圆锥曲线的共同性质_20121008122215622
2021年高中数学.5圆锥曲线的共同性质
2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=2（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；∠的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x aca a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得．证法三：设点P 的坐标为② ③椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即.||||||21x ac a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x aca a x 知，所以（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，，所以有综上所述，点T 的轨迹C 的方程是解法二：设点T 的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得综上所述，点T 的轨迹C 的方程是（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得， 由④得所以，当时，存在点M ，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.当时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得解法二：③ ④C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当时，存在点M ，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由知，所以规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程，讨论得关于x 的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解 的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 ；（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点； 对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x xk x x k P P -++=-+=，或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=． ③④。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性
跟踪训练 1 已知 A，B 是椭圆ax22＋295y2a2＝1 上的点，F2 是椭圆的右焦点， 且 AF2＋BF2＝85a，AB 的中点 N 到椭圆左准线的距离为32，求此椭圆方程.
解答
类型二 圆锥曲线统一定义的应用 命题角度 1 求有关最值问题 例 2 已知 A(4,0)，B(2,2)是椭圆2x52＋y92＝1 内的两个点，M 是椭圆上的动点. (1)求 MA＋MB 的最大值和最小值；
解答
反思与感悟 (1)在此类题中，若用一般弦长公式，而不用统一定义，计 算起来则复杂一些. (2)对于圆锥曲线焦点弦的计算，利用统一定义较为方便.
跟踪训练 3 已知椭圆的一个焦点是 F(3,1)，相应于 F 的准线为 y 轴，l 是过点 F 且倾斜角为 60°的直线，l 被椭圆截得的弦 AB 的长是156，求椭 圆的方程.
解答
命题角度2 焦点弦问题 例3 椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线方程为x＝8，离心率e＝12 . (1)求椭圆的方程； 解 设椭圆上任一点P(x，y)， 由统一定义得 x|－8－2x2|＋y2＝12， 两边同时平方，得 4[(x－2)2＋y2]＝(8－x)2，化简得1x62 ＋1y22 ＝1.
则点 M 的轨迹为2x52 ＋y92＝1.( × )
题型探究
类型一 已知准线求圆锥曲线的方程 例 1 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为 4，且 经过点 A(2 6，3)，求双曲线的方程.
解答
反思与感悟 (1)在此类题中，两准线间的距离是一个定值2ca2，不论双曲 线位置如何，均可使用. (2)已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个： ①利用统一定义，②直接列出基本量 a，b，c，e 的关系式.
圆锥曲线的共同性质
审题破题(2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k的范围；(3)寻找b和k的关系，利用(2)中k的范围求解．
解(1)设双曲线方程为 － ＝1 (a>0，b>0)，
由已知，得a＝ ，c＝2，b2＝c2－a2＝1，
故双曲线方程为 －y2＝1.
A. ＋ ＝1B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1D. ＋ ＝1
答案D
解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
所以 运用点差法，
所以直线AB的斜率为k＝ ，
设直线方程为y＝ (x－3)，
联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝ ＝2；
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.
代入椭圆方程，
消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝ .
由点P在椭圆上得点P ，
此时直线PA1的斜率k＝ .
数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是 .
4．椭圆 ＋ ＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
答案3
解析直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2× ＝ ＝3，∴S△FAB＝ ×2×3＝3.
|x2－x1|＝ ，
|y2－y1|＝ .
