3.3圆周角和圆心角的关系练习题
初三数学圆周角和圆心角的关系试题
初三数学圆周角和圆心角的关系试题1.已知,如图,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.【答案】160°【解析】由∠BAD=100°可得∠BAC的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.∵∠BAD=100°∴∠BAC=80°∴∠BOC=160°.【考点】邻补角定理，圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.2.如图,AB是⊙O的直径, ,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.【答案】50°【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵,∠A=25°∴∠BOD=50°.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.3.如图,AB是半圆O的直径,AC="AD,OC=2,∠CAB=30°," 则点O到CD的距离OE=____.【答案】【解析】由AC=AD，∠CAB=30°可得∠CDO的度数，即可得到∠EOD、∠COE的度数，判断出△COE的形状再结合勾股定理即可求得结果.∵AC=AD，∠CAB=30°，OA=OC∴∠CDO=75°，∠COD=60°∴∠EOD=15°∴∠COE=45°∴△COE为等腰直角三角形∵OC=2∴OE=.【考点】三角形内角和定理，勾股定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.4.如图,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【答案】C【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.相等的角有∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABC4对，故选C.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.5.如图,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵D是弧AC的中点∴∠ABD=∠ACD=∠CBD=∠CAD故选B.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.6.如图, ,则∠A+∠B等于( )A．100°B．80°C．50°D．40°【答案】C【解析】连接CO并延长交圆于点D，根据圆周角定理即可得到结果.连接CO并延长交圆于点D由图可得∠A+∠B=∠AOD+∠BOD=∠AOB=50°故选C.【考点】圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.7.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【答案】B【解析】根据圆的性质可得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形，再根据圆周角定理即可求得结果.由题意得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形则该弦所对的圆周角的度数是30°或150°故选B.【考点】圆周角定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.8.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.【答案】4cm【解析】连接OC、OD，根据圆周角定理可得∠COD=60°，即可得到△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD=4cm.【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.9.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值【答案】【解析】连接BD, 根据圆周角定理可得∠ADB=90°，证得△PCD ∽△PAB,根据相似三角形的性质结合余弦的定义可得∠BPD的余弦值，再结合勾股定理即可求得结果.连接BD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°.∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴.在Rt△PBD中,cos∠BPD==,设PD=3x,PB=4x,则BD=,∴tan∠BPD=.【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.10.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)【答案】让乙射门较好【解析】根据圆周角定理结合三角形外角的性质分析即可得到结论.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.【考点】圆周角定理，三角形外角的性质点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.。
圆周角和圆心角的关系 练习题
章第4节圆周角和圆心角的关系第3 同步检测一.选择题的任意一点，上不同于点C 上，点P在CD 1.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O ）则∠BPC的度数是（90°D．C．75°A．45°B．60°A答案O解析解答：连O，O上，∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙，∠∴BOC=90°1∠∴∠．BOC=45°BPC=2．故选A∠，，上，可得BOC=90°OC，由正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O分析：首先连接OB ∠的度数．BPC然后由圆周角定理，即可求得=62°，则∠ACD的大小为（CD的弦，且AB ⊥．若∠CDB）O2.如图，AB.CD都是⊙A．28°B．31°C．38°D．62°答案：A⊥CD，AB解析：解答：∵∴∠，DPB=90°∵∠，CDB=62°．，∴∠=28°B=180°-90°-62°∠∴∠B=28°ACD=．．A故选∠出求角和定理再根据三角形内分析：利用垂直的定义得到DPB=90°，∠∠，然后根据圆周角定理即可得到的度数．ACDB=180°-90°-62°=28°）（的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=O3.如图，AB是⊙D．110°70°B．55°C．A．35°B答案：的直径，AB是⊙O解析：解答：：∵，ACB=90°∴∠，BAC=35°∵∠，-35°=55°∴∠ABC=180°-90°∠．ABC∴∠ADC==55°．故选B根据ABC的度数，ACB=90°，再由三角形内角和定理得出∠先根据圆周角定理求出∠分析：圆周角定理即可得出结论．）4.下列命题中，正确的命题个数是（①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．③B．2个C．3个1A．个D．4个A答案：解析：解答：解：①中，该角还必须两边都和圆相交才行．错误；②中，必须是同弧或等弧所对，错误；③正确；④中，必须在同圆或等圆中，错误．故选A．分析：根据圆周角的概念和定理，逐条分析判断．ACB，，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（C在⊙O上，）如图，已知5.A B∠CB+．∠D A ∠4．C B∠4．B C∠2．A．A答案：∠AOB=2．C解析：解答：如图，由圆周角定理可得：∠．故选：A都等于这条弧所对的在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，分析：圆周角定理：∠．C圆心角的一半．根据圆周角定理，可得∠AOB=2，则∠∠）BAD=如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若（ACD=35°6. ．30°DC ．35°BA．55°．40°A答案：解析：解答：∵∠ACD与∠B是AD 对的圆周角，∠ACD=35°B=，∴∠∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-∠B=55°．故选A．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，继而可求得∠BAD的度数．7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°D答案：解析：解答：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选：D．分析：由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．8.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED 的正切值等于（）5251B．C．2 A．D．552D答案：解析：解答：∵∠E=∠ABD，AC1 ．AED=tan∠∠ABD= ∴tan AB2故选D．分析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．）的大小是（AOCO9.如图，△ABC的顶点A.B.C均在⊙上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠．70°60°C．D．A．30°B45°C答案：1∠AOC，解析：解答：∵∠ABC= 2而∠ABC+∠AOC=90°，1∠AOC+∠AOC=90°，∴2∴∠AOC=60°．故选：C．1∠AOC，由于∠ABC=到理角圆根：分析先据周定得∠ABC+∠AOC=90°，所以2AOC=90，然后解方程即可AOC2，的度=35°，则∠ADC是⊙O的弦，连接AC.AD，若∠10.如图，AB是⊙O的直径CABCD ）数为（．65°D．B45°C．55°A．35°C答案：，解答：连接BC解析：的直径，是⊙O∵AB ，ACB=90°∴∠，CAB=35°∵∠，B=55°∴∠=55°．∴∠ADC C．故选△.ADC的度数，求出∠B的度数，即可推出∠分析：连接BC，推出RtABC ）（8，则∠D的度数是：∠是⊙O的内接四边形，且∠A：B：∠C=1：3若四边形11.ABCD 120°D．30°C．80°．A．10°BD答案：=8x，=3x解答：设∠A=x，则∠B，∠C解析：ABCD为圆内接四边形，因为四边形，A+∠C=180°所以∠即：x+8x=180，∴x=20°，，∠=60°C=160°，B=20°则∠A，∠，D所以∠=120°．D故选．C.∠；利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A则∠B=3x，∠C=8x本题可设∠分析：A=x，D 的度数，由此得解．的度数，进而求出∠B和∠DCE，则∠若∠BAD=105°四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，12.如图，）的大小是（95°D．C．100°．115°B．l05°AB答案：解析：解答：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．分析：根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．13.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A.点B，点A的坐标为（0，3），M是第OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）三象限内2D．3 C．3 B ．A6 ．5C答案：∵ABMO∠BMO=120°，解答：是圆内接四边形，四边形解析：∴∠BAO=60°，∵AB⊙C 的直径，是∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，∵A03 ），的坐标为（，点∴OA=3 ，∴AB=2OA=6 ，AB=3 ∴⊙C=．的半径长2 C．故选：=90°∠OAB∠AOB，故的度数，由圆周角定理可知分析：先根据圆内接四边形的性质求出∠ABOAB的长，进而得出结论．的度数，根据直角三角形的性质即可得出可得出==70°∠BOD ⊙14.ABCDO∠DCE），则（，若它的一个外角如图，四边形内接于D140°B70°C110°A35°．．．．