非连续弱紧增算子的不动点及其对Banach空间初值问题的应用
Banach空间中渐近非扩张映射的强收敛定理
Banach空间中渐近非扩张映射的强收敛定理不动点理论是泛函分析的一个重要的研究分支,它在微分方程、积分方程、数值分析、对策论、控制论以及最优化等学科中有广泛而深入的应用.不动点理论的研究起源于Banach,Banach给出了第一个不动点定理,即Banach压缩映射原理.Browder利用Banach压缩映射原理在Hilbert空间中证明了非扩张映射的不动点存在性定理.Browder定理被Reich推广至一致光滑的Banach空间中.Kirk 在具有一致正规结构的Banach空间中证明了非扩张映射的不动点存在性定理.Goebel和Kirk首先提出渐近非扩张映射,并证明了一致凸Banach空间中非空有界闭凸子集上的每个渐近非扩张映射都有不动点.Kim和Xu将该结果推广至空间具有一致正规结构的情形.2002年,Li和Sims证明了在具有一致正规结构的Banach空间中渐近非扩张型映射在适当条件下具有不动点:设E是一个具有一致正规结构的Banach空间, C是E的一个非空有界子集, T :C→C是渐近非扩张型映射且T在C上连续,若C存在非空闭凸子集K具有性质: ( )z∈K ?ωwz ? K,则T在K中具有不动点.在这些定理证明中,都是利用压缩映射的不动点直接逼近或迭代逼近非扩张映射的不动点.1998年,Shioji和Takahashi给出了Hilbert 空间中非扩张半群的隐式粘性平均迭代序列的强收敛定理.Shimizu和Takahashi在Hilbert空间中证明了非扩张半群的显式粘性平均迭代序列是强收敛的.2007年,Chen和Song研究了具有一致Gateaux可微范数的一致凸Banach 空间中的非扩张半群的隐式粘性平均迭代和显式粘性平均迭代的收敛性问题.本文主要利用Li和Sims的不动点存在性定理,研究了在具有一致Gateaux可微范数与一致正规结构的Banach空间中,渐近非扩张映射及渐近非扩张半群的粘性隐式迭代序列{ }z n和粘性显式迭代序列{ }xn的收敛性问题.在第二章中,本文研究了在具有一致Gateaux可微范数与一致正规结构的Banach空间中,由下式定义的粘性迭代序列{ }z n和{ }xn :其中f∈ΠK, K是E的非空闭凸子集, T :K →K是渐近非扩张映射且F (T )≠? ,都收敛于T的不动点p ,且p是变分不等式0的唯一解.在第三章中,本文研究了在具有一致Gateaux可微范数与一致正规结构的Banach空间中,由下式定义的粘性迭代序列{ }z n和{ }xn :其中f∈ΠK, K是E的非空闭凸子集, ?= {T (t ), t≥0}是K上渐近非扩张半群且证明了{ }z n和{ }xn都强收敛于?的公共不动点p ,且p是变分不等式本文的主要结果推广和改进了文[9,10]中的结果.。
banach空间习题答案
banach空间习题答案Banach空间习题答案Banach空间是数学中的一个重要概念，它是一种完备的赋范线性空间。
在学习Banach空间的过程中，习题是不可或缺的一部分。
在这篇文章中，我将为大家提供一些Banach空间习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题：证明每个有限维赋范空间都是Banach空间。
答案：设X是一个有限维赋范空间，我们需要证明X是一个完备空间。
首先，我们知道有限维空间中的任意Cauchy序列都是收敛的。
因此，对于X中的任意一个Cauchy序列，我们可以找到一个有限维子空间Y，使得这个Cauchy序列也是Y中的Cauchy序列。
由于Y是有限维的，所以Y是一个完备空间。
根据完备空间的性质，Y中的Cauchy序列收敛于Y中的某个点。
由于X是Y的子空间，所以这个点也属于X。
因此，X中的任意Cauchy序列都收敛于X中的某个点，即X是一个完备空间，即是一个Banach空间。
2. 习题：证明L^p空间（1 ≤ p ≤ ∞）是一个Banach空间。
答案：首先，我们知道L^p空间是由满足一定条件的可测函数构成的空间。
我们需要证明L^p空间中的任意Cauchy序列都收敛于L^p空间中的某个函数。
假设{f_n}是一个L^p空间中的Cauchy序列，即对于任意的ε > 0，存在一个正整数N，使得当n, m > N时，有||f_n - f_m||_p < ε。
由于L^p空间中的函数是可测函数，我们可以找到一个可测集E，使得E的测度有限，并且对于任意的x ∈ E，有|f_n(x) - f_m(x)| ≤ ||f_n - f_m||_p。
由于{f_n}是一个Cauchy序列，所以对于任意的x ∈ E，存在一个函数f(x)，使得f_n(x)收敛于f(x)。
我们可以定义一个新的函数f，使得对于任意的x ∈ E，f(x) = limf_n(x)。
由于Cauchy序列的极限是唯一的，所以这个函数f是良定义的。
第5讲 巴拿赫不动点定理
An x∗ = x∗
下面证明
x∗
的唯一性．设存在
x∗ 1
∈X
且
x∗ 1
=
A(
x∗ 1
)
，得
A2
x∗ 1
=
x∗ 1
，A3
x∗ 1
=
x∗ 1
，…，An
x∗ 1
=
x∗ 1
，
那么
d
(
x∗
,
x∗ 1
)
=
d ( Ax∗ , Ax1∗ )
=…
=
d
(
An
x∗
,
An
x∗ 1
)
≤
α
d
(
x∗ 1
,
x
∗
)
于是
(1
−
α
)d
(
4
44
f ' (x) < 3 < 1 4
于是得 f (x) 是 (0.5,1) 上的压缩映射，取 x0 = 0.75 ，由迭代 xn+1 = f (xn ) 可得 x1 = 0.7521 ， x2 = 0.7533 ， x3 = 0.7540 ， x4 = 0.7544 ，