②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
3．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆中的最值
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。
它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。
圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。
椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。
这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。
圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。
圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。
圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。
这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。
圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。
这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。
总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。
这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。
高中数学2.5 圆锥曲线的共同性质
§2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e.这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 ca x 2±=典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a,且2||a AB <,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由1()2OP OA OB =+,得P 为弦AB 的中点,故②错，设22520x x -+=的两根为12,x x 则12125,12x x x x +==可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，221259x y -=的焦点坐标(),而22135x y +=的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设,20πθ<<曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1sin cos ,1cos sin 2222θθθθy x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.sin cos ,cos sin 22θθθθy x有4个不同交点等价于,02>x 且,02>y 即⎩⎨⎧>->+.0sin cos ,0cos sin θθθθ 又因为,20πθ<<所以得θ的取值范围为（0，).4π（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程),40(cos 222πθθ<<=+y x即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为).40(cos 2πθθ<<=r因为θcos 在)4,0(π上是减函数，所以由.224cos ,10cos ==π知r 的取值范围是).2,2(4【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=23x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|； （Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a为常数)对称．【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=23x －4，即y 2=23 (x －32)， 可知抛物线顶点为（32，0），准线方程为x=63． 在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（32，0），右准线x=63， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1（Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=210（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=232k k-代入⑤② ③整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上． 【例4】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是)0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足Q F ||1=点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2满足0||,022≠=⋅TF TF PT ．（Ⅰ）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x aca P F +=||1； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】本小题主要考查平面向量的概，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为,(y x 由P ),(y x 在椭圆上，得由0,>+-≥+≥a c x ac a a x 知，所以 |1P F 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记||11r P F =则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得x aca r P F +==11||． 证法三：设点P 的坐标为).,(y x椭圆的左准线方程为.0=+x ac a 由椭圆第二定义得a c ca x P F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x ac a a x 知，所以.||1x ac a P F += （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时， 由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 设点Q的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y cx x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ （Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是 由③得a y ≤||0，由④得.||20cb y ≤所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20cb y ≤ 上式代入③得于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.③ ④③④当cb a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F MF -==+==00200121,， 由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以 规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程02=++c bx ax ，讨论∆及判别式a 得关于x 的方程02=++c bx ax 解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意0=a 与0≠a 两种情况，只有0≠a 时，才可用判别式来确定解的个数；（2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 0≠a ； （3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时⎩⎨⎧≠=.0,0b a 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点；对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时⎩⎨⎧≠=.0,0b a此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点．2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式1212x x y y k --=得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x x k x x k P P -++=-+=， 或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=．。
4.2圆锥曲线的共同性质
2 2
图形
焦点坐标
( c, 0)
准线方程
x a
2
y b
2 2
1
(a b 0)
2 2 2 2
c
y a
x b
1
(0, c )
y
a
2
(a b 0)
c
x a
2 2
y b
2 2
1
( c, 0)
x
a
2
(a 0, b 0)
c
y a
2 2
x 4
2
y 3
2
1 上运动，求|PA|+2|PB|的
最小值。
P C
A
·
O
·
· B
课堂小结
1.圆锥曲线的统一定义 2.求点的轨迹的方法 3.数形结合的思想
1( a 0 , b 0 )
a
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
可知，椭圆、双曲线、抛物线有共同性质为:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上） 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其 中 e是 圆 锥 曲 线 的 离 心 率 , 定点F是圆锥曲线的焦点, 定 直 线 l是 圆 锥 曲 线 的 准 线 .
x a
l1
2 2
y b
2 2
1( a b 0 )
y l2
x a
优选教育第章圆锥曲线的共同性质.ppt
究
• 攻
定义得，P到右焦点的距离为2a－258＝10－258＝252.
重
分 层 作 业
难
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利用圆锥曲线的定义求最值
自
当
主
堂
预
[探究问题]
达
习
标
• 探
1．根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点P到其焦点F的距离
• 固
新
双
知 PF，与点P到对应准线的距离d有什么关系？
基
合
作 探 究
第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的 双
知
基
准线方程的方法．(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问
合 作
题．(难点)
课
探
时
究
分
•
层
攻
作
重
业
难
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[自 主 预 习·探 新 知]
自
当
主
堂
预
达
习 •
1．圆锥曲线的共同性质：
标 •
探
固
新
圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离 双
知
基
之比是一个 常数e.
合 作
这个 常数e 叫做圆锥曲线的离心率， 定点F 就是圆锥曲线的焦点， 定直线l 课
探
时
究 •
就是该圆锥曲线的准线．
分 层
攻
圆锥曲线的共同性质 (2)
第□讲
圆锥曲线的共同性质
知识点剖析
例1求过点 ，以 轴为准线，离心率为
的椭圆的左顶点的轨迹方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
例2已知椭圆的左顶点为 ,左准线为 轴,
是过左焦点且倾斜角为 的直线, 交椭圆于 两点,且 ,求椭圆的方程.
变式引申1如图所示,已知点 的坐标是 ,
12.已知双曲线 的右焦点为 ,点
试在这双曲线上求一点 ,使 的值最小,并求出这个最小值.
B.能力提升
一、选择题
1.抛物线 关于直线 对称的抛物线的焦点坐标是 ( )
2.如果双曲线 上一点 到它的右焦点
的距离是8,那么点 到它的右准线的距离是 ( )
3.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是 ( )
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☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第 □ 讲
圆锥曲线的共同性质
二、填空题
7. 是抛物线 上任一点, 到焦点的距离是 .
