高一数学函数模型的应用实例专项练习(带答案)

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人教版高中数学必修一《函数模型的应用实例》课时达标及答案

课时作业 (三十六 )1．某林场计划第一年造林10 000 亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林 ()A．14400亩B．172 800亩C．17 280亩D．20 736 亩答案C解析设第 x 年造林 y 亩，则 y＝10 000(1＋20%)x－1，∴x＝4 时， y＝10 000×1.23＝17 280(亩)．2．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价20%，同时乙产品连续两次降价20%，结果都以 23.04 元售出．此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏情况是()A．不亏不赚B．亏 5.92 元C．赚 5.92 元D．赚 28.96 元答案 B解析设甲、乙两种产品原价分别为 a，b，则 a(1＋20%)2＝23.04，b(1－20%)2＝23.04.∴a＝16 元， b＝36 元．若出售甲、乙产品各一件，甲产品盈利 23.04－16＝7.04 元，乙产品亏 36－23.04＝12.96 元，∴共亏 12.96－ 7.04＝5.92 元．3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3 元，普通车存车费是每辆一次 0.2 元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是 ()A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－ 0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－ 0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)答案D4．乙从 A 地到 B 地，途中前一半时间的行驶速度是v1，后一半时间的行驶速度是v2(v1<v2)，则乙从 A 地到 B 地所走过的路程 s 与时间 t 的关系图示为 ()答案A5．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长 9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比 1995 年翻两番的年份大约是 (lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3)()A．2015 年B．2011年C．2010 年D．2008 年答案B解析设 1995 年总值为 a，经过 x 年翻两番．则 a·(1＋9%)x＝4a.2lg2∴x＝lg1.09≈16.6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元 )分别为 L1＝5.06x－0.15x2和 L2＝2x，其中 x 为销售量 (单位：辆 )．若该公司在这两地共销售15 辆车，则能获得的最大利润为 ()A．45.606 万元B．45.6 万元C．45.56 万元D．45.51 万元答案B解析依题意可设甲销售x 辆，则乙销售 (15－x)辆，所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－ 0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，所以当x＝10 时， S 有最大值为 45.6(万元 )．7．一水池有 2 个进水口， 1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示，某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示． (至少打开一个水口)给出以下 3 个论断：①0 点到 3 点只进水不出水；②3 点到 4 点不进水只出水；③ 4 点到 6 点不进水不出水．则一定正确的论断序号是________．答案①8．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概．当弓箭手以每秒 a 米的速度从地面垂直向上射箭时，t 秒后的高度x 米可由x＝at－5t2确定．已知射出 2 秒后箭离地面高 100 米，求弓箭能达到的最大高度．解析由 x＝at－5t2且 t＝2 时， x＝100，解得 a＝60.∴x＝60t－5t2.由 x＝－ 5t2＋ 60t＝－ 5(t－6)2＋180，知当t＝6 时，x 取得最大值为180，即弓箭能达到的最大高度为 180 米．9．某租赁公司拥有汽车100 辆，当每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50 元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元．(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？答案(1)88 辆(2)月租金定为 4 050 时最大月收益是307 050元10．国际视力表值(又叫小数视力值，用V 表示，范围是[0.1,1.5]) 和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L 表示，范围是 [4.0,5.2]) 的换算关系式为 L＝5.0＋lgV.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V 1.5②0.4④L ① 5.0③ 4.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5，乙的小数视力值是甲的 2 倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数字，参考数据：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)153解析(1)∵ 5.0＋ lg1.5＝ 5.0＋lg10＝ 5.0＋lg2＝5.0＋ lg3－lg2＝5.0＋0.477 1－0.301 0≈5.2，∴①应填 5.2；∵5.0＝5.0＋lg V，∴ V＝1，②处应填 1.0；4∵ 5.0＋lg0.4 ＝5.0＋ lg 10＝ 5.0＋ lg4－ 1＝ 5.0＋ 2lg2－ 1＝ 5.0＋2×0.301 0－1≈4.6，∴③处应填 4.6；∵ 4.0＝5.0＋lg V ，∴ lgV ＝－ 1.∴ V ＝0.1.∴④处应填 0.1.对照表补充完整如下：V 1.5 1.0 0.4 0.1 L5.25.0 4.6 4.0(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有 4.5＝5.0＋lgV 甲，∴ V 甲＝10－0.5，则 V 乙＝2×10－0.5.∴乙的对数视力值 L 乙＝5.0＋lg(2×10－0.5)＝5.0＋lg2－0.5＝5.0＋0.301 0－0.5≈4.8.11．某种商品生产x 吨时，所需费用为 (101x 2＋5x ＋100)元，而出x售 x 吨时，每吨售价为 p 元，这里 p ＝a ＋b (a ，b 是常数 )．(1)写出出售这种商品所获得的利润y 元与售出这种商品的吨数 x之间的函数关系式；(2)如果生产出来的这种商品都能卖完，那么当产品是150 吨时，所获利润最大，并且这时每吨价格是40 元，求 a ，b.解析(1)y ＝(a ＋b x)x －(101x 2＋5x ＋100)＝ (1b －101)x 2＋(a －5)x －100.－ a －5＝150，1 1 (2)由题意，得2b －10a ＝45，解得b ＝－ 30.15040＝a ＋ b ，a0.1＋15 ln a －x ，x ≤6，1．有时可用函数f(x)＝x －4.4x －4 ，x>6，描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某科学知识的学习次数 (x ∈N *)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当 x ≥7 时，掌握程度的增长量 f(x ＋1)－f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科．0.4(1)【证明】当 x ≥7 时， f(x ＋1)－ f(x)＝ x －3 x －4 .而当 x ≥7 时，函数 y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且 (x －3)(x －4)>0，故 f(x ＋1)－f(x)单调递减．∴当 x ≥7 时，掌握程度的增长量 f(x ＋1)－f(x)总是下降．a(2)解析由题意可知 0.1＋15 ln a －6＝0.85，0.05整理得 a －a6＝e0.05，解得 a ＝e 0.05e－1·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈(121,127]．由此知，该学科是乙学科．1．(2013 ·庆重 )若 a<b<c ，则函数 f(x)＝(x －a) ·(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c) ·(x －a)的两个零点分别位于区间 ()A ．(a ，b)和(b ，c)内C ．(b ，c)和(c ，＋∞ )内B ．(－∞， a)和(a ，b)内D ．(－∞， a)和(c ，＋∞ )内答案A解析令 y 1＝(x － a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＝(x －b)[2x －(a ＋c)] ，y 2＝－ (x －c)(x －a)，由 a<b<c 作函数 y 1，y 2 的图像 (图略 )，由图可知两函数图像的两个交点分别位于区间 (a ， b)和(b ，c)内，即函数 f(x)的两个零点分别位于区间 (a ，b)和(b ，c)内．2．(2013 ·南湖 )函数 f(x)＝2lnx 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋5 的图像的交点个数为 ()A ．3B ．2C ．1D ．0答案B解析由已知 g(x)＝(x －2)2＋1，所以其顶点为 (2,1)．又 f(2)＝2ln2∈ (1,2)，可知点 (2,1)位于函数 f(x)＝2lnx 图像的下方，故函数 f(x)＝2lnx的图像与函数 f(x)＝x 2－4x ＋5 的图像有 2 个交点．3．(2013 ·津天 )函数 f(x)＝2x |log 0.5x|－1 的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析函数 f(x)＝2x |log 0.5x|－1 的零点个数即为函数 y ＝|log 0.5x|与 y 1y ＝|log 0.5x|与 y ＝＝2x 图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数12x 的图像，易知有2 个交点．4．(2010 ·安徽 )设 abc ＞0，二次函数 f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )答案D解析由 abc>0 知 a，b，c 均为正或两负一正．对 A，由图像知 a<0，f(0)＝c<0，故 b>0，函数对称轴为－b2a>0，不满足题意．对 B，由图像知 a<0，f(0)＝c>0，故 b<0，函数对称轴为－b2a<0，不满足题意．对 C，由图像知 a>0，f(0)＝c<0，故 b<0，函数对称轴为－b2a>0，不满足题意．故只能选 D.．·南湖函数＝2＋bx 与 y＝log|b≠ ，≠5 (2010)y ax a|x(ab 0 |a| |b|)在同一直角坐标系中的图像可能是 ()[答案D函数 y ＝ax 2＋bx 的两个零点是 b解析0，－ a .对于 A ，B ，由抛物线知，－ b ∈(0,1)，∴ |b∈．aa|(0,1)by ＝log|a |x 不为增函数，错误；b对于 C ，由抛物线知 a<0 且－ a <－1，b∴b<0 且a >1.bb∴|a |>1.∴y ＝log|a |x 应为增函数，错误；b对于 D ，由抛物线知 a>0，－ a ∈(－1,0)， ∴|b∈，满足＝b 为减函数．a|(0,1)y log|a |x6． (2010 ·福建 ) 函数 f(x) ＝x 2＋2x －3，x ≤0，的零点个数为－2＋ln x ，x>0()A ．3B ．2C ．1D ．0答案B解析令 x 2＋2x －3＝0，解得 x 1＝ 1 或 x 2＝－ 3.∵x 1＝1>0，故舍去．令－ 2＋ln x ＝0，即 lnx ＝2，则 x ＝e 2.综上可得，当 x ＝－ 3 或 x ＝e 2 时，原函数的函数值为 0.故选 B.1 1 x的零点个数为 ()．北·京函数＝2－( 7 (2012 ) f(x) x2)A．0B．1 C．2D．3答案B11 x 11 x22解析令 f(x)＝ x－ (2)＝0，得 x＝(2) ，求零点个数可转化为求两个函数图像的交点个数．如图所示．有 1 个交点，故选 B.8．(2009 ·湖南 )某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为 y 万元．试写出 y 关于 x 的函数关系式．解析设需新建n 个桥墩，则(n＋ 1)x＝m，即mn＝ x －1，所以y＝f(x)＝ 256n＋ (n＋1)(2＋m mx)x＝ 256(x －1)＋ x (2＋x)x＝256mx＋m x＋2m－256.。

