狂刷25 数列的通项与求和-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)
狂刷12定积分与微积分基本定理-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)
，则 f x dx 等于
2 x, x 1,2
0
3
A．
4 5
C．
6
【答案】 C
4
B．
5
D．0
2
1
【解析】 f x dx= f x dx
0
0
2
f x dx
1
1 x 3 |10 3
2 x 1 x2 |12 1
1
5
,故选 C.
2
326
【名 师点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 定 积 分 及定 积分 的 性质 ， 属 于 中档 题 .由 定 积分 性 质知
2
【名师点睛】 1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，
一般转化为定积分的计算及应用，
但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．
(1)画出图形，确定图形范围；
(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；
(3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；
1
1．定积分 (2 x ex )d x 的值为 0 A．e 2 C． e 【答案】 C
B． e 1 D． e 1
2．定积分 a a2 a A ． 1 πa2 4
x2 dx等于
C． πa 2
B ． 1 πa 2 2
D． 2 πa2
【答案】 B
【解析】由题意可知定积分表示半径为
a的半个圆的面积，所以 S 1 πa 2 ，选 B.
S ，下列式子正确的是
B． S D． S
1
(x
x2 )dx
0
1
( y y )dy
0
1
【答案】 B
【解析】两曲线的交点的横坐标为
新高考数学考点19 数列通项与求和与通项考点分类讲义练习题附解析3
(2)数列bn 满足 bn
1 4Sn
1，Tn
为数列bn 的前
n
项和，是否存在正整数
m， k
1
m
k ，使得
Tk 3Tm2 ?若存在，求出 m，k 的值；若不存在，请说明理由．
10、（2020 届山东省烟台市高三上期末）已知数列an 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn n 1 an n N ，且
{an}的前 n 项和，则 S7 （ ）
A．28
B．21
C．14
D．7
2、（北京市北京师范大学附属实验中学 2019-2020 学年上学期期中）已知 Sn 是等差数列 an ( n )的
前 n 项和，且 S5 S6 S4 ,以下有四个命题：
①数列an 中的最大项为 S10 ②数列an 的公差 d 0
三年高考真题
1、【2020 年北京卷】在等差数列an 中， a1 9 ， a3 1 ．记Tn a1a2… an (n 1, 2,… ) ，则数列
Tn （ ）．
A. 有最大项，有最小项 C. 无最大项，有最小项
B. 有最大项，无最小项 D. 无最大项，无最小项
2、【2020 年全国 2 卷】数列{an} 中， a1 2 ， amn aman ，若 ak1 ak2 ak10 215 25 ，则 k
8、（2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列{an}的前 4 项和为10 ，且 a1, a2 , a4
是等比数列bn 的前 3 项.
(1)求 an , bn ;
(2)设 cn
bn
an
1
an
1
，求cn 的前 n
项和 Sn
.
9、（2020 届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn , a2 a5 12, S4 16 ． (1)求an 的通项公式；
狂刷22 数列的概念及其表示-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)
∴an＝n2．
则使 成立的n的最大值是5．
故选B．
16．已知 为数列{an}的前n项和，且 ， ，则{an}的首项的所有可能值为_____________.
【答案】
17．已知正项数列 满足： ，若 ，数列 的前 项和为 ，则 __________．
【答案】
【解析】∵ ，且 ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .学&科网
18．（2018新课标全国Ⅰ理科）记 为数列 的前 项和，若 ，则 _________．
【答案】
【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
19．（2015江苏）数列 满足 且 ,则数列 的前10项和为.
【答案】
【解析】因为 且 ，所以 ,则 ,
所以数列 的前10项和为 .
令 ，易知：对称轴为x= .
所以数列 的最小项为第5项.故选D.*网
9．已知数列 满足： ，且 ，则 _____________.
【答案】
10．数列 满足前 项和 ，则数列 的通项公式为_____________.
【答案】
【解析】∵数列 的前 项和 ，
∴当 时， ，
又∵当 时， ，
故 ，
故答案为： .
A．97B．98
C．99D．100
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
，
……
，
以上各式相加，得 ，
又 ，则
∴ ， .
第9题 数列的通项公式、求和及数列的综合问题--2019年高考数学23题试题分析与考题集训含答案
第9题 数列的通项公式、求和及数列的综合问题【考法】本主题考题形式为选择题、填空题，主要考查求数列通项公式、数列求和及数列的综合问题，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档或难题，分数为5分.【回扣】1.求数列的通项公式的常见类型和解法：（1）观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明. （2）累加法：对于可转化为形式数列的通项公式问题，化为，通过累加得n a ==，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数 （3）累积法：对于可转化为形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a ==，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数（4）构造法：对于化为（其中p 是常数）型，常用待定系数法将其化为，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.（5）利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项：对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2.数列求和的主要方法：（1）分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n 和公式求前n 项和.（2）拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式: ①若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则11n n a a +=②n a ==（3）倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想（4）错位相减法：若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S ==①，两边同乘以公比q 得n qS =② ，①式与②式错位相减得(1)n q S -==，转化为等比数列，的前n 项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.（5）并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．【易错提醒】1.已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．7．裂项相消法求和时，一注意分裂前后的值要相等，如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12)111(+-n n ；二注意要注意消去了哪些项，保留了哪些项.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式．【考向】考向一数列的通项公式【解决法宝】对数列求通项公式问题要熟练掌握常见的求通项公式方法，根据题中条件，选择合适的方法求解，特别是已知数列的递推公式求通项公式问题，常需要对所给条件进行变形，如两边去倒数等，转化为常见形式，在选择合适的方法求解.例1【2019届湖北省重点高中联考协作体期中】已知数列满足:.若，则数列的通项公式是（）A．B．C．D．【分析】根据题干得到变形为，故是等比数列,公比为2，根据等比数列的公式得到，进而得到.【解析】由得所以,故是等比数列,公比为,,，故选C.考向二数列求和【解决法宝】1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.3.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.4.用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.例2．【2019届广东省汕尾市质检】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式和裂项相消法求出数列的和，最后利用放缩法和恒成立问题的应用求出结果．【解析】数列的首项，则常数，故数列是以为首项，3为公差的等差数列，则首项符合通项，故，，∴，由于数列的前n项和恒成立，故，则t的最小值为.考向三数列综合问题【解题法宝】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.例3．【2019届黑龙江省齐齐哈尔市一模】已知数列的前项和满足，.数列的前项和为，则满足的最小的值为______．【分析】根据题意，将S n＝3a n﹣2变形可得S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，两式相减变形，并令n＝1求出a1的值，即可得数列{a n}是等比数列，求得数列{a n}的通项公式，再由错位相减法求出T n的值，利用T n＞100，验证分析可得n的最小值，即可得答案．