ch4 本征函数系与本征振动
CH4态和力学量的表示
c ( p,t ) 2 dp 是在Ψ ( x,t ) 所描写的态中测量粒子动量在 p + dp 范围内的几率.
由(4.1-2)式可以看出当已知Ψ ( x,t ) , c ( p,t ) 就完全确定了,并可由(4.1-3)式求出.反之当
c ( p,t ) 已知,Ψ ( x,t ) 就完全确定并可由(4.1-2)求出.所以根据上面的讨论,我们说 c ( p,t ) 和Ψ ( x,t )
Ψ Ψ
(4.1-15)式仍有 的形式.
⎛ ⎜ ⎜
a1 a2
(t (t
) )
⎞ ⎟ ⎟
Ψ
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
an
#
(
#
t
)
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎝
aq
(
t
)
⎟ ⎠
( ) Ψ † = a1* (t ) ,a*2 ,",a*n (t ) ,",a*q (t )
Ψ †Ψ = 1
(4.1-16)
同一个态可以在不同的表象中用波函数来描写,所取的表象不同,波函数的形式也不同,但它
x,
= i
∂ ∂x
⎞ ⎟⎠
δ
(x
−
x' )
(4.2-11)
在动量表象中 F 的矩阵元是:
∫ Fpp' =
ψ
* p
(x )F ⎜⎛
⎝
x,
= i
∂ ∂x
⎟⎞ψ ⎠
p'
(x)dx
(4.2-12)
如果 Q 既具有分立的本征值又具有连续的本征值,那么在 Q 表象中表示算符的矩阵既具有可数的
行和列(对应于本征值的分立部分)又具有连续变化的下标来表示的行和列(对应于 Q 本征值的连
简并情况下两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法
简并情况下两个对易算符的共同本征函数
系的简单求解方法
简单求解两个对易算符的共同本征函数系是数学中一个重要的应用问题，也是量子力学和理论物理学中的一个重要研究课题。
本文将介绍两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法。
首先，要求解两个对易算符的共同本征函数系，需要先搞清楚每个易算符的本征函数是什么。
本征函数是一个线性无关的函数，它的变量不会受到线性变换的影响，而且它的值是这个函数的常数。
因此，在求解两个对易算符的共同本征函数系之前，需要先求解每个易算符的本征函数。
其次，要简单求解两个对易算符的共同本征函数系，需要采用变分法。
变分法可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题，从而使问题变得更容易求解。
需要注意的是，在采用变分法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要考虑到每个易算符的本征函数的变化率，以及其他相关变量的变化率。
最后，要求解两个对易算符的共同本征函数系，还可以采用矩阵方法。
矩阵方法是一种基于矩阵的技术，它可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题。
在采用矩阵方法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要构造一个矩阵，该矩阵包含了各个易算符的本征函数，以及其他相关变量。
总而言之，两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法主要有变分法和矩阵方法，在求解这一问题之前还需要先求解每个易算符的本征函数。
不管采用哪种方法，都需要考虑到各个变量的变化率，以便得到准确的结果。
求粒子的能量本征值和本征函数
求粒子的能量本征值和本征函数粒子的能量本征值和本征函数是量子力学中的重要概念。
在量子力学中，粒子的状态可以用波函数描述，而波函数的本征值和本征函数则可以描述粒子的能量状态。
因此，求粒子的能量本征值和本征函数是量子力学中的基础问题。
求解粒子的能量本征值和本征函数需要用到薛定谔方程。
薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
它可以用来求解粒子的波函数以及粒子在不同能量状态下的本征值和本征函数。