8.焦点 ,两准线之间的距离为18的椭圆的标准方程为 .
9.设椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ,若过 且垂直于 轴的弦的长等于点 到 的距离,则椭圆的离心率为 .
12.已知抛物线 的方程 ,焦点为 ,有一定点 在抛物线准线上的射影为 为抛物线上一动点.
(1)当 取最小值时,求 ;
(2)如果一椭圆 以 为焦点,且过点 ,求椭圆 的方程及右准线方程.
第 页
4.已知两圆
,动圆 与两圆 都相切,则动圆圆心 的轨迹方程是 ( )
5.若双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重合,则双曲线的离心率为 ( )
圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件ppt
坐标．
1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离 与到定直线的距离的比值是常数e.
2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方 程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．
[例 1] 曲线上的点 M(x，y)到定点 F(5,0)的距离和它 到直线 l：x＝156的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2) 在曲线求一点 P 使|PF|＝5.
∴x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16. 两式相减，得(x12－x22)＋4(y21－y22)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴xy11－ －yx22＝－4yx11＋＋yx22＝－12，即 kAB＝－12. ∴所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)， 即 x＋2y－4＝0.
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.
当 P 点的纵坐标(横坐标大于零)与 A 点的
纵坐标相同时，|PA|＋d 最小，如图． 把 y＝2 代入1x62 ＋1y22 ＝1，
得
x＝4 3
6(负值舍之)，即
4
P
3
6，2为所求的点.
[例2]
若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆
x2 5
＋
y2 m
＝1
总有公共点，求m的取值范围．
[思路点拨] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，把 A，B 两点的坐标代 入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线 AB 的斜 率，从而可求直线 AB 的方程，再联立方程求得 A、B 的坐标，根 据两点间的距离公式求|AB|.
[精解详析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在椭
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质丁益民 (江苏省泰州市民兴实验中学 225300) 笔者通过对圆锥曲线的研究发现了下面的定理:定理1 如图1,椭圆x 2a 2+y 2b2=1上有n 个点P 1,P 2,…,P n -1,P n (包括长轴端点),F 是椭圆的一个焦点, P 1F , P 2F ,…, P n -1F , P n F 成等差数列的充要条件是P 1,P 2,…,P n -1,P n 在长轴上的射影将长轴n -1等分.证 (充分性)设椭圆的左准线的方程图1为l :x =-a2c ,若P 1,P 2,…,P n -1,P n 在长轴上的射影将长轴n -1等分,则每份长度为2a n -1.设P 1,P 2,…,P n -1,P n 在与F 相应的准线上的射影分别为P 1′,P 2′,…,P n -1,P n ′,由椭圆第二定义可知:P 1F P 1P 1′ = P 2F P 2P 2′ =…=P n -1FP n -1P n -1′ = P n F P n P n ′=e ,由此可得 P 1F =e P 1P 1′ =e (a 2c -a )=a -c ,P 2F =e P 2P 2′ =e (a 2c -a +2an -1×1)=a -c +2cn -1×1.……P n -1F =e P n -1P n -1′ =e [a 2c-a +2a n -1×(n -2)]=a -c +2cn -1×(n -2),P n F =e P n P n ′ =e [a 2c -a +2an -1×(n -1)]=a -c +2cn -1×(n -1).P n -1F - P n -2F = P n -2F - P n -3F =…= P 2F - P 1F =所以 P 1F , P 2F ,…, P n -1F , P n F 成等差数列.(必要性)若 P 1F , P 2F ,…, P n -1F , P n F 成等差数列,由椭圆第二定义可知即e P 1P 1′ ,e P 2P 2′ ,…,e P n -1P n -1′ ,e P n P n ′ 成等差数列,所以 P 1P 1′ , P 2P 2′ ,…, P n -1P n -1′ , P n P n ′ 成等差数列,P 2P 2′ - P 1P 1′ = P 3P 3′ - P 2P 2′ =…= P n -1P n -1′ - P n -2P n -2′ = P n P n ′ - P n -1P n -1′ ,即P 1,P 2,…,P n -1,P n 在长轴上的射影将长轴n -1等分.推论 椭圆x 2a 2+y 2b2=1上有n 个点P 1,P 2,…,P n -1,P n (包括长轴端点),F 是椭圆的一个焦点,若P 1,P 2,…,P n -1,P n 在长轴上的射影将长轴n -1等分,则 P 1F + P 2F +…+ P n -1F + P n F =na .简证 由等差数列前n 项和公式有: P 1F + P 2F +…+ P n -1F + P n F=[a -c +a -c +2cn -1×(n -1)]n 2=2an 2=na .