【全国百强校】北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期期中模拟练习数学(理)试题(扫描版,
题解析精编版：北京市海淀区中国人民大学附属中学2019届高三上学期期中教学质量检测文数试题解析(解析版)
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{|12}A x Z x =∈-≤≤，集合{0,2,4}B =，则A B =（ ）A ．{0,2}B ．{0,2,4}C ．{1,0,2,4}-D ．{1,0,1,2,4}- 【答案】A 【解析】试题分析：由已知{1,0,1,2}A =-，所以{0,2}A B =．故选A ．考点：集合的运算．2. 下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．ln y x = B ．3y x = C ．3xy = D ．sin y x = 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果12a =，3522a a +=，那么3S =（ ） A ．8 B ．15 C ．24 D ．30 【答案】B 【解析】试题分析：3512622a a a d +=+=，又12a =，所以3d =，3133323315S a d =+=⨯+⨯=．故选B ．考点：等差数列的前n 项和．4. 设函数()y f x =的定义域为R ，则"(0)0"f =是“函数()f x 为奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：充分必要条件． 5. 已知3cos 4α=，(,0)2πα∈-，则sin 2α的值为（ ）A ．38 B ．38- C D ．【答案】D 【解析】试题分析：由题意sin α===，所以sin 22sin cos ααα=32(4=⨯⨯=，故选D ． 考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式． 6. 设0x >，且1x x b a <<，则（ ）A ．01b a <<<B ．01a b <<<C ．1b a <<D ．1a b << 【答案】C 【解析】试题分析：由0x >，1xb >得1b >，同理1a >，又由1xxa b >>得()1x x x a a b b =>，所以1ab>，所以1a b >>，故选D ． 考点：指数函数的性质．7. 函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A ．0,0,0,0a b c d <<>> B ．0,0,0,0a b c d ><<> C ．0,0,0,0a b c d ><>> D ．0,0,0,0a b c d >>><【答案】C考点：函数的图象，函数的极值，二次方程根的分布． 【名师点睛】函数的极值（1）设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大（小），则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大（小）值． （2）求函数的极值的一般步骤先求定义域D ,再求导，再解方程'()0f x =（注意和D 求交集），最后列表确定极值。
人大附中2019-2020上高一数学期中答案(1)(1)
人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学练习& 必修1模块考核试卷答案一卷一、选择题（每题5分，共40分）1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．C 二、填空题（每题5分，共30分）9．{(3,−7)} 10．{−1,1} 11．30 12．(−3,0) 13．①②③④ 14．[−5,0] 三、解答题（每题10分，共30分）15．设全集是实数集R ，A ={x|2x 2−7x +3≤0}，B ={x|x 2+a <0}。
（1）当a =−4时，求A ∩B 和A ∪B ； （2）若(∁R A )∩B =B ，求实数a 的取值范围。
解：（1）因为A ={x|12≤x ≤3}，-------------------1‘当a =−4时，B ={x|−2<x <2}--------------------2‘ 所以A ∩B ={x|12≤x <2}-------------------------3‘ A ∪B ={x|−2<x ≤3}----------------------------4‘ （2）∁ℝA ={x|x <12或x >3}----------------------5‘因为(∁ℝA)∩B =B ，所以B ⊆∁ℝA ------------------6‘ 当B =∅即a ≥0时，满足B ⊆∁ℝA -----------------7‘ 当B ≠∅即a <0时，-----------------------------8‘ √−a ≤12，解得−14≤a <0-----------------------9‘ 综上，实数a 的取值范围为[−14,+∞)---------------10‘16．已知二次函数f (x )=x 2+2bx +c (b,c ∈R )。
（1）若f (x )≤0的解集为{x|−1≤x ≤1}，求实数b,c 的值；（2）若c =b 2+2b +3，设x 1、x 2是关于x 的方程f (x )=0的两根，且(x 1+1)(x 2+1)=8，求b 的值；（3）若f (x )满足f (1)=0，且关于x 的方程f (x )+x +b =0的两个实数根分别在区间(−3,−2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围。
【全国百强校】北京市人民大学附属中学2019届高三年级上学期期中模拟练习数学试题
R2 32 2 2 2 人大附中 2019 届高三年级第一学期期中模拟练习数 学（理）2018.10.29一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合 P = {x ∈ R 1 ≤ x ≤ 3}, Q = {x ∈ R x 2≥ 4}, 则 P (ð Q ) = （ B ）A ．[2,3]B ．( - 2,3 ]C ．[1,2)D ． (-∞, -2] [1, +∞)2. 设命题 p ： ∀x > 0,2x > log x ，则⌝p 为（ B ）A ． ∀x > 0, 2x≤ log x B ． ∃x > 0, 2x≤log x C ． ∃x ≤ 0, 2x≤ log xD ． ∀x > 0, 2x ≥log x3．设 a = log 0.7 ， b = 21.1， c = 0.83.1，则( D )A. b < a < cB. c < a < bC. c < b < aD. a < c < b4. 函数 y = f (x ) 的图象如图所示，则 f (x ) 的解析式可以为( C )A. f ( x ) = 1 - x 2xC. f (x ) = 1- exxB. f (x ) = 1- x 3xD. f (x ) = 1- ln xx5. 设 a ，b 为两个非零向量，则“a b =| a b |”是“a 与 b 共线”的（ DA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设等差数列{a } 的公差为 d ，前 n 项和为 S .若a = d = 1，则S n + 8 的最小值为（ B ）n9 （A ）10（B ）27 （C ）2n 1n（D ） 1+ 2 27. 设函数 f (x ) = 2sin(ωx + ϕ) ， x ∈ R ，其中ω> 0 ， |ϕ|< π .若 f (5π) = 2 ， f (11π) = 0 ，且88 f (x ) 的最小正周期大于 2π ，则 ( A )A.ω= 2 ，ϕ=π B.ω= 2 ，ϕ= -11π3 12 3 12 C. ω= 1 ，ϕ= -11π D.ω= 1 ，ϕ= 7π3 243 242a8.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H+] ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[OH-] ）的乘积等于常数10-14 ．已知pH 值的定义为pH =-lg[H+] ，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45 之[H+]间，那么健康人体血液中的[OH-]可以为( C )（参考数据：lg 2 ≈ 0.30 ，lg 3 ≈ 0.48 ）A.12B.13C.16D.110二、填空题：本大题共 6 小题，每小题5 分，共30 分．把答案填在答题卡上．3π9．已知向量a＝(3,－1)，b＝(－2,4)，则向量a 与b 的夹角为.410.方程3sin x =1+ cos 2x 在区间[0,2π]上的解为11.已知函数f ( x) 同时满足以下条件：π或5π 6 6①定义域为R ；②值域为[0,1] ；③试写出一个函数解析式f ( x) = .f ( x) -f (-x) = 0 .cos x + 1 ⎧x2 , -1 ≤x ≤ 1,f ( x) =| sin x | 或或 f (x) =⎨2 ⎩0,（答案不唯一）x > 1或x <-1.12. 在△ABC 中，∠A = 60︒，AB = 3 ，AC = 2 . 若AE =λAC -AB(λ∈R) ，3BD = 2DC ，且AD ⋅AE =-4 ，则λ的值为.1113.无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和.若对任意n∈N*，Sn∈{2,3}，则k 的最大值为.4当n = 1时，a1= 2或a1= 3；当n 2时，若Sn= 2，则Sn-1= 2，于是an= 0，若S n = 3，则Sn-1= 3，于是an= 0，从而存在k ∈N*，当n k 时，a k = 0 .所以数列⎨⎪ 1 n n n{a n }要涉及最多的不同的项可以为：2,1，−1,0,0 ⋅ ⋅ ⋅ 从而可看出k max = 4 .⎧x 2 + x , 14. 已知函数 f (x ) = ⎪, ⎩ x - 2 ≤ x ≤ c , c < x ≤ 3.若 c = 0 ，则 f ( x ) 的值域是 ；若 f ( x ) 的值域是[- 1 , 2]，则实数c 的取值范围是 ． [- 1 , +∞) ； 1[ 4 4 2,1]三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答题要有详细过程，把答案写在答题卡上．15. (本小题满分 13 分)已知函数 f (x ) = 2sin x ⋅ cos(x - π) .3（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期；（Ⅱ）当 x ∈[0, π] 时，求函数 f (x ) 的取值范围.2 解：因为 f (x ) = 2sin x ⋅ cos(x - π) ，3 所以 f (x ) = 2sin x ⋅ (cos x cos π + sin x sin π)3 3= sin x ⋅ cos x + 3 sin 2 x= 1 sin 2x + 3(1 - cos 2x ) 2 2= sin(2x - π) + 3. ----------- 6 分3 2（Ⅰ）函数 f ( x ) 的最小正周期为T = 2π= π . ┈┈ 8 分2（Ⅱ）因为 x ∈π[0, ] 2 ，所以 2x - π ∈[- π , 2π ] . 3 3 3 所以sin(2x - π) ∈[- 3,1] .3 2所以 f (x ) ∈[0,1 +16．(本小题满分 13 分)3] .┈┈ 13 分2已知等差数列{a n }中， a 1 = -1 ，前12 项和 S 12 = 186 ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n } 满足b n = ( 1 )a n，记数列{b } 的前 n 项和为T ，若不等式T < m ,对所 2有 n ∈ N * 恒成立，求实数 m 的取值范围． 解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为 d ，16 16 1 1∵ a 1 = -1 , S 12 = 186 ，∴ S 12 = 12a 1 +12 ⨯11d ，即 186 = -12 + 66d .2∴ d = 3 ............................................................... 3 分 所以数列{a n } 的通项公式 a n = -1 + (n - 1) ⨯ 3 = 3n - 4 ............................ 5 分（Ⅱ）∵ b n= ( ) 2 an ， a = 3n - 4 ,∴ b n = ( )23n -4 .....................................................................................7 分 ∵ 当 n ≥ 2 时，b n b n -1 = (1)3 2 = 1 ,8 ∴ 数列{b }是等比数列，首项b =1 -1= 2 ，公比 q = 1 ． ............. 9 分n2[1 - 1( 2) 8 (1)n] 16 1∴ T n = 8 = 1 - 1⨯[1 - ( 7 8 )n ] ． ......................11 分∵ ⨯[1 - 78 (1) n] 8 < (n ∈ N *) ， 7 又不等式T n < m 对n ∈ N * 恒成立， 而1 - (1)n单调递增，且当 n → ∞ 时，1 - 8 16 (1) 8n → 1 ，∴ m ≥ 7. ………………13 分17. (本小题满分 13 分)如图，在四边形 ABCD 中， AB / /CD ， AB = 4AC =6 ， DC = 8 ， cos ∠BAC = 9.16求（Ⅰ）边 BC 的长和∆ACD 的面积； （Ⅱ）边 BD 的长.解：（Ⅰ） 在∆ABC 中，BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2AB ⋅ AC ⋅ cos ∠BAC1 分= 42 + 62 - 2 ⨯ 4 ⨯ 6 ⨯ 916= 25BC = 5 2 分因为 AB / /CD ，所以∠BAC = ∠ACD ， 3 分99 又因为cos ∠BAC =16，所以cos ∠ACD =16因为∠ACD ∈[0, π]，所以sin ∠ACD =5 7164 分 n分 7 5 7 3 9 1 1 5 7 15 7 所以 S ∆ACD= ⨯ AC ⨯ CD ⨯ sin ∠ACD = ⨯ 6 ⨯ 8 ⨯ = 2 2 16 26 分（Ⅱ）因为cos ∠BAC =916 所以sin ∠BAC = 且∠BAC ∈[0, π]167 分在∆ABC 中AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2 AC ⋅ BC ⋅ cos ∠ACB = 62 + 52- 2 ⨯ 6 ⨯ 5 ⨯ cos ∠ACB = 16所以cos ∠ACB =8 分4 所以sin ∠ACB = 749 分9 3 1 所以cos ∠BCD = cos(∠BCA + ∠ACD ) = ⨯ -16 4 在∆BCD 中⨯ = - 4 16 810 分 BD 2 = DC 2 + BC 2 - 2BC ⋅ DC ⋅ cos ∠DCB = 82 + 52 - 2 ⨯ 8 ⨯ 5 ⨯ (- 1) = 99812 分所以 BD = 3 11 13 分法二：延长 DC 使得CE = AB = 4, 连接 BE 7 依题可知BE = AC = 6 ， ∠BAC = ∠BEC 9 分所以cos ∠BAC = cos ∠BEC =10 分16在∆BED 中BD 2= DE 2+ BE 2- 2BE ⋅ DE ⋅ cos ∠DCB = 122+ 62- 2 ⨯12 ⨯ 6 ⨯ 9 1612 分= 99 所以 BD = 3 1113 分法三：过 B 作 BG ⊥ DC 交 DC 延长线于点 G ， 7 分依题可知： S ∆ACD = S ∆BCD1 ⨯ AC ⨯ CD ⨯ sin ∠ACD = 1⨯ DC ⨯ BG = 28分所以BG =, CG = 8 25 ,9 分8CG 15 7 15 7 E又cos ∠BCD =-cos ∠BCG =-BC =-10 分80 0 在∆BCD 中BD 2 = DC 2 + BC 2 - 2BC ⋅ DC ⋅ cos ∠DCB = 82 + 52 - 2 ⨯ 8 ⨯ 5 ⨯ (- 1) = 998所以 BD =分12 分或者利用勾股定理 BD 2= DG 2+ BG 2= (8 + 5)2+ (15 7 )2 = 9988所以BD =分18. (本小题满分 13 分)对于函数 f (x ) ，若存在实数 x 0 满足 f (x 0 ) = x 0 ，则称 x 0 为函数 f (x ) 的一个不动点． 