【解析】根据题意，数列{a n}满足S n＝3a n﹣2，①,当n≥2时，有S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，②，①﹣②可得：a n＝3a n﹣3a n﹣1，变形可得2a n＝3a n﹣1，当n＝1时，有S1＝a1＝3a1﹣2，解可得a1＝1，则数列{a n}是以a1＝1为首项，公比为的等比数列，则a n＝（）n﹣1，数列{na n}的前n项和为T n，则T n＝1+23×（）2+……+n×（）n﹣1，③，,则有T n2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④，③﹣④可得：T n＝1+（）+（）2+……×（）n ﹣1﹣n ×（）n ＝﹣2（1）﹣n ×（）n，变形可得：T n ＝4+（2n ﹣4）×（）n，若T n ＞100，即4+（2n ﹣4）×（）n＞100，分析可得：n ≥7，故满足T n ＞100的最小的n 值为7.【集训】1.【云南省昆明市一中2018届第六次月考】已知数列的前项和为，则的值是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，；当时，，所以12-=n a n ，所以，故选C ．2.【2019届河北省衡水中学二调】已知数列的前n 项和为，，，且对于任意，，满足，则的值为A ．90B ．91C ．96D ．100【答案】B 【解析】对于任意，，满足，，．数列在时是等差数列，公差为2．，，则，故选B ．3.【福建省厦门外国语学校2018届下学期第一次月考】已知函数，且，则等于（ ）A. －2013B. －2014C. 2013D. 2014 【答案】D4【2019届河南省新乡市二模】已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，，则，其对称轴.所以的最小的一项是第项.故选A.5.【2019届云南曲靖市一模】数列中，，，设其前项和为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将式子变形为：是等比数列，首项为，故得，故选A.6.【2019届河北省衡水中学高考押题（二)】已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A．-454 B．-450 C．-446 D．-442【答案】B【解析】数列是首项为1 ,公差为2的等差数列，,数列满足关系，时，，两式相减可得，可得（），时，,解得，,故选B.7.【广东省华南师范大学附属中学2018届综合测试（三）】等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，所以，，所以，得，所以，得，所以时，，故选C。
狂刷31 不等式的综合应用-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)
1．函数2221xy x x x+=+---的定义域是 A ．[]2,1-- B ．[]2,1- C ．[)2,+∞ D ．()(),11,-∞+∞【答案】A2．已知0,0a b >>,且111,,2a b成等差数列,则9a b +的最小值为 A ．16 B ．9 C ．5D ．4【答案】A 【解析】∵111,,2a b 成等差数列,∴111a b+=. 所以()119991016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当9b aa b=时等号成立.故选A ． 3．记函数()212f x x x =--的定义域为D ，在区间[]5,5-上随机取一个实数x ，则x D ∈的概率是105C ．110 D ．15【答案】A【解析】函数()212f x x x =--的定义域为22{|120}{|120}D x x x x x x =--≥=+-≤{|43}x x =-≤≤，学&科网则在区间[]5,5-上随机取一个实数x ，x D ∈的概率是()()3475510P --==--．故选A ． 4．若关于x 的方程()92340xxa +-+=有解，则实数a 的取值范围是 A ．()2,-+∞ B ．(),4-∞- C ．(],2-∞- D ．[)4,-+∞【答案】C5．若不等式对一切实数恒成立,则关于的不等式的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为不等式对一切实数恒成立,所以,所以0<a<1,所以函数y=a x 是减函数,由可得,所以.6．已知x ,y 满足230,330,1,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩z =2x +y 的最大值为m ,若正数a ,b 满足a +b =m ,则1a +4b 的最小值为2C ．43D ．52【答案】B【解析】画出不等式组230,330,1x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示,学*科网7．设，则的大小关系为___________.【答案】【解析】因为e<3，所以，即，又>1，所以.8．已知0,0m n >>,若212m n =-,则327m n+的最小值为___________. 【答案】969．设x ,y 满足约束条件360,20,,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩若目标函数z =ax+by (a ,b >0)的最大值是12,则a 2+b 2的最小值是___________.【答案】3613【解析】作出不等式组360,20,,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图中阴影部分(包括边界)所示.目标函数z =ax+by (a ,b >0)在过点A 时,z 取得最大值12,由360,20,x y x y --=⎧⎨-+=⎩可得4,6,x y =⎧⎨=⎩即A (4,6),故4a+6b =12,即2a+3b =6.a 2+b 2的最小值表示(a ,b )与(0,0)两点间距离的平方的最小值,所以(a 2+b 2)min =(22623+)2=3613.10．已知集合，，则集合()AB R ð中元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】∵，∴{}|13A x x =-≤≤R ð， 则()ABRð.故选C. 学科@网11．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则A ．f (4)＞f (0)＞f (1)B ．f (4)＞f (1)＞f (0)C ．f (0)＞f (1)＞f (4)D ．f (0)＞f (4)＞f (1)【答案】A12．在ABC △中，A ，B ，C 分别为边a ，b ，c 所对的角，且a ，b ，c 成等差数列，则角B 适合的条件是A ．04B π<≤ B ．03B π<≤C ．02B π<≤D ．2B π<<π 【答案】B【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，所以2222222222()323()16114cos 22884842()a c a c a c b a c ac a c ac B ac ac ac ac ac ++-+-+-+====-≥-=， 当且仅当a b c ==时等号成立． 又B 为三角形的内角，所以03B π<≤．故选B ． 13．已知在平面直角坐标系中,点P 是不等式组210,10,330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内的动点,Q 是直线3x +y =0上任意一点,O 是坐标原点,则|OP -OQ |的最小值为A ．1010B ．31010C ．22D．3【答案】A【解析】作出不等式组210,10,330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示.14．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是____________.【答案】【解析】∵函数的定义域为，∴对任意恒成立，当时，不等式化为，不恒成立；当时，则440kk∆>=-≤⎧⎨⎩，解得，综上，实数的取值范围是．故答案为.15．设x>0,y>0,且(x-1y)2=16yx,则当x+1y取最小值时, x2+21y=.【答案】1216．已知整数x ,y 满足20,350,x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩则z =4-x ·(12)y的最小值为 . 【答案】116【解析】z =4-x ·(12)y =2-2x ·2-y =2-2x -y . 设m =-2x -y ,要使z 最小,则只需m 最小. 作出不等式组20,350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由m =-2x -y 得y =-2x -m ,平移可知当直线y =-2x -m 经过点B 时,m 最小, 由解得即B (1,2),此时m =-2-2=-4,所以z =4-x·()y 的最小值为2-4=116.学科.网 17．直线20(0,0)mx ny m n -+=>>被圆222210x y x y ++-+=截得弦长为2，则41m n+的最小值为______________．【答案】9 2【方法点睛】当函数或代数式具有“和是定值”、“积是定值”的结构特点时，常利用基本不等式求其最大、最小值．在具体题目中，一般很少考查基本不等式的直接应用，而是需要对式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出结果．。
狂刷24 数列的通项与求和-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版(解析版)
A． B．
C． D．
【答案】D
12．已知数列 满足 ，且数列 是以8为公差的等差数列，设 的前 项和为 ，则满足 的 的最小值为
A．60B．61
C．121D．122
【答案】B
【解析】由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
设等比数列{ +2}的公比为q,则q>0,S3=3(1+q+q2)=39,
所以1+q+q2=13,q2+q-12=0,得q=3(q=-4舍去),
则 +2=3·3n-1=3n,an= +1,
则T3=a1+a2+a3=2+ +1+ +1=4+ .
16．已知数列 中， ，且点 )在直线 上，则数列 的通项公式为__________.