类比椭圆,对于双曲线与抛物线有定理2和定理3:定理2 双曲线x 2a 2-y 2b2=1的同一支上有n 个点P 1,P 2,…,P n -1,P n (包括实轴端点),这些点在实轴上的射影为Q 1,Q 2,…,Q n -1,Q n ,点F 是双曲线的一个焦点,那么 P 1F , P 2F ,…, P n -1F , P n F 成等差数列的充要条件是Q 1Q 2=Q 2Q 3=…=Q n -2Q n -1=Q n -1Q n .定理3 抛物线y 2=2p x (p >0)上有n 个点P 1,P 2,…,P n -1,P n (包括顶点),这些点在对称轴上的射影为Q 1,Q 2,…,Q n -1,Q n ,点F 是抛物线的焦点, P 1F , P 2F ,…,・26・ 中学数学月刊 2007年第2期P n-1F , P n F 成等差数列的充要条件是Q1Q2=Q2Q3=…=Q n-2Q n-1=Q n-1Q n.圆锥曲线的这几个定理在高考中有着具体的应用,我们看下面两道高考题:例1 (2004年湖南卷)设F是椭圆x2 7+y26=1的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点P i(i=1,2,3,…),使 F P1 , F P2 , FP3 ,…组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为 .解析 由上面定理1的充分性证明可知, d =27-6n-1,由于n≥21,由椭圆的对称性以及命题可得d∈[-110,0)∪(0,110].例2 (2006年四川卷)如图2,把椭圆x2 25+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P77个点,F是椭圆的焦图2点,则 P1F + P2F+ P3F + P4F +P5F + P6F +P7F = .解析 将椭圆长轴8等分,说明椭圆上有9个点,分别为A,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,B,由定理1的推论易得:A F + P1F + P2F +…+ P7F +B F =9×5=45,而 AF + BF =2a=10,故 P1F + P2F + P3F + P4F +P5F + P6F + P7F =35.一个不等式的推广与引申罗会元 (江苏省淮阴中学 223002) 文[1]中给出了下面的不等式:设a≥b≥c>0,则ba+cb+ac≥13(a+b+c)(1a+1b+1c).(1)本文先将不等式推广为:命题1 设a≥b≥c>0,x≥y>0,则ba+cb+ac≥yx+y(a+b+c)(1a+1 b+1c)+3(x-2y)x+y.(2)证明 a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=(b-c)a2+(c2-b2)a+(b2c-bc2)=(b-c)[a2-(b+c)a+bc]=(b-c)(a-b)(a-c),而a≥b≥c>0,所以a2b+b2c+c2a ≥ab2+bc2+ca2(当且仅当a=b或b=c或c=a时取“=”).因abc>0,对此不等式两边同除以abc,得ba+cb+ac≥ab+bc+ca.(*)设A=ba+cb+ac,B=ab+bc+ca,则A≥B,A≥33bacbac=3(当且仅当a=b=c>0时取“=”).将(a+b+c)(1a+1b+1c)展开即为A+B+ 3.因x≥y>0,2A≥A+B,所以A=2yx+yA+x-yx+yA≥yx+y(A+B)+x-yx+y3 =yx+y(A+B+3)+3(x-2y)x+y.即ba+cb+ac≥yx+y(a+b+・27・2007年第2期 中学数学月刊 。
圆锥曲线的共同性质
课堂互动讲练
考点突破 利用共同性质求方程
平面上， 动点 M 到定点 F 的距离 MF 与到定直 MF 线 l 的距离 d 之比 d ＝e(e 为大于零的常数)的 点的轨迹是圆锥曲线，当 e∈(0,1)时是椭圆，e ＝1 时是抛物线，e∈(1，＋∞)时是双曲线．
例1 已知一条圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0)，
x2 y2 例3 (本题满分 14 分)已知椭圆 ＋ 25 16 ＝1， 为椭圆上任意一点， 1， 2 为左、 P F F 右两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求 点 P 的坐标．
【思路点拨】 出x. 设点P(x，y)，由焦半径公式求
【规范解答】 设点 P 的坐标为(x， y)． x2 y 2 ∵椭圆 ＋ ＝1， 25 16 ∴a＝5，b＝4，c＝3. 3 25 ∴e＝ ，准线方程为 x＝± .6 分 5 3 3 由圆锥曲线的统一定义知|PF1|＝ed1＝ 5
圆锥曲线的焦半径、焦 点弦问题
圆锥曲线上的点与焦点连线时，焦半径对应的 问题常应用统一定义来解决． 圆锥曲线的焦点弦问题是常见的一类弦长问题， 可以用一般弦长公式求解，但更好的方法是利 用焦点弦特有的公式进行计算，焦点弦公式为 AB＝AF＋BF＝e(AA1＋BB1)，其中AA1，BB1为 弦的两端点到准线的距离．
2． 圆锥曲线的焦点、 准线与曲线的相对 位置，曲线中与坐标系无关的不变量 (1)准线与曲线没有公共点． (2)椭圆中长轴长 2a，短轴长 2b，离心 c 率 e＝a，中心到焦点的距离 c，中心到 a2 准线的距离 c 等都是与坐标系无关的不 变量．
p 抛物线中焦点到顶点的距离 ，焦点到 2 准线的距离 p 也都是与坐标系无关的不 变量．
25 3 x＋ ＝ x＋5， 3 5
高中数学 圆锥曲线的共同性质教案 苏教版选修1-1
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修1-1教案：圆锥曲线的共同性质教学目标 掌握圆锥曲线的共同性质，理解离必率、焦点、准线的意义。
通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。
可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。
重点难点 圆锥曲线第二定义的推导对圆锥曲线第二定义的理解与运用教学过程一、知识回顾1、思考：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：222)(y c x a cx a +-=-， 将其变形为：ac x ca y c x =-+-222)(， 你能解释这个式子的意义吗？ 这个式子表示一个动点P （x ，y ）到定点（c ，0）与到定直线c a x 2=的距离之比等于定值ac ，那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？二、新课讲解例1、已知点点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线c a x l 2:=的距离之比是常数)0(>>c a ac ，求点P 的轨迹。