x5 = 0.7546 ， x6 = 0.7547 ， x7 = 0.7548 ， x8 = 0.7548 ，…．
d (xn
,
xn−1 )
=
d
( Axn−1,
Axn−2
)
≤
α
d (xn−1,
xn − 2
)
≤
α
c n−1 0
．
因此对于正整数 k 有
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西安电子科技大学理学院 杨有龙
banach 不动点定理
banach 不动点定理
Banach不动点定理是数学中的一个重要定理，它是函数分析学中的基本定理之一。
该定理的核心思想是，对于某些特定的函数，它们总是存在一个不动点，即一个点在函数作用下不发生变化。
这个定理在实际应用中有着广泛的应用，例如在微积分、物理学、经济学等领域中都有着重要的应用。
Banach不动点定理的证明过程比较复杂，但其基本思想是通过构造一个逐步逼近的过程，使得函数序列趋近于一个不动点。
具体来说，假设有一个函数f(x)，我们可以通过不断迭代f(x)来逼近其不动点。
具体来说，我们可以从一个任意的起始点x0开始，然后通过不断迭代f(x)来得到一个序列{x0, f(x0), f(f(x0)), ...}。
如果这个序列收敛于一个极限值x*，那么x*就是f(x)的一个不动点。
Banach不动点定理的重要性在于它为我们提供了一种通用的方法来证明某些函数存在不动点。
这个定理的应用非常广泛，例如在微积分中，我们可以通过Banach不动点定理来证明某些微分方程存在解；在物理学中，我们可以通过该定理来证明某些物理模型存在稳定的平衡点；在经济学中，我们可以通过该定理来证明某些经济模型存在稳定的均衡点。
Banach不动点定理是数学中的一个重要定理，它为我们提供了一种通用的方法来证明某些函数存在不动点。
该定理的应用非常广泛，它在微积分、物理学、经济学等领域中都有着重要的应用。
因此，
深入理解和掌握该定理对于我们的学术研究和实际应用都有着重要的意义。
非连续增算子的若干新不动点定理
ｌ ０ 一 （ Ｉ （ Ｉｄ） ｆ ） “ １Ｉ ｔ Ｉ ｔ ） ｕ
集 ， Ｍ 上 的范数拓扑 与弱拓 扑等 价 ． 则
６［尺 （＞口 ． Ｐ≥ｌ 令 ， Ｅ］ “ｒ ： 二 占 ）对 ， ［ ， 一｛ （）Ｉ
一ｊ 可 且 ） ＜ ｏ（于可 Ｅ 强 测 』 ｉ 。关 强 “ Ｉ ｌ Ｉ ）
测 函数的讨论 ｒ Ｅ ，］ ， ｅ ８９ ）则 ［ ， ］在 范数 ， ，Ｅ
空间 上检 验 任何 紧性 条 件 （ 众所 周 知 ， 种 检 验很 这
复杂 ， 但这 是 使用 许多 结 论 （ 例如 文 ［ ～５ 都 要必 ２ ］
须 做 的 工 作 ） 而 仅 需 要 在 Ｅ 中检 验 一 种 很 弱 的 紧 ，
一 ， 一 ） 含着 ｚ Ｙ 其 中本文恒 用 三 表示 弱 蕴 ≤ ，
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信 阳 师 范学 院学 报 （ 自然 科 学 版 ） 第 ｌ卷 ５
・
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＸｉｙ ｎ ａｈ ｒ ｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｎ ａ ｇＴｅ ｃ ｅ ｓＣ ｌ ｅ ｏ ｅ （ ｔ ｒ１． ａｎ ｅＥｄｔｏ Ｖｏ ． ５Ｎｏ ２Ａｐ ． ０ ２ Ｎａｕ ａ Ｓ ｅ ｃ ｉ可参 见 文［０． Ｊ ）关 （ １］
为证 明本 文结果 ， 需要 给 出以下引理 ： 还 引 理 １１ ＿ 设 Ｅ是 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间 ， 是 Ｅ 中 的 Ｐ ｙ 或 者 （ 锥 ， ， ∈ Ｅ， 且 ≤ ， 工 工， 则
论时， 我们 不 需要 在诸 如 ｃＵ ， ］ ［， 之类 的 Ｅ ， ，明
Banach空间中的弱收敛性及应用
⟨z0 , f0 ⟩ = ⟨f0 , x⟩
∗ (∀f0 ∈ X0 ).
(2.1)
∗ 。因为 今对∀f ∈ X ∗ ，考查f 在X0 上的限制T f = f0 ∈ X0
∥f0 ∥ ≤ ∥f ∥,
∗ )。于是z 所以T ∈ B(X ∗ , X0
T ∗ z0 ∈ X ∗∗ ，又X 自反，因此∃x ∈ X ，使得 ⟨z, f ⟩ = ⟨f, x⟩ (∀f ∈ X ∗ ). (2.2)
n→∞
记作
w∗ − lim fn = f.
n→∞
这时f 称作泛函序列{fn }的∗弱 极限。
引进弱收敛及∗弱收敛的目的之一是可以从有界性导出某种紧性。 定 义 1.3 称集A是 弱 列 紧 的 ，是指A中的任意点列有一个弱收敛子列。称集A是*弱 列 紧 的 ，是指A中的任意点列有一个∗弱收敛子列。
2
定理 2.2 (Banach) 设X 是B ∗ 空间。若X 的共轭空间X ∗ 是可分的，则X 本身必是可分的。
∗ ∗ 是可分的。事实上, 证 明 . (1)考察X ∗ 的单位球面S1 {f ∈ X ∗ |∥f ∥ = 1}。我们指出: S1 ∗ ∞ ∗ ∗ 由X 可分，∃fn ⊂ X 使得, ∀f ∈ S1 , ∃{nk }k=1 ，使得 k→∞
今证此x ∈ X0 。倘若不然，由Hahn-Banach定理推论，∃f ∈ X ∗ ，使得 f (X0 ) = 0, ⟨f, x⟩ = 1; 2
从而T f = 0。但这导出矛盾： 0 = ⟨z0 , T f ⟩ = ⟨T ∗ z0 , f ⟩ = ⟨z, f ⟩ = ⟨f, x⟩ = 1.
