2012 无界区域上带移动热源的反应扩散方程的移动网格方法
具有非局部边界条件的反应扩散方程爆破解的研究
具有非局部边界条件的反应扩散方程爆破解的研究具有非局部边界条件的反应扩散方程爆破解的研究引言反应扩散方程是研究自然界中物质在空间和时间上变化的一个重要数学模型。
其描述了物质在空间中扩散的过程，并包括了化学反应的影响。
在实际应用中，往往存在不同类型的边界条件，不局限于传统的局部边界条件，如Neumann边界条件和Dirichlet边界条件。
本文将研究具有非局部边界条件的反应扩散方程，探讨其解的爆破现象。
一、反应扩散方程反应扩散方程是描述物质扩散过程中发生化学反应的数学模型。
它由扩散项和反应项组成，通常表示为：∂u/∂t = D∇²u + f(u)其中，u是物质浓度或物理量，t为时间，D为扩散系数，f(u)表示反应项。
这个方程描述了物质浓度随时间和空间的变化。
二、非局部边界条件传统的反应扩散方程往往采用Neumann或Dirichlet边界条件，这些条件限制了物质在边界上的流动或浓度。
然而，在某些情况下，需要考虑具有非局部性质的边界条件。
具有非局部边界条件的反应扩散方程可以表示为：∂u/∂t = D∇²u + ∫G(x,y)f(u(y))dy其中，G(x,y)是非局部核函数，表示物质在x点与y点之间的非局部耦合。
三、爆破解现象研究表明，具有非局部边界条件的反应扩散方程的解可能出现爆破现象。
所谓爆破解，指的是在一定条件下，初始状态下的扩散方程解在有限时间内达到无穷大。
这种现象在许多实际应用中都有重要的意义，例如物质的波动传播、生物种群动力学等。
具体而言，爆破解的出现是由于非局部耦合引起的。
非局部核函数的存在使得系统中每个点与其他点之间发生的反应具有全局耦合性，这种耦合性可以使局部扰动在有限时间内传播到整个系统。
当反应项的强度超过一定阈值时，就会出现爆破现象。
四、数值模拟和实验研究为了验证具有非局部边界条件的反应扩散方程的爆破解现象，研究者们进行了数值模拟和实验研究。
在数值模拟中，研究者使用了有限差分法等数值方法，对具体的反应扩散方程进行了求解。
扩散方程是抛物型方程吗
扩散方程是抛物型方程吗
扩散方程通常被认为是一种抛物型方程。
抛物型方程是偏微分
方程的一种，它描述了某些物理现象中的扩散过程。
在一维情况下，扩散方程通常采用形式为∂u/∂t = D∂^2u/∂x^2 的方程，其中
u 是待求函数，t 是时间，x 是空间变量，D 是扩散系数。
这个方
程描述了随时间和空间的变化而发生的扩散现象。
抛物型方程具有一些特征，其中包括在二阶导数项的协同作用下，通常存在一个与时间有关的项。
在扩散方程中，二阶空间导数
项和时间导数项的存在使得它们符合抛物型方程的定义。
这种类型
的方程通常涉及到初始条件和边界条件，因此在数学和物理上都具
有重要的意义。
此外，扩散方程还可以通过变换转化为标准的热传导方程，而
热传导方程也是典型的抛物型方程。
因此，从数学和物理的角度来看，扩散方程通常被认为是抛物型方程的一种特殊情况。
总的来说，扩散方程可以被视为抛物型方程，因为它们满足抛
物型方程的定义和特征，同时在数学和物理上也具有类似的性质和
行为。
无界区域上带移动热源的反应扩散方程的移动网格方法
／—ｕ圣一ｆ ＝５ｘ—ｘ） ｕｘ，） ｔ 』 （ ｏＦ（（ｏｔ）
这 里 （６ １）源自Ｉ 一 （７ １）
既然 当 ≠Ｘ 时， Ｏ 方程（６的右边部分为０ 可 以得 到以下方程 １） ，
ｉ ｔ— ｕ 圣 一 Ｕ ＝ ０
（８ １）
当穿过曲线Ｘ（ 时， ０ ） 方程（ ） １ 的每一项包含一个跳跃． ８ 引入跳跃符号 【 （ ： ＋ ＴＯ 一 一￡ ， ＝ ｌ （ （ （ ］， ｉ ｍ 。 ， ， ）
于 是
［ ］ 。）） （ ［ ］ 。）） ￣ｔ ｕｘ （ ， ） ｕ （ （， ＝一 ｔ （ （， ＝Ｘ（ Ｆ（（ｏｔ ￡ ｔ。 ｔｔ ） ｔｔ ｏ ） ））
从（７和 （２， 以得 到 １） １）可
（ （， ＝ ［ ＋Ｕ 别（ （， ｔ） 。） ｔ Ｕ ｔ ｘ ｔｔ 。））
§ 引 言 １
考虑一个重要 的爆破 问题 它可 以写成如下带移动热源 的偏微分方程的形式：
， 一札 ＝ —ｘ ） ｕｘ ，）， “ ｔ （ ｏＦ（（ｏ￡）
和初边值条件
（ ｔ ∈Ｒ ×Ｒ＋ ， ） ，
（） １
ｕ ￡一 ０ （，） ， ，） ｕ（） “ ０ ＝ ｏｘ ， （
ｅ ￣ｉ ｉＸ ／
．
ｅ ｓ （，）ｔ解 齐 次方 程（）可 以得 到 两个 线性无 关 的特征 函数 ＝ －ｔ ｘｔ ． ｕ ｄ ６，
考虑到无穷远处 的两个边界条件ｉ ． 一 。 时 一 ０ 于是 ＝ｅ Ｘ 是 区域 ，。上 －， ｅ 。 ． １ － 。） 的特征值， ２ ／ 而 ＝ｅ￣是区域（ 。，１ ｉ 一 。Ｘ］ 上的特征值． 这样在人工边界上有如下方程
域（ｌ 内移动． ｘ， ） Ｘ 这样当Ｘ∈（ 。，ｚ Ｘ ， 时， 一 。Ｘ】 ∞） 原方程（） 化为 Ｕ［ １可以
有限差分法求解扩散方程的步骤
有限差分法求解扩散方程的步骤有限差分法是求解扩散方程的一种有效方法，简称FDM，有限差分法能够解决复杂的扩散方程，可以看作数值计算在扩散方程中的一个应用。
一般情况下，有限差分法求解扩散方程是通过将扩散方程分解为两部分：非线性问题和线性问题，分别用不同的求解方法解决。
在这篇文章中，我们将讨论使用有限差分法求解扩散方程的步骤，帮助读者更好地理解有限差分法。
第一步：建立数值解模型。
有限差分法求解扩散方程，首先要建立数值解模型。
可以将扩散方程的区域划分为若干个小矩形，用每个小矩形的中心的值代表这一区域的大致状态，然后计算每一部分的有限差分，从而建立起数值解模型。
第二步：求解线性问题。
这一步用来求解扩散方程中的线性部分，包括：首先，对离散点的值进行定义；其次，在离散点之间建立差分关系；最后，根据上述关系，求解离散点的值。
第三步：求解非线性问题。
有限差分法还可以求解扩散方程中的非线性部分。
可以先将非线性部分转化为线性部分，然后求解，也可以使用迭代法求解。
第四步：检查模型的正确性。
有限差分法求解扩散方程后，需要检查模型的正确性，可以使用数值积分方法、定性方法或定量分析等方法来检查求解结果的正确性。
总之，有限差分法求解扩散方程的五个步骤是：建立数值解模型，求解线性问题，求解非线性问题，进行模型校正以及检查模型的正确性。
