高斯求积公式
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4。4高斯型求积公式
=
A
1
=1
于是得到求积公式
华长生制作
∫
1 −1
f
( x )dx
≈ f −
1 + f 3
1 3
3
它有3次代数精度， 它有 次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 次代数精度 1次代数精度。 次代数精度。 次代数精度 一般地， 一般地，考虑带权求积公式
I =
∫
1
0
x 2 e x dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换 由于区间为 所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 得 所以先作变量替换 2 1 1 1 2 x I = ∫ x e dx = ∫ (t +1 e(1+t ) / 2dt ) 0 8 −1 2 对于n=1,由两点 由两点Gauss-Legendre公式有 令 由两点 公式有 f (t ) = (1 + t ) e (1+t )/ 2 对于
∫
b a
ρ
( x )l k ( x )dx
, k = 0 ,1 , L n
是关于Gauss点的 点的Lagrange插值基函数。 插值基函数。 其中 l k ( x ) 是关于 点的 插值基函数
华长生制作
10
定理2 定理 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 f ( x ) = lk2 ( x), 其中lk ( x ) 是n次拉格 确成立，若取 朗日插值基函数，有
1 P3 ( x ) = ( 5 x 2 − 3 x ), 当n=2时，三次 时 三次Legendre多项式 多项式 2
零点为 x 0
数值分析(18)Gauss积分
n
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。
数值分析
数值分析
(1) 用待定系数法构造高斯求积公式 例：选择系数与节点，使求积公式（1）
k 0 k 0
b b
n
n
由性质3）及(4)式，有
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx
a a
0 ( x )r ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 1
n
即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都 精确成立。 证毕
左 ( x ) g( x )dx 0，
a
b
右 Ak g( xk ) 0
k 0
n
左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕.
数值分析
数值分析
定义6-4:使求积公式a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
b k 0
1
1
f ( x )dx c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 )
(1)
成为Gauss公式。 解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得 c1 c2 1, 求解得： c1 + c2=2 3 3 x1 , x2 c1 x1+ c2 x2=0 3 3 所求Gauss公式为： c1 x12+ c2 x22 =2/3 1 3 3 c1 x13+ c2 x23 =0 1 f ( x )dx f ( 3 ) f ( 3 ) 数值分析
第07章 03-高斯型求积公式
第七章
§7.7 数值微分
数值积分与微分
泰勒公式是建立数值微分的工具之一，设 h x1 x0 ，
根据泰勒公式可得：
f x0 h f x0 f x0 O h h h h f x0 f x0 2 2 f x0 O h2 h
1 t
0
1
t
2
dt 。
解：(1)首项系数为1的三次勒让德多项式为：
3 2 d x 1 3! 3 3 3 x x x 3 6! dx 5 3 3 , x1 0, x2 取其零点 x0 作为高斯点 5 5 3
第七章
§7.6 高斯求积公式
N
（充分性得证）
第七章
§7.6 高斯求积公式
数值积分与微分
定理7.6 表明，若能够找到满足
N+1次多项式 N 1 x ，则积分公式的高斯点就确定了， 从而确定了一个高斯型求积公式。为此，引入勒让德 (Legendre)多项式。 定义：一个仅以区间[-1, 1]上的高斯点 xi i 0 为零点的
j 0
N
关于高斯求积公式的误差有如下结论：高斯积分公式 的误差是可控的，稳定性比其他积分方法好。特别当
f x 在[-1, 1] 上连续时，高斯型求积公式必收敛。
第七章
数值积分与微分
总结