∗， 这就证明了∃x ∈ X0 ，使得(2.2)式成立。现在要证此x还适合(2.1)式，事实上，∀f0 ∈ X0 ∗ 由Hahn-Banach定理，存在f ∈ X ，使得f0 = T f 。从而我们有
lefschetz不动点定理
Lefschetz 不动点定理是代数拓扑中的一个重要结果，由所罗门·莱夫谢茨（Solomon Lefschetz）提出。
这个定理提供了一种计算连续映射在紧致空间上不动点数量的拓扑
方法。
不动点是指那些在映射下保持不变的点，即对于映射 \( f: X \to X \)，不动点 \( x \) 满足\( f(x) = x \)。
Lefschetz 不动点定理的一般形式可以表述如下：
设 \(X\) 是一个紧致的三角化空间（也就是说，\(X\) 可以被分解成有限个彼此相接的三角形），且 \(f: X \to X\) 是一个连续映射。
定义Lefschetz数 \(L(f)\) 为：
\[ L(f) = \sum_{i=0}^n (-1)^i \text{trace}(f_{*i}) \]
其中 \(f_{*i}\) 是 \(f\) 在 \(X\) 的第 \(i\) 个奇异同调群 \(H_i(X)\) 上的诱导映射，
\(\text{trace}(f_{*i})\) 是 \(f_{*i}\) 矩阵的迹。
Lefschetz 不动点定理断言，如果 \(L(f) \neq 0\)，那么映射 \(f\) 必有不动点。
更准确地说，\(L(f)\) 给出了 \(f\) 的不动点指标之和，这个和可能包含了正负指标的不动点，因
此 \(L(f)\) 不一定等于不动点的实际数量，但它告诉我们至少存在一个不动点。
这个定理在数学的许多领域都有应用，比如动力系统、代数几何和复杂系统的研究等。
它将拓扑性质（如同调群和它们的迹）与几何性质（如不动点）联系起来，体现了拓
扑学在解决几何问题中的强大能力。
非连续增算子的不动点定理及其应用
、 ｂｌ ２ ６ ＮＯ． １ ． Ｊ ａ ｎ ． ２ Ｏｌ ３
宁 波 大 学 学 报 （理 工 版 ）
Ｊ ＯＵ Ｒ ＮＡ Ｌ ＯＦ Ｎ ￣ ＧＢ Ｏ Ｕ ＮＩ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ（ ＮＳ Ｅ Ｅ）
首 届 中 国高校 优 秀科技 期 刊奖 浙 江省 优 秀科技 期 刊一 等奖
。
令 ： ∑ Ｃ ｆ ． 任意埏Ａ ｒ ， 有Ｂ ∈ （ ～ ） ， 由
（ １ ） 式知 ， ≤Ｓ ． 因 是增 算 子， 且ｘ ￣Ａ ＜ ｘ ，故 ≤
ｘ ＝ ∑ ， ｘ ∑ Ｃ ｓ — ￣ ＜ ｘ 一 ， 即 是Ⅳ的 一 个上界．
再 证 ∈Ｍ ．因 任 意 ∈ Ｍ， ≤ ，由 于 ， 是 增 算 子 ，故 ≤Ｂ ｉ Ｘ． 而Ｓ ∈ｃ ｏ （ Ｂ ｇ （ Ｎ） ） ，由 引理 １
与 增算子Ｇ： Ｄ， 使得Ａ ： ∑ Ｇ ， 若
收稿 日期 ：２ ０ １ ２ — ０ １ — １ ０ ． 宁波 大学 学报 （ 理 工 版 ）网址 ： ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｎ ｂ ｄ ｘ ｌ ｇ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｏ ｐ ｅ ｎ ｃ ｏ ｌ ｎ ／ 第一 作者 ：李冰 冰 （ １ ９ ８ ３一 ） ，女 ， ｉ Ｚ￣ ｔ ｈ ） ． ， 硕 士／ 削币 ， 主 要研 究方 向 ：非线性 泛 函分 析 ． Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｑ ｉ ｗｕｆ ｅ ｉ ｙ ａ ｎ ｇ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ＇ ｍ
（ ｉ ）ｊ “ ０ ∈Ｄ ， 使“ ０ ≤Ａｕ ０ ．
增算 子的不动点定理 在数 学的许多领域 ， 特 别是在非线性微 分方程 和积分方程 中有着广泛的 应用【 １ 。 ］ ． 而 非连 续 增 算 子 不 动 点 定理 在 含 间 断 项 的非线性积 一 微分方程 中有着极为广泛 的应用Ｉ ４ 】 ． 在 已有 的文 献 中， 对 含问断项脉 冲积 一微分方程
不连续随机算子随机不动点定理及其应用
２ 预 备 知 识 和 引理
本文 假设 （ ∑， 为一 完备 的概率 测度 空 间， （ Ｉ １ 为可分 Ｂａ ａｈ空 间 （ Ｐ ｌｈ Ｑ， ） Ｅ， ． ） Ｉ１ ｎｃ 即 ｏｉ ｓ
空 间） ， 为 可测 空间 ，其 中 为 的一切 Ｂ ｒｌ ， ） （ ｏｅ子集 的 一 数． 代 称映象 ：２ Ｅ 为 Ｅ 一 强 ∑一 【一 值 可测 （ Ｅ 一 强 随机变 量）若对 Ｅ 中任 意 闭集 Ｓ 或 值 ， ， 集合 ｛ ｌｘ￣ Ｅ ｝∈∑； 映象 Ｘ： ∈ｆ （） Ｉ 称 Ｑ— Ｅ 为 一 弱 ∑一 值 可测 （ Ｅ ． 或 值弱 随机 变量 ） ， 若对 Ｅ 中任意 开集 Ｂ， 合 ｆ Ｅｆｌ（）∈Ｂ 集 ｘ￣ ｌ ∈∑． Ｐ ｌｈ空 间，强 ∑一 在 ｏｉ ｓ 可测 与 弱 ∑一 可 测等价 （ 文献 ［） 本文 将强 ∑一 见 ２． ］ 可测 和弱 ∑ 一 可测都 简称 为可 测 ，不再 加 以 区分 ． 