高2013级高考数学(理)查漏补缺提升训练2
2013届高考理科数学复习演练套题(含答案)
2013届高考理科数学复习演练套题(含答案)(时间：40分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．不等式|2x－1|＜3的解集为________．解析①当2x－1≥0，即x≥12时，不等式变为2x－1＜3，得x＜2，∴12≤x ＜2.②当2x－1＜0即x＜12时，不等式变为－(2x－1)＜3即x＞－1，∴－1＜x＜12，综上不等式解集为{x|－1＜x＜2}．答案(－1,2)2．已知x＞0，则函数y＝x(1－x2)的最大值为________．解析∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)•12.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤122x2＋1－x2＋1－x233＝427.当且仅当2x2＝1－x2，即x＝33时取等号．∴y≤239.∴y的最大值为239.答案2393．(2011•江西卷)对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．解析法一(零点分段法)由题意可知，x≤－10，－x－10＋x－2≥8或－10＜x＜2，x＋10＋x－2≥8或x≥2，x＋10－x＋2≥8，解得x≥0，故原不等式的解集为{x|x≥0}．法二(几何意义法)如图，在数轴上令点A、B的坐标分别为－10，2，在x轴上任取一点P，其坐标设为x，则|PA|＝|x＋10|，|PB|＝|x－2|，观察数轴可知，要使|PA|－|PB|≥8，则只需x≥0.故原不等式的解集为{x|x≥0}．答案{x|x≥0}4．(2011•陕西)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a 的取值范围是________．解析由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3.所以只需a≤3即可．答案(－∞，3]5．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析当a＜0时，显然成立；当a＞0时，∵|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，∴a＋4a≤4.∴a＝2..综上可知a的取值范围是(－∞，0)∪{2}．答案(－∞，0)∪{2}6．设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________时，(x，y，z)＝________.解析∵(x－2y＋2z)2≤(x2＋y2＋z2)12＋(－2)2＋22]＝4×9＝36，∴x－2y ＋2z最小值为－6，此时x1＝y－2＝z2.又∵x2＋y2＋z2＝4，∴x＝－23，y＝43，z＝－43.答案－6－23，43，－437．若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析∵a≥xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3对任意x＞0恒成立，设u＝x＋1x＋3，∴只需a≥1u恒成立即可．∵x＞0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．由u≥5，知0＜1u≤15，∴a≥15.答案15，＋∞8．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h：命题乙：|a－1|＜h 且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．解析|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．答案必要不充分二、解答题(共20分)9．(10分)已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a＞0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2.由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2.∴x≥52或x≤12.∴不等式的解集为xx≤12或x≥52.注也可用零点分段法求解．(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，∴a≥4或a≤0，又a＞0，∴a≥4.10．(10分)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－2b|≥|a|(|x －1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围．解原不等式等价于|a＋b|＋|a－2b||a|≥|x－1|＋|x－2|，设ba＝t，则原不等式变为|t＋1|＋|2t－1|≥|x－1|＋|x－2|对任意t恒成立．因为|t＋1|＋|2t－1|＝3t，t≥12，－t＋2，－1＜t＜12，－3t，t≤－1，在t＝12时取到最小值为32.所以有32≥|x－1|＋|x－2|＝2x－3，x≥2，1，1＜x＜2，3－2x，x≤1，解得x∈34，94.。
北京市顺义区2013届高三第二次统练理科数学含解析
北京市顺义区2013届高三第二次统练数学试卷(理工类)一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}034,232≥+-∈=<<-∈=x x x B x x A R R ,则=⋂B AA.(]1,3-B.()1,3-C.[)2,1D.()[)+∞⋃∞-,32,【答案】A因为{}13B x R x x =∈≤≥或，所以{}31AB x R x =∈-<≤,选A.2.复数=+-i i123 A.i 2521+ B.i 2521- C.i 2521+-D.i 2521--【答案】B32(32)(1)15151(1)(1)222i i i i i i i i ----===-++-,选B. 3.在极坐标系中,直线l 的方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ,则点⎪⎭⎫⎝⎛43,2πA 到直线l 的距离为 A.2 B.22 C.222-D.222+【答案】B由224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ得sin cos 1ρθρθ+=，即直线方程为1x y +=。
⎪⎭⎫ ⎝⎛43,2πA 中，对应的直角坐标为3cos 2cos 43sin 2sin 4x y πρθπρθ⎧===⎪⎪⎨⎪===⎪⎩ ，即直角坐标为(2=，选B.4.执行如图所示的程序框图,输出的sA.10-B.3-C.4D.5【答案】A第一次运行，满足条件循环211,2s k =-==。
第二次运行，满足条件循环2120,3s k =⨯-==。
第三次运行，满足条件循环2033,4s k =⨯-=-=。
第四次运行，满足条件循环2(3)410,5s k =⨯--=-=。
此时不满足条件，输出10s =-，选A.5.已知数列{}n a 中,54+-=n a n ,等比数列{}n b 的公比q 满足()21≥-=-n a a q n n ,且21a b =,则=+++n b b b 21 A.n41-B.14-nC.341n -D.314-n【答案】B因为14n n q a a -=-=-，123b a ==-，所以1113(4)n n n b b q --==-⋅-，所以113(4)34n n n b --=-⋅-=⋅，即{}nb 是公比为4的等比数列，所以12n b b b +++3(14)4114n n -==--，选B. 6.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+14,42,22y x y x y x 则yx -32的取值范围是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,42 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡64,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡64,42 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,641 【答案】C设3z x y=-，则3y x z =-。
2013届高考理科数学复习演练系列试题(附答案)
2013届高考理科数学复习演练系列试题（附答案）A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题中的假命题是()．A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0解析对于A，当x0＝1时，lgx0＝0正确；对于B，当x0＝π4时，tanx0＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0错误；对于D，∀x∈R,2x＞0，正确．答案C2．(2012•杭州高级中学月考)命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是()．A．∃x0＞0，x20＋x0＞0B．∃x0＞0，x20＋x0≤0C．∀x＞0，x2＋x≤0D．∀x≤0，x2＋x＞0解析根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x0＞0，x20＋x0≤0.答案B3．(★)(2012•郑州外国语中学月考)ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是()．A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0解析(筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.答案C4．(2012•合肥质检)已知p：|x－a|＜4；q：(x－2)(3－x)＞0，若綈p 是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为()．A．a＜－1或a＞6B．a≤－1或a≥6C．－1≤a≤6D．－1＜a＜6解析解不等式可得p：－4＋a＜x＜4＋a，q：2＜x＜3，因此綈p：x≤－4＋a或x≥4＋a，綈q：x≤2或x≥3，于是由綈p是綈q的充分不必要条件，可知2≥－4＋a且4＋a≥3，解得－1≤a≤6.答案C5．若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是()．A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数解析对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B，如果a≤0就不成立；对于D若a＝0，则f(x)为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数．答案C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012•西安模拟)若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析因为“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.答案－22≤a≤227．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：13－x＞1，若綈q且p为真，则x的取值范围是________．解析因为綈q且p为真，即q假p真，而q为真命题时，x－2x－3＜0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由x＞1或x＜－3，x≥3或x≤2，得x≥3或1＜x≤2或x＜－3，所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3.故填(－∞，－3)∪(1,2]∪3，＋∞)．答案(－∞，－3)∪(1,2]∪3，＋∞)8．(2012•南京五校联考)令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．解析∵对∀x∈R，p(x)是真命题．∴对∀x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，则a＞0，Δ＝4－4a2＜0，∴a＞1.答案a＞1三、解答题(共23分)9．(11分)已知命题p：∀x∈1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．解由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．p：x2≥a在1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1；q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f(x0)＝0，只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，所以命题q：a≥1或a≤－2.由a≤1，a≥1或a≤－2得a＝1或a≤－2∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.10．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r：有些质数是奇数；(3)s：∃x0∈R，|x0|＞0.解(1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．下列命题错误的是()．A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案C2．(★)(2011•广东广雅中学模拟)已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是()．A．1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．－1,1]解析(直接法)∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x0∈R，mx20＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①由q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得∃x0∈R，x20－2mx0＋1≤0，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.答案A【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.二、填空题(每小题4分，共8分)3．命题“∃x0∈R，x0≤1或x20＞4”的否定是______________．解析已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．答案∀x∈R，x＞1且x2≤44．(2012•太原十校联考)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．解析由“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋152a＞0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋152a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×152a＜0，解得a＞56，即实数a的取值范围为56，＋∞.答案56，＋∞三、解答题(共22分)5．(10分)已知两个命题r(x)：sinx＋cosx＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．解∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≥－2，∴当r(x)是真命题时，m＜－2.又∵对∀x∈R，当s(x)为真命题时，即x2＋mx＋1＞0恒成立有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－2，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2.当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－2且－2＜m＜2，即－2≤m＜2.综上，实数m的取值范围是m≤－2或－2≤m＜2.6．(12分)已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈12，2时，函数f(x)＝x＋1x＞1c恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．解由命题p知：0＜c＜1.由命题q知：2≤x＋1x≤52要使此式恒成立，则2＞1c，即c＞12.又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤12.当p为假，q为真时，c≥1.综上，c的取值范围为c0＜c≤12或c≥1.。
2013高考数学(理科)复习冲剌参考题参考答案
点 P,Q 的抛物线的切线方程分别为 y = 4 x − 8, y = −2 x − 2, 联立方程组解得 x = 1, y = −4, 故 点 A 的纵坐标为 −4.
