第56章范数理论及其应用矩阵函数-
矩阵范数详解
向量和矩阵的范数的若干难点导引矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。
最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m nA C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉直”的变换），所以，直观上可用mnC上的向量范数来作为m nA C⨯∈的矩阵范数。
比如在1l -范数意义下，111||||||m niji j A a===∑∑()12tr()HA A =； （1.1）在2l -范数意义下，12211||||||m n F ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑， （1.2）注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，或F-范数。
可以验证它们都满足向量范数的3个条件。
那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。
定义1 设m nA C ⨯∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件：（1）非负性：||||0A ≥；（1a ）正定性：||||0m nA O A ⨯=⇔=（2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈；（3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ⨯+≤+∀∈则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。
进一步，若对,,m n n l m lC C C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵范数||||∙，有（4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n lB C ⨯∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。
我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,把较容易的（1.1）的验证留给同学们，三角不等式的验证。
范数及其应用
一般来说，监督学习可以看做最小化下面的目标函数：
L(yi,f(xi;w)) 衡量我们的模型（分类或者回归）对第i个样 本的预测值f(xi;w)和真实的标签yi之前的误差。
L0范数与L1范数
L0范数是指向量中非0的元素的个数。如果我 们用L0范数来规则化一个参数矩阵W的话，就是 希望W的大部分元素都是0，让参数W是稀疏的 。
c1 x
x
c2 x
并称 和 定理
为 Cn上的等价范数。
（向量序列收敛性定理） 设 xk Cn , 则
k xi xi 0, i 1, 2, , n lim xk x 0 lim k k
lim x k = x
k
其中 x k x1 , x2 , , xn
这说明，W的L1范数是绝对值，|w|在w=0处是不可微的。
L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有比L0更好的优 化求解特性而被广泛应用。
稀疏的原因
特征选择
稀疏规则化受欢迎的一个关键原因在于它能实现特征的 自动选择。
可解释性
通过稀疏可以使模型更容易解释。
L2范数
L2范数: ||W||2，在回归里面，有人把有它的 回归叫“岭回归”，有人也叫它“权值衰减”。 它的强大功效是改善机器学习里面一个非常重要 的问题：过拟合。
上面的图是线性回归，从左到右分别是欠拟合，合适的 拟合和过拟合三种情况。
Logistic回归
如果模型复杂（可以拟合任意的复杂函数），它可以让 我们的模型拟合所有的数据点，也就是基本上没有误差。 对于回归来说，就是我们的函数曲线通过了所有的数据 点。对分类来说，就是我们的函数曲线要把所有的数据 点都分类正确。这两种情况很明显过拟合了。
矩阵函数及其应用
二、 矩阵函数的初步计算
1. Jordan 标准形法
对于矩阵的多项式，我们曾导出 f(A)= Pf(J)P-1 ， f：多项式
f(J)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(J1)
f(J2 ) %
%
f(Js )⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
f(Ji)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(λi)
f′(λi) %
21!f′′(λi) %
A2 = ⎡⎣⎢⎢01 01⎤⎦⎥⎥ = A3 = A4 = "
B2 = ⎡⎣⎢⎢01 -01⎤⎦⎥⎥ = B3 = B4 = "
∑ eA
=I+(
∝ n=1
1 )A n!
=I+(e
- 1)A
=
⎡⎢⎢⎣e0
e
1
1⎤⎥⎥⎦
∑ eB
=I+(
∝ n=1
1 )B n!
=I+(e
- 1)B
=
⎡⎢⎢⎣e0
1-1e⎤⎥⎥⎦
= an1x1(t)+ an2x2(t)+ " + annxn(t)
式中 t 是自变量，xi = xi(t)是 t 的一元函数(i= 1,2,",n),aij(i,j = 1,2,",n)
是常系数。
令
x(t)=[x1(t),x2(t),",xn(t)]T ， A = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣aaa#1n2111
1 λi
1 λi
% %
λ01i ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
有非奇异矩阵 P 使得： P-1AP = J