D答案：∵ABCD⊙O ，四边形解答：解析：内接于∴∠A=∠DCE=70°，∴∠BOD=2∠A=140°．D ．故选∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，分析：由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠BOD=2∠A=140°．15.Px.yA.BCOBACB=则∠是劣弧如图，已知经过原点的⊙与点轴分别交于上一点，两点，）（A80 B90 C100 D．无法确定°．°．．°B答案：AOBACBAB 所对的圆周角，与∠解答：∵∠解析：是优弧AOB=ACB ，∠∴∠AOB=90 °，∵∠ACB=90 °．∴∠．B ．故选AOBACBABACB=∠是优弧分析：由∠所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠与∠AOB=90°．.填空题二16.△ABCA.B.C⊙O∠OAC=20°∠B 的度数是如图，，则上，的顶点均在70°答案：∵OA=OC∠OAC=20°，，解析：解答：解：∴∠ACO=∠OAC=20°，∴∠AOC=180°-∠ACO-∠OAC=180°-20°-20°=140°，11∠AOC=×140°=70°∴∠B=．2270°．故答案为：∠ACO∠AOC的的度数，再由三角形内角和定理求出分析：先根据等腰三角形的性质求出∠B 的度数即可．度数，由圆周角定理17.△ABC⊙O∠ABC=70°∠CAB=50°D⊙O∠ADB 的在，点如图，，，内接于上，则.大小为60°答案：∵∠ABC=70°∠CAB=50°，解析：解答：，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=60°，∴∠ADB=∠ACB=60°．60°．故答案为∠ACB 的度数，然后根据圆周角定理求解．分析：先根据三角形内角和定理计算出18.A.B.C.D⊙O∠B=130°∠AOC 的度数是都在如图，上，，则100°答案：∵A.B.C.D⊙OABCD⊙O 内接四边形，为都在上，即四边形解析：解答：∴∠D+∠B=180°∠B=130°，，又∴∠D=180°-∠B=180°-130°=50°，∠D⊙O∠AOC⊙O ，为的圆周角，为的圆心角，且两角所对的弧都为又D=2∠=100°∠AOC．则100°故答案为：OA.B.C.DOABCD的内接四边形，根据圆内四个点都在圆为圆分析：由上，得到四边形OD∠D∠D∠B∠∠B的圆的度数求出互补，接四边形的对角互补得到由的度数，与为圆O∠AOC的圆心角，且两角所对的弧为同一条弧，根据同弧所对的圆是圆周角，所求的角∠AOC2∠D的度数．倍，由心角等于所对圆周角的的度数可求出=40°OC⊥AB∠AOC∠BDC O19.A.B.C.D⊙的度数是，如图，上，四点在，则20°答案：∵OC⊥AB ，解答：解析：∴BCAC 1∠AOCCDB= ∴∠，2∠AOC=40°，而∴∠CDB=20°．20°．故答案为1∠=AOC=BC∠CDBACOC⊥AB，弧再根据圆周角定理得根据垂径定理得到弧，，分析：由2∠∠AOC=40°BDC的度数．而，即可得到BODOABAC △=60°20.∠B∠C=70°ABC⊙D∠则相交于点如图，，若在，中，，与以为直径的.度的度数是100答案：∵△ABC∠B=60°∠C=70°，在中，，解答：解析：∴∠A=50°，∵∠BOD=2∠A ，∴∠BOD=100°．100 ．故答案为：∠A∠BOD的度的度数，再根据圆周角定理即可求得分析：先根据三角形内角和定理求出数．. 解答题三21. 请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．答案：①1O∠BAC 的一边上时，如图（在），当点∵OA=OC ，∴∠A=∠C ，∵∠BOC=∠A+∠C ，1∠BOC ∴∠BAC=；2②2O∠BACBO⊙ODCD ，则交，连接如图（的内部时，延长）当圆心在于点∠D=∠A （同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC=OD ，∴∠D=∠OCD ，∵∠BOC=∠D+∠OCD （三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），∴∠BOC=2∠A ，1∠BOCBAC= ∠．即2③3O∠BACBO⊙OECE ，则如图（交），当圆心的外部时，延长在于点，连接∠E=∠A （同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC=OE ，∴∠E=∠OCE ，∵∠BOC=∠E+∠OCE （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠BOC=2∠A ，1∠BOC ∠BAC=．即2O∠BACO∠BACO的内部时与当圆心在的一边上时，当圆心解析：分析：分别从当点在∠BAC 的外部时，去分析证明，即可证得结论．在=2⊙O =45°⊙O∠BACBC∠22.BAC的半径大小．，是的圆周角，且如图所示，，试求2∵∠BAC=45°，答案：∴∠B0C=90°，=2BC ∵，2∴OB=OC=2 ．⊙O2 ．的半径为即∠B0C=90°△BOC为等腰直角三角形，故可解析：分析：根据圆周角定理，可求，即可知0B=OC=1 ．求23.⊙OAB⊙O 的半径，求弦所对的圆心角和圆周角的度数．中，弦已知的长等于画出图形：答案：OA.OB ，连接∵AB=OA=OB ，∴∠AOB=60°．分两种情况：，CB ①CCA，在优弧上任取一点，连接1∠AOB==30°∠C，则2②DAD.BD ，在劣弧上任取一点，连接∵ADBC⊙O 的内接四边形，四边形是∴∠C+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°-∠C=150°．AB60°30°150°．所对的圆心角是或，圆周角是综上所述，弦△OAB∠AOB=60°AB所对的，再根据弦解析：分析：根据已知条件得出是等边三角形，则弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，然后分类讨论，即可得出答案．24.⊙OAB=3cm∠ACB=60°⊙O 的直径．如图，在，圆周角中，弦，求2 3答案：AADBD ，如图，点作直径解析：解答：过，连接∠ABD=90°，∵∠ADB=∠ACB=60°，又∴∠BAD=30°，AB=3cm ，而=BD ∴3，=2cm=2ADBD ∴3），（2cm ⊙O3．的直径为即 2 3．故答案为：AAD∠ABD=90°∠ADB=∠ACB=60°Rt△ABDAB=3cm，中，，在，，则点作直径分析：过．AD ．利用三边的数量关系可求出6cmAB6cmAB 25.3所对的圆周角的度数．长如图，在半径为，试求弦的圆中，弦如图，答案：AB∠P∠P′，在优弧上所对的圆周角为，劣弧上所对的圆周角为设弦⊥，ABCOOCOA OB，点作连接，过，垂足为1=3 ABAC=3，由垂径定理，得2333AC AOC=∠=6△AOCOAsin Rt ，在，中，26OA∠AOC=60°，解得∠AOB=2∠AOC=120°，所以，1∠AOB=60°P= ∠，根据圆周角定理，得2APBP′为圆内接四边形，又∠P′=180°-∠P=120°，所以，AB60°120°或所对的圆周角的度数为故弦AB∠P∠P′OA，，解析：分析：设弦劣弧上所对的圆周角为在优弧上所对的圆周角为连接，1=3∠AB=ABOBOOC⊥CACAOC3解直角三角形得，，垂足为，由垂径定理可知，过点作21∠AOB ∠P∠AOB=2∠AOC∠P=，由圆周角定理得与的度数，由垂径定理可知，，利用2∠P′∠P′．的互余关系求。
圆周角与圆心角、直线和圆的位置关系练习题
ABCD EPO圆周角与圆心角、确定圆的条件、直线和圆的位置关系周检测题一、知识点:1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
3、圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
4、圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.5、圆的切线性质：圆的切线垂直于过切线的半径。
常用辅助线：见切线，连半径，得垂直。
6、圆的切线判定定理：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
证切线，常用辅助线：有交点，连半径，证垂直。
二、根底训练：1．下面命题中，正确的命题个数为〔〕(1)顶点在圆周上的角是圆周角．(2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半．(3)90°的圆周角所对的弦是直径．(4)圆周角相等，那么它们所对的弧也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2、如图1，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．假设AB=8，CD=2，那么EC的长为〔〕A．2B．8C．2D．23、如图2，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，那么DC=．图1 图24．如图5，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．假设∠AOC=60°，BE=3，那么点P到弦AB的距离为。
5．在⊙O中，同弦所对的圆周角〔〕A．相等B．互补C．相等或互补D．都不对6．以下说法正确的选项是〔〕A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角。
C．圆心角是圆周角的2倍。
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半7．以下说法错误的选项是〔 〕A ．等弧所对圆周角相等 B ．同弧所对圆周角相等C ．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．D ．同圆中，等弦所对的圆周角相等8、以下说法：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等； ③等弧所对的圆周角相等； ④圆心角相等，所对的弦相等，其中正确的说法有〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE =CD =8，∠ BAC =∠ BOD ，那么⊙O 的半径为 。
圆心角圆周角练习题(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2. 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等圆心角所对的弧(都是优弧或都是劣弧)相等圆心角所对的弦相等3、一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在________;(2)角的两边都是与圆有除顶点外的交点。
4. 同一条弧所对的圆周角有__________个5.圆周角定理：1=2圆周角圆心角6.圆周角定理推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等（2）半圆或直径所对的圆周角相等（3）90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。
7. 圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。