【答案】
17．已知数列 是其前 项的和，且满足 ,则 __________.
【答案】
【解析】当n=1时， ,∴ ；
当 时， ①，
②，
①-②得 ，即 ，
∴ ,
又 ，
∴数列 是以 为首项,3为公比的等比数列,
则 ,∴ ,代入 ，得 .学 Nhomakorabea科网18．（2017江苏）等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ，则 ________．
由 得 ，所以 .
即 的最小值为61.故选B.
13．已知数列 ，定义数列 为数列 的“ 倍差数列”，若 的“ 倍差数列”的通项公式为 ，且 ，设数列 的前 项和为 ，则
A． B．
C． D．
专题06 数列-2019高考数学(理)热点题型 Word版含解析.doc
数列热点一 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例1】 (满分12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和. 教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P44例3，主要考查由S n 求a n ，本题第(2)问源于教材必修5P47B 组T4，主要考查裂项相消法求和.(2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ， 由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，8分 (得分点5)则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 10分 (得分点6)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.12分 (得分点7)得分要点❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由a n 满足的关系式，通过消项求得a n ，验证n ＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n 项和S n .❷得关键分：(1)a n －1满足的关系式，(2)验证n ＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7).【类题通法】求数列通项与求和的模板第一步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项. 第二步：根据和的表达式或通项的特征，选择适当的方法求和. 第三步：明确规范地表述结论.【对点训练】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和为T n .(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.【例2】已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n.(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q . 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k(k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【对点训练】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n，求数列{b n }的前n 项和T n .(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n， 则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1.∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋ (3))－(2n －1)·3n ＋1，则－2T n ＝3＋2×32－3n×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.热点二 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例3】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】 已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n. (2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，①∴－2S n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②①－②，得S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2（1－2n）1－2－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.由S n＋(n＋m)a n＋1<0，得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意正整数n恒成立，∴m·2n＋1<2－2n＋1，即m<12n－1对任意正整数n恒成立.∵12n－1>－1，∴m≤－1，故m的取值范围是(－∞，－1].。
狂刷25 数列的综合应用-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版(解析版)
【答案】3
【解析】因为 成等比数列,所以 ,
即 ,解得d=3或d=-1.
当d=-1时， ，舍去.
故
8．等差数列 中，公差 ，且 ，数列 是等比数列，且 ，则 _______．
【答案】16
【解析】因为等差数列 中， ，所以 ,所以 .
【答案】16
12．等比数列 中， 是数列 的前 项和， ，且 依次成等差数列，则 等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 ①，
又 依次成等差数列，则 ，即 ②，
①②两式相加得： ，代入①得 ，
①②两式相比得 ，解得 或 ，则 或 ，
当 时， ；
当 时， ，选C .
13．已知等差数列 的公差 ,且 成等比数列,若 为数列 的前 项和,则 的最小值为
【答案】
11．成等差数列的三个正数的和等于 ，并且这三个数分别加上 、 、 后成为等比数列 中的 、 、 ，则数列 的通项公式为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设成等差数列的三个正数为 ， ， ，即有 ，解得 ，
由题意可得 ，8， 成等比数列，即有 ，解得 （ 舍去），可得公比为2，则数列 的通项公式为 ，故选A.
专题六数列
狂刷25数列的综合应用
1．已知等差数列 满足 ,且 成等比数列,则
A．5B．3
C．5或3D．4或3
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ,
则 ,
由 成等比数列,得 ，
解得 或 1，
当 时, ;
当 时, ．
综上， .
2．已知首项为1的等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且S2,S4,S8成等比数列,则d=
2019秋高三数学上学期期末试题汇编：19.数列的通项与求和 1 Word版含解析
（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）7.数列满足，，是数列前5项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用递推公式求得的值.进而利用裂项相消求和法，求得的值.【详解】由递推公式，将，代入得，解得；将代入递推公式得，解得.同理解得，所以.【点睛】本小题主要考查递推公式求数列的前几项，考查裂项求和法求数列前几项的和.属于中档题.（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）12.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，【详解】由题意，可得当时，；时，，∴当时，的最大值为；又由，∴当时，的最大值为；当时，的最大值为，…，所以当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，得.若对任意的正整数成立，则，故选B.【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．（湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试数学（文科）试题）15.已知数列的前项和为，．当时，，则=_______【答案】1010【解析】【分析】由题意可得：，整理变形可知当时，数列任意连续两项之和为1，据此求解的值即可.【详解】由题意可得：，两式作差可得：，即,即当时，数列任意连续两项之和为1，据此可知：.【点睛】给出与的递推关系，求a n，常用思路是：一是利用转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n.（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）16.已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式和裂项相消法求出数列的和，最后利用放缩法和恒成立问题的应用求出结果．【详解】数列的首项，则：常数故数列是以为首项，3为公差的等差数列．则：首项符合通项．故：，，，由于数列的前n项和恒成立，故：，则：t的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）16.在下图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数（），已知（），且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即（，若，则正整数的最小值为__________．【答案】103【解析】【分析】根据条件，利用数列的递推关系式，求得数列的递推关系式，利用累加法和数列的单调性，即可求解。
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题25数列的综合应用(题型专练)含解析
1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝2n－12n，其前n项和S n＝32164，则项数n＝()A．13B．10 C．9 D．6 【答案】D【解析】∵a n＝2n－12n＝1－12n，∴S n＝n－12－12n1－12＝n－1＋12n＝32164，∴n＝6。
2．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N*)，则S2 012＝() A．22 012－1 B．3·21 006－3C．3·21 006－1 D．3·21 005－2【答案】B3．已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列{1f n}的前n项和为S n，则S2 012的值为()A.2 0122 011B.2 0102 011C.2 0132 012D.2 0122 013【答案】D【解析】由已知得b＝12，∴f(n)＝n2＋n，∴1f n ＝1n2＋n＝1n n＋＝1n－1n＋1，∴S2 012＝1－12＋12－13＋…＋12 012－12 013＝1－12 013＝2 0122 013。
4．数列{a n}满足a n＋a n＋1＝12(n∈N*)，且a1＝1，S n是数列{a n}的前n项和，则S21＝()A.212B ．6C ．10D ．11【答案】B【解析】依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6，故选B 。
