高三数学向量选择填空资料
高三数学 平面向量多选题知识点-+典型题附解析
高三数学 平面向量多选题知识点-+典型题附解析一、平面向量多选题1．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==【答案】ABD 【分析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =可得23HG HO =，利用向量的线性运算()266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以12GO HG =， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，3AM GM =，因为12GO HG =，所以23HG HO =， ()226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭()646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，故选项B 正确；对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确； 对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得23HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.2．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.3．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC ==C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅【答案】AC 【分析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1223C CC C =，A 正确.由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，()2222OC OB OA OB OB OA OB OB⋅=+⋅=⋅+，同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.4．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =-∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系5．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】AD 【分析】由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果. 【详解】平面向量,,a b c 两两夹角相等，∴两两向量所成的角是0︒或120︒.当夹角为0︒时，,,a b c 同向共线，则4a b c ++=； 当夹角为120︒时，,a b 为单位向量，1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，又2c =，1a b c ∴++=.故选：AD. 【点睛】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.7．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =B ．AB BC =C ．AB CD AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.8．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确； 对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确； 对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；故选：BC. 【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.二、立体几何多选题9．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S SS ⋅=； B ．3333A B C D S S S S <++；C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222111sin sin sin 1αβγ++=；D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则22cos α+2222cos cos 1βγ+=．【答案】ACD 【分析】由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误. 【详解】由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又12A S BC O D '=⋅，12BCOS BC O O '=⋅， 22221124D S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以2A BCOD S SS ⋅=，故A 正确．对B ：当1a b c ===时，33318B C D S S S ===，则33338B C D S S S ++=，而3338A S ==>⎝⎭，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，AM =(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =所以222222222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM ABAM ACAM ADαβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221x y z AMAMAM=++=，所以D 正确．对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，由D 有222222cos cos cos 1αβγ++=，由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.10．如图所示，正三角形ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，其中AB ＝8，把△ADE 沿着DE 翻折至A 'DE 位置，使得二面角A '-DE -B 为60°，则下列选项中正确的是（ ）A ．点A '到平面BCED 的距离为3B ．直线A 'D 与直线CE 所成的角的余弦值为58C ．A 'D ⊥BDD ．四棱锥A '-BCED 237【答案】ABD 【分析】作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .利用线面垂直的判定定理判定CD ⊥平面A'MN ,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A 到平面面BCED 的高A'H ,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H 的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N ,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,经过计算求解可得半径从而判定D. 【详解】如图所示，作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N . 则A'M ⊥DE ,MN ⊥DE , ,∵'A M ∩MN =M ,∴CD ⊥平面A'MN , 又∵CD ⊂平面ABDC ,∴平面A'MN ⊥平面ABDC , 在平面A'MN 中作A'H ⊥MN ,则A'H ⊥平面BCED , ∵二面角A'-DE -B 为60°，∴∠A'EF =60°，∵正三角形ABC 中，AB =8,∴AN =∴A'M ,∴A'H =A'M sin60°=3，故A 正确； 连接DN ,易得DN ‖EC ,DN =EC =4, ∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，DN =DA'=4,A'N =A'M ,cos ∠A'DN =22441252448+-=⨯⨯,故B 正确；A'D =DB =4,==,∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直，故C 错误’ 易得NB =NC =ND =NG =4，∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心， 设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC , 若O 在平面BCED 上方，入图①所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=-+=,解得23x =-,舍去；故O 在平面BCED 下方，如图②所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=++=, 解得23x =,∴244371699R ⨯=+=,3R ∴=,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.。
高三向量专题复习(含知识点)有答案
学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师：测试科目： 涉及章节：教师评语：向量专题复习（知识点复习）概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结平面向量一．向量有关概念 ：1．向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线 段来表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移） 。
uuur r如：已知 A （1,2），B （4,2），则把向量 AB 按向量 a ＝（－ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（3,0 ））2．零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意 零向量的方向是任意的 ；uuur3．单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （ 与 AB 共线的单位向量是uuur u A u B ur ）； | AB|4．相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记 作： a ∥ b ，规定零向量和任何向量平行 。
提醒：① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；② 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量 共线 , 但两条直线平行不包含两条直线r 重合；③ 平行向量无传递性 ！（因为有 0r ） ； uuur uuur ④ 三点 A 、B 、C 共线 AB 、AC 共线；6．相反向量 ：长度r 相等r 方向相r 反r 的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－ a 。
如 下列命题：（1）若 a r b r ，则 a r b r 。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同， 终点相同。
（3）若 u A u B ur u D u C ur ，则 ABCD 是平行四边形。
（ 4）若 ABCD 是平行四边形，则 uuur uuur r r r r r r r r r r r r AB DC 。
（5）若a b,b c ，则a c 。
新高考高中数学 名师预测 考前押题精品 平面向量(选择与填空)(解析版)
精选04 平面向量（选择与填空）1．向量共线：对于向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线，且x 1y 2－x 2y 1=0．2．三点共线：若存在实数λ，使AB =λAC ，则A ，B ，C 三点共线．3．求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.4．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA 、OB 不共线，满足OP =x OA ＋y OB （x ，y ∈R ），则P 、A 、B 共线⇔x ＋y =1．5．计算数量积的方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义．要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.6．已知非零向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ：一、单选题1．已知向量(5,)a t =-，(1,3)b =，(2)a b b +⊥，则t 的值为 A ．2- B ．2 C ．1-D ．0【答案】D【解析】依题意，22(5,)a b t +=-(1,3)(9,23)t +=-+，又(2)a b b +⊥，所以(2)(9,23)(1,3)a b b t +⋅=-+⋅93(23)0t =-++=， 解得0t =．故选 D.2．已知向量(1,2),(0,2),(1,)a b c λ==-=-，若(2)//a b c -，则实数λ的值为 A ．13- B ．3- C ．13D ．3【答案】B【解析】由题意得，2(2,4)a =，2(2,6)a b -=， 又(2)a b c -∥，(1,)c λ=-，则260λ+=， 解得3λ=-．故选B ．3．已知点P 是ABC 所在平面内一点，且0PA PB PC ++=，则A ．1233PA BA BC =-+B ．2133PA BA BC =+ C ．1233PA BA BC =--D ．2133PA BA BC =-【答案】D【解析】由题意，,PA BA PB PA AC PC -=+=，而 0PA PB PC ++=， 所以30PA BA AC -+=，又AC BC BA =-，即320PA BA BC -+=， 所以2133PA BA BC =-．故选D ． 4．已知单位向量,a b 满足23,b a -=则a b ⋅= A ．12- B ．2- C ．12D ．2【答案】C【解析】由题意，单位向量,a b ，即1,1a b ==， 又由()2222244543b a b ab a b a a b -=-=-⋅+=-⋅=，解得12a b ⋅=．故选C ．5．在平行四边形ABCD 中，2AB =，AD =点F 为边CD 的中点，若0AF DF ⋅=，则BF AC ⋅=C ．2D ．1【答案】C【解析】因为0AF DF ⋅=，所以AF AB ⊥，如图建立平面直角坐标系，()()()0,2,1,2,2,0F C B ，所以()()1,2,2,2AC BF ==-， 所以242BF AC ⋅=-+=，故选C6．已知向量(1,2),(2,)a b m =-=，若//a b ，则m = A ．4- B ．12- C ．12D ．4【答案】A【解析】因为(1,2),(2,)a b m =-=，//a b ， 所以1220m -⨯-⨯=，4m =-，故选A7．如图，在ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，点P 是以BC 为直径的圆上的动点，则AB AP ⋅的最大值为A ．18B ．20【答案】C【解析】如下图，AP 在AB 方向上的投影的最大值为311422AH =+=， 故22AB AP AB AH ⋅≤⋅=，故AB AP ⋅的最大值为22．故选C ．8．几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割．毕达哥拉斯几何学中有一个关于五角星结构的问题．如图，一个边长为4的正五边形ABCDE 有5条对角线，这些对角线相交于,,,,A B C D E '''''五点，它们组成了另一个正五边形，则AC AC '⋅的值为(参考数值：πcos5=)A 1B 1C ．4D ．4【答案】C【解析】由正五边形的性质知3πππ,555EAB CAC EAC ''∠=∠=∴∠=，， 在AEC '中，2πcos5AC '=，在ABC 中，2AC =⨯ππ4cos8cos 55=，故π2π||||cos 8cos cos 4π55cos 5AC AC AC AC CAC '''⋅=⋅⋅∠=⨯⨯=．故选C ．9．已知向量a 与b ，3a =，2b =，19a b +=，则已知向量a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．5π3D ．2π3【答案】B【解析】设向量a 与b 的夹角为α， 因为3a =，2b =，()2219a b +=，所以9232cos 419α+⨯⨯+=，所以1cos 2α=，[]0,απ∈，所以π3α=．10．在边长为3的正方形ABCD 中，以点A 为圆心作单位圆，分别交AB ，AD 于E ，F 两点，点P 是EF 上一点，则PB PD ⋅的取值范围为A ．12⎡⎤--⎣⎦B ．1,2⎡--⎢⎣⎦C ．2,1⎡-⎣D ．1⎡-⎣【答案】A【解析】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：由题意可知()0,0A ，()3,0B ，()3,3C ，()0,3D ．设点()cos ,sin P θθπ02θ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则()()3cos ,sin cos ,3sin PB PD θθθθ⋅=--⋅--()()cos 3cos sin 3sin 13sin 3cos θθθθθθ=-⋅---=--π14θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又π02θ≤≤，则ππ3π444θ≤+≤，所以πsin 124θ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π1124θ⎛⎫-≤-+≤- ⎪⎝⎭，即PB PD ⋅的取值范围为12⎡⎤--⎣⎦，故选A ．11．已知向量()1,2a =，()sin ,cos b θθ=，且//a b ，则sin cos sin cos θθθθ+-的值为A ．3B ．3-C ．13D ．13-【答案】B 【解析】()1,2a =，()sin ,cos b θθ=，由//a b ，cos 2sin 0θθ∴-=，即cos 2sin θθ=，则sin cos 3sin 3sin cos sin θθθθθθ+==---，故选B ．12．已知A ，B ，C 是单位圆O 圆周上的三等分点，则()OA OB OC +⋅= A ．1 B ．1- CD．