性质：圆内接四边形的对角夯实基础1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对2.下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴④长度相等的两条弧是等弧A.3个B.2个C.1个D.以上都不对3. 在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等4、如图，在⊙O中，AB AC，∠B=70°，则∠A等于．Array5、如图，在⊙O中，若C是BD的中点，则图中与∠BAC相等的角有（）A.1个B.2 个C.3个D.4个6、如图，若AB 是⊙O 的直径，AB=10cm ，∠CAB=30°，则BC= cm ．7、如图，已知OA ，OB 均为⊙O 上一点，若∠AOB=80°，则∠ACB=（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．40°8、圆内接四边形ABCD ，∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为3：4：6，则∠D 的度数为（ ）A ．60B ．80C ．100D ．1209、已知如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE ＝ .题型一：利用圆心角圆周角定理求角度 C · BOA1、如图，AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是BE 上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE 是（ ）A ． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °2、如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC⌒ =BD ⌒ ,∠A=25°， 则∠BOD= .3、已知圆O 的半径为5,弦AB 的长为5,则弦AB 所对的圆心角∠AOB = .4、在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆周的41，圆的半径等于12，则圆心角∠AOB ＝ ；弦AB 的长为 .5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A=40 º，则∠B 的度数为（ ）A ．80 ºB ．60 º C．50 ºD ．40 ºOED C B A O D CBA6、如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°7、如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°8、如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是．9、如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．10、如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝..11、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB=．12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．26°B．64°C．52°D．128°题型二：利用圆心角圆周角的性质定理求线段1、在⊙O中，圆心角∠AOB=90°,点O到弦AB的距离为4,则⊙O的直径的长为( )A.4B.82C.24D.162、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，O的半径为（）A．B． C．8 D．123、如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为⊙O 的直径，AD=6，则DC= ．题型三：利用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系证明弧相等，线段相等，角度相等1、如图，在⊙O 中 ,AB =AC ,∠ACB=60°，求证∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .2．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB，ND⊥AB ，M 、N•在⊙O 上．（1）求证：AM =BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？NM O D C BAB3、如图，以⊙O 的直径BC 为一边作等边△ABC,AB 、AC 交⊙O 于D 、E,求证：BD=DE=EC4、如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长.5、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ﹦BF ；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 ．作业1、如图，AB 是⊙O 的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO 的度数是（ ） A ．51° B ．56° C ．68° D ．78°2、圆中有两条等弦AB=AE ，夹角∠A=88°，延长AE 到C ，使EC=BE ，连接BC ，如图．则∠ABC 的度数是（ ）A ．90°B ．80°C ．69°D ．65°B3. 如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为．4. 如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．5、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O 上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．。
圆周角与圆心角练习题
圆周角和圆心角的关系填空题1．如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=10cm，则PQ的值（）2．如图，AC，BD是⊙O直径，且AC⊥BD，动点P从圆心O出发，设运动时间为T （秒），∠APB=y （度），①沿O⇒A⇒D⇒O路线作匀速运动；②沿O⇒D⇒C⇒O路线作匀速运动；③沿O⇒C⇒B⇒O路线作匀速运动；④沿O⇒B⇒A⇒O路线作匀速运动．则下列路线作匀速运动的图象是右图中表示y与t之间的函数关系最恰当的序号是_________．3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，则BA的长为_________．4．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=5，DB=7，则BC的长是_________．5．（2009•山西）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，∠1=70°，∠A=40°，则∠C=_________度．6．（2005•镇江）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，D、E是⊙O上两点，则∠D= 度，∠E= 度．7．（2000•海南）如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35°，则∠BOC= 度．8．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，如果C是上任意一点，则sinC=_________．9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠B=55°，P点在弧AC上移动，从点C开始运动到点A停止，设∠POC=α，则α的变化范围是_________．10．（2001•吉林）如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧BD，∠A=25°，则∠BCD=_________度．11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DAB=48°，则∠ACD=_________°．12．如图，▱ABCD的A、B、D三点在弧BD上，过A的直线PA交CB的延长线于P，若∠PAB=∠DBC，BC=2AB，▱ABCD的面积为8，则△APB的面积为_________．13．（1998•绍兴）已知：如图，面积为2的四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC经过圆心，若∠BAD=45°，CD=，则AB的长等于_________．14．（2004•万州区）圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D=_________度．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD交BD于点E，⊙O的半径为4，∠BAD=60°，∠BCA=15°，则AE=_________．16．如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB=8，BC=1，则AM=_________．17．（2002•南京）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长是_________．18．（2002•天津）已知⊙O中，两弦AB与CD相交于点E，若E为AB的中点，CE：ED=1：4，AB=4，则CD的长等于_________．19．（1999•天津）一圆中两弦相交，一弦长为2a且被交点平分，另一弦被交点分成1：4两部分，则另一弦长为_________．20．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC和BD交于点E，且AC平分∠BAD，则图中共有_________对三角形相似．21．（2010•凉山州）如图，∠1的正切值等于_________．解答题22．（2008•甘南州）如图，AB是半圆O的直径，F是半圆上一点，D是OA上一点，过点D作ED⊥AB，交半圆于点C，交BF的延长线于点E，连接AC，AF，BC．（1）求证：∠E=∠BCF；（2）求证：BC2=BF•BE；23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D 是的中点，BD交AC于点E．（1）△CDE与△BDC相似吗？为什么；（2）若DE •DB=16，则DC的长为_________．24．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E．（1）∠ABC和∠ADB的大小关系是_________；（2）若AE=2，ED=4，则AB=_________．（3）若BD为⊙O的直径，在（2）的条件下，AC与BD的位置关系：_________．25．（2000•兰州）如图，已知半圆O，交AB于D、AC于E，BC是直径，若∠A=60°，AB=16，AC=10，则AD=_________，AE=_________，DE=_________．26．如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP=4，PB=3，过P点另有一动弦CD，连接AC，DB．设CP=x，PD=y．（1）求证：△ACP∽△DBP．（2）则y关于x的函数解析式是_________．（3）若CD=8时，则S△ACP：S△DBP的值为_________．27．（2000•朝阳区）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，连接AC、BC、过O点作AB的垂线，交BC于E，交半圆于F，交AC的延长线于D．（1）则_________；（2）如果OA=2，点C在弧AF上运动（不与点A，F 重合）．设OE的长为x，△AOD的面积为y，则y和x 之间的函数关系式为_________，自变量x的取值范围是_________，并画出函数图象．28．（2005•河南）已知⊙O的内接四边形ABCD中，AD∥BC．那么四边形ABCD是_________．29．（2009•庆阳）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP 交圆于点E．（1）∠E=_________度；（2）图中现有的一对不全等的相似三角形是；（3）弦DE的长是_________．30．如图，在圆O中，AB为直径，C、D 是上半圆上的两个动点．弦AC与BD交于点E，求证AE•AC+BE•BD=AB2。
圆周角和圆心角的关系—巩固练习(提高)
圆周角和圆心角的关系—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个2．已知，如图, AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°。
给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC。
