高中数学公式(经典)

高中数学公式及知识点速记

1、函数的单调性

(1)设1212[,],x x a b x x ∈<、且那么

],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，

若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数；若()=0f x '，则)(x f 有极值。 2、函数的奇偶性

若)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称。若)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.

4、几种常见函数的导数

①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=； ⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=； ⑧x

x 1

)(ln '= 5、导数的运算法则

（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.

（3）''

()u u v uv v v -=.

6、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=得0x ．当()00f x '=时：

① 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ② 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 7、分数指数幂

(1)

m n

a =.

(2)1m n

m n

8、根式的性质（1

）n a =.

（2）当n

a =；

当n

||,0a a a a a ≥?==?-

9、有理指数幂的运算性质 (1)r

s r s a

a a +?=；

(2)()r s

a a =；

(3)()r r r

ab a b =. 10、对数公式

（1）指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=。

（2）对数的换底公式 :log log log m a m N

N a

（ 3）对数恒等式：①log log n

a a

b n b =； ②log log m n a a n

b b m

； ③log a N

N =； ④log 10a =； ⑤log 1a a =

11、常见的函数图象

12、同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ

cos sin .

13、正弦、余弦的诱导公式

诱导公式一：sin(α+k ?2π)=sin(α+2k π)=sin α； cos(α+k ?2π)=cos(α+2k π)=cos α tan(α+k ?2π)=tan(α+2k π)=tan α 诱导公式二：sin(πα+)=－sin α； cos(πα+)=－cos α； tan(πα+)=tan α.

诱导公式三：sin （α－）=－sin α； cos （α－）=cos α； tan （α－）=－tan α. 诱导公式四：sin(πα-)=sin α； cos(πα-)=－cos α； tan(πα-)=－tan α. 诱导公式五：sin(2

α-)=cos α；

cos(

α-)=sin α；诱导公式六：sin(2

α+)=cos α；

cos(

α+)=－sin α.

14、和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=m .

sin cos a b αα+

)α?+；(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b

?= ). 15、二倍角公式

sin 2sin cos ααα=.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

2tan tan 21tan α

αα

=-. 公式变形： ;

2cos 1sin ,2cos 1sin 2;

2cos 1cos ,2cos 1cos 22222α

αααα

ααα-=-=+=+=

16、三角函数的周期

函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+的周期2||

T π

ω=

，最大值为|A|；函数tan()y A x ω?=+（2

x k π

π≠+

）的周期||

T πω=

. 17.正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ?外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?=== ::sin :sin :sin a b c A B C ?= 18.余弦定理

2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-. 19.面积定理

111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===.

20、三角形内角和定理

在△ABC 中，有A B C π++= ()C A B dx π?=-+ 222

C A B

π+?=-

222()C A B π?=-+.

21、三角函数的性质

22、a 与b 的数量积:a ·b =|a |?|b |cos θ． 23、平面向量的坐标运算

(1)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--uu u r uu u r uu r

(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (3)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +. (6)设a =),(y x ，则22y x a +=

、两向量的夹角公式：

cos a b

a b

θ?==?r r r r ；(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).

25、平面两点间的距离公式：,A B d =||AB uu u

=26、向量的平行与垂直：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则

a ∥

b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b ?a ·b=012120x x y y ?+=. 27、数列的通项公式与前n 项的和的关系

1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?；( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).

28、等差数列的通项公式

11(1)n a a n d dn a d =+-=+-；

29、等差数列其前n 项和公式为 1()2

n n n a a s +=

1(1)

2n n na d -=+. 30、等差数列的性质：

①等差中项：2n a =1n a -+1n a +； ②若m+n=p+q ，则m a +n a =p a +q a ；

③m S ，2m S ，3m S 分别为前m ，前2m ，前3m 项的和，则m S ，2m S -m S ，3m S -2m S 成等差数列。 31、等比数列的通项公式 11n n a a q -=；

32、等比数列前n 项的和公式为

(1)

,11,1n n a q q q s na q ?-≠?

-=??=? 或 11,11,1n n a a q q q s na q -?≠?-=??=?.

33、等比数列的性质： ①等比中项：2

n b =11n n b b -+?； ②若m+n=p+q ，则m n b b ?=p q b b ?；

③m S ，2m S ，3m S 分别为前m ，前2m ，前3m 项的和，则m S ，2m S -m S ，3m S -2m S 成等比数列。 34、常用不等式：

（1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +∈

a b

+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

35、直线的3种方程

（1）点斜式：11()y y k x x -=-； (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式：y kx b =+；(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）一般式：0Ax By C ++=；(其中A 、B 不同时为0). 36、两条直线的平行和垂直

若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①121212||,l l k k b b ?=≠且; ②12121l l k k ⊥??=-.