解：由题意可得ac x ca y c x =-+-222)( 化简得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-。
令222b c a =-，则上式可以化为 )0(12222>>=+b a by a x 这是椭圆的标准方程。
所以点P 的轨迹是焦点为（c ，0），（-c ，0），长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆。
变式若将条件0>>c a 改为c a <<0呢？由上例知，椭圆上的点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比是一个常数，这个常数就是椭圆的离必率e类似地，可以得到：双曲线上的点P 到定点F （c ，0）的距离和它到定直线ca x l 2:=（2220a c b a c -=>>，）的距离的比是一个常数，这个常数ac 就是双曲线的离心率e 。
圆锥曲线的共同定义：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在定直线l 上）的距离之比是一个常数e 。
抛物线的几何性质、圆锥曲线的共同性质
抛物线的几何性质、圆锥曲线的共同性质一、知识点回顾：1、抛物线的几何性质2椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a}. 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形方程标准方程12222=+byax(ba>>0) 12222=-byax(a>0,b>0) pxy22=参数方程为离心角）参数θθθ(sincos⎩⎨⎧==byax为离心角）参数θθθ(tansec⎩⎨⎧==byax⎩⎨⎧==ptyptx222(t为参数)范围─a≤x≤a，─b≤y≤b |x| ≥ a，y∈R x≥0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0) (0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) )0,2(pF准线x=±ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=22ba-）2c （c=22ba+）二、巩固练习（一）抛物线的几何性质1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．2．经过抛物线y2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．3．(2013·烟台高二检测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________．4．(2013·四川高考改编)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是________．5．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．6．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则1m＋1n＝________.7．(2013·南通高二检测)已知弦AB过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则以AB为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．8．(2012·陕西高考)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．9．(2013·哈师大附中高二检测)设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：3x＋4y－14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．10．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y2＝2px(p＞0)交于两点A，B，如果OA⊥OB(O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA→·OB→的值；(2)如果OA→·OB→＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．（二）圆锥曲线的共同性质1．中心在原点，一条准线方程为x ＝8，离心率为12的椭圆方程为________．2．双曲线2x 2－y 2＝－16的准线方程为________．3．如果双曲线x 24－y22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．4．(2012·大纲全国卷改编)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________．5．已知椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P 到两准线的距离分别为________．6．若双曲线x 28－y 2b 2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________．7．(2013·吉林高二检测)已知A (－1,0)，B (1,0)，点C (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，则AC ＋BC ＝________.8．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则椭圆C 的离心率为________．二、解答题9．已知椭圆x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上一点，F 1、F 2为左、右两个焦点，若PF 1∶PF 2＝2∶1，求点P 的坐标．10．求中心在原点，长轴在x 轴上，一条准线方程是x ＝3，离心率为53的椭圆方程．11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点．(1)求证：PF ⊥l ；(2)若|PF |＝3，且双曲线的离心率e ＝54，求该双曲线方程．