已知函数 f (x ) = x 3+ bx + 3 ，其中b ∈ R ．（1） 求 f (x ) 的极值点；（2）若存在 x 0 既是 f (x ) 的极值点，又是 f (x ) 的不动点，求b 的值；解：（Ⅰ） f (x ) 的定义域为(-∞, +∞) ，且 f '(x ) = 3x 2+ b ．[2 分]f '(x ) = 3x 2 + b ．（ⅰ）① 当b ≥ 0 时，显然 f (x ) 在(-∞, +∞) 上单调递增，无极值点． [ 3 分]② 当b < 0 时，令 f '(x ) = 0 ，解得 x =f (x ) 和 f '(x ) 的变化情况如下表：．[4 分]（ⅱ）若 x = x 是 f (x ) 的极值点，则有3x 2+ b = 0 ；若 x = x 是 f (x ) 的不动点，则有 x 3 + bx + 3 = x ．从上述两式中消去b ，整理得 2x 3+ x - 3 = 0 ． [ 10 分]设 g (x ) = 2x 3+ x - 3 ．所以 g '(x ) = 6x 2+1 > 0 ， g (x ) 在(-∞, +∞) 上单调递增． 又 g (1) = 0 ，所以函数 g (x ) 有且仅有一个零点 x = 1 ，0 0 0 即方程 2x 3+ x - 3 = 0 的根为 x 0 = 1， 所以 b = -3x 2= -3 ．[ 13 分]19 (本小题满分 14 分) ln x -1、已知函数 f (x ) =- ax (a ∈ R ) . x（Ⅰ）若 a = 0 ，求曲线 y=f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）若 a < -1 ，求函数 f (x ) 的单调区间； （Ⅲ）若1 < a < 2 ，求证： f (x ) < -1 . 解：（Ⅰ）若 a = 0 ，则 f (1) = -1， f '(x ) = 2 - ln x ， f '(1) = 2 ，x2所以 f (x ) 在点(1，-1) 处的切线方程为 2x - y - 3 = 0 ． ............................ 3 分' 2 - ax 2 - ln x（Ⅱ） x ∈(0, +∞) ， f(x ) =.x 22' -2ax 2 -1令 g (x ) = 2 - ax - ln x ，则g (x ) = ． ----------- 5 分 x令 g '(x ) = 0 ，得 x =．（依题意 - 12a> 0 ）由g '(x ) > 0 ，得 x >；由 g '(x ) < 0 ，得0 < x <．所以， g (x ) 在区间上单调递减，在区间+∞) 上单调递增 ------ 7 分所 以 ，g (x )min = g = 5 -2 ． 因 为 a < -1 ， 所 以 0 < - 1 < 1 ， 2a 2< 0 ． ----------- 8 分所以g (x ) > 0 ，即 f '(x ) > 0 所以函数 f (x ) 的单调递增区间为(0, +∞) ． ------- 9 分 （Ⅲ）由 x > 0 ， f (x ) < -1，等价于ln x -1- ax < -1 ，等价于 ax 2 - x + 1- ln x > 0 . x设 h (x ) = ax 2 - x +1- ln x ，只须证 h (x ) > 0 成立 ----- 10 分' 1 2ax 2 - x -1因为 h (x ) = 2ax -1 - = ，1< a < 2 ，x x由 h '(x ) = 0 ，得 2ax 2 - x -1 = 0 有异号两根.令其正根为 x ，则 2ax 2- x -1 = 0 .0 0n 在(0, x ) 上 h '(x ) < 0 ，在(x , +∞) 上 h '(x ) > 0 .则 h (x ) 的最小值为 h (x ) = ax 2 - x +1- ln x= 1+ x 0 - x+1- ln x 0= 3 - x 0- ln x . -----------12 分 0 0 0 02 00 2又 h '(1) = 2a - 2 > 0 ， h '(1) = 2( a - 3) = a - 3 < 0 ，2 2 2所以 1< x < 1. 3 - x 0 > 0, -ln x > 0 . 因此 3 - x 0 - ln x > 0 ，即 h (x ) > 0 .所以 h (x ) > 02 0 2 0 20 0所以 f (x ) < -1 ................................ 14 分 20. (本小题满分 14 分)若无穷数列{a }满足：只要 a = a ( p , q ∈ N *，p ≠ q ) ，必有 a = a ，则称{a }具有性质P .（1）若{a n }具有性质P ，且 a 1 = 1, a 2 = 2, a 4 = 3, a 5 = 2 ， a 6 + a 7 + a 8 = 21 ，求 a 3 ；（2） 若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列， b 1 = c 5 = 1，b 5 =c 1 = 81 ， a n = b n + c n ，判断{a n }是否 具有性质P ，并说明理由；（3） 设{b }是无穷数列，已知 a= b + sin a (n ∈ N * ) .求证：“对任意a ,{a } 都具有性nn +1nn1n质P ”的充要条件为“{b n }是常数列”.【答案】（1）16 ；（2）{a n }不具有性质P ，理由见解析；（3）见解析． （1）因为 a 5 = a 2 ，所以 a 6 = a 3 ， a 7 = a 4 = 3 ， a 8 = a 5 = 2 ．于是 a 6 + a 7 + a 8 = a 3 + 3 + 2 ，又因为 a 6 + a 7 + a 8 = 21，解得a 3 = 16 ． --- 3 分 （2） {b }的公差为 20 ，{c }的公比为 1，nn3⎛ 1 ⎫n -1所以b n = 1+ 20(n -1) = 20n -19 ，c n = 81⋅ ⎪ = 35-n． ⎝ 3 ⎭a =b +c = 20n -19 + 35-n ． ------------------------------------- 5 分nnna 1 = a 5 = 82 ，但 a 2 = 48 ， a 6 =304 3， a 2 ≠ a 6 ， --------------------- 6 分所以{a n }不具有性质P ． ---------------------------------------------------------------- 7 分（3） 充分性：当{b n }为常数列时， a n +1 = b 1 + sin a n ．对任意给定的 a 1 ，只要a p = a q ，则由b 1 + sin a p = b 1 + sin a q ，必有a p +1 =a q +1 ． 充分性得证． --------------------------------------------- 10 分n 必要性：用反证法证明．假设{b }不是常数列，则存在 k ∈ Ν*，使得b 1 = b 2 = ⋅⋅⋅ = b k = b ，而b k +1 ≠ b ．下面证明存在满足 a n +1 = b n + sin a n 的{a n }，使得 a 1 = a 2 = ⋅⋅⋅ = a k +1 ，但 a k +2 ≠ a k +1 ．-------------------------11 分-------------------------------------------13 分综上，“对任意 a 1 ，{a n }都具有性质P ”的充要条件为“ {b n }是常数列”． ----------14 分。
【全国百强校】北京师大附中2019届第一学期高三期中考试数学(文科)试卷
绝密★启用前北京师大附中2019届第一学期高三期中考试数学（文科）试卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若集合A ={x |x −4<0}，B ={x |e x >1}，则A ∩B =（） A ．R B ．(−∞,4) C ．(0,4) D ．(4,+∞)2．在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过点M （−1，2），则sin2α=（） A ．−25B ．25C ．45D ．−453．已知数列 a n 满足a n +1=a n +3,S 5=10，则a 7为（） A ．14B ．12 C ．15 D ．224．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (1,0),B (1,1)，设OP =OA +kOB (k ∈R )，且OB ⊥OP ，则 OP =（） A ．2 B ． 2 C ． 22 D ．125．已知m 、n 表示两条不同直线，α表示平面，则下列说法正确的是（） A ．若m //α，n //α，则m //n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α D ．若m //α，m ⊥n ，则n ⊥α6．若x , y 满足 x ≤3,x +y ≥2,y ≤x ,则y −2x 的最大值为（）A．−6B．−1C．−4D．87．在ΔABC中，“a=2,b=7,B=60°”是“cos A=277”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则AM⋅BP的取值范围是（）A．[−1,0]B．[−12,0]C．[−34,12]D．[−34,0]…………外…………………订………班级：___________考号：____…………内…………………订………第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题9．若向量a =(1， 2)与向量b =(λ ，−1)共线，则实数λ=___________ .10．等比数列 a n 的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列. 若a 1=1，则S 3=______. 11．已知函数f (x )= log 12x ,x >12x −1,x ≤1 ，则f (x )的最大值为______；若关于x 的方程f (x )=a有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是.12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为______,最长的棱长为_____________13．已知数列 a n 的通项公式为a n =n 2−kn ，请写出一个能说明“若 a n 为递增数列，则k ≤1”是假命题的k 的值_____________14．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述错误的的是______________ ①甲只能承担第四项工作 ②乙不能承担第二项工作③丙可以不承担第三项工作 ④丁可以承担第三项工作三、解答题…外……………装…………※※不※※要※※在※※装…内……………装…………15．已知函数f (x )= 3sin(2x +π6)−2sin x cos x +1.（Ⅰ）求函数f (x )的单调递增区间；（Ⅱ）当x ∈[−π4, π4]时，求函数f (x )的最大值和最小值.16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 8=4，a 13=14. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）在公比为q (q >1)的等比数列{b n }中，b 2=a 8，b 1+b 2+b 3=a 13，求q +q 4+q 7+...+q 22.17．在锐角ΔABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足 3a −2b sin A =0． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a +c =5，b = 7，求ΔABC 的面积．18．如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA=SD ，E ，P ，Q 分别是棱AD ，SC ，AB 的中点． （Ⅰ）求证：PQ ∥平面SAD ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面SEQ ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S -ABC 的体积．19．设点F 为椭圆E :x 2a +y 2b =1(a >b >0)的右焦点，点P (1,32)在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线与椭圆相交于，两点，记ΔABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.20．已知函数f (x )=(x −2)ln x +2x −3 （Ⅰ）求曲线y =f (x )在x =1处的切线方程； （Ⅱ）当x ≥1时，求f (x )的零点个数； a (x−1)49参考答案1．C【解析】【分析】由题意，先求出集合A={x|x<4}，B={x|x>0}，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|x−4<0}={x|x<4}，B={x|e x>1}={x|x>0}，则A∩B={x|0<x<4}，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合A,B，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．D【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得sinα=5cosα=5，再由正弦的倍角公式，代入即可求解.【详解】由题意，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点M(−1,2)，根据三角函数的定义可得sinα=5cosα=5，又由正弦的倍角公式可得sin2α=2sinαcosα=2×5×(5)=−45，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解中熟记三角函数的定义，及正弦函数的倍角公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.3．A【解析】【分析】由题意，根据题设条件，根据等差数列的通项公式和前n项和公式，求得a1,d，进而求解答案.【详解】设等差数列的公差为d，由题意数列a n满足a n+1=a n+3，即d=a n+1−a n=3，又由S5=5a1+5×42d=10，解得a1=−4，则a7=a1+6d=−4+6×3=14，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项公式，准确计算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】利用已知条件表示出向量OP，通过∠BOP=900，求出k，然后求解结果，得到答案.