中职数学1.2_集合之间的关系(子集与真子集)
1.2.1 集合之间的关系1
1.2.1 集合之间的关系教材知识检索考点知识清单1.子集(1)定义：如果 ；那么集合A 叫做集合B 集合的子集。
(2)符号： ，读作： 。
2.真子集(1)定义：如．果集合A 是集合B 的子集，并且 那么集合A 叫做集合B 的真子集． (2>符号： ，读作： ． 3. 集合的相等(1)集合相等的定义：一般地，如果集合A 的 都是集合B 的元素，反过来，集合B 的 也都是集合强的元素，那么就说集合A 等于集合B ，记作____．(2)推论：如果 ，又 ，则A=B 反之．如果A=B ，则____且____． 4．韦恩图韦恩(Venn)图：通常用 表示一个集合，这个图形通常叫做韦恩图. 5．两个重要规定(1)空集是 的子集．(2)空集是 的真子集． 6．传递性根据子集、真子集的定义可以推知：(1)对于集合4、B 、C ，如果A ⊆ B ，B ⊆C ，则____．(2)对于集合A 、B 、C ，如果A ≠⊂B ，B ≠⊂C ，则 .要点核心解读1．准确理解子集、真子集的概念(1)空集是任何非空集合的真子集，即∅≠⊂A （A 是非空集合）； (2)任何集合都是它本身的 子集，即;A A ⊆(3)子集、真子集都有传递性，即若,,C B B A ⊆⊆则;C A ⊆⋅若A B B,≠⊂A ≠⊂则.C A ≠⊂2．集合相等的概念课本中是用B A ⊆“且A B ⊆则B A =”来定义集合相等的．其实，A 与B 非空且元素完全相同或∅==B A 时，B A =都成立．课本中的定义实际上给出了一种证明两个集合相等的方法，即欲证,B A =只需证B A ⊆与A B ⊆都成立． 3．符号，，“⊆∈ ≠⊂” 的区分要注意区分，与“⊆∈⊆与≠⊂”“∈”表示元素与集合之间的从属关系，而“⊆”表示集合之间的包含关系，“⊆”与≠⊂均表示集合间的包含关系，但后者是前者“≠”情形时的包含关系。
4．“元素个数”与“子集个数”之间的关系 (1)列下表．①若},{a A =则其子集可以是},{,a ∅子集个数为2；②若},,{b a A =则其子集可以是},,{},{},{,b a b a ∅子集个数为4；③若},,,{c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ∅},,{},,{c a b a },,,{},,{c b a c b 子集个数为8；④若},,,,{d c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ∅},,{},{b a d },,{},,{da c a },,{},,{dbc b },,,{},,{c b ad c },,,{d b a },,,{},,,{d c b d c a },,,,{d c b a 子集个数为16.所以表格中依次填2、4、8、16. 综上所述，，集合中的元素个数每增加1个，其子集的个数变为原来的2倍， 其对应关系为： 元素个数 子集的数目1 221=2 21222=⨯3 32222=⨯4 43222=⨯(2)由(1)可以猜想：若集合中有n 个元素，其子集的个数应为n2个，其真子集的个数应为)12(-n 个．典例分类剖析考点1 求集合的子集或真子集[例1]已知集合M 满足},5,4,3,2,1{}3,2{⊆⊆M 求集合M ． [解析]，(1)当M 中舍有两个元素时，M 为};3,2{(2) 当M 中含有三个元紊时，M 为};5,3,2{},4,3,2{},1,3,2{(3)当M 中合有四个元素时 M 为},5,1,3,2{},4,1,3,2{};5,4,3,2{ (4)当M 中含有五个元素时：M 为}.5,4,1,3,2{所以满足条M 件集合M 为},1,3,2{},3,2{},4,3,2{},5,3,2{},4,1,3,2{},5,4,3,2{},5,1,3,2{},5,4,1,3,2{ 集合M 的个数为8．[点拨】 对于求集合的子集问题，一定要注意有两个集合比较特殊，即∅和集合本身．因此解决这类问题时.(1)要注意对符号h ⊆≠⊂的辨析．(2)合理使用分类讨论的思想，按集合元素的个数多少分类写出母题迁移 1．满足条件-⊆⊆=+22|{}01|{x x M x x }01=的M 为考点2 集合关系的判定[例2] 已知集合},,1|{2N a a x x M ∈+==集合==y y P |{},,222N b b b ∈++试问M 与P 相等吗？[解析] 设,P y ∈则1)12222++=++=b b b y （,,1,N a N b N b ∈∈+∴∈ 又 .,M p M y ⊆∈∴故 .1,1,0M x a ∈∴==时当而,,1)1(2222N b b b b y ∈++=++=,0≥∴b 即.2≥y,1P ∉∴故M 不是P 的子集．综上所述，.P M =/[点拨] 解答本题时，首先观察两个集合中函数式的结构特点．关键是要“变”（或“凑”）形式，即由”“222++b b 向+2a ”1的形式变化，再由Nb N a ∈∈,进行判断．母题迁移2．（2010年武汉调考题）已知集合{},)12(91A Z k k x x ∈+==},,9194|{z k k x xB ∈±==则集合A 、B 之间的关系为( )．A A .B ≠⊂ B B .A ≠⊂ B AC =. B AD =/. 考点3 集合相等问题[例3] 设集合,},,,{},,,1{2B A ab a a B b a A ===则a= =b , [解析] 由集合的相等关系，且均有元素a ，故有⎩⎨⎧==ab b a ,12或⎩⎨⎧==,,12a b ab 且.1,1=/=/b a .0,1=-=∴b a[答案]-10[点拨] (l ）两个集合的元素相 同.(2)注意集合内元素的互异性，为避免出错，常代回检验．母题迁移 3．已知三元素集合=-=B y x xy x A },,,{},|,|,0{y x 且,B A =求x 与y 的值，考点4 利用集合关系，求字母参数或取值范围[例4] 设},01|{},0158|{2=-==+-=ax x B x x x A 若,A B ⊆求实数a 组成的集合． [解析] ,A B ⊆即B 是A 的子集，只需求出A ，即可分类讨论解决． 由于,},5,3{A B A ⊆=(1)若;0,=∅=a B 则 (2)若,∅=/B 则,0=/a 这时有31,5131===a a a 即或或⋅=51a综上所述，由实数a 组成的集合为⋅}31,51,0{[点拨] 要解决本题，首先要搞清楚集合A 的元素是什么，然后根据,A B ⊆求a 的值．特别要注意讨论B 为⋅∅的情况，在A B ⊆中，含有∅=B 这种情况，解题时需注意，防止遗漏．在集会这一单元中含有丰富的分类讨论的内容，要增强分类讨论的意识，掌握分类的方法．母题迁移 4.(1)若集合 ==-+=B x x x A },06|{2},01|{=+mx x 且,A B ≠⊂求m 的值． (2)设集合+++==+=x a x x B x x x A )1(2|{},04|{22}.,012R a a ∈=-若,A B ⊆求实数a 的值．自主评价反馈考点知识清单1．(1)集合A 中任何一个元素都是集合B 的元素B A ⊆)2( A 包含于B2．(l)存在元素B x ∈且A x ∉B A ≠⊂)2(A 真包含于B3．(1)任何一个元素任何一个元素B A =B A ⊆)2( A B ⊆ B A ⊂ A B ⊂4．封闭图形5．(1)任何集合 (2)任何非空集合C A ⊂)1.(6 C A ≠⊂)2(母题迁移}1{}1,1{}1{.1或或或--∅2．C.0,,0.3A B A B ∈∴=∈∴ 集合A 为三元素集，,xy x =/∴.0=/∴x 又,0,,0=/∴∈∈y B y B 从而⋅==-y x y x ,0 这时，},|,|,0{},0,,{2x x B x x A ⋅==|,|2x x =∴则0=x （舍去）或1=x （舍去）或.1-=x经验证：1,1-=-=y x 是本题的解．4．(1)},2,3{}06|{2-==-+=x x x A自主评价反馈,A B ≠⊂当∅=B 时，0=m 适合题意；当∅=/B 时，方程01=+mx 的解为,1mx -= 则31-=-m 或,21=-m 31=∴m 或⋅-=21m综上可知，所求m 的值为⋅-2131,0R A B ⊆)2(可分为A B A B B =≠⊂∅=,,三种情况，而=A }.4,0{-当B A =时，},4,0{-=B 即 40-==x x 与是方程01)1(222=-+++a x a x 的两根，求得.1=a 当∅=B 时，方程01)1(222=-+++ a x a x 无解，由判别式.10)1(4)1(422-<⇒<--+=∆a a a当,A B ≠⊂且∅=/B 时．}0{=B 或},4{-=B 即方程01)1(222=-+++a x a x 有两个相等的实数根． 此时.10)1(4)1(422-=⇒=--+=∆a a a}0{=∴B 满足条件．综上所述，所求实数a 的取值为.11=-≤Ra a优化分层测试学业水平测试1. 在下列所给的五个关系式：①};0{≠⊂∅,1,2{}2,1,2{=-②}2-};2,1{}1{;∈③};3{)}3,3{(=④}{∅⑤{}012=++=x x x 中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个 D.3个2.若集合},1,{},,3,1{2x B x A ==且,A B ⊆则满足条件的实数x 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43.