高斯求积公式

一般的，我们只用它求取某个节点 xk 上
的导数值，这时我们才有某种意义下比较准确的 余项公式来保证导数值的精度.
带余项的插值型数值微分公式为
f ( xi ) Ln ( xi ) +
f (n+1) ( )
(n + 1)!
n +1
(
x
i
)
i 0,1, ,n
三点微分公式：
f
( x0 )
1 [ 2h
二、高斯求积公式
1.高斯点的特点 【定理5】
对于插值型求积公式，其节点是高斯节点
n
n+1( x) ( x x j )与任意次数不超过n
j0
的多项式p( x)都带权正交，即：
b
(n+1, p) a ( x)n+1( x) p( x)dx 0
2. 高斯求积公式的余项
如果f ( x)的(2n + 2)阶导数在[a, b]上连续，则 高斯求积公式的余项
选择合适的步长通常采用事后误差估计方法.
h
G(h)
,G( ) 2
分别为步长取
h, h 2
时的差商
微分公式,对给定的精度 ,
若 G(h) G( h )
2 h
合适的步长就是 .
2
例1 （P182 例6.19）
二、插值型数值微分
设已知 f x 在节点 xk (k 0,1,L , n)
的函数值，利用所给定数据作 n 次插值多项
b
n
R( f ) ( x) f ( x)dx a
i f ( xi )
i0
f (2n+2) ( )
(2n + 2)!
b a
(
x
)n2+1
(
x
)dx
3.高斯求积公式的稳定性
【定理6】
高斯求积公式的求积系 数 i 都是正的，则是稳定的 ，
且有
i
b
a
(
x
)li2
(
x
)dx
其中
li(x)
n j0
3)
1
3
3
插值型求积公式，代数精度为3 阶
一 般 情 形 ， 令f ( x) 1, x, , x 可 2n+1 得 非 线 性 方 程 组
n
i xij
i0
0, j 1,3, ,2n + 1 2 , j 0,2,4, ,2n j+1
这 个 方 程 组 求 解 比 较 困难 。
问题 有没有其他的途径来建立稳定性好、精确 度高且又收敛的求积公式?
x xj xi xj
ji
高斯求积公式具有较高的代数精度((2n+1)阶）, 并且是数值稳定的.
三、几种常见的高斯求积公式
1.高斯-勒让德求积公式
取( x) 1,积分区间为[1,1]上的高斯求积公式
称为高斯－勒让德公式。
1
f ( x)dx
1
n
i f ( xi )
i0
xi 勒让德多项式的零点
(1,1)
对一般区间[a, b]上的积分，可作变换
x b+a + bat 22
化为g(t) f ( b + a + b a t)在[1,1]上的积分。 22
P173 表6-6列出了 n:0-6 时高斯-勒让德 求积公式的节点和系数.
例2 分别用三点,四点高斯-勒让德求积公式
计算
1 e x2 dx .
(0 1)
3)中心差商数值微分公式(中点公式）
f ( x0 )
f ( x0 + h) f ( x0 h) 2h
余项：h2 6
f ( x0 + h)
(1 1)
从余项看,步长 h 越小计算结果越准确,
从舍入误差看,步长 h 越小,两接近数直接相
减会造成有效数字的严重损失.
如何选择合适的步长呢?
h2 2!
f ( x0 + h)
余项：
h 2
f ( x0
+ h)
(0 1)
2)向后差商数值微分公式
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
由泰勒展开式
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf ( x0 ) +
h2 2!
f ( x0 h)
余项：h 2
f
( x0
h)
f (2n+2) ( ),
(0,+)
(2n + 2) !
P175 表6-7列出了 n:1-5 时高斯-拉盖尔 求积公式的求积节点和系数.