答案卷（一）抛物线的几何性质1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．【解析】∵p2＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝8x.【答案】y2＝8x2．经过抛物线y2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．【解析】通径长为2p. 【答案】2p3．(2013·烟台高二检测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________．【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10. 【答案】104．(2013·四川高考改编)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是________．【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x－y＝0或3x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32.【答案】325．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．【解析】设△AOB边长为a，则A(32a，a2)，∴a24＝6×32a.∴a＝12 3. 【答案】12 36．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ 的长分别为m、n，则1m＋1n＝________.【解析】由焦点弦性质知1PF＋1FQ＝2p，抛物线的标准方程为x2＝1a y(a>0)，∴2p＝1a，p ＝12a，∴1PF＋1FQ＝4a，即1m＋1n＝4a.【答案】4a7．(2013·南通高二检测)已知弦AB过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则以AB为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，如图，则AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p.设A，B，M到准线l：x＝－p2距离分别为d1，d2，d，则有d1＝x1＋p2，d2＝x2＋p2，d＝d1＋d22＝x1＋x2＋p2＝AB2，∴以AB为直径的圆与拋物线的准线相切．【答案】相切8．(2012·陕西高考)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．【解析】设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为26米．【答案】 2 69．(2013·哈师大附中高二检测)设抛物线顶点在原点，焦点在y 轴负半轴上，M 为抛物线上任一点，若点M 到直线l ：3x ＋4y －14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．【解】 设与l 平行的切线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，由⎩⎨⎧x 2＝－2py 3x ＋4y ＋m ＝0得2x 2－3px －pm ＝0. ∴Δ＝0即m ＝－98p . 又d ＝|14－98p |5＝1， ∴p ＝8或p ＝1529(舍)，∴抛物线的标准方程为x 2＝－16y .10．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y 2＝2px (p ＞0)交于两点A ，B ，如果OA ⊥OB (O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．【解】 直线方程为y ＝－x ＋4.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋4，y 2＝2px ，消去y 得x 2－2(p ＋4)x ＋16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(p ＋4)，x 1x 2＝16，Δ＝4(p ＋4)2－64＞0. 所以y 1y 2＝(－x 1＋4)(－x 2＋4)＝－8p .由已知OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，从而16－8p ＝0，解得p ＝2.所以，拋物线的标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点． (1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点． 【解】 (1)设l ：my ＝x －1与y 2＝4x 联立，得y 2－4my －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3. (2)证明：设l ：my ＝x ＋n 与y 2＝4x 联立，得y 2－4my ＋4n ＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4n .由OA →·OB →＝－4＝(m 2＋1)y 1y 2－mn (y 1＋y 2)＋n 2＝n 2＋4n ，解得n ＝－2， ∴l ：my ＝x －2过定点(2,0)． （二）圆锥曲线的共同性质1．中心在原点，一条准线方程为x ＝8，离心率为12的椭圆方程为________． 【解析】 由题意，得e ＝c a ＝12，a 2c ＝8，∴a ＝4，c ＝2， b 2＝a 2－c 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝12．双曲线2x 2－y 2＝－16的准线方程为________．【解析】 双曲线方程可化为：y 216－x 28＝1，∴a 2＝16，b 2＝8，c 2＝24， ∴准线方程为y ＝±43 6. 【答案】 y ＝±43 63．如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．【解析】 由题可知a ＝2，b ＝2，c ＝6， 右准线x ＝a 2c ＝46，e ＝c a ＝62.设P 到y 轴的距离为d ，则2d －46＝62，d ＝43 6. 【答案】 43 6 4．