1 梯形求积公式和辛普生求积公式是低精度的方法，但对 于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的 效果。复化梯形公式和辛普生求积公式，精度较高，计 算较简，使用非常广泛。 2 龙贝格求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似 程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此， 对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3 Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时， 前面计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦， 但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分， 则是其他方法所不能比的。
高斯求积公式
定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的 Gauss点a<x0<…<xn <b
是[a,b]上关于权 ( x)的n+1次正交多项式的根。
分析：“充分性”即是引理1的结论。以下只证必要性
“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根。
只需证 n1(x) 关于( x) 正交。 证明：取2n 1次多项式f ( x) n1( x)q( x) ( x x0 ) ( x xn )q( x)，
q( x)为次数 n的多项式。
则有
b
Gauss点 的 定 义
a ( x)n1( x)q( x)dx
n
Akn1 ( xk )q( xk ) 0，
k 0
由于左端等于0，即( n1 ( x)，q( x)) 0,
n1 ( x)在a, b上关于权 ( x)是n 1次正交多项式，
则 x（k k 0，1， ，n）是n 1次正交多项式 n1( x)的根。
max
a
a
2、收敛性 引理2 对于有限闭区间[a, b] 上的任何连续函数 f ( x)有
lim R[ f ] 0
(2.4)
n
证明 : [a, b] 上的连续函数 f ( x) 可以用代数多项式一致逼近,
对任意给定的
max |
a xb
f
0,
(x
存在某个多项式
) qm ( x) | b
2 (
qm (x x)dx
由
b
a ( x)H2n1( x)dx
n
Ak H 2n1( xk )
k0
b
n
Ak f ( xk ) (
k0
b
( x) f ( x)dx I( f ))
数值分析课件高斯求积公式
1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共 个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0
数值分析(高斯求积公式)
2
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
高斯求积公式
(k = 0,1 ⋯ n), 使（5.1）具有 2n +1次代数精度. , ,
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
高斯求积公式范文
高斯求积公式范文高斯求积公式，也称为高斯–勒让德求积公式（Gauss-Legendre Quadrature），是数值计算中一种常见的数值积分方法。
它通过选择适当的节点和权重来近似计算一个确定积分的值。
高斯求积公式的基本思想是通过选取合适的节点，使得积分节点上的函数值和求积公式的节点值与相应的权重值的乘积之和等于被积函数的积分。
要了解高斯求积公式，首先需要了解勒让德多项式（Legendre Polynomials）。
勒让德多项式是定义在区间[-1,1]上的一个连续函数系列，它们具有许多重要的性质。
其中最为重要的性质是勒让德多项式是在[-1,1]上正交的，即在区间[-1,1]上的积分为0，除非两个不同的多项式相乘。
高斯求积公式可以通过使用勒让德多项式的正交性质来推导。
假设我们要计算函数f(x)在区间[-1,1]上的积分，可以通过勒让德多项式来近似这个积分。
具体的做法是，首先选择一个适当的正整数n，计算n个勒让德多项式。
然后，在区间[-1,1]上选择n个互不相同的节点x_i，通过求解勒让德多项式的根来得到这些节点。
接下来，计算n个权重w_i，使得求积公式的节点值与权重值之积的和等于被积函数在区间[-1,1]上的积分。
对于一个给定的n，高斯求积公式的节点和权重可以通过一系列的计算得到。
首先，通过求解勒让德多项式的根来得到节点。
勒让德多项式的根是对应于勒让德多项式的零点的x值。
然后，通过求解勒让德多项式的导数来得到权重。
通过这些计算，我们可以得到一组称为高斯节点和权重的数值。
利用高斯节点和权重，我们可以将原始的积分问题转化为一组简单的加权求和问题。
具体地，我们可以将被积函数f(x)展开为勒让德多项式的级数形式，然后将这个级数代入原始积分的公式中，使用高斯节点和权重来计算每一项的值，最后将这些值相加得到积分的数值近似值。
1.高准确性：高斯求积公式可以提供非常精确的数值积分结果。
2.高效性：高斯求积公式可以通过选择适当的节点和权重，使计算量最小化。
高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明
高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式是一种用于数值积分的方法，通过对积分区间上的权重和节点进行适当选择，可以实现高精度的数值积分。