其中正确的有( )个A. 5B. 4C. 3D. 2第1题图第2题图第3题图3．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为AB中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形4．（威海）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°5．如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°第4题图第5题图第6题图6．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O3，则弦CD的长为( )．A．32cm B ．3cm C ．23cm D ．9cm 二、填空题7．如图所示，AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC ＝130°，AD 、CB 的延长线相交于P ，则∠P ＝________°．（第7题） （第9题）8．（青岛）如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ．9．如图，⊙O的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE=5,BE=1,42CD ,则∠AED= °. 10．如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________.11.如图所示，在半径为3的⊙O 中，点B 是劣弧AC 的中点，连接AB 并延长到D ，使BD ＝AB ，连接AC 、BC 、CD ，如果AB ＝2，那么CD ＝________．（第10题图） （第11题图）12．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，点B 为AN ︵中点，P 直径MN 上的一个动点，则PA ＋PB 的最小值是 .13．已知⊙O 的半径OA=2，弦AB 、AC 分别为一元二次方程x 2-（23）6=0的两个根，则∠BAC 的度数为_______．三、解答题14.如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E 、F ，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A 的度POAB（第12题图）FOEDCBA数.15.（宁波模拟）如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，D为上一点，CE⊥AD 于E ，求证：AE=BD+DE ．16．如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 为AE 的中点，CD ⊥AB 于D ，交AE 于F ，连接AC ，求证：AF ＝CF ．17.如图所示，⊙O 的直径AB 长为6，弦AC 长为2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， 求四边形ADBC 的面积．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D．【解析】与∠BCE相等的角有5个，∠DAE=∠AED=∠ABD，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE，同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE ，且∠ACD=∠BCE.2．【答案】C ．【解析】①②④正确. 3.【答案】C ．【解析】由弦AB 的长是半径OA 的3倍，C 为AB 中点，得∠AOC=60°，△AOC 为等边三角形， 所以AO=AC ，进而得到OA=OB=BC=AC ，故则四边形OACB 是菱形. 4．【答案】B ．【解析】如图，∵AB=AC=AD，∴点B 、C 、D 在以点A 为圆心， 以AB 的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°， ∴∠CAD=88°， 故选B ．5．【答案】C ．【解析】设点D 是优弧AB 上一点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ；则∠ADB=∠AOB=50°； ∵四边形ADBC 内接于⊙O ，∴∠C=180°-∠ADB=130°；故选C ．6．【答案】B ．【解析】∵ ∠CDB ＝30°， ∴ ∠COB ＝2∠CDB ＝60°，又AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴ ∠OCD ＝30°，12CE CD =， 在Rt △OEC 中，∵ 3OC =cm ，∴ 3OE =cm ． 2222239(3)24CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭(cm)． ∴ 32CE =cm ，∴ CD ＝3cm ． 二、填空题7．【答案】40°；【解析】∵∠AOC＝130°，∴∠ADC＝∠ABC＝65°，又AB⊥CD，∴∠PCD＝90°－65°＝25°，∴∠P＝∠ADC－∠PCD＝65°－25°＝40°．8．【答案】40°；【解析】∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣55°=125°，∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．9．【答案】30°；10．【答案】3；11．【答案】43；【解析】连结OA、OB，交AC于E，因为点B是劣弧AC的中点，所以 OB⊥AC，设BE=x,则OE=3-x，由AB2-BE2=OA2-OE2得22-x2=32-（3-x）2,解得23x=，423CD BE==.或连接OA、OB，△OAB∽△BCD，AB CDOA BC=，232CD=，43CD=．12．【答案】；【解析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．（如图）此时PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°，则弧BN的度数是30°，根据垂径定理得弧CN的度数是30°，则∠AOC=90°，又OA=OC=1，则AC=．FOEDC BA13.【答案】15°或75°.【解析】方程x 2-（22+23）x+46=0的解为x 1=22，x 2=23，不妨设：AB=22，AC=23． （1）如图，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ． ∵AB=22，AC=23， ∴AM=2，∵OA=2，在Rt △MAO 中，∠MAO=45°，AC=23， ∴AN=3，在Rt △NAO 中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°；（2）如图，∠BAC=75°．三、解答题14.【答案与解析】解：在△ABE 中，∠E=40°，∴∠A+∠ABE=180°-∠E=180°-40°=140°. 在△ADF 中，∠F=60°，∴∠A+∠ADF=180°-∠F=180°-60°=120°. ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ADF+∠ABE=180°， ∴2∠A=260°-180°=80°， ∴∠A=40°.15.【答案与解析】证明：如图，在AE 上截取AF=BD ，连接CF ，CD ； 在△ACF 和△BCD 中∴△ACF≌△BCD， ∴CF=CD，∵CE⊥AD 于E ， ∴EF=DE，∴AE=AF+EF=BD+DE．16.【答案与解析】证法一：连接BC ，如图所示．∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝90°， 即∠ACF+∠BCD ＝90°． 又∵ CD ⊥AB ，∴ ∠B+∠BCD ＝90°， ∴ ∠ACF ＝∠B ．∵ 点C 是AE 的中点， ∴ AC CE =， ∴ ∠B ＝∠CAE ，∴ ∠ACF ＝∠CAE ，∴ AF ＝CF ．证法二：如图所示，连接BC ，并延长CD 交⊙O 于点H ． ∵ AB 是直径，CD ⊥AB ，∴ AC AH =． ∴ 点C 是AE 的中点， ∴ AC CE =， ∴ AH CE =． ∵ ∠ACF ＝∠CAF ， ∴ AF ＝CF ．17.【答案与解析】∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝∠ADB ＝∠90°． 在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝2，∴ 22226242BC AB AC =-=-=．∵ ∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴ ∠DCA ＝∠BCD ．∴AD DB=，∴ AD＝BD．∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，∴ AD＝BD＝32．∴11C22ABC ABDADBCS S S A BC AD BD∆∆=+=+四边形211242(32)94222=⨯⨯+⨯=+．。
完整版)圆心角圆周角练习题
完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。
2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。
3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。
4.同一条弧所对的圆周角有两个。
5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。
6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。
需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。
7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。
圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。
夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。
2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。
3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。
4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。
5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。
6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。
8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。
9.∠DCE=∠A。
1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。
证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。
3.3圆周角和圆心角的关系练习题1(北师大版九年级下)
3.3圆周角和圆心角的关系同步练习一、填空题：1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在。
O上,D是AC上任一点（不与A、C重合），则ZADC的度数是2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在。
O上,且AD/7BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有__对全等三角形; —对相像比不等于1的相像三角形.3.已知，如图3,ZBAC的对角NBAD=IO0°,则NBOC=度.4.如图4,A、B、C为。
0上三点，若NOAB=46°,则NACB=度.5.如图5,AB是。
的直径，8C=BO,NA=25°,则NBOD的度数为.二、选择题：7.如图7,已知圆心角NBOe=Io0°,则圆周角NBAC的度数是（）Λ.50o B.100o C.130o D.200°8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有（）A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D是AC的中点,则图中与NABD相等的角的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个10.如图10,NAOB=Io0°,则NA+NB等于（）Λ.100o B.80o C.50o D.40°11.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是（）Λ.30o B.30°或150o C.60o D.60°或120°三、解答题：13.如图,Θ0的直径ΛB=8cm,NCBD=30°,求弦DC的长.14.如图,A、B、C、D四点都在G）O上,AD是。
0的直径,且AD=6cm,若NABC二NCAD,求弦AC 的长.16.如图,在。