在求解粒子的能量本征值和本征函数时，需要先将薛定谔方程转化为本征值问题。
本征值问题是指在某个特定的状态下，粒子的某些物理量的取值只能是一些特定的值，这些特定的值就是本征值。
而对应的本征值所对应的波函数就是本征函数。
在求解本征值问题时，需要找到薛定谔方程的本征函数，然后将本征函数代入薛定谔方程中，得到一个本征值方程。
本征值方程的解就是粒子的能量本征值。
而对应的本征函数就是粒子在该能量状态下的波函数。
不同的粒子在不同的势场中的能量本征值和本征函数是不同的。
例如，对于自由粒子和束缚粒子，它们的能量本征值和本征函数的求解方法是不同的。
对于自由粒子，它的势场为零，因此它的能量本征值可以用动量来描述。
自由粒子的能量本征函数是平面波，其波函数具有简单的形式。
而对于束缚粒子，它的势场不为零，因此其能量本征值需要通过求解薛定谔方程来得到。
束缚粒子的能量本征函数则根据不同的势场而有所不同，例如在一维谐振子势场中，束缚粒子的能量本征函数为厄密多项式。
在求解粒子的能量本征值和本征函数时，需要注意一些常见的误区。
例如，有些人认为粒子的能量本征函数是唯一的，但实际上不同的势场下，粒子的能量本征函数是不同的。
另外，有些人认为粒子的能量本征值是连续的，但实际上粒子的能量本征值是量子化的，只能取一些特定的值。
总之，求解粒子的能量本征值和本征函数是量子力学中的基础问题。
在实际的物理问题中，需要根据具体的情况选择合适的方法来求解粒子的能量本征值和本征函数。
2.2本征值和本征函数的计算
⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ 1⎟ 0 ⎜ ⎜ 0 = ，1 = ， 2 = ⎜ ⎟ ,...... 。 ⎜0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝M⎠ ⎝M⎠ ⎝M⎠
Q
x=i
mhω h b − b+ ) ， p = b + b+ ) ， ( ( 2mω 2
1 0 − 2 0 ... 0 2 0 − 3 ... 0 0 3 0 ... ... ⎞ ⎟ 1 ... ⎟ ， ⎡ m hω ⎤ 2 ⎟ p=⎢ ... ⎟ ⎣ 2 ⎥ ⎦ ⎟ ... ⎟ ... ⎟ ⎠
1
其中 ξ = α x ， α =
mω 。解 b 0 = 0 ，所以 h
3
高等量子力学讲义（研究生用）
§2.2 本征函数和本征值的计算
河北师范大学 刘建军
−
4
⎞ i ⎛ d + ξ ⎟ψ 0 (ξ ) = 0 ， ⎜ 2 ⎝ dξ ⎠
解得：ψ 0 (ξ ) =
ξ2 mω − 1 e 2 ， πh
再由 b + n = n + 1 n + 1 ，可逐项求出ψ n (ξ ) ，最后得
相邻本征值相差 hω ， 于是对 x和p 的矩阵元只有当行标和列标相差 ±1 时矩阵元才 不为零。
∴
pij = pij (δ j ,i +1 + δ j ,i −1 ) ，
xij = xij (δ j ,i +1 + δ j ,i −1 ) ，
将 mω 2 xij = −
H ij = Eiδ ij = =
b + b + b λ = b + ( bb + − 1) λ = ( b + b − 1) b + λ = λ b + λ ，
ch4-电磁场和物质的共振相互作用资料
E2 E1 1 1 、 N 2 1 ：原子上、下 h 21 2 2 能级的寿命。
2018/11/12 7
下能级为基态时，对应的寿命为无穷大。则有： 1 该式完全忽略了下能级的宽度，这是 N 2 2 由于经典辐射模型的局限性造成的。 说明：某个 能级的寿命可有多个原因。 4、碰撞加宽 (1) 定义：气体中，原子或分子之间的无规“碰 撞”。在固体中，是指原于-晶格热弛豫过程。 (2) 种类 a、弹性碰撞 ( 横向弛豫过程 ) 辐射跃迁 激发态原子与基态原子；激发态原子与其它原子， 碰撞后内能转移，自己返回基态。
D
T 7.1610 0 M
7
1 2
原子量
0
2 ln 2 ~ g D ,0 e D
1 2 4 ln 2 0 2 D
2
2018/11/12
19
高斯线型
3、晶格缺陷加宽
(1)定义：晶格缺陷 (如位错、 洛仑兹 空位等晶体不均匀性)将使晶 线型 格缺陷部位的晶格场与无缺 陷部位的理想晶格场不同， 使缺陷部位的激活离子的能 (2)对应的加宽线型 函数很难从理论上求 级发生位移，这就导致处于 得，需要实验测其谱 晶体不同部位的激活离子的 发光中心频率不同。 线宽度。