下面是高斯-勒让德求积公式的概要证明：1.首先，我们需要选择积分区间和节点数。
高斯-勒让德求积公式要求积分区间为[-1, 1]，且节点数与权重数相同。
2.接下来，我们需要在[-1, 1]之间确定节点和相应的权重。
节点是使得关联的勒让德多项式在该点上取得零值的点。
权重则反映了在积分计算中节点的重要性。
3.对于高斯-勒让德求积公式的n阶，我们需要找到n个根（即节点）x1, x2, ..., xn，并确定相应的权重w1, w2, ..., wn。
4.使用勒让德多项式进行重写。
勒让德多项式Pn(x)可以表示为（n阶勒让德多项式的归一化形式）：Pn(x) = (1 / (2^n * n!)) * d^n/dx^n [(x^2 - 1)^n]5.根据正交性质，勒让德多项式在区间[-1, 1]上相互正交。
即对于i ≠ j，有：∫[-1, 1] P_i(x) * P_j(x) dx = 0根据这一性质，我们可以确定节点和权重。
6.使用节点和权重构建高斯-勒让德求积公式。
积分的近似值可以表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * ∑[i=1 to n] wi * f((b - a) * xi / 2 + (b + a) /2)其中wi是权重，xi是节点。
7.在实际计算中，节点和权重需要通过数值方法来求解，如Jacobi矩阵或递推关系式等。
一种常用的数值求解方法是利用Jacobi矩阵的特征值与特征向量，通过迭代过程求解。
需要注意的是，上述证明提供了高斯-勒让德求积公式的概要，具体的证明过程可能会涉及更多数学推导和定理。
高斯(Gauss)求积公式
数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a
数值分析-高斯求积分
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
4.3 高斯求积公式
解之得
A1 x1 0 2 2 A1 x1 3 3 A1 x1 0 3 3 A0 A1 1 x0 x0 3 3
A0 A x 0 0 2 A x 0 0 A x3 0 0
A1 2
代入(1)即得
1
1
可以验证，所得公式（2）是具有3次代数精度的插 值型求积公式。 这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点， 可使插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是 本节要介绍的高斯求积公式。
高斯求积公式的误差
定理： 设 f ( x )在[ a , b ]上 2 n +2 阶连续可微， ( x ) 0, 则带权函数 ( x )的 Gauss型求积公式的余项为
R ( f ) ( x ) f ( x ) dx Ak f ( xk )
a k 0 b n
f ( ) 2 ( x ) ( x ) dx ( a , b ) (2 n +2)! a
a b
b
( x )q ( x )
a n k 1 k k
b
n
( x ) dx ( x ) r ( x ) dx
a
b
( x ) r ( x )dx A r ( x
a
)
A
k 1
n
k
f ( xk )
结论：
区 间[ a , b ]上 关 于 权 函 数 ( x )的 正 交 多 项 式 系 中 的 n +1 次 正 交 多 项 式 的 根 就 是 Gauss点 。
a k 0
b
n
对 f ( x ) x l (l 0,1, , 2 n 1) 精确成立
数值分析8-高斯型求积公式
R[ f ] = ∫
1 −1
f ( 2 n+ 2) (η ) f ( x ) dx − ∑ ωi f ( xi ) = (2n + 2)! i =0
n
∫
1
−1
( x − xi ) 2 dx ∏
i =0
n
证明：以 x0 … xn 为节点，构造 f (x) 的 2n+1 次Hermite插值
多项式 H(x)，满足
1 d n+1 ( x 2 − 1) n+1 Pn+1 ( x ) = n+1 2 ( n + 1)! dx n+1
取其 n+1 个零点作为 Gauss 点，即可得 Gauss-Legendre 求积公式。
G-L 公式的余项
定理 设 f (x) ∈C 2n+2[-1, 1] ，则 G-L求积公式的余项为
i =0
n
注：(1)Gauss求积公式仍然是插值型求积公式； (2)Gauss系数可通过Gauss点和Lagrange基函 数得到；
高斯点的确定
定理 节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是求积公式(2-30)的Gauss
点的充要条件是：多项式 w( x) = ∏ ( x − xi ) 与任意次数不超 过 n 的多项式 p(x) 正交，即
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ ∑ Ai f ( x i ) = f ( −1 / 3 ) + f (1 / 3 )
i =0
n
n = 2: Pn+1(x) =
(5x3 -
3x)/2,
两点G-L公式
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ 5 f − 15 5 + 8 f ( 0 ) + 5 f 9 9 9