算子 Ａ： Ｑ×Ｅ — Ｅ 称为 随机算 子 ，若对 任意 的 ＥＥ， ｃ ） Ｅ 一 随机变 量 ，即 Ａ（， 为 ｏ 值 对 Ｅ 中任意 闭集 Ｓ 集合 ｛ ∈ａｌ ｗ ） ）Ｅ∑． ， Ａ（， ∈ｓ 特别 地 ，若 算子 （ ： — Ｅ对 任意 的 ） Ｅ ｚ∈Ｅ， ｗ ｘ为 Ｅ 一 Ａ（） 值随 机变 量，则 （ 为 一随 机算 子． ） 假设 Ａ（） Ｅ — Ｅ 为 随机算 子 ，若 存在 Ｅ 一 随机变 量 ）使得 Ａ（）（） ） ｗ ： 值 ， ｗ ｘｃ ＝ ｏ ， Ｖ ∈Ｑ 则称 ） ， 为算 子 Ａ（） 随机不 动点 ． ａ 的 Ｊ 设 Ｐ 为 Ｅ 中的锥 ，由锥 Ｐ 导 出 Ｅ 中的半 序如 下： ＶＸ Ｙ∈Ｅ， —Ｙ∈Ｐ 甘 Ｙ Ｘ 若存 ， ． 在常数 Ｎ ＞０ 使得 ０ Ｙ ｆ ｌ ＮＩｌＶ ， Ｉｆ ｘ ｌｌ Ｙ∈Ｅ 则称锥 Ｐ为正规的． Ｅ＝Ｐ—Ｐ ｙ， Ｘ ， 若 ， 即对 Ｅ 中任何 元素 Ｘ均 可表 示成 ＝Ｙ—ｚ的形 式 ，其 中 ＹＸ∈Ｐ， 称锥 Ｐ 为再 生的 ．若 ， 则 锥 尸 有 内点 ，则称 其为体 锥 ． 引理 １１］ 若 Ｐ 为一体锥 ，则 Ｐ是 再生 的 ． 【 ７ 引理 ２１ 锥 Ｐ是 再生 的当且仅 当存在 常数 丁＞０ 使 任何 ＸＥＥ 均可表 示成 ＝ Ｙ ， 【］ ７ ， — 其中 Ｙ ∈Ｐ 且 Ｉｌ ＴｌｌＩｌ ｄｌｌ ， ｌｌ ｌ ＩＩｌ ｙ ｘ ，ｚ ｘＩ ． 引理 ３２ 】 设 为 可分完 备度 量 空间，随机 映象 ： ×Ｘ — Ｘ， ［７ ， Ｑ 若存 在 非负 实值 随 机变 量 七 ）＜１ 使 得 ｄ （ ）Ａ（ ） ， （ ， ， ｕ， ） 离 ，则 存在 唯一 随机 不动 点． （ ｄ ）Ｖ Ｙ∈ ， 中 ｄ．） ）（， ， ， 其 （ ・为 中的距 ，
hahn-banach.定理
Hahn-Banach 定理是泛函分析领域中一个非常重要且深刻的定理，它是由德国数学家 Hans Hahn 和 Stefan Banach 在20世纪初提出，并在后来的发展中得到完善和推广。
该定理主要用于研究泛函空间中的超平面和支撑超平面的性质，为泛函分析中的许多基本问题提供了重要的工具和方法。
在介绍 Hahn-Banach 定理之前，首先需要了解一些基本概念。
泛函分析是数学中的一个分支，它研究的是无限维空间中的向量和函数的性质，是实分析和线性代数的结合。
在泛函分析中，一个重要的概念就是泛函空间，它是一个线性空间，其元素是函数或者算子，通常被定义在某个定义域上。
而超平面和支撑超平面则是泛函空间中的重要概念，它们在研究空间分离性、可分性、极值性等方面起着关键作用。
接下来，我们将介绍 Hahn-Banach 定理的内容和证明过程：1. 定理内容Hahn-Banach 定理主要讨论的是泛函空间中的超平面和支撑超平面的性质。
具体来说，设 X 是实或复线性空间，p 是 X 上的一个次线性泛函，M 是 X 的子空间且 f 是 M 上的线性泛函，如果 f 的模不超过 p的模，即|f(x)| ≤ p(x) 对所有x ∈ M 成立，那么可以把 f 扩张到 X 上的一个泛函 F，使得 F 的模不超过 p 的模。
即存在 F 属于 X*（X 的对偶空间）且 F 的模不超过 p 的模，使得 F 对于 M 上的元素和 f 完全相同。
2. 定理证明Hahn-Banach 定理的证明是基于 Zorn 引理和 Zorn 引理的等价形式。
Zorn 引理是集合论中一个非常重要的命题，它断言每个非空的偏序集合中的每个链都有上界，则这个偏序集合中存在极大元素。
利用 Zorn 引理，我们可以证明存在一个线性泛函 F，满足 F 属于 X*，并且 F 的模不超过 p 的模。
证明思路主要是利用 Zorn 引理构造出泛函 F 的集合，然后证明这个集合中存在一个最大的泛函 F。
Banach空间上若干几何常数的计算与应用
Banach空间上若干几何常数的计算与应用Banach空间几何理论与近代数学的许多分支有着紧密的联系,如:不动点理论、控制论、逼近论、鞅理论和调和分析等,是一个活跃而广阔的研究领域.特别是Kirk证明了具有正规结构的Banach空间具有不动点性质以来,利用Banach 空间几何性质研究单值、集值非扩张类映射的不动点性质得到了快速的发展.然而由于Banach空间本身的抽象性,要想完整直观的描述清楚其几何结构是相当困难的,这就大大限制了上述理论的应用范围.近些年来,学者们根据一些经典的几何性质引入了大量的几何常数,通过几何常数的关系和取值给出抽象几何结构的描述,实现了几何性质从定性描述到定量计算的转换.所以Banach空间几何常数的研究,对于Banach空间几何理论来说有着重要的理论意义和实用价值.本文正是在上述思想的基础上,研究了Banach空间上若干几何常数在一些具体空间上的取值,及其在非扩张映射不动点理论中的应用.首先,我们利用Banas型模给出了空间蕴含一致正规结构的一些充分条件.然后利用James型常数,Benavides 常数,弱正交常数之间的关系式对弱收敛序列系数的下界进行了估计,得到了空间具有正规结构的几个充分条件.同时,我们还引入一个带参数的Jordanvon-Neumann型常数,并对它的几何性质进行了详细研究,通过它与一些几何常数之间的关系,也得到了空间具有正规结构的一些充分条件,从而推出了Banach 空间上的单值非扩张映射存在不动点.而且通过计算上述几何常数在某些具体空间上的取值,说明了我们得到的结果严格的推广了以前的相关结论.其次,我们又利用James型常数,Jordan von-Neumann型常数,带参数的James常数,带参数的Jordan von-Neumann型常数与一些几何常数之间的关系,得到了空间蕴含(DL)条件的一些充分条件,从而推导出了Banach空间上的集值非扩张映射存在不动点,同时还给出了一些例子和几何常数的取值说明了我们给出的条件是严格的.最后,鉴于几何常数取值在不动点理论中的重要性,我们在绝对正规范数的Banach空间上给出了一些几何常数的计算公式,计算了一些几何常数在经典Banach空间上的取值,这些例子为Banach空间理论的应用准备了巨大丰富的模型库.。