0中,AB是直径,CD是弦,AB_1.CD.（DP是CAD上一点（不与C、D重合），试推断NCPD与ZCOB的大小关系，并说明理由.（2）点P'在劣弧CD上（不与C、D重合时），NCP'D与NCOB有什么数量关系?请证明你的结论.17.在足球竞赛场上，甲、乙两名队员相互协作向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点，如图所示,此时甲是自己干脆射门好,还是快速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么？（不考虑其他因素）15、（9分）如图，以等腰AABC的腰AB为。
圆心角与圆周角专题练习
圆周角和圆心角的练习题一、选择题1．圆周角是24°，则它所对的弧是________ A．12°；B．24°；C．36°；D．48°．2．在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是________A．42°；B．138°；C．84°；D．42°或138°．3．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有___________．（）A．1对；B．2对；C．3对；D．4对．4．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥C D．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___[ ] A．16°；B．32°；C．48°；D．64°．二、计算题6．如图，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠AB C．求AC的长．7．已知：△DBC和等边△ABC都内接于⊙O，BC=a，∠BCD=75°（如图）．求BD 的长．8．如图，半圆的直径AB =13cm ，C 是半圆上一点，CD ⊥AB 于D ，并且CD =6cm ．求AD 的长．、9．如图，圆内接△ABC 的外角∠MAB 的平分线交圆于E ，EC =8cm ．求BE 的长．10．已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，且AB =a ．求DE 的长．11．如图，在⊙O 中，F ，G 是直径AB 上的两点，C ，D,E 是半圆上的三点，如果弧AC 的度数为60°，弧BE 的度数为20°，∠CFA =∠DFB ，∠DGA =∠EG B ．求∠FDG 的大小．12．如图，⊙O 的内接正方形ABCD 边长为1，P 为圆周上与A ，B ，C ，D 不重合的任意点．求PA 2＋PB 2＋PC 2＋PD 2的值．13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =135°，以A 为圆心，AB 为半径作⊙A 交AD ，BC 于E ，F 两14．如图，⊙O 的半径为R ，弦AB =a ，弦BC ∥OA ，求AC 的长．15．如图，在△ABC 中，∠BAC ，∠ABC ，∠BCA 的平分线交△ABC 的外接圆于D ，E 和F ，如果，，分别为m °，n °，p °，求△ABC 的三个内角．16．如图，在⊙O 中，BC ，DF 为直径，A ，E 为⊙O 上的点，AB =AC ，EF =21DF ．求∠ABD +∠CBE 的值．17．如图，等腰三角形ABC 的顶角为50°，AB =AC ，以数．第二页18．如图，AB是⊙O的直径，AB=2cm，点C在圆周上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．求BD的长．19．如图，△ABC中，∠B=60°，AC=3cm，⊙O为△ABC的外接圆．求⊙O的半径．20．以△ABC的BC边为直径的半圆，交AB于D，交AC于E，EF⊥BC于F，AB=8cm，AE=2cm，BF∶FC=5∶1（如图）．求CE的长．21．已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆半径．22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c．求AE的长．23．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=6cm，BD=2cm，BE=2．4cm．求DE的长．24．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，的度数为60°，∠B=105°，⊙O 的半径为6cm．求BC的长．25．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，E为OB的中点，弦CD⊥AB于E．求CD的长．26．如图，AB为⊙O的直径，E为OB的中点，CD为过E点并垂直AB的弦．求∠ACE的度数．27．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，以C为圆心，BC为半径作圆，交AB于D，求的度数．第三页28．如图，△ABC内接于圆O，AD为BC边上的高．若AB=4cm，AC=3cm，AD=2．5cm，求⊙O的半径．29．设⊙O的半径为1，直径AB⊥直径CD，E是OB的中点，弦CF过E点（如图），求EF的长．30．如图，在⊙O中直径AB，CD互相垂直，弦CH交AB于K，且AB=10cm，CH=8cm．求BK∶AK的值．31．如图，⊙O的半径为40cm，CD是弦，A为的中点，弦AB交CD于F．若AF=20cm，BF=40cm，求O点到弦CD的弦心距．32．如图，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆O，且AD=4cm，AB=CB=1cm，求CD的长．三、证明题33．如图，已知△ABC内接于半径为R的⊙O，A为锐角．求证：ABCsin =2R 34．已知：如图，在△ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交△ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE =DE ．35．如图，已知D 为等边三角形ABC 外接圆上的上的一点，AD 交BC 边于E ．求证：AB 为AD 和AE 的比例中项．36．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的圆交BC 于D ．求证：D 为BC 的中点．第四页37．已知：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 交⊙O 于E ．求证：AE 平分∠OA D ．38．已知：如图，△ABC 的AB 边是⊙O 的直径，另两边BC 和AC 分别交⊙O 于D ，E 两点，DF ⊥AB ，交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长线于H ．求证：DF 2=HF ·GF ．39．已知：如图，圆内接四边形ABCD 中，BC =C D ．求证：AB ·AD +BC 2=AC 2．40．已知：如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是中点，DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ，DB 交AC 于G ．求证：AF =FG ．41．如图，AB 是⊙O 的弦，P 是AB 所对优弧上一点，直径CD ⊥AB ，PB 交CD 于E ，延长AP 交CD 的延长线于F ．求证：△EPF ∽△EO A ．42．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M为上一点，AM的延长线交DC于F．求证：∠AMD=∠FM C．43．已知：如图，AB，AC分别为⊙O的直径与弦，CD⊥AB于D，E为⊙O外一点，且AE=AC，BE交⊙O于F，连结ED，CF．求证：∠ACF=∠AE D．44．如图，⊙O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G．求证：AF2=AG2=DF·GE．45．如图，△ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G．求证：AF=AG．第五页46．已知：如图，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O于M，连结CM，交AB于F．求证：OB=3OF．47．已知：如图，△ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DE⊥AC 交圆于E．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求S△ABC∶S△ADE．48．已知：如图，半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过A作⊙O1的直径AC与⊙O2交于点D，且AD∶DC=3∶2，E为DC的中点．（1）求证：AC⊥BE；（2）求AB的长．一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.3.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB 是⊙O 的直径, BC BD ,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.第六页6.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°DCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D 是AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°12.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( )A.40°B.50°C.70°D.110°三、解答题:13.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.A14.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.15.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值.16.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是CAD上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.第七页17.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B，如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素) 18.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?。
28.1.3圆周角和圆心角的关系练习题.doc
28.1 圆周角和圆心角的关系练习一、填空题 :1. 如图 1, 等边三角形 ABC 的三个顶点都在⊙O 上 ,D 是 AC 上任一点 ( 不与 A 、C 重合 ), 则∠ ADC的度数是 _____120°__ _.AADBDEOOBOCCA DB(1) C(2) (3)2. 如图 2, 四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上 , 且 AD ∥BC,对角线 AC 与 BC 相交于点 E, 那么图 中有 _____3____对全等三角形 ;____1____ 对相似比不等于 1 的相似三角形 .3. 已知 , 如图 3, ∠BAC 的补角∠ BAD=100°, 则∠ BOC=__ _160____度 .4. 如图 4,A 、 B 、C 为⊙O 上三点，若∠ OAB=46°, 则∠ ACB=__ _44____度 .CCCOABOEABDAOD B(4)(5)(6)5. 如图 5,AB 是⊙O 的直径 , BC=BD, ∠A=25°, 则∠ BOD 的度数为 ___50_____ 度 .6. 如图 6,AB 是半圆 O 的直径 ,AC=AD,OC=2, ∠CAB= 30 °, 则点 O 到 CD 的距离 OE= 2.二、选择题 :7. 如图 7,D 是 AC 的中点 , 则图中与∠ ABD 相等的角的个数是 ( A )A.4 个B.3个 C.2个D.1个8. 如图 8, ∠AOB=100°, 则∠ A+∠B 等于 ( C ) A.100°C B.80° C.50 ° D.40°C DOABAB（7）（8）三、解答题 : C9. 如图 , ⊙O的直径 AB=8cm,∠CBD=30°, 求弦DC的长 . （ 4） D30A O B10.如图 ,A 、B、C、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O的直径 , 且 AD=6cm,若∠ ABC=∠CAD,求弦长. （3 2）11. 如图 ,AB 为半圆 O的直径 , 弦 AD、BC相交于点P, 若 CD=3,AB=4,求 tan ∠BPD的值 .CPA OAC的73DB答案：1.12 0°2.3 13.160°4.44°5.50°6.27.A8.C9.连接 OC、 OD,则 OC=OD=4cm,∠COD=60°, 故△ COD 是等边三角形 , 从而 CD= 4cm.10.连接 DC,则∠ ADC=∠ABC=∠CAD,故 AC=CD.∵AD是直径 , ∴∠ACD=90°,2 2 2 2 22 . ∴AC +CD=AD, 即 2AC=36,AC =18,AC=311. 连接 BD,则∴ AB 是直径 , ∴∠ ADB=90°.∵∠ C=∠A, ∠D=∠B, ∴△ PCD ∽△ PAB,∴PD CD. PB AB在 Rt△PBD中,cos ∠BPD= PD CD=3, PB AB 4设 PD=3x,PB=4x,则 BD= PB2 PD 2 (4 x) 2 (3x)2 7x ,∴tan ∠BPD= BD7x 7 . PD 3x 3。