1 −1
f ( 2 n+ 2) (η ) f ( x ) dx − ∑ ωi f ( xi ) = (2n + 2)! i =0
n
∫
1
−1
( x − xi ) 2 dx ∏
i =0
n
证明：以 x0 … xn 为节点，构造 f (x) 的 2n+1 次Hermite插值
多项式 H(x)，满足
1 d n+1 ( x 2 − 1) n+1 Pn+1 ( x ) = n+1 2 ( n + 1)! dx n+1
取其 n+1 个零点作为 Gauss 点，即可得 Gauss-Legendre 求积公式。
G-L 公式的余项
定理 设 f (x) ∈C 2n+2[-1, 1] ，则 G-L求积公式的余项为
i =0
n
注：(1)Gauss求积公式仍然是插值型求积公式； (2)Gauss系数可通过Gauss点和Lagrange基函 数得到；
高斯点的确定
定理 节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是求积公式(2-30)的Gauss
点的充要条件是：多项式 w( x) = ∏ ( x − xi ) 与任意次数不超 过 n 的多项式 p(x) 正交，即
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ ∑ Ai f ( x i ) = f ( −1 / 3 ) + f (1 / 3 )
i =0
n
n = 2: Pn+1(x) =
(5x3 -
3x)/2,
两点G-L公式
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ 5 f − 15 5 + 8 f ( 0 ) + 5 f 9 9 9
高斯型求积公式课件
自编程实现
要点一
理解高斯型求积公式的原理
在自编程实现高斯型求积公式时，需要深入理解高斯型求 积公式的原理和数学推导过程，以确保编程实现的正确性 。
要点二
编写代码并进行测试
根据高斯型求积公式的原理，编写相应的代码并进行测试 ，以确保代码的正确性和可靠性。在编写代码时，需要注 意代码的可读性和可维护性，以提高代码的质量和可复用 性。
收敛性分析
对高斯型求积公式的收敛性进行深入分析，有 助于进一步优化其收敛速度。
稳定性
在提高收敛速度的同时，保持高斯型求积公式的稳定性是关键。
高斯型求积公式的并行化改的计算过程分解为多个子任务
，可以实现并行计算，进一步提高计算效率。
并行算法设计
02 设计高效的并行算法是实现高斯型求积公式并行化的
在微积分基本定理推导过程中，我们需要理解微积分的基本 概念和定理的证明过程，以确保推导的正确性和可靠性。
数值积分公式推导
数值积分公式是高斯型求积公式的另一种形式，通过数值积分公式的推导，我们可以将高斯型求积公 式应用到数值计算中。
在数值积分公式推导过程中，我们需要理解数值计算的基本原理和方法，以确保数值计算的准确性和 可靠性。
03
高斯型求积公式的实现
编程语言实现
Python实现
Python是一种通用编程语言，具有简洁的语法和丰富的科学计算库。使用Python实现高斯型求积公式可以充分 利用NumPy等科学计算库，提高计算效率。
C实现
C是一种高效的系统编程语言，适合进行大规模数值计算。通过C实现高斯型求积公式，可以充分利用其编译型语 言的性能优势，提高计算速度。
高斯型求积公式具有高精度、高稳定 性和易于实现等优点，因此在数值计 算中得到了广泛应用。
gauss-legendre求积公式
gauss-legendre求积公式
高斯-勒让德求积公式是指利用勒让德多项式的零点来求解定积分的数值近似方法。
它是一种高精度、高效率的积分数值求解方法。
具体地，用勒让德多项式的根来代替单位区间上的等距节点，再用适当的权系数乘以函数值，然后把结果求和，便得到积分的数值近似值。
高斯-勒让德求积公式可以表示为：
$\int_{-1}^{1}f(x)dx≈\sum_{i=0}^{n}w_if(x_i)$。
其中，$f(x)$为被积函数，$x_i$为勒让德多项式的$n$个零点，$w_i$为相应的权系数。
当$n$越大时，数值近似的精度越高。
高斯-勒让德求积公式的主要优点在于可以在任何有限区间内求解积分。
此外，它还具有收敛速度快、精度高、有理权系数等优点。
但是，它的缺点也是显而易见的，主要在于它只适用于比较光滑的函数，对于函数间断点、壁垒等特殊情况不太适用。
数值分析8-高斯型求积公式
计算精度高；可计算无穷区间上的积分和奇异积分。
G-L求积公式的缺点：
需计算Gauss点和Gauss系数；增加节点时需重新计算。 高斯求积公式的求积系数全是正的,且是稳定的算法
例题1
用4点（n=3）的高斯-勒让德求积公式计算
I = ∫ x 2 cos xdx
2
π
0
解 先将区间[0，π/2]化为[-1，1]，可以得到
x − a ≤ h
步长的选取
再考察舍入误差.按中点公式计算，当 h 很小 时，由于f（a +h）与 f（a -h）很接近，直接相 减会造成有效数字的严重损失.因此从舍入误差 的角度来看，步长是不宜太小的. 综上所述，步长过大，则截断误差显著；但如果 步长太小，又会导致舍入误差的增长，在实际计 算时，我们希望在保证截断误差满足精度要求的 前提下选取尽可能大的步长，然而事先给出一个 合适的步长往往是困难的，通常在变步长的过程 中实现步长的自动选择.