【答案】B【解析】因为A ，B ，C 是单位圆O 圆周上的三等分点， 所以23AOC BOC π∠=∠=， 2π2π()11cos11cos 133OA OB OC OA OC OB OC ∴+⋅=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=-．故选B. 13．在△OAB 中，点P 为边AB 上的一点，且2AP PB =，点Q 为直线OP 上的任意一点(与点O 不重合)，且满足12OQ OA OB λλ=+，则12λλ= A ．1B ．2C ．1-D ．12【答案】D【解析】如图，因为点O ，P ，Q 三点共线，且点Q 与点O 不重合，所以存在非零实数λ满足OQ OP λ=，又2AP PB =，所以212333OP OA AP OA AB OA OB =+=+=+，则233OQ OP OA OB λλλ==+，又12OQ OA OB λλ=+，所以122,33λλλλ==，所以1212λλ=．故选D ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，M 是边CD 的中点，N 是AM 的一个三等分点（AN NM <），若存在实数λ和μ，使得BN AB AD λμ=+，则λμ+=A ．54 B ．12C ．12-D ．54-【答案】C【解析】因为N 是AM 的一个三等分点（AN NM <），所以13AN AM =．因为M 是边CD 的中点，所以1122DM DC AB ==．又13BN AN AB AM AB =-=-=()111332AD DM AB AD AB AB ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭5163AB AD -+， 所以511632λμ+=-+=-．故选C ． 15．在ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且2AE EC =，则DE = A ．1126AB AC - B ．1126AB AC -+C ．1223AB AC - D ．1223AB AC -+ 【答案】B【解析】如图，可知()111111232362DE DC CE BC AC AC AB AC AC AB =+=-=--=-．故选B16．已知3AB =，2AC =，若关于m 的不等式AB AC AB mAC +≤+恒成立，则sin BAC ∠=A ．4B ．3C ．13D ．23【答案】B【解析】因为3AB =，2AC =，且关于m 的不等式AB AC AB mAC +≤+恒成立， 所以22AB AC AB mAC +≤+，所以29412cos 9412cos BAC m m BAC ++∠≤++∠， 整理得23cos 3cos 10m m BAC BAC +∠-∠-≥，所以()229cos 12cos 43cos 20BAC BAC BAC ∆=∠+∠+=∠+≤， 所以3cos 20BAC ∠+=，2cos 3BAC ∠=-，又0πBAC ≤∠<，所以sin 3BAC ∠=，故选B. 17．平面直角坐标系xoy 中，若点的横、纵坐标均为整数，则称该点为整点．已知点(A B ，若整点P 满足||||4PA PB PA PB ⋅+⋅≤，则点P 的个数为A ．10B ．11C ．14D ．15【答案】D【解析】设(,)P x y ，则(,)PA x y =--，(6,)PB x y =-，4PA PB PA PB ⋅+≤为2264x y -+，2210x y ≤--，平方整理得2248x y +≤，所以P 点在椭圆22182x y +=内部（含椭圆上）， 椭圆22182x y +=内部（含椭圆上）的整点有：(2,1),(2,0),(2,1),(1,1),(1,0),(1,1)--------， (0,1),(0,0),(0,1)-，(1,1),(1,0),(1,1)-，(2,1),(2,0),(2,1)-共15个．故选D ．18．已知圆O 的半径为1，A ，B 是圆O 上两个动点，2OA OB OA OB +=-⋅，则OA ，OB 的夹角为A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B【解析】22222cos ,OA OB OA OB OA OB OA OB +=++⋅=+，22cos ,OA OB OA OB -⋅=-，得22cos ,2cos ,OA OB OA OB +=-，解得cos ,1OA OB =或1cos ,2OA OB =-，由题意得cos ,0OA OB ≤， 故2,3OA OB π=，故OA ，OB 的夹角为23π．故选B ．19．ABC 中，D 为边BC 上一点，且满足3BD DC =，则AD =A ．1344AB AC B ．3144AB AC C ．1344ABACD ．3144ABAC【答案】A 【解析】3BD DC =，则()3AD AB AC AD -=-，解得1344AD AB AC =+，故选A ． 20．在平行四边形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边CD 上，且满足14AE AC =，23CF CD =，则EF =A ．13124AB BC + B ．13124AB BC -- C ．13124AB BC -D ．13124AB BC -+【答案】A【解析】3232()4343EF EC CF AC CD AB BC BA =+=+=++ 3213()43124AB BC AB AB BC =+-=+，故选A 21．G 是ABC 的重心，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若30aGA bGB cGC ++=，则角A = A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°【答案】D【解析】因为G 是ABC 的重心，所以有0GA GB GC ++=．又303aGA bGB cGC ++=，所以a ∶b ∶3c ＝1∶1∶1，设c 则有a ＝b ＝1，由余弦定理可得，cos A2=，所以A ＝30°，故选D ． 22．,a b 为非零向量，且a b a b +=+，则 A ．//a b ，且a 与b 方向相同 B ．,a b 是共线向量 C ．a b =-D ．,a b 无论什么关系均可【答案】A【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时，a b +的方向与,a b 的方向都不相同，且a b a b +<+；向量a 与b 同向时，a b +的方向与,a b 的方向都相同，且a b a b +=+；向量a 与b 反向且a b <时，a b +的方向与b 的方向相同(与a 方向相反)，且a b b a +=-，综上，//a b ，且a 与b 方向相同．故选A ．23．已知向量,a b 满足||1,(1,2)a b ==-，且||2a b +=，则cos ,a b 〈〉=A ．B ．-CD 【答案】B【解析】1,5a b ==，2222()4241+2+5=4a b a b a a b b a b +=⇒+=⇒++=⇒，所以1a b =-，cos ,15a b a b a b<>===⨯．故选B ．24．已知三角形ABC 的边长分别为3AB =，4AC =，5BC =，3BC BD =，则AD BC ⋅= A ．1 B ．23 C ．3D ．23-【答案】D 【解析】3AB =，4AC =，5BC =，满足222AB AC BC +=，故AB AC ⊥，则AB AC ⊥，3BC BD =，()13AD BC AB BD BC AB BC BC ⎛⎫∴⋅=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭()2211cos 33AB BC BC AB BC B BC π=⋅+=⋅⋅-+2312355533⎛⎫=⨯⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭．故选D ．25．设向量()1,2a =，(),1b m =-，且()a b a +⊥，则实数m = A ．3-B ．32C ．2-D ．32-【答案】A【解析】由题意，向量()1,2a =，(),1b m =-，可得()1,1a b m +=+， 因为()a b a +⊥，可得()120a b a m +⊥=++=， 解得3m =-．故选A ．26．已知平面向量(2,1)a =-，(3,2)b =-，则()a a b ⋅-= A ．13 B ．1 C ．1-D ．11-【答案】A【解析】因为()()2,1,3,2a b =-=-，所以()5,3a b -=-， 所以()()()251313a a b ⋅-=⨯+-⨯-=，故选A ．27．平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=，DE AB ⊥，垂足为E ，F 是DE 中点，则DF DB ⋅= A ．12-B ．32-C ．32D ．1【答案】C【解析】因为4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=， 所以cos 42cos 4AB AD A A =⨯=，所以1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=，因为DE AB ⊥，所以6ADE π∠=，所以112AE AD ==，DE == 所以413=-=-=BE AB AE ，所以在Rt EBD 中，BD ===所以1cos 2DE EDB BD ∠===，因为F 是DE 中点，所以12DF DE ==，13cos 222DF DB DF DB EDB ⋅=∠==，故选C28．已知ABC 三个顶点都在抛物线28x y =上，且F 为抛物线的焦点，若()13AF AB AC =+，则AF BF CF ++= A ．6 B ．8 C ．10D ．12【答案】D【解析】由28x y =得焦点()0,2F ，准线方程为2y =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由()13AF AB AC =+得()()()112121313111,2,,33x y x x y y x x y y --=--+--， 则()12131123y y y y y -=-+-，化简得1236y y y ++=，所以123236612A y F BF C y y F ++=+++⨯=+=，故选D29．在ABC 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=A ．94B ．4C ．92D ．6【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系，则()4,0A ，()0,3B ，()0,0C ，32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()0,3CB =，32,2CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3902322CB CP ⋅=⨯+⨯=故选C30．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===，若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接BD ，可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，BD =，设(01)DE tDC t =≤≤AE BE ⋅()()AD DE BD DE =+⋅+2()AD BD DE AD BD DE =⋅+⋅++232BD DE DE =+⋅+ =233322t t -+(01)t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最小值2116，故选A ． 31．已知向量(2,1)=-m λ，(2,5)=-n λ且22m n m n +=-，则λ= A ．53-B ．32-C ．1D ．32【答案】A【解析】由题意：2(2,1)2(2,5)(24,211)m n λλλλ+=-+-=+-，2(2,1)2(2,5)(24,29)m n λλλλ-=---=--+，又22m n m n +=-，所以2282813785297λλλλ-+=-+， 解得53λ=-，故选A ． 32．已知0,0a b >>，且a ，1，b 构成等差数列，若向量1m a a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎭，0n b ⎛=+ ⎝，，则m n +的最小值是 A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由a ，1，b 构成等差数列，得2a b +=，因为1m a a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎭，0n b ⎛=+ ⎝，，所以m n +=2===， 当且仅当1a b ==时，等号成立．故选C ．33．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4b =，点O 为其外接圆的圆心．已知6CO BA ⋅=，则角A 的最大值为 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 【答案】A【解析】取AB 的中点D ，则()CO BA CD DO BA CD BA ⋅=+⋅=⋅，()211()()16622CA CB CA CB a =+⋅-=-=，所以2a =，又由222cos 2c b a A bc21211288c c c c +⎛⎫==+≥⎪⎝⎭c =时等号成立， 所以06A π<≤，故选A ．34．已知ABC 中，45ABC ACB ∠=∠=，12BC =，点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，点N 在线段AM 上，则AN CN ⋅的最小值为A ．365-B ．725-C ．185-D ．545-【答案】C【解析】由45ABC ACB ∠=∠=，可知90BAC ∠=．以点A 为坐标原点，AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则()0,0A 、(M 、(C ，设1,2N x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0x ≤≤1,2AN x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,2CN x x ⎛=- ⎝，故22115224AN CN x x x x ⎛⋅=+-=- ⎝．令()254f x x =-，0x ≤≤5x =时，函数()f x 有最小值，且()max185f x f ==-⎝⎭，即AN CN ⋅的最小值为185-，故选C ． 【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．35．在ABC 中，4AB =，6AC =，3AC AM =，CN NB =，3AN BM ⋅=-，则AB AC ⋅=A ．32B ．3C ．6D ．15【答案】B【解析】如图所示，因为3AC AM =，所以13BM AM AB AC AB =-=-． 因为CN NB =，所以1()2AN AC AB =+， 所以1113223AN BM AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221113623AC AB AB AC --⋅=-， 又222236,16AC AC AB AB ====，所以3AB AC ⋅=．故选B ．36．已知a ，b 是非零向量且满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角是 A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，()2220a b a a a b ∴-⋅=-⋅=，()2220b a b b a b -⋅=-⋅=，222a b a b ∴==⋅，设a 与b 的夹角为θ，1cos 2a b a bθ⋅==， []0,θπ∈，3πθ∴=，故选B ．【名师点睛】求解向量夹角长选择夹角公式cos a b a bθ⋅=，还要注意向量的夹角范围[]0,π．37．若向量(1,2),(0,1)a b ==，且ka b -与2a b +共线，则实数k 的值为 A ．1- B ．12-C ．1D ．2【答案】B 【解析】(1,2),(0,1)a b ==，∴()()()=1,20,1,21ka b k k k --=-，()()()2=1,2+20,11,4a b +=，ka b -与2a b +共线，∴()4210k k --=，解得12k =-．故选B ．【名师点睛】已知()()1122,,,a x y b x y ==，若//a b ，则12210x y x y -=． 38．若向量π，n 满足π2﹣n 2＝4，且＜π+n ，π﹣n ＞＝3π，则|π|+2|n |的最小值是A BCD【答案】B【解析】设π＝a b +，n ＝a b -，＜π+n ，π﹣n ＞＝3π，可得,a b <>＝3π， 向量π，n 满足π2﹣n 2＝4，可得a b ⋅＝1，所以2a b =，所以2224a b a b +≥=， 所以222222222n a b a b a b a b π+=++-=++++-≥=B ．【名师点睛】此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查向量的模的计算，考查基本不等式的应用，解题的关键是由＜π+n ，π﹣n ＞＝3π，得,a b <>＝3π，由π2﹣n 2＝4，得a b⋅＝1，2a b =，从而可得222222222n a b a b a b a b π+=++-=++++-≥=39．在平行四边形ABCD 中，已知12DE EC =，12BF FC =，2AE =6AF =，则AC BD ⋅= A ．9- B ．92-C ．7-D ．72-【答案】B 【解析】因为12DE EC =，12BF FC = 所以13AE AD DE AD AB =+=+，13AF AB BF AD AB =+=+， 而2AE =6AF =，所以1=23AD AB +，1=63AD AB +，所以2221239AD AD AB AB +⋅+=，2212693AD AD AB AB +⋅+=， 两式相减得2288499AD AB -=-，所以2292AD AB -=-．所以()()2292AC BD AB AD AD AB AD AB ⋅=+⋅-=-=-．故选B ． 40．已知A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O l ∉，若正实数x 、y 满足42OP xOA y OB →→→=+，则2x yxy+的最小值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B【解析】因为42OP xOA y OB →→→=+，所以24x y OP OA OB →→→=+，由于A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点， 所以124x y+=，又0x >，0y >， 由基本不等式得2121212244x y x y x yxy x y x y y x⎛⎫+⎛⎫=+=++=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2y x =时取等号．故选B ．