若集合},21|{<<=x x A 集合},0|{2>=x x B 则A B ．4.若集合},0|{},2,1{2=++==b ax x x B A 若,B A =则=a =b .5.判定下列集合之间的关系，用适当的符号表示它们的关系． (1){}{x x b z n n x z x =∈=∈=,,2A 是偶数}； (x x A |{)2=是平行四边形}，x x B |{=是正方形}； (3){}{};,,,22R x x y R y B R y x y R x A ∈=∈=∈-=∈(4){x x A =是奇数}，}.,14|{z n n x R x B ∈±=∈=6. 设集合{x x A =是三角形},{x x B =是锐角三角形},{x x c =是正三角形},指出A 、B 、C 三者之间的关系，并用韦恩图表示.高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．下列各式中，正确的个数是( )．};0{=∅① };0{⊆∅② };0{∈∅③ };0{0=④ };0{0∈⑤ };3,2,1{}1{∈⋅⑥ };3,2,1{}2,1{⊆⑦ }.,{},{b a b a ⊆⑧1.A2.B3.C4.D2．设集合,)12(|{},,)12(1{ππ-==∈+==k x x N z k k x x M },z k ∈则M 、N 之间的关系为( )．N M A ≠⊂. N M B ⊇. N M C ⊆. N M D =.3．已知集合},2,1{=P 那么满足P Q ⊆的集合Q 的个数是( )．4.A 3.B 2.C 1.D4．（2010年江西南昌调研测试题）集合A S },5,4,3,2,1,0{=是S 的一个子集，当A x ∈时，若A x ∉-1 且,1A x ∉+则称X 为A 的一个“孤立元素”，那么 S 中无“孤立元素”的含有4个元素的子集个数是( )．A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 5．（2007年全国高考题）设,,R b a ∈集合=+},,1{a b a },,,0{b ab则=-a b ( )． 1.A 1.-B 2.C 2.-D6．（2010年天津高考题）设=∈<-=B R x a x x A },,1|||{},,2|||{R x b x x ∈>-若,B A ⊆则实数a,b必满足( )．3||.≤+b a A 3||.≥+b a B 3||.≤-b a C 3||.≥-b a D7．已知a 为不等于零的实数，那么集合=M },01)1(2|{2R x x a x x ∈=++-的子集的个数为( )．A ．1B ．2C ．4D ．1或2或 48．（2008年四川高考题）集合A A },1,0,1{-=的子集中含有元素O 的子集共有( )． A ．2个 B.4个 C.6个 D.8个 二、填空题（5分x4=20分）9．设},123|),{(},23|),{(,=--=-=-=∈x y y x B x y y x A R y x 、则A 、B 的关系是 10.已知集合=∈+==⊂C z k k x x B B A },,214|{,},,418|{z k k x x ∈+=那么集合A 与C 的关系为11．设},0|{},21|{<-=<<=a x x B x x A 若B A ≠⊂则a 的取值范围是 12.已知集合},12,3,1{--=m A 集合},,3{2m B =若,A B ⊆则实数m= 三、解答题（10分×4 =40分）13．设数集},,1{},,2,1{2a a B a A -==若,B A ⊇求实数a 的值．14.已知集合},112|{.},43.|{4+≤≤-=≤≤-=m x m x B x x 且,A B ⊂求实数m 的取值范围．15．已知集合++-==+-=x m x x B x x x A )1(|{},023|{22}.0=m (1)若,A B ≠⊂求m 的值组成的集合P ； (2)若,A B ⊂求m 的值组成的集合Q ．16.已知集合|{},03|{2R x Q b x x R x P ∈==+-∈=}.0)43()1(22=-++x x x (1)若,∅=P 是否存在集合M ，使得?Q M P ⊆≠⊂求出这样的集合M;(2)P 是否能成为Q 的一个子集？若能，求出b 的取值或取值范围；若不能，说明理由．。
§1.2.1 集合之间的关系(1) 子集、真子集、相等的集合的概念及简单应用
§1.2.1集合之间的关系（1）—子集、真子集、相等的集合的概念及简单应用1．理解集合间的包含和相等关系，理解子集和真子集的概念；2．会准确使用“⊆”、“Ü”和“=”等集合之间的关系符号；3．会用文氏图表示集合之间的包含关系.【观察实例】（1）{1,3}A =，{1,3,5,6}B =；（2）{|C x x =是正方形}，{|D x x =是平行四边形}；（3）{|P x x =是菱形}，{|Q x x =是正方形}；（4）{|3}S x x =>，{|360}T x x =->；（5）{|(1)(2)0}E x x x =++=，{1,2}F =--.问：在每个例子的两个集合中，前一个集合的元素与后一个集合的元素之间有什么联系？问1 用符号语言写出子集、真子集的定义？怎样用文氏图示集合的包含关系？[说明]（1）任意一个集合都是它本身的子集，即A A ⊆；（2）规定：空集是任意一个集合的子集，即A ∅⊆；若集合A 非空，则ÜA ∅；（3）集合A 的子集中除A 外，都是A 的真子集；（4）对于集合,,A B C ，若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；（5）对于集合,,A B C ，若ÜA B ，ÜB C ，则ÜA C .问2 什么叫“A B =”?问3 试区别集合与集合、元素与集合的关系?问4 试猜想“有限集合的子集数目公式”：设()card A n =，则A 的子集数目为_______________.例1（人教B 版必修1P 11例1）写出集合{1,2,3}A =的所有子集和真子集.分析：如何一个不漏地写出集合{1,2,3}的所有子集呢？我们采用下面的步骤：例2 说出下列每组集合之间的关系：（1）{|A n n =为12的正约数}，{1,3,2,4,6,12}B =；（2）*{|2,}C m m k k N ==∈，{|D m m =为4的正整数倍数}；（3）2{|1}P x x ==，{|||1}Q x x ==；（4）{|C x =x 是奇数}，{|D x x =是整数}；（5）用文氏图表示．．．．．．下列集合之间的关系．．．．．．．．．： {|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是菱形}，{|C x x =是矩形}，{|D x x =是正方形}.例3（1）（P8例1）确定整数x 、y ，使{2,}{7,4}x x y +=；（2）设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a+=，则b a -=_______________；（3）{|21,}X x x n n Z ==+∈，{|41,}Y y y k k Z ==±∈的关系是（ ）A ．ÜX Y ；B ．ÝX Y ；C ．X Y =；D ．ÚX Y .例4 设集合{|M x x =≤，a = ）A ．a M ∉；B ．{}a M ∈；C ．{}a M ⊆；D ．{}Úa M .*例5 已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+<<-，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.1. （02全国）设集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈，1{|,}42k N x x k Z ==+∈，则（ ） A ．ÚM N ；B ．ÜM N ；C ．ÝM N ；D ．M N =. 2. 2{|21,}M y y x x x R ==--∈，{|24}P x x =-≤≤，则M 与P 之间的关系为（ ）A ．M P =；B ．ÜM P ；C ．ÜP M ；D ．ÚP M .3. 给出：①{2}{0,2,4}∈；②{0}Ü∅； ③{0,1,2}{1,2,0}⊆； ④0∈∅； ⑤{1}{|{1,2}}x x ∈⊆.其中正确的是____________________.4. 满足{1,2}{1,2,3,4,5}ÜA ⊆的集合A 有__________个.5. 设集合2{|10}M x x =-=，{|10}N x ax =-=，若N M ⊆，则a 的取值集合为_______________.6. 设{|01}A x x =<<，{|}B x x a =>，若ÜA B ，则实数a 的取值范围为_______________.7. 已知A B ⊆，A C ⊆，{1,2,3,5}B =，{0,2,4,8}C =，求集合A .8. 已知集合{,,}A x xy x y =-，{0,||,}B x y =，且A B =，求x ，y 的值.9. 已知{|3221}A x x x =+<+，{|0}B x x a =-<（1）若ÜB A ，求a 的取值范围；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.。
高一数学1.2集合间的基本关系
高一数学1.2集合间的基本关系
集合是数学中一个基本的概念，它是将一组具有共同特征的元素组合在一起。