3π )． 4 37. ρ = 4sin θ
36. ( 2, 38. 99
°
39. 15 解析：由 相 交 弦 定 理 可得 TD = 9 . 设 PB = x ，由 切 割线 定 理 可得 PT 2 = PB ⋅ PA 即
解析：设设备甲租 x 天，设备乙租 y 天，则有
x ≥ 0 y ≥ 0 作出可行域，可知，过 两 直线 10 x + 20 y ≥ 140 5 x + 6 y ≥ 50 10 x + 20 y = 140 ， 5 x + 6 y ≥ 50 交点 (4,5) 时， 租
赁费 z = 200 x + 300 y 最少，其值为 z = 200 x + 300 y = 200 × 4 + 300 × 5 = 2300 34.
作出可行域 ，可知，当直线 z = 400 x + 300 y 过点
(4, 2) 时， zmin = 2200 ，故选 B
1４.C 解析：
x − y + 1 ≤ 0， y 表示的平面区域如图所示， 表示坐标原点与区域上 x x > 0， y ∈ (1，+ ∞ ) x
一点 P ( x, y ) 所在直线斜率，可得 15.C
x + y − 3 = 0 的交点时，函数 y = 2 x 的图像仅有一个点 P
在可行域内，由
y = 2x 得 P (1,2) ，所以 m ≤ 1 .故选 B. x + y − 3 = 0
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2013年高考模拟系列试卷(2)—数学(理)含答案
2013年高考模拟系列试卷(二)数学试题【新课标版】（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y xx ==-+≤≤,则()RM N ⋂等于 （ ）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅ 2、在复平面内,复数2013i i 1iz =+-表示的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若sin 601233,log cos 60,log tan 30a b c ===,则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}na 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为nS ,且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41aa 等于( ）A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =,则点M 的轨迹方程是( )A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+= D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 6、命题“存在,αβ∈R ,使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否定为（ ） A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥- B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤-7、设a b <,函数()()2y x a x b =--的图象可能是( ）8、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2013小，若使输出的S 最大,那么判断框中应填入（ ） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（ )A ．1533πB ．233πC ．33πD ．433π10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ )A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋（y－1)2＝1上，那么｜PQ ｜的最小值为（ ） A ．5－1B ．355C ．3515-D ．523－112、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A,并与椭圆C 交与不同的两点P,Q,如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为 ( ）A ．23B ．33C ．53D ．73第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分,把答案填在题中横线上13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 。
北京市朝阳区2013届高三第二次综合练习理科数学含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2013.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则M N =A.{}0B.{}0,3C. {}1,3,9D. {}0,1,3,9 （2）若12()d 0xmx x +=⎰，则实数m 的值为A ．13-B ．23- C ．1- D ．2- （3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A. 6n >?B. 7n ≥?C. 8n >?D. 9n >?（第5题图）（第3题图）111正视图侧视图俯视图（4）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3) （5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．16B ．13 C ．12D ．1 （6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A ．10种B ．12种C ．18种D ．36种（7）已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 A ．②B ．①②C ．③D ．②③（8）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC的取值范围是A ．1[1,]4-- B ．11[,]24-- C ．[1,0]- D ．1[,0]2- 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）i 为虚数单位，计算3i1i+=+ ． （10）若直线l 与圆2cos ,:12sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）相交于A ，B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的倾斜角为 ．（11）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，4,8PC PB ==，则tan COP ∠= ，△OBC 的面积是 ．（12）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．（13将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 ．（14）数列{21}n -的前n 项1,3,7,,21n - 组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ，从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++ ．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=.则当3n =时，3S = ；试写出n S = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分） 在△ABC 中， ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2()2cossin()sin 222A A A f A =π-+-2cos 2A. （Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,12f A C a 5π===b 的值．（16）（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，22AD PD EA ===，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：FG 平面PED ；（Ⅱ）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成的角为60？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.（17）（本小题满分13分） 为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：A DB CPEFGH（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ； （Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数()mxf x x =++211（m ≠0），2()e ()ax g x x a =∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当m >0时，若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．（20）（本小题满分13分）已知实数12,,,n x x x （2n ≥）满足||1(1,2i x i n≤= ，记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑．（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值； （Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值； （Ⅲ）求12(,,,)n S x x x 的最小值．注：1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x （1i j n ≤<≤）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.５一、选择题：二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为22()2cossin sin cos 2222A A A Af A =+- sin cos )4A A A π=-=-.因为A 为三角形的内角，所以0A <<π，所以444A ππ3π-<-<. 所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A ………6分（Ⅱ）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又因为444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，所以4A π=．又因为12C 5π=，所以3B π=．由正弦定理sin sin a b A B =得，sinsin 33sin sin 4a Bb A π===π． …………13分 （16）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为F ,G 分别为PB ，BE 的中点，所以FG PE .又FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，所以FG 平面PED . …………4分 （Ⅱ）因为EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，所以PD ⊥平面ABCD ， 所以PD AD ⊥，PD CD ⊥. 又因为四边形ABCD 是正方形， 所以AD CD ⊥.如图，建立空间直角坐标系， 因为22AD PD EA ===,所以D ()0,0,0，P ()0,0,2，A ()2,0,0，C ()0,2,0，B ()2,2,0，(2,0,1)E ．…………5分因为F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，所以F ()1,1,1，G 1(2,1,)2，H (0,1,1). 所以1(1,0,)2GF =- ，1(2,0,)2GH =- .