【名师点睛】设,OA OB →→是平面内不共线的斜率，若存在实数12,λλ使得12OC OA OB λλ→→→=+，则当12=1λλ+时，,,A B C 三点共线，反之，当,,A B C 三点共线时，12=1λλ+．二、多选题41．如果平面向量(2,4)(6,12)a b =-=-，，那么下列结论中正确的是 A ．||3||b a = B ．//a bC ．a 与b 的夹角为30D ．a 在b 方向上的投影为【答案】AB【解析】因为(2,4)(6,12)a b =-=-，，所以3a b =-． 在A 中，由3a b =-，可得||3||b a =，故A 正确； 在B 中，由3a b =-，可得//a b ，故B 正确；在C 中，由3a b =-，可得a 与b 的夹角为180︒，故C 错误；在D 中，a 在b 方向上的投影为||(6)a b b ⋅==--，故D 错误．故选AB ．42．已知向量,a b 满足||||1a b ==，且|2|5b a -=，则下列结论正确的是 A ．a b ⊥B ．||2a b +=C ．||2a b -=D ．,60〈〉=︒a b【答案】AC【解析】因为|2|5b a -=，所以()22b a-=22||4||45b a a b +-⋅=，又||||1a b ==，所以0a b ⋅=，所以a b ⊥，A 正确；因为222()22a b a b a b +=++⋅=，所以||2a b +=，B 不正确；因为222()22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，C 正确；因为a b ⊥，所以,90a b 〈〉=︒，D 不正确． 故选AC ．43．已知不共线的两个单位向量,a b ，若向量2a kb -与2a kb +的夹角为锐角，则符合上述条件的k 值可以是 A ．1- B ．1 C ．2D ．3【答案】AB【解析】因为向量2a kb -与2a kb +的夹角为锐角，所以()()222222440a kb a kb a k b k -⋅+=-=->且22a kb a kb -≠+， 所以22k -<<且0k ≠，即20k -<<或02k <<， 观察各选项可知符合条件的k 值可以是1-，1． 故选AB ．44．已知a ，b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，c 在该平面上，且(a ﹣c )·(b ﹣c )=0，则下列结论中正确的有A ．1a b +=B ．1a b -=C ．3c <D ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】BC【解析】如图，OA a =，OB b =，1OA OB ==，3AOB π∠=，则1AB OA ==，即1a b -=，B 正确；OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．AB 中点是M ，则23a b OM +==，A 错；c OC =的最大值为122OM MC +=+<C 正确；a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．D 错误．故选BC ．【名师点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．本题也可以放到平面直角坐标系中用坐标解决．45．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则 A ．||||a b =B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【解析】对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误；对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误； 对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅， 又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确． 故选CD ．【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．46．如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC ，AD 的延长线交于点E ，对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若,,3(,0)BC CE ED DA AB BF λμλμ===>，则A ．3144EB EF EA =+ B ．14λμ=C ．11λμ+的最大值为1D ．49EC AD EB EA⋅≥-⋅【答案】ABD【解析】选项A ． 由3AB BF =，可得34AB AF = 所以()33134444EB EA AB EA AF EA AE EF EA EF =+=+=++=+，故A 正确 ． 选项B ． 过B 作//BG FD 交AE 于点G所以,AF AD BC DG FB DG CE DE ==， 由这两式可得AF BC AD DG ADFB CE DG DE DE ⨯=⨯= 由,,3BC CE ED DA AB BF λμ===，则4AF FB =，BC CE λ=，1AD DE μ=所以14λμ=，即14λμ=，故B 正确．选项C ． 由B 可得()1144λμλμλμλμ++==+≥= 当且仅当λμ=，即12λμ==时取得等号， 故C 不正确． 选项D ． 由,,3BC CE ED DA AB BF λμ===得()1EB EC CB EC λ=+=+，()()11EA ED DA DA AD μμ=+=+=-+()()()()11511114EC AD EC AD EB EA EC AD λμλμλμ⋅⋅==-=-++⋅-++⋅++由555914444λμ++≥=+=，当且仅当λμ=，即12λμ==时取得等号 所以14594EC AD EB EA λμ⋅=-≥-⋅++，故D 正确．故选ABD 【名师点睛】本题考查向量的线性运算共线等的应用，考查利用均值不等式求最值，解答本题的关键是过B 作//BG FD 交AE 于点G ，得到,AF AD BC DGFB DG CE DE==，()()11EC AD EC ADEB EA EC ADλμ⋅⋅=⋅-++⋅，属于中档题．47．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,IAQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是 A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈B ．若12I I =，则AP BQ =C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I =D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD【解析】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线x y e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线x y e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅， 2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅， 若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确． 故选ABD【名师点睛】利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键． 48．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC【解析】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=．故选BC.49．如图，已知点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，()n F n N *∈为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()n G n N*∈满足()1223nn n n n G D aG A a G E +=⋅-+，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--【答案】AB 【解析】E 为AB 中点，2n n n G E G A G B ∴=+，即2n n n G B G A G E =-+，,,n D G B 三点共线，2n n n n G D G B G A G E λλλ∴==-+，又()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+，()12232n n a a λλ+=-⎧∴⎨-+=⎩，化简得123n n a a +=+，()1323n n a a +∴+=+，{}3n a ∴+是以134a +=为首项，2为公比的等比数列，B 正确；113422n n n a -+∴+=⋅=，123n n a +∴=-，C 错误；则432313a =-=，A 正确；()()223122122223324312nn n n S n n n ++-∴=++⋅⋅⋅+-=-=---，D 错误．故选AB ．【名师点睛】本题考查数列与向量的综合应用问题，解题关键是能够根据平面向量的线性运算和向量共线的性质推导得到数列的递推关系式，由此构造出所需的等比数列进行求解． 50．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是 A ．212AO AB AB ⋅=B ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线【答案】ACD【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM AB ⊥，AO cos OAM AM ∴∠=()21·cos cos ?22ABAO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==，故A 正确；··OAOB OAOC =等价于()·0OA OB OC -=等价于·0OACB =，即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直．故B 错误； 设BC 的中点为D ，则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭， 因为E ，F ，G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=，故C 正确；cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB BAC Cπ⋅-⋅=+0BC BC =-+=，∴cos cos AB ACAB BAC C+与BC 垂直，又AH BC ⊥，所以cos cos AB ACAB BAC C+与AH 共线，故D 正确．故选ACD ．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定． 三、填空题51．已知单位向量a 与b 的夹角为4π，则||+=a __________．【解析】因为单位向量a 与b 的夹角为4π，所以||||1a b ==，π||||cos 4⋅==b a a b因此||a52．若(0,0),(1,2)O A 且2OA OA '=，则A ′的坐标为__________． 【答案】(2,4)【解析】设(,)A x y '，则(,)OA x y '=，(1,2)OA =， 因为2OA OA '=，所以(,)2(1,2)(2,4)x y ==， 则2,4x y ==，即A '坐标为()2,4． 故答案为()2,4．53．已知a ，b 都是平面向量．若(1,1)a =-，(3,2)a b -=-，则a b ⋅=__________． 【答案】3-【解析】因为()(1,1)(3,2)(2,1)b a a b =--=---=-，所以(1,1)(2,1)3a b ⋅=-⋅-=-．故答案为3-．54．已知向量()3,cos a α=，()sin ,1b α=，且a b ⊥，则sin 2α=__________． 【答案】35【解析】因为a b ⊥，所以3sin cos 0αα+=，即1s 3in cos αα=-， 又22sin cos 1αα+=，所以29cos 10α=，所以223sin 22sin cos cos 35αααα==-=-．故答案为35． 55．已知向量1,,()()1,a m b m ==-，若(2)a b b -⊥，则b =__________． 【答案】2【解析】2(23,,23)0)(a b m a b b m -=-⋅=-+=，得23m =，所以212b m =+=．故答案为2．56．设向量(,3),(1,2),(1,1)a m b c ===-，若()a b c -⊥，则实数m =__________． 【答案】2【解析】由向量的坐标运算得(1,1)a b m -=-，因为()a b c -⊥，所以()0a b c -⋅=，即()()111120m m -⨯+-⨯=-=，解得2m =． 故答案为2【名师点睛】已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ⊥，则12120a b x x y y ⋅=+=57．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD 中，3AF AE =．设AF AB AD x y =+，则x y +的值为__________．【答案】65【解析】过点F 作FM AB ⊥，垂足为M ，根据正方形的性质，可知DA AB ⊥，因此//FM AD ， 由题意可知ADE ABF ≌，所以AE BF =，由题意可知EFGH 是小正方形，因此可知ABF 是直角三角形，设大正方形ABCD 的边长为1，AE BF a ==， 因为3AF AE =，所以33AF AE a ==，由勾股定理可知2222219AB AF BF a a a =+⇒=+⇒=，由310sin 11010BF FM FAB FM AB AF ∠==⇒=⇒=，由910cos 11010AF AM FAB AM AB AF ∠==⇒=⇒=， 因为931010AF AM MF AB AD ==++，所以391261010105x y +=+==， 故答案为6558．已知平面向量,,a b c ，若a b a c ⋅=⋅，则__________．（填你认为正确的结论）【答案】0a =或b c =或()a b c ⊥-【解析】若a b a c ⋅=⋅，则()0a b c ⋅-=，可得0a =或b c =或()a b c ⊥-． 故答案为0a =或b c =或()a b c ⊥-．59．已知||2a =，(1,3)b =，(2)10a b b +⋅=，则a 与b的夹角为__________．【答案】3π 【解析】因为2134b =+=，所以||2b = 因为2(2)2810a b b a b b a b +⋅=⋅+=⋅+=， 所以2a b ，所以21cos ,42a b a b a b〈〉===⨯， 因为[],0,a b π〈〉∈，所以a 与b 的夹角为3π． 故答案为3π． 60．已知平面向量(3,3a =，则与a 夹角为45°的一个非零向量b 的坐标可以为__________．（写出满足条件的一个向量即可） 【答案】(1,0)【解析】设(,)b x y =，3a b x ∴⋅=+=，x y =+，0xy ∴=，且b 为非零向量，x 1∴=，y 0=满足题意，(1,0)b ∴=．故答案为(1,0)．61．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1b =，()231a b b -⋅=-，则向量a 与b 的夹角的余弦值为__________． 【答案】12【解析】设向量a 与b 的夹角为θ，由()231a b b -⋅=-，可得21231221cos 31cos 2a b b θθ⋅-=-⇒⨯⨯⨯⇒-=-=． 故答案为1262．已知向量(1,2),(,3)a b m ==，若()a a b ⊥-，则a 在b 方向上的投影为__________．【解析】由(1,2),(,3),a b m ==可得(1,1)a b m -=--，因为()a a b ⊥-，所以()1201a a b m m ⋅-=--=⇒=-，所以(1,3)b =-．所以a 在b 方向上的投影为2||(1)a b b ⋅===-．． 63．已知平面向量a ，b 满足2244a b ==，()231a b b -⋅=-，则向量a 与b 的夹角的余弦值为__________． 【答案】12【解析】由2244a b ==，得2a =，1b =，设向量a 与b 的夹角为θ，由()231a b b -⋅=-可得2231a b b ⋅-=-，即1a b ⋅=又cos 21cos 1a b a b θθ⋅=⋅⨯=⨯⨯=，所以1cos 2θ=故答案为1264．若向量a 与b 的夹角为60，4b =，()()2372a b a b +-=-，则a =__________．【答案】6【解析】因为向量a 与b 的夹角为60，4b =，()()2372a ba b +-=-22672a a b b =-⋅--∴22cos 76620a a b b ∴=---⋅，即21496272a a -⨯-=-整理得22402a a -=-，解得6a =或4a =-（舍去） 故答案为665．平面向量a 与b 的夹角为60°，0,2a ，1b =，则2a b +=__________．【答案】【解析】因为2a =，1b =，a 与b 的夹角为60°，则1||||cos602112a b a b ⋅=⋅=⋅⋅=， 所以()222244a b a b a ba b +=+=++⋅==故答案为66．已知向量3,2cos 2a α→⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,52b →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且a b ⊥，则cos α=__________．【答案】725-【解析】因为向量3,2cos 2a α→⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,52b →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且a b ⊥，所以3cos 052α-+=，即3cos 25α=，所以27cos 2cos 1225αα=-=-． 故答案为725-． 【名师点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，半角公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．向量垂直的坐标表示：已知()()1122,,,a x y b x y →→==，若a b →→⊥，则12120a b x x y y →→⋅=+=．67．如图，已知圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，EF 是圆O 的一条弦，且2EF =，点P 在线段EF 上，则PA PB ⋅的最小值是__________．