5．已知函数f (n)＝n 2cos(n π），且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝()A ．－100B ．0C ．100D ．10 200【答案】A【解析】若n 为偶数时，则a n ＝f(n)＋f(n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)，为首项为a 2＝－5，公差为－4的等差数列；若n 为奇数，则a n ＝f(n)＋f(n ＋1)＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，为首项为a 1＝3，公差为4的等差数列。
2019届高三上期末数学分类汇编(19)数列的通项与求和(含答案)
（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）7.数列满足，，是数列前5项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用递推公式求得的值.进而利用裂项相消求和法，求得的值.【详解】由递推公式，将，代入得，解得；将代入递推公式得，解得.同理解得，所以.【点睛】本小题主要考查递推公式求数列的前几项，考查裂项求和法求数列前几项的和.属于中档题.（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）12.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，【详解】由题意，可得当时，；时，，∴当时，的最大值为；又由，∴当时，的最大值为；当时，的最大值为，…，所以当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，得.若对任意的正整数成立，则，故选B.【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．（湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试数学（文科）试题）15.已知数列的前项和为，．当时，，则=_______【答案】1010【解析】【分析】由题意可得：，整理变形可知当时，数列任意连续两项之和为1，据此求解的值即可.【详解】由题意可得：，两式作差可得：，即,即当时，数列任意连续两项之和为1，据此可知：.【点睛】给出与的递推关系，求a n，常用思路是：一是利用转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n.（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）16.已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式和裂项相消法求出数列的和，最后利用放缩法和恒成立问题的应用求出结果．【详解】数列的首项，则：常数故数列是以为首项，3为公差的等差数列．则：首项符合通项．故：，，，由于数列的前n项和恒成立，故：，则：t的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）16.在下图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数（），已知（），且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即（，若，则正整数的最小值为__________．【答案】103【解析】【分析】根据条件，利用数列的递推关系式，求得数列的递推关系式，利用累加法和数列的单调性，即可求解。
【课件】数列通项的求解问题(高二上学期期中复习专题)高中数学人教A版2019选择性必修第二册
n 2时， S n 1 2 2an 1
与已知式作差，可得 S n S n 1 2an 2an 1
即an 2an 2an 1
an
2
an 1 3
2
an ( ) n
3
等比数列
练
an S n S n 1 S n S n 1
两边同时除以 S n S n 1
数列通项的求解问题
期中复习专题
常见求数列通项公式的类型
1.归纳猜想
2.公式法
3.累加法/累乘法
4.项和互化
5.构造数列
1
归纳猜想
例
练
B
注：1、数列的通项公式可能不唯一
2、解答题中如果用归纳猜想得
出通项公式需要证明
2
公式法
例
（1）an a4 (n 4)d 3 (n 4) 5 5n 17
d
c 1
例
B
例
A
6
应用
193
本课小结：
课后作业：复习相关知识，完成导学案习题
THANKS
2
,n 1
9
4
,n 2
(2n 11)(2n 13)
5
构造数列
例
an 1 x 2(an x)
an 1 2 n
易知x 1
即an 1 1 2(an 1)
an 2 n 1
{an 1}是以a1 1 2为首项，
2为公比的等比数列
an
S n S n1 , n 2
4, n 1
2
2
n n 2 (n 1) (n 1) 2, n 2
狂刷25 数列的通项与求和 (解析版)
专题六 数列狂刷25 数列的通项与求和1．若{}n a ，{}n b 满足1n n a b ⋅=，232n a n n =++，则{}n b 的前10项和为A ．12 B ．512 C ．13D ．712【答案】B【解析】因为1n n a b ⋅=，所以()()211111321212n n b a n n n n n n ====-++++++， 所以12101111111152334111221212b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选B.2．在数列{}n a 中，已知121n n n n a a a a +++-=-，10101a =，则该数列前2019项的和2019S = A ．2019 B ．2020 C ．4038D ．4040【答案】A 【解析】121n n n n a a a a +++-=-，122n n n a a a ++∴=+，{}n a ∴为等差数列，10101a =，()1201910102019201920192201922a a a S +⨯∴===.故选A.3．已知等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+（a 为常数），则数列2{}n a 的前n 项和为A ．1(91)2n- B ．1(91)4n- C ．1(9)8na +D ．3(91)8n a +-【答案】A【解析】113a S a ==+，当2n ≥时，1123n n n n a S S --=-=⋅，所以32a +=，即1a =-.所以2149n n a -=⋅，前n 项和()()419191192n nn T -==--.故选A.4．中国人在很早就开始研究数列,中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下:数列{a n }的前n 项和S n =14n 2,n ∈N ∗，等比数列{b n }满足b 1=a 1+a 2，b 2=a 3+a 4,则b 3= A ．4 B ．5 C ．9D ．16【答案】C【解析】由题意可得:211221214b a a S =+==⨯=, 22344214134b a a S S =+=-=⨯-=,则等比数列的公比213b q b ==,故329b b q ==. 本选C.5．已知数列{a n }满足：当n ≥2且n ∈N *时，有a n +a n−1=(−1)n ×3，则数列{a n }的前200项的和为 A ．300 B ．200 C ．100 D ．50【答案】A【解析】由题意知当n ≥2且n ∈N *时，有a n +a n−1=(−1)n ×3， 则a 2+a 1=3,a 4+a 3=3,a 6+a 5=3，⋯，a 200+a 199=3，所以数列{a n }的前200项的和为(a 2+a 1)+(a 4+a 3)+(a 6+a 5)+⋯+(a 200+a 199)=300， 故选A.6．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5S = A ．3116B ．158C ．7D ．31【答案】A 【解析】数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ．7．已知数列{}n a 满足11a =，()()11112n n n a a n n ++-=-+，则数列(){}1nn a -的前40项的和为A ．1920 B ．325462 C ．4184D ．2041【答案】D【解析】由已知条件得到()()11112n n n a a n n ++-=-+，则40391111413939412a a ⎛⎫-==-⨯ ⎪⨯⎝⎭，3837111,,37392a a ⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭2111132a a ⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，左右两侧累加得到4039383736352111111112394137393a a a a a a a a ⎛⎫-+-+-++-=⨯-+-++- ⎪⎝⎭，正好是数列(){}1nn a -的前40项的和，计算得到2041. 故选D.8．记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，()()*12n n n n S S a n +-=∈N ，则2019S = A ．101123- B ．()10103212- C ．201023- D ．()20193212- 【答案】A【解析】由题数列{}n a 满足11a =，()()*12n n n n S S a n +-=∈N ，1212122,2n n n n n n n n a a a a a a +++++∴===又2112,1,a a a ==则22,a =，由此可得数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为1,2，则()()2019132019242018......S a a a a a a =+++++++()100910101011221212 3.2121--=+=---故选A.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211n n n n a a a a +++-=-，12a =，38a =，则4S =__________． 【答案】26【解析】因为211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，则8232d -==， 所以443423262S ⨯=⨯+⨯=. 故答案为26.10．已知数列{a n }满足a 1=2且a n+1−3a n =2，则数列{a n }的通项公式为__________.【答案】3n −1【解析】因为a n+1−3a n =2,所以a n+1+1=3a n +3=3(a n +1),即1131n n a a ++=+，即数列{a n +1}为等比数列，则a n +1=3×3n−1=3n , 所以a n =3n −1.11．在数列{}n a 中，10a =，1313n n na a a ++=-2019S =__________．【答案】0【解析】∵a 1=0，a n +1313n na -，∴a 233=a 3332332133==---⨯a 4330133=+⨯， 即数列{a n }的取值具备周期性，周期为3，且a 1+ a 2+ a 3=0， 则201936730S S ⨯==. 故答案为0.12．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，若对2n ∀≥，n *∈N ，都有2112n n n T T T +-⋅=成立，且11a =，22a =，则数列{}n a 的前10项和为__________． 【答案】1023【解析】因为2112n n n T T T +-⋅=，故112n n n n T T T T +-=，即12n n a a +=（2n ≥），而212a a =， 所以{}n a 为等比数列，故12n n a ，所以()1010112102312S ⨯-==-，故答案为1023.13．