设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量，则1100GF GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 再令11y =，得1(0,1,0)=n .(2,2,2)PB =- ,(0,2,2)PC =-.设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量,则220PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n , 即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令21z =，得2(0,1,1)=n .所以12cos ,n n =1212⋅⋅n n n n=2. 所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为4π. …………9分 （Ⅲ）假设在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60.依题意可设PM PC λ=,其中01λ≤≤.由(0,2,2)PC =- ,则(0,2,2)PM λλ=-.又因为FM FP PM =+ ,(1,1,1)FP =-- ，所以(1,21,12)FM λλ=---.因为直线FM 与直线PA 所成角为60，(2,0,2)PA =-，所以cos ,FM PA =12，即12=，解得58λ=.所以55(0,,)44PM =-，PM = 所以在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60，此时4PM =. ………………………………………14分（17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“A 或B ”的频率为461013030303+==． 从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“A 或B ”的概率约为13．……………………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由已知得，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．所以0033128(0)()()3327P X C ==⋅=；112312124(1)()()33279P X C ==⋅==；22131262(2)()()33279P X C ==⋅==；3303121(3)()()3327P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为所以80123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………9分 （Ⅲ）设事件M ：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为,m n ．显然基本事件的总数为230C ． 不妨设m n >，当90m =时，60n =或40或30，其基本事件数为111141073()C C C C ⋅++； 当70m =时，n =40或30，其基本事件数为111673()C C C ⋅+；当60m =时，30n =，其基本事件数为11103C C ⋅； 所以11111111141073673103230()()34()87C C C C C C C C C P M C ⋅+++⋅++⋅==． 所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分的概率为3487． ……………13分（18）（本小题满分1 3分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()m x m x x f x x x --+'==++2222211111.…………1分 ①当m >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1. …………3分②当m <0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞-1，(,)+∞1，单调递减区间是(,)-11.……………5分（Ⅱ）依题意，“当m >0时，对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “当m >0时，对于任意[0,2]x ∈， min max ()()f x g x ≥成立”.当m >0时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =.所以应满足max ()1g x ≤. ……………………………………………………………6分因为2()e ax g x x =，所以2()(+2)e ax g x ax x '=. ……………7分 ①当0a =时，函数2()g x x =，[0,2]x ∀∈，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤，故0a =不成立. ……………8分 ②当0a ≠时，令()0g x '=得，10x =，22x a=-. （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时， 在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==. 由24e1a≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-. ……………10分（ⅱ）当202a <-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a -上单调递减，所以max 2224()()eg x g a a =-=.由2241e a ≤得，2e a ≤-，所以1a <-. ……………11分 （ⅲ）当20a-<，即0a >时,显然在[0,2]上()0g x '≥，函数()g x 在[0,2]上单调递增，且2max ()(2)4e a g x g ==.显然2max ()4e 1a g x =≤不成立，故0a >不成立. ……………12分 综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-. ……………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =-- ，2(1,)FB b =- .由12FB FB a ⋅=- ，得21b a -=-.又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………4分 （Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. …………6分所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k-++. ……………7分所以MN === 2212(1)43k k +=+. ……………9分直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP = …………11分所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. ……………12分 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4. ………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-． (1,1,1,1)1111112S --=----+=-． ……………3分 （Ⅱ）设123(,,)S S x x x =．当3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑．若固定23,x x ，仅让1x 变动，此时12132323123()S x x x x x x x x x x x =++=++， 因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-．同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-．2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的123,,x x x 所达到， 于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥． 当1k x =±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++ 212313()22x x x =++-． 因为123||1x x x ++≥，所以13122S ≥-=-，且当121x x ==，31x =-时，1S =-． 因此min 1S =-． ……………8分 （Ⅲ）设121(,,,)n i j i j n S S x x x x x ≤<≤==∑121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++ .固定23,,,n x x x ，仅让1x 变动，此时2312321()()n n n n S x x x x x x x x x x -=+++⋅+++++ ， 因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥- ． 同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥- ． 2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥--- ． 以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的12,,,n x x x 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k n S S x x x =±=≥ ． 当1k x =±（1,2,,k n = ）时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++ 2121()22n n x x x =+++- ． ①当n 为偶数时，2n S ≥-， 若取1221n x x x ==== ，12221nn n x x x ++====- ，则2n S =-，所以min 2n S =-． ②当n 为奇数时，因为12||1n x x x +++≥ ，所以1(1)2S n ≥--， 若取12121n x x x -==== ，1112221n n n x x x --++====- ，则1(1)2S n =--， 所以min 1(1)2S n =--． …………………………13分。
2013高三数学理科模拟试题附加答案
2013高三数学理科模拟试题附加答案以下是xx为大家整理的关于《2013高三数学理科模拟试题附加答案》的文章，供大家学习参考！第一部分选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合≤ ≤ , ≤ ≤ ，则（）2. 计算：（）A． B．- C. 2 D. -23. 已知是奇函数，当时，，则（）A. 2B. 1C.D.4. 已知向量 ,则的充要条件是（）A． B． C． D．5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（）6. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 此函数的图象关于直线对称B. 此函数的值为1C. 此函数在区间上是增函数D. 此函数的最小正周期为7. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知、满足约束条件，若，则的取值范围为（）A. [0，1]B. [1，10]C. [1，3]D. [2，3]第二部分非选择题（共100分）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9. 已知等比数列的公比为正数，且，则 = .10. 计算 .11. 已知双曲线的一个焦点是（），则其渐近线方程为 .12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .13. 已知依此类推，第个等式为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。
14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的值为15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，PC＝_____________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2013届高考数学快速提升成绩题型训练