【答案】1-【解析】连接OP ，由题可知，()()224PA PB PA PBPA PB +--⋅=222224444PO BOPO BO PO -==--=，连接,OE OF ，在OEF 中，当OP EF ⊥时，OP 最小，由于2OE OF EF ===，所以OP =因此PA PB ⋅的最小值为1-， 故答案为1-．【名师点睛】把求PA PB ⋅最小值问题转化为求解点到线的最短距离问题是解决本题的关键． 68．平面向量(1,2),(4,2),()a b c ma b m ===+∈R ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =__________． 【答案】2【解析】由题意得()4,22,145,16425c ma b m m a b =+=++=+==+=， 58,820a c m b c m ⋅=+⋅=+．因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，c a c bc a c b⋅⋅∴=，=，解得2m =． 故答案为2．69．点D 为△ABC 的边BC 上一点（不含端点），且满足32x yA AB D AC +=，则12x y +的最小值为__________．． 【解析】由题意，点D 为△ABC 的边BC 上一点，且32x yA AB D AC +=， 根据平面向量的基本定理，可得030)21(,x x yy =>>+，则12124244()()3232333x y y x x y x y x y ++=++=++≥+=，当且仅当223y xx y=时，即3y =所以12x y +的最小值为43+．． 70．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且2MN =，P 为MN 的中点，AP AB AD λμ=+，则11λμ+的最大值是__________．【答案】43【解析】以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 设()2,2M a ，()2,2N b ，则()1,1P b a ++． 由2MN =可得()()22111a b -+-=，所以可设1cos a θ=+，1sin b θ=+，,2πθπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦．因为(1,1),(2,0),(0,2)AP b a AB AD =++==， 由AP AB AD λμ=+可得12b λ+=，12a μ+=， 所以()()82sin cos 112222112sin 2cos 42sin cos sin cos b a θθλμθθθθθθ+++=+=+=+++++++．设sin cos t θθ+=，1t ⎡⎤∈-⎣⎦，则2111644477744444t t t t t t t λμ++===≤+++++-++即当4t =时，11λμ+．故答案为43．【名师点睛】一般关于平面向量中的最值运算，如果没有坐标的话，通常根据题意建立直角坐标系，利用坐标表示向量的关系，然后数形结合，将式子转化为函数的最值或者利用基本不等式求解最值．。
选修2-1学霸必刷题 空间向量与立体几何(选择题、填空题)
空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单项选择题1．（江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二8月入学考试）已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（ ）A ．6或2-B ．6或2C ．3或4-D ．3-或4【答案】A【解析】AB ==()2216x -=，解得：2x =-或6x =．故选A2．（2020江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ 的长度为( )A B ．5C D 【答案】B【解析】由题得2(3,4,0),35PQ PQ =∴=+=，所以线段PQ 的长度为5． 故答案为B3．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ）A ．13- B ．-3 C ．13D ．6【答案】A【解析】因为//m n ，所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=， 所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-．故选A ．4．（江西省新余一中、宜春一中2021届高二联考）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出NO 与AM 的坐标，即可判断位置关系．【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,0,1)M ，(1,1,0)O ，(2,1,2)N ，∴(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-．∵0NO AM ⋅=，∴直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直． 故选: C5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．2aB ．212aC ．214a D 2 【答案】C【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=，故选C. 6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OBb =，OC c =则OP =（ ）A ．111666a b c ++B ．111333a b c ++C ．111633a b c ++D ．111366a b c ++【答案】C【解析】如图所示，连接ON ，∵OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，所以13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =，∴13OP ON NP ON NM =+=+121()333ON OM ON ON OM =+-=+21()32OB OC =⨯+1132OA +⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故选C ． 7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定【答案】A【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-， 所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选A8．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ，再求向量模长即可． 【解析】()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，，(),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=，()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，，(2213a b ∴+=+-=，故选C ．9．（江西省宜春市2016-2017学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +-D ．221b 332a c -+-【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选B10．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（ ）A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++D ．111366AA AB AD '++【答案】D【解析】∵点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =， ∴111111()333236AF AE AA A E AA A C AA A C ⎛⎫''''''''==+=+=+ ⎪⎝⎭ 11()36AA A B A D '''''=++111366AA AB AD '=++，故选D ． 11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D【解析】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅，AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，i AB BP ∴⋅=，21i AB AP AB ∴⋅==，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个，故选D .12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为（ ） A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，－3) D ．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy 平面对称的点的,x y 坐标不变，只有z 坐标相反． 【解析】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-．故选D ．13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ）A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--【答案】C【分析】根据题意求出2(4,0,2)a=-，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．【解析】因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2(4,0,2)a =-，则2(4,0,2)(0,1,2)(4,1,0)a b -=---=-，故选C ．14．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x y +等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】如图，()111111112AE AA A E AA A B A D =+=++ ()11111222AA AB AD AA AB AD =++=++，所以12x y ==，所以1x y +=．故选C15．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系O xyz -中，已知两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则这两点间的距离为（ ）A BC ．D ．18【答案】B【解析】根据题意，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则12||PP =B ．16．（湖北省恩施高中2020届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B ））已知向量()1,2a =，()3,b x =，()1,1c y =--，且//a b ，b c ⊥，则x y ⋅的值为（ ）A ．6B ．32 C ．9D ．132-【答案】C【解析】∵//a b ，∴60x -=，6x =，∴向量()3,6b =， ∵b c ⊥，∴()3610y -+-=，∴32y =，∴9x y ⋅=．故选C ． 17．（四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若()1,1,0A ，()13,0,12AB =，则点B 的坐标为（ ） A ．()5,1,2-- B ．()7,1,2- C ．()3,0,1 D ．()7,1,2【答案】D【分析】首先设出点(,,)B x y z ，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果． 【解析】设(,,)B x y z ，所以(1,1,)2(3,0,1)(6,0,2)AB x y z =--==，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以712x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为(7,1,2)，故选D ．18．（广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c --B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +-D ．111442a b c -++【答案】D 【解析】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++．故选D ．19．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】因为向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，所以23p a b c =++， 设p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+⇒++-+，有13223x y x y x z +=⎧⎪-=⇒=⎨⎪=⎩，12y，3z =，p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．20．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C所成角的余弦值为（ ）A． B ．15- C ．15D．5【答案】D【分析】用向量1,,AB BC BB 分别表示11,AM BC ，利用向量的夹角公式即可求解． 【解析】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,2BC BC BB B C BC BB =-=+=，()211111111111cos ,AB BB BC BB AB BC BB A M B C A M B C A M B C⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⋅⎝〈〉===0122cos604⨯⨯+⨯==故选D21．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A．9 B．9CD ．23【答案】A【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则1C E (1,1,1)=--，设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =，则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩，取n (2,2,1)=--，则1,cos n C E =11n C E nC E⋅9==，设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ，则9sin θ=，9cos θ==．故选A ． 22．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B tt ，则A ，B 两点的距离的最小值为A．10 B．5C．5D ．35【答案】C【分析】由两点之间的距离公式求得AB 之间的距离用t 表示出来，建立关于t 的函数，转化为求函数的最小值．【解析】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+，有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95，AB ∴，故选C ．23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-，设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||(1PM ==||(11)(1PN z =--+=所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===12c =时，||PQ 取得最小值4，此时P 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点．故选B24．（云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二7月月考数学（理）试题）长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A BCD ．【答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值．【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,1,2C 、()2,1,1E ，()2,1,1AE =，()10,1,2BC =，111cos ,6AE BC AE BC AEBC ⋅<>===⋅． 因此，异面直线1BC 与AE ．故选B ． 25．（广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））在正方体ABCD --A 1B 1C1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A．5-B．5C ．D 【答案】B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【解析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，， 设平面1B BD 的法向量为() ,,x n y z =，∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，，∴10cos ,n BE n BE n BE ⋅==⋅，设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ．26．（陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（ ）A ． BC ．D 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则2=1AB ，2=1AD ，21=4AA ，0AB AD ⋅=，111cos 1AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 1AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++()1222111222AB AD AA AB AA AB AD AD AA =+++⋅+⋅+⋅==，故选B ．27．（2020届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4 B ．