第一章 向量代数

C 图1.3
c
注：从同一始点作 OA a, OB b ，再以OA和OB为 边作平行四边形OACB，则对角线OC 也表示向量a与b 的和 （图1.4），这称为向量的“平行四边形法则”。 向量的加法满足以下规律： （1）交换律： a b b a; C (a b) c a (b c ); A （2）结合律： c a 0 a; a （3） a (a ) 0 （4） b B O 图1.4 其中, a , b, c为任意向量。这些规律可由加法运算的定义 直接得出，请读者自己证明。
(3)
(a b) a b.
（1）可以用定义1.3直接验证。 （2）的证明：若a 0 或 , 中有一个为零时，则 （2）显然成立。下面设 0, a 0 。
情形1 若
a a 同向，因此有
0 ，则 a与 a 同向，且( )a 与
期，并不能适应我们按此思路的讲法，但我们还是坚持这 样，只希望通过我们的努力，让学生在后继的课程学习中 学得主动，愉快。
内容提要 :
主要内容包括向量代数，空间直线和平面，常见曲面，
二次曲面和二次曲线，正交变换和仿射变换，射影平面 简介。
本教材力求为大家提供一个整体的数学框架，注重数学
思想方法的传输，努力调动大家主动思考、解决问题的 积极性，在内容编排上由浅入深，从点到线、到面，循 序渐近。
长度为零的向量称为零向量，记为0。 长度为1的向量称为单位向量。 两向量称为同向的（反向的），是指从同一起点引等 于它们的有向线段时在同一条直线上，且它们的终点分 布在这起点的同一侧（两侧）。与 a 0 同向的单位向量 0 记为 a 。 与 a 长度相等但反向的向量称为 a 的反向量，记为 a 。 思考题：平面中具有同一始点的所有单位向量的终点 的几何轨迹是什么图形？
我们从物理学中知道，力、速度及加速度等这些量既有
大小，又有方向，它们可以用三维欧氏空间中的有向线 段来表示，并且可以平行移动，力（速度）的合成可以 通过有向线段的平移和平行四边形法则来进行。
我们将它们的共性抽取出来而得到向量的概念及向量的
加法运算法则。
进一步研究向量的其它运算：数与向量的乘法，从力的
a b
ab
B
b
C
b
a
O
a A
图1.6
4.共线、共面的向量组 向量的加法和数量与向量乘法统称为向量的线性运 算。 k 设 ai (i 1,2,, n) 是一组向量， i ( i 1,2,, n) n 是一组实数，则 ki ai 是一个向量，称它为向量组
i 1
ai (i 1,2,, n) 的一个线性组合。
有向线段从起点到终点的指向称为向量的方 向。 （如图1.1） 我们将代数运算引到向量中去，来研究图形 性质。这种方法具有直观性，更容易理解图形 性质的几何意义，并且它在物理学等中有重要 的应用。此外向量的概念及其运算也为线性代 数中深入理解向量空间提供了直观的几何背景。
a
A 图1.1
B
a
b b
a
图1.2
定理1.1 设 a, b不共线，则c 与 a, b共面的充要条件 是存在唯一的一对实数 , 使得
| a b l || a | | b | | l | .
定义1.3 实数 与向量a 的乘积 a 是一个向量，它 的长度为 | a || || a |，它的方向当 0 时与 相同， 当 0时与a 相反。当 0或a 0 时，则 a 0 。 设 a 0 ，因为 | a |1 a 与 a 同向，且
定义1.4 平行于同一直线（平面）的向量组称为共 线的（共面的）向量组。 零向量与任意向量共线；共线的向量组一定共面； 若 a b 或 b a ，则a与b共线。
定义1.5 若对于向量组ai (i 1, 2,, n) ，存在不全为 0的实数 ki ( i 1,2,, n) ，使
情形2 若 0，不妨设 0, 0 。 1° 若 0,则 ( )a 0, 而
a a a ( )a (a ) (1)(a ) (a ) (a ) 0.
（2）成立。 2° 若
[( ) ( )]a ( )a ( )a 即得 a ( )a ( a ) ， 从而有 ( )a a a.
(a b) (a a ) [(1 )a]
[ (1 )]a [ ]a a ( )a a ( a ) a b.
情形2 若a与b 不平行，那么当 0时，如图1.6作 OA a, AB a，于是 OB a b, 作OC a, CD b, 则 OAB ∽ OCD ，从而D必在直线OB上，于是 OD (a b) ，又OD a b 。 故有 (a b) a b. 当 0 时，可作类似的讨论。 D
因而a, b线性相关。 若 a, b 都不为0，且同向，则
a b , 从而有
b | b | b | b | a | b | (| a |1 a) | b | (| a |1 )a.