在高一数学中，集合间的基本关系是学习集合论的基础知识之一。
一、子集
子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，记作A⊆BA \subseteq BA⊆B。
例如，集合{1,2,3}是集合{1,2,3,4,5}的子集。
二、真子集
真子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，并且不是相等关系，记作A⊆BA \subset BA⊆B。
例如，集合{1,2,3}是集合{1,2,3,4,5}的真子集。
三、并集
并集是指两个集合中的所有元素组成的集合，记作A∪BA \cup BA∪B。
例如，集合{1,2,3}和{3,4,5}的并集是{1,2,3,4,5}。
四、交集
交集是指两个集合中共有的元素组成的集合，记作A∩BA \cap BA∩B。
例如，集合{1,2,3}和{3,4,5}的交集是{3}。
五、补集
补集是指一个集合在全集中不属于这个集合的元素组成的集合，记作CA∁UC_A \complement_UCA∁U。
例如，集合{1,2,3}在全集{1,2,3,4,5}中的补集是{4,5}。
这些基本关系是学习集合论的基础知识之一，也是高一数学中的重要内容之一。
通过掌握这些基本关系，我们可以更好地理解和应用集合论的概念和性质。
1.2集合之间的基本关系
B
A
B
x
A-16来自.9.
-1
.
2
． 8
x
例2 写出集合{a,b,c}的所有子集，并指出其 中哪些是它的真子集． 解： {a,b,c}的所有子集是：；a; b; c; a ,b ; a ,c ; b ,c ; a ,b ,c . 除了a,b,c外,其余7个集合都是它的真子集． 思维发散：分别写出含有1个、2个、 3个、4个、5个…元素的集合的所 有子集，并探讨其子集的个数与集 合中元素的个数之间是否存在某种 联系？真子集的个数呢？
抽象概括 ４.规定：空集是任何集合的子集,即 A .
我们把不含任何元素的集合叫 做空集,符号记为. 5. 对于两个集合A与B，如果集合 A中的任 例如:方程x2+1=0 没有实数根, 何一个元素都是集合B中的元素，同时集合 所以方程x2+1=0的实数根组 成的集合为 . B中的任何一个元素都是集合 A中的元素，
抽象概括
1.一般地，对于两个集合A与B，如果 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 即若aA，则a B，就说集合A包含于集合B， 或集合B包含集合A，记作 AB(或BA). 这时就说集合A是集合B的子集． 2.任何一个集合都是它本身的子集，即 AA. ３.对于集合Ａ、Ｂ、Ｃ，如果ＡＢ，ＢＣ， 则 Ａ Ｃ .
7.当集合A不包含于集合B，或集合B不包 含集合A时，记作 A B (或 BA ) 例如： (1)集合A={1,3,6} ,B={2,8,9} ,则 A B (2)集合A={1,2,3},B= {1,2,5},则 A B (3)集合A={x|x9} ,B= {x|x 6} ,则 A B (4)集合A= {x|x<8},B= {x|x 2},则 A B
集合之间的关系(子集
集合之间的关系(子集篇一：集合之间的关系教案1.2集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系【学习要求】1.理解子集、真子集、两个集合相等的概念．2.掌握有关子集、真子集的符号及表示方法，能利用Venn图表达集合间的关系．3.会求已知集合的子集、真子集．4.能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号准确地表示出来．【学法指导】通过使用基本的集合语言表示有关的数学对象，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；培养用集合的观点分析问题、解决问题的能力；学习用数学的思维方式解决问题、认识世界.填一填：知识要点、记下疑难点1.子集：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A，读作“A包含于B”，或“B包含A”．2.子集的性质：①A?A(任意一个集合A都是它本身的子集)；②??A(空集是任意一个集合的子集)．3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A B (或BA)，读作“A真包含于B ”，或“B真包含A ”．4.维恩图：我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图.5.集合相等：一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B ，记作A＝B .用数学语言表示为：如果A?B ，且B?A ，那么A＝B .6.一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，即p(x)?q(x) .反之，如果p(x)?q(x)，则A?B研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是ab，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题．探究点一子集与真子集的概念导引前面我们学习了集合、集合元素的概念以及集合的表示方法．下面我们来看这样三组集合：(1)A＝{1,3}，B＝{1,3,5,6}；(2)C＝{x|x是长方形}，D＝{x|x是平行四边形}；(3)P＝{x|x是菱形}，Q＝{x|x是正方形}．问题1 哪些集合表示方法是列举法？哪些集合表示方法是描述法？答：集合A，B的表示是用列举法；集合C，D，P，Q的表示是用描述法．问题2 这三组集合每组彼此之间有何关系？答：集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，集合C中的任意一个元素都是集合D的元素，集合Q中的任意一个元素都是集合P的元素．小结：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A?B或B?A，读作：A 包含于B或B包含A.问题3 类比表示两集合间子集关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处？答：在实数中如果a大于或等于b，则a，b的关系可表示为a ≥b或b≤a；在集合中如果集合A是集合B的子集，则A，B的关系可表示为A?B(或B?A)．所以这是它们的相似之处．问题4 在导引中集合P与集合Q之间的关系如何表示？答：集合P不包含于Q，或Q不包含P，分别记作P Q或QP.问题5 空集与任意一个集合A有什么关系，集合A与它本身有什么关系？答：(1)空集是任意一个集合的子集；(2)任何一个集合A是它本身的子集．问题6 对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么集合A与C 有什么关系？答：A与C的关系为A?C.问题7 “导引”中集合A中的元素都是集合B的元素，集合B 中的元素不都是集合A的元素，我们说集合A是集合B的真子集，那么如何定义集合A是集合B的真子集？答：如果说集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：A B(或B A)，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．问题8 集合A，B的关系能不能用图直观形象的表示出来？1 / 3答：能．我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图．问题9 如何用维恩(Venn)图表示集合A是集合B的真子集？答：如图所示：例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．分析：为了一个不漏地写出集合A＝{1,2,3}的所有子集，可以分类写，即空集，含一个元素的子集，含两个元素的子集，含三个元素的子集．解：集合A的所有子集是：?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．3小结：集合A＝{1,2,3}中有三个元素，其子集的个数为8个，即2个，事实上，如果一个集合含有n个元素，则它的子集个数为2个．跟踪训练1 写出满足{3,4}P?{0,1,2,3,4}的所有集合P.解：由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合．此所有满足题意的集合P为{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．探究点二集合的相等问题1 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？(1)集合C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；(2)集合C＝{2,4,6}，D＝{6,4,2}；(3)集合A＝{x|(x＋1)(x＋2)＝0}，B＝{－1，－2}．答：可以看出每组的两个集合的元素完全相同，只是表达形式不同．问题2 与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？答：若A?B，且B?A，则A＝B.