【详解】由题意可得OA=(1,0),OB=(1,1)，则OP=OA+kOB=(k+1,k)，又由OB⊥OP，则OB⋅OP=(1,1)⋅(k+1,k)=2k+1=0，解得k=−12，即OP=(12,−12)，所以 OP=(12)2+(−12)2=22，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，及向量的数量积的运算公式，合理列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．B【解析】如图, AD∥平面EFGH,DC∥平面EFGH,但AD,DC相交,A错;DG⊥平面EFGH,DG⊥FG,但FG⊂平面EFGH,C错;DC∥平面EFGH,DC⊥BC,但BC∥平面EFGH,D错;故本题选B6．B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得到答案.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数z=y−2x，可化为y=2x+z，结合图象可知，当直线y=2x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，又由x+y=2y=x，解得A(1,1)此时z有最大值为z=1−2×1=−1，故选B.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.7．A【解析】【分析】在三角形中，根据正弦定理，分别求解cos A的值，反之利用正弦定理求得sin B，得到B，再根据充分不必要条件的判定方法，即可求解.【详解】在ΔABC中，由正弦定理可得asin A =bsin B，解得sin A=absin B=70=217，又由a<b，则A<600，所以cos A=2A=277，又由在ΔABC中，若cos A=277，则sin A=217，由正弦定理sin B=ba sin A=72×217=32，则B=1200或600，所以“a=2,b=B=600”是“cos A=277”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中在三角形中合理使用正弦定理，及充分不必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 8．D【解析】如图，由AB=1，BC=2，可得AC=3，以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，），直线BC方程为x3=1，则直线AM方程为y=33x，联立，解得：M（34，34），由图可知，当P在线段BC上时，AM⋅BP有最大值为0，当P在线段AC上时，AM⋅BP有最小值，设P（0，y）（0≤y≤3），∴AM⋅BP=（34，34）⋅（−1，y）=−34+34y≥−34．∴AM⋅BP的范围是[−34，0]故选D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键．9．−12；【解析】【分析】由向量a=(1， 2)与向量b=(λ ，−1)共线，列出方程1λ=2−1，即可求解.【详解】由向量a=(1， 2)与向量b=(λ ，−1)共线，则1λ=2−1，解得λ=−12.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量的共线的坐标表示，其中解答中熟记向量共先的坐标表示方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．7 ；【解析】【分析】由题意，设等比数列a n的公比为q，由4a1，2a2，a3成等差数列，求得q=2，进而求解数列的和.【详解】由题意，设等比数列a n的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，即4a2=4a1+a3，则4a1q=4a1+a1q2，又由a1=1，所以q2−4q+4=0，解得q=2，所以S3=a1+a1q+a1q2=1+2+4=7.【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式和等比数列的前n项和公式的应用，其中根据等差数列和等比数列的基本量的运算，列出方程求解等比数列的公比是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.11．1 ；(−1,0)【解析】【分析】由题意，函数f(x)的解析式，分别求解，每段函数的值域，即可得到函数的最大值；又由关于x的方程f(x)=a有且只有两个不相等的实数根，转化为y=f x与y=a的图象由两个不同的交点，结合图象可知，即可求解.【详解】由题意，函数f(x)=log12x,x>12x−1,x≤1，则当x>1时，log12x<0，当x≤1时，2x−1≤1，所以f(x)的最大值为1，作出函数f(x)=log12x,x>12x−1,x≤1的图象，如图所示，又由关于x的方程f(x)=a有且只有两个不相等的实数根，即y=f x与y=a的图象由两个不同的交点，结合图象可知，实数a的取值范围是(−1,0).【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，及分段函数的图象的应用，其中解答中把关于x的方程f(x)=a有且只有两个不相等的实数根，转化为y=f x与y=a的图象由两个不同的交点，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12．105【解析】【分析】由给定的三视图可得该几何体表示一个的三棱锥，结合锥体的体积公式和几何体的结构特征即可求解.【详解】由给定的三视图可得该几何体表示一个底面边长分别为5和3的直角三角形，高为4的三棱锥A−BCD，如图所示，由四棱锥的体积公式，可得V=13S =13×12×5×3×4=10，结合该三棱锥的结构特征，可得最长的棱为AD，则AD=32+52+42=52.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解. 13．(1,3)内任意一个数均可【解析】【分析】由题意，数列a n为递增数列，转化a n+1−a n>0,n∈N+恒成立，求得实数k<3，进而可得得到答案.【详解】由题意，数列a n的通项公式为a n=n2−kn，若a n为递增数列，则a n+1−a n=(n+1)2−k(n+1)−n2+kn=2n+1−k>0,n∈N+恒成立，即k<2n+1,n∈N+恒成立，所以实数k<3，所以“若a n为递增数列，则k≤1”是假命题的k的值可取(1,3).【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，数列的单调性，不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据数列的单调性和不等式的恒成立，求得实数k的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14．①③④【解析】【分析】由表可知，五项工作后获得的效益综合最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取值，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项工作，甲承担第二项工作，在由戊承担第四项工作，即可得出结论.【详解】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，要使得总和最大，甲可以承担第一或四项工作，并只能承担第三项工作，丁则不可以承担工作，所以丁承担第五项工作，乙若承担第四项工作，戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；以若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15=79，所以乙不承担第二项工作，所以①③④不正确.【点睛】本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).15．（Ⅰ）[kπ−5π12 , kπ+π12] ,k∈Z；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意f x=sin(2x+π3)+1，根据三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由题意x∈[−π4, π4]，得2x+π3∈[−π6, 5π6]，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（Ⅰ）f(x)=3(32sin2x+12cos2x)−sin2x+1=1sin2x+3cos2x+1=sin(2x+π)+1由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，所以，函数f(x)的单调递增区间是[kπ−5π12 , kπ+π12] ,k∈Z；（Ⅱ）f(x)=sin(2x+π3)+1，由x∈[−π4, π4]，得2x+π3∈[−π6, 5π6]，当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)有最大值f(π12)=1+1=2；当2x+π3=−π6，即x=−π4时，f(x)有最大值f(−π4)=−12+1=12；【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视函数的定义域导致错解，试题难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.16．（Ⅰ）a n=2n−12 . （Ⅱ）27(224−1)；【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意，求得a1,d的值，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）依题意，列出方程组，求得q的值，再利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知可得a1+7d=4，a1+12d=14，解得d=2，a1=−10.所以a n=−10+2(n−1)=2n−12 .（Ⅱ）依题意，b1q=4，b1+b1q+b1q2=14，即b1q=4，b1+4q=10，消去b1，得2q2−5q+2=0，解得q=2或q=12（舍），当q=2时，q+q4+q7+...+q22=27(224−1)；【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.17．(1)∠B=π3；（2）S△ABC=12ac sin B=332【解析】本试题主要是考核擦了解三角形的运用。
北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考(二)文科数学试题(解析版)
北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期文科月考（二）数学试题一、选择题（本大题共8小题）1.已知集合，=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，又，∴.考点：1.对数函数的性质；2.集合之间的运算.2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【详解】解：A．f（﹣x）＝（﹣x）2+sin（﹣x）＝x2﹣sin x，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），则函数f （x）为非奇非偶函数；B．f（﹣x）＝（﹣x）2﹣cos（﹣x）＝x2﹣cos x＝f（x），则函数f（x）是偶函数；C．f（﹣x）2x f（x），则函数f（x）是偶函数；D．f（﹣x）＝﹣x+sin2（﹣x）＝﹣x﹣sin2x＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，故选：A．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义进行判断，是解决本题的关键．3.已知函数，则的值是A. B. C. 24 D. 12【答案】B【解析】,选B.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.4.已知平面向量，，则A. B. 3 C. D. 5【答案】A【解析】因为平面向量，所以，所以，故选A.5.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选B．考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．6.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，且，则A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】运用余弦定理：，解关于b的方程，结合，即可得到．【详解】，，且，由余弦定理可得，，即有，解得或4，由，可得．故选：B．【点睛】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．7.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为偶函数，所以在上的解集为：.故选B.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.8.如图，长方形ABCD的边，，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则的图象大致为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【详解】由已知得，当点P在BC边上运动时，即时，；当点P在CD边上运动时，即时，，当时，；当点P在AD边上运动时，即时，，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知等差数列前9项的和为27，，则______．【答案】98【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】等差数列前9项的和为27，，，解得，，．故答案为：98．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．10.已知函数的图像在点的处的切线过点，则.【答案】1【解析】试题分析：.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得.11.用b，表示a，b，c三个数中的最小值设，则的最大值为______．【答案】6【解析】【分析】在同一坐标系内画出三个函数，，的图象，以此作出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．【详解】是减函数，是增函数，是增函数，令，，此时，，如图：与交点是A、B，与的交点为C（4，6），由上图可知的图象如下：C为最高点，而C（4，6），所以最大值为6．故答案为6.【点睛】本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．解答本题的关键是通过题意得出的简图．12.在中，，，，则__________．【答案】【解析】试题分析：考点：正余弦定理解三角形13.