插值型的求导公式
问题：已知 f (x) 在节点 x0 , … , xn 上的函数值， 如何计算在这些节点处导数的近似值？ 方法：插值型数值微分 先构造出 f (x) 的插值多项式 pn(x) ，然后用 pn(x) 的导数来近似 f (x) 的导数。
插值型的求导公式的误差
多项式插值余项 两边求导得
n 0 1 2 3 4 5 节点个数 1 2 3 4 5 6 Gauss点 0.0000000 ±0.5773503 ±0.7745967 0.0000000 ±0.8611363 ±0.3399810 ±0.9061798 ±0.5384693 0.0000000 ±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919 Gauss系数 2.0000000 1.0000000 0.5555556 0.8888889 0.3478548 0.6521452 0.2369269 0.4786287 0.5688889 0.17132449 0.36076157 0.46791393
G-L求积公式的缺点：
需计算Gauss点和Gauss系数；增加节点时需重新计算。 高斯求积公式的求积系数全是正的,且是稳定的算法
例题1
用4点（n=3）的高斯-勒让德求积公式计算
I = ∫ x 2 cos xdx
2
π
0
解 先将区间[0，π/2]化为[-1，1]，可以得到
x − a ≤ h
步长的选取
再考察舍入误差.按中点公式计算，当 h 很小 时，由于f（a +h）与 f（a -h）很接近，直接相 减会造成有效数字的严重损失.因此从舍入误差 的角度来看，步长是不宜太小的. 综上所述，步长过大，则截断误差显著；但如果 步长太小，又会导致舍入误差的增长，在实际计 算时，我们希望在保证截断误差满足精度要求的 前提下选取尽可能大的步长，然而事先给出一个 合适的步长往往是困难的，通常在变步长的过程 中实现步长的自动选择.
插值型的求导公式
问题：已知 f (x) 在节点 x0 , … , xn 上的函数值， 如何计算在这些节点处导数的近似值？ 方法：插值型数值微分 先构造出 f (x) 的插值多项式 pn(x) ，然后用 pn(x) 的导数来近似 f (x) 的导数。
插值型的求导公式的误差
多项式插值余项 两边求导得
n 0 1 2 3 4 5 节点个数 1 2 3 4 5 6 Gauss点 0.0000000 ±0.5773503 ±0.7745967 0.0000000 ±0.8611363 ±0.3399810 ±0.9061798 ±0.5384693 0.0000000 ±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919 Gauss系数 2.0000000 1.0000000 0.5555556 0.8888889 0.3478548 0.6521452 0.2369269 0.4786287 0.5688889 0.17132449 0.36076157 0.46791393
高斯求积公式
高斯求积公式
高斯求积公式，也称为高斯积分公式，是一个数学上的重要公式，它是由德国数学家卡尔·高斯提出的。
高斯求积公式可以用来计算一个函数在某个区间内的积分值，因此也可以称为“求积公式”。
高斯求积公式的具体形式如下：
∫a^b f(x)dx = (b-a)/2[f(a)+f(b)+2∑f(x_i)]
其中，f(x)是区间[a,b]内的某个函数，x_i是区间[a,b]的某个中间点，i=1,2,…,n。
为了简化计算，一般情况下，n取值为2或3。
高斯求积公式有许多应用，它可以用来解决许多不同类型的积分问题。
它能够求解函数在某个区间内的积分值，也可以用来求解多元函数的最大值或最小值问题。
此外，它还可以用来计算曲线下面积，求解复杂微分方程等。
总之，高斯求积公式是一个非常有用的数学公式，它可以用来解决许多积分问题，因此被广泛应用于科学研究和工程计算中。
Gauss型求积公式
ab ba x t 2 2
即可将区间[a,b]变换到[-1,1]上：
b
a
1 ba 1 ab ba f ( x )dx f( t )dt (t )dt 1 2 1 2 2
n 1 2 3
xk 0 ±0.5773502692 ±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
四、Gauss-Laguerre求积公式
区间[0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为GaussLaguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点.
