(x)min时，f(x)的定义域为R.∴a<4，即a的取值范围是(－∞，4)．[B组能力提升]1．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )B．|a＋b|＋|a－b|<2A．|a＋b|＋|a－b|>2D．不能比较大小C．|a＋b|＋|a－b|＝2 解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.答案：B 2．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )B．2A．1D．4C．3解析：∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.答案：C3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2 (y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.答案：54．设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m >0，使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为F 函数．给出下列函数：①f (x )＝0；②f (x )＝x 2；③f (x )＝2(sin x ＋cos x )；④f (x )＝x x2＋x ＋1；⑤f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|.其中是F 函数的序号是________．解析：由|f (x )|≤m |x |，当x ≠0时，知m ≥|x|，对于①，有|x|＝0，x ≠0，故取m >0即可；对于②，由|x 2|＝|x |2，∴|x|＝|x |，无最大值；对于③，由f (x )＝2sin(x＋π4)，而|x|＝|2si＋π4|x|无最大值；对于④，由|x|＝1x2＋x ＋1≤43，x ≠0，只要取m ＝43即可；对于⑤，令x 2＝0，x 1＝x ，由f (0)＝0，知|f (x )|≤2|x |.答案：①④⑤5．对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m ，求m 的值．解析：不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b|＋|a －b||a|对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，即左边恒小于或等于右边的最小值．因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立，即|a |≥|b |时，等号成立，也就是|a ＋b|＋|a －b||a|的最小值是2.所以m ＝2.6．已知|x 1－2|<1，|x 2－2|<1.(1)求证：2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|<2. (2)若f (x )＝x 2－x ＋1，x 1≠x 2，求证：|x 1－x 2|<|f (x 1)－f (x 2)|<5|x 1－x 2|.证明：(1)∵|x 1－2|<1，|x 2－2|<1，∴2－1<x 1<2＋1,2－1<x 2<2＋1，即1<x 1<3,1<x 2<3，∴2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|＝|(x 1－2)－(x 2－2)| ≤|x 1－2|＋|x 2－2|<1＋1＝2，即|x 1－x 2|<2.(2)∵f (x )＝x 2－x ＋1，∴|f (x 1)－f (x 2)|＝|x 21－x 1－x 2＋x 2|＝|(x 1－x 2)·(x 1＋x 2－1)| ＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2－1|，由(1)知2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|>0，∴|x 1－x 2|<|x 1－x 2|·|x 1＋x 2－1|<5|x 1－x 2|，即|x 1－x 2|<|f (x 1)－f (x 2)|<5|x 1－x 2|.。