[]0,2 C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2．故选B ．【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题．28．（湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）A ．52B ．2C ．32D ．116【答案】A【解析】由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=．故选A ．29．（安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-， 所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以2cos QP QB QP QBx zα⋅==⋅+又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，sin QP CP QPβ⋅==所以cos β=cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 30．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53 C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=，||BP ∴==9255=， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．31．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE的一个法向量(m x=+-，底面ABC的一个法向量为(0,0,1)n =，cos|cos,|m nα=<>==当1(0,)2x∈，cosα随着x增大而增大，则α随着x的增大而减小，当1(,2)2x∈，cosα随着x增大而减小，则α随着x的增大而增大．故选D．32．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设(,,)Q x y z，根据点Q在直线OP上，求得(,,2)Qλλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB⋅取得最小值，即可求解．【解析】设(,,)Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得OQ OPλ=，即(,,)(1,1,2)x y zλ=，可得(,,2)Qλλλ，所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---，则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．33．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.34．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ）A ．24B ．23 C ．3 D ．3 【答案】C【分析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值． 【解析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1D B C A ∴()()()111,0,1,1,0,1,1,1,0BC A D BD =-=--=--， 设(),,n x y z =是平面1A BD 的一个法向量，∴100n A D n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =--，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ， ∴11126sin cos ,323BC nBC n BC nθ⋅-=〈〉===⨯， ∴23cos 1sin θθ=-1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是33， 故选C.【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角．35．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈， ()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2AP λ=，设1A P 与BD 所成角为θ，则cos 2DB APDB APθ⋅===⋅ ==12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ． 36．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A．4B ．6C．14D【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-，记直线1A C 与平面ABCD 所成角为θ，则11sin 4cos ||CA nCAn θ⋅===⋅设315cos ,,sin 222t αθ⎡⎤=+∈=≤=⎢⎥⎣⎦ 所以直线1A C 与平面ABCD ，故选A ． 二、多项选择题37．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a为单位向量 【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误．故选BD ．38．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（ ） A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅． 【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选AB.39．（广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A ．点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4 B ．到()1,0,0的距离小于1的点的集合是()(){}222,,11x y z x y z -++<C ．点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()2,2,2D ．点()1,2,0关于平面yOz 对称的点的坐标为()1,2,0- 【答案】BCD【解析】对于选项A ：点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，所以A 不正确； 对于选项B ：点(),,x y z到()1,0,0的距离小于11<，所以B 正确；对于选项C ：点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()132231,,2222,2,2⎛⎫=⎪⎝⎭+++，所以C 正确；对于选项D ：由点(),,x y z 关于平面yOz 对称的点的坐标为(),,x y z -，所以D 正确． 故选B C D ．40．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列结论正确的是（ ）A ．211AB AC a ⋅=- B ．212BD BD a ⋅= C ．21AC BA a⋅=- D ．212AB AC a ⋅=【答案】BC【解析】如下图所示：对于A 选项，()2211AB AC AB AC AB AB AD AB a ⋅=⋅=⋅+==，A 选项错误；对于B ，()()()()2221112BD BD AD AB BD DD AD AB AD AB AA AD AB a ⋅=-+=--+=+=，B 选项正确；对于C 选项，()()2211AC BA AB AD AA AB AB a ⋅=+⋅-=-=-，C 选项正确；对于D 选项，()2211AB AC AB AB AD AA AB a ⋅=⋅++==，D 选项错误．故选BC ．41．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-，所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确；()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.42．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD 【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． 43．（福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅不是定值 C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值 D ．11DC D P ⊥【答案】ACD【解析】A ．因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B ．11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos901212AA DC A P DC =+=⨯⨯=，故11AP DC ⋅=，故B 不正确； C ．1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确； D ．111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A =，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确．故选ACD44．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确．故选ABC ．45．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-，设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =，所以(1,2,1)n =， 同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确； 三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确．故选CD ．46．（山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱锥1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】BC【解析】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<< ()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=-，(111cos ,01D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<++-1301,01,,24a b D P AC ππ<<<<∴<<∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确；对于C ，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误；故选BC ．47．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD【解析】如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-,∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--,()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠， ∴AC 与AF 不垂直，A 错误．E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D ，∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等，∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离，A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△，∴1134224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确．故选BD ．48．（江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高三上学期开学测试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为1，又BC '与B C '交于点O ，则（ ）A ．AO =111222AB AC AA '++ B ．AO B C '⊥C ．三棱锥A BB O '-D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱ABC A B C '''-如图所示，向量()()111222AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA ''=+=++=+-+ 111222AB AC AA '=++，故选项A 正确；在AOC △中，1AC =，22OC，1OA ==， 222OA OC AC +≠，所以AO 和B C '不垂直，故选项B 错误；在三棱锥A BB O '-中，14BB O S '=，点A 到平面BB O '的距离即ABC 中BC 边上的高，所以h =以111334A BB O BB O V S h ''-==⨯=C 正确； 设BC 中点为D ，所以AD BC ⊥，又三棱柱是正三棱柱，所以AD ⊥平面BB C C ''，所以AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，112cos 12OD AOD OA ∠===，所以3AOD π∠=，故选项D 错误．故选AC49．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一））如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC所成角的余弦值为3C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以Q ，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==(1,2,3)n =--，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===，所以22cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛++-=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以2236⎫=⎪⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确．故选BD.50．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+， 22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=，3PA PB PC PQ ∴++=，即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确；对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=，0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=，()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=，0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+==2MN ∴=D 错误．故选ABC.三、填空题51．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝_________．。
专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x， 当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则 的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（ ）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1， 故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时， 取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边 的中线 上，则的最大值为（ ）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】 解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系， 则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在 斜时，最大值为 ．故选：B． 二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则 的最大值为_____． 【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由 ，从而，即，从而问题可得解.恒成立， ，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ，向量，，且，若 ，则 面积的最大值为________．【答案】 【解析】由 ，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当 时等号成立，所以，即．故答案为： ． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22， ，则当且仅当即 时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形， 三角形的外接圆半径为 ，以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知 为直角，，若长为 的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角，则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心， 是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点 在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数 所以函数在[1，+∞）上都是增函数， 在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则 的最25解得，因为 在圆上，所以 即， ，所以，所以，解得或，因为 只能在优弧 上，所以，故26。