(2012·大纲全国卷改编)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________．【解析】 由题意得，－a 2c ＝－4，即a 2＝4c ，且椭圆的焦点在x 轴上，又2c ＝4，则c ＝2，故a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝4，则椭圆的方程为x 28＋y 24＝1. 【答案】 x 28＋y 24＝15．已知椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P 到两准线的距离分别为________．【解析】 设P (x ，y )，左、右焦点分别为F 1，F 2，由已知的椭圆方程可得a ＝10，b ＝6，c ＝8，e ＝c a ＝45，则PF 1＋PF 2＝2a ＝20.又3PF 1＝PF 2，∴PF 1＝5，PF 2＝15.设点P 到两准线的距离分别为d 1，d 2，可得d 1＝PF 1e ＝254，d 2＝PF 2e ＝754.故点P 到两准线的距离分别为254，754. 【答案】 254，7546．若双曲线x 28－y 2b 2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________．【解析】 y 2＝8x 的准线为x ＝－2，因此，双曲线的一条准线方程为x ＝－2， 则－a 2c ＝－2，又a 2＝8， ∴c ＝4.∴e ＝c a ＝422＝ 2.【答案】27．(2013·吉林高二检测)已知A (－1,0)，B (1,0)，点C (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，则AC ＋BC ＝________.【解析】 ∵点C 到B (1,0)的距离与它到直线x ＝4的距离之比为12，∴点C 的轨迹是椭圆，且c a ＝12，a 2c －c ＝4－1， ∴a ＝2，c ＝1.∴点A 恰好是椭圆的另一个焦点． ∴AC ＋BC ＝2a ＝4.【答案】 48．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则椭圆C 的离心率为________．【解析】 设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图所示，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，则BF b 2＋c 2＝a .作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由BF →＝2FD →，得OF DD 1＝BF BD＝23，所以DD 1＝32OF ＝32c ，即x D ＝3c 2.圆锥曲线的统一定义得FD ＝e (a 2c －3c 2)＝a －3c22a .又由BF ＝2FD ，得a ＝2a －3c 2a ，整理得c 2a 2＝13，即e 2＝13，∴e ＝－33(舍去)或e ＝33.【答案】 33 二、解答题9．已知椭圆x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上一点，F 1、F 2为左、右两个焦点，若PF 1∶PF 2＝2∶1，求点P 的坐标．【解】 设点P 的坐标为(x ，y )． ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.∴e ＝35，准线方程为x ＝±253.由圆锥曲线的统一定义知PF 1＝ed 1＝35(x ＋253)＝35x ＋5， PF 2＝ed 2＝35(253－x )＝5－35x .∵PF 1∶PF 2＝2∶1，∴(35x ＋5)∶(5－35x )＝2∶1， 解得x ＝259，代入椭圆的方程得y ＝±8914. ∴点P 的坐标为(259，8914)或(259，－8914)．10．求中心在原点，长轴在x 轴上，一条准线方程是x ＝3，离心率为53的椭圆方程． 【解】 法一 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝3，ca ＝53，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝209.∴所求椭圆的方程为x 25＋9y 220＝1.法二 设M 为椭圆上任意一点，其坐标为(x ，y )． 由法一知准线x ＝3对应的焦点为F (53，0)． 由圆锥曲线的统一定义得MF d ＝53，∴(x －53)2＋y 2|3－x |＝53，化简得4x 2＋9y 2＝20.∴所求椭圆的方程为x 25＋9y 220＝1.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点．(1)求证：PF ⊥l ；(2)若|PF |＝3，且双曲线的离心率e ＝54，求该双曲线方程．【解】 (1)证明：右准线为l 2：x ＝a 2c ，由对称性不妨设渐近线l 为y ＝b a x ，则P (a 2c ，abc )，又F (c,0)，∴k PF ＝ab c －0a 2c －c＝－ab .又∵k l ＝b a ，∴k PF ·k l ＝－a b ·ba ＝－1. ∴PF ⊥l .(2)∵|PF |的长即F (c,0)到l ：bx －ay ＝0的距离， ∴|bc |a 2＋b 2＝3，即b ＝3，又e ＝c a ＝54，∴a 2＋b 2a 2＝2516，∴a ＝4.故双曲线方程为x 216－y 29＝1.。
圆锥曲线的统一性质
圆锥曲线的一个统一性质【定理1】 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E ，过椭圆上一点P 作椭圆的切线交直线ca x 2=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的右焦点)0,(c F . 证明：设点),(00y x P ，则过点P 的切线方程为12020=+by y a x x ，∴点))(,(0022cy x c b c a A -，即))(,(0022cy x c b c a c AF ---= 又),(00y x c PF --=， 所以])()[())((0020220cy x c b y c a c x c AF PF ---+--=⋅ 整理得：0)()(0220=-+--=⋅cx c b c b x c AF PF ，AF PF ⊥∴，原命题得证. 【推论1】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E ，过椭圆上一点P 作椭圆的切线交直线ca x 2-=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的左焦点)0,(c F -. 