对于函数 f(z)，若下列函数
f(λi),f′(λi),...,f(mi-1)(λi)
范数理论及其应用
i i p = i 1= i 1
∑ξ
n
n
+η =
p
∑ξ
n
i
+ ηi
n
p −1
ξi + ηi
p −1
= i 1= i 1
≤ ∑ ξi + ηi
p −1
ξi + ∑ ξi + ηi
ηi
应用 Hölder 不等式
n q p n ( p−1)q ξi + ηi ξi ≤ ∑ ξi + ηi ∑ ∑ ξi i 1= i 1= i 1 n p −1 n q p n ( p−1)q ξi + ηi ηi ≤ ∑ ξi + ηi η ∑ ∑ i i 1= i 1= i 1 n p −1 1 1 1 p
（m、M 与 x 无关） ，它就称为向量范数的等价 得 m x α ≤ x β ≤ M x α， 性。 同时有
1 x ≤ x M β
α
≤
1 x m
β
7
二、矩阵范数 1. 矩阵范数定义：设 k m×n (k = c或R) 表示数域 k 上全体 m × n 阶矩阵的集 合。若对于 k m×n 中任一矩阵 A，均对应一个实值函数，并满足以下四个 条件： （1）非负性： A ≥ 0 ，等号当且仅当 A=0 时成立； （2）齐次性： αA = α A , α ∈ k; （3）三角不等式： A + B ≤ A + B , A,B ∈ k m×n 则称 A 为广义矩阵范数； （4）相容性： AB ≤ A B 则称 A 为矩阵范数。
（3）三角不等式 x + y ≤ x + y , x, y ∈ V 。 则称 x 为 V 中向量 x 的范数，简称为向量范数。 例 1. x ∈ Cn ，它可表示成 x =ξ [ 1 ξ 2 ξn ] ， ξi ∈ C ，
矩阵论范数知识点总结
矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵及其性质。
矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量，它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。
本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。
二、矩阵的定义在数学中，矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。
也可以看成是一个数域上的矩形阵列。
矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。
一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素（a_ij）组成的矩形数组。
三、范数的定义在数学中，范数是定义在向量空间中的一种函数，它通常被用来衡量向量的大小或长度。
对于矩阵来说，范数是一种度量矩阵大小的方法。
对于一个矩阵A，它的范数通常记作||A||。
矩阵的范数满足以下性质：1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。
1. Frobenius范数：矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数：矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数：矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数：矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质，下面将介绍其中一些主要性质。
1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数：||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径：对于任意矩阵A，它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵：对于对称矩阵A，其2-范数定义为rho(A)，即||A||_2 = rho(A)，其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用，下面将介绍一些主要的应用。
矩阵论范数理论
第二章 范数理论在第一章我们曾利用内积定义了向量的长度，他是几何向量长度概念的一种推广。
虽然当n>3时对定义的向量长度无法作出具体的几何解释，但这样规定的长度具有几何向量长度的基本性质，即非负性，齐次性和三角不等式。
本章我们采用公理化的方法，八项量长度的概念推广到更一般的情形，主要讨论向量范数、矩阵范数及其有关的应用。
§2.1 向量范数定义 2.1 若对任意n C x ∈都有一个实数x与之对应，且满足：（1） 非负性：当x 0 x0 x 0x 0 ?==时，；当，；（2） 齐次性：对任何C xx ll l ?，； （3） 三角不等式：对任意n x,y C Î，都有x y ,x y +?则称x为n C 上的向量x 的范数，简称向量范数。
定义中并未给出向量范数的计算方法，只是规定了向量范数应满足的三条公理，称之为向量范数三公理。
从范数定义可得范数的下列基本性质。
定理2.1 对任意，n C y x,∈有 （1）x -=x；（2）x .y xy -?只证（2）。
根据三角不等式，有x x y y x y y =-+?+ y y x x yx x=-+?+综合二式即得x y x y-?证毕例 2.1 设12n ().T n x C x x x = ，， 规定2x =第一章已表明2x是向量x 的一种范数，并称之为向量2-范数，该范数具有如下重要的性质，对任意n x C Î和任意n 阶酉矩阵U ，有22Ux .x =称之为向量2-范数的酉不变性。
例2.2 设12n x ().T n C x x x =，，规定11x nkk x ==å则1x 是向量x 的一种范数，称为向量1-范数。