高三数学复习选择、填空题易错题集锦
高三数学复习选择、填空题易错题集锦1．若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合的一种分拆，并规定当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2， A 1）为集合的同一种分拆，则集合A={1，2，3}的不同分拆种数为 （ ）A ．27B 。
26C 。
9D 。
82．设A={-3，x+1,x 2},B={x-5,2x-1,x 2+1},若A ∩B={-3}，故实数x 等于 （ ）A ．-1B 。
0C 。
1D 。
23．若条件p:|x+1|≤4，条件q:x 2<5x-6，则p H 是q H的 （ c ）A ．充要条件B 。
必要不充分条件C 。
充分不必要条件D 。
既不充分也不必要条件4．满足P ∪Q={p,q}的集P 与Q 共有 （ ）组。
A ．4B 。
6C 。
9D 。
115．设集合M={直线}，P={圆}，则集合M ∩P 中的元素个数为 （ ）A ．0B 。
1C 。
2D 。
0或1或26．已知映射f :A →B ，其中A=B=R ，对应法则f :y=-x 2+2x,对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是 （ ）A ．k >1 B.k ≥1 C.k <1 D.k ≤17．命题：①”若b 2-4ac>0,则关于x 的实系数方程ax 2+bx+c=0的解集必含有两个元素”；②“矩形的两条对角线相等”的逆命题；③ “若a>b ，则a+c ≥b+c ”的否命题；④命题“若x>5则x ≤3”的否定是“存在x 0>5,但x 0>3”。
上述真命题个数是 ( )A ．1B 。
2C 。
3D 。
48．已知集合A={x|2-x=(x-2)22x =-},p:x ∈A ，q: x ∈B,则p 是q 的（ ）A ．充分条件，但不是必要条件B 。
必要条件，但不是充分条件C ．充分必要条件D 。
既不充分，也不必要条件9．已知集合A{x|y=2|x|+1,y ∈Z}，B={y|y=22|x|+1,x ∈Z},则A ，B 的关系是 （ ）A ．A=B B 。
高中数学平面向量基础提高练习题含答案【选择填空精选50题难度分类】().doc
一、选择题（共36题）【基础题】1. 下列物理昼 ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨电流强度;⑩摩擦系数，其中不是向量的有（ ） A.4个B. 5个C.6个D.7个2. 下列六个命题中正确的是（）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若丨a \ = \ b I ,贝ij a=b ；③若店=& ,则ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有乔 =&；⑤若 m =n. n =k,则 m=k ；⑥若a//b,b//c ，贝\\a//c.以下说法错谋的是（ ）A. 零向虽与任一非零向虽平行 C. 平行向量方向相同B. 零向量与单位向量的模不相等D.平行向量一定是共线向量—》 1 —> —> —》 —》 1 ―> AC=-BC (C) BA = BC (D) BC=- AC 2(C) MB + AD-BM(D) OC-OA + CD---------------------------——•I -------- ►已知向量0M = (3,—2),CW = (-5-1),则/MN 等于(已知向量"（3-1）,/? = （-1,2）,则-3a 一 2b 的坐标是（A.①②③B.④⑤C.④⑤⑥D.⑤⑥4. 已知B 是线段AC 的中点, 则卜-列各式正确的是（） 5. 下列四式不能化简为朮的是（(A) (AB+CD) +BC(B) CAD+MB ) + ^BC + CM6、 A. (8,1)B. (-8,1)C ・（4冷）D.（-4冷） 7、A. (7,1)B. (-7-1)C. (-7,1)D ・(7-1)3.(A) A^=~BC (B)8. 与向量a=(-5, 4)平行的向量是( )5 4A. (-5k, 4k)B.C. (-10, 2)D. (5k, 4k)k k9.已知a = (_1,3)上=(兀厂1), SLa // b ,贝!J x 等于( )A. 3B. -3 c. 13D. -13—>10.已知d ==(昇) ，b = (-#,#),下列各式正确的是( )-> -> b (B) a ■ b -> T-》—>(A) a =J丿=1 (C) a = b (D)a与〃平行11.在四边形ABCD中，AB=DC ,且花・BD=0,则四边形ABCD是( )(A)矩形(B)菱形(C)直角梯形(D)等腰梯形【中等难度】12、下面给出的关系式屮正确的个数是( )①0Q = 0②H・b=bV③疋=\a\z@)@・b)C = U(b・C⑤云・b <a-b(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 313.已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且篇=；,AD = b f则旋 =( )(A) h + ^a (B) b _(C) a +^h(D) a —^h-- 》—► > —> -- A14.已知ABCDEF 是正六边形，.FL AB = a , AE = b ,则BC =( )T T -> T -> ->(A) y(/z- b) (B) j(b-a) (C) d+*b15.设a, 〃为不共线向量，AB =6t+2ft, BC =—4 a—b, CD= —5 a—3〃,-> ->(D) ^(a+b)则卞列关系式中正确的是（）16. 设;与幺;是不共线的非零向量，凡与;+kw ；共线，则k 的值是()(A) 1(B) -1(C)±1(D)任意不为零的实数17. 在MBC 中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上满足一 PA = 2PM PA (PB + ~PC )等于 ( ) 4 4 4 4 A.- B.- C.——D.——9 33918.己知a 、〃均为单位向量，它们的夹角为60。
高三数学三角与向量专题训练带解析
2015届高三数学三角与向量专题训练（带解析）2015届高三数学三角与向量专题训练（带解析）一、选择、填空题1、（2014广东高考）已知向量则下列向量中与成夹角的是A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）2、（2012广东高考）若向量，，则（）A.B.C.D.3、（2011广东高考）若向量满足∥且，则A．4B．3C．2D．04、（2014广东高考）在中，角所对应的边分别为，已知，则5、（广州市第六中学2015届高三上学期第一次质量检测）已知向量与的夹角为120°,且,若,且，则实数的值为(）A．B．C．D．6、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）已知菱形的边长为，，点分别在边上，.若，，则A．B．C．D．7、（广州市执信中学2015届高三上学期期中考试）在中，已知,则的面积是（）A．B．C．或D．8、（惠州市2015届高三第二次调研考试）设向量，，则下列结论中正确的是()A．B．C．D．与垂直9、（江门市普通高中2015届高三调研测试）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．1010、（韶关市十校2015届高三10月联考）将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（）A.；B．；C.；D.11、（深圳市2015届高三上学期第一次五校联考）已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．12、（湛江市2015届高中毕业班调研测试）在△ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=﹣，B=，b=1，则a=．13、（肇庆市2015届高三10月质检）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若+++所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．0二、解答题1、（2014广东高考）已知函数，且，（1）求的值；（2）若，，求。
高三数学练习题及答案
高三数学练习题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(1)的值为（）。
A. 1B. 5C. 1D. 52. 若|a| = 5，则a的值为（）。
A. 5 或 5B. 0C. 5D. 53. 下列函数中，奇函数是（）。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 1/x4. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，a3 = 3，则公差d为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）。
A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 不在坐标轴上二、填空题1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则第7项的值为______。
2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 1)，则2a 3b = ______。
3. 不等式2x 3 > x + 1的解集为______。
4. 二项式展开式(a + b)^10中，含a^3b^7的项的系数为______。
5. 在三角形ABC中，a = 5, b = 8, sinA = 3/5，则三角形ABC的面积为______。
三、解答题1. 讨论函数f(x) = x^3 3x在区间(∞, +∞)上的单调性。
2. 设函数f(x) = (1/2)^x 2^x，求f(x)的单调递减区间。
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该数列的通项公式。
4. 在△ABC中，a = 10, b = 15, C = 120°，求sinA和cosA的值。
5. 解三角形ABC，已知a = 8, b = 10, sinB = 3/5。
6. 已知函数f(x) = x^2 + ax + 1在区间[1, 3]上的最小值为3，求实数a的值。
7. 设函数f(x) = x^2 2x + c，讨论函数在区间[0, 3]上的最大值和最小值。
高中数学向量专项练习(含答案)
高中数学向量专项练习一、选择题1. 已知向量若则（）A. B. C. 2 D. 42. 化简+ + + 的结果是（）A. B. C. D.3．已知向量, 若与垂直, 则（）A. -3B. 3C. -8D. 84．已知向量, , 若, 则（）A. B. C. D.5．设向量, , 若向量与平行, 则A. B. C. D.6．在菱形中, 对角线, 为的中点, 则（）A. 8B. 10C. 12D. 147．在△ABC中, 若点D满足, 则（）A. B. C. D.8．在中, 已知, , 若点在斜边上, , 则的值为（）．A. 6B. 12C. 24D. 489．已知向量若, 则（）A. B. C. D.10．已知向量, , 若向量, 则实数的值为A. B. C. D.11．已知向量, 则A. B. C. D.12．已知向量, 则A. B. C. D.13．的外接圆圆心为, 半径为, , 且, 则在方向上的投影为A. 1B. 2C.D. 314．已知向量, 向量, 且, 则实数等于（）A. B. C. D.15．已知平面向量, 且, 则实数的值为（）A. 1B. 4C.D.16．是边长为的等边三角形, 已知向量、满足, , 则下列结论正确的是（）A. B. C. D.17．已知菱形的边长为, , 则（）A. B. C. D.18．已知向量, 满足, , 则夹角的余弦值为( )A. B. C. D.19．已知向量=（1, 3）, =（-2, -6）, | |= , 若（+ ）·=5, 则与的夹角为（）A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°20．已知向量, 则的值为A. -1B. 7C. 13D. 1121．如图, 平行四边形中, , 则（）A. B. C. D.22．若向量 , , 则 =（ ）A. B. C. D.23．在△ 中, 角 为钝角, , 为 边上的高, 已知 , 则 的取值范围为（A ）39(,)410 （B ）19(,)210 （C ）33(,)54 （D ）13(,)2424. 已知平面向量 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.25．已知向量 , , 则A. （5,7）B. （5,9）C. （3,7）D.（3,9） 26．已知向量 , 且 , 则实数 ＝（ ）A. －1B. 2或－1C. 2D. －227．在 中, 若 点 满足 , 则 （ ）A. B. C. D.28．已知点 和向量 , 若 , 则点 的坐标为（ ）A. B. C. D.29．在矩形ABCD 中, 则 （ ）A. 12B. 6C.D.30. 已知向量 , ,则 （ ）.A. B. C. D.31．若向量 与 共线且方向相同, 则 （ ）A. B. C. D.32．设 是单位向量, 且 则 的最小值是（ ）A. B. C. D.33．如图所示, 是 的边 上的中点, 记 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.34．如图, 在 是边BC 上的高, 则 的值等于 （ ）ADCB35．已知平面向量的夹角为, （）A. B. C. D.36．已知向量且与共线, 则（）A. B. C. D.二、填空题37. 在△ABC中, AB＝2, AC＝1, D为BC的中点, 则＝_____________.38．设, , 若, 则实数的值为（）A. B. C. D.39．空间四边形中, , , 则（）A. B. C. D.40. 已知向量, , 满足, , 若, 则的最大值是 .41. 化简: = .42. 在中, 的对边分别为, 且, , 则的面积为 .43. 已知向量=（1, 2）, •=10, | + |=5 , 则| |= .44．如图, 在中, 是中点, , 则．45. 若| |=1, | |=2, = + , 且⊥, 则与的夹角为________。
高三数学向量专项练习题及答案
高三数学向量专项练习题及答案一、选择题1. 设向量a = (2, 3)、b = (4, -1)，则a + b的坐标表示为：A. (6, 2)B. (2, 2)C. (6, -2)D. (2, -2)答案：A. (6, 2)2. 设向量a = (3, 2)，则2a的坐标表示为：A. (3, 2)B. (6, 4)C. (2, 3)D. (6, 2)答案：B. (6, 4)3. 已知向量a = (5, -3)和b = (1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 5B. 1C. -7D. -1答案：C. -74. 向量a, b的夹角θ满足sinθ = 1/2，则θ的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C. 60°5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的面积为：A. 4B. 6C. 7D. 8答案：B. 6二、填空题1. 设向量a = (2, 5)，则|a|的值为________。
答案：sqrt(29)2. 设向量a与向量b的夹角θ满足cosθ = 1/√2，则θ的大小为________。
答案：45°3. 平面直角坐标系中，若点A(3, 4)到点B(-2, -3)的距离为√k，则k= ________。
答案：504. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，则向量a - b = (_______,_______)。
答案：(-2, 4)5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的周长为________。
答案：约9.21三、解答题1. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，求向量a与向量b的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积为：a·b = 2×4 + 3×(-1) = 8 - 3 = 5。
高中高三数学试卷复杂难题
一、选择题（每题10分，共40分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若存在实数a，使得f(a) = 0，则f'(a)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 22. 设向量a = (1, 2)，向量b = (3, -4)，向量c = (x, y)，若向量a、b、c共面，则x + y的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 25，则数列{an}的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则数列{bn^2}的前n项和Tn为（）A. 5^n - 1B. 4^n - 1C. 6^n - 1D. 7^n - 15. 已知双曲线x^2/9 - y^2/16 = 1的渐近线方程为y = ±(4/3)x，则该双曲线的离心率为（）A. 5/3B. 3/5C. 4/3D. 3/4二、填空题（每题10分，共40分）6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若f(x)在区间[1, 3]上的最大值为M，最小值为m，则M + m = _______。
7. 设复数z = a + bi（a，b∈R），若|z - 1| = |z + 1|，则a = _______。
8. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 35，S10 = 100，则数列{an}的首项a1 = _______。
9. 设等比数列{bn}的首项b1 = 1，公比q = -2，则数列{bn^3}的前n项和Tn = _______。
10. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1处取得极值，则a + b + c =_______。
三、解答题（共60分）11. （20分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求：（1）函数f(x)的单调区间；（2）函数f(x)的极值；（3）函数f(x)的拐点。
高考数学《向量》专题复习(专题训练)