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高中数学函数模型的应用实例过关练习(含答案)1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x 1 2 3 …y 1 3 8 …则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是()A．①②③ B．①③C．②③ D．①②解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确．4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积最大，此时x＝________，面积S＝________.解析：依题意得：S＝(4＋x)(3－x2)＝－12x2＋x＋12＝－12(x－1)2＋1212，当x＝1时，Smax＝1212.答案：1 12121．今有一组数据，如表所示：x 1 2 3 4 5y 3 5 6.99 9.01 11则下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是()A．指数函数 B．反比例函数C．一次函数 D．二次函数解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林()A．14400亩 B．172800亩C．17280亩 D．20736亩解析：选C.y＝10000(1＋20%)3＝17280.3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是()A．增加7.84% B．减少7.84%C．减少9.5% D．不增不减解析：选B.设该商品原价为a，四年后价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝0.9216a.所以(1－0.9216)a＝0.0784a＝7.84%a，即比原来减少了7.84%.4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2019辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.3x＋800(02019)B．y＝0.3x＋1600(02019)C．y＝－0.3x＋800(02019)D．y＝－0.3x＋1600(02019)解析：选D.由题意知，变速车存车数为(2019－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2019－x)0.8＝0.5x＋1600－0.8x＝－0.3x＋1600(02019)．5．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且lAB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的() X k b 1 . c o m解析：选C.设AB＝a，则y＝12a2－12x2＝－12x2＋12a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方．故选C.6．小蜥蜴体长15 cm，体重15 g，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm时，它的体重大约是()A．20 g B．25 gC．35 g D．40 g解析：选C.假设小蜥蜴从15 cm长到20 cm，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为20 cm的蜥蜴的体重为W20，因此有W20＝W1520315335.6(g)，合理的答案为35 g．故选C.7．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1；乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．答案：甲8．一根弹簧，挂重100 N的重物时，伸长20 cm，当挂重150 N的重物时，弹簧伸长________．解析：由10020＝150x，得x＝30.答案：30 cm9．某工厂8年来某产品年产量y与时间t年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是________．解析：观察图中单位时间内产品产量y变化量快慢可知①④.答案：①④??10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k0)，函数图象如图所示．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k0)的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？解：(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y ＝300，代入y＝kx＋b(k0)中，得400＝600k＋b，300＝700k＋b，解得k＝－1，b＝1000. 所以，y＝－x＋1000(500800)．(2)销售总价＝销售单价销售量＝xy，成本总价＝成本单价销售量＝500y，代入求毛利润的公式，得S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500(500800)．所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)(12)th，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？解：由题意知40－24＝(88－24)(12)20h，即14＝(12)20h.解之，得h＝10.故T－24＝(88－24)(12)t10.当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)(12)t10，即(12)t10＝1164.两边取对数，用计算器求得t25.因此，约需要25 min，可降温到35 ℃.12．某地区为响应上级号召，在2019年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域．(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解：(1)经过1年后，廉价住房面积为200＋2019%＝200(1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2；经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，y＝200(1＋5%)x(xN*)．(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x0)的图象，如图所示．作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值．因为89，则取x0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．。

2024-2025年北师大版数学必修第一册5.2.2用函数模型解决实际问题(带答案)