【定理2】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E ，过双曲线上一点P 作双曲线的切线交直线ca x 2=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的右焦点)0,(c F . 分析：证法可同定理一（证略）【推论2】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E ，过双曲线上一点P 作双曲线的切线交直线ca x 2-=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的左焦点)0,(c F -. 【定理3】已知抛物线)0(22>=p px y ，过抛物线上一点P 作抛物线的切线交准线2p x -=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过抛物线的焦点)0,2(p F .证明：设点),(00y x P ，则过点P 的切线方程为)(00x x p y y +=， 令2p x -=，得00)2(y p x p y -=，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴00)2(,2y p x p p A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴0000,2,)2(,y x p PF y p x p p AF 即02200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅p x p x p p PF AF ，PF AF ⊥∴ 即以线段AP 为直径的圆恒过抛物线的焦点)0,2(p F . 【定理4】已知圆锥曲线E ，过E 上一点P 作E 的切线交其相应的准线于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过E 相应的焦点F .。
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四队中学教案纸 （备课人： 吴利霞 学科： 高二数学 ）
备课
时间
3．9
教学 课题
2．5圆锥曲线的
共同性质
教时
计划
1
教学
课时
1
教学 目标 1．掌握圆锥曲线的共同性质，理解离必率、焦点、准线的意义。
2．通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。
3．培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。
重点难点
圆锥曲线第二定义的推导
对圆锥曲线第二定义的理解与运用
教学过程
一、知识回顾
1、思考：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：222
)(y c x a cx a +-=-，
将其变形为：
a c
x c
a
y c x =-+-2
22)(， 你能解释这个式子的意义吗？
这个式子表示一个动点P （x ，y ）到定点（c ，0）与到定直线c
a x 2=的距离之比等于定值a c
，
那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？
二、新课讲解
例1、已知点点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线c
a x l 2
:=的距离之比是常数
)0(>>c a a
c
，求点P 的轨迹。
解：由题意可得
a c
x c
a
y c x =-+-2
22)( 化简得
)()(22222222c a a y a x c a -=+-。
令2
22b c a =-，则上式可以化为 )0(122
22>>=+b a b
y a x 这是椭圆的标准方程。
所以点P 的轨迹是焦点为（c ，0），（-c ，0），长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆。
变式 若将条件0>>c a 改为c a <<0呢？
由上例知，椭圆上的点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比是一个常数，这个常数就是椭圆的离必率e
类似地，可以得到：双曲线上的点P 到定点F （c ，0）的距离和它到定直线c
a x l 2
:=
（2220a c b a c -=>>，）的距离的比是一个常数，这个常数a
c
就是双曲线的离心率e 。
圆锥曲线的共同定义：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在定直线l 上）的距离之比是一个常数e 。
这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线
的准线。
注：
（1） 椭圆的离心率e 满足0<e <1，双曲线的的离心率e >1，抛物线的的离心率e ＝1。
（2） 根据图形的对称性知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上
的椭圆或双曲线，准线方程都是c a x 2
±=；对于中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆
或双曲线，准线方程都是c
a y 2
±=。
（3） 圆锥曲线的定义深刻提示了三类曲线的内在联系，使焦点、离心率和准线等构成一个
和谐的整体，当圆锥曲线上一点与一焦点和相应准线的距离需要建立联系时，常考虑第二定义；当圆锥曲线上一点与两焦点距离之和（或差）为常数时，常考虑第一定义。
三、新知巩固：
1、学生填表（见课本P47习题2.5 1、填空）
2、学生板演：（见课本P46 （1）－（4））
四、知识拓展：
椭圆的焦半径公式：若P （x ，y ）是椭圆上任一点，F 1、F 2是椭圆)
0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点和右焦点，则ex a PF ex a PF -=+=21，；若P （x ，y ）是椭圆上任一点，F 1、F 2是椭圆)0(122
22>>=+b a b
x a y 的下焦点和上焦点，则ey a PF ey a PF -=+=21，； 例2 若椭圆的长轴长是短轴长的4倍，一条准线方程是4-=y ，求椭圆的标准方程。
五、课堂小结：
1、圆锥曲线的共同性质
2、椭圆第二定义的简单应用
课外作业
教学反思。