已知数列{}n a 满足111,12n n n a a a +=+=,则n a = ____ ． 【答案】1212n⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】因为112n n na a +=+，所以可采用累加法求通项公式:()112()n n n n n a a a a a ---=-+-+⋯()211a a a +-+=121122n n --++⋯111211212n-++=-=1212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()*11n n a S n +=+∈N ，则通项公式n a =__________.【答案】12n -【解析】∵11n n a S +=+，∴21111a S a =+=+， 又2123S a a =+=，∴121,2a a ==， 由11n n a S +=+得11(2)n n a S n -=+≥，两式相减得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=， 而212a a =，∴{}n a 是公比为2的等比数列，∴12n n a .故答案为12n -.15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为45,4,15n S a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2019项和为A ．20182019 B ．20182020 C ．20192020D ．20172019【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，44a =，515S =，134a d ∴+=，1545152a d ⨯+=， 联立解得：11a d ==，11n a n n ∴=+-=，∴11111(1)1n n a a n n n n +==-++． 则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2019项和为1111112019112232019202020202020-+-+⋯+-=-=． 故选C.16．已知数列{}n a 满足421101,840n a a a <<-+=，且数列224n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以8为公差的等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则满足10n S >的n 的最小值为 A ．60 B ．61 C ．121 D ．122【答案】B【解析】由4211840a a -+=，得212148a a +=， 所以()2248818n na n n a +=+-=， 所以22224484n n n n a a n a a ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭， 所以2221n na n a +=+222120n n a n a -++=， 所以2212212121n n n a n n +±-==+-因为01n a <<，所以2121n a n n +-211n S n +， 由10n S >2111n +>，所以60n >. 即n 的最小值为61. 故选B.17．已知数列{a n }满足a 1=−12，2a n a n+1+a n +3a n+1+2=0，设b n =n−λan +1，若b 5为数列{b n }中唯一最小的项，则实数λ的取值范围是 A ．(8,9)B ．(8,10)C ．(9,10)D ．(9,11)【答案】D【解析】因为2a n a n+1+a n +3a n+1+2=0， 所以2a n a n+1+2a n +2a n+1+2=a n −a n+1， 所以2(a n +1)(a n+1+1)=(a n +1)−(a n+1+1). 又因为a 1=−12，所以a n +1≠0，所以1an+1+1−1a n +1=2，则数列{1a n +1}为等差数列，且首项为1a 1+1=2，公差也为2，故1an+1=2+2(n −1)=2n ，所以a n =12n −1， 所以b n =2n(n −λ)=2n 2−2λn ，要使b 5为数列{b n }的唯一最小的项，则λ2∈(92,112)，所以λ∈(9,11).故选D ．18．已知数列{a n }，定义数列{a n+1−2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n+1−2a n =2n+1，且a 1=2，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33= A ．238+1 B ．239+2 C ．238+2 D ．239【答案】B【解析】根据题意得a n+1−2a n =2n+1,a 1=2， ∴11122n nn na a ++-=， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1，公差d =1的等差数列， ∴()11,22nn n na n n a n =+-=∴=⋅， ∴S n =1×21+2×22+3×23+...+n ⋅2n ， ∴2S n =1×22+2×23+3×24+...+n ⋅2n+1， 两式相减得−S n =2+22+23+24...+2n −n ⋅2n+1()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=-+-⋅-=−2+(1−n )2n+1，∴S n =(n −1)2n+1+2,S 33=(33−1)233+1+2 =239+2. 故选B.19．已知{}n a 为递增的等差数列，23a =且1342,1,1a a a -+构成等比数列.若*n ∀∈N ，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <恒成立，则M 的最小值为 A ．16 B ．14 C ．13D ．12【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得()()2314121a a a -=+， 则()()()23123321d d d +-=-++，解得2d =（2d =-舍去）， ∴1321a =-=，21n a n =-， ∴()()11113352121n T n n =+++⨯⨯-+111111111123352121221n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 易知{}n T 是递增数列，且12n T <，∴12M ≥， 即M 的最小值为12. 故选D.20．春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗的人数依次构成数列{}n a ，已知121,2a a ==，且满足()*21(1)nn n a a n +-=+-∈N ，则该医院30天入院治疗流感的人数共有__________人．【答案】255【解析】由于()*21(1)nn n a a n +-=+-∈N ，所以得n 为奇数时，2n n a a +=，n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以132924301,,,,a a a a a a ==⋯==构成公差为2的等差数列，因为121,2a a ==， 所以123293015141515222552a a a a a ⨯+++++=+⨯+⨯=． 故答案为255． 21．已知正项等比数列{11n a -+2}的前3项和S 3=39,且a 1=2,则数列{a n }的前3项和T 3=__________. 【答案】732175【解析】由a 1=2,得111a -+2=3, 设等比数列{11n a -+2}的公比为q ,则q >0,S 3=3(1+q +q 2)=39, 所以1+q +q 2=13,q 2+q -12=0,得q =3(q =-4舍去),则11n a -+2=3·3n -1=3n ,a n =132n -+1, 则T 3=a 1+a 2+a 3=2+17+1+125+1=4+32732175175=. 22．已知数列{a n }中，a 1=3，且点P n (a n ,a n+1)(n ∈N ∗)在直线4x −y +1=0上，则数列{a n }的通项公式为__________. 【答案】1101433n n a -=⋅- 【解析】由题意可得1410n n a a +-+=，即111433n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 所以数列13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为103、公比为4的等比数列，所以1110433n n a -+=⋅,则1101433n n a -=⋅-. 23．已知点()n n a ，在函数()12x f x -=的图象上（*n ∈N ）.数列{}n a 的前n 项和为n S ，设21log64n n S b +=，数列{}n b 的前n 项和为n T .则n T 的最小值为__________. 【答案】30- 【解析】点(),n n a 在函数12x y -=的图象上，12n n a -∴=，{}n a ∴是首项为11a =，公比2q =的等比数列，122112nn n S -∴==--， 则2221264n n b n ==-，{}n b ∴是首项为10-，公差为2的等差数列， 则当0n b ≤，即6n ≤时，n T 最小，即n T 的最小值为6652106302T ⨯⨯=-⨯+=-. 24．已知数列{a n },S n 是其前n 项的和，且满足3a n =2S n +n(n ∈N ∗),则S n =__________. 【答案】()3132344n n ⋅-+ 【解析】当n=1时，11321a S =+，∴11a =；当2n ≥时，32n n a S n =+①，()11321n n a S n --=+-②，①-②得13321n n n a a a --=+，即131n n a a -=+， ∴111322n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 又113022a +=≠， ∴数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项,3为公比的等比数列, 则113322n n a -+=⋅,∴131322n n a -=⋅-, 代入3a n =2S n +n ，得()3132344n n S n =⋅-+. 25．各项均为正数的数列{}n a 和{}n b 满足：n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且11a =，23a =，则数列{}n a 的通项公式为__________． 【答案】22n n n a += 【解析】由题设可得11n n n a b b ++=，1n n n a b b -=，代入11122n n n n n n n n b a a b b b b b +-+=+⇒=即112n n n b b b -+={}n b 是等差数列.又12111,3242a a b b ==⇒=⇒=，故2221()92a b b ==， 则公差21322222d b b ===， 22(1)2(1)22n n b n +=-=122n n b b +=⇒= 则11(1)(2)2n n n n n a b b ++++==，所以(1)2n n n a +=. 则数列{}n a 的通项公式为22n n n a +=. 故答案为22n n n a +=.26．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =________． 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意； 当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 则7812324a =⨯=． 故答案为32.【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．27．（2018北京理科）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，()133343663616 3.n a d d d a n n =∴+++=∴=∴=+-=-，，，【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.28．（2018新课标全国I 理科）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_________．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.29． （2017新课标全国II 理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k k S ==∑____________． 【答案】21n n + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ， 由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，数列的前n项和()()() 111111222nn n n n n nS na d n--+ =+=⨯+⨯=，裂项可得12112()(1)1kS k k k k==-++，所以111111112 2[(1)()()]2(1)223111 nk knS n n n n ==-+-++-=-=+++∑．故答案为21nn+．。