2013届高考数学快速提升成绩题型训练2013届高考数学快速提升成绩题型训练——三角函数1. 右图为 )sin(ϕω+=x A y 的图象的一段，求其解析式。
2 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像。
4. 已知向量a= (3，2)，b=()cos ,2sin 2x x ωω-，（)0>ω。
（1）若()f x a b =⋅，且)(x f 的最小正周期为π，求)(x f 的最大值，并求)(x f 取得最大值时x 的集合；（2）在（1）的条件下，)(x f 沿向量c平移可得到函数,2sin 2x y =求向量c。
5. 设函数x c x b a x f sin cos )(++=的图象经过两点（0，1），（1,2π），且在2|)(|20≤≤≤x f x 内π，求实数a 的的取值范围.6. 若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.7. 已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=a （sin x ，2），=b （2sin x ，21），=c （cos2x ，1），=d （1，2），当∈x [0，π]时，求不等式f （⋅a b ）＞f （⋅c d ）的解集．8. 试判断方程sinx=π100x 实数解的个数.9. 已知定义在区间]32,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称，当 ]32,6[ππ-∈x 时，函数)22,0,0()sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f ，其图象如图.（1）求函数)(x f y =在]32,[ππ-的表达式； （2）求方程2()2f x =的解.10. 已知函数)2||,0,0A )(x sin(A )x (f π<φ>ω>φ+ω=的图象在y轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为)2,(0x 和)2,3(0-+πx .(1)试求)x (f 的解析式；(2)将)x (f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的31（纵坐标不变），然后再将新的图象向x 轴正方向平移3π个单位，得到函数)x (g y =的图象.写出函数)x (g y =的解析式.11. 已知函数.3cos 33cos 3sin )(2x xx x f +=（Ⅰ）将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程（Ⅱ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域.12. )33sin(32)(πω+=x x f （ω＞0） （1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值（2）f (x )在（0，3π）上是增函数，求ω最大值。
广东省汕头市2013届高三第二次模拟考试试题(理科数学Word版)
汕头市2013年普通高中高三教学质量测评试题(二)理 科 数 学一、选择题1. 算数z 满足()2z i i i -=+，则z =A ．1i --B ．1i -C ．13i -+D ．12i -2．已知集合{{}|,|31M x y N x x ===-≤≤，且,M N 都是全集U 的子集，则右边韦恩图中阴影部分表示的集合为A ．{}|1x x ≤≤ B ．{}|31x x -≤≤ C ．{|3x x -≤≤D ．{|1x x ≤≤3. 执行右边的框图，若输出的结果为12，则输入的实数x 的值是A ．14 B ．32 C 4．如图所示，图中曲线方程为21y x =-，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是5．给出平面区域G ，如图所示，其中(5,3),(2,1),(1,5)A B C ，若使目标函数(0)z ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个，则a 的值为A ．12 B ．23 C ．2 D ．4 6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是A ．403 B C ．503 D7．已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1,a b 且*1111125,,,a b a b a b N +=>∈，则数列{}n b 的前10项和等于A ．55B ．70C ．85D ．100 8．关于二项式2013(1)x -有下列命题：（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；（2）该二项展开式中第六项为620072013C x ；（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；（4）当2014x =时，2013(1)x -除以2014的余数是2013。
其中正确命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（一）必做题（9-13题）9．某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，但可见部分如下图，据此可以了解分数在[50,60)的频率为 ，并且推算全班人数为 。
山东省2013届高三高考模拟卷(二)理科数学含答案
山东省2013届高三高考模拟卷（二）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足i i z +=-1)2(，那么复数z 的虚部为A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知集合}1{2+==x y P ，},1|{2R x x y y Q ∈+==，=S },1|{2R x x y x ∈+=，},1|),{(2R x x y y x T ∈+==，=M }1|{≥x x ，则A ．P=MB ．Q=SC ．S=TD ．Q=M3．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5．现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布表如下：则在所取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为A ．40B ．20C ．30D ．604．若p ：R x ∈∀，cos 1x ≤，则A ．p ⌝：R x ∈∃0，0cos 1x >B ．p ⌝：R x ∈∀，cos 1x >C ．p ⌝：R x ∈∃0，0cos 1x ≥D ．p ⌝：R x ∈∀，cos 1x ≥5．如图所示，已知向量BC AB 2=，a OA =，b OB =，c OC =，则下列等式中成立的是A ．a b c 2123-=B ．a b c -=2C ．b a c -=2D ．b a c 2123-= 6．如图，若程序框图输出的S 是254，则判断框①处应为A ．5≤nB ．6≤nC ．7≤nD ．8≤n7．在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知272cos 2sin 42=-+C B A ，且5=+b a ，7=c ，则△ABC 的面积为 A ．233 B ．23 C ．43 D ．433 8．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，m m x f x (3)(+=为常数)，则函数)(x f 的大致图象为9．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是A ．62516B ．62596C ．625624D ．6254 10．设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点),(y x N 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-01221034y x x y x ，则使ON OM ⋅取得最大值的点N 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个11．若P 是双曲线1C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点且=∠12F PF 212F PF ∠，其中21F F 、是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为A ．13-B ．13+C ．2D ．312．已知函数()|4|()f x x x x R =-∈，若存在正实数k ，使得方程k x f =)(在区间（2，+∞）上有两个根b a ,，其中a b <，则)(2b a ab +-的取值范围是A ．)222,2(+B ．)0,4(-C ．)2,2(-D ．)2,4(-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．设dx x a ⎰=π0sin ，则曲线()2x f x xa ax =+-在点))1(,1(f 处的切线的斜率为__________.14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为_______．15．62)1)(1(++ax x 的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中2x 项的系数为_______．16．设函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0],[)(x x f x x x x f ，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如2]5.1[-=-，1]5.1[=，若直线)0)(1(>+=k x k y 与函数)(x f y =的图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是__________.三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．(本小题满分12分) 已知函数13sin 322sin )(2++-=x x x f ．(1)求)(x f 的最小正周期及其单调增区间：(2)当]6,6[ππ-∈x 时，求)(x f 的值域． 18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A-BCD 中，△ABD 和△BCD 是两个全等的等腰直角三角形，O 为BD 的中点，且AB=AD=CB=CD=2，AC=a ．(1)当2=a 时，求证：AO ⊥平面BCD ；(2)当二面角C BD A --的大小为︒120时，求二面角D BC A --的正切值．19．(本小题满分12分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：(1)计算这50天的日平均销售量；(2)若以频率为概率，且每天的销售量相互独立．①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1．5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2万元，X 表示该种商品两天销售利润的和，求X 的分布列和数学期望．20．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的首项11=a ，公差0>d ，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列}{n b 的第2项、第3项、第4项．(1)求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；(2)设数列}{n c 对任意的*N n ∈，均有12211+=+++n nn a b c b c b c 成立，求122013c c c +++ ．21．(本小题满分13分)已知中心在原点的椭圆C ：12222=+by a x 的一个焦点为)3,0(1F ，)0)(4,(>x x M 为椭圆C 上一点，1MOF ∆的面积为23． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分13分)已知函数xk x x f +=ln )(，R k ∈． (1)若1=k ，求函数)(x f 的单调区间；(2)若xe xf -+≥12)(恒成立，求实数k 的取值范围； (3)设k x xf xg -=)()(，若对任意的两个实数21,x x 满足210x x <<，总存在00>x ，使得=')(0x g 2121)()(x x x g x g --成立，证明：10x x >．