2．2 用函数模型解决实际问题必备知识基础练知识点一已知函数模型的实际应用1．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(6－x)，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定当销售价格x为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．知识点二未知函数模型的实际应用2．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝12x (x ∈N *) B ．y ＝x 12 (x ∈N *)C ．y ＝2x (x ∈N *)D ．y ＝12x (x ∈N *)3．有l 米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．知识点三分段函数模型的实际应用4．北京冬奥会举世瞩目，树立了中国形象，同时也带动了中国冰雪运动器械的蓬勃发展，张家口某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产x 千件，需另投入成本C (x )万元．当年产量低于30千件时，C (x )＝14 x 2＋10x ；当年产量不低于30千件时，C (x )＝50x ＋4 500x －15 －1 300.每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式．(2)当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大？最大年利润是多少？关键能力综合练1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x2．冈珀茨模型(y＝kk k k)是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y＝k0·e1.4e－0.125k (当t＝0时，表示2020年初的种群数量)，请预测从哪一年年初开始，该物种的种群数量将不足2022年初种群数量的一半( )(ln 2≈0.7)A．2031 B．2020C．2029 D．20283．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和a m(0＜a＜12)，不考虑树的粗细．现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u(单位：m2)，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是( )4．赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区．假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长20%，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为( )(参考数据：取lg 2＝0.3，lg 3＝0.48)A．9 B．10C．11 D．125．如图，有四个平面图形分别是三角形、平面四边形、直角梯形、圆，垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)，经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(x)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )6.有一批材料可以建成360 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________m2.(围墙厚度不计)7．(探究题)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系．有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样．其中正确信息的序号是________． 8．(易错题)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a (a ＞2)，BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域． (2)当AE 为何值时，绿地面积y 最大？核心素养升级练1．(多选题)某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x ＞0，且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．以下结论正确的是( )A．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时B．当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D．到了此日15时，甲所购买的食品已过了保鲜时间2．(情境命题—生活情境)在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x(m)，总造价为y(元).(1)将y表示为关于x的函数；(2)当x取何值时，总造价最低．2．2 用函数模型解决实际问题必备知识基础练1．解析：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2 ＋10＝11，解得a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(6－x ). 设商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )元，则f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(6－x )]＝2＋10(x －3)(6－x )＝－10x 2＋90x －178 ＝－10(x －92 )2＋492(3＜x ＜6).当x ＝92 时，函数f (x )在定义域(3，6)上取得最大值，最大值为492 ，即当销售价格为4.5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 2．答案：D解析：由题意可得，剩下的部分依次为12 ，14 ，18，…，因此x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为y ＝12x (x ∈N *)，故选D.3．解析：设小矩形的长为x ，宽为y ，窗户的面积为S ，则由图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ，所以6y ＝l －(9＋π)·x ，所以S ＝π2 x 2＋4xy ＝π2 x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6 x 2＋23 lx ＝－36＋π6 ·(x －2l 36＋π )2＋2l23（36＋π） .要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S 最大．由6y ＞0，得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π ＜l9＋π ，所以当x ＝2l 36＋π ，y ＝l －（9＋π）x 6 ＝l （18－π）6（36＋π），即x y ＝1218－π 时，窗户的面积S 有最大值，且S max ＝2l 23（36＋π）.4．解析：(1)当0<x <30时，L ＝30x －14 x 2－10x －100＝－14 x 2＋20x －100；当x ≥30时，L ＝30x －⎝ ⎛⎭⎪⎫50x ＋4 500x －15－1 300 －100＝－20x －4 500x －15 ＋1 200. 所以L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－14x 2＋20x －100，0<x <30，－20x －4 500x －15＋1 200，x ≥30.(2)当0<x <30时，函数的对称轴为x ＝40，所以此时该函数是单调递增函数，因此有L <－14×900＋20×30－100＝275，当x ≥30时，L ＝－20x －4 500x －15 ＋1 200＝－20×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15＋225x －15＋15 ＋1 200≤－20()2225＋15 ＋1 200＝300，当且仅当x ＝30时，等号成立．因为300>275，所以当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元．关键能力综合练1．答案：C解析：当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A ，故选C. 2．答案：D 解析：∵y ＝k 0·e 1.4e－0.125k，当t ＝0时，y ＝k 0·e 1.4， ∴当t ＝m 时，y ＝k 0·e 1.4e－0.125k，∵m (m ∈N )年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半， ∴k 0·e 1.4e－0.125k<12k 0·e 1.4，由题可知，k 0是大于0的常数，即2·e1.4e－0.125m<e 1.4，两边取对数可得，ln 2＋1.4e－0.125m<1.4， ∵ln 2≈0.7， ∴e－0.125m<12，两边取对数可得，－0.125m <－ln 2≈－0.7，解得m >5.6，m ∈N *，故m 的最小值为6.故选D. 3．答案：B解析：设AD 长为x ，则CD 长为16－x ，又∵要将点P 围在矩形ABCD 内，∴a ≤x ≤12. 则矩形ABCD 的面积S ＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64. 若0＜a ＜8，当且仅当x ＝8时，S max ＝u ＝64；若8≤a ＜12，S max ＝u ＝a (16－a ).故函数u ＝f (a )的解析式为u ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，0＜a ＜8，a （16－a ），8≤a ＜12，画出函数图象可得其形状与B 接近，故选B.4．答案：B解析：假设当前该种植区的脐橙产量为1，经过x 年该种植区的脐橙产量为(1＋20%)x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65 x ，由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫65 x≥6，得到x ≥log 656，又因为log 656＝lg 6lg 65＝lg 6lg 6－lg 5 ＝lg 2＋lg 3lg 2＋lg 3－()1－lg 2 ＝lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3－1 ＝0.3＋0.480.6＋0.48－1 ＝0.780.08＝9.75，所以x >9.75，故至少需要经过的年数为10.故选B. 5．答案：C解析：由函数的图象可知，几何图形具有对称性．选项A ，B ，D 由左向右移动过程中面积增加的先慢后快，然后相反，选项C ，后面是直线增加，不满足题意，故选C.6．答案：8 100解析：如图，设每个小矩形的长为a m ，则宽为b ＝13(360－4a )m ，记面积为S m 2.则S ＝3ab ＝a (360－4a )＝－4a 2＋360a (0＜a ＜90). ∴当a ＝45时，S max ＝8 100(m 2). ∴围成场地的最大面积为8 100 m 2. 7．答案：①②③解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应4.5，故③正确，④错误．8．易错分析：实际问题中涉及函数的解析式中含参数的函数最值问题，求解时要注意参数对函数最值的影响．本题中的函数解析式中含参数，因此求解其最值时，应根据参数与所给区间的关系分类讨论后求最值．解析：(1)由题可得S △AEH ＝S △CFG ＝12 x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝12 (a －x )(2－x )，∴y ＝S 矩形ABCD －2S △AEH －2S △BEF ＝2a －x 2－(a －x )(2－x ) ＝－2x 2＋(a ＋2)x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，a －x ＞0，2－x ＞0，a ＞2，得0＜x ＜2.当x ＝2时，点H ，F 分别与点D ，B 重合，y ＝2a －4，满足y ＝－2x 2＋(a ＋2)x .综上，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，定义域为(0，2].(2)由(1)得y ＝－2(x －a ＋24)2＋（a ＋2）28，0＜x ≤2.当a ＋24 ＜2，即2＜a ＜6时，最大值在x ＝a ＋24 时取得，即y max ＝（a ＋2）28；当a ＋24≥2，即a ≥6时，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x 在(0，2]上是增函数，则x ＝2时，y max＝2a －4.综上所述，当2＜a ＜6，AE ＝a ＋24 时，绿地面积取最大值（a ＋2）28 ；当a ≥6，AE ＝2时，绿地面积取最大值2a －4.核心素养升级练1．答案：AD解析：由题意知当x ＝4时，t ＝16，∴24k ＋6＝16＝24，∴4k ＋6＝4，∴k ＝－12，∴当x ＞0时，t ＝2－x2＋6，故当x ＝6时，t ＝23＝8，故A 正确．由题知当x ≤0时，t ＝64，故B 不正确．由题图知此日13时，室外温度为10 ℃，当x ＝10时，t ＝2，故此日13时甲所购买的食品已过保鲜时间，故C 不正确，D 正确．故选A 、D.2．解析：(1)因为矩形区域的面积为200 m 2，故矩形的宽为200x，绿化的面积为2×2×x ＋2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫200x －4 ＝4x ＋800x －16，中间区域硬化地面的面积为(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫200x －4 ＝216－4x －800x ，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋800x －16 ×200＋⎝⎛⎭⎪⎫216－4x －800x ×100，整理得到y ＝400x ＋80 000x ＋18 400，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4>0200x－4>0 可得4<x <50，故y ＝400x ＋80 000x＋18 400，4<x <50. (2)由基本不等式可得400x ＋80 000x＋18 400≥400×2200 ＋18 400＝8 0002 ＋18 400，当且仅当x ＝102 时等号成立，故当x ＝102 时，总造价最低．。