小结：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，同时集合B的每一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B.即：如果A?B，且B?A，那么A＝B.例2 说出下列每对集合之间的关系：(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5}；2(2)P＝{x|x＝1}，Q＝{x||x|＝1}；(3)C＝{x|x是奇数}，D＝{x|x是整数}．解(1)B A；(2)P＝Q；(3)C D.小结：在两个集合A，B的关系中，有一个集合是另一个集合的“子集”；或一个集合是另一个集合的“真子集”；或两个集合“相等”；另外还可能有“集合A不包含于B”或“集合B不包含于A”．跟踪训练2 用适当的符号(∈，?)填空：(1)0______{0}；0______?；?______{0}；22(2)?______{x|x＋1＝0，x∈R}；{0}______{x|x＋1＝0，x∈R}；(3)设A＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，C＝{x|x ＝4k±1，k∈Z}，则A______B______C. 解析(1)0∈{0},0??，?{0}；22(2)?＝{x|x＋1＝0，x∈R}，{0}{x|x＋1＝0，x∈R}；(3)A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C.探究点三集合关系与其特征性质之间的关系问题1 已知集合A的特征性质为p(x)，集合B的特征性质为q(x)．“如果p(x)，那么q(x)”是正确命题，试问集合A和B的关系如何？并举例说明．答：集合A是集合B的子集，例如Q＝{x|x是有理数}，P＝{x|x 是实数}，易知Q?P，也容易判断命题“如果x是有理数，则x是实数”是正确命题．这个命题还可以表述为：x是有理数?x是实数，符号“?”表示推出．小结：一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，即p(x)?q(x)．反之，如果p(x)?q(x)，则A?B.问题2 如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”都是正确的命题，那么怎样表示p(x)，q(x)的关系？答：p(x)?q(x)，符号“?”表示相互推出．例3 判定下列集合A与集合B的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x>3}，B＝{x|x>5}；(3)A＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是有一个角为直角的平行四边形}．解：(1)因为x是12的约数?x是36的约数，所以A?B；2 / 3n(2)因为x>5?x>3，所以B?A；(3)因为x是矩形?x是有一个角为直角的平行四边形，所以A＝B.小结：当判定用特征性质描述法表示的两个集合关系时，一是可用赋值法，二是从两集合元素的特征性质p(x)入手，通过整理化简，看是否是一类元素．跟踪训练3 确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：(1)A＝{n|n＝2k＋1，k∈Z}和B＝{m|m＝2l－1，l∈Z}；**(2)C＝{n|n＝2k＋1，k∈N}和D＝{m|m＝2l－1，l∈N}．解(1)当k∈Z，l∈Z时，n＝2k＋1?m＝2l－1，所以A＝B；**(2)当k∈N，l∈N时，n＝2k＋1?m＝2l－1，所以C?D.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，则A≠?.其中正确的个数是( )A．0B．1C．2D．3解析：由于任何集合都是它本身的子集，故①错；空集只有一个子集就是它本身，故②错；空集是任何非空集合的真子集，故③错；2.满足条件{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M的个数是( )A．3 B．6C．7 D．8解析：M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．3．若集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x，y分别等于__________．???2x＝7?2x＝4?解：由集合相等的定义得或?，?x＋y＝4?x＋y ＝7??7x＝??2∴?1y＝??2舍?x＝2?或???y＝5 .∴x，y的值分别是2,5.4.观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．(2)A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}．(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}．(4)A＝{育才中学高一(11)班的女生}，B＝{育才中学高一(11)班的学生}．解：通过观察就会发现，这四组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有A?B.课堂小结：1.能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合．2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3.注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”．4.注意区分“∈”与“?”的不同涵义.3 / 3篇二：集合间的基本关系知识点集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，（2）A与B是同一集合。
1.2 集合间的基本关系
[对点练清] 1．[变条件]本例若将集合 A，B 分别改为 A＝{－1,3,2m－1}，B＝{3，m2}，
其他条件不变，则实数 m＝________. 解析：因为 B⊆A，所以 m2＝2m－1， 即(m－1)2＝0，所以 m＝1， 当 m＝1 时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}． 满足 B⊆A. 故实数 m 的值为 1. 答案：1
N.故选 D.
知识点二 空集 (一)教材梳理填空
定义 记法
我们把不__含__任__何__元__素__的集合叫做空集 ∅
规定
空集是任何集合的_子__集__，即∅ ⊆A
(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅ ⊆∅ ； 特性
(2)若 A≠∅ ，则∅ _____A
[微思考] {0}，∅与{∅}之间有什么区别与联系？ 提示：{0}是含有一个元素 0 的集合，∅ 是不含任何元素的集合，因
此有∅ {0}，而{∅ }是含有一个元素∅ 的集合．因此，∅ 作为一个元素
时，有∅ ∈{∅ }，∅ 作为一个集合时，有∅ {∅ }．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)∅和{∅}都表示空集． (2)任何集合都有子集和真子集．
(3)集合{x|x2＋1＝0，x∈R }＝∅. 答案：(1)× (2)× (3)√
含有 4 个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}．
含有 5 个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合 M：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，
{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． [答案] B
[方法技巧] 求集合子集、真子集个数的 3 个步骤
3．(多选)如下四个结论中，正确的有
1.2.1 集合之间的关系
N.故选 B. (k∈Z)，集合 N 的元素：
解法二：集合 M 的元素：x＝ ＋ ＝ 2 4 4 2 4
b 解：∵ 1，a， ＝{0，a2，a＋b}， a b ∴0∈ 1，a， . a
∴b＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a2，a}， ∴a ＝1，a＝〒1. 当 a＝1 时，不满足互异性， ∴a＝－1. ∴a2 009＋b2 010＝－1.
在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}剩下的都是 集合A的真子集.
方法归纳
(1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键． (2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多少，以一
定顺序来写不易发生重复和遗漏现象．
(3)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集，记住这个 结论可以提高解答速度，其中要注意空集 漏掉． 和集合本身易
这个命题还可以表述为：
X是有理数推出x是实数.
