山东省青岛二中2015届高三上学期期末考试文科数学试题 Word版含答案

山东省青岛二中2015届高三上学期期末考试文科数学试卷

第I 卷（共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．集合}0|{)},1(log |{2

2>=-==x x B x y x A ，则=B A （ ） A ．)1,0( B ．]1,0( C ．)1,(-∞ D ．)1,0()0,( -∞ 2．已知复数z 满足i z i 34)21(+=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．i -2 B ．i +2 C ．i 21+ D ．i 21- 3．已知实数4,,,,1--z y x 成等比数列，则=xyz （ ） A ．8- B ．8± C ．22- D ．22±

4．已知31

)4tan(=

-

π

α，则α2sin 等于（ ）

A ．32

B ．31

C ．54

D ．5

2

5．设n m l ,,表示不同的直线，γβα,,表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ）

①若l m //，且α⊥m ，则α⊥l ； ②若l m //，且α//m ，则α//l ；

③若n m l ===αγγββα ,,，则n m l ////； ④若n l m ===αγγββα ,,，且β//n ，则m l //． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

6．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

7．定义域为R 的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x x f -=2

)(，则当

)0,1[-∈x 时，)(x f 的最小值为（ ）

A ．81-

B ．41-

C ．0

D ．4

1 8．已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x

的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的

结束

开始

0,1==i a 1+=i i 1+⨯=a i a

?50>a

i 输出

否

是

零点为b ，则下列不等式成立的是（ ）

A ．)()()1(b f a f f <<

B ．)1()()(f b f a f <<

C ．)()1()(b f f a f <<

D ．)()1()(a f f b f <<

9．已知不等式x

x a

y y 22|||4|+

≤-+对任意实数y x ,都成立，则常数a 的最小值为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．4

10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(2:2

>=p px y C 的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为π9，则=p （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

第II 卷 （共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上） 11．如右图，某几何体的三视图均为边长为的正方形，则该几何 体的体积是_________________．

12．已知)1,2(=→a ，)3,1(-=→b ，若→→→+=b a c 2，→

→→-=b x a d 2， 且→

→

⊥d c ，则=x ．

13．已知点P 的坐标),(y x 满足⎪⎩

⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x ，过点P 的直线与圆14:2

2=+y x C 相交于B

A ,两点，则||A

B 的最小值为__________________． 14．函数ax x x x f -+=

23

3

1)(在区间),1(+∞上单调递增，且在区间)2,1(上有零点，则实数a 的取值范围是___________________．

15．设21,F F 是双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b

y a x C 的两个焦点，P 是曲线C 上一点，若

a PF PF 6||||21=+，21F PF ∆的最小内角为︒30，则曲线C 的离心率为 ．

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．(本小题满分12分)

某市有,,M N S 三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36,24,12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查． （Ⅰ）求应从,,M N S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数；

正视图 侧视图

俯视图

（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2名，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．

17．(本小题满分12分) 已知函数2()2sin ()3cos 2,,442f x x x x π

ππ⎡⎤

=+

-∈⎢⎥⎣⎦

．设x α=时()f x 取到最大值． （I ）求()f x 的最大值及α的值；

（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12

A π

α=-，且2sin sin sin B C A =，

求b c -的值．

18．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥ABCD P -中⊥PD 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示． （I ）证明：⊥BC 平面PBD ； （II ）证明：//AM 平面PBC ； （III

）求四棱锥ABCD P -的体积．

19．(本小题满分12分)

已知数列}{n a 中，t a =1（为非负常数），数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足n n S S 31=+ （I ）当1=t 时，求数列}{n a 的通项公式； （II ）若n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n T ．

20．(本小题满分13分)

已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x M 的离心率为32

2，且椭圆上一点与两个焦点构成的三

角形周长为246+．

（I ）求椭圆M 的方程；

（II ）设直线与椭圆M 交于A ，B 两点（A ，B 不是顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，证明这样的直线恒过定点，并求出该点坐标．

P M A B

C D

俯视图 2 32 4 1 3

侧（左）视图