综合法和分析法教学设计

综合法与分析法
例1 已知a, b, c 0, 且不全相等, 求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
由于a,b,c不全相等, 所以上述三个式子中至少有一个不 取 等 号, 把 它 们 相 加 得 a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
二、综合法与分析法 (1)综合法
在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的 性质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要 证明的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、 定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题 成立,这种证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因 导果法.
(1)a2 0;
(2) a 0;
(3)a2 b2 2ab;它的变形形式又有
(a
b)2
a2 4ab;
b2
a
bБайду номын сангаас
2
2 2
(4) a b ab;它的变形形式又有 2
a b 2(ab 0); a b 2(ab 0)
ba
ba
例3 求证 2 7 3 6
证明 : 2 7和 3 6都是正数, 所以要证 2 7 3 6,
同理1 a2 2 a2 , ,1 an 2 an a1, a2 , , an R ,由不等式的性质 ,得
(1 a1)(1 a2 ) (1 an ) 2n a1a2 an 2n.
ai 1时,1 ai 2 ai 取等号, 所以原式在 a1 a2 an 1时取等号.
利用综合法证明不等式时, 应注意对已证 不 等 式 的 使 用, 常 用 的 不 等 式 有:
用分析法证明不等式的逻辑关系
结论B B1 B2 Bn A已知
(步步寻求不等式成立的充分条件)
用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有…… 只需证明命题B2为真,从而有……
…… 只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真.
用综合法证明不等式的逻辑关系
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例2 已 知a1,a2 , ,an R , 且a1a2 an 1, 求 证(1 a1 )(1 a2 ) (1 an ) 2n 证明: a1 R,1 a1 2 a1 ,
只需证( 2 7 )2 ( 3 6)2 ,
展开得9 2 14 9 2 18 ,
只需证 14 18 ,
只需证14 18,14 18成立,
所以 2 7 3 6成立.
(2)分析法
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证 的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执 果索因的思考和证明方法.