证当111x 0x 0 x 0x 0x 0.nk k x =?>==å时，显然；当时，的每一分量都是，故对任意λ C , Î有n1111x nkk k k x l l xlx l =====邋又对任意12y (,,).T n n C h h h =有1111111()n nn nkk k k kk k k k k x y x y xh x h xm ====+=+?=+=+邋邋故1x是n C 上的一种向量范数。
矩阵与范数—扫盲讲解
矩阵与范数、谱半径、奇异值矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。
当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换，同其他的数学形式一样，矩阵是一种表达形式（notation）,而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。
如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。
而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。
作为矩阵论的学习，我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但更关键的是要知道各个概念和方法的实际意义，各个概念之间的关系。
首先介绍的是线性空间，对于线性空间中的任意一个向量的表示有基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁，那么就得到了基定义的两点约束：1、基的组成向量线性无关；2、线性空间中的任一个向量都可以由基的线性表示。
基作为一种“计量标准”，当然可能会存在多种形式，只要满足上面的两点条件，因而就有必要解决不同的度量标准之间的转换关系，从而得到过渡矩阵的概念，同时可以使用这种转换关系（过渡矩阵）去完成度量量（坐标）之间的转换。
在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后，下面需要研究对象和对象之间的关系。
这里主要是线性变换，线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作，而这种操作也牵涉到表达的问题。
为了保持与空间的一致性，我们也同样是在特定的基下来表示，从而线性变换就具体化为一个变换矩阵，并且，在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同，这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概念。
到此，我们完成了空间中向量的表示和线性变换的矩阵表达。
这里涉及了基、坐标、过渡矩阵、变换矩阵、相似矩阵这几个重要的概念。
上面算是内涵上的认识，下面我们需要知道线性空间里究竟有些什么东西，它是如何组成的，各个组成成分之间的关系，也就是空间的结构性方面的东西。
矩阵函数的性质及其应用甄选范文
矩阵函数的性质及其应用Matrix function Calculus and its application彭雪娇 欧傅群岭南师范学院数学与计算科学学院，湛江524048摘 要：矩阵函数理论是矩阵理论中的一个重要组成部分。
矩阵函数把对矩阵的研究带入了分析领域，同时也解决了数学领域及工程技术等其他领域的计算难题。
本文从多项式和幂级数两个方面给出了矩阵函数的两种定义方式，从定义出发推导了若干性质及其矩阵函数的求法，在计算中根据适当的情况进行选择，起到事倍功半的作用。
在文章的末尾会简述矩阵函数的应用。
Abstract: Matrix function to the field of research into the analysis of the matrix,but also solved the calculation in the field of mathematics and engineering technology,and other problems.In this paper,from two aspects of polynomial and exponential matrix function to two types of definitions are given,starting from the definition to some properties and several cases of matrix function,the application of minimal polynomial to undertake choosing according to appropriate in the calculation,have the effect of the wasted effort.At the end of the article will briefly describes the application of matrix function. 关键词：矩阵函数;微分方程;Jordan 标准型Keywords:matrix function;the differential equation; Jordan canonical form1 引言矩阵函数定义的引出把矩阵理论延伸到分析的领域，从而使得对矩阵的研究又提升了一个新的层次，增加了新的手段，同时也使矩阵理论在数学，物理，工程技术等许多领域有了新的应用。
矩阵的范数和条件数课件
02
条件数
定义与性质
定义
条件数是衡量矩阵数值稳定性的一个 重要指标，定义为矩阵A的谱范数与 Frobenius范数的比值，记为cond(A) 。
性质
条件数具有对称性，即cond(A) = cond(A^T)，且对于任意常数c，有 cond(cA) = |c| * cond(A)。
条件数的计算方法
考虑计算效率和精度