“定义在R上的函数，若对任意的，，当都有，则为单调函数”能够说明上述命题是错误的一个函数是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数单调性的定义，结合分段函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，定义在R上的函数，若对任意的，，当都有，即函数值与自变量是一一对应的关系，且表示单调函数，可以考虑分段函数，则，故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性的判定以及性质，注意掌握函数的单调性的定义，属于基础题．14.已知中，，，，P为线段AC上任意一点，则的范围是______．【答案】【解析】【分析】先设，，利用向量数量积的运算性质可求，结合二次函数的性质即可求解．【详解】中，，，，设，，则，，由二次函数的性质可知，当时，有最小值；当时，有最大值4，所求的范围是．故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档试题．三、解答题（本大题共3小题，共30.0分）15.已知等差数列满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)128.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）利用等差数列的通项公式，将转化成和，解方程得到和的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（Ⅱ）先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和，解出和的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，所以.又因为，所以，故.所以.（Ⅱ）设等比数列的公比为.因为，，所以，.所以.由，得.所以与数列的第项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.16.（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得由（Ⅰ）知,所以（Ⅰ）由正弦定理得因为AD平分BAC,BD=2DC,所以. 试题解析：（Ⅱ）因为所以由（I）知,所以考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.17.已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.【答案】（1）a=1；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立．试题解析：（1）的定义域为设，则等价于因为若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故综上，a=1（2）由（1）知设当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点由由得因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得所以点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．。
2019届北京市中国人民人大附属中学高三(5月)模拟数学(文)试题(解析版)
2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =I B ．()U M N =∅I ð C ．M N U =U D ．()U M N ⊆ð【答案】A【解析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2．已知复数z 满足2(1)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A ．1122i -+ B ．1122i -- C ．1122i + D ．1122i - 【答案】B【解析】先计算出z ，再利用共轭复数及概念计算出z . 【详解】由于2(1)1z i i -=+，因此2111(1)22i i i z i i ++-+===--，因此11z 22i =--，故选B. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难度不大.3．某种最新智能手机市场价为每台6000元，若一次采购数量x 达到某数值，还可享受折扣.如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图，若输出的513000y =元，则该采购商一次采购该智能手机的台数为（ ）A ．80B ．85C ．90D ．100【答案】C【解析】根据程序框图得出y 关于x 的函数解析式，再分情况解方程得出x 的值即可. 【详解】由程序框图可知：6000,8060000.95,8012060000.85,120x x y x x x x ≤⎧⎪=⨯<≤⎨⎪⨯>⎩，（1）若80x ≤，令6000513000x =，解得85.5x =，舍去； （2）若80120x <≤，令60000.95513000x ⨯=，解得90x =； （3）若120x >，令60000.85513000x ⨯=，解得100.6x ≈，舍去. 综上，90x =. 故选：C. 【点睛】本题考查应用程序框图解决实际问题，解决程序框图题应注意三个方面，一是搞清判断框内的条件是计数变量还是累计变量表示；二是注意判断框的条件是否含等号；三是准确利用赋值语句与变量间的关系把握程序框图的整体功能.考查计算能力，属于中等题. 4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的x 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】根据程序框图进行模拟运算即可． 【详解】若输入1x =，则0S =，1k =，12k k =+=，211213S ==-，112x =+=，2542S ≥不成立，3k =，21111113313824S =+=+=-，3x =，2542S ≥不成立， 4k =，11121241540S =+=，4x =，2542S ≥不成立，5k =，21117402430S =+=，5x =，2542S ≥不成立， 6k =，17125 6303542S x ，=+==，2542S ≥成立，输出6x =故选：B ． 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用程序框图进行模拟运算是解决本题的关键． 5．已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（ ）A ．2B 5C 6D ．2【答案】D【解析】根据三视图知该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，结合图形得出该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，求出这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长． 【详解】根据几何体的三视图知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图所示；则该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长，为22 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体结构特征的应用问题，是基础题．6．已知0a >且1a ≠，函数32232,0()1,0x x x x f x a x ⎧++≤=⎨+>⎩在[2,2]-上的最大值为3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)2]U B ．2] C ．(0,1)2,)+∞U D ．(0,1)2)U【答案】A【解析】根据分段函数的表达式，分别求出函数递增[2,0]-和(0,2]上的最大值，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】解：当0x ≤时，32()232f x x x =++，2'()666(1)f x x x x x =+=+，由'()0f x >得0x >（舍）或21x -≤<-，此时()f x 为增函数， 由'()0f x <得10x -<≤，此时()f x 为减函数， 则当1x =-时，()f x 取得极大值，极大值为(1)3f -=， 当2x =-时，()f x 取得最小值，最小值为(2)2f -=-， ∵()f x 在[2,2]-上的最大值为3，∴当02x <≤时，函数()1x f x a =+的最大值不能超过3即可，当1a >时，()f x 为增函数，则当02x <≤时，函数()1xf x a =+的最大值为2(2)13f a =+≤，即22a ≤，得12a <≤当01a <<时，()f x 为减函数，则0()1112f x a <+=+=，此时满足条件．综上实数a 的取值范围是01a <<或1a <≤故选A ． 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，结合分段函数的表达式，利用函数的导数，以及指数函数的单调性分别求出对应函数的最值是解决本题的关键． 7．函数()cos(2)||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭图象向右平移6π个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为( ) A ．,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出ϕ的值，结合函数的单调性进行求解即可． 【详解】函数()cos(2)||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭图象向右平移6π个单位长度， 得到cos 2cos 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所得图象关于原点对称， 则32k ππϕπ-=+，得56k πϕπ=+，k Z ∈， ∵||2πφ<，∴当1k =-时，6πϕ=-，则()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由2226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， ∵,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴当0k =时，51212x ππ-≤≤， 即312x ππ-≤≤，即()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决本题的关键．8．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，23AB =，2AD =，120ASB ∠=︒，SA AD ⊥，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．20πC ．80πD ．100π 【答案】B【解析】由已知证明平面SAB ⊥平面ABCD ，由正弦定理求出三角形SAB 外接球的半径，设出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】解：由四边形ABCD 为矩形，得AB AD ⊥，又SA AD ⊥，且SA AB A ⋂=，∴AD ⊥平面SAB ， 则平面SAB ⊥平面ABCD ，设三角形SAB 的外心为G ，则23322sin 2sin1203AB GA ASB ====∠︒. 过G 作GO ⊥底面SAB ，且1GO =，则22215OS =+=即四棱锥外接球的半径为5．∴四棱锥外接球的表面积为24(5)20S ππ=⨯=. 故选B ．【点睛】本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题9．设变量x 、y 满足约束条件656053400,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则目标函数44y z x +=-的取值范围为________.【答案】(][),11,-∞-+∞U【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断求解即可. 【详解】变量x 、y 满足约束条件656053400,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩的可行域如图：目标函数44y z x +=-的几何意义的可行域内的点(),x y 与点()4,4D -连线的斜率， 可得4041484DA y z k x ++=≥==--或4041404DO y z k x ++=≤==---. 则目标函数44y z x +=-的取值范围为(][),11,-∞-+∞U .故答案为：(][),11,-∞-+∞U .【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13515a a a ++=，416S =，则4a =________. 【答案】7【解析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，由此能求出结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由13515a a a ++=，416S =，可得113615434162a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得11a =，2d =，故41327a =+⨯=， 故答案为：7. 【点睛】本题考查等差数列中相关项的求解，解题的关键就是结合题意得出关于首项和公差的方程组，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.11．若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.【答案】12【解析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用两角差的正切公式求得所求代数式的值. 【详解】Q 角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则tan 3θ=，所以，tan 11tan 41tan 2πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 故答案为：12. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.12．己知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=，PQ 的中点为()00,M x y ，且0017y x ≤-≤，则y x 的取值范围是____． 【答案】2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】先求出M 的轨迹方程，结合0017y x ≤-≤可求. 【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1122210,230x y x y +-=++=，两式相加可得12122()20x x y y ++++=,由于PQ 的中点为()00,M x y ,所以00210x y ++=.设00y t x =，则00y tx =代入上式可得0112x t=-+. 因为0017y x ≤-≤，所以11(1)()712t t ≤--≤+，解之得205t -≤≤.故填2[,0]5-. 【点睛】本题主要考查代数式的取值范围的求法，把多个变量化归为一个变量是主要途径.13．椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为()1,0F ，左顶点为A ，线段AF 的中点为B ，圆F 过点B ，且与C 交于,D E ， BDE V 是等腰直角三角形，则圆F 的标准方程是____________【答案】()22914x y -+=【解析】设A （﹣a ，0），求得AF 的中点B 的坐标，可得圆F 的半径和方程，设D （m ，n ），（m ＞0，n ＞0），E （m ，﹣n ），由△BDE 为等腰直角三角形，可得m ，n 的关系，将D 的坐标代入圆的方程，解方程可得m ＝1，求出n ，代入椭圆方程，解方程可得a ＝2，即可得到圆F 的方程． 【详解】如图设A （﹣a ，0），可得a ＞1，c ＝1，b 2＝a 2﹣1， 线段AF 的中点为B （1a2-，0）， 圆F 的圆心为F （1，0），半径r ＝|BF|1a2+=， 设D （m ，n ），（m ＞0，n ＞0），E （m ，﹣n ）， 由△BDE 为等腰直角三角形，可得k BD ＝1，即n 01a m 2-=--1，即n ＝m 1a 2--， 由D 在圆F ：（x ﹣1）2+y 2＝（1a 2+）2上，可得（m ﹣1）2+（m 1a 2--）2＝（1a 2+）2，化简可得（m ﹣1）（2m ﹣1+a ）＝0， 解得m ＝1或m 1a2-=（舍去）， 则n 1a2+=， 将D （1，1a2+）代入椭圆方程，可得222(1a)14a a 1++=-1， 化简可得a ＝2或23（舍去），则圆F 的标准方程为（x ﹣1）2+y 294=，故答案为：（x ﹣1）2+y 294=．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，以及圆的方程的求法，考查等腰直角三角形的性质，注意运用点满足圆的方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 14．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x -'=+-（e 是自然对数的底数），且()01f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(],0e -【解析】根据条件进行转化，求出函数()y f x =的解析式，求函数()y f x =的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可. 【详解】()()()23x f x e x f x -'=+-Q ，()()()23x f x f x e x -'∴+=+，即()()()23xf x f x e x ⎡⎤'+=+⎣⎦，即()()23x f x e x '⎡⎤=+⎣⎦，即()23x f x e x x c =++，即()23xx x cf x e ++=，()01f =Q ，()0001f c ∴=++=，即1c =， 则()231xx x f x e ++=，则()()()()2232x x fx e x f x e x x --'=+-=-+-， 由()0f x '>得21x -<<，此时函数()y f x =为增函数， 由()0f x '<得1x >或2x <-，此时函数()y f x =为减函数， 即当2x =-时，函数()y f x =取得极小值()22f e -=-，()1f e -=-Q ，()33f e -=，且当1x >时，()0f x >，由图象知，要使不等式()f x m <的解集中恰有两个整数， 则满足()10f m -<≤，即0e m -<≤，即实数m 的取值范围是(],0e -， 故答案为：(],0e -.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及利用导数研究极值与单调性问题，根据条件求出函数的解析式以及利用数形结合是解决本题的关键，属于难题.三、解答题15．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<.【答案】（1）()42n a n n N*=+∈（2）详见解析【解析】（1）根据等差数列前n 项和公式以及等比中项、等差数列通项公式列方程组，解方程组求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式，由此求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的表达式，利用裂项求和法求得n T 的的表达式，进而根据单调性等知识求得n T 的取值范围. 【详解】解：(1)解：因为数列{}n a 是等差数列， 所以()11n a a n d +-=，()112n n n S na d -=+依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎨=⎩ 即()()()1211151070621a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得16a =，4d =.所以数列{}n a 的通项公式为()42n a n n N*=+∈.(2)证明：由(1)可得224n S n n =+.所以()21112422n S n n n n ==++111()42n n =-+. 所以123111111n n n T S S S S S -=+++++=L 11111111143424435⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11111141142n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭11113111142128412n n n n ⎛⎫⎛⎫+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，所以38n T <. 因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列，所以116n T T ≥=，所以1368n T ≤<. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项和前n 项和基本量的计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列的单调性以及数列的取值范围的求法，属于中档题.16．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足cos 230cos 2C c bA a++=. (Ⅰ)求cos A 的值；(Ⅱ)若ABC ∆外接圆半径为3,b c +=求ABC ∆的面积.【答案】（1）2cos 3A =-（2【解析】（1）由cos 230cos 2C c bA a++=及正弦定理得2sin cos 2cos sin 3cos sin 0A C A C A B ++=从而()2sin 3cos sin 0A C A B ++= ,利用诱导公式结合sin 0B >,可求出cos A 的值；（Ⅱ）由正弦定理得2sin a R A ==，再由余弦定理及b c +=得6bc =，由三角形面积公式可得结果. 【详解】（Ⅰ）由cos 230cos 2C c b A a++=及正弦定理得 2sin cos 2cos sin 3cos sin 0A C A C A B ++=从而()2sin 3cos sin 0A C A B ++= 即2sin 3cos sin 0B A B += 又ABC ∆中sin 0B >, ∴2cos 3A =-.（Ⅱ）ABC ∆外接圆半径为3,sin 3A =,由正弦定理得2sin a R A ==再由余弦定理()()22222cos 21cos a b c bc A b c A bc =+-=+-+,及b c +=得6bc =∴ABC ∆的面积11sin 6223S bc A ==⨯⨯=【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.17．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，BB 1＝，点E 、F 、M 分别为C 1D 1，A 1D 1，B 1C 1的中点，过点M 的平面α与平面DEF 平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．（1）在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由） （2）在图2中，求证：D 1B ⊥平面DEF ． 【答案】（1）52）见解析【解析】（1）取A 1 B 1中点为N,连接N 与M ，则几何图形为ACMN,再求其面积． （2）建系，利用向量的数量积等于0,说明两直线垂直． 【详解】（1）设N 为A 1B 1的中点，连结MN ，AN 、AC 、CM ， 则四边形MNAC 为所作图形．由题意知MN ∥A 1C 1（或∥EF ），四边形MNAC 为梯形， 且MN 12=AC ＝2， 过M 作MP ⊥AC 于点P ， 可得MC 84=+=3PC 22-==AC MN得MP 2210=-=MC QC∴梯形MNAC 的面积12=⨯（2+2）10⨯=5． 证明：（2）示例一：在长方体中ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1， 设D 1B 1交EF 于Q ，连接DQ ，则Q 为EF 的中点并且为D 1B 1的四等点，如图， D 1Q 14=⨯22= 由DE ＝DF 得DQ ⊥EF ，又EF ⊥BB 1， ∴EF ⊥平面BB 1D 1D ，∴EF ⊥D 1B ， 11112D Q D D D D DB ==，∴∠D 1QD ＝∠BD 1D ， ∴∠QD 1B +∠D 1QD ＝∠DD 1B +∠BD 1Q ＝90°， ∴DQ ⊥D 1B ，∴D 1B ⊥平面DEF ．示例二：设D 1B 1交EF 于Q ，连接DQ ，则Q 为EF 的中点，且为D1B1的四等分点，D1Q1 4 =⨯422=，由BB1⊥平面A1B1C1D1可知BB1⊥EF，又B1D1⊥EF，BB1∩B1D1＝B1，∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，由11112D Q D DD D DB==，得tan∠QDD1＝tan∠D1BD，得∠QDD1＝∠D1BD，∴∠QDB+∠D1BD＝∠QDB+∠QDD1＝90°，∴DQ⊥D1B，又DQ∩EF＝Q，∴D1B⊥平面DEF．；【点睛】标准几何体内，证明垂直，直接利用向量的数量积等于0,说明两直线垂直．18．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将(0.9),(1.3),(1.8),(2.5)A kg B kg C kg D kg 四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg ，求他支付的快递费为45元的概率.【答案】(1)公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.(2) 该公司平均每天的利润有1000元．(3)35. 【解析】（1）对于平均数，运用平均数的公式1ni ii x x p ==∑即可；由于中位数将频率分布直方图分成面积相等的两部分，先确定中位数位于哪一组，然后建立关于中位数的方程即可求出.（2）利用每天的总收入减去工资的支出，即可得到公司每天的利润.（3）该为古典概型，根据题意分别确定总的基本事件个数，以及事件“快递费为45元”包括的基本事件个数，即可求出概率. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6， 所以每天包裹数量的平均数为()150615062503035012450626060⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 设中位数为x ，易知()200,300x ∈，则()0.00110020.0052000.5x ⨯⨯+⨯-=，解得x =260.所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为260531001000⨯-⨯=(元)， 所以该公司平均每天的利润有1000元．（3）设四件礼物分为二个包裹E 、F ，因为礼物A 、C 、D 共重0.9 1.8 2.5 5.2++=（千克），礼物B 、C 、D 共重1.3 1.8 2.5 5.6++=（千克），都超过5千克，故E 和F 的重量数分别有1.8 4.7和，2.5 4.0和，2.2 4.3和，2.7 3.8和，3.1 3.4和共5种， 对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元） 故所求概率为35. 【点睛】主要考查了频率分布直方图的平均数，中位数求解，以及古典概型，属于中档题. 19．已知函数1()ln 1x f x a x e -=-+，其中a R ∈.（1）若1x =是函数()f x 的导函数的零点，求()f x 的单调区间； （2）若不等式()0f x ≤对[1,)x ∀∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；（2）(,1]-∞【解析】（1）对函数f （x ）求导数，利用x ＝1是函数f （x ）导函数的零点求出a 的值，再判断f （x ）的单调性与单调区间；（2）求函数f （x ）的导数，讨论①a ≤0时f ′（x ）＜0在x ∈[1，+∞）上恒成立，得出f （x ）≤f （1）＝0，符合题意；②a ＞0时，f ′（x ）是x ∈[1，+∞）上的单调减函数，利用f ′（1）＝a ﹣1，讨论a ≤1时，f （x ）≤f （1）＝0，满足题意；a ＞1时，易知存在x 0∈[1，+∞），使得f ′（x 0）＝0，且f （x 0）＞f （1）＝0，不符合题意；由此求出a 的取值范围． 【详解】（1）函数()1ln 1x f x a x e-=-+，其中0x >；∴()1'x a f x e x-=-， 又1x =是函数()f x 的导函数的零点，∴()0'10f a e =-=，解得1a =， ∴()1ln 1x f x x e-=-+，∴()11'x f x e x-=-，且在()0,+∞上是单调减函数，()'10f =，∴()0,1x ∈时，()'0f x >，()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减；所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）()1'x a f x e x-=-，[)1,x ∈+∞； ①0a ≤时，()'0f x <在[)1,x ∈+∞上恒成立，则()f x 是单调递减函数，且()()10110f x f ≤=-+=，∴()0f x ≤恒成立，符合题意；②当0a >时，()'f x 是[)1,x ∈+∞上的单调减函数，且()'11f a =-； 若10a -≤，即1a ≤，()'0f x ≤则()f x 在[)1,x ∈+∞上单调递减，且()()10f x f ≤=，满足题意；若10a ->，即1a >，则易知存在[)01,x ∈+∞，使得()0'0f x =， ∴()f x 在()01,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，∴()1,x ∈∞时，存在()()010f x f >=，则()0f x ≤不恒成立，不符合题意； 综上可知，实数a 的取值范围是(],1-∞． 【点睛】本题考查了函数的单调性与导数的综合应用问题，也考查了分类讨论思想与不等式恒成立问题，是综合题．20．从抛物线236y x =上任意一点P 向x 轴作垂线段，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足2PM MQ = (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设直线)1(x my m R =+∈与轨迹c 交于A B ，两点，T 为C 上异于A B ，的任意一点，直线AT ，BT 分别与直线1x =-交于D E ，两点，以DE 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) 24y x = (2)见解析【解析】（1）利用相关点法，设设(),M x y ，()00,P x y ，则点Q 的坐标为()0,0x ，由2PM MQ =u u u u v u u u u v ，从而得到00,3.x x y y =⎧⎨=⎩，即()2336y x =．