2 2
二、加宽机制 均匀加宽、非均匀加宽、综合加宽 三、均匀加宽 1、定义：引起加宽的物理因素对每个原子都是等同 的，每个发光原子都以整个线型发射，不能把线型函 数上的某个特定频率与某些特定原子联系起来，或者 说，每个发光原子对谱线内任一频率都有贡献。
2018/11/12 5
2、种类： 自然加宽、碰撞加宽、晶格振动加宽 3、自然加宽 (1) 原因：原子在激发态上的有限寿命。在不受外界 影响时，受激原子并非永远处于激发态，它们会自 发地向低能态跃近。 p (2) 加宽线型函数：
本征值和本征函数
本征值和本征函数
本征值和本征函数是物理学中重要的概念，它们被广泛应用于统计力学中的各类问题的解决。
本征值是指系统每个状态的能量等级，它表示该状态的能量有多高。
而相应的本征函数则表示该状态的性质。
本征值的机理可以用微积分和特殊函数之间的某种联系来解释。
假设给定一个定积分，本征值表示在它的相应本征空间中，每个状态经过不同维度变换后最终能量量化结果。
而本征函数则反映了各不同状态的性质。
本征值和本征函数的概念对统计力学的理解非常重要，如类心脏的空间分布、原子振动与能量的转化、力矩的变换等复杂问题，都可以由它们来帮助理解和解决。
它们也被广泛用于各种社会和科学实践中，为许多系统的结构和运转提供了新的本质秩序。
数理方程第二章 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论-6
( m n )
对应于不同特征值的特征函数在a,b上带权函数(x)互相正交。
（4 ） 本征函数系 yn ( x) , n 1,2,, n, , 在
a , b 上构成完备系。 Nhomakorabea即：对于一个任意函数f(x) ，在区间 [a,b]上，只要满足具有一 阶连续导数、二阶分段连续导数；同时满足斯特姆-刘维尔型 方程的边界条件，那么一定可以将f(x)按本征函数系展成绝对 b 且一致收敛的级数。 ( x) f ( x) y ( x) d x
则无论方程是齐次还是非齐次，必须首先作函数的代换，使其转化为
齐次边界条件问题，方可进行求解。
三、非齐次方程、非齐次边界条件的定解问题（无论初始条件如何），一定
要将其转化为：非齐次方程+齐次边界条件来处理。
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量法的军事策略 ：
— —分兵合围，各个击破
分离变量法的哲学思想 ：
2
到此为止，所求解的各种问题只牵涉具有边界的空间。但 这并不意味分分离变量法就不可以应用于无界空间。事实上， 稍加推广还是可以应用的。所说的推广，指的是间断的本征值 为连续本征值所取代，线性叠加为积分所取代。
深圳大学电子科学与技术学院
实施分离变量法应该注意的几个问题：
一、根据边界条件的形状，选取适当的坐标系。选取的原则是：使对应 的坐标系，边界条件的表达式最为简单。如 圆、圆环、扇形区域→极坐标系； 圆柱形区域→柱坐标系； 球形区域→球坐标系。 二、若边界条件是非齐次的，又没有其它可利用的条件来确定特征函数，
关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论参考了孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院26关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论常微分方程在齐次边界条件下的本征值以及本征函数1有界弦的自由振动3圆形域内laplace方程的定解问题sincos分离变量法的实质将时间变量视为参变量
第一讲算符及其本征值与本征函数
若 Aˆ ，Bˆ 0， 则 Aˆ ，Bˆ 不对易。
补充说明
• 算符相加满足交换律、结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ, Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ
• 算符相乘不满足交换律：Aˆ Bˆ BˆAˆ
• 算符相乘满足结合律： AˆBˆ Cˆ Aˆ BˆCˆ
dydz
*1 (i
) 2 dx
x
dydz(i