“推出”一词用符号“
”，读作“推出”
于是上述说法可以表示为：
x是有理数
x是实数
反过来，如果上述说法正确，那么有理数Q也一定是实数 R的子集. 由此可见，我们可以通过判断两个集合之间的关系来判
断它们的特征性质之间的关系， 或用集合特征性质之间
的关系，判断集合之间的关系.
（2）星期一升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在
旗杆附近指定的区域内，一字排开，校长在讲话时，从 主席台向下看，每位同学是哪个班的，一目了然.试想一 下高一（5）班全体学生与高一年级全体学生之间是怎样 的关系呢？
§1.2.2 集合之间的关系(2) 子集、真子集、相等的集合的综合应用
§1.2.2集合之间的关系（2）—子集、真子集、相等的集合的综合应用1．强化集合间的包含关系和相等关系的理解，提高对子集和真子集概念的运用；2．掌握子集，真子集的有关结论和性质；3．熟练掌握利用子集，真子集及相等的集合的概念解决简单不等式的一般方法.问1 有关有限集合子集个数的结论？若集合A 是含有n 个元素的有限集，则集合A 的子集共有__________个，集合A 的真子集共有__________个，集合A 的非空子集有__________个，集合A 的非空真子集有___________个.问2 集合间的传递性质？（1）有关子集的性质： ① 对于任何集合A ，总有_____A A ；② 对于集合A B C 、、，若A B ⊆且B C ⊆，则_______________.（2）有关真子集的性质：① 对于任何非空集合A ，总有_____A ∅；② 对于集合A B C 、、，若ÜA B 且ÜB C ，则_______________.例1 （1）若A B ⊆，且A C ⊆，且{,,}B a b c =，{,}C a c =，试求同时满足上述条件的集合A .（2）已知{,}{,,,}Üa b A a b c d ⊆，写出所有符合条件的集合A .[举一反三] 已知1234123410{,,,}{,,,,,}Üa a a a A a a a a a ⊆，求集合A 的个数.例2 已知集合{1,,}A a b =，2{,,}B a a ab =，若A B ⊆且B A ⊆，求实数,a b 的值.[举一反三] 已知集合{1,4,}A a =，集合2{1,}B a =，且B A ⊆，求实数a 的值.例3 已知集合2{|10}A x x =-=，2{|20}B x x ax b =-+=，若B A ⊆，且B ≠∅，求,a b 的值.[举一反三] 若集合{1,1}A =-，2{|20}B x x mx m =-+=，若B A ⊆且B ≠∅，求实数m 的值.例4 已知集合{|22}A x x =-≤≤（1）若集合{|}B x x a =≤，满足A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若集合{|251}C x a x a =-≤≤+，满足A C ⊆，求实数a 的取值范围；（3）若把（2）中的条件“A C ⊆”改为“C A ⊆”，求实数a 的取值范围.例5 已知集合2*{|1,}A m m n n N ==+∈，2*{|22,}B y y x x x N ==-+∈，探究A 与B 的关系，并对你的猜想给予证明.例6 已知集合{0,1,2}A =，（1）若集合{|}B x x A =∈，{|}C x x A =⊆，试用列举法表示集合B 与集合C ，（2）记M A ⊆，设M 中各元素之和为M N ，求各M N 的和.*例7 已知非空集合ÜS N ，并且满足条件“x S ∈，那么16S x∈”， （1）写出所有只含有一个元素的集合S ；（2）写出所有只含有两个元素的集合S ；（3）满足题设的集合S 共有多少个.1. 已知集合{1,}A x =，2{1,}B x =，且A B =，则__________x =.2. 写出集合{(1,2),(2,1)}--的所有子集_______________.3. 已知集合{|25,1}A s s t t ==+≥-，2{|47,}B y y x x x R ==-+∈，则A 、B 之间的关系可以记为_______________.4. 设3{(,)| 1.,}2y A x y x y R x -==∈-，{(,)|1,,}B x y y x x y R ==+∈，则A 与B 的关系是：_____A B5. 集合N 满足2{|10}{3,1}x x N+=苘，则集合__________N =. 6. 设2{|2,}A y y x x a x R ==++∈，{|30}B x x =-≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_______.7. 若非空集合{|2135}A x a x a =+≤≤-，{|1322}B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合__________C =.8. 非空集合{1,3,7,9}S ⊆满足：如果x S ∈，则10x S -∈，则所有符合条件的集合S 为_______________.9. 集合{0,1,2,3,4,5}S =，A 是S 一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 的4元子集中无“孤立元素”的子集个数是_______________.10. 已知集合{,,2}P a a d a d =++，2{,,}Q a aq aq =，其中0a ≠，如果P Q ⊆且Q P ⊆，求q 的值.11. 若2{|320}A x x x =-+=，{|20}B x mx =-=，且B A ⊆，求实数m 组成的集合.12. 已知集合{|42}A x x =-<<，集合22{|320,}B x x ax a x R =-+=∈，求使B A ⊆的实数a 的范围.*13. 设{|2,}A x x n n Z ==∈，{|610,,}B x x m p m p Z ==+∈，求证：A B =.。
完整版)集合间的基本关系知识点
完整版)集合间的基本关系知识点
集合间的基本关系
1.“包含”关系-子集
集合A是集合B的子集，有两种可能：一是A是B的一
部分，二是A与B是同一集合。
如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，则记作A⊊B或B⊊A。
2.“相等”关系：A=B
如果两个集合A和B的元素相同，则称这两个集合相等。
即任何一个集合是它本身的子集。
例如，如果A={x|x-1=0}，
B={-1,1}，则A=B。
以下是集合间的基本关系：
①真子集：如果A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）。
②传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C。
③相等：如果A⊆B同时B⊆A，则A=B。
3.空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ。
规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
对于一个有n（n≥1）个元素的集合A，它有2n个子集，其中有2n-1个真子集，2n-1个非空子集，以及一个空集。
名称记号意义
① A⊆B A中的任一元素都属于B。
②∅⊆A 空集是任何非空子集的真子集。
③若___且B⊆C，则A⊆C。
④若___且B⊆A，则A=B。
集合间的基本关系
§1.2 集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn 图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一 子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等的相关概念定义符号表示 图形表示子集如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A是集合B的真子集AB (或B A )集合相等如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等A ＝B2．Venn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图． 3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C . 思考1 任何两个集合之间是否有包含关系？答案 不一定．如集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 思考2 符号“∈”与“⊆”有何不同？答案符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．知识点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．思考{0}与∅相同吗？答案不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.1．已知集合M＝{x|x是菱形}，N＝{x|x是正方形}，则集合M与集合N的关系为________．答案N M解析因为正方形是菱形，所以N M.2．用“⊆”或“∈”填空：{0,2}________{2,1,0},2________{2,1,0}．答案⊆∈3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.答案－1解析1－a＝2，解得a＝－1.4．集合{0,1}的子集有________个．答案 4解析集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．一、集合间关系的判断例1指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(3)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.反思感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．跟踪训练1(1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是() A．M＝N B．N MC．M N D．N⊆M(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是() A．A⊆B B．A＝BC．A B D．B A（1）答案 C解析解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M 且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以M N.（2）答案 D解析因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．二、确定集合的子集、真子集例2设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．解由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}．