banach 不动点定理
banach 不动点定理
Banach不动点定理，又称作Banach定理或压缩映射原理，是数学中的一个基本定理。
它是函数分析的一个重要结果，被广泛运用于微积分学、微分方程、拓扑学、控制理论、经济学等多个领域。
该定理的主要内容是：对于一个完备的度量空间，如果它内部有一个压缩映射，那么这个度量空间就一定存在一个唯一的不动点，即被这个映射映射到自身的点。
这个定理的证明过程中，需要运用到完备度量空间的一些基本性质，如完备性、连续性、紧性等等。
而这个定理的应用范围也非常广泛，例如可以用来证明微分方程的解的存在唯一性，进而推导出一些物理学和工程学中的实际问题。
Banach 不动点定理的发现者是波兰数学家Stefan Banach，它的证明过程也一度被认为是数学史上的一大成就。
至今，这个定理在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
- 1 -。
非线性算子的正不动点及多项式零点的分布
(H4)算子A=BF是全连续算子.则A存在正不动点.定理3.2.2设E是实Banach空间,P是E中的正规锥,A∶P→P是-α凹的全连续算子(α>0),且
sup{||Ax‖∶||x|=1}<∞,inf{||Ax‖∶||x=1}>0则A在P中至少有一个正不动点.
全文分四章。在第一章中,主要介绍了半序Banaeh空间非线性算子的研究历史背景、现状以及半序Banach空间中的预备知识;在第二章中,利用半序方法研究了Banach乘积空间中严格集压缩减算子不动点存在唯一性问题,在弱连续的条件下,得到了不动点的存在唯一性和迭代收敛性,同时,给出了它们的一些应用;在第三章中,建立了拟弱连续减算子的正不动点定理,并证明了算子C=A+B,C=D-A的正不动点存在唯一性定理;在第四章中,得到了半序Banach空间中混合单调算子的不动点存在性及唯一性定理。
4.学位论文孙单单半序Banach空间中非线性算子的若干问题的研究2007
非线性泛函分析已成为现代数学中的重要研究方向之一,而非线性算子理论又是非线性泛函分析的重要内容。自二十世纪八十年代初以来,郭大钧、孙经先、杜一宏、刘兆理、朱传喜、李福义等利用半序方法研究了缺乏紧性或缺乏连续性条件的非线性问题,并获得一系列新的结果。本文分别对半序Banach空间中非线性算子一些问题进行了研究。
1),(n=1,2…),且对任给的δ,inf{|λ|∶λ∈σ(I+T)}<δ<1存在n0,当n≥n0时,有下面的误差估计‖xn-u*‖≤Nδn‖x0-u0‖+1Nδnδ‖u1-
Banach空间中抽象半线性发展方程的初值问题
丁 ￡ （≥０ ． （） ｆ ） 关于 Ｃ 算 子半群 的定义 可参见 文献 ［］ ０ ２．
Ｉ ｝ 构 ａ ａｈ空 间． 设 记ｃ ， Ｕ Ｅ］为定 义在 Ｊ取值 于 Ｅ 的全 体连续 函数按 范数 Ｊ“ｌ ：ｍａ ｘＪ （）Ｊ 成 的 Ｂ ｎ ｃ ｌ Ｊ ｃ
— ．
ｑ ｌ ， ， ∈Ｅ， 虑线性 发展方程 初值 问题 Ｅｅ ｉＥ］ 。 考
ｔｏ ｔ ｎｏ ｏｍ ｐ ｅ ｅ ｉ ｒ ｉｎｓ ｗｉｈ ｎｃ ａ ｔｓ ｍ ｇ ｏｕｐ ｉ Ｂａ ｃ ｓ ｃ ｓ ｎ ｎａ ｈ ｐａ ｅ ．
Ｋｅ ｒ ｓ ａ ａ ｈ ｓ ａ ｅ ｂ ｔａ ｔｅ ｏ ｕ ｉｎ ｅ ｕ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｂ ｎ ｃ ｐ ｃ ；ａ ｓ ｒ ｃ ｖ ｌ ｔｏ ｑ ａ ｉ ｎ；ｅ ｉｔ ｎ ｅｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｘ ｓｅ ｃ ｆｓ ｌ ｔ ｏ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｓｎ ｈ ｉ ｅ ｏｎ ｈ ｏ ｅ ｏ ｏ ｖ ｘ ｐ ｗｅ ｏ ｄ ｎ ｉ ｇ ｏ ｅ ａ ｏ ，ｗｅｓ ｕ ｙ ｔ ｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｓｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ａ ｅ ，ｕ ｉｇ ｔ ｅｆｘ ｄ ｐ ｉ ｔｔ ｅ ｒ ｍ ｆｃ ｎ ｅ － ｏ ｒ ｃ ｎ ｅ ｓｎ ｐ ｒ ｔ ｒ ｔ ｄ ｈ ｘ ｓｅ ｃ
ｏ ｌ ｂ ｌ ｌ ｏ ｕ ｉｎ ｎ ｏ ｉｉｅ ｍｉ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆｉ ｉ ｌｖ ｌ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ ｏ ｌ ｓ ｆｓ ｍｉ ｎ ａ ｖ ｌ ｔ ｎ ｅ ｕ — ｆｇ ｏ ａ ｄ ｓ ｌ ｔ ｓ ａ ｄ ｐ ｓｔｖ ｌ ｓ ｌ ｔ ｓ ｏ ｎ ｔ ａ ｕ ｒ ｂ ｅ ｆ ｒ ａ ｃａ ｓｏ ｅ ｌ ｅ ｒ ｅ ｏ ｕ ｉ ｑ ａ ｍｉ ｏ ｄ ｏ ａ ｉ ｏ
第 ２ 卷 第 １期 ８ ２ １ 年 ３月 ＯＯ