狂刷25 数列的通项与求和 (解析版)
专题六 数列狂刷25 数列的通项与求和1．若{}n a ，{}n b 满足1n n a b ⋅=，232n a n n =++，则{}n b 的前10项和为 A ．12 B ．512 C ．13D ．712【答案】B【解析】因为1n n a b ⋅=，所以()()211111321212n n b a n n n n n n ====-++++++， 所以12101111111152334111221212b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选B.2．在数列{}n a 中，已知121n n n n a a a a +++-=-，10101a =，则该数列前2019项的和2019S = A ．2019 B ．2020 C ．4038D ．4040【答案】A 【解析】121n n n n a a a a +++-=-，122n n n a a a ++∴=+，{}n a ∴为等差数列，10101a =，()1201910102019201920192201922a a a S +⨯∴===.故选A.3．已知等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+（a 为常数），则数列2{}n a 的前n 项和为A ．1(91)2n- B ．1(91)4n- C ．1(9)8na +D ．3(91)8na +- 【答案】A【解析】113a S a ==+，当2n ≥时，1123n n n n a S S --=-=⋅，所以32a +=，即1a =-.所以2149n n a -=⋅，前n 项和()()419191192n nn T -==--.故选A.4．中国人在很早就开始研究数列,中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下:数列{a n }的前n 项和S n =14n 2,n ∈N ∗，等比数列{b n }满足b 1=a 1+a 2，b 2=a 3+a 4,则b 3= A ．4 B ．5 C ．9D ．16【答案】C【解析】由题意可得:211221214b a a S =+==⨯=, 22344214134b a a S S =+=-=⨯-=,则等比数列的公比213b q b ==,故329b b q ==. 本选C.5．已知数列{a n }满足：当n ≥2且n ∈N *时，有a n +a n−1=(−1)n ×3，则数列{a n }的前200项的和为 A ．300 B ．200 C ．100 D ．50【答案】A【解析】由题意知当n ≥2且n ∈N *时，有a n +a n−1=(−1)n ×3， 则a 2+a 1=3,a 4+a 3=3,a 6+a 5=3，⋯，a 200+a 199=3，所以数列{a n }的前200项的和为(a 2+a 1)+(a 4+a 3)+(a 6+a 5)+⋯+(a 200+a 199)=300， 故选A.6．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5S = A ．3116B ．158C ．7D ．31【答案】A 【解析】数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ．7．已知数列{}n a 满足11a =，()()11112n n n a a n n ++-=-+，则数列(){}1nn a -的前40项的和为A ．1920 B ．325462 C ．4184D ．2041【答案】D【解析】由已知条件得到()()11112n n n a a n n ++-=-+，则40391111413939412a a ⎛⎫-==-⨯ ⎪⨯⎝⎭，3837111,,37392a a ⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭2111132a a ⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，左右两侧累加得到4039383736352111111112394137393a a a a a a a a ⎛⎫-+-+-++-=⨯-+-++- ⎪⎝⎭，正好是数列(){}1nn a -的前40项的和，计算得到2041. 故选D.8．记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，()()*12n n n n S S a n +-=∈N ，则2019S = A ．101123- B ．()10103212- C ．201023- D ．()20193212- 【答案】A【解析】由题数列{}n a 满足11a =，()()*12n n n n S S a n +-=∈N ，1212122,2n n n n n n n n a a a a a a +++++∴===又2112,1,a a a ==则22,a =，由此可得数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为1,2，则()()2019132019242018......S a a a a a a =+++++++()100910101011221212 3.2121--=+=---故选A.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211n n n n a a a a +++-=-，12a =，38a =，则4S =__________． 【答案】26【解析】因为211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，则8232d -==， 所以443423262S ⨯=⨯+⨯=. 故答案为26.10．已知数列{a n }满足a 1=2且a n+1−3a n =2，则数列{a n }的通项公式为__________.【答案】3n −1【解析】因为a n+1−3a n =2,所以a n+1+1=3a n +3=3(a n +1),即1131n n a a ++=+，即数列{a n +1}为等比数列，则a n +1=3×3n−1=3n , 所以a n =3n −1.11．在数列{}n a 中，10a =，1n a +=，则2019S =__________．【答案】0【解析】∵a 1=0，a n +1，∴a 2=a 3==a 40=， 即数列{a n }的取值具备周期性，周期为3，且a 1+ a 2+ a 3=0， 则201936730S S ⨯==. 故答案为0.12．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，若对2n ∀≥，n *∈N ，都有2112n n n T T T +-⋅=成立，且11a =，22a =，则数列{}n a 的前10项和为__________． 【答案】1023【解析】因为2112n n n T T T +-⋅=，故112n n n n T T T T +-=，即12n n a a +=（2n ≥），而212a a =， 所以{}n a 为等比数列，故12n n a ，所以()1010112102312S ⨯-==-，故答案为1023.13．已知数列{}n a 满足111,12n n n a a a +=+=,则n a = ____ ． 【答案】1212n⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】因为112n n na a +=+，所以可采用累加法求通项公式:()112()n n n n n a a a a a ---=-+-+⋯()211a a a +-+=121122n n --++⋯111211212n-++=-=1212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()*11n n a S n +=+∈N ，则通项公式n a =__________.【答案】12n -【解析】∵11n n a S +=+，∴21111a S a =+=+， 又2123S a a =+=，∴121,2a a ==， 由11n n a S +=+得11(2)n n a S n -=+≥，两式相减得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=， 而212a a =，∴{}n a 是公比为2的等比数列，∴12n n a .故答案为12n -.15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为45,4,15n S a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2019项和为 A ．20182019 B ．20182020 C ．20192020D ．20172019【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，44a =，515S =，134a d ∴+=，1545152a d ⨯+=， 联立解得：11a d ==，11n a n n ∴=+-=，∴11111(1)1n n a a n n n n +==-++． 则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2019项和为1111112019112232019202020202020-+-+⋯+-=-=． 故选C.16．已知数列{}n a 满足421101,840n a a a <<-+=，且数列224n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以8为公差的等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则满足10n S >的n 的最小值为 A ．60 B ．61 C ．121 D ．122【答案】B【解析】由4211840a a -+=，得212148a a +=， 所以()2248818n na n n a +=+-=， 所以22224484n n n n a a n a a ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，所以2n na a +=220n n a -+=，所以2n a ==，因为01n a <<，所以n a1n S =， 由10n S >11>，所以60n >. 