由0个元素构成的子集为∅；由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}．因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．反思感悟 求集合子集、真子集的3个步骤跟踪训练2 满足{1,2} M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 有________个． 答案 7解析 由题意可得{1,2} M ⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M 必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M 共有7个．三、由集合间的关系求参数例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，求实数m 的取值范围.解 (1)当B ≠∅时，如图所示．∴m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.(2)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．延伸探究1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.(2)当B ≠∅时，如图所示．∴m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是{m |m <3}．2．若本例条件“B A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围． 解 当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .反思感悟 利用集合关系求参数的关注点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．跟踪训练3 已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意．(2)当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3. 综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >2}．1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅ {0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是()A．1 B．3 C．4 D．62．集合{1,2}的子集有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.5．已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若B A，则实数a的取值范围是________．【答案与解析】1、答案 C解析①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅ {0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．2、答案 A解析集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个．3、答案 B解析x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N是M的真子集，其对应的Venn图如选项B所示．4、答案 4解析∵B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，∴4∈A，∴m＝4.5、答案a≥1解析∵B A，∴a≥1.1．知识清单：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．(2)求子集、真子集的个数问题．(3)由集合间的关系求参数的值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．。
中职数学基础模块教案
中职数学基础模块教案【篇一：中职数学(基础模块)教案】中职数学〔基础模块〕教案1．1集合的概念知识目标：〔1〕理解集合、元素及其关系；〔2〕掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合．能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合的表示法．教学难点：集合表示法的选择与标准书写．课时安排：2课时．1.2集合之间的关系知识目标：〔1〕掌握子集、真子集的概念；〔2〕掌握两个集合相等的概念；〔3〕会判断集合之间的关系.能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示．教学难点：真子集的概念．课时安排：2课时．1.3集合的运算〔1〕知识目标：〔1〕理解并集与交集的概念；〔2〕会求出两个集合的并集与交集．能力目标：〔1〕通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；〔2〕通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点：交集与并集．教学难点：用描述法表示集合的交集与并集．课时安排：2课时．1.3集合的运算〔2〕知识目标：〔1〕理解全集与补集的概念；〔2〕会求集合的补集．能力目标：〔1〕通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；〔2〕通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点：集合的补运算．教学难点：集合并、交、补的综合运算．课时安排：2课时．1.4充要条件知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”．能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力．教学重点：〔1〕对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．〔2〕符号“ ”，“ ”，“”的正确使用．教学难zyb重油煤焦油专用泵点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．课时安排：2课时．2.1不等式的基本性质知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．教学重点：⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．教学难点：比较两个实数大小的方法．课时安排：1课时．2．2区间知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．能力目标：通过数形结合高温导热油泵的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力．教学重点：区间的概念．教学难点：区间端点的取舍．课时安排：1课时．2.3一元二次不等式知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．能力目标：⑴通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力；⑵通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．教学重点：⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．教学难点：一元二次不等式的解法．课时安排：2课时．2.4含绝对值的不等式知识目标：〔1〕理解含绝对值不等式或的解法；〔2〕了解或的解法．能力目标：〔1〕通过含绝对值不等式的学习；培风冷式离心油泵养学生的计算技能与数学思维能力；〔2〕通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．教学重点：〔1〕不等式或的解法．〔2〕利用变量替换解不等式或．教学难点：利用变量替换解不等式或．课时安排：2课时．3.1函数的概念及其表示法知识目标：(1)理解函数的定义；(2)理解函数值的概念及表示；(3)理解函数的三种表示方法；(4)掌握利用“描点法”作函数图像的方法．能力目标：(1)通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2)通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3)会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．教学重点：(1)函数的概念； (2)利用“描点法”描绘函数图像．教学难点：(1)对函数的概念及记号的理解；(2)利用“描点法”描绘函数图像．课时安排：2课时．3.2函数的性质知识目标：⑴理解函数的单bwcb沥青泵调性与奇偶性的概念；⑵会借助于函数图像讨论函数的单调性；⑶理解具有奇偶性的函数的图像特征，会判断简单函数的奇偶性．能力目标：⑴通过利用函数图像研究函数性质，培养学生的观察能力；⑵通过函数奇偶性的判断，培养学生的数学思维能力．教学重点：⑴函数单调性与奇偶性的概念及其图像特征；⑵简单函数奇偶性的判定．教学难点：函数奇偶性的判断．〔*函数单调性的判断〕课时安排：2课时．3.3函数的实际应用举例知识目标：〔1〕理解分段函数的概念；〔2〕理解分段函数的图像；〔3〕了解实际问题中的分段函数问题．能力目标：〔1〕会求分段函数的定义域和分yhb立式齿轮泵段函数在点处的函数值；〔2〕掌握分段函数的作图方法；〔3〕能建立简单实际问题的分段函数的关系式．教学重点：〔1〕分段函数的概念；〔2〕分段函数的图像．教学难点：〔1〕建立实际问题的分段函数关系；〔2〕分段函数的图像．课时安排：2课时．4.1实数指数幂(1)知识目标：⑴复习整数指数幂的知识；⑵了解n次根式的概念；⑶理解分数指数幂的定义.能力目标：⑴掌握根式与分数指数幂之间的转化；⑵会利用计算器求根式和分数指数幂的值；⑶培养计算工具使用技能.教学重点：分数指数幂的定义．教学难点：根式和分数yhb轴头齿轮油泵指数幂的互化．课时安排：2课时．4.1实数指数幂〔2〕知识目标：⑴掌握实数指数幂的运算法则；⑵通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点.能力目标：⑴正确进行实数指数幂的运算；⑵培养学生的计算技能；⑶通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力.教学重点：有理数指数幂的运算．教学难点：有理数指数幂的运算．课时安排：2课时．4．2指数函数知识目标：⑴理解指数函数的图像及性质；⑵了解指数模型，了解指数函数的应用．能力目标：⑴会画出指数函数的简图；⑵会判断指数函数的单调性；⑶了解指数函数在生活生产中的部分应用，从而培养学生分析与解决问题能力．