公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 . 由
0 f ( x)dx 0 e e f ( x)dx
2 (1 xk ) Pn'1 ( xk ) 一点Gauss-Legendre求积公式为：
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
Ak
2
2
(k 0,1,, n)
1
1
1
f ( x )dx 2 f (0)
两点Gauss-Legendre求积公式为：
3 3 1 f ( x)dx f ( 3 ) f ( 3 )
故有
b
a
n1 ( x )P ( x )dx Ak n1 ( xk )P ( xk ) 0
k 0
n
充分性 ：
设a n1 ( x) P( x)dx 0 对于任意次数不超过 n 1 ( x)除f(x)的商为p(x),余 2n+1的多项式 f ( x), 设 项为q(x)。
x x
即可将区间[a,b]变换到[-1,1]上：
b
a
1 ba 1 ab ba f ( x )dx f( t )dt (t )dt 1 2 1 2 2
n 1 2 3
xk 0 ±0.5773502692 ±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
四、Gauss-Laguerre求积公式
区间[0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为GaussLaguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点.
公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 . 由
0 f ( x)dx 0 e e f ( x)dx
2 (1 xk ) Pn'1 ( xk ) 一点Gauss-Legendre求积公式为：
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
Ak
2
2
(k 0,1,, n)
1
1
1
f ( x )dx 2 f (0)
两点Gauss-Legendre求积公式为：
3 3 1 f ( x)dx f ( 3 ) f ( 3 )
故有
b
a
n1 ( x )P ( x )dx Ak n1 ( xk )P ( xk ) 0
k 0
n
充分性 ：
设a n1 ( x) P( x)dx 0 对于任意次数不超过 n 1 ( x)除f(x)的商为p(x),余 2n+1的多项式 f ( x), 设 项为q(x)。
x x
数值分析高斯—勒让德积分公式
高斯—勒让德积分公式摘要：高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。
然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。
T he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer.关键字：积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLABKeyword:Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言：众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。
微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。
所以，微分与积分互为逆运算。
实际上，积分还可以分为两部分。
第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。
相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。
高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。
而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。
高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。
他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。
6c高斯型求积公式
b
定理
若节点 xk , k 0,1, , n 是高斯点，则以这些点为根
n
的多项式 ( x) ( x xk ) 是最高次幂系数为 1 的的勒让德多项
k 0
式，即
(n 1)! d n 1 ( x 2 1) n 1 L n 1 (2n 2)! dx n 1
计算方法
第六章 数值积分与数值微分
—— Gauss 求积公式
1
本讲内容
Gauss 求积公式
一般理论: 公式, 余项, 收敛性, 稳定性
Gauss-Legendre 求积公式
Gauss-Chebyshev 求积公式
无限区间的 Gauss 求积公式
2
Gauss 型求积公式
考虑求积公式
0.4674
20
1 1
f ( x ) dx Ai f ( xi )
i 0
9
n
简单 G-L 公式
n =0 时, Pn1 ( x) x G-L 求积公式:
1 1
Gauss 点: x0 0
将 f (x)＝1 代入求出 A0
f ( x ) dx 2 f (0)
1 2
n =1 时, Pn1 ( x ) (3 x 2 1) Gauss 点: x0 3 , x1 3
i 0
n
要证 xi 为 Gauss 点，即公式对 p(x) H2n+1精确成立 “ p( x) ( x)q( x) r( x) ” p(x), r(x)Hn 设
n1
b a
( x ) p( x )dx ( x)n1 ( x)q( x)dx ( x)r( x)dx
定理
若节点 xk , k 0,1, , n 是高斯点，则以这些点为根
n
的多项式 ( x) ( x xk ) 是最高次幂系数为 1 的的勒让德多项
k 0
式，即
(n 1)! d n 1 ( x 2 1) n 1 L n 1 (2n 2)! dx n 1
计算方法
第六章 数值积分与数值微分
—— Gauss 求积公式
1
本讲内容
Gauss 求积公式
一般理论: 公式, 余项, 收敛性, 稳定性
Gauss-Legendre 求积公式
Gauss-Chebyshev 求积公式
无限区间的 Gauss 求积公式
2
Gauss 型求积公式
考虑求积公式
0.4674
20
1 1
f ( x ) dx Ai f ( xi )
i 0
9
n
简单 G-L 公式
n =0 时, Pn1 ( x) x G-L 求积公式:
1 1
Gauss 点: x0 0
将 f (x)＝1 代入求出 A0
f ( x ) dx 2 f (0)
1 2
n =1 时, Pn1 ( x ) (3 x 2 1) Gauss 点: x0 3 , x1 3
i 0
n
要证 xi 为 Gauss 点，即公式对 p(x) H2n+1精确成立 “ p( x) ( x)q( x) r( x) ” p(x), r(x)Hn 设
n1
b a
( x ) p( x )dx ( x)n1 ( x)q( x)dx ( x)r( x)dx
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x xj xi xj
ji
高斯求积公式具有较高的代数精度((2n+1)阶）, 并且是数值稳定的.