圆周角和圆心角的关系-练习题
第3章第4节圆周角和圆心角的关系同步检测一.选择题1.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°答案：A解析：解答：连接OB，OC，∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，:∴∠BOC=90°，∴∠BPC=12∠BOC=45°．故选A．分析：首先连接OB，OC，由正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，可得∠BOC=90°，然后由圆周角定理，即可求得∠BPC的度数．2.如图，都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）A．28°B．31°C．38°D．62°答案：A解析：解答：∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，'∵∠CDB=62°，∴∠B=180°-90°-62°=28°，∴∠ACD=∠B=28°．故选A．分析：利用垂直的定义得到∠DPB=90°，再根据三角形内角和定理求出∠B=180°-90°-62°=28°，然后根据圆周角定理即可得到∠ACD的度数．3.如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（）A．35°B．55°C．70°D．110°答案：B解析：解答：：∵AB是⊙O的直径，、∴∠ACB=90°，∵∠BAC=35°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠ADC=∠ABC=55°．故选B．分析：先根据圆周角定理求出∠ACB=90°，再由三角形内角和定理得出∠ABC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．4.下列命题中，正确的命题个数是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个…答案：A解析：解答：解：①中，该角还必须两边都和圆相交才行．错误；②中，必须是同弧或等弧所对，错误；③正确；④中，必须在同圆或等圆中，错误．故选A．分析：根据圆周角的概念和定理，逐条分析判断．5.如图，已知A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C)答案：A解析：解答：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．故选：A．分析：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．6.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠ACD=35°，则∠BAD=（）A．55°B．40°C．35°D．30°答案：A解析：解答：∵∠ACD与∠B是AD对的圆周角，∴∠B=∠ACD=35°，~∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-∠B=55°．故选A．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由AB 是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，继而可求得∠BAD的度数．7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°答案：D 解析：解答：∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC =40°，！∴∠AOC =2∠ABC =80°．故选：D ．分析：由⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC =40°，根据圆周角定理，即可求得答案．8.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于（ ）A ．55B ． 255C ．2D ．12答案：D解析：解答：∵∠E=∠ABD ，∴tan ∠AED=tan ∠ABD=12AC AB ． 故选D ．、分析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．9.如图，△ABC 的顶点均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC 的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°答案：C解析：解答：∵∠ABC=12∠AOC ， 而∠ABC+∠AOC=90°，∴12∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选：C．】分析：先根据圆周角定理得到∠ABC=12∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以12∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．10.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接，若∠CAB=35°，则∠ADC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°答案：C解析：解答：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=35°，》∴∠B=55°，∴∠ADC=55°．故选C．分析：连接BC，推出Rt△ABC，求出∠B的度数，即可推出∠ADC的度数.11.若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C=1：3：8，则∠D的度数是（）A．10°B．30°C．80°D．120°答案：D解析：解答：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠A+∠C=180°，:即：x+8x=180，∴x=20°，则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，所以∠D=120°，故选D．分析：本题可设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x；利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A.∠C 的度数，进而求出∠B和∠D的度数，由此得解．12.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是（）A．115°B．l05°C．100°D．95°答案：B`解析：解答：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．分析：根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．13.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A.点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．2、答案：C解析：解答：∵四边形ABMO 是圆内接四边形，∠BMO =120°，∴∠BAO =60°，∵AB 是⊙C 的直径，∴∠AOB =90°，∴∠ABO =90°-∠BAO =90°-60°=30°，∵点A 的坐标为（0，3），∴OA =3，∴AB =2OA =6，{∴⊙C 的半径长=2AB =3． 故选：C ． 分析：先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB 的度数，由圆周角定理可知∠AOB =90°，故可得出∠ABO 的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB 的长，进而得出结论．14.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE =70°，则∠BOD =（ ） A ．35° B ．70° C ．110° D ．140°答案：D解析：解答：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A =∠DCE =70°，∴∠BOD =2∠A =140°．}故选D ． 分析：由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A =∠DCE =70°，由圆周角定理知，∠BOD =2∠A =140°．15.如图，已知经过原点的⊙P 与轴分别交于两点，点C 是劣弧OB 上一点，则∠ACB =（ ）A．80°B．90°C．100°D．无法确定答案：B解析：解答：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．、故选B．分析：由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．二.填空题16.如图，△ABC的顶点均在⊙O上，∠OAC=20°，则∠B的度数是答案：70°解析：解答：解：∵OA=OC，∠OAC=20°，∴∠ACO=∠OAC=20°，∴∠AOC=180°-∠ACO-∠OAC=180°-20°-20°=140°，∴∠B=12∠AOC=12×140°=70°．}故答案为：70°．分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ACO的度数，再由三角形内角和定理求出∠AOC的度数，由圆周角定理∠B的度数即可．17.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，∠CAB=50°，点D在⊙O上，则∠ADB的大小为.答案：60°解析：解答：∵∠ABC=70°，∠CAB=50°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=60°，∴∠ADB=∠ACB=60°．故答案为60°．&分析：先根据三角形内角和定理计算出∠ACB的度数，然后根据圆周角定理求解．18.如图，都在⊙O上，∠B=130°，则∠AOC的度数是答案：100°解析：解答：∵都在⊙O上，即四边形ABCD为⊙O内接四边形，∴∠D+∠B=180°，又∠B=130°，∴∠D=180°-∠B=180°-130°=50°，又∠D为⊙O的圆周角，∠AOC为⊙O的圆心角，且两角所对的弧都为，则∠AOC=2∠D=100°．故答案为：100°;分析：由四个点都在圆O上，得到四边形ABCD为圆O的内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补得到∠B与∠D互补，由∠B的度数求出∠D的度数，∠D为圆O的圆周角，所求的角∠AOC是圆O的圆心角，且两角所对的弧为同一条弧，根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由∠D的度数可求出∠AOC的度数．19.如图，四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是答案：20°解析：解答：∵OC⊥AB，∴AC BC∴∠CDB=12∠AOC，而∠AOC=40°，∴∠CDB=20°．故答案为20°．