在选择范数和条件数时，需要权衡计算效率和精度。如果计算效率更重要，可以选择较小 的范数和条件数；如果精度更重要，可以选择较大的范数和条件数。
使用预处理技术改善计算的稳定性和精度
当矩阵的条件数较大时，可以考虑使用预处理技术来改善计算的稳定性和精度。例如，在 求解线性方程组时，可以使用不完全分解（Incomplete LU Factorization）或共轭梯度 法（Conjugate Gradient Method）等预处理技术来降低条件数的影响。
条件数对计算稳定性的影响
矩阵的条件数越大，计算过程中数值不稳定的程度越高，计 算结果可能偏离真实值。因此，在求解线性方程组时，如果 系数矩阵的条件数较大，则需要采取适当的预处理技术来改 善计算的稳定性。
如何选择合适的范数和条件数
根据问题需求选择合适的范数
在某些应用中，可能需要选择特定的范数来衡量矩阵的大小或稳定性。例如，在图像处理 中，可能需要使用Frobenius范数来衡量矩阵的大小。
THANKS
在数值分析中的应用
矩阵的范数可以用于求解线性方程组的迭代法和直接法中，以确定收敛性和误差控制。
条件数可以用于分析数值方法的稳定性和误差传播。
05
总结与展望
矩阵的范数和条件数的重要性和意义
矩阵的范数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，如线性方程组的解、控制系统稳定性分析 、图像处理等。
矩阵范数课件
中的任意一个向量 可唯一地表示成
n i 1
1, 2 ,, n 为其一组基底，那么对于 V
xi i , X x1 , x2 ,, xn F
n
又设 是 F 上的向量范数，则由 所定义的
n
V X
于是有
AB F A F B F
例 4 ：对于任意 A C
nn
，定义
1
A [Tr( A A)] 2 证明如此定义的 A 是矩阵 A 的范数。
H
证明： 首先注意到这样一个基本事实， 即 m n 1 2 1
[Tr( A A)] 2 ( aij )
H i 1 j 1
2
由一个例题可知此定义满足范数的性质。
i 1 j 1 k 1 l 2 i 1 j 1 k 1 l 2
m
n
l
2
m
n
l
2
[( aik )( bkj )]
i 1 j 1 m l k 1 k 1 l
( aik )( bkj )
2 2 i 1 k 1 2 F j 1 k 1
n
A
B
2 F
1
表示矩阵AH A 的第 j 个特征值。我们称此范 数为矩阵 A 的谱范数。 （3）
A max( aij ) , i 1, 2, , m
i j 1
n
我们称此范数为矩阵 A 的行和范数。 例 1 ：设
2 1 0 0 2 3 A 1 2 0
计算 解：
1 ai
i 1
n
2 ( ai )
i 1
n
2 12
矩阵范数作用
矩阵范数作用矩阵范数是衡量矩阵性质的一种数学工具，它可以帮助我们了解矩阵的重要特征以及在实际问题中的应用。
在本文中，我们将探讨矩阵范数的定义、性质以及一些常见的应用。
让我们来定义矩阵范数。
矩阵范数是一个将矩阵映射到实数的函数，满足一定的条件。
常见的矩阵范数包括：1-范数、2-范数和无穷范数。
1-范数是矩阵每一列的绝对值之和的最大值，而2-范数是矩阵的最大奇异值，无穷范数是矩阵每一行的绝对值之和的最大值。
矩阵范数可以帮助我们评估矩阵在不同操作下的变化程度，比如矩阵乘法、矩阵求逆等。
矩阵范数具有一些重要的性质。
首先，矩阵范数是非负的，即对于任意的矩阵A，它的范数大于等于0。
其次，矩阵范数满足三角不等式，即对于任意的矩阵A和B，有范数(A+B) ≤ 范数A + 范数B。
此外，矩阵范数还满足乘法和数乘的性质，即对于任意的矩阵A和标量α，有范数(αA) = |α| × 范数A。
这些性质使得矩阵范数成为一种有效的工具，可以帮助我们分析和计算矩阵的性质。
矩阵范数在实际问题中有许多应用。
其中一个重要的应用是用于评估矩阵的条件数。
矩阵的条件数是矩阵范数的一个重要指标，它描述了矩阵在求解线性方程组时的稳定性。
具体来说，条件数越大，矩阵求解过程中的误差就越大。
因此，通过计算矩阵的条件数，我们可以评估矩阵求解的可靠性，并选择合适的算法和数值方法。
另一个应用是矩阵的奇异值分解。
矩阵的奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中包括一个正交矩阵、一个对角矩阵和它的转置矩阵。
奇异值分解在数据分析和降维等领域有广泛的应用。
通过计算矩阵的奇异值，我们可以提取矩阵的重要信息，并进行数据压缩和降维处理。
矩阵范数还可以用于矩阵的优化问题。
在优化问题中，我们经常需要求解一个矩阵或向量的最优解。
通过定义合适的矩阵范数，我们可以将优化问题转化为一个等价的标准形式，并利用矩阵范数的性质进行求解。
矩阵范数是一种重要的数学工具，它可以帮助我们了解矩阵的重要特征以及在实际问题中的应用。
矩阵函数的原理与应用
矩阵函数的原理与应用1. 矩阵函数的基本概念矩阵函数是指将一个矩阵作为输入，并输出另一个矩阵的函数。
矩阵函数的输入和输出可以是任意维数的矩阵，且可以进行各种运算。
矩阵函数的原理主要基于线性代数的理论。
2. 矩阵函数的推导与定义矩阵函数的推导过程涉及到矩阵的特征值和特征向量的计算。
通过分析矩阵的特征值和特征向量，可以得到矩阵函数的定义和性质。
常见的矩阵函数包括指数函数、对数函数、幂函数等。
3. 矩阵函数的应用领域矩阵函数在科学研究和工程应用中具有广泛的应用。
以下列举几个典型的应用领域：•线性方程组求解：矩阵函数可以通过求解线性方程组来解决实际问题，如物理模拟、数据拟合等。
•信号处理：矩阵函数可以用于处理信号，如图像处理、音频处理等。
•优化问题：矩阵函数可以用于求解优化问题，如最小二乘法、最大似然估计等。
•自动控制：矩阵函数可以用于设计和分析控制系统，如PID控制、模糊控制等。
•机器学习：矩阵函数在机器学习算法中有着重要的应用，如主成分分析、支持向量机等。
4. 矩阵函数的算法与实现矩阵函数的求解算法有多种，常见的有幂法、矩阵对角化等。
矩阵函数的实现可以通过各种编程语言和数值计算库来完成，如MATLAB、Python的NumPy库和SciPy库等。
