线性代数5.5(3学分)

x1 a11 x a 记X = 2 , A = 21 xn an1
a12 a1n a22 a2 n ,(A对称). 则f ( x ,, x ) = X T AX . 1 n an 2 ann
上面的对称矩阵A称为二次型f 的矩阵. A的秩称为二次型f 的秩.
λ1 0 T 1 P AP = P AP = . 0 λn 令X = PY ,
则f ( PY ) = ( PY )
T
λ1 0 T T T APY = Y ( P AP ) Y = Y Y 0 λn 2 2 = λ1 y12 + λ2 y2 + + λn yn .
定义. 定义 f ( x1 ,, xn ) = a11 x12 + a22 x22 + + ann xn2 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + + 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 如果aij都是复数, 则称f 为实二次型. 如果aij都是实数, 则称f 为实二次型. 令a ji = aij ,(i < j ). 则2aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi .
2 0 令X = PY , 则f ( PY ) = Y T 0 1 0 0 z1 = 2 y1 2 2 令 z2 = y2 , 则f = z12 + z2 + z3 . z =y 3 3 0 Y = 2 y 2 + y 2 + y 2 = 2 y 2 + y 2 + y 2 . 0 1 2 3 1 2 3 1 w1 = z2 2 2 令 w2 = z3 , 则f = w12 + w2 w3 为规范形. w = z 3 1
x = x 'cos θ y 'sin θ x cos θ , 即 = y = x 'sin θ + y 'cos θ y sin θ sin θ x ' cos θ y '
§5 二次型及其标准形
所以从代数的角度来看, 把二次曲线化简成标准形的过程就是 通过变量的线性替换把二次曲线方程的左边的关于 x,y的二元 二次齐次多项式,中含有xy的项消掉. 在这一节当中, 我们讨论如何用线性变换化简一般的含有n个 变元的二次齐次多项式的问题.
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn a11 a12 a1n x1 a a 21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn a22 a2 n x2 = ( x1, x 2,, x n ) = ( x1 , x2 ,, xn ) 21 a n1 x1 + an 2 x2 + + ann xn an1 an 2 ann xn
1 4 3 所以二次型f 的矩阵是A = 4 2 5 . 3 5 3

二次型的标准形和规范形. 二. 二次型的标准形和规范形 x1 y1 定义. 定义 设P为n阶矩阵, X = , Y = , 则关系式X = PY 称 x y n n 为线性变换. 若P可逆, 则称X = PY 是可逆的线性变换,
并求二次型的规范形.
(
)
小结: 小结 二次型的化简问题, 通过在二次型和对称矩阵之间建立一一 对应的关系, 将二次型化简的问题转化为将对称矩阵化为对角 矩阵的问题, 而这是已经解决了的问题. (重点)
1 2 0 1 A = 2 0 . 2 1 0 3 2
例. f = x 2 3z 2 4 xy + yz的矩阵为
1 2 4 求二次型f ( X ) = X T 6 2 7 X 的矩阵. 例. 2 3 3
2 2 2 解. f ( X ) = x1 + 2 x2 + 3 x3 + (2 + 6) x1 x2 + (4 + 2) x1 x3 + (7 + 3) x2 x3 2 2 = x12 + 2 x2 + 3x3 + 8 x1 x2 + 6 x1 x3 + 10 x2 x3
令X = CY (C可逆) f ( X ) = X AX ( A对称) → f (CY ) = ( CY ) A ( CY ) = Y T ( C T AC ) Y . x1 y1 X = , Y = . 记g (Y ) = Y T ( C T AC ) Y . x y n n
如果P是正交矩阵, 则称X = PY 为正交变换.
设f ( x1 , , xn ) = X T AX ( A对称). 二次型的标准形:
若存在可逆的线性变换X = PY , 使得 d1 0 n 2 f ( PY ) = Y T Y = ∑ di yi . i =1 0 dn 则称这个关于变量Y的二次型为f 的一个标准形.
T
T
注意: 注意 1. 关于变量Y的二次型g的矩阵是C T AC. T T T 证: 因为A对称, 所以 ( C AC ) = C T AT ( C T ) = C T AC.
所以二次型g的矩阵是C T AC. 如果C可逆, 则称C T AC和A合同. 二次型g的矩阵和二次型f 的矩阵是合同的.
2. R(C T AC ) = R( A). 即二次型f 的秩 = 二次型g的秩.
T 推论. 推论 任给二次型f ( x1 ,, xn ) = X AX , ( A对称), 总有可逆变换X = CY ,
使f (CY ) = y12 + + y 2 y 2 +1 yr2 . 其中r = R( A). 称之为二次 p p 型f ( x1 ,, xn )的规范形(唯一).
1 0 p q
1 1 1
0
0
任何一个对称矩阵合同于形如
的矩阵,
0
其中p + q = R( A).
例. 求一个正交变换X = PY , 把二次型f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3化为标准形.
0 1 1 解: 二次型的矩阵为A = 1 0 1 . 1 1 0 1 1 1 3 2 6 2 0 0 1 1 1 令P = , 则P是正交阵, 且PT AP = P 1 AP = 0 1 0 . 3 2 6 0 0 1 2 1 0 3 6
a11 x12 + a12 x1 x2 + + a1n x1 xn
x1 (a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn )
2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + + a2 n x2 xn = + x2 (a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn ) 则f ( x1 ,, xn ) = + + 2 + xn (an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn ) + an1 xn x1 + an 2 xn x2 + + ann xn
T 定理. 定理 任给二次型 f ( x1 ,, xn ) = X AX , (A 对称), 总有正交变换 X = PY , 使得f 化为标准形 2 2 f ( PY ) = λ1 y12 + λ2 y2 + + λn yn ,
其中λ1 ,, λn是二次型 f 的矩阵A的所有特征值.
证:
因为A对称, 所以存在正交矩阵P,使得
xi x j系数的一半 i ≠ j; 注意: 注意 1. 二次型f 的矩阵A是对称矩阵. aij = 2 i = j. xi 的系数 一一对应 2. f ( X ) = X T AX ( A对称) 对称矩阵A. →
例.
1 2 0 2 2 f = x12 + 2 x2 3x3 + 4 x1 x2 6 x2 x3的矩阵为 A = 2 2 3 . 0 3 3
二次型的定义. 一. 二次型的定义 设二次曲线在坐标系O xy下的方程为ax 2 + bxy + cy 2 = 1 我们可以把坐标系适当的旋转θ 角, 得到一个新的坐标系,
使得二次曲线在新的坐标系O x ' y ' 下的方程成为一个标 准形mx '2 + ny '2 = 1 平面上同一个点在不同坐标系下的坐标变换公式是