高一数学上册第三章函数模型及其应用知识点及练习题(含答案)

函数模型及其应用重难点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义．考纲要求：①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．当堂练习：1．某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是（）A．8 B．112C．58 D．182.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：（）A．多赚5.92元B．少赚5.92元C．多赚28.92元D．盈利相同3．某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是（）件(即生产多少件以上自产合算)A．1000 B．1200 C．1400 D．16004．在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据．x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数) （）A．y=a+bX B．y=a+bx C．y=a+logbx D．y=a+b/x5．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0<x<240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）A．100台B．120台C．150台D．180台6．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算．8．某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入-----------------------________广告费,才能获得最大的广告效应．9．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）.则当购买茶杯数_______时, 按（2）方法更省钱．10．一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm和60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是_________．11．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳．12．某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．13．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．(1)当k=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大．(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．14．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为l万件，1.2万件，1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(其中a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好．并说明理由．参考答案：当堂练习：1.A ;2. C ;3. D ;4. A ;5. C ;6. 神州行;7. y= -10x+560,31, 6250;8. 2500;9. 大于34; 10. 600;11. (1)依题得，(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则,因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t3小时（t3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20:30．12.设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，y=kx+b，且当x=4时，y=16;当x=7时，y=10.解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24. 由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖挂W节车厢，则W=2xy=2x（－2x+24）=－4x2+48x=－4（x－6）2+144，∴当x=6时，Wmax=144，此时，y=12，最多营运15840人．13.解:依题意，价格上涨x%后，销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1－kx%)=［－kx2+100(1－k)x+10000］.(1)取k=，y=［－x2+50x+10000］,∴x = 50，即商品价格上涨50%时，y最大为ab.(2)因为y=［－kx2+100(1－k)x+10000］，此二次函数开口向下，对称轴为x=，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集中增大时，y也增大.所以＞0，解之0＜k＜1．14.设二次函数为y=px2+qx+r，则,所以,当x=4时, y=1.3;对于函数,由,所以,当x=4时, y=1.35,显然,用函数作为模拟函数较好．。

高一数学函数模型及其应用试题

高一数学函数模型及其应用试题1.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为，圆心角为（弧度）．（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？【答案】（1）；（2），当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.【解析】（1）根据已知条件，将周长米为等量关系可以建立满足的关系式，再由此关系式进一步得到函数解析式：，即可解得；（2）根据题意及（1）可得花坛的面积为，装饰总费用为，因此可得函数解析式，而要求的最大值，即求函数的最大值，可以考虑采用换元法令，从而，再利用基本不等式，即可求得的最大值：，当且仅当，时取等号，此时，，因此当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.试题解析：（1）扇环的圆心角为，则，∴， 3分（2）由（1）可得花坛的面积为， 6分装饰总费用为， 8分∴花坛的面积与装饰总费用的， 10分令，则，当且仅当，时取等号，此时，， 12分答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 13分【考点】1.扇形公式的运用；2.利用基本不等式函数求极值.2.某厂生产A产品的年固定成本为250万元，若A产品的年产量为万件，则需另投入成本（万元）。

已知A产品年产量不超过80万件时，；A产品年产量大于80万件时，。

因设备限制，A产品年产量不超过200万件。

现已知A产品的售价为50元/件，且年内生产的A产品能全部销售完。

设该厂生产A产品的年利润为L（万元）。

（1）写出L关于的函数解析式；（2）当年产量为多少时，该厂生产A产品所获的利润最大？【答案】（1），（2）当年产量为60万件时，该厂所获利润最大。

函数模型的应用实例 word版含答案

课时作业（二十四）函数模型的应用实例一、选择题1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是()A.m11 B.m12C.12m－1 D.11m－1解析：选D设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x ＝11m，即x＝11m－1.2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)解析：选C由题意得y＝0.3(4 000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1 200.3．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是()(1)这几年生活水平逐年得到提高；(2)生活费收入指数增长最快的一年是2013年；(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2014年；(4)虽然2015年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2013～2014年最陡；故(2)正确；“生活价格指数”在2014～2015年比较平缓，故(3)不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故(4)正确．4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ，1≤x ＜10，x ∈N ， 2x ＋10，10≤x ＜100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．130解析：选C 若4x ＝60，则x ＝15＞10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．5．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )A ．[5,6)B ．(5,6]C ．[6,7)D ．(6,7]解析：选B 若按x (x ∈Z)千米计价，则6＋(x －2)×3＋2×3＝24，得x ＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．二、填空题6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (米/秒)和燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝12 000， ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，∴M m＝e 6－1. -=-=-=答案=-=-=-：e 6－17．一水池有2个进水口、1个出水口，2个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断序号是________．解析：从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口，故③不正确．-=-=-=答案=-=-=-：①②8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：由题意知，第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1) ＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1) ＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．-=-=-=答案=-=-=-：7三、解答题9．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)租金增加了900元，900÷60＝15，所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x )辆．租赁公司的月收益为y 元，y ＝(3 000＋60x )(100－x )－160(100－x )－40x ，其中x ∈[0,100]，x ∈N ，整理，得y ＝－60x 2＋3 120x ＋284 000＝－60(x －26)2＋324 560，当x ＝26时，y ＝324 560，即最大月收益为324 560元．此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．10．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t (百件)时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫5t －12t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 百件，生产并销售这种产品得到的利润为当年产量x 的函数f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多大时当年所获得的利润最大．解：(1)当x ≤5时，f (x )＝5x －12x 2－(0.25x ＋0.5)＝－x 22＋194x －12；当x >5时，f (x )＝5×5－12×52－(0.25x ＋0.5)＝12－14x ；所以f (x )＝⎩⎨⎧ －x 22＋194x －12，0<x ≤5，12－14x ，x >5.(2)当0<x ≤5时，f (x )＝－x 22＋194x －12＝－12⎝⎛⎭⎫x －1942＋34532，故当x ＝194百件＝475件时，f (x )max ＝34532(万元)；当x >5时，f (x )＝12－14x <12－54<34532. 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．11．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅行团人数为x ，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75. (2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30＜x ≤75. 即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75. 因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上单调递增，当x ＝30时，S 取最大值12 000，又因为S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x＝60时，S取最大值21 000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．。