教学重点：⑴指数函数的概念、图像和性质；⑵指数沥青拌合站增压泵函数的应用实例．教学难点：指数函数的应用实例．课时安排：2课时．4．3对数知识目标：⑴理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；⑵掌握利用计算器求对数值的方法；⑶了解积、商、幂的对数．能力目标：⑴会进行指数式与对数式之间的互化；⑵会运用函数型计算器计算对数值；⑶培养计算工具的使用技能．教学重点：指数式与对数式的关系．教学难点：对数的ycb齿轮泵概念．课时安排：2课时．4．4对数函数知识目标：⑴了解对数函数的图像及性质特征；⑵了解对数函数的实际应用. 能力目标：⑴观察对数函数的图像，总结对数函数的性质，培养观察能力；⑵通过应用实例的介绍，培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力.教学重点：对数函数的图像及性质.教学难点：对数函数的应用中实际zyb-33.3a问题的题意分析．课时安排：2课时．5．1角的概念推广知识目标：⑴了解角的概念推广的实际背景意义；⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：〔1〕会判断角所在的象限；〔2〕会求指定范围内与已知角终边相同的角；〔3〕培养观察能力和计算技能．教学重点：终边相同角的概念．教学难点：终边相同角的表示和确定．课时安排：2课时．5．2弧度制知识目标：⑴理解弧度制的概念；⑵理解角度制与弧度制的换算关系.教学重点：弧度制的概念，弧度与角度的换算．教学难点：弧度制的概念．课时安排：2课时．5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数知识目标：⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；⑵理解三角函数在各象限的正负号；⑶掌握界限角的三zyb系列渣油泵角函数值．能力目标：⑴会利用定义求任意角的三角函数值；⑵会判断任意角三角函数的正负号；⑶培养学生的观察能力．教学重点：⑴任意角的三角函数的概念；⑵三角函数在各象限的符号；⑶特殊角的三角函数值．教学难点：任意角的三角函数值符号确实定．课时安排：2课时．5．4 同角三角函数的基本关系知识目标：理解同角的三角函数基本关系式．能力目标：⑴已知一个三角函数值，会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角函数值；⑵会利用同角三角函数的基本关系式求三角式的值．教学重点：同角的三角函数基本关系式的应用．教学难点：应用平方关系求正弦或余弦值时，正负号确实定.课时安排：2课时．5．5诱导公式能力目标：〔1〕会利用简化公式搅拌站渣油泵将任意角的三角函数的转化为锐角的三角函数；〔2〕会利用计算器求任意角的三角函数值；〔3〕培养学生的数学思维能力及应用计算工具的能力．教学重点：三个诱导公式．教学难点：诱导公式的应用．课时安排：2课时．5.6三角函数的图像和性质知识目标：(1)理解正弦函数的图像和性质；(2)理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；(3)了解余弦函数的图像和性质．能力目标：(1)认识周期现象，以正弦zyb型增压渣油泵函数、余弦函数为载体，理解周期函数；(2)会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；(3)通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．教学重点：〔1〕正弦函数的图像及性质；〔2〕用“五点法”作出函数y=sinx在上的简图．教学难点：周期性的理解．课时安排：2课时．5.7已知三角函数值求角知识目标：〔1〕掌握利用计算器求角度的方法；〔2〕了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法．能力目标：〔1〕会利用计算器求角；〔2〕已知三角函数值会求指定范围内的角；〔3〕培养使用计算工具的技能．教学重点：已知三角函数值，利用计算器求角；利用诱导公式求出指定范围内的角．教学难点：已知三角函数值，利用计算器求指定范围内的角．课时安排：2课时．6．1数列的概念知识目标：〔1〕了解数列的有关zyb重油泵概念；〔2〕掌握数列的通项〔一般项〕和通项公式．能力目标：通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．教学重点：利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．教学难点：根据数列的前假设干项写出它的一个通项公式．课时安排：2课时．6．2等差数列〔一〕知识目标：〔1〕理解等差数列的定义；〔2〕理解等差数列通项公式．能力目标：通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．教学重点：等差数列的通项公式．教学难点：等差数列通项公式的推导．课时安排：2课时．6．2等差数列知识目标：理解等差数列通项公式及前项和公式．能力目标：通过学习前项和公zyb煤焦油泵式,培养学生处理数据的能力．教学重点：等差数列的前项和的公式．教学难点：等差数列前项和公式的推导．课时安排：2课时．6．3等比数列【篇二：高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案】【课题】 6．1 数列的概念【教学目标】知识目标：〔1〕了解数列的有关概念；〔2〕掌握数列的通项〔一般项〕和通项公式．能力目标：通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．【教学重点】利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．【教学难点】根据数列的前假设干项写出它的一个通项公式．【教学设计】通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项〔一般项〕和通项公式．从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不管能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比方我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．例1和例3是基此题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．例2是稳固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受. 【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】- 1 -- 2 -- 3 -- 4 -- 5 -【篇三：中职数学(基础模块)上册教案】中职数学〔基础模块〕教案1．1集合的概念知识目标：〔1〕理解集合、元素及其关系；〔2〕掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合．能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合的表示法．教学难点：集合表示法的选择与标准书写．课时安排：2课时．1.2集合之间的关系知识目标：〔1〕掌握子集、真子集的概念；〔2〕掌握两个集合相等的概念；〔3〕会判断集合之间的关系.能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示．教学难点：真子集的概念．课时安排：2课时．1.3集合的运算〔1〕知识目标：〔1〕理解并集与交集的概念；〔2〕会求出两个集合的并集与交集．能力目标：〔1〕通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；〔2〕通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点：交集与并集．教学难点：用描述法表示集合的交集与并集．课时安排：2课时．1.3集合的运算〔2〕知识目标：〔1〕理解全集与补集的概念；〔2〕会求集合的补集．能力目标：〔1〕通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；〔2〕通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点：集合的补运算．教学难点：集合并、交、补的综合运算．课时安排：2课时．1.4充要条件知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”．能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力．教学重点：〔1〕对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．〔2〕符号“”，“”，“”的正确使用．教学难点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．课时安排：2课时．2.1不等式的基本性质知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．教学重点：⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．教学难点：比较两个实数大小的方法．课时安排：1课时．2．2区间知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．能力目标：通过数形结合的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力．教学重点：区间的概念．教学难点：区间端点的取舍．课时安排：1课时．2.3一元二次不等式知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．能力目标：⑴通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力；⑵通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．教学重点：⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．教学难点：一元二次不等式的解法．课时安排：2课时．2.4含绝对值的不等式知识目标：〔1〕理解含绝对值不等式或的解法；〔2〕了解或的解法．能力目标：〔1〕通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力；〔2〕通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．教学重点：〔1〕不等式或的解法．〔2〕利用变量替换解不等式或．教学难点：利用变量替换解不等式或．课时安排：2课时．3.1函数的概念及其表示法知识目标：(1)理解函数的定义；(2)理解函数值的概念及表示；(3)理解函数的三种表示方法；(4)掌握利用“描点法”作函数图像的方法．