5. 矩阵函数的性质与扩展矩阵函数具有一些基本性质，如可逆性、对角化等。
此外，还存在一些特殊的矩阵函数，如矩阵的广义逆、矩阵的广义特征值等。
6. 总结矩阵函数作为线性代数的一个重要分支，在科学研究和工程应用中具有广泛的应用。
通过对矩阵函数的理解和应用，可以更好地解决实际问题，并推动科学技术的发展。
以上是矩阵函数的原理与应用的简要介绍，希望对读者有所帮助。
深入学习和掌握矩阵函数的原理和应用，将有助于扩展自己的专业知识和提升解决实际问题的能力。
范数及其应用
范数及其应⽤范数的⼀般化定义：设p ≥1的实数，p-norm 定义为：||x ||p :=(n∑i =1x ip )1p||x ||0:=n∑i =0x 0i严格来讲，L0不属于范数，上⾯的公式让⼈难以理解。
在实际应⽤中，⼈们往往采⽤以下定义：||x ||0=#(i )with x i ≠0其表⽰向量中所有⾮零元素的个数。
||x ||1:=n∑i =1x i也称为曼哈顿距离。
L0范数是指向量中⾮0的元素的个数。
如果我们⽤L0范数来规则化⼀个参数矩阵W 的话，就是希望W 的⼤部分元素都是0。
换句话说，让参数W 是稀疏的。
看到了“稀疏”⼆字，⼤家都应该从当下风风⽕⽕的“压缩感知”和“稀疏编码”中醒悟过来，原来⽤的漫⼭遍野的“稀疏”就是通过这玩意来实现的。
但你⼜开始怀疑了，是这样吗？看到的papers 世界中，稀疏不是都通过L1范数来实现吗？脑海⾥是不是到处都是||W||1影⼦呀！L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有⽐L0更好的优化求解特性⽽被⼴泛应⽤。
范数中最常见，也最著名的⾮L2范数莫属。
||x ||2:=n∑i =1x 2i从学习理论的⾓度来说，L2范数可以防⽌过拟合，提升模型的泛化能⼒。
从优化或者数值计算的⾓度来说，L2范数有助于处理不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。
L1和L2的差别，为什么⼀个让绝对值最⼩，⼀个让平⽅最⼩，会有那么⼤的差别呢？下降速度：L1就是按绝对值函数的“坡”下降的，⽽L2是按⼆次函数的“坡”下降。
模型空间的限制：对于L1和L2规则化的代价函数来说，我们写成⼀下形式：Lasso :minw||y−Xw ||2,s .t . ||w ||1≤CRidge :minw||y −Xw ||2,s .t . ||w ||2≤C考虑⼆维的情况，等⾼线与norm ball 相交的地⽅就是最优解。
L1-ball 的最优点⼤都出现在"⾓点"处，这便⼤概率产⽣了稀疏性；L2-ball 却不范数||L0范数√L1范数||L2范数√L2范数的优点可以，它只是⼀种规则化⼿段。
高考高等数学备考指南矩阵论应用
高考高等数学备考指南矩阵论应用对于即将参加高考的同学们来说，高等数学中的矩阵论可能是一个相对较新且具有一定挑战性的知识点。
然而，掌握好矩阵论不仅能够提升我们在高考数学中的解题能力，还有助于培养我们的逻辑思维和数学素养。
一、矩阵的基本概念矩阵，简单来说，就是一个按照矩形排列的数表。
它由行和列组成，例如一个 m 行 n 列的矩阵，我们就称为 m×n 矩阵。
在高考中，我们常见的矩阵通常是 2×2 或者 3×3 的矩阵。
比如：1 2; 3 4 这就是一个 2×2 的矩阵。
了解矩阵的基本元素，包括矩阵的元素、行向量和列向量等，是我们学习矩阵论的第一步。
二、矩阵的运算1、矩阵的加法只有当两个矩阵的行数和列数都分别相等时，才能进行加法运算。
加法运算就是将对应位置的元素相加。
2、矩阵的数乘一个数乘以一个矩阵，就是将这个数乘以矩阵中的每一个元素。
3、矩阵的乘法这是矩阵运算中的重点和难点。
矩阵乘法并非像数字乘法那样简单直接，它有着特定的规则。
对于矩阵 A（m×n）和矩阵 B（n×p），它们的乘积 C 是一个 m×p 的矩阵。
其中，C 中第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
三、矩阵的性质1、矩阵的转置将矩阵的行和列互换，得到的新矩阵就是原矩阵的转置矩阵。
2、矩阵的逆如果存在一个矩阵 B，使得矩阵 A 与矩阵 B 的乘积为单位矩阵，那么矩阵 B 就是矩阵 A 的逆矩阵。
但并非所有矩阵都有逆矩阵，只有行列式不为 0 的矩阵才有逆矩阵。
四、矩阵在高考中的应用1、求解线性方程组通过将线性方程组写成矩阵形式，利用矩阵的运算和性质，可以更简便地求解方程组。
例如，对于方程组：2x ＋ 3y ＝ 84x y ＝ 1可以写成矩阵形式：2 3; 4 －1 x; y ＝ 8; 1然后通过求矩阵的逆或者其他方法来求解 x 和 y 的值。
矩阵范数
r r 1) 常向量 b 的扰动 δ b 引起解的误差 δ x r r r r r r r r r −1 + 设 A x = b ， A ∃ ， x是精确解。 A y = b r δ b 的解记为 y = x + δ x 。 r 是精确解。 r r r r r r 即 A( xr+ δ x ) = b + δ b ⇒ Ax + Aδ x = b + δ b， r r r r r −1 ) 由Ax = b ，得 A(δ xr = δ b，即δ x = A (δ b )， r ( 9 .2 ) ⇒ || δ x ||≤ || A−1 || || δ b ||， r 1 || A || r r 即 r ≤ r ， ( 9 .3 ) 又 || b ||=|| Ax ||≤|| A || || x || ， r || x || r || b || || δb || x 由（9.2）式及（9.3）式得 || δv || ≤|| A −1 || || A || r ）式及（ ） || b || || x || 结论： 扰动对解的影响 扰动对解的影响。 结论：b扰动对解的影响。 r r n× n 为精确解， 定理27 (1) A ∈ R 为非奇异矩阵，x为精确解， x = b ≠ 0。 定理 r 为非奇异矩阵， 为精确解 A r r r ( 2)设 A( x + δ x ) = br+ δ b ，则b微小误差 扰动、摄动 引起解 的相 微小误差(扰动 引起解x的相 微小误差 扰动、摄动)引起解 r || δx || || δb || ≤|| A −1 || || A || r . v 对误差有估计式 对误差有估计式： || x || || b || 上式说明，常数项b微小误差引起解的相对误差可能是 说明： 上式说明，常数项 微小误差引起解的相对误差可能是 r 说明： || δb || r 的 || A−1 || || A || 倍。 即上式的不等号中的等号可以成立。 即上式的不等号中的等号可以成立。 || b ||