【推荐下载】新人教A版必修1高一数学函数模型的应用实例专项练习(带答案)

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新人教A版必修1高一数学函数模型的应用实例专项练习（带答案）
函数的学习贯穿了整个高中阶段，以下是高一数学函数模型的应用实例专项练习，请大家认真练习。

一、选择题
1.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量
y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系. 当x=36 kPa时，y=108 g/m3，则y与x 的函数解析式为( )
A.y=3x(x≥0) B.y=3x
C.y=13x(x≥0) D.y=13x
[答案]　A
2.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本日产手套量至少为( )
A.200副B.400副
C.600副D.800副
1。

高一数学函数模型的应用实例专项练习（带答案）

⼀、选择题1.随着海拔⾼度的升⾼，⼤⽓压强下降，空⽓中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与⼤⽓压强x(kPa)成正⽐例函数关系.当x=36 kPa时，y=108 g/m3，则y与x的函数解析式为( )A.y=3x(x≥0)B.y=3xC.y=13x(x≥0)D.y=13x[答案]　A2.某⼚⽇产⼿套总成本y(元)与⼿套⽇产量x(副)的关系式为y=5x+4000，⽽⼿套出⼚价格为每副10元，则该⼚为了不亏本⽇产⼿套量⾄少为( )A.200副B.400副C.600副D.800副[答案]　D[解析]　由10x-y=10x-(5x+4000)≥0，得x≥800.3.甲、⼄两⼈在⼀次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所⽰，则下列说法正确的是( )A.甲⽐⼄先出发B.⼄⽐甲跑的路程多C.甲、⼄两⼈的速度相同D.甲先到达终点[答案]　D[解析]　由图象知甲所⽤时间短，所以甲先到达终点.4.某个体企业的⼀个车间有8名⼯⼈，以往每⼈年薪为1万元，从今年起，计划每⼈的年薪⽐上⼀年增加20%;另外，每年新招3名⼯⼈，每名新⼯⼈的第⼀年年薪为8千元，第⼆年起与⽼⼯⼈的年薪相同.若以今年为第⼀年，那么，将第n年企业付给⼯⼈的⼯资总额y(万元)表⽰成n的函数，其解析式为( )A.y=(3n+5)×1.2n+2.4B.y=8×1.2n+2.4nC.y=(3n+8)×1.2n+2.4D.y=(3n+5)×1.2n-1+2.4[答案]　A5.(2013～2014•潍坊⾼⼀检测)下表显⽰出函数值y随⾃变量x变化的⼀组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.⼀次函数模型B.⼆次函数模型C.指数函数模型D.双数函数模型[答案]　A[解析]　由表知⾃变量x变化1个单位时，函数值y变化2个单位，所以为⼀次函数模型.6.⼀天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温⼜开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉⾝上不那么发烫了.则下列各图能基本上反映出亮亮⼀天(0～24时)体温的变化情况的是( )[答案]　C[解析]　从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A;从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B;从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.⼆、填空题7.现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y=x2+1，⼄：y=3x-1，若⼜测得(x，y)的⼀组对应值为(3,10.2)，则应选⽤________作为拟合模型较好.[答案]　甲[解析]　代⼊x=3，可得甲y=10，⼄，y=8.显然选⽤甲作为拟合模型较好.8.(2013～2014徐州⾼⼀检测)⽤清⽔洗⾐服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则⾄少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010).[答案]　4[解析]　设⾄少要洗x次，则(1-34)x≤1100，∴x≥1lg2≈3.322，所以需4次.9.为了预防流感，某学校对教室⽤药熏消毒法进⾏消毒，已知药物释放过程中，室内每⽴⽅⽶空⽓中的含药量y(mg)与时间t(h)成正⽐;药物释放完毕后，y与t的函数关系为y=(116)t-a(a为常数)其图象如图.根据图中提供的信息，回答问题：(1)从药物释放开始，每⽴⽅⽶空⽓中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的关系式为________.(2)据测定，当空⽓中每⽴⽅⽶的含药量降到0.25mg以下时，学⽣才可进⼊教室，那么从药物释放开始⾄少经过______⼩时，学⽣才能回到教室.[答案]　(1)y=10t 0≤t≤110 116 t-110 t>110 (2)0.6[解析]　(1)设0≤t≤110时，y=kt，将(0.1,1)代⼊得k=10，⼜将(0.1,1)代⼊y=(116)t-a中，得a=110，∴y=10t 0≤t≤110 116 t-110 t>110 .(2)令(116)t-110≤0.25得t≥0.6，∴t的最⼩值为0.6.三、解答题10.为了保护学⽣的视⼒，课桌椅⼦的⾼度都是按⼀定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的⾼度为ycm，椅⼦的⾼度为xcm，则y应是x的⼀次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的⾼度：第⼀套第⼆套椅⼦⾼度x(cm) 40.0 37.0桌⼦⾼度y(cm) 75.0 70.2(1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围).(2)现有⼀把⾼42.0cm的椅⼦和⼀张⾼78.2cm的课桌，它们是否配套?为什么?[解析]　(1)根据题意，课桌⾼度y是椅⼦⾼度x的⼀次函数，故可设函数关系式为y=kx+b.将符合条件的两套课桌椅的⾼度代⼊上述函数关系式，得40k+b=75，37k+b=70.2，∴k=1.6，b=11.∴y与x的函数关系式是y=1.6x+11.(2)把x=42代⼊上述函数关系式中，有y=1.6×42+11=78.2.∴给出的这套桌椅是配套的.[点评]　本题是应⽤⼀次函数模型的问题，利⽤待定系数法正确求出k，b是解题的关键.11.某地西红柿从2⽉1⽇起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t 50 110 250种植成本Q 150 108 150(1)根据上表数据，从下列函数中选取⼀个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•bt，Q=a•logbt.(2)利⽤你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.[解析]　(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从⽽⽤函数Q=at+b，Q=a•bt，Q=a•logbt中的任意⼀个进⾏描述时都应有a≠0，⽽此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合.所以，选取⼆次函数Q=at2+bt+c进⾏描述.以表格所提供的三组数据分别代⼊Q=at2+bt+c得到，150=2 500a+50b+c，108=12 100a+110b+c，150=62 500a+250b+c.解得a=1200，b=-32，c=4252.所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=1200t2-32t+4252.(2)当t=--322× 1200 =150天时，西红柿种植成本最低为Q=1200•1502-32•150+4252=100 (元/102kg).12.某企业⽣产A，B两种产品，根据市场调查与与预测，A产品的利润与投资成正⽐，其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平⽅根成正⽐，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元).(1)分别将A，B两种产品的利润表⽰为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资⾦，并将全部投⼊A，B两种产品的⽣产.①若平均投⼊⽣产两种产品，可获得多少利润?②问：如果你是⼚长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得利润?其利润约为多少万元?[解析]　(1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设f(x)=k1x，g(x)=k2x.根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0).g(x)=2x(x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25，g(9)=29=6.∴总利润y=8.25万元.②设B产品投⼊x万元，A产品投⼊(18-x)万元，该企业可获总利润为y万元.则y=14(18-x)+2x，0≤x≤18.令x=t，t∈[0,32]，则y=14(-t2+8t+18)=-14(t-4)2+172.∴当t=4时，ymax=172=8.5，此时x=16,18-x=2.∴当A，B两种产品分别投⼊2万元、16万元时，可使该企业获得利润，约为8.5万元.。