即n 的最小值为61. 故选B.17．已知数列{a n }满足a 1=−12，2a n a n+1+a n +3a n+1+2=0，设b n =n−λan +1，若b 5为数列{b n }中唯一最小的项，则实数λ的取值范围是 A ．(8,9) B ．(8,10) C ．(9,10)D ．(9,11)【答案】D【解析】因为2a n a n+1+a n +3a n+1+2=0， 所以2a n a n+1+2a n +2a n+1+2=a n −a n+1， 所以2(a n +1)(a n+1+1)=(a n +1)−(a n+1+1). 又因为a 1=−12，所以a n +1≠0， 所以1an+1+1−1a n +1=2，则数列{1a n +1}为等差数列，且首项为1a 1+1=2，公差也为2，故1an+1=2+2(n −1)=2n ，所以a n =12n −1， 所以b n =2n(n −λ)=2n 2−2λn ，要使b 5为数列{b n }的唯一最小的项，则λ2∈(92,112)，所以λ∈(9,11).故选D ．18．已知数列{a n }，定义数列{a n+1−2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n+1−2a n =2n+1，且a 1=2，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33= A ．238+1 B ．239+2 C ．238+2 D ．239【答案】B【解析】根据题意得a n+1−2a n =2n+1,a 1=2， ∴11122n nn na a ++-=， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1，公差d =1的等差数列， ∴()11,22n nn n a n n a n =+-=∴=⋅， ∴S n =1×21+2×22+3×23+...+n ⋅2n ， ∴2S n =1×22+2×23+3×24+...+n ⋅2n+1， 两式相减得−S n =2+22+23+24...+2n −n ⋅2n+1()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=-+-⋅-=−2+(1−n )2n+1，∴S n =(n −1)2n+1+2,S 33=(33−1)233+1+2 =239+2. 故选B.19．已知{}n a 为递增的等差数列，23a =且1342,1,1a a a -+构成等比数列.若*n ∀∈N ，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <恒成立，则M 的最小值为 A ．16 B ．14 C ．13D ．12【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得()()2314121a a a -=+，则()()()23123321d d d +-=-++，解得2d =（2d =-舍去）， ∴1321a =-=，21n a n =-， ∴()()11113352121n T n n =+++⨯⨯-+111111111123352121221n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 易知{}n T 是递增数列，且12n T <，∴12M ≥， 即M 的最小值为12. 故选D.20．春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗的人数依次构成数列{}n a ，已知121,2a a ==，且满足()*21(1)nn n a a n +-=+-∈N ，则该医院30天入院治疗流感的人数共有__________人．【答案】255【解析】由于()*21(1)nn n a a n +-=+-∈N ，所以得n 为奇数时，2n n a a +=，n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以132924301,,,,a a a a a a ==⋯==构成公差为2的等差数列，因为121,2a a ==， 所以123293015141515222552a a a a a ⨯+++++=+⨯+⨯=． 故答案为255．21．已知正项等比数列{11n a -+2}的前3项和S 3=39,且a 1=2,则数列{a n }的前3项和T 3=__________.【答案】732175【解析】由a 1=2,得111a -+2=3,设等比数列{11n a -+2}的公比为q ,则q >0,S 3=3(1+q +q 2)=39, 所以1+q +q 2=13,q 2+q -12=0,得q =3(q =-4舍去),则11n a -+2=3·3n -1=3n ,a n =132n -+1, 则T 3=a 1+a 2+a 3=2+17+1+125+1=4+32732175175=.22．已知数列{a n }中，a 1=3，且点P n (a n ,a n+1)(n ∈N ∗)在直线4x −y +1=0上，则数列{a n }的通项公式为__________. 【答案】1101433n n a -=⋅- 【解析】由题意可得1410n n a a +-+=，即111433n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 所以数列13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为103、公比为4的等比数列， 所以1110433n n a -+=⋅,则1101433n n a -=⋅-. 23．已知点()n n a ，在函数()12x f x -=的图象上（*n ∈N ）.数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n b =，数列{}n b 的前n 项和为n T .则n T 的最小值为__________. 【答案】30- 【解析】点(),n n a 在函数12x y -=的图象上，12n n a -∴=，{}n a ∴是首项为11a =，公比2q =的等比数列，122112nn n S -∴==--， 则221264nn b n ==-，{}n b ∴是首项为10-，公差为2的等差数列， 则当0n b ≤，即6n ≤时，n T 最小，即n T 的最小值为6652106302T ⨯⨯=-⨯+=-. 24．已知数列{a n },S n 是其前n 项的和，且满足3a n =2S n +n(n ∈N ∗),则S n =__________.【答案】()3132344n n ⋅-+ 【解析】当n=1时，11321a S =+，∴11a =；当2n ≥时，32n n a S n =+①，()11321n n a S n --=+-②，①-②得13321n n n a a a --=+，即131n n a a -=+， ∴111322n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 又113022a +=≠， ∴数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项,3为公比的等比数列, 则113322n n a -+=⋅,∴131322n n a -=⋅-, 代入3a n =2S n +n ，得()3132344n n S n =⋅-+. 25．各项均为正数的数列{}n a 和{}n b 满足：n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且11a =，23a =，则数列{}n a 的通项公式为__________． 【答案】22n n n a += 【解析】由题设可得1n a +=，n a =代入122n n n n b a a b +=+⇒=即=是等差数列.又12111,3242a a b b ==⇒=⇒=，故2221()92a b b ==，则公差22d ===，1)(1)22n n +=-==⇒=则1(1)(2)2n n n a +++==，所以(1)2n n n a +=. 则数列{}n a 的通项公式为22n n n a +=.故答案为22n n n a +=. 26．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =________． 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意； 当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 则7812324a =⨯=． 故答案为32.【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．27．（2018北京理科）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，()133343663616 3.n a d d d a n n =∴+++=∴=∴=+-=-，，，【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.28．（2018新课标全国I 理科）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_________．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.29． （2017新课标全国II 理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk k S ==∑____________． 【答案】21n n + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ， 由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111n k kn S n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 故答案为21n n +．。
小题狂刷24 数列的通刷项与求和-小题狂刷高考数学(文)人教版(原卷版)
专题六 数列狂刷24 数列的通项与求和1．若{}n a ，{}n b 满足1n n a b ⋅=，232n a n n =++，则{}n b 的前10项和为A ．12 B ．512 C ．13D ．7122．数列{a n }中，a n+1=2a n −1，a 3=2，设其前n 项和为S n ，则S 6= A ．874B ．634C ．15D ．273．已知数列{a n }满足：当n ≥2且n ∈N *时，有a n +a n−1=(−1)n ×3，则数列{a n }的前200项的和为 A ．300 B ．200 C ．100D ．504．已知数列{}n a 满足11a =，()()11112n n n a a n n ++-=-+，则数列(){}1nn a -的前40项的和为A ．1920 B ．325462 C ．4184D ．20415．中国人在很早就开始研究数列,中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下:数列{a n }的前n 项和S n =14n 2,n ∈N ∗，等比数列{b n }满足b 1=a 1+a 2，b 2=a 3+a 4,则b 3= A ．4 B ．5 C ．9D ．166．记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，()()*12n n n n S S a n +-=∈N ，则2018S =A ．()1009321- B ．()10093212- C ．()2018321-D ．()20183212- 7．已知数列{a n }满足a 1=2且a n+1−3a n =2，则数列{a n }的通项公式为__________. 8．在数列{}n a 中，10a =，1n a +=，则2018S =__________．9．已知数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,1211,3a a ==,则n a = ___ .10．