在这五个步骤中，第一步特别重要，因为它是整个有限差分法求解过程的基础，如果第一步建立的模型不合理，就不可能得到准确的结果。
有限差分法的运用不仅当前广泛，而且在未来也有很大的发展前景。
由于有限差分法求解扩散方程的步骤具有一定的复杂性，因此有必要在深入研究有限差分法求解扩散方程之前，充分理解这一步骤。
综上所述，有限差分法求解扩散方程的步骤是：建立数值解模型，求解线性问题，求解非线性问题，进行模型校正以及检查模型的正确性。
有限差分法在求解扩散问题方面具有一定的优势，适用范围也较广，此外还有很大的发展前景。
扩散模型的原理和应用视频
扩散模型的原理和应用视频1. 什么是扩散模型？扩散模型是一种数学方法，用于描述和预测物质的扩散过程。
它通过建立一组数学方程来描述扩散物质的传播行为，从而帮助我们理解和控制扩散过程。
扩散模型广泛应用于化学、生物学、环境科学、物流管理等领域。
2. 扩散模型的基本原理扩散模型的基本原理是基于扩散方程（Diffusion Equation）。
扩散方程是一个偏微分方程，描述了扩散物质在空间和时间上的变化。
扩散方程的一般形式如下：$$\\frac{\\partial u}{\\partial t} = D\ abla^2u$$其中，u表示扩散物质的浓度，t表示时间，D表示扩散系数，abla2u表示u的拉普拉斯算子。
扩散方程描述了扩散物质在空间和时间上的变化规律。
它的求解可以通过数值方法、解析方法或概率方法等来进行。
3. 扩散模型的应用领域扩散模型在多个领域都有广泛的应用，以下列举了几个常见的应用领域：3.1 化学反应中的扩散模型化学反应中的扩散模型用于描述反应物质在反应器中的传输过程。
通过建立扩散方程，可以预测反应物质的浓度分布、反应速率等参数，对化学反应的优化和控制起到重要作用。
3.2 生物学中的扩散模型生物学中的扩散模型用于研究细胞、器官和生物体内物质的传输过程。
通过建立扩散方程，可以分析细胞内物质的扩散速率、浓度分布等参数，对生物学研究具有重要意义。
3.3 环境科学中的扩散模型环境科学中的扩散模型用于分析和预测污染物在大气、水体和土壤中的传输和扩散过程。
通过建立扩散方程，可以评估污染物的扩散范围、浓度分布，并为环境污染的治理提供科学依据。
3.4 物流管理中的扩散模型物流管理中的扩散模型用于优化货物的运输和配送过程。
通过建立扩散方程，可以分析货物在仓库、运输车辆等场景中的传递和分布，从而优化物流路线、减少运输成本。
4. 如何进行扩散模型的建模？进行扩散模型的建模可以遵循以下几个步骤：1.定义问题：明确需要研究的问题，确定模型的范围和目标。
扩散方程 (2)
扩散方程什么是扩散方程扩散方程是一个描述物质扩散过程的数学模型。
它描述的是物质在空间中的传播和分布方式，常用于研究热传导、扩散现象等。
扩散方程最早由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange) 在18世纪末提出，经过后来科学家的不断发展和完善，已经成为物理学、化学、生物学等学科中重要的工具。
扩散方程的一般形式扩散方程的一般形式可以表示为：\[\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = Dabla^2 u\]其中，\(u\) 表示物质的濃度，\(t\) 表示时间，\(D\) 表示扩散系数，\(abla^2\) 表示拉普拉斯算子。
这个方程描述了物质濃度随时间变化的规律，即濃度随时间的变化率等于扩散系数乘以濃度的二阶空间导数。
扩散方程的物理意义扩散方程描述了物质在空间中的传播和分布方式。
它的物理意义可以通过对方程的各个因素进行分析得到。
•第一项\(\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\) 表示濃度随时间的变化率。
它表示了物质在单位时间内从一地点传播到另一地点的速度。
这个速度与濃度的变化有关，当濃度变化剧烈时，该项的值较大；当濃度变化缓慢时，该项的值较小。
•第二项 \(Dabla^2 u\) 表示濃度的二阶空间导数。
它表示了濃度在空间中的变化率。
当濃度在某一地点发生快速变化时，该项的值较大；当濃度在某一地点变化缓慢时，该项的值较小。
根据扩散方程的物理意义，我们可以得到以下结论：•扩散系数 \(D\) 越大，物质的传播速度越快，濃度变化越剧烈。
•濃度变化率越大，濃度在空间中的变化越剧烈。
扩散方程的解析解求解扩散方程一般有两种方法：解析解和数值解。
解析解是通过数学方法得到的解，能够精确地描述扩散过程。
而数值解是通过数值计算的方法得到的近似解，适用于复杂情况下无法得到解析解的情况。
对于简单的扩散方程，可以通过分离变量法等数学方法得到解析解。
反应扩散方程的紧交替方向差分格式
反应扩散方程的紧交替方向差分格式反应扩散方程是数学中的一个重要问题，这个方程用于描述物质在空间中的扩散和变化。
一般来说，反应扩散方程的解法包括数值求解和解析求解两种方法。
在数值求解中，一种常见的方法就是利用差分格式来求解。
差分格式是一种离散化的方法，在空间上将连续的函数离散化成有限的数值。
在数学中，离散化是计算数值解的必要过程，因此无论是在科学还是工程分析上，离散化方法都是必不可少的。
本文将介绍反应扩散方程中的紧交替方向差分格式。
该飞漠是一种高效的数值求解方法，具有速度快、精度高、计算量小等优点，被广泛应用于材料、药物、生物等领域的计算模拟中。
一、反应扩散方程的定义反应扩散方程是描述物质扩散、反应和变化的数学模型，它可以用来模拟地下水流、空气污染、药物传递、生物进化、材料性能等方面的问题。
反应扩散方程的一般形式如下：∂C/∂t = D∇²C - f(C),其中C是物质浓度，D是扩散系数，f(C)是反应速率函数，∇²C是C的拉普拉斯算子。
方程的解决需要满足一组初始量和边界条件，通常是在一维、二维和三维空间内求解。
二、差分格式的介绍差分格式是一种数值求解方法，用于离散化微分方程。
在使用差分格式离散方程时，将微分方程中的连续函数分段并用有限差分间隔表示。
差分格式的一般形式如下：f^(n+1)_i=g(f^n_i,f^(n+1)_(i-1),f^(n-1)_i),其中f^(n)_i是时刻i处的函数值，n是时间步数。