数学（理科）参考答案一、选择题：1．B 2．D3．B4．A5．A6．C7．A8．B9．B10．D11．B12．B二、填空题13．2ln 24+ 14．2 15．61 16．)31,41[三、计算题17．【解析】1)sin 21(32sin )(2+-+=x x x f ++=x x 2cos 32sin 1)32sin(21++=πx ． (1)函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ． 由正弦函数的性质知，当223222πππππ+≤+≤-k x k ， 即)(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ时，函数)32sin(π+=x y 为单调增函数，所以函数)(x f 的单调增区间为]12,125[ππππ+-k k ，)(Z k ∈． (2)因为]6,6[ππ-∈x ，所以]32,0[32ππ∈+x ，所以∈+)32sin(πx ]1,0[， 所以]3,1[1)32sin(2)(∈++=πx x f ，所以)(x f 的值域为[1，3]． 18．【解析】(1)根据题意知，在△AOC 中，2==a AC ，2==CO AO ，所以222CO AO AC +=，所以AO ⊥CO ．因为AO 是等腰直角E 角形ABD 的中线，所以AO ⊥BD ． 又BD CO=O ，所以AO ⊥平面BCD ．(2)法一 由题易知，CO ⊥OD ．如图，以O 为原点，OC 、OD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，则有O(0，0，0)，)0,2,0(D ，)0,0,2(C ，)0,2,0(-B ． 设)0)(,0,(000<x z x A ，则=OA ),0,(00z x ，)0,2,0(=． 设平面ABD 的法向量为),,(111z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0OD n OA n 即⎪⎩⎪⎨⎧==+.02,011010y z z x x 所以01=y ，令01z x =，则01x z -=． 所以),0,(00x z n -=．因为平面BCD 的一个法向量为)1,0,0(=m ，且二面角C BD A --的大小为︒120，所以=><|,cos |n m 21|120cos |=︒， 即21=，整理得20203x z =． 因为2||=OA ，所以22020=+z x ， 解得220-=x ，260=z ，所以)26,0,22(-A ， 设平面ABC 的法向量为),,(222z y x l =， 因为)26,2,22(-=BA ，)0,2,2(=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BC l BA l 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-.022,02622222222y x z y x 令12=x ，则12-=y ，32=z ．所以)3,1,1(-=l ．设二面角D BC A --的平面角为θ，则|,cos |cos ><=m l θ515|)3()1(13|222=+-+=．所以36tan =θ，即二面角D BC A --的正切值为36． 法二 在△ABD 中，BD ⊥AO ，在△BCD 中，BD ⊥CO ，所以∠AOC 是二面角C BD A --的平面角，即∠AOC=︒120． 如图，过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ，因为BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，且CO AO=O ，所以BD ⊥平面AOC ．因为AH ⊂平面AOC ，所以BD ⊥AH ．又CO ⊥AH ，且CO BD=O ，所以AH ⊥平面BCD ．过点A 作AK ⊥BC ，垂足为K ，连接HK ．因为BC ⊥AH ，AK AH=A ，所以BC ⊥平面AHK ．因为HK ⊂平面AHK ，所以BC ⊥HK ，所以∠AKH 为二面角D BC A --的平面角．在△AOH 中，∠AOH=︒60，2=AO ，则26=AH ，22=OH ， 所以223222=+=+=OH CO CH ． 在Rt △CHK 中，∠HCK=︒45，所以232==CH HK ． 在Rt △AHK 中，362326tan ===∠KH AH AKH ， 所以二面角D BC A --的正切值为36． 19．【解析】(1)日平均销售量为55.150152255.110=⨯+⨯+(吨)． (2)①日销售量为1．5吨的概率5.05025==p ． 设5天中该商品有Y 天的销售量为1．5吨，则)5.0,5(~B Y ， 所以==)2(Y P 165)5.01(5.03225=-⨯⨯C ． ②X 的所有可能取值为4，5，6，7，8．又日销售量为1吨的概率为2.05010=，日销售量为2吨的概率为3.05015=，则 04.02.0)4(2===X P ；2.05.02.02)5(=⨯⨯==X P ；37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==X P ；3.03.05.02)7(=⨯⨯==X P ；09.03.0)8(2===X P ．所以X 的分布列为数学期望⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=83.0737.062.0504.04EX 2.609.0=．20．【解析】(1)由已知得d a +=12，d a 415+=，d a 13114+=，所以)131)(1()41(2d d d ++=+，解得0=d 或2=d ．又因为0>d ，所以2=d ．所以122)1(1-=⨯-+=n n a n ．又322==a b ，953==a b ，所以等比数列}{n b 的公比33923===b b q ， 所以1222333---=⨯==n n n n qb b ． (2)由12211+=+++n nn a b c b c b c ①，得当2≥n 时， n n n a b c b c b c =+++--112211 ②， ①-②，得当2≥n 时，21=-=+n n n n a a b c ，所以≥⨯==-n b c n n n (32212)．而1=n 时，211a b c =，所以31=c ．所以⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,31n n c n n ． 所以122013c c c +++ 1220123232323=+⨯+⨯++⨯2013201320136233333313-⨯=+=-+=-． 21．【解析】(1)因为椭圆C 的一个焦点为)3,0(1F ，所以922+=a b ，则椭圆C 的方程为192222=++a y a x ， 因为0>x ，所以233211=⨯⨯=∆x S MOF ，解得1=x ． 故点M 的坐标为(1，4)． 因为M(1，4)在椭圆上，所以1916122=++a a ，得09824=--a a ， 解得92=a 或12-=a （不合题意，舍去），则18992=+=b ．所以椭圆C 的方程为118922=+y x ． (2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，其方程为m x y +=4（因为直线OM 的斜率)4=k ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1189,422y x m x y 消去y ，化简得01881822=-++m mx x ． 进而得到18821m x x -=+，1818221-=⋅m x x ． 因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以0)18(184)8(22>-⨯⨯-=∆m m ，化简，得1622<m ，解得2929<<-m ．因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，所以0=⋅，所以02121=+y y x x ．又221212121)(416)4)(4(m x x m x x m x m x y y +++=++=， 221212121)(417m x x m x x y y x x +++=++--=183218)18(1722m m 02=m ， 解得102±=m ． 由于)29,29(102-∈±，所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为1024+=x y 或1024-=x y ．22．【解析】(1)当1=k 时，函数)0(1ln )(>+=x xx x f ， 则=')(x f 22111xx x x -=-． 当0)(<'x f 时，10<<x ，当0)(>'x f 时，>x 1，则函数)(x f 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)∞+． (2)x e x f -+≥12)(恒成立，即xe x k x -+≥+12ln 恒成立，整理得e x x x k -+-≥1ln 2恒成立． 设e x x x x h -+-=1ln 2)(，则x x h ln 1)(-='，令0)(='x h ，得e x =．当),0(e x ∈时，0)(>'x h ，函数)(x h 单调递增，当∈x ),(+∞e 时，0)(<'x h ，函数)(x h 单调递减，因此当e x =时，)(x h 取得最大值1，因而1≥k ．(3)x x k x xf x g ln )()(=-=，1ln )(+='x x g ．因为对任意的)0(,2121x x x x <<总存在00>x ，使得21210)()()(x x x g x g x g --='成立， 所以21210)()(1ln x x x g x g x --=+，即2122110ln ln 1ln x x x x x x x --=+， 即121221110ln 1ln ln ln ln x x x x x x x x x ----=-21122212ln ln x x x x x x x x --+-= 11ln212121--+=x x x x x x ． 设t t t -+=1ln )(ϕ，其中10<<t ，则011)(>-='t t ϕ，因而)(t ϕ在区间(0，1)上单调递增，0)1()(=<ϕϕt ，又0121<-x x ． 所以0ln ln 10>-x x ，即10x x >．。
2013年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)理科数学试题答案
2013年佛山二模数学试题（理科）参考答案和评分标准9．∀x ∈R ，xe >0 10．4π 11．8 12．()()22115x y -+-= 13．80 14．sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 15．13 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）(1)解法1、 由题可知：(1,3)A -， (cos ,sin )B αα即(1,3)OA =- ，(cos ,sin )OB αα=…………2分OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=…………3分∴ cos 3sin0αα-+=则1tan 3α= …………4分解法2、由题可知：(1,3)A -， (cos ,sin )B αα …………1分3OA k =-，tan OB k α= …………2分 ∵OA OB ⊥，∴1OA OB K K ⋅=- …………3分3tan 1α-=-， 得1tan 3α= …………4分（2）解法1、由（1）OA == 记AOx β∠=， (,)2πβπ∈∴sin β==，cosβ==…………6分 ∵1OB = 4cos 5α=，得3sin 5α== …………8分43sin sin()55AOB βα∠=-=+=…………10分∴11sin 12210AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯32= …………12分 解法2、由题意得：AO 的直线方程为30x y +=， …………6分则3sin 5α== 即43(,)55B …………8分则点B 到直线AO 的距离为d ==…………10分 又OA ==∴11322102AOB S AO d ∆=⨯== …………12分解法3、3sin5α==即43(,)55B…………6分即：(1,3)OA=-，43(,)55OB=，…………7分OA==1OB=4313cosOA OBAOBOA OB-⨯+⨯⋅∠===…………9分∴sin AOB∠==…………10分则113sin1222AOBS AO BO AOB∆=∠==…………12分17．