三、几种常见的高斯求积公式
1.高斯-勒让德求积公式
取( x) 1,积分区间为[1,1]上的高斯求积公式
称为高斯－勒让德公式。
1
f ( x)dx
1
n
i f ( xi )
i0
xi 勒让德多项式的零点
式 Ln( x)，
由插值原理，可用插值多项式Ln( x)作为 f ( x)的近似，由于多项式求导较为简单，
f (k ) ( x) L(nk ) ( x) (k 1,2, , n) 这 样 建 立 的 数 值 微 分 公式 称 为 插 值 型 数 值 微分公式。
应当指出，即使 f (x) 与 Ln( x)处处相差不多， f ( x) 与 Ln ( x) 在某些点仍然可能出入很大.
f
( x0 )
+
1
f
( x1 )
令f ( x) 1, x, x 2 , x 3 使上式成立，得非线性方程组
0＋1＝2
0
x0
+ 1 x1
0
0
x
2 0
0
x03
+ 1 x12 + 1 x13
2
3 0
0 1
1 1
x0
3 3
x1
3 3
由此得两点公式
1
f ( x)dx f (
3)+ f(
以高斯点 xk (k 0,1, , n)为零点的 n+1次多项式，
pn+1( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
称为勒让德(Legendre)多项式。
余项
R(
f
)
22n+3 ((n + 1) !)4 ((2n + 2) !)3 (2n +
3)
f (2n+2) ( ),
(0 1)
3)中心差商数值微分公式(中点公式）
f ( x0 )
f ( x0 + h) f ( x0 h) 2h
余项：h2 6
f ( x0 + h)
(1 1)
从余项看,步长 h 越小计算结果越准确,
从舍入误差看,步长 h 越小,两接近数直接相
减会造成有效数字的严重损失.
如何选择合适的步长呢?
选择合适的步长通常采用事后误差估计方法.
h
G(h)
,G( ) 2
分别为步长取
h, h 2
时的差商
微分公式,对给定的精度 ,
若 G(h) G( h )
2 h
合适的步长就是 .
2
例1 （P182 例6.19）
二、插值型数值微分
设已知 f x 在节点 xk (k 0,1,L , n)
的函数值，利用所给定数据作 n 次插值多项
二、高斯求积公式
1.高斯点的特点 【定理5】
对于插值型求积公式，其节点是高斯节点
n
n+1( x) ( x x j )与任意次数不超过n
j0
的多项式p( x)都带权正交，即：
b
(n+1, p) a ( x)n+1( x) p( x)dx 0
2. 高斯求积公式的余项
如果f ( x)的(2n + 2)阶导数在[a, b]上连续，则 高斯求积公式的余项
一般的，我们只用它求取某个节点 xk 上
的导数值，这时我们才有某种意义下比较准确的 余项公式来保证导数值的精度.