g 是离散化公式，将f^(n)_i +1表示为一组已知值f^n_i的函数，即f^(n+1)_i=g(f^n_i,f^(n+1)_(i-1),f^(n-1)_i)。
三、紧交替方向差分格式的定义紧交替方向差分格式是一种高效的数值求解方法，用于求解反应扩散方程。
这种方法不仅可以提高计算速度，还可以减少计算量和内存空间占用。
离散化反应扩散方程的紧交替方向差分格式如下：∂C(x,y)/∂t =D[itex]_{xx}[/itex]∂[itex]^{2}C(x,y)[/itex]/∂x[itex]^{2}[/itex]+D[itex]_{yy}[/itex]∂[itex]^{2}C(x,y)[/it ex]/∂y[itex]^{2}[/itex]-f(C),其中D[itex]_{xx}[/itex]和D[itex]_{yy}[/itex]是扩散系数，f(C)是反应速率函数。
带有爆破现象的反应扩散方程的移动网格方法
这里盯＞０ 他们成功地运用 了维数分析来决定网格方程 中的控制函数 ． ， 本 文 考 虑 另外 一 个 方 程
ｔ ｚ ＝札 ｚ＋ｅ ， “ （） ８ 它是 （） ７的极限形式（ ０． ｐ ） 这是一个重 要的方程， 已经被许多数学家所关注（ 比如，９和［ ］ 正 ［ １） 】 ２． ￣［ １ Ｄ２ １ 中指出的那样， 这个方程的数值模拟 Ｌ ｔ ＋ｕ要困难得多． Ｌ ＝“ ｕ ｐ 虽然［和［ 】 ９ １ 中已经用 ］ ２ 移动 网格方法来研 究过这个 问题 了， 但是他们分 别是从不 同的观点来考虑这个 问题的． ［中， 在９ ］ 作者用维数不变来决定选取控制 函数Ｍ ＝ｅ， “ 这个结果是我们 的一个特殊形式． ［ 】 作者 在 １ 中， ２
文献标识码： Ａ
文章编号：００４ ２（０００—４ １１ １０—４４２ １）４０１—２
口
科 学和 工程 中的很 多现象都可 以由一类偏微分方程来模拟， 这类方程 的解在有限时 间内会 产生局部奇异性．其 中的一个例子在燃烧理论 中经常可 以看到， 就是带有爆炸 现象的非线性反
应扩散方程［． １ 本文考虑一个经典的爆炸问题［１ 】 ２ 它的微分方程的形式如下： 】 Ｕ ＝Ｕ ＋，ｕ， ｔ （）
高校应用数学学报
２ １， ５４： １—２ ０ ０ ２ （） ４ １ ２ ４
带有爆 破现 象 的反 应 扩散方程 的 移 动 网格 方法
祝 汉 灿 ， 梁 克 维
（ 大学 数 学系，浙江杭 州 ３０２） 浙江 １０ ７
摘 要：研 究了带有指数非 线性项的反应扩散 方程的数值解． 针对方程在 有限时间 内 会 变 得非 常 奇 异， 出 了移 动 网格 方 法和 维数 分 析 方 法 来 解 该 方程 ． 值 结 果验 证 了 提 数 当移动 网格 方程具 有等分布 占优 这个性质的 时候， 移动 网格 方法求解 方程非 常有效 另外 ， 数值 结 果 同样 显 示 了等分 布 占优 不是 一 个 必 要 条 件 ． 关键词： 移动 网格 方法； 爆炸现象； 反应扩散方程 ； 维数分析； 等分布占优 中图分类号： ４ Ｏ２ １
带移动奇异源热方程的移动网格方法
２ ０ １ ３ ， ２ ８ （ １ ） ： １ １ ５ — １ ２ ６
札
一
带移 动奇 异 源 热方 程 的移 动 网格方 法
胡志成木 ， 王 何 宇
（ 浙江 大学 数学 系， 浙 江 杭 州 ３ １ ０ ０ ２ ７ １
Ｕ
＝
∑
＠
札
摘
要： 研 究 了一个 带若干奇异 源热方程 的数 值求解， 其源 的移 动 由一个 常微 分 方程
生ｆ 参见［ １ ２ — １ ５ １ ） ． 这是因为高速移动的源总是与相对低温的环境接触， 从而使得介质有能力将来
自于源 的能量扩散 出去． 用 一致网格上 的数值方法 来模拟爆破现 象， 其计 算量将是不可容 忍的． 因此， 本质 上需要 使用 自适应 网格方法， 而 作为最受欢迎 的几种 自适应方法之一 ， 移动 网格方法 已经成功应用 于反应扩散方程爆破现象 的研 究『 １ ６ ， １ ７ ］ ． 对 移动网格方法及其应 用感兴趣者可参
ｕ （ ｘ ， ０ ） ＝ｕ ｏ （ ｘ ） ，
一Байду номын сангаас
。。 ＜ Ｘ ＜ （ Ｄ Ｏ．
Ｘ Ｊ ＿ ＿ ＋ ∞， ｔ ＞０ ｕ （ ｘ ， ｔ ） ０ ａ ｓ Ｊ
其 中，初 值 函数ｕ ｏ （ ｘ ） 是 连 续 的且 与 边 界条 件 相 容，即 当ｌ Ｘ Ｉ一 。 。 时札 ｏ ｘ ）一 ０ 。局部源 函 数Ｆ ｉ （ ｔ ， Ｘ ， 札 ） 事先给 出或者 由加诸于解 的额外条件确定 ． 局部源作用 的位置 ｉ （ ） 是随时间移动 的，
通讯作者：ｈ ｕ ｚ ｈ ｉ ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ◎ｚ ｊ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
热传导方程(扩散方程)ppt课件
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u g ( x ,y ,z , t ) , ( x ,y ,z ) , t 0 , ( 1 . 8 )
特别地：g(x,y,z,t)0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
注：
u k n g ( x ,y ,z ,t) , ( x ,y ,z ) , t 0 , ( 1 .9 )
热传导 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
试验定 律或牛
d Q k 1 (u u 1 )d S d t, ( 1 .1 1 )
顿定律 其中比例常数 k 1 0 称为热交换系数
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶定 律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
u kndSdtk1(uu1)dSdt,
0xl, t0, 0xl,t0,
uo,t1(t), uxl,thul,t2(t), t0, h0.