Banach空间中一类非线性Volterra型积分方程整体解的存在性
（ ） （ （）ｄ ， ｓ ）
，
则 （ ｘ） ｔ ： （ Ａ ） ｔ ．这 里 Ａ （） Ａ． （ ）
ｋ ∈ ｃ［ Ｒ Ｄ， ］，
＝ １２ Ｄ ＝ ｛ ｔ ｓ ，， （ ， ）∈ ‘ ， ｔ≥ ｓ ，×．： ｝
（ ４） １
．
Ｅ ｃ［ ×ｎ， ， Ｅ ｃ Ｊ×囝， ， 是 Ｅ 中的开 集 Ｊ× Ｅ］ ［ Ｅ］
（ ）＝ ｔ
、
（）ｓｓ１（）ｒ ｒｒ ， Ｊ （） ，） ｓ／ ，）） ｖ １ ，， ， ：ｒ（（ｄ ｓ ∈ ｓ（（ Ｊ ， ）ｄ ： ． １
‘
相应 的积分算 子为 ：
收 稿 日期 ：２０ ．３２ ０ ８０ —６
第１ 期
袁 邢 华 ， ： ａｉｈ空 间 中 一 类 非 线 性 Ｖ ｌｒ 等 Ｂｎｃ ｔ ｏ。ｒ 积 分 方 程 整 体 解 的存 在 性 ｔ ａ型
第 ｌ卷 第 １ ２ 期
２０ １ 年 ３月 ０
应 用 泛 函分 析 学 报
ＡＣ Ｉ ＡＮＡＬ Ｉ ＵＮＣＴ ＯＮＡＬ Ｓ ＡＰＰ Ｉ Ａ Ｉ ＹＳ Ｓ Ｆ Ｉ Ｉ Ｌ ＣＡＴ ｔ Ａ
Ｖｏ ｉ．１２
Ｎｏ．１
Ｍａ ｃ ｒｈ．
２ ０ ０１
文 章 编号 ：１０ ．３ ７（０ ０ １ｏ ６ —５ ０９ １ ２ ２ １ ）０ 一ｏ ｏＯ
Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间 中 一 类 非 线 性 Ｖ ｌ ｒａ型 ｏｔ ｒ ｅ 积 分 方 程整 体 解 的存 在 性
袁邢华， 蒋巧云
（ 通 大 学 理 学 院 ，南 通 南 ２６０ ） ２ ０ ７
摘 要 ： 利 用 一 个 新 的不 动 点 定 理 在 较 弱 的 条 件 下 考 虑 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 中 一 类 非 线 性 Ｖ Ｉ ｒ ｏ ｅｒ 积 分 方 程 ｔ ａ型
Banach空间中闭线性算子的三种广义逆及其关系
Banach空间中闭线性算子的三种广义逆及其关系摘要本文讨论了Banach空间中闭线性算子的三种广义逆，并进一步讨论三者关系问题。
关键词Banach空间；闭线性算子；闭凸集；自反严格凸；度量广义逆1 基本概念定义1.1[1]设X,Y为Banach空间，为线性算子，集值映射定义为：，的集值度量广义逆，其中若单值算子满足称为（集值）度量广义逆的一个单值选择。
定义1.2[1]集值映射的对偶映射，如果集值映射被称为具有闭凸值的，是指对任意的闭凸集。
引理1.1[2]设X,Y都是线性赋范空间，为了线性算子T连续必须且仅须T 有界。
引理1.2设X,Y为自反Banach空间且Y严格凸，为具有闭值域的稠定线性算子或定义在X上的有界线性算子，则X可以赋等价的严格凸的范数使得唯一存在满足为集值度量广义逆的单值选择。
2 主要结果定理1.1设X为有穷维Banach空间，Y为自反严格凸且具有性质的Banach 空间具有闭值域的稠定闭线性算子或定义在X上的有界线性算子则X可以赋等价的范数使得唯一存在满足为集值度量广义逆的连续单值选择此处上与欧式范数等价的范数取为引理1.2中证明：因为n维Banach空间在范数下等距同构n维欧式空间Rn而n维欧式空间范数具有严格凸性质，由引理1.2知为集值度量广义逆的单值选择。
下面仅需证为连续算子。
由的定义，知有在范数下且在原范数下现证：任取往证在上引进图像范数：由T的闭性，知为Banach空间，因为R(T)为Y的闭子空间，从而R(T)在Y的诱导拓扑下为Banach空间再由T的闭性，知为连续线性的满射，应用开映射定理[3]存在,使得对任意存在满足令，得到于是有应用闭值域定理[5]，有,因此换言之，有因为在范数下是弱下半连续的，有又因为，得所以得因为为有穷维严格凸Banach空间，为闭凸子集，从而为子集因此，这与假设矛盾因此由于Y为具有H性质的自反严格凸的Banach空间，由引理1.1知，为连续的，于是，对于使得有取及于是即任取因此为连续算子参考文献[1]王玉文.巴拿赫空间中算子广义逆理论及其应用.北京：科学出版社，2005，1.[2]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义.北京：北京大学出版社，2003.[3]Y.Y.Tseng.Sur les solutions des equations operatrices functionnelless enter les espaces.Unitaires. C.R.Acad.Sci.Paris, 1949，228: 640-641.[4]Y.Y.Tseng.Virtual solutions and genenal pehi.Mat.Nauk.(N.S.), 1956,11:213-215.[5]G.W.Groetsch.Generalized inverse of Linear Operators.New York: Marcel Dekker, 1997.[6]Y.Y.Tseng.Properties and classification of generalized inverses of closed oprators.Dokl.Akad.Nauk.SSSR(N.S.).1949，67: 607-610.注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。
Banach不动点理论及其应用