) *1 2
2
*1
x
dx
dydz 0 2 (i
)
x
*1
dx
dydz 2 (i
) x
*
*1
dx
dydz 2Pˆx * *1 dx (Pˆx1) * 2d
• 即： 1 *Pˆx 2d (Pˆx1)* 2d
• 所以，Pˆx 的确是厄米算符。式中利用了：
在量子力学中出现的力学量，都有 与该力学量运算效果上等效的算符。
因此通过对比，我们可以归纳出下 列的几个等效关系：
Eˆ i
t
Tˆ
Uˆ
2
2 2m
U
(r
)
Hˆ ,T
2
2,Uˆ (r ) 2m
U (r )
Pˆ i i ( i j k ), Pˆ 2 22 x y z
Pˆx i
• 当解 Aˆ 的本征方程时，可能得出 Aˆ 的某一本征
值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
Aˆm Ami i 1, 2,......, f
积分，并利用本征函数的正交性，得：
m* d
本征态和本征函数
本征态和本征函数本征态是指物理系统的一种特殊形态，其特性与真空中的粒子自由态类似，可以认为是自由态的外延。
例如，在电子结构中，本征态是一个确定态，它可以用本征函数来描述。
在原子物理学和低温物理学领域，本征态应用广泛，如描述核星系统、原子或分子结构以及低温量子物质等。
一般来说，本征态是一种被称为稳定态的特殊物理状态，是物理系统在某种输入条件下，在某个时间段内不变的特殊态。
这可以用熵的增长量来理解，由于熵的增大会使物理状态更加稳定，所以本征态的特定形态是熵的最小增量对应的最稳定的物理状态。
此外，本征态是由粒子的振动决定的，而这些振动可以用本征函数来描述。
本征函数又可以称为自由态函数，是描述系统自由态波函数的函数。
自由态波函数可以用两种方式表示：一是矩阵表示法，将本征态的局部空间的坐标的表示的矩阵表示为矩阵，然后求出波函数的解；二是积分方程表示法，由局部空间的坐标表示的波方程结合积分表示法求解出的波函数。
本征函数用于描述本征态的特性，它可以反映系统本征态的能量分布、粒子分布和粒子概率密度，也可以用来表示本征态与其他状态间的作用力。
本征函数可以用多种类型来描述，如简谐态函数、坐标本征函数和功率本征函数等，而这些本征函数也可以用来解释本征态之间的互作用，从而使得研究本征态的特性变得更加明确。
本征态和本征函数在电子结构和原子物理学领域发挥着重要作用，使得我们可以更加准确的描述物质的属性。
本征态的准确性会影响物质的性质，本征函数则可以更具体的描述物质的粒子分布、能量分布以及粒子概率密度的特性。
此外，在低温物理领域，本征态也可以用来解释量子玻色效应，以及可以解释量子物质等现象。
总之，本征态及其对应的本征函数是物理系统稳定态特性的重要表示，在电子结构、原子物理和低温物理等领域应用广泛，发挥着重要作用。
本征态的概念源于熵的增量，利用本征函数可以描述不同本征态间的交互作用，也可以描述本征态的特性。
本征态及其本征函数研究，除了可以加深对物理系统的理解外，还可以探索新的现象，为探索物理宇宙的规律和提高科学技术服务。
本征模态函数 内禀模态函数
本征模态函数内禀模态函数本征模态函数和内禀模态函数都是在振动学领域中常见的概念，它们分别指的是在特定条件下系统自身的振动形式和频率。
以下将对这两个概念进行详细的介绍。
一、本征模态函数1. 概念本征模态函数（Eigenmode Function）也称为固有振型函数，是指在特定条件下系统自身的振动形式。
通俗地说，它是指一个物体或系统在没有外部干扰的情况下自然地振动的形式。
例如，一个铃铛自然地震动时，产生的声波就是铃铛的本征模态函数。
2. 特点（1）每个物体或系统都有多个不同的本征模态函数，每个本征模态对应着一种特定频率和振幅。
（2）不同的物体或系统具有不同的本征模态函数。
（3）本征模态函数与物体或系统自身性质密切相关，例如材料、几何形状、边界条件等。
3. 应用本征模态函数广泛应用于结构振动分析、声学分析、电磁场分析等领域。
通过计算出物体或系统各个本征模态对应的频率和振幅，可以了解该物体或系统的固有振动特性，为设计优化提供依据。
二、内禀模态函数1. 概念内禀模态函数（Intrinsic Mode Function）是一种基于经验模态分解（Empirical Mode Decomposition）方法得到的函数，用于描述非线性和非平稳信号的本征振动模式。