矩阵函数的应用
矩阵函数的应用摘要：矩阵函数理论是矩阵理论的一个重要组成部分。
矩阵函数把对矩阵的研究带入分析领域。
同时也解决了数学领域及工程技术等其它领域的计算难题。
本文介绍借助矩阵函数，简述其在微积分运算在求解一阶线性常系数微分方程组以及控制理论中的应用。
关键词：矩阵函数、常变易法、矩阵函数值一、 一阶线性常系数非齐次微分方程组设一阶线性常系数非齐次微分方程组如下：()()()1111122112211222221122n n n n n n n nn n n d a a a t dt d a a a t dt d a a a t dt ξξξξβξξξξβξξξξβ⎫=++++⎪⎪⎪=++++⎪⎬⎪⎪⎪=++++⎪⎭（1）其中，(),1,2,,ij a i j n = 都是复数，()()1,2,,i t i n β= 是t 的已知函数，()()1,2,,i i t i n ξξ== 是t 的未知函数。
方程组（1）可以写成如下的矩阵方程：()d xAx b t dt=+（2） 在这里()ij n nA a ⨯=，()()12,,,nTx x t ξξξ==，()()()()()12,,,Tn b t t t t βββ=。
下面，我们先讨论方程组（1）对应的齐次方程组的解，它对应的齐次方程组为：11111221221122221122n n n n n n n nn n d a a a dt d a a a dt d a a a dt ξξξξξξξξξξξξ⎫=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎬⎪⎪⎪=+++⎪⎭（3）式中，t 为自变量，()()1,2,,i i t i n ξξ== 是t 的函数，(),1,2,,ij a i j n = 是复数。
令()()12,,,nTx x t ξξξ==()ij n n A a ⨯=，则方程组（3）可写为如下矩阵方程：'d xx Ax dt==（4）假设方程（4）满足初始条件()12,,,Tnc γγγ=，其中()()01,2,,i i i n γξ== 。
范数
向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
定义3.1 对任一向量，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为，若满足下面三个性质：若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║；3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。
那么║·║称为X上的一个范数。
常用范数这里以C^n空间为例，R^n空间类似。
最常用的范数就是p-范数。
若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}可以验证p-范数确实满足范数的定义。
其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)其中2-范数就是通常意义下的距离。
定理中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使m║x║α≤║x║β≤M║x║可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→∞)其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)→x(k→∞),或 .矩阵范数一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。
矩阵函数的应用
高校理科研究
矩阵函数的应用
河北理工大学 刘琳琳 梁彦冰 王大勇
［摘 要］ 矩阵函数理论是矩阵理论的一个重要组成部分。 矩阵函数把对矩阵的研究带入分析领域。 同时也解决了数学领域及工程技 求解矩阵方程以及控制理论中的应用。 术等其它领域的计算难题。本文在这里借助于矩阵函数简述其在微分方程组、 ［关键词］ 矩阵函数 微分方程组 矩阵方程 控制理论 矩阵函数定义的引出把矩阵理论延伸到分析的领域，从而使对矩 阵的研究又提高到一个新的层次， 增加了新的手段， 同时也使矩阵理论 在数学、 物理、 工程技术等许多领域有了新的应用。 一、 矩阵函数在微分方程组中的应用 在线性控制系统中， 常常涉及求解线性方程组的问题。 矩阵函数在 其中有着重要的应用。 １． 应用矩阵函数讨论一阶线性常系数齐次微分方程组的定解问题 定理 １．１ 一阶线性常系数微分方程组的定解问题 ｄｘ ＝Ａｘ （１） ｄｔ ｘ（０）＝（ｘ１（０），ｘ２（０），…，ｘｎ（０））Ｔ （２） · ｘ（０）。 有唯一解 ｘ＝ｅＡｔ 证明 设 ｘ（ｔ）＝（ｘ１（ｔ），ｘ２（ｔ），…，ｘｎ（ｔ））Ｔ 是方程（１）的解， 将 ｘｉ（ｔ）（ｉ＝１，２， … ，ｎ）在 ＇ ＇＇ ２ ＇ ｔ＝０ 处展开成幂级数。ｘｉ （ｔ）＝ｘｉ （０）＋ｘｉ （０）ｔ＋ １ ｘｉ （０）ｔ ＋…， 则有 ｘ（ｔ）＝ｘ（０）＋ｘ （０）ｔ＋ ２！ １ ｘ＇＇ （０）ｔ２ ＋…，其中 ｘ＇ （０）＝（ｘ＇ （０），ｘ＇ （０），…，ｘ＇ （０））Ｔ ， ｘ＇＇ （０）＝（ｘ＇＇ （０），ｘ＇＇ （０），…，ｘ＇＇ （０））Ｔ ， １ ２ ｎ １ ２ ｎ ２！ ２ ３ 逐次求导可得 ｄ ｘ ……但由 ｄｘ ＝Ａｘ， ＝Ａ ｄｘ ＝Ａ２ｘ； ｄ ｘ ＝ ｄ （Ａ２ｘ）＝Ａ２ ｄｘ ｄｔ２ ｄｔ３ ｄｔ ｄｔ ｄｔ ｄｔ ＇ ＇＇ ２ ＇＇＇ ３ ＝Ａ２（Ａｘ）＝Ａ３ｘ，……因而 ｘ （０）＝Ａｘ（０），ｘ （０）＝Ａ ｘ（０），ｘ （０）＝Ａ ｘ（０），… ∴x=x(t)=x 推论 ２．１ 矩阵代数方程 ＡＸ＋ＢＸ＝０ 有非零解的充分必要条件是对 某一个 ｉ 与 ｊ 有 λｉ（Ａ）＋λｊ（Ｂ）＝０ （ｉ＝１，２，…，ｍ；ｊ＝１，２，…，ｎ）。 推论 ２．２ 若 Ｒｅλｉ（Ａ）＜０，（ｉ＝１，２，…，ｎ）， 则 ＡＸ＋ＢＸ＝Ｃ （５） 有唯一解。 证明 因为 Ａ 的所有特征值的实部全小于零，所以 Ａ 的任何两个 特征值之和不会等于零， 根据定理 ２．１ 可知方程（５）有唯一解。 通过上面的讨论， 我们已经知道方程（３）及其特例的解的存在， 唯一 性的判别方法， 下面我们来具体讨论它的解。 定理 ２．２ 若表达式 Ｘ＝－ 唯一解 Ｙ（０）＝Ｃ （６） 它的解为 Ｙ（ｔ）＝ｅＡｔＣｅＢｔ 证明 考虑方程 ｄＹ ＝ＡＹ＋ＹＢ， ｄｔ ｄｔ＝Ａ 乙 Ｙ（ｔ） 乙 ｄＹ ｄｔ ｄｔ＋［ 乙 Ｙ（ｔ）ｄｔ］Ｂ－Ｙ（０）＝Ａ 乙 Ｙ（ｔ）ｄｔ＋［ 乙 Ｙ（ｔ）ｄｔ］Ｂ， 即 －Ｃ＝Ａ 乙 Ｙ（ｔ）ｄｔ＋［ 乙 Ｙ （ｔ）ｄｔ］Ｂ， 令 Ｘ＝－ 乙 Ｙ（ｔ）ｄｔ。 上式变为 ＡＸ＋ＸＢ＝Ｃ 这表明 Ｘ＝－ 乙 ｅ ｃｅ ｄｔ 是 设ｌｉｍ Ｙ（ｔ）＝０， 对（５）两边从 ０ 到 ∞ 的积分， 便得
向量和矩阵的范数课件
对于任意向量x和任意实数a，||x + a|| = ||x||。
三角不等式
对于任意向量x和y，||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||。
向量范数的计算方法
欧几里得范数
对于向量x = [x1, x2, ..., xn]^T，||x|| = sqrt(Σ(xi^2))。
无穷范数
对于向量x = [x1, x2, ..., xn]^T，||x|| = max(abs(xi))。
定义
向量是一个具有n个实数或复数分量 的一维数组，通常表示为 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$。
表示
向量可以用箭头表示，例如 $mathbf{a}$，并在每个分量旁标出 其数值。
矩阵的定义和表示
要点一
定义
矩阵是一个由m行n列的实数或复数组成的矩形阵列，表示 为$A = begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ldots & a_{1n} a_{21} & a_{22} & ldots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_{m1} & a_{m2} & ldots & a_{mn} end{bmatrix}$。
在数值分析中的应用
1 2 3
数值稳定性
范数可以用于评估算法的数值稳定性，例如，在 求解线性方程组时，范数可以用于衡量算法的收 敛性和误差。
矩阵近似
范数可以用于衡量矩阵的近似程度，例如，在计 算矩阵的逆或特征值时，范数可以用于评估算法 的精度。
数值逼近
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X' (t) X(0)
AX(t) C0
f
(t)，
其中A12
0 1
0 1
e2t
1,C0 1 , f (t) e2t
1 1 3 0
0
x
1
x2
x3
0
x1 2 x 2 x 3 1
最小二乘解的问题(2): 最小二乘解的表示
利用广义逆表示最小二乘解 (P127, Theorem 5.3.7) 不相容线性方程Ax=b的 全部最小二乘解为 xAb(EAA)C
最小二乘解的问题(3): 极小范数的最小二乘解
第5章：范数理论及其应 用
Norm Theory & its Applications
5.1 向量范数
• Problem：
线性空间的向量是否定义其他形式的长度？
• Motivation：
欧氏空间的内积可以定义向量的范数 范数的本性特征。
• 范数的公理化定义
Definition (P108) :
0
，计算
d e At/dt
1 0 3
2. 对任意方阵A，计算d e At/dt
6.4 矩阵函数的应用（求解常系数微分方程组）
1. 微分方程组的一般形式
X ' （t）=A（t）X（t）+f（t） X（t 0 ）=C。
齐次：f（t）=0 非齐次：f（t）0 常系数：A（t）=A
2. 一阶线性常系数齐次微分方程组
f(3)
4
f(4)
1 0 1
例
A
1
2
0
，计算eA和eAt。
4 0 3
2 最小多项式方法
m A ( ) ( 1 ) k 1 ( 2 ) k 2 .. s . ) k s ,( k 1 . k . s m . r () c 0 c 1 c 22 c m 1m 1
连续
A（t）连续、可微分、可积分 aij（t） 可微分
lim t t0 A(t)[lt it0a m ij(t)m ]n
可积分dA(t)ຫໍສະໝຸດ dt[ddaij(tt)]mn
b
b
A(t)dt[aij(t)d]tmn
a
a
微分性质
• 例题1 0 0 2
1. 设
A 0 1
1
1
例
(P148, Ex6.2.4)
设A
1
4
2 6 0 3 ，计算eA和eAt 1 4
0 1 2 2 ，计算sinA,sinAt 0 3
6.3 矩阵函数的微积分
• 一、矩阵函数及其分析性质
矩阵函数：A（t）=[aij（t）] m×n，
分析性质：
第6章：矩阵分析及其应用
Ch6 Matrix Analysis & its Applictions
6.2 矩阵函数及其计算
1 Definition (P142)
f (z) akzk 是幂级数，收敛半径为R。 k0
如果 (A)< R，则 a k A k 有意义。 k0
定义 f (A) akAk，称之为矩阵函数 k0
k0 k!
sinA
(1)k A2k1
k0 (2k 1)!