37、点到直线的距离

d =； (点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

38、圆的2种方程

（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.

（2）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

=+??=+?.

39、点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若d =

d r >?点P 在圆外; d r =?点P 在圆上; d r

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 其中2

A C Bb Aa d +++=

0d r >???<相离方程组无解：；

0d r =???=相切方程组有唯一解：；

0d r 相交方程组有两个解：.

41、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

①椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，焦点（±c,0），222b c a =-，离心率2=2a c

e c a =

=焦距长轴，参数方程是cos sin x a y b θ

=??=?.

②双曲线：122

22=-b y a x (a>0,b>0)，焦点（±c,0），222b a c =-，离心率2=2a c e c a =

=焦距长轴，渐近线方程是x a

b y ±=.

③抛物线：px y 22=，焦点)0,2(p ,准线2

x -=。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线

的距离.

42、双曲线的方程与渐近线方程的关系

若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

y ±=.

43、抛物线px y 22=的焦半径公式

抛物线22y px =的焦半径2||0p x PF +=.（抛物线上的点（0x ，0y ）到焦点（2

，0）距离。）

44、平均数、方差、标准差的计算

平均数:n

x x x x n

Λ++=21；

方差:])()()[(1

222212x x x x x x n s n -+-+-=Λ；

标准差:])()()[(1

22221x x x x x x n

s n -+-+-=Λ； 45、回归直线方程

$y a bx =+，其中()()()1122211n n

i i i i i i n n

i i

i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx

====?

---?

?==?--??

=-?∑∑∑∑. 46、独立性检验

)

)()()(()

2d b c a d c b a bd ac n K ++++-=；n=a+b+c+d.

①K ﹥6.635，有99%的把握认为X 和Y 有关系； ②K ﹥3.841，有95%的把握认为X 和Y 有关系； ③K ﹥2.706，有90%的把握认为X 和Y 有关系； ④K ≤2.706，X 和Y 没关系。 47、复数

①z a bi =+共轭复数为z a bi =-；

②复数的相等：,a bi c di a c b d +=+?==；

③复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +

④复数的四则运算法则

(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++； (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-； (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++；

(4)()222222

()()ac bd bc ad i ac bd bc ad

a bi c di i c d c d c d ++-+-+÷+=+=+++

⑤ 复数的乘法的运算律交换律:1221z z z z ?=?.

结合律:123123()()z z z z z z ??=??. 分配律:1231213()z z z z z z z ?+=?+? .

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q

逆命题若q 则p

逆否命题若┐q 则┐p

互为逆否互逆否互为逆否

互

互逆

否

互48、参数方程、极坐标化成直角坐标

①???==y x θρθρsin cos ； ② ??

???≠=+=)

0(tan 2

22x x y y x θρ 49、命题、充要条件

充要条件（记p 表示条件，q 表示结论；即命题“若p ，则q ”） ①充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. ②必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.

③充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. ④命题“若p ，则q ”的否命题：若p ?，则q ?；

否定：若p ，则q ?

50、真值表

51、量词的否定

①含有一个量词的全称命题的否定:

全称命题p ：,()x M p x ?∈,它的否定 p ?：00,()x M p x ??∈ ②含有一个量词的特称命题的否定:

特称命题p ：00,()x M p x ?∈ ,它的否定p ?：,()x M p x ??∈

52、空间点、直线、平面之间的位置关系

①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理1的作用：判断直线是否在平面内

②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理2的作用：确定一个平面的依据。

推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：两条相交直线确定一个平面。公理2

推论3：两条平行直线确定一个平面。

③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3的作用：判定两个平面是否相交的依据

53、空间中直线与直线之间的位置关系

①空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内；有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内；没有公共点；

异面直线：不在同一个平面内；没有公共点。

②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

③等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

注意点：

1.两条异面直线所成的角θ∈(0， ]；

2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

3.两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

54、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线在平面外直线与平面相交——有且只有一个公共点

直线在平面平行——没有公共点

注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

55、直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a α

b β? a∥α

a∥b

αL

共面直线

?a∥c

56、平面与平面平行的判定

①两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面

平行。

符号表示：a β

b β

a∩b = P β∥α

a∥α

b∥α

②判断两平面平行的方法有三种：

（1）判定定理；

（2）平行于同一平面的两个平面平行；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

57、直线与平面、平面与平面平行的性质

①定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：a∥α

a β a∥b

α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

②定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ= a a∥b

β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

③两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。

58、直线与平面垂直的判定

①定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。l

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

α p

②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意：1.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

2.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

59、平面与平面垂直的判定

①两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

60、直线与平面、平面与平面垂直的性质

①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

②性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。