第3章 《导数及其应用-3.3.2》 教学案(2)

第3章 《导数及其应用-3.3.2》 教学案（2）

教学目标：

1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f (x )在闭区间[a ，b ]上所有点(包括端点a ，b )处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；

2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．

教学重点： 利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

教学过程：

一、问题情境

1．问题情境．函数极值的定义是什么？

2．探究活动．求函数f (x )的极值的步骤．

二、建构数学

1．函数的最大值和最小值．

观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图像．

图中)(1x f ，35(),()f x f x 是极小值，24(),()f x f x 是极大值．

函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．

一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：

(1)在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． 如函数x

x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； (2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的；

(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．

2．利用导数求函数的最值步骤：

由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求)(x f 在(,)a b 内的极值；

(2)将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．

三、数学运用

例1 求函数f (x )＝x 2－4x ＋3在区间[－1，4]内的最大值和最小值．

例2 求函数f (x )＝

12

x ＋sinx 在区间[0，2π]上的最值．

例3．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .

(1)求函数f (x )在[1，e ]上的最大值和最小值；

(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图像在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．

课后练习：

1.求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：

(1)]2,0[,21∈+-=

x x x y ； (2)]2,2[,cos 21ππ-∈-=x x x y

2.求下列函数的最大值与最小值：

(1)];3,1[,23)(-∈+=x x x f (2)];3,1[,3)(2-∈-=x x x x f

(3)];3,31[,1)(∈+

=x x x x f (4)].2,0[,sin 21)(π∈+=x x x x f

3.求函数]2,0[,3∈-=x x x y 的值域.

4.求函数,(0,1]x y e x x =-∈的值域.