(E A)1 Ak
k 0
ln(E
A)
(1)k
Ak1
k0 k 1
• 含参数的的矩阵函数
f(z) ez f(A ) teA t A ktk
k 0 k !
• 例题5、 设A为反对称矩阵，证明eA为正 交矩阵。
L xj 2(a1j,.a .n.)j,A ( x b)2T j(A x b)0 A T(A x b)0, A(1,. .s.),
线性方程组Ax=b的最小二乘解一定满足 ATA xATb
例 求下面方程组的最小二乘解
x1 x2 1
x1 x 3 2
f(Js)
Key step: 计算
f
(i
)
f (Ji)
f (i)
f (i)
f (k1)(i)
(k
1)!
f (i)
f (i)
• Spectial Case: 矩阵可对角化
2
f(2)
A 3 ,f(A)
• 矩阵范数的公理化定义
Definition (P116) :
要点：1. 正定性
2. 齐次性 3. 三角不等式 4. 相容性：（这是与向量范数不一样的地方）
例 Rnn上的几种范数
n
A (aij )nn :
A m1
| aij |;
i , j 1
A
F
i,
n
|
j 1
aij
5.2 范数的应用
• Content：
范数在特征值理论上的应用； 范数在数值计算上的应用； 范数在最小二乘解上的应用
最小二乘解的问题(1): 最小二乘解满足的条件
Motivation 若线性方程组Ax=b无解，则希望 寻找一个最接近的解。 a11x1 a12x2 ...a1sxs b1 Axb: .a.2.1x1 a22x2 ...a2sxs b2 an1x1 an2x2 ...ansxs bn
f(A)=r(A)
Remark r(λ)为待定函数，其次数比最小多项式低1次
确定r(λ)的依据：由在谱上等值确定r(λ), 即f(λ)与r(λ)在特 征值的各阶导数相等
dj
dj
dj
f( )
j
dj
r(
) ,j0,1,..ki. ,1
j
1 例 (P147, Ex 6.2.3) 设A 1
Remark 一个函数可以写成幂级数，则可以定 义相应的矩阵函数
• 常见的矩阵函数
ez zk
k0 k!
sinz
(1)k z2k1
k0 (2k 1)!
(1 z)1 zk
k 0
ln(1
z)
(1)k
zk
1
k0 k 1
eA Ak
要点：1. 正定性：长度总为正数；零向量长度为
0； 2. 齐次性：成比例的向量其长度成比例； 3. 三角不等式：三角形两边之和大于第三
边
例 Rn上的2-范数，1-范数，p-范数，-范数
x (x1,x2,...,xn)T
:
x 1
|
x1 | ...| xn
|;
x 2
x12 ... xn2;
6 2 2
•
例题6 设 有意义
A 2 0
2 0
0
，讨论
lnA 是否
2
2. 矩阵函数的计算
• Purpose: 计算 f (A) ak Ak k0
Idea:
f(J1)
APJ 1,P f(A )P(J f)P1P
P 1
1/ 2
|2 ;
A m max{| aij |}
Remark 上面矩阵范数都是向量范数的类推。
Remark 上面矩阵范数都与相应的向量范数相容。
例 Rnn上的几种范数
设 是Cnn上的矩阵范P数 是n， 阶可逆阵， m
对于任意A的Cnn,定义A P1AP . m
证明： 是Cnn上的矩阵范数。
X ' （t）=AX（t） X（t 0 ）=C。 其解为：
X（t）=e A（t – t 0） x（t0）
3. 一阶线性常系数非齐次微分方程组
X ' （t）=AX（t）+f（t） X（t 0 ）=C。
其解为： t
X(t)eA(tt0)X(t0)eA(ts)f(s)ds
t0
例 (P161, Ex6.4.2) 求解
Solution 定义误差(cost)函数：使误差最小！！！ L(x1,x2,..x.s),(a1x 11a12 x2.. .a1sxsb1)2 ...
(an1x1an2x2.. .anx ssbn)2
Solution 根据正交投影定理(P039) 或者Laglange乘子法:在驻点处取得极值
Motivation 最小二乘解如果有多个，那么代价 (cost)最小的一个是什么？
Solution 极小范数最小二乘解为(P128, Theorem 5.3.8) xAb
例 求下面方程组的最小二乘解,以及极小范数最小 二乘解
x1 2 x2 1
2
x3
1
2 x1 4 x 2 3
1
x p | x1 |p ...| xn |p p
x max{x|1 |,...|,xn |}
Remark 有限维线性空间上的不同范数是等价 的。(P113 定理5.1.2)
5.2 矩阵范数
• Problem：
矩阵也可以定义长度？
• Motivation：
矩阵可以视为向量： 在matlab中的输入是[1,2,3;4,5,6;7,8,9]