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：
u ta 2(u x xu yyu zz)f(x ,y,z,t), (x ,y,z,t) , t0 ,
u (x ,y,z,t)|t 0(x ,y,z), (x ,y,z,t) , u |(x,y,z) g (x ,y,z,t), t0 .
(uu) f(x, y,z,t)
n
(x, y,z),t 0 (x, y,z)
热传导方程的混合问题
例 设弦的两端固定于x=0 和x=l，弦的初始位移 如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。
解：
2u t2
a2
2u x2
0 x l,
t 0;
0
ux0uxl0;
python数值求解扩散方程
一、概述1.1 问题背景扩散方程是描述物质在空间中传播的数学模型，它在自然界和工程领域中具有广泛的应用。
数值求解扩散方程是计算数学中的一个重要问题，它涉及到数值方法、计算机编程等多个领域。
Python作为一种强大的编程语言，在数值计算方面具有得天独厚的优势，因此对于数值求解扩散方程来说，Python是一个理想的工具。
1.2 本文主要内容本文将介绍使用Python进行数值求解扩散方程的方法，包括有限差分方法和有限元方法两种常用的数值求解方法。
通过对这两种方法的介绍和实际案例的应用，读者可以了解到如何利用Python快速、准确地求解扩散方程。
二、扩散方程的数学模型2.1 扩散方程的基本形式扩散方程是描述物质在空间中传播过程的数学模型，其基本形式可以表示为：\frac{\partial u}{\partial t} = D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}其中，u是物质浓度随时间和空间的变化，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。
对于不同的物质和不同的传播环境，扩散系数D具有不同的取值。
2.2 边界条件和初始条件在求解扩散方程时，需要给定适当的边界条件和初始条件。
边界条件是指在空间边界上关于物质浓度的限制条件，而初始条件是指在初始时刻物质浓度的分布情况。
这些条件对于数值求解方法的选择和实现具有重要影响。
三、有限差分方法3.1 基本思想有限差分方法是一种常用的数值求解方法，它将求解区域离散化为网格，利用物质浓度在空间和时间上的变化来近似扩散方程，然后通过迭代计算网格点上的物质浓度值。
3.2 离散化和差分格式在有限差分方法中，空间上的导数和时间上的导数会被离散化为差分格式。
常见的差分格式包括向前差分、向后差分、中心差分等，它们各自对应不同的数值求解精度和稳定性。
3.3 Python实现利用Python可以快速编写有限差分方法的求解程序。
通过使用Python中的数值计算库和可视化库，可以直观地观察到扩散方程的解在空间和时间上的变化情况。
热传导方程和热扩散的原理及应用
热传导方程和热扩散的原理及应用热传导是指物质内部的热量从高温区域传递到低温区域的过程。
理解热传导方程以及热扩散的原理是研究和应用热传导现象的关键。
本文将讨论热传导方程的背景和原理，以及热扩散在实际生活中的一些应用。
热传导方程是描述热量在物质中传播的数学方程，它是基于热传导的基本原理和实验观察得出的。
热传导方程的一般形式如下：∂T/∂t = α∇²T其中，T是温度，t是时间，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算符。
从热传导方程可以看出，温度的变化率与热扩散系数和温度梯度的平方成正比。
温度梯度是指单位长度内温度的变化量，而热扩散系数则衡量了物质传递热量的能力。
热扩散系数越大，物质越容易传递热量。
热传导方程的解决方案是通过数值计算或解析求解来获得的。
对于简单的几何形状和边界条件，可以使用分析方法，如分离变量法或格林函数方法。
对于复杂的几何形状和边界条件，数值方法，如有限差分法或有限元法，被广泛应用。
热扩散在许多领域中起着重要作用。
以下是一些热扩散的实际应用：1. 电子器件散热：电子器件的散热问题是现代电子技术中的一个重要挑战。
热扩散理论提供了设计高效散热系统的基础。
通过优化散热材料和结构，电子器件的温度可以有效控制，从而提高性能和可靠性。
2. 热处理：热处理是通过控制物体的温度变化来改变其微观结构和性能的工艺。
热扩散是热处理的基础，它决定了加热和冷却过程中温度的分布和传递速度。
通过合理调整温度和时间，可以实现物体的硬化、退火、淬火等特定性能。
3. 地下水热回收：地下水热回收是一种利用地下水的热能来供暖或供冷的技术。
通过热扩散方程可以模拟地下水的温度分布和传递过程，帮助设计和优化地下水热回收系统，提高能源利用效率。
4. 热电效应：热扩散与电磁场的相互作用可以导致热电效应的产生。
这种效应将热能转化为电能，例如热电发电、热电制冷等。
热扩散理论可以用来解释和优化热电器件的性能。
总之，热传导方程和热扩散的原理是研究和应用热传导现象的关键。
热传导现象与热扩散方程推导
热传导现象与热扩散方程推导热传导是一种非常普遍且重要的现象，它在日常生活中随处可见。
无论是喝热咖啡时感受到的热量传导，还是煮沸水时锅底传来的热能，都是热传导的结果。
而热扩散方程则是描述了热传导现象的数学模型。
在本文中，我们将对热传导现象与热扩散方程的推导进行探讨。
首先，我们需要了解热传导的基本概念。
热传导是指物质内部由高温区向低温区传递热量的过程。
当一个物体的一部分温度较高时，其分子将具有更大的热运动能量。
这些高能分子会通过与周围分子的碰撞，将能量传递给低能分子，从而达到能量平衡。
这就是热传导现象的基本机制。
为了描述热传导现象，我们引入热扩散方程。
热扩散方程是热传导的数学模型，描述了热量在物质中的传播过程。
其形式如下：∂u/∂t = α ∇²u其中，u代表温度分布，t代表时间，α则是热扩散系数。
这个方程的意义是，温度分布随时间的变化率等于热扩散系数和温度分布的梯度平方的乘积。
接下来，我们来推导一下热扩散方程的来源。
考虑一个平衡状态下的物体，其温度分布为u0(x,y,z)，其中x、y、z分别代表空间坐标。
现在我们给这个物体的一部分施加一个温度变化Δu(x,y,z,t)，也就是在时间t0开始时，令u(x,y,z,t0)=u0(x,y,z)+Δu(x,y,z,t0)。
随着时间的推移，我们关注的是温度分布u(x,y,z,t)的变化。