高考《向量》专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。
向量可以任意平移。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化：与共线的单位向量是.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行；④平行向量无传递性！（因为有)；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→→； （2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→→；（3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则=),(1212y y x x --； （4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→→b a //1221y x y x =⇔； （5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=⋅→→， 所以002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a ； （6）若),(y x a =→，则22y x a +=→；（7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使 21PP P P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以定比为λ的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ. 注意：①设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段21P P 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。
高考数学一轮复习专题一选择、填空题对点练5平面向量课件理
似”，则实数 k 的取值范围为________．
第二十七页，共28页。
解析：由题意知 a＝1，b＝2，所以 A(1,2)，B2，52.所以直线
AB 的方程为 y＝12(x＋3)．因为 xM＝λa＋(1－λ)b＝λ＋2(1－λ)＝2－
λ，
＝λ(1,2)＋(1－λ)2，52＝2－λ，52－2λ，所
以 xN＝2－λ，所以 M，N 的横坐标相同且点 N 在直线 AB 上，所
第二十一页，共28页。
解析：选 A 因为 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，所
以 c＝(1，λ)，由图象可知 d＝(4,3)，所以 cos〈c，d〉＝54＋1＋3λλ2>0，
排除
C，D
项；当 5
4＋1＋3λλ2＝12，即
11λ2＋96λ＋39＝0
时，此方程
无正根，所以无解，排除 B 项；当54＋1＋3λλ2＝ 23，即 39λ2－96λ＋
＝
＝8－6＝ 20
55.
答案：
5 5
第二十三页，共28页。
第二十四页，共28页。
15．如图，在△ABC 中，∠B＝60°，O 为△ABC 的外心，P
为劣弧 AC 上一动点，且 的最大值为________．
(x，y∈R)，则 x＋y
第二十五页，共28页。
解析：∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，当 P 在 A 点时，x ＝1，y＝0，x＋y＝1；当 P 在 A，C 之间时，得 x>0，y>0，将 两边平方得 x2＋y2－xy＝1，(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋2 y2＝34(x＋ y)2，即(x＋y)2≤4，x＋y≤2，故(x＋y)max＝2.
第十八页，共28页。
高三数学必考试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 3，f(2) = 7，则a 的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，S5 = 50，则第10项a10的值为（）A. 19B. 20C. 21D. 223. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，cosA=1/3，则sinB的值为（）A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. √2/64. 若复数z满足|z-1| + |z+1| = 4，则复数z的几何意义是（）A. 复平面内到点(1,0)和(-1,0)的距离之和为4B. 复平面内到点(1,0)和(-1,0)的距离之差为4C. 复平面内到点(1,0)和(-1,0)的距离之积为4D. 复平面内到点(1,0)和(-1,0)的距离之比为45. 下列函数中，在其定义域内单调递减的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = -x^36. 若向量a = (1, -2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值是（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/57. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在x=1处的切线斜率为k，则k的值为（）A. 2B. -2C. 1D. -18. 若等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 1/2，则该数列的前10项和S10等于（）A. 1024B. 512C. 256D. 1289. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则第n项an的值为（）A. 2n + 1B. 2n + 3C. 2n - 1D. 2n - 310. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的实部等于（）A. 0B. 1C. -1D. 无法确定二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x)在x=2处的导数值为f'(2)= ，则f'(2)的值为______。
高中平面向量知识点填空(1)
高中向量知识点填空（1）学生:一、向量的概念平面向量的相关概念：（1） 向量：既有大小又有方向的量叫做向量；（2） 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3） 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0，（0的方向是不确定（任意）的）； （4） 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； （5） 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； （6） 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量（也称共线向量）．二、向量的加减法1、向量的加法法则(1)三角形法则AB →＋BC →＝_______． (2)平行四边形法则OA →＋OB →＝_________．2、向量的减法→a －→b ＝OA →－OB →＝__________． “终点向量减始点向量”．三、向量的数乘运算实数与向量相乘的运算λa 的方向：当λ> 0时λa 与a 方向_____；当λ< 0时λa 与a 方向______(相同/相反)．如果λ= 0或0a =，那么0λ=a —————． 单位向量单位向量：长度(模)为______的向量叫做单位向量．设e 为单位向量，则1e =——．不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a ．则0a =_______四、向量的坐标表示及运算（1）向量的正交分解：平面直角坐标系中任意向量a 都可以正交分解为a xi y j =+的形式． （2）平面向量的坐标表示：a OA xi y j ==+．则a =OA =____________，称为向量a 的坐标表示．A(,)a x y =实际上是向量a 的正交分解a xi y j =+的简记形式．根据坐标表示，显然有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===． （3）向量坐标表示的运算：设λ是一个实数，1122(,),(,)a x y b x y ==．()()()()(,)a b x i y j x i y j x x i y y j x x y y +=+++=+++=++________________________； ()()()()(,)a b x i y j x i y j x x i y y j x x y y -=+-+=-+-=--________________________； ()(,)a x i y j x i y j x y λλλλλλ=+=+=___________________________． （4）向量的模：若向量(,)a x y =，则向量a 的模等于||a x y =+__________________． （5）向量坐标与点的坐标的关系：如图，已知1122(,),(,)P x y Q x y ，由向量减法的意义：2211(,)(,)(,)=-=-=--PQ OQ OP x y x y x x y y ________________________ 这就是说：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． （6）向量共线的坐标运算若),(),,(2211y x b y x a ==，b a ∥且（非零向量a b 共线）为则________________________（7）共线向量推论：对任一点O ，点P 在直线AB 上⇔存在实数λ，使(1)OP OA OB λλ→→→=-+．五、定比分点公式已知),(111y x P 、),(222y x P 是直线上任一点，且12(1)PP PP R λλλ=∈≠-且，令),(y x P ， 则1211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩中点坐标公式当1=λ时，P 为线段21P P 的中点，即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x ； 重心坐标公式),(11y x A ),(22y x B ),(33y x C ，G 为△ABC 重心，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x．O。
高考向量选择题知识点汇总
高考向量选择题知识点汇总在高考数学中，向量是一个重要的概念和工具。
向量可以用来表示方向和大小，并且在解决几何和物理问题中有广泛的应用。
因此，掌握向量的相关知识点对于高考数学的学习和应试非常重要。
本文将对高考向量选择题中常见的知识点进行汇总和总结，以帮助同学们更好地备考。
一、向量的基本概念和表示方法1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头长度表示向量的大小，箭头方向表示向量的方向。
2. 向量的表示方法：可以用坐标、分量以及起点和终点的位置表示。
3. 向量的运算：向量的加法和减法，需要将向量的坐标或分量相应地相加或相减。
二、向量的性质和基本运算1. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行的。
2. 等向量：如果两个向量的大小和方向相同，则它们是等向量。
3. 共线向量：如果两个向量的起点和终点在同一直线上，则它们是共线的。
4. 数乘运算：向量乘以一个实数，相当于改变向量的大小而不改变方向。
5. 内积运算：向量的内积等于两个向量的模长之积乘以它们的夹角的余弦值。
6. 外积运算：向量的外积可以用来求解两个向量所构成的平行四边形的面积。
三、向量与平面几何的应用1. 向量的共线判定：如果两个向量的夹角为0°或180°，则它们共线。
2. 向量的垂直判定：如果两个向量的内积为0，则它们垂直。
3. 向量的投影：向量在另一个向量上的投影是一个向量，它的方向和另一个向量相同，而大小等于投影长度与另一个向量的模长之积。
四、向量的运动学应用1. 相对速度：如果两个物体以不同的速度相对运动，则它们之间的相对速度可以表示为一个向量。
2. 速度的合成与分解：将速度向量按照不同方向进行合成或分解，可以方便地求解相对运动的问题。
3. 加速度：加速度是速度变化率的向量表示，常用于描述物体的加速运动。
五、向量的解析几何应用1. 向量的模长公式：根据坐标计算向量的模长，可以利用勾股定理进行计算。
高三数学 平面向量多选题知识归纳总结含答案
高三数学 平面向量多选题知识归纳总结含答案一、平面向量多选题1．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗C ．()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=- 【答案】BD 【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λab 时,()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,()()()sin ,sin,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】解：对于A ：()()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a bλλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立； 对于C ，若λab ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立； 对于D ，1212cos ,x x y y a b a b+=⋅，212sin ,1a b a b ⎛ ⎪=- ⎪⋅⎭，即有222121212121x x y y x x y y a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⊗=⋅⋅-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⎭⎭===1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.2．下列命题中真命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC 【分析】对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确.对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.3．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（ ）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上C ．线段PG 长的最大值为1D ．PA PB ⋅的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断.【详解】对于选项A ：设()00,G x y ，2AB =G 为弦AB 的中点，GB ∴=，而()()22:114C x y +++=， 半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --，()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确； 对于选项B ：由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 代入()()2222x y -+-整理得2， 故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=，()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2minmin3PA PBPG ⋅=-，由选项C知：1112min 11PG PG r r =--=-=，所以()()2min136PA PB⋅=-=-，故选项D 错误； 故选：A B C. 【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.4．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确 故选：BCD 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.5．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.6．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 【答案】ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.7．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（ ） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥ C ．//FG BC D ．FG EF ⊥ 【答案】ABD 【分析】取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底， 则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233PG PH a b a b ==⨯+=+， 1121111,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，11113333FG PG PF a b b a =-=+-=，1121133333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；0FG EF ⋅=，D 正确.故选:ABD.【点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.8．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()2cos ,2||||122a ab a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4π.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式22+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||)2?(a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式121222221122•+?a bcos a b x y x y ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值.