化简求得结果；（2）设出点A,B 的坐标，将直线与曲线的方程联立，消元得到2440y my --=，根据韦达定理得到1y +2y =4m ，1y 2y =4-，设点200,4y T y ⎛⎫⎪⎝⎭，写出直线AT 的方程，进而求得点D 的坐标，同理求得点E 的坐标，如果以DE 为直径的圆过x 轴某一定点(),0N n ，则满足•0ND NE =u u u v u u u v，利用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】（1）设(),M x y ，()00,P x y ，则点Q 的坐标为()0,0x ． 因为2PM MQ =u u u u v u u u u v，所以()()000,2,x x y y x x y --=--，即00,3.x x y y =⎧⎨=⎩ ， 因为点P 在抛物线236y x =上，所以20036y x =，即()2336y x =．所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．（2）解法1：设直线1x my =+与曲线C 的交点坐标为A 211,4y y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭， 由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=． 由韦达定理得1y + 2y =4m ，1y 2y =4-．设点200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则10220101444AT y y k y y y y -==+-．所以直线AT 的方程为2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭．令1x =-，得点D 的坐标为010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．同理可得点E 的坐标为020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．如果以DE 为直径的圆过x 轴某一定点(),0N n ，则满足•0ND NE =u u u v u u u v．因为010*******•1,?1,y y y y ND NE n n y y y y ⎛⎫⎛⎫--=---- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ()()()2212001220012124161++y y y y y y n y y y y y y -++=+++． 所以()2200200416161++044y my n y my --+=+-． 即()2140n +-=，解得1n =或3n =-．故以DE 为直径的圆过x 轴上的定点()1,0和()3,0-．解法2：直线1x =与曲线C 的交点坐标为()1,2A '，()1,2B '-，若取()0,0T '，则A T ''，B T ''与直线1x =-的交点坐标为()1,2D '--，()1,2E '-， 所以以D E ''为直径的圆的方程为()2214x y ++=．该圆与x 轴的交点坐标为()1,0和()3,0-．所以符合题意的定点只能是()11,0N 或()23,0N -．设直线1x my =+与曲线C 的交点坐标为A 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=． 由韦达定理得12124,4y y m y y +==- 设点200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则10220101444AT y y k y y y y -==+-． 所以直线AT 的方程为2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭． 令1x =-，得点D 的坐标为010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭． 同理可得点E 的坐标为020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭． 若点()11,0N 满足要求，则满足11•0N D N E =u u u u v u u u u v ．因为010*********•2,?2,y y y y N D N E y y y y u u u u v u u u u v ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()212001220012124164+y y y y y y y y y y y y -++=+++ 20020041616=4+044y my y my --+=+-． 所以点()11,0N 满足题意．同理可证点()23,0N -也满足题意．故以DE 为直径的圆过x 轴上的定点()1,0和()3,0-．【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相交的综合题，涉及到的知识点有利用相关点法求轨迹方程，直线与抛物线相交，以某条线段为直径的圆过定点的问题，向量数量积坐标公式，属于较难题目.。
北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考(二)数学理试卷+Word版含解析
北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期理科月考（二）数学试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题）1.函数的值域为A. B.RC. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在定义域上是单调增函数，且满足，判断的值域为R．【详解】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性与值域应用问题，是基础题．2.若集合，，则是A. B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】化简A，B再根据并集的定义即可求出．【详解】解：由于，即，解得，，由，即，解得或，或，，或，故选：C．【点睛】本题考查集合的并集的运算，解题时要认真审题，熟练掌握并集的概念和运算法则．3.已知是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】【分析】由题意，可由函数的性质得出在上是减函数，再由函数的周期性即可得出为上的减函数，由此证明充分性，再由为上的减函数结合周期性即可得出为上是减函数，再由函数是偶函数即可得出为上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【详解】解：是定义在R上的偶函数，若为上的增函数，则为上是减函数，又是定义在R上的以2为周期的函数，且与相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出为上的减函数，故充分性成立．若为上的减函数，同样由函数周期性可得出为上是减函数，再由函数是偶函数可得出为上的增函数，故必要性成立．综上，“为上的增函数”是“为上的减函数”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由哪个条件到哪个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误.4.设函数一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图像关于Y轴对称，所以是其极大值点；对于C中的是将的图像关X轴对称，所以才是其极小值点；而对于D中的是将的图像关原点对称，故是其极小值点，故正确.【考点定位】本题主要考查学生对于函数极值与最值关系及函数图像的变换，牢记几种常见变换.属于难度较大的题目.5.设集合，或. 若，则正实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式或表示的区域，可知要想满足,须满足x<0时，,所以6.设，，均为实数，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意将，，分别看做是两个函数图象交点的横坐标，故画出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．【详解】由题意得，，，分别是函数与图象的交点横坐标．在同一坐标系内作出函数的图象，如图所示，由图可得．故选A．【点睛】本题考查函数图象的应用，即结合函数的图象比较大小，解题的关键是根据题意得到，，的几何意义，然后利用数形结合求解，体现了函数图象在解题中的应用．7.若是的最小值，则的取值范围为（）.A. [-1,2]B. [-1，0]C. [1，2]D.【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．8.据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，同时不成立，则不成立C. ，可同时不成立D. ，可同时成立【答案】C【解析】特例法：例如蔬菜连续天价格为，蔬菜连续天价格分别为时，，同时不成立，故选C.点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.二、填空题（本大题共6小题）9.定积分______．【答案】【解析】【分析】直接利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分即可．【详解】解：由定积分公式可得，故答案为：．【点睛】本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于寻找被积函数的原函数，属于基础题．10.若，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列依次为______．【答案】【解析】【分析】可看出，从而比较出a，b，c的大小．【详解】解：，，；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．11.在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．【考点】导数与切线斜率．【此处有视频，请去附件查看】12.某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系，（为自然对数的底数，，为常数）．若食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，该食品在℃的保鲜时间是__________小时．【答案】【解析】分析：利用该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，可得，解得，进而可得结果.详解：∵某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，是常数）．该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，∴，解得，∴，∴该食品在℃的保鲜时间．故答案为．点睛：本题主要考查指数函数模型解决实际问题，属于中档题.解答本题的关键是利用待定系数法求得，从而使问题得以解决.13.若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】分离参数a，得，只需求在的最小值【详解】解：，，在的最小值为，实数a的取值范围为．故答案为．【点睛】此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而求函数的值域．14.已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x，x2，都有m＞0；1②对于任意的a及任意不相等的实数x，x2，都有n＞0；1③对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝n；1④对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝－n.1其中真命题有___________________（写出所有真命题的序号）.【答案】①④【解析】对于①，因为f '（x）＝2x ln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f '（x）＝g'（x），即2x ln2＝2x＋a记h（x）＝2x ln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误对于④，由f '（x）＝－g'（x），即2x ln2＝－2x－a令h（x）＝2x ln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是单调递增函数，当x→＋∞时，h（x）→＋∞当x→－∞时，h（x）→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）15.已知函数．当时，求曲线在处的切线方程；讨论函数的单调性；当时，求函数在区间的最小值．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】当时，，求其导函数，得到，又，可得曲线在处的切线方程为；求出原函数的导函数，分，，三类求函数的单调区间；由知，当时，的减区间为，增区间为，然后分，，三类求函数的最小值．【详解】解：当时，，．，又，曲线在处的切线方程为；．当时，，在上为增函数；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；由知，当时，的减区间为，增区间为，若，即时，在单调递增，；若，即，在上单调递减，在上单调递增，；若，即时，在单调递减，．综上，．【点睛】本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．16.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；设是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【答案】（1）是“局部奇函数”；（2）；（3）.【解析】【分析】运用两角和与差的正弦公式，化简，再由由局部奇函数的定义，即可判断；根据局部奇函数的定义，可得方程在上有解，运用换元法，令，则，求出右边的值域即可；根据“局部奇函数”的定义可知，有解即可设，则，即有方程等价为在时有解，设，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．【详解】解：由于，，则，由于，则，当时，成立，由局部奇函数的定义，可知该函数为“局部奇函数”；根据局部奇函数的定义，时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解，令，则，设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，所以时，所以，即．根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可，即，，即有解即可．设，则，方程等价为在时有解，设，对称轴，若，则，即，，此时，若，要使在时有解，则，即，解得，综上得，【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。