已知数列{}n a 满足111,12n n n a a a +=+=,则n a = ____ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S n n =--，则数列()21n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前40项的和为A ．3940B ．3940- C ．4041 D ．4041-12．已知数列{}n a 满足421101,840n a a a <<-+=，且数列224n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以8为公差的等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则满足10n S >的n 的最小值为 A ．60 B ．61 C ．121D ．12213．已知数列{a n }，定义数列{a n+1−2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n+1−2a n =2n+1，且a 1=2，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33= A ．238+1 B ．239+2 C ．238+2D ．23914．已知{}n a 为递增的等差数列，23a =且1342,1,1a a a -+构成等比数列.若*n ∀∈N ，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <恒成立，则M 的最小值为A ．16 B ．14 C ．13D ．1215．已知正项等比数列{11n a -+2}的前3项和S 3=39,且a 1=2,则数列{a n }的前3项和T 3=__________. 16．已知数列{a n }中，a 1=3，且点P n (a n ,a n+1)(n ∈N ∗)在直线4x −y +1=0上，则数列{a n }的通项公式为__________.学-科网17．已知数列{a n },S n 是其前n 项的和，且满足3a n =2S n +n(n ∈N ∗),则S n =__________.18．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =________．。
数列的通项与求和(2)-试题君之每日一题君2019年高考数学(文)一轮复习
9月27日 数列的通项与求和（2）高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆典例在线已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n S b =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】（1）n a 21n =-,112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）12362n n n T -+=-. 【试题解析】（1）因为11a =，12n n a a +-=， 所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以()112n a n =+-⨯21n =-；又当1n =时，1112b S b ==-，所以11b =， 当2n ≥时，2n n S b =- ①，112n n S b --=- ②，由①−②得1n n n b b b -=-+，即112n n b b -=， 所以{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列， 故112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知1212n n n n n c a b --==，则011322n T =++2152122n n --++，③ 12n T =121322+++1232122n n n n ---+，④③−④得01112222n T =++222++122122n nn ---1112=+++212122n n n --+-=11121211212n nn ---+-- 2332nn +=-,所以12362n n n T -+=-． 【解题必备】数列求和的常用方法：1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和． 2．倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中与首末两端等“距离”两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，特征：121n n a a a a -+=+=．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求.如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．适用于类似1{}n n ca a +（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等． 5．分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．常见类型：（1）若n n n a b c =±，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和； （2）通项公式为212n n n b n k a c n k⎧=-⎪=⎨=⎪⎩,,,型的数列，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 6．并项求和法：将数列相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新数列（容易求和）来求和的方法称为并项求和法,形如()()1nn a f n =-类型或周期数列可采用并项求和法．如2222100999897n S =-+-+2221+-()()()22222210099989721=-+-++-()()()100999897215050=++++++=．学霸推荐1．已知各项均为正数的数列的前n 项和为，且．求；设，求数列的前n 项和．2．已知数列的前项和.（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的前项和．1．【答案】（1）；（2）...所以111111()111nnn i i i T b i i n ====-=-++∑∑.2．【答案】（1）见解析；（2）.（2）由（1）得，所以.（1）-（2）得所以.【名师点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.。
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8．在数列 中， ， ，则 __________．
【答案】
9．已知数列 为等比数列, ,则 ___.
【答案】
【解析】∵ ,
∴数列 的公比为 ,
.
故答案为 .
10．已知数列 满足 ,则 ____．
【答案】
【解析】因为 ，所以可采用累加法求通项公式: ⋯ = ⋯ = .
11．设数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的前40项的和为
【答案】
17．已知数列 是其前 项的和，且满足 ,则 __________.
【答案】
【解析】当n=1时， ,∴ ；
当 时， ①，
②，
①-②得 ，即 ，
∴ ,
又 ，
∴数列 是以 为首项,3为公比的等比数列,
则 ,∴ ,
代入 ，得 .
18．（2017江苏）等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ，则 ________．
13．已知数列 ，定义数列 为数列 的“ 倍差数列”，若 的“ 倍差数列”的通项公式为 ，且 ，设数列 的前 项和为 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
故选B.
14．已知 为递增的等差数列， 且 构成等比数列.若 ，数列 的前 项和 恒成立，则 的最小值为
A． B．
C． D．
【答案】D
15．已知正项等比数列{ +2}的前3项和S3=39,且a1=2,则数列{an}的前3项和T3=__________.
【答案】A
【解析】由题意知当 且 时，有 ，
则 ，
所以数列 的前 项的和为 ，
故选Aபைடு நூலகம்学%科网
4．已知数列 满足 ， ，则数列 的前40项的和为
A． B．
C． D．
【答案】D
5．中国人在很早就开始研究数列,中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下:数列 的前 项和 ，等比数列 满足 ,则
A．4B．5
C．9D．16
【答案】C
【解析】由题意可得: ,
,
则等比数列的公比 ,故 .
本选C.
6．记数列 的前 项和为 .已知 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
7．已知数列 满足 且 ，则数列 的通项公式为__________.
【答案】
【解析】因为 ,所以 ,即 ，
即数列 为等比数列，则 = ,
A． B．
C． D．
【答案】D
12．已知数列 满足 ，且数列 是以8为公差的等差数列，设 的前 项和为 ，则满足 的 的最小值为
A．60B．61
C．121D．122
【答案】B
【解析】由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
由 得 ，所以 .
即 的最小值为61.故选B.学科*网
19．（2018北京理科）设 是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则 的通项公式为__________．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为 ，
学科&网
【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
21．（2017新课标全国II理科）等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 ____________．
【答案】
【答案】32
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
20．（2018新课标全国I理科）记 为数列 的前 项和，若 ，则 _________．
【答案】
【解析】根据 ，可得 ，
两式相减得 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
所以数列 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ，
故答案是 .
【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
【答案】
【解析】由a1=2,得 +2=3,
设等比数列{ +2}的公比为q,则q>0,S3=3(1+q+q2)=39,
所以1+q+q2=13,q2+q-12=0,得q=3(q=-4舍去),
则 +2=3·3n-1=3n,an= +1,
则T3=a1+a2+a3=2+ +1+ +1=4+ .学科.网
16．已知数列 中， ，且点 )在直线 上，则数列 的通项公式为__________.
1．若 ， 满足 ， ，则 的前10项和为
A． B．
C． D．
【答案】B
2．数列 中， ， ，设其前 项和为 ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将 变形为
则 是等比数列，首项为
故
则
故答案为A.
3．已知数列 满足：当 且 时，有 ，则数列 的前200项的和为
A．300B．200
C．100D．50