例3 用n=3时的高斯-拉盖尔求积公式计算
+ e10x cos x并dx估计误差. 0
4.高斯-埃尔米特求积公式
取 ( x) ex2 ,积分区间为(,+)上的高斯
如果精度要求不高，可以用差商作为导数的近 似值从而获得一种简单的数值微分方法．
如果所用的差商分别为向前、向后以及中心 差商，就可分别建立如下的三种数值微分法
1)向 前 差 商 数 值 微 分 公 式
f ( x0 )
f ( x0 + h) h
f ( x0 )
由泰勒展开式
f ( x0 + h)
f ( x0 ) + hf ( x0 ) +
以高斯点 xk (k 0,1, , n)为零点的 n+1次多项式，
pn+1( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
称为勒让德(Legendre)多项式。
余项
R(
f
)
22n+3 ((n + 1) !)4 ((2n + 2) !)3 (2n +
3)
f (2n+2) ( ),
例如,若在区间[-1,1]上, p(x)=1
(1)建立一点积分公式
1 1
f
(
x)dx
0
f
(
x0
)
令f ( x) 1, x使上式成立，得非线性方程组
0 x0＝0 20
x00
2 0
代数精度为1 阶
由此得 1 1
f
( x)dx
2
f
(0)
——中矩形公式
(2)建立两点积分公式
1 1
f
( x)dx
0
求积公式称为高斯－埃尔米特公式。
即
e x2 f ( x)dx
n
i f ( xi )
i0
余项
R(
f
)
(n + 1) !
2n+1(2n + 2) !
f
(2n+2) ( ),
(,+)
§6.6 数值微分
一、差商型数值微分
按照数学分析的定义，导数 f 'a
是差商 f a + h f a
h
当 h 0 时的极限．
i
n+
. 1
余项
R(
f
)
22n+1(2n + 2) !
f
(2n+2) ( ),
(1,1)
3.高斯-拉盖尔求积公式
取( x) ex ,积分区间为[0,+)上的高斯
求积公式称为高斯－拉盖尔公式。
即
+ e x f ( x)dx
0
n
i f ( xi )
i0
余项
((n + 1) !)2 R( f )
【定理4】 带权( x)的插值型求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
a
i f ( xi )
i0
的 代数 精度 最 高不 超 过(2n + 1)阶 。
【定义】
如果插值型求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
a
i f ( xi )
i0
具 有(2n + 1)阶代 数精度 ，则
称 其 节 点xi为 高 斯 节 点 ， 相 应 的求 积公式 称为高 斯型求积 公式。
0
2.高斯-切比雪夫求积公式
取 ( x) 1 ,积 分 区 间 为[1,1]上 的 高 斯
1 x2 求 积 公 式 称 为 高 斯 － 切比 雪 夫 公 式 。
1wenku.baidu.com1
1 1
x2
f ( x)dx
n
i f ( xi )
i0
xi
cos 2i + 1
2(n + 1)
是切比雪夫多项式
Tn+1( x) cos[(n + 1)arccos x] 零点,
式 Ln( x)，
由插值原理，可用插值多项式Ln( x)作为 f ( x)的近似，由于多项式求导较为简单，
f (k ) ( x) L(nk ) ( x) (k 1,2, , n) 这 样 建 立 的 数 值 微 分 公式 称 为 插 值 型 数 值 微分公式。
应当指出，即使 f (x) 与 Ln( x)处处相差不多， f ( x) 与 Ln ( x) 在某些点仍然可能出入很大.
f
( x2 ) +
4
f
( x1 )
3
f
( x0 )]
f ( x1 )
1[ 2h
f ( x2 )
f ( x0 )]
f ( x2 )
1 2h [3 f ( x2 ) 4 f ( x1 ) +
f ( x0 )]
例2 （P 185 例6.21）
作业
P 196 10 13 16
§6.4 高斯求积公式
一、高斯求积的基本思想
可否放弃等距节点的限制，构造出稳定性好、 精确度高且又收敛的求积公式．
对 于 数 值 求 积 公 式b ( x) f ( x)dx a
n
i f ( xi )
i0
可 以 利 用 代 数 精 度 尽 量高 的 方 法 确 定 出i , xi，
但 此 时 需 求 解 一 个 非 线性 方 程 组 。
f
( x0 )
+
1
f
( x1 )
令f ( x) 1, x, x 2 , x 3 使上式成立，得非线性方程组
0＋1＝2
0
x0
+ 1 x1
0
0
x
2 0
0
x03
+ 1 x12 + 1 x13
2
3 0
0 1
1 1
x0
3 3
x1
3 3
由此得两点公式
1
f ( x)dx f (
3)+ f(