假设这个变化很小，可以用一阶泰勒展开来近似。
根据泰勒展开的原理，可以得到下面的关系式：u(x,y,z,t)≈u(x,y,z,t0) +(∂u/∂t)(x,y,z,t0)(t-t0)这里的(∂u/∂t)(x,y,z,t0)表示温度分布随时间的变化率，即我们想要求解的量。
将这个结果代入热扩散方程中，我们得到：u0(x,y,z) + Δu(x,y,z,t0) + (∂u/∂t)(x,y,z,t0)(t-t0) = α ∇²u(x,y,z,t0)化简上述方程，我们可以得到：∂u/∂t = α ∇²u这个方程描述了温度分布随时间变化的情况，即热传导现象。
热扩散方程与材料的热传导性质
热扩散方程与材料的热传导性质热传导性质是材料科学中的关键概念之一。
了解热的传导过程以及探究材料的热导率对于许多工程应用和设计问题至关重要。
而在这个领域里，热扩散方程则是用来描述热的传导过程的一个重要数学模型。
热扩散方程是一类偏微分方程，用来描述介质中的温度分布随时间的变化。
它是根据热分子在介质中的运动规律和热力学原理推导出来的。
热扩散方程的一般形式为：∂T/∂t = α∇²T其中，T是温度, t是时间, α是热扩散系数, ∇²是拉普拉斯算子。
从这个方程可以看出，热的传导是涉及到温度梯度的。
当材料中存在温度差异时，热将从高温区域传导到低温区域，直到温度均匀分布。
这种热传导的过程可以通过热扩散方程来描述和计算。
热扩散方程的解决方法有很多种，其中最常用的方法是使用计算机模拟。
通过将材料划分为离散的网格节点，并在各节点上迭代计算温度，可以得到材料中的温度分布随时间演变的数值解。
这种数值解可以为材料的热传导性质提供重要的信息。
热传导性质是材料的一个重要参数，指材料传导热量的能力。
热导率（thermal conductivity）是材料热传导性质的衡量标准。
它表示单位面积的材料在单位时间内通过单位温度差的热流量。
热导率和热扩散系数有关，可以通过热扩散方程和实验测量来获得。
不同材料的热导率不同，这是由于材料本身的固有结构和分子组成的差异所导致的。
金属通常具有较高的热导率，因为它们的原子之间存在高度的结构有序性，使得热能可以在晶格中迅速传递。
相比之下，绝缘体的热传导能力较低，因为它们的原子结构中存在较多的不规则性。
除了材料本身的特性外，温度、压力和湿度等环境因素也会对热导率产生影响。
一般来说，热导率随温度的增加而增加，因为高温会激发更多的热振动，增强热能的传导。
压力对热导率的影响则与材料的特性密切相关，有时会导致热导率的增加，有时会导致热导率的降低。
湿度对热导率的影响主要体现在气体等非固态材料中，高湿度会导致气体分子的碰撞增多，从而增加了热能的传导。
物理学概念知识：拉普拉斯方程和热扩散方程
物理学概念知识：拉普拉斯方程和热扩散方程拉普拉斯方程和热扩散方程是物理学中非常重要的方程，它们在研究热传导、电场分布等问题中起着关键作用。
本文将分别介绍拉普拉斯方程和热扩散方程的概念、应用和数学特性。
拉普拉斯方程（Laplace's equation）是一个重要的偏微分方程，通常用于描述势函数的分布。
拉普拉斯方程在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用。
它的数学形式可以写成：Δφ = 0其中Δ是拉普拉斯算子，φ是要求解的未知函数。
在物理学中，拉普拉斯方程通常用于描述势能场的分布。
比如静电势和静磁势的分布，以及流体力学中的速度场和压力场的分布等。
在工程学中，拉普拉斯方程也被广泛应用于热传导、电场分布等问题的分析中。
下面我们来看一下拉普拉斯方程的一个具体应用：热传导问题。
假设一个热导体的温度场由未知函数T(x, y, z)描述，那么它满足的热传导方程可以写成：∂T/∂t = αΔT其中α是热传导系数。
当热传导达到稳态时，也就是说温度场不随时间变化，这时可以假设热传导方程变成拉普拉斯方程：αΔT = 0这样，我们就可以用拉普拉斯方程来描述热传导问题中的温度场分布。
另外，拉普拉斯方程在数学上也有很多重要的性质。
比如它是一个椭圆型偏微分方程，对应的边值问题通常有唯一解，这些都使得拉普拉斯方程成为了偏微分方程理论中的一个研究重点。
接下来，我们来看一下热扩散方程。
热扩散方程（heat diffusion equation）是一个描述热传导行为的偏微分方程。
它的数学形式通常可以写成：∂u/∂t = αΔu其中u是未知的温度分布函数，α是热扩散系数，Δu是u的拉普拉斯算子。
热扩散方程的一个典型的应用是描述固体材料中的温度分布随时间的演化。
这个方程也可以被用来描述其他扩散现象，比如化学物质的扩散等。
与拉普拉斯方程类似，热扩散方程在数学上也有很多重要的性质。
比如它是一个抛物型偏微分方程，对应的初边值问题通常有唯一解。
热扩散方程各项物理意义
热扩散方程各项物理意义1. 热扩散方程里的扩散系数呀，那可太重要啦！就好比是跑步的速度，决定了热是怎么快速传播的。
比如说煮一锅汤，扩散系数大的话，热量就能很快传遍整个锅，汤就煮得快啦！2. 方程中的温度项呢，不就像是我们对冷热的直观感受嘛！比如大夏天外面特别热，这就是温度高呀。
你想想，要是没这个温度项，我们怎么知道热到啥程度了呢！3. 热扩散方程的时间项呀，就如同沙漏里的沙子慢慢流逝一样。
比如烤面包，时间越久，面包受热扩散的效果就越明显，这不就是时间在起作用嘛！4. 那热扩散方程里的空间项呢，就好像是给热划定了一个活动范围。
好比在一个房间里，热会在这个空间里扩散，它决定了热会扩散到哪里呢！5. 热扩散方程的源项呢，就像是给热加了一把火。
比如冬天开暖气，这暖气就是热源呀，让热源源不断地产生，推动着热的扩散呢！6. 想想看，热扩散方程不就像一个指挥家吗？其中的各项就是不同的乐器，共同演奏出热扩散的“交响乐”。
比如篝火晚会，火就是源，周围的空气就是扩散的空间，温度在变化，时间在流逝呀！7. 热扩散方程的各项真的很神奇呀！它们就像一个团队里的成员，各自发挥作用。
好比在一个工厂里，温度是工作环境，扩散系数是工作效率，时间是工作时长，空间是工作场地，源项就是动力呀！8. 哎呀呀，热扩散方程里的各项真的不能小瞧呢！就像盖房子，温度是材料，扩散系数是施工速度，时间是工期，空间是房子的大小，源项就是建筑工人的力量呀！9. 热扩散方程的各项呀，就如同拼图的一块块碎片。
比如烤蛋糕，温度决定了蛋糕的成熟度，扩散系数决定了热量分布的均匀度，时间决定了烤制的时长，空间决定了蛋糕的大小，源项就是烤箱的热量呀！10. 真的呀，热扩散方程的各项意义重大着呢！它们就像一部精彩的电影，每个角色都不可或缺。