它是将信号分解成多个固有振动模式后得到的结果。
2. 特点（1）内禀模态函数具有局部特性，即每个内禀模态函数都在一定范围内具有相似的频率和振幅。
（2）不同的信号可以分解成不同数量和形式的内禀模态函数。
（3）内禀模态函数可以用于信号处理、数据压缩、特征提取等领域。
3. 应用内禀模态函数在信号处理领域中应用广泛，例如在地震学中用于地震波形分析、在医学中用于心电图信号处理等。
通过将信号分解成多个内禀模态函数后，可以更好地理解信号本身的本质特征，并对其进行进一步处理和应用。
总结：本征模态函数和内禀模态函数都是描述系统或信号固有振动特性的概念，但它们的应用领域和方法不同。
CH4振动与波
3
如 图 , 物 体 从 OM 处 到 OM' 转 过 的 角位移: 5
x 0.06 0.12
-0.06 o
t
6
t
5
t 5 s M' N t 0
6
6
14
例 已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲
线如图所示，试求其振动方程。
解：方法1
X(m)
设振动方程为
0.1
0.05
x Acos(t 0 )
1
4.1 简谐振动
一 概述 机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。
线性振动
振动分类
非线性振动
自由振动
受迫振动
2
二 简谐振动
最简单最基本的振动是简谐振动。
1. 简谐振动的定义： 简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平
衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正
弦）规律变化的振动。
数学表达式为 x(t) Acos(ω t 0 )
x是描述位置的物理量,如 y , z 或 等.
特点: (1)等幅振动
(2)周期振动 x(t) x(t T )
m
3
2. 谐振动的速度和加速度
速度为：
v
dx dt
A
sin(t
0)
加速度为：
a
d2x dt 2
A
2
cos(t
v0
A s in 0
A
x02
(
v0
)2
5
2、周期 、频率、圆频率
周期T ：物体完成一次全振动所需时间。
Acos(t 0 ) Acos(t T ) 0
量子力学Ch4-4(2)_2
或
1 d ˆ x 2 a dx 2 a x 1 d ˆ 2 dx 2
1 d ˆ a d 令 2 x （4） 1 d ˆ a d 2
由
ˆ a n
n n 1
n0 n0
a
d
6
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
封闭性关系：
x
d 1
Ex. 坐标本征函数 Ex. 动量本征函数
的封闭性 的封闭性
x
x
dx 1
p
p
p dp 1
有分立谱又有连续谱的情况，封闭性关系：
n
n
n
连续谱情况 例如坐标表象 令
d
x x dx
ax x
( x, t )
bx x ( x, t )
x x dx
8
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
5
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
n
n n
(1)
由于态矢 是任意的，由上式给出。
n
n
氢原子的能量本征值与本征函数
1 2 V kx 2
上式可改写成
3.4.2
式中
图4.4.1简谐振子能级
3.4.3
3.4.4 3.4.5
简谐振子的能级示于图 3.4.1，习惯上把能级画在 势能曲线上。微观简谐振 子能级的特点:
ω. 二是最低能级， 一是等距分布， 即n=0的能级，仍有能量1/2 ω，叫做“零 点能”。这意味着没有静止的简谐振子。 三是跃迁只能逐级进行，即能级之间的跃 迁服从Δn=1的选择定则。由一、三可以得 出绝对的谐振子测到的能谱中只有一条谱 线。这些特点有时常被用来指导理论工作。
然后作用于波函数ψ ，就得到薛定谔方程
下面研究定态薛定谔方程
在势能V不显含时间的问题中，薛定谔方程可以用一种 分离变数的方法求其特解，
4.1.4
代入式(4.1.1)，并把坐标函数和时间函数分列于等号两边： 4.1.5 令这常数为E， 有 于是波函 数ψ (r,t)可 以写成 4.1.6
