阿巴嘎旗高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

阿巴嘎旗高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．底面为矩形的四棱锥P­ABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥P­ABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（）
A．36πB．48π
C．60πD．72π
2．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）
3．已知命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）
A．（1，4]B．（0，1]C．[﹣1，1]D．（4，+∞）
4．下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（）
A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜
5．函数f（x）=cos2x﹣cos4x的最大值和最小正周期分别为（）
A．，πB．，C．，πD．，
6．已知x，y满足，且目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a的值是（）
A．1B．C．D．
7．函数y=+的定义域是（）
A．{x|x≥﹣1}B．{x|x＞﹣1且x≠3}C．{x|x≠﹣1且x≠3}D．{x|x≥﹣1且x≠3}
8．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）
A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）
9．已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）
A ．（0，1）
B ．（1，+∞）
C ．（﹣1，0）
D ．（﹣∞，﹣1）
10．设函数y=sin2x+cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则（
）
A ．T=π，
B ．T=π，A=2
C ．T=2π，
D ．T=2π，A=2
11．观察下列各式：a+b=1，a 2+b 2=3，a 3+b 3=4，a 4+b 4=7，a 5+b 5=11，…，则a 10+b 10=（
）
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
12．若复数z=（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
二、填空题
13．设m 是实数，若x ∈R 时，不等式|x ﹣m|﹣|x ﹣1|≤1恒成立，则m 的取值范围是 ．　
14．设f （x ）是（x 2+
）6展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[
，
]上恒成立，则实数m 的取值范
围是 ．　
15．设a 抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ．　
16．定义在上的函数满足：，，则不等式（其R )(x f 1)(')(>+x f x f 4)0(=f 3)(+>x
x e x f e 中为自然对数的底数）的解集为
.
17．已知是函数两个相邻的两个极值点，且在1,3x x ==()()()sin 0f x x ωϕω=+>()f x 32
x =处的导数，则___________．302f ⎛⎫
'<
⎪⎝⎭13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
18．对任意实数x ，不等式ax 2﹣2ax ﹣4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题
19．设a ，b 互为共轭复数，且（a+b ）2﹣3abi=4﹣12i ．求a ，b 的值．
20．（本题满分12分）已知数列的前项和为，且，（）.
}{n a n n S 332-=n n a S +∈N n
（1）求数列的通项公式；}{n a （2）记，是数列的前项和，求.n
n a n b 1
4+=
n T }{n b n n T 【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前项和.重点突出对运算及化归能n 力的考查，属于中档难度.
21．已知定义在的一次函数为单调增函数，且值域为．[]3,2-()f x []2,7（1）求的解析式；
()f x （2）求函数的解析式并确定其定义域．
[()]f f x 22．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB=2，AA 1=4，E 为AA 1的中点，F 为BC 的中点（1）求证：直线AF ∥平面BEC 1（2）求A 到平面BEC 1的距离．
23．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．{}n a n n S 990S =15240S =（1）求的通项公式和前项和；
{}n a n a n n S （2）设是等比数列，且，求数列的前n 项和．
(){}
1n
n n b a --257,71b b =={}n b n T 【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、n 运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
24．已知函数f （x ）=x ﹣1+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l ：y=kx ﹣1与曲线y=f （x ）没有公共点，求k 的最大值．
阿巴嘎旗高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】
【解析】选A.设球O 的半径为R ，矩形ABCD 的长，宽分别为a ，b ，则有a 2＋b 2＝4R 2≥2ab ，∴ab ≤2R 2，又V 四棱锥P －ABCD ＝S 矩形ABCD ·PO
13
＝abR ≤R 3.
13
2
3∴R 3＝18，则R ＝3，2
3
∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π，选A.2． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，∴f ′（x ）=3ax 2﹣6x=3x （ax ﹣2），f （0）=1；
①当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1有两个零点，不成立；
②当a ＞0时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a ＜0时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f （）=﹣3•
+1＞0；
故a ＜﹣2；综上所述，
实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D ．　
3． 【答案】A
【解析】解：若命题p ：“∀∈[1，e]，a ＞lnx ，为真命题，则a ＞lne=1，
若命题q ：“∃x ∈R ，x 2﹣4x+a=0”为真命题，则△=16﹣4a ≥0，解得a ≤4，若命题“p ∧q ”为真命题，则p ，q 都是真命题，
则，
解得：1＜a≤4．
故实数a的取值范围为（1，4]．
故选：A．
【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．
4．【答案】D
【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，
可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，
名师出高徒也具有相关关系，
吸烟有害健康也具有相关关系，
故选D．
【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．
5．【答案】B
【解析】解：y=cos2x﹣cos4x=cos2x（1﹣cos2x）=cos2x•sin2x=sin22x=，
故它的周期为=，最大值为=．
故选：B．
6．【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知A（a，a），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解得：a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
7．【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
解得：x≥﹣1或x≠3，
故选：D．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
8．【答案】C
【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
9．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=的图象如下图所示：
由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，
即方程f（x）=k有两个不同的实根，
故选：A
10．【答案】B
【解析】解：由三角函数的公式化简可得：
=2（）
=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+），
∴T==π，A=2
故选：B
11．【答案】C
【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．
故选C．
12．【答案】A
【解析】解：复数z===．
由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，
解得a=3．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】　[0，2]　．
【解析】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|，
故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1，
求得0≤m≤2，
故答案为：[0，2]．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．
14．【答案】　[5，+∞）　．
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
【分析】由题意可得f（x）=x3，再由条件可得m≥x2在区间[，]上恒成立，求得x2在区间[，
]上的最大值，可得m的范围．
【解答】解：由题意可得f（x）=x6=x3．
由f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，可得m≥x2在区间[，]上恒成立，
由于x2在区间[，]上的最大值为5，故m≥5，
即m的范围为[5，+∞），
故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．
15．【答案】 ．
【解析】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，
∴试验发生包含的事件数6，
∵方程x2+ax+a=0 有两个不等实根，
＞，解得a ＞4，∵a 是正整数，∴a=5，6，
即满足条件的事件有2种结果，∴所求的概率是=，故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．　
16．【答案】),0(+∞【
解
析
】
考点：利用导数研究函数的单调性.