1 令 k1 | b || a | , k2 1. 则有
k1a k2b 0.
做功抽象出向量的内积，由力矩引出向量的外积，从平 行六面体的体积引进向量的混合积，从而形成向量代数， 使向量成为广泛应用的基本工具之一。
第一节 向量及其线性运算
第二节 标架与坐标
第三节 向量的内积
第四节 向量的外积
第五节 向量的混合积
返回
§1 向量及其线性运算
1.向量的概念
3° 若
0 ,则由情形1知
[( ) ( )]a ( )a ( )a ( )a (a )
0 ,则由情形1知
类似于2°可得（2）式。
（3）的证明 若 0 或者a, b 中有一个为0，则（3） 显然成立。下面设 0, a 0, b 0 。 情形1 若a与b 平行，则由定义1.3后面的思考题结论 知存在实数 使 b a ，于是
如果一个向量能够由另一个向量经平行移动 得到,则称这两个向量相等（图1.2）。当用 有向线段 AB 表示向量 a 时，方便起见，记 为 a AB 。
这样定义的向量就表示只要两个有向线段 有相等的长度和相同的方向就可表示同一个向 量，与有向线段的起点无关。或者说，向量是 自由的或可以平行移动（保持长度和方向不 变）的有向线段。
| a a || a | | a | (| | | |) | a |,
又有 因此 故
| ( )a || || a | (| | | |) | a |,
| ( )a || a a |,
( )a a a.
2.向量的加法
回忆物理学中力、速度、位移的合成法。 定义1.1 对于向量 a, b ,作有向线段 AB a, BC b 把 AC 表示的向量 c 称为a 与 b 的和,记为 （图1.3），即 AB BC AC cab 由此公式表示的向量加法规则称为“三角形法则”。 B
a a
A
b b
故 a, b 线性相关。若 a, b 反向，可作类似的讨论。
充分性。设存在不全为0的实数k1 , k 2使k1a k2b 0. 1 不妨设k1 0, 则有 a ( k1 k2 )b ，故 a, b共线。 思考题：请考虑两向量线性无关的充要条件及其几何 特征。 推论1.1 若a, b共线且 a 0 ，则存在唯一的实数 使得 b a 。 命题1.2 三向量a , b, c 共面（不共面）的充要条件是 a, b, c 线性相关（线性无关）。 此命题的证明留作习题。 思考题：在平面和空间中各画出一线性相关和线性无 关的向量组。
k a
i 1 i
n
i
0,
则称向量组 ai (i 1,2,, n)线性相关，否则称向量组线 性无关。 思考题：对照此定义，采用陈述的方式，写出向量 组线性无关的定义。
a, 命题1.1 两个向量 a, b 共线的充要条件是 b 线性相关。 证明 必要性.若 a, b 中有一个为零向量，不妨设 a 0， 则对实数 k1 1, k2 0, 有 k1a k2b 1 0 0 b 0,
教材试图突出各章节的主要数学思想，立足为大家建立一
个整体框架，并努力阐述几何与代数的关系，用代数的手 段解决几何的问题，而省略去许多繁琐的运算，其中部分 留给大家动手解决；
教材更多地注重与后继课程密切相关的二次曲面阐述，而
对二次曲线的讨论则因为思想方法相同而简略。
实事求是地讲，新生刚进校后，学习习惯上需要一个调整
3. 数量与向量的乘法
a
|| a | a || a | | a | 1
1
1
a | a |1 a，这称为把 a 单位化。 所以
b 对于任意的向量 a、 和任意实数 , ，数量与向 量的乘法满足以下规律
(1) (2)
( a ) ( )a;
( )a a a;
解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质一门学科。
包括平面解析几何和空间解析几何两部分。通过在几何空 间中建立坐标系，就可将空间中的点用坐标表出，从而图 形的几何性质可以表为图形上点的坐标之间的关系，特别 是代数关系。
17世纪初，法国数学家笛卡儿(Descartes,R)和费尔马
（Fermat, P.de）利用这种关系研究几何图形，创立了解 析几何。从此变量被引进了数学，成为数学发展中的转折 点，为微积分的出现创造了条件。
既有大小又有方向的量称为向量（或
矢量）。我们用符号
a , b, c , 表示。
一个向量 a 可以用有向线段 AB 表示，作图 时都用有向线段。 设有向线段 AB 表示向量 a ，则有向线段AB 的长度| AB | 称为向量 a 的长度或模。记为| a | 。