与自由粒子的波函数比较，可知上式中的常数 E就是能 量，具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态.在 定态中几率密度｜ψ (r,t)｜2=｜ψ (r)｜2与时间无关。 另一方面，式(4.1.5)右边也等于E，故有
A
U0
d U0
B
U0 A
隧道电流i 探针 d E B 样品 U
i Ue
A d
电子云重叠
用隧道效应观察样品表面的微结构
A——常量
图象处理系统
扫描探针 样品表面电子云
——样品表面平均势 垒高度（~eV） 。 d ~ 10A d变 i变 反映表面情况
显示器
压 电 控 制 加电压
反馈传 感器 参考信号
(1) 能量是量子化的，最低能量 E1≠0，这与经典力学大不相同，这是 粒子波动性的反映，因为“静止的波”是不存在的。能级的能量依n2 规律加大，相邻能级间距越来越大. E i t n (2)含时间的波函数是 ~ sin x e ,这是一个驻波,
本征模态函数 内禀模态函数
本征模态函数内禀模态函数一、引言人们在研究系统的本征性质时经常要用到模态函数。
模态函数是用来描述和分析系统振动或波动特性的数学函数。
本征模态函数指的是满足系统的本征方程的函数，而内禀模态函数是特指无耗散和强迫的情况下的本征模态函数。
本文将详细探讨本征模态函数和内禀模态函数的概念、性质以及应用。
二、本征模态函数2.1 概念本征模态函数是指在给定系统的边界条件下，满足系统本征方程的函数。
它们是系统特有的振动或波动模式，描述了系统在自然频率下的振动形态。
2.2 性质•本征模态函数具有正交性质，即不同模态函数之间在给定的内积下相互垂直。
这个内积可以是特定的权重函数下的积分，也可以是离散情况下的点乘。
•本征模态函数是线性无耗散系统本征振动的解。
通过线性组合各个本征模态函数，可以得到系统的振动响应。
•本征模态函数具有二次正定性质，即对于任意非零矢量，其本征模态函数的平方和大于零。
2.3 应用本征模态函数在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
其中一些重要应用包括：1. 结构动力学分析：通过本征模态函数可以分析物体的固有频率和模态形态，对结构的稳定性和振动特性进行评估。
2. 振动信号处理：本征模态函数可以用来提取振动信号中的固有模态，并进行特征提取和故障诊断。
3. 地震工程：对于建筑物、桥梁等结构，通过本征模态函数可以分析地震波对其产生的影响，预测结构的响应和破坏。
三、内禀模态函数3.1 概念内禀模态函数是指在无耗散和强迫情况下，满足系统内禀方程的模态函数。
在这种情况下，系统的振动或波动完全由系统自身的本征特性所决定。
3.2 性质•内禀模态函数是对系统自身固有振动的描述，与系统的外部激励无关。
•内禀模态函数确定了系统的固有频率和振动形态，是系统特有的本征模式。
3.3 应用内禀模态函数的应用主要集中在研究系统的固有振动和共振现象等方面。
其中一些应用包括： 1. 振动模态测试：通过对结构进行激励，并测量响应信号，可以提取出结构的内禀模态函数，用于评估结构的振动特性。
本征模态函数
本征模态函数本征模态函数（NEMF），是一种用于描述结构完整性和多孔介质性能的模型。
它是一种新型动态分析方法，可以用来分析固体结构特性，粘合剂行为，结构性能和隔热性能。
本征模态函数技术的开发是为了提高在几个方面的效率和精确性，比如：分析复杂的结构行为；重构建模；校准和进行模型简化；估算控制参数；确定非线性行为；确定结构响应的可靠性，以及结构的粘合性和强度等。
本征模态函数分析的基本原理简单明了，是将结构性能表达为一系列本征振动响应，而本征振动响应是结构特性的一个反映，它反映了结构中内在的振动响应规律，通过分析结构模态可以得到结构性能的实际响应。
本征模态函数计算方法可以较准确地计算出结构在不同载荷作用下的模态参数和模态函数，并可以提供大量的结构性能信息，可以用来统计汽车的噪声和振动分析结果，控制机械系统的性能，进行建筑物的结构安全分析，以及进行飞行器等机械系统的分析设计等。
本征模态函数计算技术有很多种，其中主要有有限元法（FEM）、基于光杆法的有限元法、凝聚力学分析及其他物理模型结合的技术等。
其中，有限元法是一种常用的技术，它使用数值方法来分析和计算结构的本征模态函数。