《函数模型的应用实例》测试题

《3.2.2 函数模型的应用实例》测试题一、选择题1.某种细胞在正常培养过程中，时刻(单位：分)与细胞数(单位：个)的部分数据如下：1 2 8 128根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻最接近于( )A.200B.220C.240D.260考查目的：考查观察分析能力、函数建模能力和运用指数函数的性质解决实际问题的能力.答案：A.解析：由表中数据可以看出，与的函数关系式为.令，则，而，∴繁殖到1000个细胞时，时刻最接近200分，故答案应选A.2.(2011北京)据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间(单位：分钟)为(为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么的值分别是( ).A.75，25B.75，16C.60，25 D.60，16考查目的：考查读题审题能力和分段函数模型的应用能力.答案：D.解析：由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，∴，，∴，故答案应选D.3.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长8%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2009年翻两番的年份大约是( ).(，，，)A.2018年B.2025年C.2027年D.2028年考查目的：考查增长率问题和指数、对数的相互转化及其运算.答案：C.解析：设2009年总值为，经过年翻两番，则，∴，∴，故答案应选C.二、填空题4.某商品零售价2012年比2011年上涨了25%，欲控制该商品零售价2013年比2011年只上涨10%，则2013年应比2012年降价________%.考查目的：考查读题审题能力、增长率问题解决能力和函数思想.答案：12.解析：设该商品零售价2011年为元，2013年应比2012年降价，则2012年零售价为元，而2013年零售价为元，∴，解得.5.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元.当用水超过4吨时，超过的部分按每吨3.00元计算.若甲、乙两户某月共交水费元，且甲乙两户某月用水量分别为吨、吨，则关于的函数关系式为.考查目的：考查分段函数模型应用能力和分类讨论思想.答案：.解析：由题意知，当甲乙两户用水量都不超过4吨时，即当时，；当甲户用水量超过4吨，乙户用水量不超过4吨时，即当时，；当甲乙两户用水量都超过4吨时，即当时，.6.A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台.已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元；从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元.设B市运往C村机器台，若要求运费W不超过9000元，则共有种调运方案.考查目的：考查函数建模与实际应用能力.答案：3.解析：由于B市运往C村机器台，则B市运往D村机器台，A市运往C村机器台，则A市运往D村机器台，∴，由得.∵是自然数，∴可取0，1，2，∴共有3种调运方案.三、解答题7.(2012上海春)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).⑴当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；⑵新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，问:内、外环线应各投入几列列车运行?考查目的：考查读题审题能力、函数建模能力，以及函数与不等式的综合应用能力.答案：⑴20；⑵10.解析: ⑴设内环线列车运行的平均速度为千米/小时，由题意得，解得，∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，列车的最小平均速度是20千米/小时.⑵设内环线投入列列车运行，则外环线投入列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为分钟，则，故，可化为，解得，∴.又∵，∴，∴当内环线投入列，外环线投入8列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.8.(2011湖南)如图，长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为.E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积时.⑴写出的表达式；⑵设，，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少.考查目的：考查读题审题能力、函数建模能力和函数性质的综合应用，以及分类讨论思想.答案：⑴；⑵当时，是关于的减函数，故当时，.当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，.解析：⑴由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故.⑵由⑴知，当时，当时，，故.当时，是关于的减函数，故当时，.当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，.。

高一数学函数模型及其应用试题答案及解析

高一数学函数模型及其应用试题答案及解析1.函数的零点所在的大致区间是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】函数在上是连续函数，由于，，所以，根据零点存在性定理可得零点所在的大致区间为．【考点】函数零点的判定定理．2.某厂生产A产品的年固定成本为250万元，若A产品的年产量为万件，则需另投入成本（万元）。

已知A产品年产量不超过80万件时，；A产品年产量大于80万件时，。

因设备限制，A产品年产量不超过200万件。

现已知A产品的售价为50元/件，且年内生产的A产品能全部销售完。

设该厂生产A产品的年利润为L（万元）。

【解析】（1）利润L（x）等于销售收入减去固定成本再减去投入成本C（x），根据产量的范围列出分段函数解析式；（2）当0＜x≤80时，利用配方法求二次函数的最值，当80＜x≤200时，利用基本不等式求最值．试题解析：（1）由题意知（2）①当时，，所以当时，；②当时，。

当且仅当，即时，“＝”成立。

因为，所以。

答：当年产量为60万件时，该厂所获利润最大。

【考点】函数模型的选择及应用；分段函数的值域的求法；利用配方法求二次函数的最值;利用基本不等式求最值.3.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为（单位：万元），当年产量小于80万件时，;当年产量不小于80万件时，.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）100万件，1000万元【解析】（1）利润销售额成本，销售额销售量单价，设年产量为（万件），当时，销售额，成本；当时，销售额，成本；（2）转化为求的最大值即可，注意解决实际问题的基本步骤：审题、建模、解模、还原。