比如炼钢，温度是火候，扩散系数是钢水的流动速度，时间是炼钢的过程，空间是炼钢炉的大小，源项就是炼钢的原料呀！我的观点结论就是：热扩散方程的各项都有着独特且至关重要的物理意义，它们相互配合，共同描述了热扩散这一神奇的现象。
扩散模型推导过程(3篇)
第1篇一、扩散模型的基本概念扩散模型（Diffusion Model）是一种生成模型，其基本思想是将数据分布从一个简单的分布（如均匀分布）扩散到一个复杂的分布（如真实数据分布）。
通过模拟数据在连续过程中的扩散过程，可以学习到数据分布的潜在结构。
扩散模型主要由以下两个过程组成：1. 扩散过程：将数据从简单分布扩散到复杂分布的过程。
2. 逆扩散过程：将数据从复杂分布还原到简单分布的过程。
二、扩散模型的推导过程1. 扩散过程假设原始数据分布为 \( p(x) \)，扩散过程的目标是将 \( p(x) \) 扩散到均匀分布 \( p_{\theta}(x) \)。
为了实现这一目标，我们引入一系列的扩散噪声变量\( \xi_t \)，其中 \( t \) 表示扩散的步数。
扩散过程可以表示为以下递推关系：\[ x_{t+1} = f_t(x_t, \xi_t) \]其中，\( f_t \) 是扩散过程中的扩散函数，通常为：\[ f_t(x, \xi) = x + \sqrt{\beta_t} \xi \]其中，\( \beta_t \) 是扩散过程中的扩散系数，随着扩散的进行，\( \beta_t \) 逐渐增大。
当扩散过程进行到足够多的步数时，原始数据 \( x_0 \) 已经扩散到均匀分布\( p_{\theta}(x) \)。
2. 逆扩散过程逆扩散过程的目标是将扩散后的数据 \( x_{T} \) 还原到原始数据分布 \( p(x) \)。
为了实现这一目标，我们需要找到一组逆扩散函数 \( g_t \)，使得：\[ x_t = g_t(x_{t+1}, \xi_{t+1}) \]其中，\( \xi_{t+1} \) 是扩散过程中的噪声变量。
逆扩散函数 \( g_t \) 可以通过以下关系得到：\[ g_t(x, \xi) = x - \sqrt{\beta_t} \xi \]在实际应用中，由于逆扩散过程通常难以直接求解，我们可以通过迭代的方式逼近逆扩散过程。
热扩散方程各项物理意义
热扩散方程各项物理意义嘿，朋友们！今天咱们来唠唠热扩散方程里各项的物理意义，可有趣啦。
先说说热扩散方程里的温度项吧。
这温度啊，就像是一场派对里的热闹程度。
温度高的地方呢，就像是派对嗨到爆的舞池中央，大家都热情似火，活力四射。
它是整个热现象的核心体现，就像派对的灵魂是那种欢快的氛围一样。
然后是热传导项。
这热传导啊，就像是派对上的交际达人。
热量从温度高的地方传导到温度低的地方，就好比交际达人把舞池中央的热烈气氛带到那些角落的小团体里。
它在不同温度区域之间牵线搭桥，努力让整个空间的“热度”趋于平衡，就像交际达人想让派对上每个角落都充满欢乐。
再看看热扩散方程里可能有的热源项。
这热源就像是派对上突然出现的超级明星嘉宾。
一旦热源存在，就好像超级明星出现了，周围的温度会突然升高，就像明星周围围满了疯狂的粉丝，热度蹭蹭往上涨。
它是打破原有温度平衡的“捣蛋鬼”，不过也是让热现象变得更加复杂和有趣的关键因素。
还有热扩散方程里涉及到的材料的热导率。
这热导率啊，就像是不同场地的隔音效果。
热导率高的材料，就像隔音差的场地，热量在里面跑得飞快，就像声音能轻易穿过薄墙。
而热导率低的材料呢，就像隔音超好的豪华包厢，热量在里面就像被困住的小老鼠，很难扩散出去。
时间项也很有意思。
它就像是派对的时长。
随着时间的推移，热量的分布不断变化，就像派对从开场的小热闹，慢慢发展到高潮，最后又归于平静。
时间是热扩散这个“派对”的见证者，不同时刻有着不同的温度分布“派对场景”。
热扩散方程里各项就像一场热的大狂欢中的不同角色。
它们相互作用，共同决定了热量这个“热情”在空间和时间里的传播和分布。
有时候某个项占主导，就像派对上某个环节突然成了焦点。
比如说如果热源项特别强，那整个热的“派对”就围绕着这个热源这个“超级明星”转了。
要是热传导项很强，那热量就像一群到处串门的小精灵，在各个地方传递着温度的“快乐”。
总之啊，热扩散方程虽然看起来有点复杂，但把它的各项想象成这些有趣的东西，是不是一下子就感觉亲切多了呢？。
基本解方法求解一类热传导方程移动边界问题
基本解方法求解一类热传导方程移动边界问题*李玉山（甘肃政法学院信息工程学院甘肃兰州，730070）摘要：本文给出一种求解具有多层区域一维热传导方程移动边界问题的无网格方法，即基本解方法.该方法属于径向基函数类方法，它使用微分算子的基本解作为基于欧氏距离的径向基函数，提供了一种在整个时间空间区域上的行之有效的数值格式。
最后用数值例子说明该方法具有较高的精度，并分析了数值解精度与各参数之间的关系。
关键词：热传导方程；多层区域；移动边界；基本解方法DOI 编码：10.14016/ki.1001-9227.2015.02.113Abstract:A meshless method,the method of fundamenta1solutions,is proposed to solve one-dimensional heat conduction equa-tion of moving boundary problem with multilayer domain,In the method ，one of the radial basis function(RBF)methods,employs the fundamental solutions to the governing differential operator as the Euclidean distance based RBF ，It provides an efficient global approximation scheme in both spatial and time domains.Finally,the numerical results show that our proposed method works effec-tively,The relationships between the accuracy of the numerical solutions and the parameters are also investigated.Key words ：Heat conduction equation;Multilayer domain;Moving boundary problem;Method of fundamenta1solutions 中图分类号：O241.82文献标识码：A文章编号：1001-9227（2015）02-0113-04收稿日期：2015-01-05*基金项目：甘肃政法学院科研资助项目（青年项目）基金（GZF2012XQNLW13）作者简介：李玉山（1981-），男，讲师，硕士，从事数学物理方程反问题理论及计算研究。
