构造单位圆 巧解三角题

巧构单位圆 妙解三角题
单位圆就是以原点为圆心，1为半径的圆，其方程为122=+y x .在解三角函数问题时，如果能够抓住题目的结构特征，充分挖掘隐含条件，寻找条件和结论与单位圆的关系，进行合理的构造，创设单位圆的解题意境，常常能为某些三角函数问题的解决，开辟许多巧解妙证.下面就用单位圆求解若干三角函数问题做些探讨.
1. 求值
例1、求
︒-︒︒
-︒40cos 20cos 50cos 20sin 的值.
解:原式=︒
-︒︒
-︒40cos 20cos 40sin 20sin ,考虑点A )40sin ,40(cos ︒︒与点
B )20sin ,20(cos ︒︒,则所求的值即是直线AB 的斜率,又因点A 、B 在圆12
2
=+y x 上，如图1，可得原式=3120tan -=︒.
例2、已知),,0(,5
1
cos sin πθθθ∈=+求θtan 的值. 解：设),,0(,sin ,cos πθθθ∈==y x 则)10(1,5
12
2≤<=+=+y y x y x .
∵直线51=+y x 与单位圆)10(12
2≤<=+y y x 的交点是)54,53(-，∴3
4t a
n -==x y θ. 点评：
2 求角
例3、已知)2
,
0(π
βα∈、且,2
3
)cos(cos cos =
+-+βαβα求βα、. 解：由23)cos(cos cos =
+-+βαβα展开得，02
3
cos cos )cos 1(sin sin =-+-+αβαβα， 设)1,0(,,sin ,cos ∈==y x y x ββ，则点)sin ,(cos ββ在直线
02
3cos )cos 1(sin =-
+⋅-+⋅αααx y 上，又在圆12
2=+y x 上，即直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于1，即,1sin )cos 1(|23cos |2
2≤+--
α
αα化简得 ,0)21(cos 2≤-α∴,021cos =-α∴3πα=，同理得3
π
β=.
3 求范围
例4、设βα,为任意实数，且满足条件：,1sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围.
图1
解：如图2所示，点)sin ,(cos ),sin ,(cos ββααN M 都在单位
圆12
2=+y x 上，令,cos cos k =+βα弦MN 的中点为Q ，则
Q 点的坐标为),2sin sin ,2cos cos (
βαβα++即)2
1
,2(k Q ，∵OQ ⊥MN ，OQ 为弦MN 的弦心距，∴|OQ|≤1，即
,1)2
1
()2(22≤+k 解得,33≤≤-k ∴βαcos cos +的取值范围是]3,3[-.
4 证明等式
例5、已知：,1sin sin cos cos 2
424=+β
α
βα求证：1sin sin cos cos 2424=+αβαβ. 本题是一道三角名题，其证法颇多，且各具特色。

但如果认真分析题设和和结论的结构特征，
联想构造单位圆，则有能得到下面别具一格的证法.
证明：设A ),sin ,(cos ),sin sin ,cos cos (22βββ
α
βαB 则A 、B 两点均在单位圆122=+y x 上.过B
作圆的切线,1sin cos =⋅+⋅y x ββ将点A 代入切线方程，知A 点坐标满足方程，∴A 、B
两点重合， ∴,sin sin sin ,cos cos cos 22ββ
α
ββα==即,sin sin ,cos cos 2222βαβα==
∴1sin cos sin sin cos cos 222
424=+=+ααα
β
αβ. 5 证明不等式
例6、设γβα,,为任意实数，且满足.cos cos cos ,sin sin sin q p =++=++γβαγβα 求证：2
9≤
pq . 证明：设点)s i n ,(c o s ),sin ,(cos ),sin ,(cos γγ
ββααP N M ，
则M 、N 、P 都在单位圆12
2
=+y x 上，如图3，设弦MN 的中点为Q ，则Q ),2sin sin ,2cos cos (
βαβα++即)2
sin ,2cos (γ
γ--p q ，
∵OQ ⊥MN ，∴OQ 为弦MN 的弦心距，由|OQ|≤1，得
图2
图3
,1)2sin ()2cos (2
2≤-+-γγp q 即23sin cos 22-+≥
+q p p q γγ ① 同理可得2
3
sin cos 22-+≥+q p p q αα ②
23
sin cos 22-+≥+q p p q ββ ③ 把①②③相加，得
29
33)sin sin (sin )cos cos (cos 22-+≥+++++q p p q γβαγβα，
即2
9
33222
2
-+≥+q p q p ，∴,922≤+q p ∴29≤pq .。