北京师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试卷及答案
北京师大附中2019届上学期高中三年级期中考试数学试卷（文科）本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合，，则（ ）{}|40A x x =-<{}|1x B x e =>A B = A. RB.(,4)-∞C. （0，4）D. (4,)+∞ 2. 在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过点M （－1，2），则=（）sin 2αA. B.25-25C.D. 4545-3. 已知数列满足，则为（ ）{}n a 153,10n n a a S +=+=7a A. 14 B. 12C. 15 D. 224.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （1，0），B （1，1），设，且，则=（ ）()OP OA kOB k R =+∈ OB OP ⊥ ||OPA. 2D.125. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB. 若m ⊥α，，则m ⊥n n α⊂C. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD. 若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α6. 若x ，y 满足则的最大值为（ ）3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2y x -A. －6 B. －1C. －4D. 87. 在△ABC 中，“”是“的（ ）2,7,60a b B ===︒27cos A =A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知在直角三角形ABC 中，A 为直角，AB=1，BC=2，若AM 是BC 边上的高，点P在△ABC 内部或边界上运动，则的取值范围是（ ）AM BPA.B. [1,0]-1[,0]2-C. D. 31[,42-3[,0]4-二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考(二)文科数学试卷+Word版含解析
北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期文科月考（二）数学试题一、选择题（本大题共8小题）1.已知集合，=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，又，∴.考点：1.对数函数的性质；2.集合之间的运算.2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【详解】解：A．f（﹣x）＝（﹣x）2+sin（﹣x）＝x2﹣sin x，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），则函数f（x）为非奇非偶函数；B．f（﹣x）＝（﹣x）2﹣cos（﹣x）＝x2﹣cos x＝f（x），则函数f（x）是偶函数；C．f（﹣x）2x f（x），则函数f（x）是偶函数；D．f（﹣x）＝﹣x+sin2（﹣x）＝﹣x﹣sin2x＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，故选：A．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义进行判断，是解决本题的关键．3.已知函数，则的值是A. B. C. 24 D. 12【答案】B【解析】,选B.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.4.已知平面向量，，则A. B. 3 C. D. 5【答案】A【解析】因为平面向量，所以，所以，故选A.5.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选B．考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．【此处有视频，请去附件查看】6.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，且，则A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】运用余弦定理：，解关于b的方程，结合，即可得到．【详解】，，且，由余弦定理可得，，即有，解得或4，由，可得．故选：B．【点睛】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．7.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为偶函数，所以在上的解集为：.故选B.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.8.如图，长方形ABCD的边，，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA 运动，记将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则的图象大致为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【详解】由已知得，当点P在BC边上运动时，即时，；当点P在CD边上运动时，即时，，当时，；当点P在AD边上运动时，即时，，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知等差数列前9项的和为27，，则______．【答案】98【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】等差数列前9项的和为27，，，解得，，．故答案为：98．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．10.已知函数的图像在点的处的切线过点，则.【答案】1【解析】试题分析：.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得.【此处有视频，请去附件查看】11.用b，表示a，b，c三个数中的最小值设，则的最大值为______．【答案】6【解析】【分析】在同一坐标系内画出三个函数，，的图象，以此作出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．【详解】是减函数，是增函数，是增函数，令，，此时，，如图：与交点是A、B，与的交点为C（4，6），由上图可知的图象如下：C为最高点，而C（4，6），所以最大值为6．故答案为6.【点睛】本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．解答本题的关键是通过题意得出的简图．12.在中，，，，则__________．【答案】【解析】试题分析：考点：正余弦定理解三角形13.“定义在R上的函数，若对任意的，，当都有，则为单调函数”能够说明上述命题是错误的一个函数是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数单调性的定义，结合分段函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，定义在R上的函数，若对任意的，，当都有，即函数值与自变量是一一对应的关系，且表示单调函数，可以考虑分段函数，则，故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性的判定以及性质，注意掌握函数的单调性的定义，属于基础题．14.已知中，，，，P为线段AC上任意一点，则的范围是______．【答案】【解析】【分析】先设，，利用向量数量积的运算性质可求，结合二次函数的性质即可求解．【详解】中，，，，设，，则，，由二次函数的性质可知，当时，有最小值；当时，有最大值4，所求的范围是．故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档试题．三、解答题（本大题共3小题，共30.0分）15.已知等差数列满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)128.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）利用等差数列的通项公式，将转化成和，解方程得到和的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（Ⅱ）先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和，解出和的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，所以.又因为，所以，故.所以.（Ⅱ）设等比数列的公比为.因为，，所以，.所以.由，得.所以与数列的第项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.【此处有视频，请去附件查看】16.（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得由（Ⅰ）知,所以试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.（Ⅱ）因为所以由（I）知,所以考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力. 【此处有视频，请去附件查看】17.已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.【答案】（1）a=1；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立．试题解析：（1）的定义域为设，则等价于因为若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故综上，a=1（2）由（1）知设当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点由由得因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得所以点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．。
北京市人民大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
人大附中2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试卷2019年11月说明：本试卷分I 卷和II 卷，I 卷17道题，共100分；II 卷7道题，共50分；I 卷、II 卷共24题，合计150分，作为期中成绩。
考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上.I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.） 1．设集合{}{}=32,=13X x Z x Y y Z y ∈-<<∈-≤≤，则X Y ⋂=（ ）A. {}0,1B.{}1,0,1-C.{}0,1,2D.{}1,0,1,2-2．下列各组函数是同一函数的是（ ）A.xy x=与1y = B.()21y x =-与1y x =-C.2x y x =与y x =D.321x x y x +=+与y x =3．下列函数中，在区间()0,2是增函数的是（ ）A.1y x =-+B.245y x x =-+C.y x =D.1y x= 4．命题“∀x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A. ∀x R ∈，都有20x <B.不存在x R ∈，使得20x <C. ∃0x R ∈，使得200x ≥ D. ∃0x R ∈，使得200x < 5．己知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则13f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=（ ）A.13-B.13C.23-D.236．已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．如下图，是吴老师散步时所走的离家距离()y 与行走时间()x 之间的函数关系的图 象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）8．已知集合{}523M x R x =∈--为正整数，则M 的所有非空真子集的个数是（ ） A. 30 B.31 C. 510 D. 511二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）9．方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为______________.10．已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2f x x =的解集为__________.11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值__________. 12．若函数f(x)=x 2-2(a-1)x+2在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a 的取值范围是__________.13．几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论： ①函数()f x 的值域为()1,1-； ②若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠； ③()f x 在()0,+∞是增函数；④若规定()()1f x f x =，且对任意正整数n 都有：()()()1n n f x f f x +=，则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为_______________.14．函数()()2241,2f x x x g x x a =-+=+，若存在121,,12x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是______________.三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤， 请将答案写在答题纸上的相应位置.）15．设全集是实数集{}{}22,2730,0R A x x x B x x a =-+≤=+<.（1）当4a =-时，求A B ⋂和A B ⋃； （2）若()R C A B B ⋂=，求实数a 的取值范围.16．已知二次函数()()22,f x x bx c b c R =++∈.（1）已知()0f x ≤的解集为{}11x x -≤≤，求实数,b c 的值；（2）已知223c b b =++，设1x 、2x 是关于x 的方程()0f x =的两根，且()()12118x x ++=，求实数b 的值；（3）已知()f x 满足()10f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两实数根分别在区间()()3,2,0,1--内，求实数b 的取值范围.17．