带余项的插值型数值微分公式为
f ( xi ) Ln ( xi ) +
f (n+1) ( )
(n + 1)!
n +1
(
x
i
)
i 0,1, ,n
三点微分公式：
f
( x0 )
1 [ 2h
例如,若在区间[-1,1]上, p(x)=1
(1)建立一点积分公式
1 1
f
(
x)dx
0
f
(
x0
)
令f ( x) 1, x使上式成立，得非线性方程组
0 x0＝0 20
x00
2 0
代数精度为1 阶
由此得 1 1
f
( x)dx
2
f
(0)
——中矩形公式
(2)建立两点积分公式
1 1
f
( x)dx
0
f
( x2 ) +
4
f
( x1 )
3
f
( x0 )]
f ( x1 )
1[ 2h
f ( x2 )
f ( x0 )]
f ( x2 )
1 2h [3 f ( x2 ) 4 f ( x1 ) +
f ( x0 )]
例2 （P 185 例6.21）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 作业
P 196 10 13 16
如果精度要求不高，可以用差商作为导数的近 似值从而获得一种简单的数值微分方法．
如果所用的差商分别为向前、向后以及中心 差商，就可分别建立如下的三种数值微分法
1)向 前 差 商 数 值 微 分 公 式
f ( x0 )
f ( x0 + h) h
f ( x0 )
由泰勒展开式
f ( x0 + h)
f ( x0 ) + hf ( x0 ) +
h2 2!
f ( x0 + h)
余项：
h 2
f ( x0
+ h)
(0 1)
2)向后差商数值微分公式
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
由泰勒展开式
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf ( x0 ) +
h2 2!
f ( x0 h)
余项：h 2
f
( x0
h)
§6.4 高斯求积公式
一、高斯求积的基本思想
可否放弃等距节点的限制，构造出稳定性好、 精确度高且又收敛的求积公式．
对 于 数 值 求 积 公 式b ( x) f ( x)dx a
n
i f ( xi )
i0
可 以 利 用 代 数 精 度 尽 量高 的 方 法 确 定 出i , xi，
但 此 时 需 求 解 一 个 非 线性 方 程 组 。
3)
1
3
3
插值型求积公式，代数精度为3 阶
一 般 情 形 ， 令f ( x) 1, x, , x 可 2n+1 得 非 线 性 方 程 组
n
i xij
i0
0, j 1,3, ,2n + 1 2 , j 0,2,4, ,2n j+1
这 个 方 程 组 求 解 比 较 困难 。
问题 有没有其他的途径来建立稳定性好、精确 度高且又收敛的求积公式?
0
2.高斯-切比雪夫求积公式
取 ( x) 1 ,积 分 区 间 为[1,1]上 的 高 斯
1 x2 求 积 公 式 称 为 高 斯 － 切比 雪 夫 公 式 。
1 1
1 1
x2
f ( x)dx
n
i f ( xi )
i0
xi
cos 2i + 1
2(n + 1)
是切比雪夫多项式
Tn+1( x) cos[(n + 1)arccos x] 零点,
b
n
R( f ) ( x) f ( x)dx a
i f ( xi )
i0
f (2n+2) ( )
(2n + 2)!
b a
(
x
)n2+1
(
x
)dx
3.高斯求积公式的稳定性
【定理6】
高斯求积公式的求积系 数 i 都是正的，则是稳定的 ，
且有
i
b
a
(
x
)li2
(
x
)dx
其中
li(x)
n j0
f (2n+2) ( ),
(0,+)
(2n + 2) !
P175 表6-7列出了 n:1-5 时高斯-拉盖尔 求积公式的求积节点和系数.
例3 用n=3时的高斯-拉盖尔求积公式计算
+ e10x cos x并dx估计误差. 0
4.高斯-埃尔米特求积公式
取 ( x) ex2 ,积分区间为(,+)上的高斯
【定理4】 带权( x)的插值型求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
a
i f ( xi )
i0
的 代数 精度 最 高不 超 过(2n + 1)阶 。
【定义】
如果插值型求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
a
i f ( xi )
i0
具 有(2n + 1)阶代 数精度 ，则
称 其 节 点xi为 高 斯 节 点 ， 相 应 的求 积公式 称为高 斯型求积 公式。
i
n+
. 1
余项
R(
f
)
22n+1(2n + 2) !
f
(2n+2) ( ),
(1,1)
3.高斯-拉盖尔求积公式
取( x) ex ,积分区间为[0,+)上的高斯
求积公式称为高斯－拉盖尔公式。
即
+ e x f ( x)dx
0
n
i f ( xi )