必修1 新课标数学《3.2.2 函数模型的应用实例》测试题

《3.2.2 函数模型的应用实例》测试题一、选择题1.某种细胞在正常培养过程中，时刻(单位：分)与细胞数(单位：个)的部分数据如下：个细胞时的时刻最接近于)A.200B.220C.240D.260考查目的：考查观察分析能力、函数建模能力和运用指数函数的性质解决实际问题的能力.答案：A.解析：由表中数据可以看出，与的函数关系式为.令，则，而，∴繁殖到1000个细胞时，时刻最接近200分，故答案应选A.2.(2011北京)据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间(单位：分钟)为(为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么的值分别是( ).A.75，25B.75，16C.60，25D.60，16考查目的：考查读题审题能力和分段函数模型的应用能力.答案：D.解析：由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，∴，，∴，故答案应选D.3.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长8%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2009年翻两番的年份大约是( ).(，，，)A.2018年B.2025年C.2027年D.2028年考查目的：考查增长率问题和指数、对数的相互转化及其运算.答案：C.解析：设2009年总值为，经过年翻两番，则，∴，∴，故答案应选C.二、填空题4.某商品零售价2012年比2011年上涨了25%，欲控制该商品零售价2013年比2011年只上涨10%，则2013年应比2012年降价________%.考查目的：考查读题审题能力、增长率问题解决能力和函数思想.答案：12.解析：设该商品零售价2011年为元，2013年应比2012年降价，则2012年零售价为元，而2013年零售价为元，∴，解得.5.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元.当用水超过4吨时，超过的部分按每吨3.00元计算.若甲、乙两户某月共交水费元，且甲乙两户某月用水量分别为吨、吨，则关于的函数关系式为 .考查目的：考查分段函数模型应用能力和分类讨论思想.答案：.解析：由题意知，当甲乙两户用水量都不超过4吨时，即当时，；当甲户用水量超过4吨，乙户用水量不超过4吨时，即当时，；当甲乙两户用水量都超过4吨时，即当时，.6.A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台.已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元；从B市调运一台机器到C 村和D村的运费分别是300元和500元.设B市运往C村机器台，若要求运费W不超过9000元，则共有种调运方案.考查目的：考查函数建模与实际应用能力.答案：3.解析：由于B市运往C村机器台，则B市运往D村机器台，A市运往C村机器台，则A市运往D村机器台，∴，由得.∵是自然数，∴可取0，1，2，∴共有3种调运方案.三、解答题7.(2012上海春)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).⑴当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；⑵新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，问:内、外环线应各投入几列列车运行?考查目的：考查读题审题能力、函数建模能力，以及函数与不等式的综合应用能力.答案：⑴20；⑵10.解析: ⑴设内环线列车运行的平均速度为千米/小时，由题意得，解得，∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，列车的最小平均速度是20千米/小时.⑵设内环线投入列列车运行，则外环线投入列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为分钟，则，故，可化为，解得，∴.又∵，∴，∴当内环线投入列，外环线投入8列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.8.(2011湖南)如图，长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为.E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积时.⑴写出的表达式；⑵设，，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少.考查目的：考查读题审题能力、函数建模能力和函数性质的综合应用，以及分类讨论思想.答案：⑴；⑵当时，是关于的减函数，故当时，.当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，.解析：⑴由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故.⑵由⑴知，当时，当时，，故.当时，是关于的减函数，故当时，.当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，.。

高一数学函数模型及其应用试题答案及解析

高一数学函数模型及其应用试题答案及解析1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西处,受影响的范围是半径长为km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北且不改变航线，假设台风中心不移动．如图所示，试问：（1）在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？（2）当时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少？【答案】（1）（2）40km【解析】首先建立以台风中心为原点建立直角坐标系，（1）由轮船在直线l：x+y-80=0上移动，则得到原点到l的距离．根据条件来判断是否受台风影响．（2）根据，得到会受到台风影响的结论，其航程由弦长一半的平方等于半径的平方减去圆心到直线的距离的平方求解．试题解析：如图,以台风中心为原点建立直角坐标系.（1）轮船在直线上移动, 3分原点到的距离．5分时,轮船在途中不会受到台风影响． 7分（2）会受到台风影响． 9分航程为 11分【考点】直线和圆的方程的应用．2.如图，公园要把一块边长为的等边三角形的边角地修成草坪，把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上．（1）设，，试用表示函数；（2）如果是灌溉水管，希望它最短，的位置应该在哪里？【答案】（1）;（2） A为基点，分别在AB、AC上截取AD＝AE＝a时，线段DE最短.【解析】利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：（1）∵△ABC的边长为2，D在AB上，且，.∵∴.在△ADE中，由余弦定理得（2）令，则当且仅当，即时，取“＝”号，故＝a，此时x＝a，所以以A为基点，分别在AB、AC上截取AD＝AE＝a时，线段DE最短．【考点】基本不等式在实际中的应用.3.如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中）的围墙，且要求中间用围墙隔开，使得为矩形，为正方形，设米，已知围墙（包括）的修建费用均为800元每米，设围墙（包括）的修建总费用为元。

高一函数模型及其应用知识点+例题+练习含答案

1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b (a，b为常数且a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b (k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0)函数性质y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表随x的增大逐渐表现为随n值变化而各现为与y 轴平行与x 轴平行有不同值的比较存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n <a x2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( √ )(2)幂函数增长比直线增长更快．( × )(3)不存在x 0，使000log xna a x x <<.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >0)的增长速度．( √ )(5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )(6)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( √ )1．(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日 12 35 000 2015年5月15日4835 600在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为______升．答案 8解析由表知：汽车行驶路程为35 600－35 000＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升．2．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________．答案 15,12解析由三角形相似得24－y24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________．答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．答案 3解析设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大．5．(2015·四川)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝⎛⎭⎫123·e b ＝18×192＝24.题型一用函数图象刻画变化过程例1(1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是________(填序号)．(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是________(填序号)．答案(1)③(2)②解析(1)小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②，③符合题意．(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故②正确．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是________(填序号)．答案 ④解析依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个图象知，④正确．题型二已知函数模型的实际问题例2 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.答案 19解析由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.题型三构造函数模型的实际问题命题点1 构建二次函数模型例3 某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．答案 43解析设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32. 因为x ∈[0,16]，且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．命题点2 构建指数函数、对数函数模型例4 (1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是________(参考数据：lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)．(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为________． ①略有盈利②略有亏损 ③没有盈利也没有亏损 ④无法判断盈亏情况答案 (1)1.7% (2)②解析 (1)设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ≈1.017，所以x ≈1.7%.(2)设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．命题点3 构建分段函数模型例5 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9解析设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．答案 (1)5 (2)10解析 (1)设经过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09，∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5.(2)设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x (x ＋1)x＝x ＋100x＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5 ＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．2．函数应用问题典例 (14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x －40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．思维点拨根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论．规范解答解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，[2分] 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.[4分]所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.[6分](2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；[8分]②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760.[12分] 综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万元．[14分]解函数应用题的一般程序第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．温馨提醒 (1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．[方法与技巧]1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．3．解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思． [失误与防范]1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型． 2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为________．答案②解析根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为②.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．答案108解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.3．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．答案①解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故①正确．4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．答案95解析设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．∴当x＝95时，y最大．5．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为________．答案 2解析由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x )·70·x 100，令104·(100－10x )·70·x 100≥112×104，解得2≤x ≤8.故x 的最小值为2. 6.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)，当x ＝20时，S max ＝400.7．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润f (x )(万元)与机器运转时间x (x ∈N *)(年)的函数关系式为f (x )＝－x 2＋18x －25，则每台机器运转________年时，年平均利润最大，为________万元．答案 5 8解析设每台机器的年平均利润为g (x )万元，根据已知条件得，每台机器的年平均利润g (x )关于运转时间x 的函数关系式为g (x )＝f (x )x ＝－x 2＋18x －25x＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，则g (x )＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤18－2x ·25x＝8，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时等号成立，则g (x )max ＝g (5)＝8.故每台机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元．9．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)(元)成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例，∴设y ＝k x －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，k ＝0.2. ∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2. (2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3) ＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根．∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解 (1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)． B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)________．答案 21解析操作次数为n 时的浓度为⎝⎛⎭⎫910n ＋1，由⎝⎛⎭⎫910n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8，∴n ≥21.12．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品______件．答案 80解析设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20. 当且仅当800x ＝x 8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立． 13．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．答案 2ln 2 1 024解析当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e12k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．答案 5－12 解析依题意得x ＝c －a b －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 15．已知一家公司生产某品牌服装有年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧ 10.8－130x 2(0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x . ∴W ＝⎩⎨⎧ 8.1x －x 330－10(0<x ≤10)，98－1 0003x －2.7x (x >10).(2)①当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，可知当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10]时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取极大值，即最大值，且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6. ②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x≤98－2 1 0003x·2.7x ＝38，当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38(当1 000x 取整数时，W 一定小于38)．综合①②知，当x ＝9时，W 取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中所获年利润最大．。