扩散方程式的推导过程
扩散方程式的推导过程1 所用到的参数θ—体积含水率θs —饱和体积含水率，其取值大约为0.3~0.5 θd —初始体积含水率，其取值大约为0.01Θ—归一化后的体积含水率，其取值范围为：0~1m,n —计算水力传导率K 时所需的常数值，其中m=1.5~2.5；n=1/(1-m) D (θ)—扩散系数，取用幂函数的形式，其中取公式中的n=6 f —混凝土的体积孔隙率 x —饱和时试件的吸水高度t —在压力水头为h 的作用下吸水饱和所用的时间K s —饱和水力传导率，在混凝土中饱和水力传导率的值可通过计算公式：htfx K s 22=，通过试验证明，硬化混凝土蒸汽养护条件下的饱和水力传导率的值为1.9*10-11m/s2 基本公式扩散系数：nD D Θ=Θ0)(，其中n=4。
水力传导率：()[]2/111)(mm ls K K Θ--Θ=Θ，其中常数l =0.5，m 取2。
扩散控制方程：()()⎪⎭⎫⎝⎛Θ-∂Θ∂Θ∂∂=∂Θ∂K x D x t （1） 3 方程式求解根据有限差分法中的边值问题给出扩散方程的基本解为：Θ(x,t )= Θ(x-Vt )= Θ(ζ),其中ζ=x-Vt 。
则扩散方程(1)的左边可写为：ςςςd d V t d d t Θ-=∂∂Θ=∂Θ∂ 方程式的右边可以写为：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡Θ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Θ-∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ-∂Θ∂Θ∂∂)()(K d d D d d K x d d D x d d K x D x ςθςςςθςς 由左边=右边得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡Θ-Θ=Θ-)(K d d D d Vd ς对上式两边积分后得：)(Θ-Θ=Θ-K d d DV C ς(2)其中C 为积分常数，于是得出：)()()(ΘΘ-+ΘΘ=ΘD V C D K d d ς (3) 边界条件为：10)(,)(Θ=-∞ΘΘ=∞Θ，x =±∞时，0=Θςd d 。
将这些边界条件代入公式（3）得：)(0)(1100=Θ+Θ-=Θ+Θ-K V C K V C通过求解这两个方程可以得出常数C 和V 的表达式为：101011001)()()()(Θ-ΘΘ-Θ=Θ-ΘΘΘ-ΘΘ=K K V K K C由公式(3)得：Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=-d D V C D K d 1)()()(ς (4) 对公式（4）两边积分得：⎰⎰⎰Θ-Θ--Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ-Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=1101011)()()()()()()()()(d D V C D K d D V C D K d D V C D K ς ，或写成⎰⎰Θ--Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ-Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=-11101)()()()()()(d D V C D K d D V C D K Vt x (5)4 理论求解结果对比在已发表的论文中，所提到的扩散控制方程中通常忽略重力的影响。
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xnj
xnj+1
xnj−+11
£ £ £ £ xnj−1
x0(t)
e
e
e xnj +1 xnj++11
¥¥¥e¥ eeee
g g g g
xnj
e xnj+1
图 3 第三种情况的说明
第二种情况: 如果x0(t)和(xnj , xnj +1)相交于t = t¯ ∈ (tn, tn+1), 那么
u˙ (xnj +1, tn+1)
§1 引 言
考虑一个重要的爆破问题[1], 它可以写成如下带移动热源的偏微分方程的形式:
ut − uxx = δ(x − x0)F (u(x0, t)), (x, t) ∈ R × R+,
(1)
和初边值条件
u(x, t) → 0
当 |x| → ∞,
(2)
u(x, 0) = u0(x), −∞ < x < ∞.
√ s
=
√s0
3s + s0 s + 3s0
+
O(s
−
s0)3.
(9)
把方程(9)代入(7)得到
(s + 3s0)uˆx ± (3√s0s + s0√s0)uˆ = 0,
(10)
这里s0是一个参数(它的选取参见数值例子部分). 对(10)利用反拉普拉斯变换, 可以得到以下三
阶局部吸收条件
3s0ux + uxt ± 3√s0ut ± s0√s0u = 0.
(14)
3s0ux + uxt + 3√s0ut + s0√s0u = 0, x = xr.
(15)
§3 移动有限差分算法
这一节将利用移动网格方法(MMPDE6)来求解方程(12)-(15). 方程(12)可以写成以下形式
u˙ − uxx˙ − uxx = δ(x − x0)F (u(x0, t)),
∂2x˙ ∂ξ2
=
−
1 τ
∂ ∂ξ
M
∂x ∂ξ
(4)
在文[15]中被用来数值模拟方程(1). 它能够有效的抓住方程的奇异性. 文[16]通过在移动热源上 增加一个额外的网格点简化了[15]中提出的移动网格算法. 并且, 作者们成功地用新的算法解决 了两个和三个移动热源的问题.