其次，基于光杆法的有限元法可以更准确地分析结构的本征模态函数，特别是钢结构的分析。
最后，凝聚力学分析可以计算出结构中沿轴向和径向方向带来的变形，以及计算结构隔热系数等。
总而言之，本征模态函数分析能够比较准确地描述结构的动态性能，以及结构的本质性能和特性，并可以更准确地分析结构的响应特性，从而更精确地计算出结构的响应特性。
本征模态函数技术是一种精确度较高的分析模型，可以更准确地分析结构的性能特性和参数，有助于更好地分析结构的振动特性，估算结构强度和结构粘合行为，以及进行结构性能分析、优化设计等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
sin
Y
1
sin
2Y
0;
X
l
0;
n 1/ 22 π2
/l2;
n 0,1,...
4. cos[(n+1/2)πx/l]
X X 0
X x cosn 1/ 2πx / l
X
0
0;
X
l
0;
n 1/ 22 π2
/l2;
n 0,1,...
%ex303(p67) function sfb x=0:0.01:1; t=10^-5*(0:10:2000); A=sf(1,t(1)); B=sf(2,t(1)); C=sf(3,t(1)); D=sf(4,t(1)); figure(1);subplot(2,1,1);
h1=plot(x,A,'r');hold on; h3=plot(x,B,'g');grid on; y1=max(abs(A));axis([0,1,-y1,y1]);
4.2 二维本征值问题
4.2.1 矩形区域的本征模与本征振动
具有固定边界Leabharlann 矩形区域拉普拉斯方程的本征值问题：
2u
2u x2
2u y 2
ux,y;
u0, y ua, y ux,0 ux,b 0;
可通过分离变量求得本征函数：
令ux,y X xY y
二维拉普拉斯方程 X X 0;
Y
Y
0;
一维热传导方程 X X 0 T a2T 0 T ea2t
一维波动方程
X X 0
T
a2T
0
T
cos
at 0
这些方程的分离变量中都会出现方程：X X 0
grid on; legend(‘k=1’,‘k=3’); title('驻波k=1、3') ; ym1=max(abs(w1));axis([0,1,-ym1,ym1]); subplot(2,1,2);h2=plot(x,w2,'r');hold on; h4=plot(x,w4,'g'); grid on; legend('k=2','k=4'); title('驻波k=2、4') ; ym4=max(abs(w4));axis([0,1,-ym4,ym4]) ; for n=2:length(t) w1=wf(1,t(n)); w2=wf(2,t(n)); w3=wf(3,t(n)); w4=wf(4,t(n)); set(h1,'ydata',w1); set(h3,'ydata',w3); drawnow; set(h2,'ydata',w2); set(h4,'ydata',w4); drawnow; end; function p=wf(k,t) x=0:0.001:1; a=1; p=sin(k*pi*x).*cos(k*pi*a*t);
X X
0
k
2 x
X
X
a
0
X x sin nπx / a
X
X
Y Y
k
2 x
k
2 y
Y Y
0
k
2 y
y
Y b
0
Y y sin mπy / b
ux, y sin nπx / asin mπy / b;
um,n , Jm kmn r m 其中kmn xnm / 0; xnm为m阶贝塞尔函数
的第n个零点
%ex106(p32-33) ; %贝塞耳(Bessel)函数\诺伊曼(Neumann)函数 clear; k=(0:3)'; m=20; x=.05:0.1:m; figure(1);subplot(2,1,1);y=besselj(k,x);
%ex302(p65) function zb t=0:0.005:2.0; x=0:0.001:1; w1=wf (1,0); w2=wf(2,0); w3=wf (3,0); w4=wf(4,0); figure(1); subplot(2,1,1);h1=plot(x,w1,'r'); hold on; h3=plot(x,w3,'g');