（本题满分12分）解：(1) 因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是110和15，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是111130.152102520⋅+⋅==，…………2分所以李生小孩能够按时到校的概率是10.1585%-=；…………3分（2）甲到丙没有遇到拥堵的概率是1720，…………4分丙到甲没有遇到拥堵的概率也是17 20，甲到乙遇到拥堵的概率也是11111123103103515⋅+⋅+⋅=，…………6分甲到乙没有遇到拥堵的概率也是21311515 -=，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是17171337570.7 2020156000⋅⋅=<，所以李生没有七成把握能够按时上班；…………8分（3）依题意ξ可以取0,1,2.(0) Pξ==13172211520300⋅=, (1)Pξ==21713373152********⋅+⋅=,(2) Pξ==2361520300⋅=, …………11分85170+1+2=30030030030060Eξ=⨯⨯⨯=. …………12分A B E C D F 图甲 1A E F C 1D 图乙 G MH H 18．（本题满分14分）（Ⅰ）证明：在图甲中，易知//AE DF ,从而在图乙中有11//A E D F ，………………………………1分 注意到1A E ⊄平面1CD F ，1D F ⊂平面1CD F ，所以1//A E 平面1CD F ； ………………………………4分 （Ⅱ）解法1、如图,在图乙中作GH EF ⊥，垂足为H ，连接1A H ，由于1AG ⊥平面EBCF ，则1AG EF ⊥， ………………………………5分 所以EF ⊥平面1AGH ，则1EF A H ⊥， ………………………………6分 所以1A HG ∠平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的平面角， ………………………………8分 图甲中有EF AH ⊥，又GH EF ⊥，则A G H 、、三点共线，………………………………9分设CF 的中点为M ，则1MF =，易证ABG EMF ∆≅∆，所以，1BG MF ==，则AG =………………………………11分 又由ABG AHE ∆∆，得1AB AE A H AH AG === ， ………………………………12分 于是，HG AG AH =-=………………………………13分 在1Rt AGH ∆中，112cos 3HG AGH A H ∠==，即所求二面角的余弦值为23． ……………14分 解法2、如图,在图乙中作GH EF ⊥，垂足为H ，连接1A H ，由于1AG ⊥平面EBCF ，则1AG EF ⊥， ………………………………5分 所以EF ⊥平面1AGH ，则1EF A H ⊥， 图甲中有EF AH ⊥，又GH EF ⊥，则A G H 、、三点共线， …………………………6分 设CF 的中点为M ，则1MF =，易证ABG EMF ∆≅∆，所以1BG MF ==，则AG =又由ABG AHE ∆∆ ，得1AB AE A H AH AG ===………………………………7分于是，HG AG AH =-= 在1Rt AGH ∆中， 1AG === ………………………………8分作//GT BE 交EF 于点T ，则TG GC ⊥，以点G 为原点，分别以1GC GT GA 、、所在直线为x y z 、、轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)G 、(1,1,0)E -、(2,2,0)F 、1A ，则1(1,3,0)(1,1EF EA ==- ，. 11分显然，1GA =是平面BEFC 的 一个法向量， ………………………………12设(,,)n x y z =是平面11A EFD 的一个法向量，则130,0n EF x y n EA x y ⎧=+=⎪⎨=-++=⎪⎩ ，即3,x y z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩不妨取1y =-，则(3,1n =-， ……………………………13分 设平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角为θ，可以看出，θ为锐角，所以，112cos 3||||GA n GA n θ=== ，所以，平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值为23． …………………………14分 19．（本题满分14分）解：（1）由题可知，圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等, ………………2分 由抛物线定义可知,C 的轨迹2C 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线,………………4分 所以动圆圆心C 的轨迹2C 的方程为24y x =. …………………………………5分（2）方法一、设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n ， 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)221nm k n k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m k k n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，…………………………………8分 将其代入抛物线方程，得：222288()411k k k k -=⋅++，所以21k =. ………………9分联立 2222(4)1y k x x y a b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得： 2222222()8160b a x a x a a b +-+-=.由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥， ………………12分 注意到221b a =-，即2217a ≥，所以a ≥，即2a ≥ ………………13分 因此，椭圆1C .此时椭圆的方程为22+1171522x y =. ………………14分 方法二、设2,4m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，因为O P 、两点关于直线l 则=4OM MP =， 5分E 图丙4=，解之得4m =± …………………………………6分即(4,4)P ±,根据对称性,不妨设点P 在第四象限，且直线与抛物线交于,A B 如图.则11AB OPk k =-=,于是直线l 方程为4y x =- …………………………………9分联立 222241y x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-=.由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥， ………………12分 注意到221b a =-，即2217a ≥，所以a ≥，即2a ≥ ………………13分 因此，椭圆1C.此时椭圆的方程为22+1171522x y =. ………………14分 20．（本题满分14分）解：（1）由题意知03612 633x x x ≤<⎧⎪⎨--≥⎪+⎩或 3611 63x x ≤≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩ ………………1分解得13x ≤<或34x ≤≤，即14x ≤≤ ………………3分 能够维持有效的抑制作用的时间：413-=小时. ………………4分 （2）由（1）知，4x =时第二次投入1单位固体碱，显然()g x 的定义域为410x ≤≤， 当46x ≤≤时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故()g x =1 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(4)626(4)3x x ⎡⎤---⎢⎥-+⎣⎦=116331x x ---; ………………6分 当610x <≤时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故当67x <≤时， (4)6()26(4)3x g x x -=---+ =86361x x ---; ………………7分 当710x <≤时， 45()1636x xg x -=-=- ; ………………8分 所以1164633186()67361571036xx x xg x x x xx ⎧--≤≤⎪-⎪⎪=--<≤⎨-⎪⎪-<≤⎪⎩………………9分 当46x ≤≤时，116()331x g x x =---=101610()3313x x --+≤--103-当且仅当1631x x -=-时取“=”,即1[4,6]x =+ ………………11分 当610x <≤时，第一次投放1单位固体碱已无残留，当67x <≤时， 2261(5)(7)()0(1)66(1)x x g x x x +-'=-=>--，所以()g x 为增函数;当710x <≤时，()g x 为减函数;故 max ()g x =1(7)2g =， ………………12分又10117(0326---=>,所以当1x =+103-………………13分 答: (1)第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时; (2)第一次投放1+小时后,水中碱浓度的达到最大值为103-……………14分 21．（本题满分14分）解：（1）易得,()1221122xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, ………………1分()12221224xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭………………2分()122313382xf x x x e -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,所以3(0)3f =- ………………3分 (2)不失一般性，设函数()21111()xn n n n f x a x b x c e λ----=++⋅的导函数为()2()x n n n n f x a x b x c e λ=++⋅，其中1,2,n = ，常数0λ≠，0001,0a b c ===.对1()n f x -求导得：2111111()[(2)()]x n n n n n n f x a x a b x b c e λλλλ------'=⋅++⋅++⋅⋅ ………………4分 故由1()()n n f x f x -'=得：1nn a a λ-=⋅ ①， 112n n n b a b λ--=+⋅ ②， 11n n n c b c λ--=+⋅ ③ 由①得：,n n a n N λ=∈ ， ………………6分代入②得：112n n n b b λλ--=⋅+⋅，即112n n nn b b λλλ--=+，其中1,2,n = 故得：12,n n b n n N λ-=⋅∈. ………………7分 代入③得：212n n n c n c λλ--=⋅+⋅，即1212nn nn c c nλλλ--=+，其中1,2,n = .故得：2(1),n n c n n n N λ-=-⋅∈， ………………8分因此(0)n f =2(1),n n c n n n N λ-=-⋅∈.将12λ=-代入得：21(0)(1)()2n n f n n -=--，其中n N ∈. ………………9分 （3）由（2）知111(0)(1)()2n n f n n -+=+-，当2(1,2,)n k k == 时，21221211(0)2(21)()02k k k k S S f k k --+-==+⋅-<，2212210,k k k k S S S S --∴-<<，故当n S 最大时，n 为奇数. ………………10分⎧⎪⎨⎪⎩当21(2)n k k =+≥时，21212221(0)(0)k k k k S S f f +-++-=+又2221(0)(21)(22)()2kk f k k +=++-，21211(0)2(21)()2k k f k k -+=+- 221222111(0)(0)(21)(22)()2(21)()22k k k k f f k k k k -++∴+=++-++-211(21)(1)()02k k k -=+--<，2121k k S S +-∴<，因此数列{}21(1,2,)k S k += 是递减数列.又12(0)2S f ==，3234(0)(0)(0)2S f f f =++=， ………………13分 故当1n =或3n =时，n S 取最大值132S S ==. ………………14分。