不动点定理及其应用综述摘要 本文主要研究Banach 空间的不动点问题。
[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和Volterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。
一、压缩映射原理压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。
它的数学定义为： 定义1.1 设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有,x y X ∈，有下式成立(,)(,)d Tx Ty d x y α≤（1.1）则称T 是压缩映射。
定理1.1（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。
证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得21021010,,,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -=====L（1.2）则{}n x 为柯西点列。
实际上，111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤10(,)m d x x α≤≤L（1.3）根据三点不等式，当n m >时，1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++L1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++L011(,)1n mm d x x ααα--=-g（1.4）由于1α<，故11n m α--<，得到01(,)(,)()1mm n d x x d x x n m αα≤>- （1.5）所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 为柯西列。
弱序列连续的半闭1-集压缩映射的新不动点
弱序列连续的半闭1-集压缩映射的新不动点许绍元【摘要】利用弱序列连续的半闭1-集压缩映射的非线性二择一性质,得到了Banach空间中弱序列连续的半闭1-集压缩映射的若干新不动点定理,从而将著名的Altman定理、Roth定理和Petryshyn定理由压缩映射推广到弱序列连续的半闭1-集压缩映射的情形.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2009(030)006【总页数】3页(P1-3)【关键词】弱序列连续映射;Deblasi弱非紧型测度;半闭1-集压缩;非线性二择一;不动点【作者】许绍元【作者单位】赣南师范学院数学与计算机科学学院,江西,赣州341000【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言与定义众所周知，半闭1-集压缩映射是一类十分重要的非线性算子，也是非线性泛函分析的重要研究对象，该映射的不动点定理则在研究有关算子方程的解的存在性方面起着十分重要的作用.因而，半闭1-集压缩映射的不动点存在性研究，一直引起人们的广泛关注，见文献[1-5].近年来，利用Deblasi弱非紧型测度代替文献[1]中的非紧型测度研究弱序列连续的半闭1-集压缩映射，引起人们的极大兴趣，见文献[6-8].本文利用弱序列连续的半闭1-集压缩映射映射的非线性二择一性质，得到了Banach空间中弱序列连续的半闭1-集压缩映射的若干新不动点定理，从而将著名的压缩映射Altman定理、Roth 定理和Petryshyn 定理由压缩映射推广到弱序列连续的半闭1-集压缩映射的情形.首先介绍关于压缩映射的一些著名的不动点定理.设E是实Banach空间，C是E 的一个闭凸集，Ω是C的一个相对开子集，θ是E的零元且θ∈Ω，A:→C是一个有界压缩映射，我们有下面著名的不动点定理.定理1[9] 若下列条件之一成立：1)(Roth)‖A(x)‖≤‖x‖,∀x∈∂Ω；2)(Petryshyn)‖A(x)‖≤‖A(x)-x‖,∀x∈∂Ω;3)(Altman)‖A(x)-x‖2≥‖A(x)‖2-‖x‖2,∀x∈∂Ω.则A在上必有不动点.设E是实Banach空间，Ω是E的一个有界开子集，K是E的所有弱子集构成的集族.设B是E中的闭球.Deblasi弱非紧性测度是一个映射β:Ω→[0，∞]，其定义如下：β(X)=inf{t>0:存在Y∈K使得V⊂Y+tB}，其中X∈Ω.定义1[6] 设E是实Banach空间，D是E的一个非空子集，称A:D→E是一个1-集压缩(关于β,以下从略)，若满足对D的任意有界子集V都有β(A(V))≤β(V).2 主要结果本节我们将利用弱序列连续的半闭1-集压缩映射的非线性二择一性质，得到了Banach空间中弱序列连续的半闭1-集压缩映射的若干新不动点定理.引理1[1] (非线性二择一) 设E是实Banach空间，Ω是E的一个闭凸集，U是Ω的一个相对开子集，θ是E的零元且θ∈U.记为U在E中的弱闭包.设A:→Ω是一个弱序列连续的半闭1-集压缩映射，且有界.若满足：1)A是半闭的，从而是闭集；2)对任意u∈∂ΩU,λ∈(0,1)有λA(u)≠u.(1)则A在上至少有一个不动点.由引理1可以得到Banach空间中弱序列连续半闭1-集压缩映射的若干新不动点定理.