一维热传导方程 ut a2uxx 0 (0 x l)
一维波动方程 utt a2uxx 0 (0 x l)
设函数 u(x,t) 具有变量分离形式，即它可表示为：
u(x, y) X (x)Y ( y) 或 u(x,t) X (x)T (t)
则上述三个方程可以写为：
在波动问题中，还要考虑时间因子：T t sin kmnat 0
相应的动画演示程序为ex305
ex304
%ex305(p71) a0=1; a=2;b=1; x=0:0.05:a; y=0:0.025:b; [X,Y]=meshgrid(x,y); for m=1
for n=1:3 for i=1:50 k=sqrt((m*pi/a)^2+(n*pi/b)^2); t=i*0.02; Z=sin(k*a0*t)*sin(n*pi*X/a).*sin(m*pi*Y/b); T=['本征振动:','m=',int2str(m),',n=',int2str(n)]; mesh(X,Y,Z); axis([0,a,0,b,-1,1]); title('T'); p(:,i)=getframe; end; movie(p);
4.1.2 本征函数系的图像及其运动
上节中的四个本征函数的图像如下页图。显然，端点为第一 类边界条件时，该端点为波节，端点为第二类边界条件时， 该端为波腹。程序如下：
%ex301(p65) clear;x=pi*(0:0.001:1); A=sin([1:4]'*x); B=cos([0:3]'*x); C=sin([1/2:7/2]'*x); D=cos([1/2:7/2]'*x); figure(1); subplot(4,1,1);plot(x,A); subplot(4,1,2);plot(x,B); subplot(4,1,3);plot(x,C); subplot(4,1,4);plot(x,D);
end; end;
4.2.2 园形区域的本征模与本征振动
具有固定边界的圆形区域拉普拉斯方程的本征值问题：
2u
1
u
1
2
2u
2
k 2u;
u0 0;
可通过分离变量求得本征函数：令u, R
第四章 本征函数系与本征振动
4.1 一维本征值问题；正余弦函数系 4.2 二维本征值问题；贝塞尔函数系 4.3 三维本征值问题；球谐函数系(勒让德函数系) 4.4 用偏微分方程工具箱(pdetool)求解本征值问题；
4.0 PDE 分类
Laplacian
算子：
2 x2
2 y 2
拉普拉斯方程 （elliptic）：
subplot(2,1,2); h2=plot(x,B);hold on; h4=plot(x,D,'g');grid on; y2=max(abs(B));axis([0,1,-y2,y2]); for n=2:length(t) A=sf(1,t(n)); set(h1,'ydata',A); C=sf(3,t(n)); set(h3,'ydata',C); drawnow; B=sf(2,t(n)); set(h2,'ydata',B); D=sf(4,t(n)); set(h4,'ydata',D); drawnow; end function wtx=sf(k,t) x=0:0.01:1; wtx=sin(k*pi*x)*exp(-(2*pi*k)^2*t);
实际上对于波动方程和热传导方程，还要考虑时间本征函数：
1. 对于波动方程，时间函数为cos(nπa t/l)或cos[(n+1/2)πa t/l) 2. 对于热传导方程，时间函数为exp(-λa2t) (文中该处p66有误)
考虑时间因子后的动画分别如程序ex302和ex303所示。 显然，对于波动方程，将形成驻波，固定端(第一类边界条件) 为波节，开口端(第二类边界条件)为波腹。 对于热传导方程，若两端温度相同(第一类边界条件)，对于任 何初始温度分布，最终都将趋于平衡态，
plot(x,y);grid on; axis([0,m,-.5,1]); title('0-3阶Bessel函数'); subplot(2,1,2);y=bessely(k,x); plot(x,y);grid on; axis([0,m,-1,.6]); title('0-3阶Neumann函数');
X X 0
X x cosnπx / l
X
0
0;
X l
0;