;分析：由OC⊥AB，根据垂径定理得到弧AC=弧BC，再根据圆周角定理得∠CDB=12∠AOC，而∠AOC=40°，即可得到∠BDC的度数．20.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，若AC与以AB为直径的⊙O相交于点D，则∠BOD 的度数是度.答案：100解析：解答：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，∴∠A=50°，∵∠BOD=2∠A，∴∠BOD=100°．故答案为：100．分析：先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据圆周角定理即可求得∠BOD的度数．$三.解答题21.请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．答案：①如图（1），当点O在∠BAC的一边上时，∵OA=OC，∴∠A=∠C，∵∠BOC=∠A+∠C，∴∠BAC=12∠BOC；②如图（2）当圆心O在∠BAC的内部时，延长BO交⊙O于点D，连接CD，则—∠D=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC=OD，∴∠D=∠OCD，∵∠BOC=∠D+∠OCD（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），∴∠BOC=2∠A，即∠BAC=12∠BOC．③如图（3），当圆心O在∠BAC的外部时，延长BO交⊙O于点E，连接CE，则∠E=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC=OE，∴∠E=∠OCE，/∵∠BOC=∠E+∠OCE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠BOC=2∠A，即∠BAC=12∠BOC．解析：分析：分别从当点O在∠BAC的一边上时，当圆心O在∠BAC的内部时与当圆心O 在∠BAC的外部时，去分析证明，即可证得结论．22.如图所示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=22，试求⊙O的半径大小．答案：∵∠BAC=45°，∴∠B0C=90°，∵BC2∴OB=OC=2．.即⊙O的半径为2．解析：分析：根据圆周角定理，可求∠B0C=90°，即可知△BOC为等腰直角三角形，故可求0B=OC=1．23.已知⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径，求弦所对的圆心角和圆周角的度数．答案：画出图形：连接，∵AB=OA=OB，∴∠AOB=60°．分两种情况：①在优弧上任取一点C，连接CA，CB，{则∠C=12∠AOB=30°，②在劣弧上任取一点D，连接，∵四边形ADB C是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°-∠C=150°．综上所述，弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．解析：分析：根据已知条件得出△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，再根据弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，然后分类讨论，即可得出答案．24.如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角∠ACB=60°，求⊙O的直径．答案：3$解析：解答：过A点作直径AD，连接BD，如图，∠ABD=90°，又∵∠ADB=∠ACB=60°，∴∠BAD=30°，而AB=3cm，∴BD=3，∴AD=2BD=23（cm），即⊙O的直径为23cm．故答案为：23．分析：过A点作直径AD，则∠ABD=90°，∠ADB=∠ACB=60°，在Rt△ABD中，AB=3cm，利用三边的数量关系可求出AD．25.如图，在半径为6cm的圆中，弦AB长63cm，试求弦AB所对的圆周角的度数．答案：如图，设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P，劣弧上所对的圆周角为∠P′，连接OA，OB，过O点作OC⊥AB，垂足为C，由垂径定理，得AC=12AB3，在Rt△AOC中，OA=6，sin∠AOC=33362 ACOA==，解得∠AOC=60°，所以，∠AOB=2∠AOC=120°，根据圆周角定理，得∠P =12∠AOB =60°， 又APBP ′为圆内接四边形，所以，∠P′=180°-∠P=120°，故弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°解析：分析：设弦AB 在优弧上所对的圆周角为∠P ，劣弧上所对的圆周角为∠P ′，连接OA ，OB ，过O 点作OC ⊥AB ，垂足为C ，由垂径定理可知AC =12AB ，解直角三角形得∠AOC 的度数，由垂径定理可知，∠AOB =2∠AOC ，由圆周角定理得∠P =12∠AOB ，利用∠P 与∠P ′的互余关系求∠P ′．|。
圆周角和圆心角的关系(中考题目)
圆周角和圆心角的关系之青柳念文创作-----中考链接才能提升题一．选择题（共12小题）1．（2013•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A颠末原点O，而且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（）A． 3 B． 4 C．5 D．82．（2013•珠海）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，毗连AE，则∠AEB 的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°3．（2013•湛江）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（）A．25°B．35°C．55°D．70°4．（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，毗连BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．O F=CF D．∠DBC=90°5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A． 4 B． 5 C．6 D．76．（2013•苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°7．（2013•日照）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，毗连BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论纷歧定成立的是（）A．BD⊥AC B． AC2=2AB•AEC．△ADE是等腰三角形D． BC=2AD 8．（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（）A． 4B． 5 C．4 D．39．（2013•济南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足是D，则BD的长为（）A． 2 B． 3 C．4 D．610．（2013•临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°11．（2013•红河州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A． AD=DC B．C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA 12．（2013•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那末AB的值为（）A． 3 B．2C．3D．2二．填空题（共6小题）13．（2013•淄博）如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=_________ ．14．（2013•黔西南州）如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为_________ ．15．（2013•盘锦）如图，⊙O直径AB=8，∠CBD=30°，则CD= _________ ．16．（2013•常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= _________ ．17．（2012•徐州）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC=8，BC=6．则sin∠ABD=_________ ．18．（2012•泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为_________ ．三．解答题（共4小题）19．（2013•武汉）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，毗连PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=AP；（2）如图②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值．20．（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另外一个交点为E，毗连AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．21．（2013•哈尔滨）如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，AD=AE．（1）求证：AB=AC（2）若BD=4，BO=2，求AD的长．22．（2012•大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O 交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的间隔．参考答案一．选择题（共12小题）1． C2． A．3． B．4． C．5． B．6． C．7． D．8．B．9． C．10． B．11． D．12． A．二．填空题（共6小题）13．．14．50°．15． 4．16． 2．17．．18．．三．解答题（共4小题）19．解：（1）∵∠BPC=60°，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴∠APC=∠ABC=60°，而点P是的中点，∴∠ACP=∠ACB=30°，∴∠PAC=90°，∴tan∠PCA==tan30°=，∴AC=PA；（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，保持OP交AB于E，如图，∵AB=AC，∴AD平分BC，∴点O在AD上，保持OB，则∠BOD=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴sin∠BOD=sin∠BPC==，设OB=25x，则BD=24x，∴OD==7x，在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，∴AB==40x，∵点P是的中点，∴OP垂直平分AB，∴AE=AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，在Rt△AEO中，OE==15x，∴PE=OP﹣OE=25x﹣15x=10x，在Rt△APE中，tan∠PAE===，即tan∠PAB 的值为．20．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．21．解：（1）毗连BE，CD，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=∠BEC=90°，∴∠ADC=∠AEB=90°，在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵，∴△ABE≌△ACD，∴AB=AC．（2）∵BO=2，∴BC=4，在Rt△BDC中，CD==8，设AD=x，则AC=AB=x+4，在Rt△ADC中，82+x2=（x+4）2，解得：x=6．即AD=6．22．解：（1）毗连BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC=90°，∵D是AC中点，∴BD是AC的垂直平分线，∴AB=BC，∴∠A=∠C，∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，即∠ACB=30°；（2）过点A作AE⊥BC于点E，∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，∴cos30°==，∴CD=，∵AD=CD，∴AC=3，∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，∴AE=×3=．。