河南省洛阳市2013届高三二练数学(理)试题
河南省洛阳市2013届高三年级二练数学（理）试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150 分．考试时间 120 分钟。
第I 卷（选择题，共 60 分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，将答题卷交回．一、选择超：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知22={|2},{(,)|4}M y y x N x y x y ==+=，则M N 中元素个数为A ． 0B ． 1C ． 2D ．不确定2．i 是虚数单位，则(1)ii i +的模为A ．12 B．2CD ． 23．某项测量中，测量结果2~(1,)(0)X N σσ>，若 X 在（0， 1 ）内取值的概率为 0．4 ，则 X 在（0, 2 ）内取值的概率为 A ．0．8 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．24．已知(nx 的展开式中第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为A ． 128B ． 64C ． 32D ．165．设n S 是等差数列｛a n ｝的前 n 项和。
若533S S =，则96S S A ．32B ．53C ． 2D ． 36．已知命题22:,11,:,10,P x R mx q x R x mx ∃∈+≤∀∈++≥若 ()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是 A ． （(,0)(2,)-∞+∞B ．[0，2]C ．RD ．φ7· 已知正数x ，y 满足20,350.x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩则22111z og x og y =++的最大值是A ． 8B ． 4C ． 2D ． 18．已知双曲线22145x y -=上一点 P 到 F （ 3 ，0）的距离为 6，O 为坐标原点，1(),||2OQ OP OF OQ =+=则 A ． 1 B ． 2C ． 2 或 5D ． 1 或 59．对任意非零实数 a , b ，若 a *b 的运算原理如图所示，sin xxdx =⎰A B ．3C D 10．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线3x π=对称，且()012f π=，则ω的最小值是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 11．动点 P 在正方体A BCD 一 A 1B 1C 1D 1的对角线 BD 1上，过 P 作垂直于平面 BB 1 D 1D 的直线，与正方体表面交于 M , N 两点，设|BP|= x ， △ BMN 的面积是 y , 则函数()y f x =的图象大致为12．已知正数是 a , b , c 满足：534,1111c a b c a c nb a c nc nb na -≤≤-≥+-则的取值范围是A ．(],17n -∞B ．[]212,12n n -C ．31,15n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,17n第 Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分）二、坡空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分．共 20 分13．正三角形 A BC 中， D 是边 BC 上的点， AB =3，BD = l ，则AB ·AD = 。
广东省某重点中学2013届高三数学理高考冲刺之基础训练二答案不全
DPOA 2013届高三冲刺复习 基础训练二 2013—5—71、i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0，1}，则 （ )A ．i∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.错误!∈S2、已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，集合1{|(),0}2xB y y x ==>，则A B = （ ）A ．(1,)+∞B ．(1,1)-C ．(0,)+∞D ．(0,1) 3、下列函数中，在（0，＋∞）上单调递增的偶函数是 （ ）A 、y ＝cosxB 、y ＝x 3C 、y 212log x = D 、y=xx ee -+4、（2012·日照模拟）若二项式错误!n 的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x －4的系数是( ）A ．80B ．40C ．20D ．10 5、在约束条件53,4200≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥s x y s y x y x 当下时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( ）()A［6，15］ ()B ［7，15]()C[6,8]()D [7，8]6、若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===,满足条件()(2)2c a b -⋅=-,则x = .7、某四面体的三视图如图所示，则该四面体的 四个面中,直角三角形的面积和是_______.8、设nS 是公差不为0的等差数列{}na 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a等于______9、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系()(),02ρθθπ≤<中,曲线2sin ρθ= 与cos 1ρθ=- 的交点的极坐标为______. 10。
(几何证明选讲选做题）如图3，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦,它们相交于AB 的中点P ,23a PD =，30OAP ∠=,则CP =______.11、已知()cos m x x =,()cos ,cos n x x =,设()f x m n =⋅．(1)求函数()f x 的最小正周期及其单调递增区间； （2）若b c 、分别是锐角ABC ∆的内角B C 、的对边，且b c ⋅=()12f A =,试求ABC ∆的面积S ．ks5u图3a0.06b12、沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名。
【高考秘籍】2013高考数学提分训练3.2.2第二课时知能优化训练
1．(2011年高考江西卷)若z ＝1＋2ii，则复数z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i解析：选D.z ＝1＋2i i ＝2＋1i＝2－i ，z ＝2＋i.2．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B.∵a ＋2ii ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.∴a ＝－1，b ＝2.∴a ＋b ＝1.3．(2010年高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________. 解析：∵z ＝1－2i ，∴z ·z ＝|z |2＝5. ∴z ·z ＋z ＝6－2i.答案：6－2i4．复数(1－i 1＋i)10＝________.解析：(1－i 1＋i )10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－i )(1＋i )1＋i 10＝(－i)10＝－1.答案：－1 5.21－i ＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，求a ＋b . 解：∵21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ， ∴1＋i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋b ＝2.一、选择题1．(2011年高考辽宁卷)a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.2．(2011年高考北京卷)复数i －21＋2i＝( ) A ．i B ．－iC ．－45－35iD ．－45＋35i解析：选A.i －21＋2i ＝i (i －2)i (1＋2i )＝i (i －2)i －2＝i ，故选A.3．复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R )在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.∵z ＝15[m －4－(2＋2m )i]，点⎝ ⎛⎭⎪⎫m －45，－2－2m 5满足2x ＋y ＝－2，该直线不经过第一象限．4．(2011年高考湖北卷)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2011＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1解析：选A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2011＝i 2011＝i502×4＋3＝i 3＝－i.故选A. 5.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D.由图知复数z ＝3＋i ， ∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i 的点为H .6．已知z ∈C ，且|z |＝1，则复数z 2＋1z( )A ．是实数B ．是虚数但不一定是纯虚数C ．是纯虚数D ．可能是实数也可能是虚数解析：选A.∵|z |＝1，∴z ·z ＝1，1z＝z .∴z 2＋1z ＝z ＋1z ＝z ＋z ∈R .二、填空题7．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z ＝________.解析：设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－b 2＋b ＋22i.∵z ＋21－i为实数，∴b ＋22＝0，∴b ＝－2，∴z ＝－2i.答案：－2i8．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＝1＋i ，则复数z 2＝__________. 解析：由已知z 2＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝i.答案：i9．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝__________.解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， (1＋3i)(a ＋b i)＝(a －3b )＋(b ＋3a )i ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝0b ＋3a ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b a ≠－b 3，∵ω＝22＋i ＝3b ＋b i 2＋i ， ∴|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3b ＋b i 2＋i ＝|3b ＋b i||2＋i|＝52， 即9b 2＋b 24＋1＝52，解得b ＝±5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝15b ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝－5. ∴z ＝±(15＋5i)＝±5(3＋i)，∴ω＝±5(3＋i )2＋i ＝±5(3＋i )(2－i )5＝±(7－i)．答案：±(7－i)三、解答题10．已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2.求：(1)z 1·z 2；(2)z 1z 2.解：∵z 2＝15－5i(2＋i )2＝15－5i 3＋4i＝5(3－i )(3－4i )25＝1－3i ，∴(1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )10＝1110＋310i. 11．已知z 为复数，z －1i 为实数，z 1－i 为纯虚数，求复数z .解：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )． ∴z －1i ＝(a －1)＋b ii＝b －(a －1)i ∈R ， ∴a －1＝0，∴a ＝1. 又z 1－i ＝a ＋b i 1－i ＝(a ＋b i )(1＋i )2＝a －b 2＋a ＋b2i ，为纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b 2＝0a ＋b 2≠0，∴a ＝b ≠0，∴a ＝b ＝1，∴z ＝1＋i.12．已知复数z 所对应的点Z 在直线y ＝3x 上，且虚部为正数，若|z －1|是|z |和|z －2|的等比中项，求|z |.解：设z ＝a ＋b i ，b >0，∵复数z 所对应的点Z 在直线y ＝3x 上， ∴b ＝3a ，∴z ＝a ＋3a i(a >0)． ∵|z －1|＝ (a －1)2＋3a 2，|z |＝ a 2＋3a 2＝2a ，|z －2|＝(a －2)2＋3a 2.又∵|z －1|2＝|z |·|z －2|， ∴(a －1)2＋3a 2＝2a (a －2)2＋3a 2，整理得4a 2－2a ＋1＝4aa 2－a ＋1，两边同时平方得16a 4＋4a 2＋1－16a 3＋8a 2－4a ＝16a 2(a 2－a ＋1)，化简得4a 2＋4a －1＝0，即(2a ＋1)2＝2，解得a ＝2－12或－2－12(舍去)．∴|z |＝2－1.。