本文首先利用统一方法的思想[13-14]为原问题(1)-(3)在选定的有界区域上给出了局部吸收 边界条件(LABCs). 然后对于得到的这个有界区域上的初边值问题, 用移动网格方法进行求解. 数值例子通过比较数值解和“精确解”说明了局部吸收边界条件(LABCs)的有效性. 本文的主要 目的是通过组合人工边界方法和移动网格方法来降低计算成本并且改进计算精度.
规则网格点了(图1中的(c)). 于是只需要考虑以下三种不同情况的有限差分离散格式[15].
第一种情况: 当x0(t)没有穿过(xnj−+11, xnj++11)和(xnj , xnj +1), 方程(16)中各项的有限差分逼近
格式如下
u˙ (xnj +1, tn+1)
≈
unj +1 − unj ∆tn+1
√
uˆx ± suˆ = 0.
(7)
208
高校应用数学学报
第27卷第2期
这里“± 中的加号对应右边的边界条件而减号对应左边的边界条件. 利用反拉普拉斯变换, 得到
两个人工边界条件
ux ±
1 π
t 0
√ uτ t−τ
dτ
=
0.
(8)
注意到以上导出的方程(8)是非局部的, 在实际计算的时候不是很方便. 下面考虑导出局部 吸收边界条件. 对√s进行有理函数逼近, 有如下表达式
(11)
于是无界区域上的原问题(1)-(3)可以被有界区域上的初边值问题所逼近:
ut − uxx = δ(x − x0)F (u(x0, t)), x ∈ [xl, xr],
(12)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ [xl, xr],
(13)
3s0ux + uxt − 3√s0ut − s0√s0u = 0, x = xl,
祝汉灿等: 无界区域上带移动热源的反应扩散方程的移动网格方法
207
方程(1)是非常重要的一类方程, 经常被用来研究燃烧理论[2]. 数值模拟方程(1)-(3)有三个难点. 其中一个难点是该方程定义在无界区域上. 这个困难通
常可以用人工边界条件来处理. 人工边界条件用来最小化从人工边界上反射回来的波的数量[3]. 这种方法已经被很多研究者关注, 并且用来解决线性和非线性问题[4-12]. 最近, 一种新的人工边 界方法(称作统一方法)被提出并且用来解决非线性的薛定谔方程[13]和半线性的抛物方程[14]. 作 者们显示了统一方法是一种非常有效的方法用来处理无界区域上的半线性抛物方程. 统一方法 的基本思想如下. 首先, 通过时间分裂方法把原始问题分裂成一个线性的子问题和一个非线性 的子问题. 然后对线性的子问题, 考虑给定的人工区域的外面部分, 可以得到线性微分算子的单 方向的逼近算子. 最后把这个逼近算子和非线性算子组合在一起就得到了局部吸收边界条件.
和 [uxx](x0(t),t) = [ut](x0(t),t) = x0(t)F (u(x0(t), t)).
xj−1 xj−1
xj
xj+1
(a)
x0(t) xj
xj+1
(c)
x0(t) xj−1 xj
xj+1
(b)
xj−1
x0(t)
xj
xj+1
(d)
图 1 热源x0(t)的几个不同位置
在区间[xl, xr]上给定一个网格剖分: xl < x1 < · · · < xN−1 < xr, 可以根据热源的位置把网
高校应用数学学报 2012, 27(2): 206-219
无界区域上带移动热源的反应扩散 方程的移动网格方法
祝汉灿1,2, 梁克维2 (1. 绍兴文理学院 数学系, 浙江绍兴 312000;
2. 浙江大学 数学系, 浙江杭州 310027)
摘 要: 对无界区域上带移动热源的反应扩散方程提出了局部吸收边界条件. 移动网 格方法对导出的有界区域问题进行了求解. 数值例子显示了当热源移动的速度比较慢 的时候, 方程会在有限时间内发生爆破现象. 而当热源移动的速度足够快时, 爆破现象 不会发生. 数值例子验证了新方法的有效性和精确性. 关键词: 移动网格方法; 爆炸现象; 反应扩散方程; 移动热源; 无界区域; 局部吸收边界 条件 中图分类号: O241 文献标识码: A 文章编号: 1000-4424(2012)02-0206-014
(16)
这里
u˙
:=
∂u(x(ξ, t), t) ∂t
ξf ixed
=
ut
+ uxx˙ .
(17)
既然当x = x0时, 方程(16)的右边部分为0, 可以得到以下方程
u˙ − uxx˙ − uxx = 0.
(18)
当穿过曲线x0(t)时, 方程(18)的每一项包含一个跳跃. 引入跳跃符号
[ϕ](x¯,t¯)
格点分成规则的和不规则的. 当热源x0(t) ∈/ (xj−1, xj+1)时(图1的(a)), 网格点xj是规则的, 反之
则是不规则的. 从图1中, 可以看到总共有三种不规则网格点((b),(c),(d)中的xj). 利用[16]中的
思想, 在构造(16)的差分逼近格式之前, 在热源处添加一个额外的网格点. 这样, 看到只有一类不
除了无界区域, 数值模拟方程(1)-(3)还有另外两个难点[15-16]. 其中一个是δ-函数会导致方 程解的导数不连续. 基于在固定均匀网格上带有δ-函数的微分方程的解法[17-18], 马教授以及他 的合作者[15]提出了一种精确的逼近计划. 他们利用跳跃条件的信息, 通过构造一个光滑函数导 出了五种不同的逼近格式. 另外一个难点是爆破现象会在某一个时间点T 发生. 近几年提出的移 动网格方法在解这类带有奇异性的方程时, 计算精度和有效性都会得到明显的改进[19-22]. 其中, 黄教授[23]提出的移动网格方法(MMPDEs)已经被成功地用来解决类似的一些爆破问题[24-28]. 其中的一个移动网格方法(MMPDE6)
−
hnj +1
2 +
hnj++11
unj++11 − unj +1 hnj++11
−
unj +1 − unj−+11 hnj +1
−
hnj +1
2 +
hnj++11
F (unj +1)
+
hnj +1 2
ut − uxx = 0.
(5)
利用关于时间t的拉普拉斯变换, 可以把方程(5)写成
suˆ − uˆxx = 0,
(6)
这e的±特里x√征uˆs. 值=考,uˆ虑而(x到uˆ, s2无)=穷:=e远x√处0s∞是的e区−两s域t个u((x边−,∞界t)d,条xt.l件]解上i.齐的e.,特次|x征方| →值程.∞(6这)时,样可u在→以人得0工. 到于边两是界个uˆ上1线有=性如e−无下x√关方s是的程区特域征[x函r,数∞uˆ)上=