【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不等式进行变形,可得,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以,即
()()01>-'+x f x f x
e ,因此构造函数,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可
()()0>-'+x x x e x f e x f e ()()x x e x f e x g -=以构造满足前提的特殊函数,比如令也可以求解.1()4=x f 17．【答案】12
【解析】
考
点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和，再结合极值点的导数等于零，ω可求出.在求的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用来验证.求出表达式后，ϕϕ302f ⎛⎫'<
⎪⎝⎭()f x 就可以求出.1
13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
18．【答案】　（﹣4，0]　．
【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件；
当a ≠0时，要使不等式ax 2﹣2ax ﹣4＜0恒成立，则满足
，即
，
∴
解得﹣4＜a ＜0，
综上：a 的取值范围是（﹣4，0]．
故答案为：（﹣4，0]．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．
　三、解答题
19．【答案】
【解析】解：因为a ，b 互为共轭复数，所以设a=x+yi ，则b=x ﹣yi ，a+b=2x ，ab=x 2+y 2，
所以4x 2﹣3（x 2+y 2）i=4﹣12i ，
所以，解得，
所以a=1+
i ，b=1﹣i ；或a=1﹣
i ，b=1+i ；
或a=﹣1+
i ，b=﹣1﹣i ；或a=﹣1﹣i ，b=﹣1+i ．【点评】本题考查了共轭复数以及复数相等；正确设出a ，b 是解答的关键．
20．【答案】
【解析】（1）当时，；………………1分
1=n 323321111=⇒=-=a a a S 当时，，
2≥n 332,33211-=-=--n n n n a S a S ∴当时，，整理得.………………3分
2≥n n n n n n a a a S S 2)(32211=-=---13-=n n a a ∴数列是以3为首项，公比为3的等比数列.
}{n a ∴数列的通项公式为.………………5分}{n a n
n a 3=
21．【答案】（1），；（2），.
()5f x x =+[]3,2x ∈-[]()10f f x x =+{}3x ∈-【解析】
试
题解析：
（1）设，111]
()(0)f x kx b k =+>
由题意有：解得32,27,k b k b -+=⎧⎨
+=⎩1,5,k b =⎧⎨=⎩∴，．
()5f x x =+[]3,2x ∈-（2），．
(())(5)10f f x f x x =+=+{}3x ∈-考点：待定系数法．
22．【答案】 【解析】解：（1）取BC 1的中点H ，连接HE 、HF ，
则△BCC 1中，HF ∥CC 1且HF=CC 1
又∵平行四边形AA 1C 1C 中，AE ∥CC 1且AE=CC 1
∴AE ∥HF 且AE=HF ，可得四边形AFHE 为平行四边形，
∴AF ∥HE ，
∵AF ⊄平面REC 1，HE ⊂平面REC 1
∴AF ∥平面REC 1．…
（2）等边△ABC 中，高
AF==，所以
EH=AF=
由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是正三棱柱，得C 1到平面AA 1B 1B
的距离等于
∵Rt △A 1C 1E ≌Rt △ABE ，∴EC 1=EB ，得EH ⊥BC 1
可得S △=BC 1•EH=×
×=，
而S △ABE =AB ×BE=2
由等体积法得V A ﹣BEC1=V C1﹣BEC ，∴S △
×
d=S △ABE ×，（d 为点A 到平面BEC 1的距离）即
××d=×2
×，解之得
d=
∴点A 到平面BEC 1的距离等于
．
…
【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行，并求点到平面的距离．着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定定理和等体积法求点到平面的距离等知识，属于中档题．
23．【答案】
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
{}n a 1a d 则由，，得，解得，……………3分990S =15240S =11
9369015105240a d a d +=⎧⎨+=⎩12a d ==所以，即，
2(n 1)22n a n =+-⨯=2n a n =，即．……………5分(1)22(1)2
n n n S n n n -=+⨯=+1n S n n =+（
）24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由f （x ）=x ﹣1+，得f ′（x ）=1﹣，
又曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，
∴f ′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e ．
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得e x=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．。