二、立体几何多选题9．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）A ．11EB AD ⊥B ．二面角11E A B A --的大小为4πC ．三棱锥11A BDE -体积的最小值为313a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知14DA A π∠=，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为316a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A DA B A =， 则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ，所以11EB AD ⊥，选项A 正确；选项B ，因为11//DE A B ， 则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --，由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ，则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14DA A π∠=， 所以选项B 正确；选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ，则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅，连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小，由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ，所以1111123111113326D AB D B ADD ADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ，则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.10．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D DD ．四边形1BFDE 面积的最小值为62 【答案】BCD【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 的面积最小为62. 【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ，如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E平面11ABB A BE =. 平面1BFD E 平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16232=D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。
平面向量知识点复习填空
平面向量知识点复习填空(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--必修4第二章平面向量知识点1、向量：______________________． 数量：_______________________． 有向线段的三要素：__________________． 零向量：__________________． 单位向量：______________________________．平行向量（______________）：_______________________________．零向量与任一向量平行．相等向量：____________且____________．2、向量加法运算：⑴三角形法则的口诀：________________．⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：______________；②结合律：_______________________；⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：______________________________． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向_____；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向____；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②___________________；③____________________．⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：___________________________________________________________b a CBAa b C C -=A -AB =B设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当________________时，向量a 、()0b b ≠共线．6、平面向量基本定理：________________________________________________________________________________________________________________________________________（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）7、平面向量的数量积：⑴cos a b a b ⋅=0． 0=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a b -；22a a ==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅ ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+设()11,a x y =，()22,b x y =，则a ⊥．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =22是a 与b 的夹角，则121cos a b a b x θ⋅==+。
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高三数学平面向量选择填空资料1．已知点(6,2)A ，(1,14)B ，则与AB 共线的单位向量为（ ） A ．125(,)1313-或125(,)1313- B ．512(,)1313- C ．512(,)1313-或512(,)1313- D ．512(,)1313- 2．在平面直角坐标系中，A ，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则||OA OB +的最大值是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．平面四边形ABCD 中0AB CD +=，()0AB AD AC -=⋅，则四边形ABCD 是 （ ） A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形 D ．菱形4．在三角形ABC 中，F E ,分别为边AC AB ,上的点，且2,AE EB AF FC ==，||3,||2AB AC ==，060=A ，则BF EF ∙等于（ ）A ．92 B ．72 C ．154 D ．1345．如下图所示，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC xOA yOB =+，则( )A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<6．△ABC 的三内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ，设向量),(sin c a B p += ,),sin (sin a b A C q --=.若,R ∈∃λ使,q pλ=则角C 的大小为( )A ．6π B ．32π C ．3π D ．2π7．如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为（ ）A ．3 B． C ．9 D ．68．已知ABC ∆的面积为2，在ABC ∆所在的平面内有两点P 、Q ，满足=+,2=,则APQ ∆的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．1 9．已知,a b R +∈，若向量(2,122)m a =-与向量(1,2)n b =+的最大值为（ ） A ． 6 B ．4 C ．3D ．3 10．已知向量,a b满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-.C ．2-D ．211．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23- 12．已知B A ,是圆O ：122=+y x 上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB ∆的面积最大时，则2-∙的最大值是（ ）A ．1-B ．0C ．81 D ．2113．在ABC ∆中，E 、F 分别为AB 、AC 中点．P 为EF 上任一点，实数x 、y 满足PA xPB +0yPC +=．设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，则当23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．32-D ．3214．已知正三角形OAB 中，点O 为原点，点B 的坐标是()3,4-，点A 在第一象限，向量()1,0m =-，记向量m 与向量OA 的夹角为α，则sin α的值为( )A． BCD15．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +的最小值为（ ）A ．92B ．9C ．92- D ．－916．在ABC ∆中，2,2AB BC A π==∠=，如果不等式BA tBC AC -≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D ．(][),01,-∞+∞17． i 与j 为互相垂直的单位向量，2a i j =-，b i j λ=+且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ） A ．1(,2)(2,)2-∞-- B ．1(,)2+∞C ．22(2,)(,)33-+∞D ．1(,)2-∞18．已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且1OA OB ⋅=-，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆内的概率恰为，则ABC ∆的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形19．如图所示,P 为∆AOB 所在平面上一点，且P 在线段AB 的垂直平分线上，若3,2OA OB ==,则()OP OA OB ⋅-的值为( )A ．5B ．3C ．52D ．3220．在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC =，点O 在线段CD 上（与点D C ,不重合）若 AC x AB x AO )1(-+=则x 的取值范围（ ）A ． )1,0(B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．)0,1(- D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题1．平面向量与的夹角为60，()0,2=1==+2．已知向量a ，b 满足1||=，2||=，a b a⊥-)(，则向量a 与向量b 的夹角为3．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =，若AD x AF y AE=+，,x y R ∈，则x y +的值为4．是平面上一点，C B A ,,是平面上不共线三点，动点P 满足：(),AC AB OA OP ++=λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0λ，已知21=λ时，2=. 则PC PA PB PA ⋅+⋅的最小值____________．5．对函数12()()y f x x x x =≤≤，设点),(),(2211y x B y x A 、是图象上的两端点.O 为坐标原点，且点N 满足→→→-+=OB OA ON )1(λλ.点),(y x M 在函数)(x f y =的图象上，且21)1(x x x λλ-+=（λ为实数），则称MN的最大值为函数的“高度”，则函数)42cos(2)(π-=x x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡89,8ππ上的“高度”为．6．在四边形ABCD 中,BD DC AB 32,2(=+==,则四边形ABCD 的面积是7．已知向量(1,3),(4,2)a b =-=-，若()//a b b λ+，则λ=8．已知∆ABC 的外接圆圆心为O ，半径为1，AO xAB yAC =+（0xy ≠），且21+=x y ，则ABC ∆的面积的最大值为9．已知ABC ∆中，AB AC ⊥，||2AB AC -=，点M 是线段BC （含端点）上的一点，且()1AM AB AC ⋅+=，则||AM 的取值范围是 .10．已知ABC ∆是正三角形，若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90，则实数λ的取值范围是__________ 11．如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅=12．已知在平面直角坐标系中，(0,0)O ，1(1,)2M ，(0,1)N ，(2,3)Q ，动点(,)P x y 满足不等式0OP OM ≤⋅1≤，01OP ON ≤⋅≤，则w OQ OP =⋅的最大值为_______13．在ABC ∆中，已知9=⋅，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且||||CB y CA x CP +=xy 的最大值为14．设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则BC AO --→--→⋅的范围是_____________.15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -内（含正方体表面）任取一点M ，则11AA AM ⋅≥的概率p =.16．已知在ABC ∆中，3==BC AB ，4=AC ，设O 是ABC ∆的内心，若n m +=，则=n m :17．己知AOB ∠为锐角，2,1OA OB ==uu r uu u r ，OM 平分AOB ∠，M 在线段AB 上，点N 为线段AB 的中点，OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r，若点P 在MON ∆内（含边界），则在下列关于,x y 的式子 ①0y x -≥； ②01x y ≤+≤； ③20x y -≤； ④120,023x y ≤≤≤≤ 中，正确的是 （请填写所有正确式子的番号）18．今有直线()00x y m m ++=>与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点且OA OB AB +≥，则实数m 的取值范围是 .19．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC =+λ()∈R λ，则λ的值为．20．已知O 是△ABC 的外心，AB = 6，AC = 10，若y x +=，且5102=+y x ，则 =∠BAC cos ．21．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量()2224,p a b c =+-，()1,q S =满足//p q ，则C ∠= .22．在平面直角坐标系中，O 是原点，(1,0),OA P =是平面内的动点，若||OP OA -＝||OP OA ⋅，则P 点的轨迹方程是__________23．设O 为坐标原点，C 为圆3)2(22=+-y x 的圆心，且圆上有一点),(y x M 满足OM ·CM ＝0，则xy＝ 24．设Q P ,为ABC ∆内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →， AQ →＝23AB →＋14AC →，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为____25．在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且3AD AE =，3BC BF =，若向量AD 与DC 的夹角为060，则AB EF ⋅的值为26．设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是27．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点,A B 满足2=⋅==OB OA ，则点集{}R ,,2,|∈≤++=μλμλμλP 所表示的区域的面积是28．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =，若AD x AF y AE=+，,x y R ∈，则x y +的值为.29．在平面四边形ABCD 中，点F E ,分别是边BC AD ,的中点，且2=AB ，1=EF ，3=CD ．若15=⋅BC AD ，则⋅的值为____ ． 30．已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.31．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ②(0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；③(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是_______.32．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界）时，21y x x +++的取值范围是.33．设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则BC AO --→--→⋅的范围是_____ ________. 三、解答题1．已知向量(sin ,2cos )a x x ωω=，(cos ,cos )3b x x ωω=-(0)ω>，函数()(3)1f x a b a =+-，且函数()f x 的最小正周期为2π。