定理2 设E是实Banach空间，Ω是E的一个闭凸集，U是Ω的一个相对开子集，θ是E的零元且θ∈U.设A:→Ω是一个弱序列连续的半闭1-集压缩映射，且存在α>1,β≥1使得‖Ax-x‖α≥‖Ax‖α+β‖x‖-β-‖x‖α,∀x∈∂ΩU，(2)则A在上至少有一个不动点.证明若算子A在上没有不动点，由引理1，存在x0∈∂Ω以及μ0≥1使得Ax0=μ0x0.容易看出μ0>1.考察函数f(t)=(t-1)α-tα+β+1,∀t≥1.由于f/(t)=α(t-1)α-1-(α+β)tα+β-1，f(t)在[1,∞]上严格单调递减.又当t>1时有f(t)<f(1)，即tα+β-1>(t-1)α对任意t>1成立，注意‖x0‖≠0,μ0>1，于是我们有‖Ax0-x0‖α=‖μ0x0-x0‖α=(μ0-α)‖x‖α<(μ0α+β-1)‖x0‖α+β‖x0‖-β=‖μ0x0-x0‖α+β‖x0‖-β-‖x0‖α=‖Ax0‖α+β‖x0‖-β-‖x0‖α此与(2)矛盾，故由引理1可知定理2结论成立.证毕.在定理2的条件中分别取β=0；α=2,β=0和α,β立即得到下面三个推论.推论1 设E是实Banach空间，Ω是E的一个闭凸集，U是Ω的一个相对开子集，θ是E的零元且θ∈U.设A:→Ω是一个弱序列连续的半闭1-集压缩映射，且存在α>1，使得‖Ax-x‖α≥‖Ax‖α-‖x‖α,∀x∈∂ΩU.(3)则A在上至少有一个不动点.推论2 设E是实Banach空间，Ω是E的一个闭凸集，U是Ω的一个相对开子集，θ是E的零元且θ∈U.设A:→Ω是一个弱序列连续的半闭1-集压缩映射，且满足‖Ax-x‖2≥‖Ax‖2-‖x‖2,∀x∈∂ΩU.则A在上至少有一个不动点.推论3 设E是实Banach空间，Ω是E的一个闭凸集，U是Ω的一个相对开子集，θ是E的零元且θ∈U.设A:→Ω是一个弱序列连续的半闭1-集压缩映射，且满足≥‖Ax‖2-‖x‖2,∀x∈∂ΩU.则A在上至少有一个不动点.由推论2立即有推论4 设E是实Banach空间，Ω是E的一个闭凸集，U是Ω的一个相对开子集，θ是E的零元且θ∈U.设A:→Ω是一个弱序列连续的半闭1-集压缩映射，且满足下列条件之一:1)‖Ax‖≤‖x‖,∀x∈∂ΩU;2)‖Ax‖≤‖Ax-x‖,∀x∈∂ΩU.则A在上至少有一个不动点.注推论2和推论4是将著名的压缩映射Altman定理、Roth 定理和Petryshyn 定理由压缩映射推广到弱序列连续的半闭1-集压缩映射的情形.参考文献:【相关文献】[1] G. Z. Li. The fixed point index and the fixed point theorems for 1-set-contraction mapping[J]. Proc. Amer. Math. Soc., 1988, 104: 1163-1170.[2] G. Z. Li, S. Y. Xu, H. G. Duan. Fixed point theorems of 1-set-contractive operators in Banach spaces[J]. Appl. Math. Lett., 2006, 19: 403-412.[3] S. Xu. New fixed point theorems for 1-set contractive operators in Banach spaces[J]. Nonlinear Analysis, 2007, 67: 938-944.[4] C. Zhu, Z. Xu. Inequalities and solution of an operator equation[J]. Appl. Math. Lett., 2008, 21: 607-611.[5] W. V. Petryshyn. Fixed point theorems for various classes of 1-set-contractive and 1-ball-contractive mappings in Banach spaces[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1973, 182: 323-352.[6] A. Ben Amar, M. Mnif. Leray-Schauder alternatives for weakly sequentially continuous mappings and application to transport equation, Mathematical Methods in the Applied Sciences[J/OL]. Published Online: 2009-6-22, DOI: 10.1002/mmq.1152.[7] D. O'Regan. A continuation method for weakly condensing operators[J]. Z. Anal. Ihre Anwend, 1996, 15: 565-578.[8] D. O'Regan. Fixed-point theory for weakly sequentially continuous mapping[J]. Math. Comput. Modelling., 1998, 27(5): 1-14.[9] Granas A, Dugundji J. Fixed point theory [M]. New York: Springer-Verlag, 2003: 10-99.。