高一数学函数模型及其应用试题

高一数学函数模型及其应用试题1.如图，已知底角为450的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x,试写出左边部分的面积y与x的函数解析式。

【答案】见解析【解析】（1）直线l从左至右移动，分别于线段BG、GH、HC相交，与线段BG相交时，直线l 左边的图形为三角形，与线段GH相交时，直线l左边的图形为三角形ABG与矩形AEFG，与线段HC相交时，直线l左边的图形的图形不规则，所以观察其右侧图形为三角形CEF，各段利用面积公式可求得y．本题考查求分段函数的解析式，找到分段点，在各段找出已学过得的规则图形，化未知为已知，结合图形，比较直观．用到转化，化归与数形结合的思想．（2）分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它的理解应注意两点：1．分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数；2．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

（3）求分段函数的解析式若所求函数的解析式在其定义域内所分区间内的对应关系不同，应分段来求函数的解析式。

试题解析：过点分别作，，垂足分别是，。

因为ABCD是等腰梯形，底角为，，所以，又，所以。

⑴当点在上时，即时，；⑵当点在上时，即时，⑶当点在上时，即时，=。

所以，函数解析式为【考点】分段函数及数形结合应用．2.某渔场鱼群的最大养殖量为吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量要小于，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量（吨）和实际养殖量（吨）与空闲率的乘积成正比（设比例系数）。

（1）写出与的函数关系式，并指出定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群年增长量达到最大值时，求的取值范围．【答案】（1）．定义域为；（2）当时，；（3）的取值范围是．【解析】（1）由题意求出空闲率，然后利用正比例关系得与的函数关系式，并确定函数的定义域；（2）利用配方法求二次函数的最值；（3）鱼群年增长量达到最大值时，应保证实际养殖量和增加量的和在0到之间，由此列不等式求解的取值范围即可．试题解析：（1）空闲率为,由已知得：．（2）因为，所以当时，．（3）由题意得：，即,解得．又因为，所以，所以的取值范围是．【考点】函数模型的选择与应用．3.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽分别为4m和10m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计?【答案】(1) (2) 要使公园所占面积最小，休闲区应设计为长100米，宽40米【解析】(1)设休闲区的宽为米，则其长为米，根据休闲区的面积为4000平方米，将用表示，然后根据矩形的面积公式求出公园所占面积关于的函数即可；（2）利用均值不等式求出最小值，利用等号成立的条件，从而求出长和宽.试题解析：（1）解：设休闲区的宽为米，则其长为米.由，得：，则即.（2）当且仅当，即时取等号，此时，；所以要使公园所占面积最小，休闲区应设计为长100米，宽40米.【考点】函数解析式的求法；均值不等式的应用.4.某渔业公司年初用49万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用6万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益25万元．（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以18万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以9万元出售该渔船．问哪种方案最合算？【答案】（1）渔业公司第3年开始获利．（2）方案①较合算.【解析】（1）由题意列出获利y与年份n的函数关系，然后求解不等式得到n的范围，根据n是正的自然数求得n的值；（2）用获利除以年份得到年平均获利，利用不等式求出最大值，求出获得的总利润，利用配方法求出获得利润的最大值，求出总获利，比较后即可得到答案．试题解析：（1）第n年开始获利，设获利为y万元，则y＝25n－[6n＋×2]－49＝－n2＋20n－49 2分由y＝－n2＋20n－49＞0得10－＜n＜10＋ 4分又∵n∈N*，∴n＝3，4∴n＝3时，即该渔业公司第3年开始获利． 5分（2）方案①：年平均获利为＝－n－＋20≤－2＋20＝6（万元） 7分当n＝7时，年平均获利最大，若此时卖出，共获利6×7＋18＝60（万元） 8分方案②：y＝－n2＋20n－49＝－(n－10)2＋51当且仅当n＝10时，即该渔业公司第10年总额最大，若此时卖出，共获利51＋9＝60万元 11分因为两种方案获利相等，但方案②所需的时间长，所以方案①较合算． 12分【考点】函数模型的选择及应用;简单的建模思想;利用基本不等式求最值;配方法.5.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为（单位：万元），当年产量小于80万件时，;当年产量不小于80万件时，.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）100万件，1000万元【解析】（1）利润销售额成本，销售额销售量单价，设年产量为（万件），当时，销售额，成本；当时，销售额，成本；（2）转化为求的最大值即可，注意解决实际问题的基本步骤：审题、建模、解模、还原。

高一数学函数模型及其应用试题

高一数学函数模型及其应用试题1.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【答案】(1)由题意：当0≤x≤20时，当20≤x≤200时，设，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为(2)依题意并由(1)可得当时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当时，，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时【解析】本题是实际应用问题，首先根据当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．设出v(x)＝ax＋b，再利用条件当桥上的车流密度达到200辆/千米时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时；求出a、b，列出函数表达式，注意x的范围。

(2)由题意列出函数表达式后，转化为分段函数的最值问题，应先求出每一段上的最值，再比较。

【考点】本题考查了分段函数、基本不等式的综合应用。

点评：在解答应用题时，先读清题意转化成数学问题，然后灵活利用所学知识解答。

2.往外地寄信，每封不超过20克，付邮费0.80元，超过20克不超过40克付邮费1.60元，依次类推，每增加20克，增加付费0.80元，如果某人寄出一封质量为72克的信，则他应付邮费（）A．3.20元B．2.90元C．2.80元D．2.40元【答案】A【解析】将72表示为20×3+12，由已知可得应付邮费：0.8×3+0.8=3.2元．故选A．【考点】本题主要考查函数模型及其应用。

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