已知函数()4f x x x=+，（1）判断函数()f x 的奇偶性； （2）指出该函数在区间(0,2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数()()(),05,0,0f x x g x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，当[]1,x t ∈-时()g x 的取值范围是[5,)+∞，求实数t 取值范围.(只需写出答案)II 卷 （共7道题，满分50分）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）18．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3，其定义如下表：则方程()1g f x x =+⎡⎤⎣⎦的解集为（ ）A.{}1B.{}2C.{}1,2D.{}1,2,319．已知()f x 是定义在()4,4-上的偶函数，且在()4,0-上是增函数，()()3f a f <，则实a （ ）A.()3,3-B.()(),33,-∞-⋃+∞C.()4,3--D.()()4,33,4--⋃ 20．已知函数()225f x x ax =-+在[]1,3x ∈上有零点，则正数a 的所有可取的值的集合为（ ）A.7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.)+∞C. ⎤⎦D.五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）21．已知函数()f x =则函数()f x 的最大值为_______,函数()f x 的最小值为________.22．关于x 的方程()()g x t t R =∈的实根个数记()f t . （1）若()1g x x =+，则()f t =____________；（2）若()()2,0,2,0,x x g x a R x ax a x ≤⎧=∈⎨-++>⎩，存在t 使得()()2f t f t +>成立，则a 的取值范围是_____.23．对于区间[](),a b a b <，若函数()y f x =同时满足： ①()f x 在[],a b 上是单调函数；②函数()[],,y f x x a b =∈的值域是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值，区间.（1）写出函数2y x =的一个“保值”区间为_____________；（2）若函数()()20f x x m m =+≠存在“保值区间，则实数m 的取值范围为_____________.六、解答题（本大题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）24．已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数. （1）若函数()[]f x x =，求f(1.2),f(-1.2)的值；（2）若函数()()122x x f x x R +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求()f x 的值域； （3）若存在m R ∈且m Z ∉，使得()[]()f m fm =，则称函数()f x 是Ω函数，若函数()af x x x=+是Ω函数，求a 的取值范围.参考答案与解析I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）1．答案：B解析：因为X={-2，-1，0，1}，Y={-1，0，1，2，3}所以X ∩Y={-1，0，1}，即选B 。
北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考(二)数学理试卷 Word版含解析
北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期理科月考（二）数学试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题）1.函数的值域为A. B.RC. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在定义域上是单调增函数，且满足，判断的值域为R．【详解】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性与值域应用问题，是基础题．2.若集合，，则是A. B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】化简A，B再根据并集的定义即可求出．【详解】解：由于，即，解得，，由，即，解得或，或，，或，故选：C．【点睛】本题考查集合的并集的运算，解题时要认真审题，熟练掌握并集的概念和运算法则．3.已知是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】【分析】由题意，可由函数的性质得出在上是减函数，再由函数的周期性即可得出为上的减函数，由此证明充分性，再由为上的减函数结合周期性即可得出为上是减函数，再由函数是偶函数即可得出为上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【详解】解：是定义在R上的偶函数，若为上的增函数，则为上是减函数，又是定义在R上的以2为周期的函数，且与相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出为上的减函数，故充分性成立．若为上的减函数，同样由函数周期性可得出为上是减函数，再由函数是偶函数可得出为上的增函数，故必要性成立．综上，“为上的增函数”是“为上的减函数”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由哪个条件到哪个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误.4.设函数一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图像关于Y轴对称，所以是其极大值点；对于C中的是将的图像关X轴对称，所以才是其极小值点；而对于D中的是将的图像关原点对称，故是其极小值点，故正确.【考点定位】本题主要考查学生对于函数极值与最值关系及函数图像的变换，牢记几种常见变换.属于难度较大的题目.5.设集合，或. 若，则正实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式或表示的区域，可知要想满足,须满足x<0时，,所以6.设，，均为实数，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意将，，分别看做是两个函数图象交点的横坐标，故画出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．【详解】由题意得，，，分别是函数与图象的交点横坐标．在同一坐标系内作出函数的图象，如图所示，由图可得．故选A．【点睛】本题考查函数图象的应用，即结合函数的图象比较大小，解题的关键是根据题意得到，，的几何意义，然后利用数形结合求解，体现了函数图象在解题中的应用．7.若是的最小值，则的取值范围为（）.A. [-1,2]B. [-1，0]C. [1，2]D.【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．8.据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，同时不成立，则不成立C. ，可同时不成立D. ，可同时成立【答案】C【解析】特例法：例如蔬菜连续天价格为，蔬菜连续天价格分别为时，，同时不成立，故选C.点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.二、填空题（本大题共6小题）9.定积分______．【答案】【解析】【分析】直接利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分即可．【详解】解：由定积分公式可得，故答案为：．【点睛】本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于寻找被积函数的原函数，属于基础题．10.若，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列依次为______．【答案】【解析】【分析】可看出，从而比较出a，b，c的大小．【详解】解：，，；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．11.在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．【考点】导数与切线斜率．【此处有视频，请去附件查看】12.某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系，（为自然对数的底数，，为常数）．若食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，该食品在℃的保鲜时间是__________小时．【答案】【解析】分析：利用该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，可得，解得，进而可得结果.详解：∵某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，是常数）．该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，∴，解得，∴，∴该食品在℃的保鲜时间．故答案为．点睛：本题主要考查指数函数模型解决实际问题，属于中档题.解答本题的关键是利用待定系数法求得，从而使问题得以解决.13.若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】分离参数a，得，只需求在的最小值【详解】解：，，在的最小值为，实数a的取值范围为．故答案为．【点睛】此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而求函数的值域．14.已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x，x2，都有m＞0；1②对于任意的a及任意不相等的实数x，x2，都有n＞0；1③对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝n；1④对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝－n.1其中真命题有___________________（写出所有真命题的序号）.【答案】①④【解析】对于①，因为f '（x）＝2x ln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f '（x）＝g'（x），即2x ln2＝2x＋a记h（x）＝2x ln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误对于④，由f '（x）＝－g'（x），即2x ln2＝－2x－a令h（x）＝2x ln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是单调递增函数，当x→＋∞时，h（x）→＋∞当x→－∞时，h（x）→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）15.已知函数．当时，求曲线在处的切线方程；讨论函数的单调性；当时，求函数在区间的最小值．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】当时，，求其导函数，得到，又，可得曲线在处的切线方程为；求出原函数的导函数，分，，三类求函数的单调区间；由知，当时，的减区间为，增区间为，然后分，，三类求函数的最小值．【详解】解：当时，，．，又，曲线在处的切线方程为；．当时，，在上为增函数；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；由知，当时，的减区间为，增区间为，若，即时，在单调递增，；若，即，在上单调递减，在上单调递增，；若，即时，在单调递减，．综上，．【点睛】本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．16.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；设是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【答案】（1）是“局部奇函数”；（2）；（3）.【解析】【分析】运用两角和与差的正弦公式，化简，再由由局部奇函数的定义，即可判断；根据局部奇函数的定义，可得方程在上有解，运用换元法，令，则，求出右边的值域即可；根据“局部奇函数”的定义可知，有解即可设，则，即有方程等价为在时有解，设，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．【详解】解：由于，，则，由于，则，当时，成立，由局部奇函数的定义，可知该函数为“局部奇函数”；根据局部奇函数的定义，时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解，令，则，设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，所以时，所以，即．根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可，即，，即有解即可．设，则，方程等价为在时有解，设，对称轴，若，则，即，，此时，若，要使在时有解，则，即，解得，综上得，【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。
【全国百强校】北京市人大附中2019届高三高考数学模拟预测考试一试题(原卷版)
北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一数学试题（文）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合，，则（）A. B.C. D.2.设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.3.若向量，，则（）A. B. C. 3 D.4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.5.若函数与的对称轴完全相同，则函数在哪个区间上单调递增（）A. B. C. D.6.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（）A. 或；B. 或；C. 或；D. 或；7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.8.已知直线y=2b与双曲线的斜率为正的渐近线交于点A，曲线的左、右焦点分别为,若则双曲线的离心率为（）A. 4或B.C. 2D. 4二、填空题共6小题。
9.已知函数f(x-2)=，则f(2)=_______.10.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．11.已知实数，满足约束条件，则的最大值_______．12.如果，，，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，，，是抛物线C的焦点，若，则________．13.已知的内角，，的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为____．14.已知四棱椎中，底面是边长为2的菱形，且，则四棱锥体积的最大值为_____．三、解答题共6小题.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。