能力目标：(1)通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2)通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3)会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．教学重点：(1)函数的概念； (2)利用“描点法”描绘函数图像．教学难点：(1)对函数的概念及记号的理解；(2)利用“描点法”描绘函数图像．课时安排：2课时．3.2函数的性质知识目标：⑴理解函数的单调性与奇偶性的概念；⑵会借助于函数图像讨论函数的单调性；⑶理解具有奇偶性的函数的图像特征，会判断简单函数的奇偶性．能力目标：⑴通过利用函数图像研究函数性质，培养学生的观察能力；⑵通过函数奇偶性的判断，培养学生的数学思维能力．教学重点：⑴函数单调性与奇偶性的概念及其图像特征；⑵简单函数奇偶性的判定．教学难点：函数奇偶性的判断．〔*函数单调性的判断〕课时安排：2课时．3.3函数的实际应用举例知识目标：〔1〕理解分段函数的概念；〔2〕理解分段函数的图像；〔3〕了解实际问题中的分段函数问题．能力目标：〔1〕会求分段函数的定义域和分段函数在点处的函数值；〔2〕掌握分段函数的作图方法；〔3〕能建立简单实际问题的分段函数的关系式．教学重点：〔1〕分段函数的概念；〔2〕分段函数的图像．教学难点：〔1〕建立实际问题的分段函数关系；〔2〕分段函数的图像．课时安排：2课时．4.1实数指数幂(1)知识目标：⑴复习整数指数幂的知识；⑵了解n次根式的概念；⑶理解分数指数幂的定义.能力目标：⑴掌握根式与分数指数幂之间的转化；⑵会利用计算器求根式和分数指数幂的值；⑶培养计算工具使用技能.教学重点：分数指数幂的定义．教学难点：根式和分数指数幂的互化．课时安排：2课时．4.1实数指数幂〔2〕知识目标：⑴掌握实数指数幂的运算法则；⑵通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点.能力目标：⑴正确进行实数指数幂的运算；⑵培养学生的计算技能；⑶通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力.教学重点：有理数指数幂的运算．教学难点：有理数指数幂的运算．课时安排：2课时．4．2指数函数知识目标：⑴理解指数函数的图像及性质；⑵了解指数模型，了解指数函数的应能力目标：⑴会画出指数函数的简图；⑵会判断指数函数的单调性；⑶了解指数函数在生活生产中的部分应用，从而培养学生分析与解决问题能力．教学重点：⑴指数函数的概念、图像和性质；⑵指数函数的应用实例．教学难点：指数函数的应用实例．课时安排：2课时．4．3对数知识目标：⑴理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；⑵掌握利用计算器求对数值的方法；⑶了解积、商、幂的对数．能力目标：⑴会进行指数式与对数式之间的互化；⑵会运用函数型计算器计算对数值；⑶培养计算工具的使用技能．教学重点：指数式与对数式的关系．教学难点：对数的概念．课时安排：2课时．4．4对数函数知识目标：⑴了解对数函数的图像及性质特征；⑵了解对数函数的实际应用. 能力目标：⑴观察对数函数的图像，总结对数函数的性质，培养观察能力；⑵通过应用实例的介绍，培养学生数学思维能力和分析与解决问题教学重点：对数函数的图像及性质.教学难点：对数函数的应用中实际问题的题意分析．课时安排：2课时．5．1角的概念推广知识目标：⑴了解角的概念推广的实际背景意义；⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：〔1〕会判断角所在的象限；〔2〕会求指定范围内与已知角终边相同的角；〔3〕培养观察能力和计算技能．教学重点：终边相同角的概念．教学难点：终边相同角的表示和确定．课时安排：2课时．5．2弧度制知识目标：⑴理解弧度制的概念；⑵理解角度制与弧度制的换算关系.能力目标：〔1〕会进行角度制与弧度制的换算；〔2〕会利用计算器进行角度制与弧度制的换算；〔3〕培养学生的计算技能与计算工具使用技能．教学重点：弧度制的概念，弧度与角度的换算．教学难点：弧度制的概念．课时安排：2课时．5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数知识目标：⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；⑵理解三角函数在各象限的正负号；⑶掌握界限角的三角函数值．能力目标：⑴会利用定义求任意角的三角函数值；⑵会判断任意角三角函数的正负号；⑶培养学生的观察能力．教学重点：⑴任意角的三角函数的概念；⑵三角函数在各象限的符号；⑶特殊角的三角函数值．教学难点：任意角的三角函数值符号确实定．课时安排：2课时．5．4 同角三角函数的基本关系知识目标：理解同角的三角函数基本关系式．能力目标：⑴已知一个三角函数值，会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角函数值；⑵会利用同角三角函数的基本关系式求三角式的值．教学重点：同角的三角函数基本关系式的应用．教学难点：应用平方关系求正弦或余弦值时，正负号确实定.课时安排：2课时．5．5诱导公式能力目标：〔1〕会利用简化公式将任意角的三角函数的转化为锐角的三角函数；〔2〕会利用计算器求任意角的三角函数值；〔3〕培养学生的数学思维能力及应用计算工具的能力．教学重点：三个诱导公式．教学难点：诱导公式的应用．课时安排：2课时．5.6三角函数的图像和性质知识目标：(1)理解正弦函数的图像和性质；(2)理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；(3)了解余弦函数的图像和性质．能力目标：(1)认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数；(2)会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；(3)通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．教学重点：〔1〕正弦函数的图像及性质；〔2〕用“五点法”作出函数y=sinx在上的简图．教学难点：周期性的理解．课时安排：2课时．5.7已知三角函数值求角知识目标：〔1〕掌握利用计算器求角度的方法；〔2〕了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法．能力目标：〔1〕会利用计算器求角；〔2〕已知三角函数值会求指定范围内的角；〔3〕培养使用计算工具的技能．教学重点：已知三角函数值，利用计算器求角；利用诱导公式求出指定范围内的角．教学难点：已知三角函数值，利用计算器求指定范围内的角．。
1.2 集合之间的关系
2、元素与集合的关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，
a
就说a不属于A，记作A
要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒
过来写.
3、集合中元素的特性
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
4、集合分类
根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
注：应区分Φ，}
{Φ，}0{，0等符号的含义
5、常用数集及其表示方法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
注：（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*
设置此问，一是使学生的认知由特殊向一般转化，发现可能的方法，二是让学生体验数学活动充满着探索和创造，感受数学的生机和乐趣。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A包含B ； B A B包含于A
A
高教社
B
A A A
巩固知识 典型例题
例 1 用符号“ ”“ ”“ ”或“ ”填空： 、 、 (1)
a, b, c, d a, b ；(2)
1 , 2 , 3 ；
(3) N (5) d
Q ；
(4) 0 (6)
R ；
.
Q ； （2） 0
（4） 2,3 a, b, c ；
； （6） x |1 x „ 2
；
2 ；
4 x | 1 x ．
高教社
（二）真子集的概念
真子集： 如果 A B ，且B中至少有一个元素不 属于A，那么A叫集合B的真子集，记作 A B
读作：A真包含于B，或B真包含A
0„ x ． 6
a, b, c ；
.
“
x | 3 x 5 x |
”
与 “
” 用 来 表 示 集 合 与 集 合 之 间 关 系 的 符 号
“”与“”用来表示元素与集合之间关系的符号
高教社
运用知识 强化练习
教材练习1.2.1
用符号“ ”“ ”“ ”或“ ”填空： 、 、 （1） N （3） a （5） 0
第一章 集 合
1.2 集合之间的关系
(子集与真子集）
涪陵一职中：陈 平
高教社
复习知识
揭示课题
问题1 什么是集合？什么是元素？ 问题2 常用的数集有哪些？用什么字母表示？ 问题3 集合的表示方法有哪些？
问题4 元素与集合有什么关系？
高教社
复习知识
揭示课题
用适当的符号 “ ”或“ ”填空： (1) 0 (4) 0.5 (7)2 ； (2) 0 N； (3)
.
分析：集合中有3个元素，可以分别列出空集：
含1个元素的集合：
含2个元素的集合： 含3个元素的集合：
.
. .
其中的子集和真子集分别有多少个？ 子集和真子集两个概念有什么区别和联系？
高教社
运用知识 强化练习
教材练习1.2.2
1.设集合 A c, d ，试写出 A 的所有子集， 并指出其中的真子集． 2.设集合 A {x | x 6} ，集合 B {x | x 0} ，
3
R； {x|x<1}；
Z； (5) 1 {−3,2}； (8)2
{1,2,3}； (6) 2
{x|x=2k+1, k Z}．
元素a不是集合A的元素，
a
元素a是集合A的元素，
a∈A，属于
A，不属于
高教社
创设情景
兴趣导入
问题1 设A表示我班全体同学的集合，B表示我班全体男同 学的集合； 问题2 设集合A ={−1,2,4,1,0,3}，集合B ={2,3,0}； 问题3 设集合A =Z，集合B =N.
.
指出集合 A 与集合 B 之间的关系．
高教社
阅读
教材 习题1.2第1题组
作 业
实践 寻找集合关系的生活事例
高教社
再 见
高教社
集合B的元素（我班的男学生）、（2,3,0）、（自然数）肯定
集合A与集合B之间存在什么关系呢？ 是集合A的元素（我班的学生）、（−1,2,4,1,0,3含关系
探索新知
如果集合B的元素都是集合A的元素，那么称集合A 包含集合B，并把集合B叫做集合A的子集.
AB
用Venn图表示两个集 合间的“包含”关系
高教社
B
A
注意：
1
A B x B A B (或B A) x A
A B A B且A B
2 空集是任何非空集合的真子集
高教社
巩固知识 典型例题
例3 设集合 M 0,1, 2 ，试写出 M 的所有子集， 并指出其中的真子集．