圆心角圆周角练习试题
知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1圆心角定义：顶点在 __________ 的角叫做圆心角2. 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等圆心角所对的弧（都是优弧或都是劣弧）相等圆心角所对的弦相等3. 一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在_______ ；（2）角的两边都是与圆有除顶点外的交点。
4. 同一条弧所对的圆周角有___________ 个15. 圆周角定理：圆周角二一圆心角26. 圆周角定理推论：（1 ）同弧或等弧所对的圆周角相等（2 ）半圆或直径所对的圆周角相等（3）90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。
7. 圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 ____________ ，这个圆叫做_________________ 。
性质：圆内接四边形的对角________径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧3.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（） A •相等弦所对的弧相等 B •相等弦所对的圆心角相等 C .相等圆心角所对的弧相等 D •相等圆心角所对的弦相等5、如图，在O O 中，若C 是BD 的中点，则图中与/ BAC 相等的角有（）6、如图，若 AB 是O O 的直径，AB=10cm ，/ CAB=30 ° 贝U BC= ________ cm .夯实基础1如果两个圆心角相等，那么（ ） A •这两个圆心角所对的弦相等； C .这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 B •这两个圆心角所对的弧相等 D .以上说法都不对2•下列语句中不正确的有（ ①相等的圆心角所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形,任何一条直A.3个B.2个C.1个D.以上都不对AOB=80 ，则/ ACB=(4、如图，在O O 中,AB =AC ，/ B=70 ° 则/ A 等于A.1个B.2个C.3个D.4个DA. 80°B. 70°C. 60°D. 408、圆内接四边形ABCD , / A, / B , / C的度数之比为3: 4: 6,则/ D的度数为（）A. 60B. 80C. 100D. 1209、已知如图，四边形ABCD内接于O O,若/ A = 60 °,则/ DCE = _______________ .题型一：利用圆心角圆周角定理求角度1、如图，AB是O O的直径，C,D是BE上的三等分点，/ AOE=60 °，则/ COE是（）A. 40°B. 60°C. 80°D. 120 °2、如图，AB 是O O 的直径，BC =B D, / A=253、已知圆0的半径为5,弦AB的长为5,则弦AB所对的圆心角/ AOB= ______________ .14、在O 0中，弦AB所对的劣弧为圆周的一，圆的半径等于12,则圆心角/ AOB = __________4弦AB的长为___________ .5、如图，AB是O 0的直径，点C在O 0上，若/ A=40 0,则/ B的度数为（）B6、如图，在△ ABC 中，AB 为O O 的直径，/ B=60° , Z BOD=100°，则/ C 的度数为（ ）A . 80 oB . 60 oC . 50 oD . 40 o10、如图，O O的弦CD与直径AB相交，若/ BAD= 50°，则/ ACD = __________11、如图，AB是O O的直径，点C是圆上一点，/ BAC=70 °,则/ OCB= __________7、如图，AB、CD是O O的两条弦，连接( )A.40 °B.50 °C.60°D.70 °度.12、如图，在Rt△ ABC中，/ C=90 ° / A=26 °以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AC于点D、点E,则弧BD的度数为（）题型二：利用圆心角圆周角的性质定理求线段1、在O O中，圆心角/ AOB=90° ,点O到弦AB的距离为4,则O O的直径的长为（）A.4B.8 2C.24D.16 2、如图，O O是厶ABC的外接圆，/ B=60° OP丄AC于点P, OP=2』3，则O O的半径为（）A. 4、、3B. 6C. 8D. 123、如图，△ ABC 内接于O O, / BAC=120,AB=AC , BD 为O O 的直径，AD=6 ,贝UDC=题型三：利用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系证明弧相等，线段相等，角度相等1、如图，在O O 中,AB = AC，/ACB= 60°，求证/ AOB=Z BOC=Z AOC.AB、D. 128 °在O O 上.(1)求证：AM = BN；(2)若C、D分别为OA、OB中点，贝U AM = MN二NB成立吗?AD , BD的长.5、如图，AB是O O的直径，C是BD的中点，CE丄AB于E, BD交CE于点F .(1)求证：CF = BF;(2 )若CD = 6, AC = 8，则O O的半径为_________ , CE的长是_____ .2.如图，在O O中, C、D是直径AB上两点，且AC=BD , MC 丄AB , ND 丄AB , M、N?3、如图, 以O O的直径BC为一边作等边△ABC,AB 、AC 交O O 于D、E,求证：BD=DE=EC4、如图, O O的直径AB为10cm，弦AC 为6cm, / ACB的平分线交O O于D,求BC ,B作业1如图，AB是O O的直径，枚壬CD=DE,/ COD=34 °则/ AEO的度数是（）2、圆中有两条等弦AB=AE ,夹角/ A=88 °延长AE到C,使EC=BE，连接BC,如图.则 / ABC的度数是（）A. 90°B. 80°C. 69°D. 653. ____________________________________________________________ 如图所示O O中，已知/ BAC= / CDA=20 °则/ ABO的度数为 _______________________________A. 51°B. 56°C. 68°D. 78rB4. 如图，A , P, B , C是半径为8的O O上的四点，且满足/ BAC= / APC=60°,(1)求证：△ ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD .5、如图，O O是厶ABC的外接圆，AB是O O的直径，D为O O上一点，OD丄AC,垂足为E,连接BD(1)求证：BD平分/ ABC ;(2)当/ ODB=30 时，求证：BC=OD .山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。
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圆周角和圆心角的关系 同步练习
一、填空题:
1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是 AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是
________.
D C
B
A
O
(1) (2) (3)
2.如图2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.
3.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.
4.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度
.
B
A
A
(4) (5) (6)
5.如图5,AB 是⊙O 的直径, BC
BD ,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________. 6.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
二、选择题:
7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°
D
D
C
B
A
(7) (8) (9) (10)
8.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
9.如图9,D 是
AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°
11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°
三、解答题:
13.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.
14.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.
15.如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD 的值.
16.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB⊥CD.
(1)P 是 CAD
上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.
17.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a 的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?
B
A
答案：
1.120°
2.3 1
3.160°
4.44°
5.50° 6 7.A 8.C 9.B 10.C 11.B 12.C 13.连接OC 、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD 是等边三角形,从而CD= 4cm. 14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.
∵AD 是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC 2
+CD 2
=AD 2
,即2AC 2
=36,AC 2
. 15.连接BD,则∴AB 是直径,∴∠ADB=90°. ∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴PD CD
PB AB
=
. 在Rt△PBD 中,cos∠BPD=PD CD PB AB =
=3
4
, 设PD=3x,PB=4x,
则==,
∴tan∠BPD=
BD PD =. 16.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB⊥CD,AB 是直径,
∴ BC
BD =,∴∠COB= ∠DOB. ∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD. (2)∠CP′D+∠COB=180°. 理由如下:连接P′P,
则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.
∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.
∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB, 从而∠CP′D+∠COB=180°.
17.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN 的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B 处对MN 的张角较大,在B 处射门射中的机会大些.
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