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版(2)(K12教育文档)
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II ）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2013课标全国Ⅱ，理1）已知集合M ＝{x ｜(x －1）2＜4，x ∈R ｝，N ＝｛－1,0,1,2,3},则M ∩N ＝（ )．A ．{0，1，2｝B ．{－1，0，1，2｝C ．｛－1，0,2，3｝D ．{0，1,2，3｝2．(2013课标全国Ⅱ，理2）设复数z 满足（1－i)z ＝2i ，则z ＝( ）．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i 3．（2013课标全国Ⅱ，理3）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1,a 5＝9，则a 1＝( ）．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．（2013课标全国Ⅱ，理4）已知m ,n 为异面直线，m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ,l α,l β，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 5．（2013课标全国Ⅱ，理5）已知(1＋ax )(1＋x ）5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝（ ）．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝（ )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．（2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是（1,0,1)，（1,1,0)，（0,1，1），(0，0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ )．8．（2013课标全国Ⅱ，理8）设a ＝log 36,b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a ＝（ ）．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．（2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ）．A ．∃x0∈R ，f （x0)＝0B ．函数y ＝f(x ）的图像是中心对称图形C ．若x0是f(x ）的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0）单调递减D ．若x0是f （x)的极值点，则f′(x0)＝0 11．（2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上,｜MF ｜＝5，若以MF 为直径的圆过点（0，2)，则C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ,理12）已知点A (－1，0)，B （1，0)，C (0,1），直线y ＝ax ＋b (a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（ )．A ．(0，1） B．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C．11,23⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
2013高考海淀区高三理科数学查漏补缺试题答案
2013 高考海淀区高三理科数学查漏补缺试题答案理科2013年 5 月题号 1 2 3 4 5答案 B C C A 33π， 30π题号 678910答案①③[0,8]5,(12 , 24)15e 213 39题号 11 12 13 14 15答案-21,30B153a5解答题部分：１. 解：﹙Ⅰ﹚f ( x ) cos 2 x 2 3sin x cosx sin 2 x3sin2 x cos2 x2sin(2 x)6所以 T , f ( x) [ 2,2]﹙Ⅱ﹚由 f ( A ) 2 ，有 f ( A) 2sin( A) 2 ，22 6所以 sin( A)1.6由于 0A，所以 A6 , 即 A3 .2由余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bccos A 及 a 2 bc ，所以 (b c) 2 0 .所以 bc, 所以 BC .3所以 ABC 为等边三角形 .2. 解：依题意MOQπPOQMOQπ ．，所以MOP33由于 sin 1，且( π πcos 2 2 ．2 , ) ，所以32 3所以 cos POQ π)ππ2 23cos(cos cossin sin．333 6（Ⅱ）由三角函数定义，得P(cos ,sin ) ，进而 Q(cos , 3cos )所以 S POQ1|cos || 3cos sin | 2 1 | 3cos 2 sin cos |21 | 3 3cos2 1sin 2|1|3 sin( π2 ) |2 2 222 2 31 3 1|3 12 |4 22由于π ππ(, ) ，所以当时，等号成立2 212 所以 OPQ 面积的最大值为3 1 4.23. 解：（Ｉ） a 2（ＩＩ）由于 f ( x ) cos2 x a cos x 1 2cos 2 x2cos x设 t cos x, 由于 x [0, π], 所以 t [ 1,1]所以有 y2t 22t, t[ 1,1]由二次函数的性质知道，y 2t 2 2t 的对称轴为 t12所以当 t1，即 tcos x1， x2π时，函数获得最小值12232当 t1 ，即 t cos x 1 ， x0 时，函数获得最大小值 44. 证明：（I ）当 n 1 时， a 13a 12由于 a 10 ，所以 a 1 1当 n2 时， a 13a 23 a 33 a n 3 S n 2 ①a 13 a 23 a 33 a n 3 1S n 2 1 ②①－②得， a n 3 a n (2a 1 2a 22a n 1 a n )a 0 a 2 2a 2a 2a a，即 a n2 2S n－a n 由于 a1 1 合适上式所以 a n2 2S n－ a n (n N )（Ⅱ）由（I ）知a n2 2S n - a n (n N ) ③当 n 2 时，a n21 2S n 1 a n 1 ④③－④得 a n2－ a n2 - 1 2( S n -S n - 1 )-a n a n - 1 2a n-a n a n - 1 an a n- 1由于a n a n - 1 0 ,所以 a n - a n - 1 1所以数列a n 是等差数列，首项为 1，公差为1，可得a n n5. （ I ）由于在正三角形ACE 中， O 为 AC 中点，所以 EO AC又平面 ACE 平面 ABCD ，且平面 ACE 平面 ABCD AC ，所以 EO 平面 ABCD ，所以 EO CF在 Rt ACD 中，tan FCO 2,tan ODC 2 2 2所以FCO ODC ，所以FCD ODC 90 ，即 CF DO ，又DO OE O所以 CF 平面 DOE ，所以 CF DE（Ⅱ）以 O 为坐标原点，OF ,OA,OE 所在直线为坐标轴成立坐标系，则 O(0,0,0), F ( 21,0), E(0,0,0 3) ， D( 2, 1,0) ,0,0), A(0,1,0), C(0,2由（ I ）得平面 DOE 的法向量为CF ( 2,1,0) 2设平面 DCE 的法向量为n ( x, y, z) 由于CD ( 2,0,0), CE (0,1, 3),CD n 0,解得x 0，取 n (0,3, 3)所以0, y 3zCE n 0所以 cos n,CF =2，2所以二面角 O DE C 的值为π.6. 解：（Ⅰ）记 “摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不一样”为事件A ，摸出一球得白球的概率为 2 ， 5 摸出一球得黑球的概率为3，5233212所以P （A ）＝× ＋ × ＝.12答：两球颜色不一样的概率是.25（Ⅱ）由题知可取 0， 1， 2， 依题意得P(3 2 31) 3 2 2 3 3 2)0)4, P(5 4 5 4 , P(5 105则 E3 3 14101210 ，552229 . D0 43 14 3 2 415 105 55 1025答： 摸出白球个数 的希望和方差分别是 4，9.5 257. 解：（Ⅰ）由于 f ( x)6ln( ax2)1x 2 ，2所以 f ' ( x) 6a 2 xax由 f ' (2) 0 ，可得 a 2经查验 a2 时，函数 f ( x) 在 x 2 处获得极值，f ( x)6ln(2 x 2)1 x2 ，2f ' ( x)6 xx 2 x 6 ( x 3)( x 2) x 1x 1x 1 而函数 f ( x) 的定义域为 ( 1,) ，当 x 变化时， f ' ( x) ， f ( x) 的变化状况以下表：x( 1,2)2'( x)f2 115 4 10(2, )f ( x)极小值由表可知， f ( x) 的单一减区间为 ( 1,2) ， f ( x) 的单一增区间为 (2, )（Ⅱ）若 f '( x) kx ，则有 x2 x 6 kx2 kx ，此中x 1 ，所以 (k 1)x 2 ( k 1)x 6 0 有大于 1 的根，明显 k 1 ，设g( x) ( k 1)x 2 (k 1)x 6则其对称轴为x 1，依据二次函数的性质知道，2只需( k 1)2 24(k 1) 0解得 k 25 或 k 1 .8. （Ⅰ）解：f ( x) ae ax ( x 1)[( a 1)x 1]x2①当 a 1 时，令 f ( x) 0 ，解得x 1f ( x) 的单一递减区间为( , 1) ；单一递加区间为( 1,0) ， (0, )当 a 1 时，令 f ( x) 0 ，解得x 1 ，或x1 a 1②当 1 a 0 时， f ( x)的单一递减区间为( , 1)，( 1 , )a 1单一递加区间为 ( 1,0) ， (0,a 1 ) 1③当 a 0 时， f ( x) 为常值函数，不存在单一区间④当 a 0 时，f ( x)的单一递减区间为( 1,0) ， (0, 1 )a 1单一递加区间为( , 1)， ( 1 , )a 11 a1)2（Ⅱ）解：①当 a 0 时，若x (0, ) ， f ( x) min f ( ) e a 1 ( a 1a 1若 x ( ,0) ，f ( x)max f ( 1) e a 1 ，不合题意②当 a 0 时，明显不合题意a，则 f ( x1 ) a2③当 1 a 0 时，取x1 e 2 (a 1) 02取 x2 1 ，则 f ( x2 ) e a 0 ，切合题意④当 a 1 时，取x 1 ，则 1f ( x1 ) e 01取 x 21，则 f ( x 2 ) e a0 ，切合题意综上， a 的取值范围是 [ 1,0) ．9. 解：（Ⅰ）证明： f ( x) ax 2 2bxc ，由题意及导数的几何意义得f (1) a 2b c 0 ，（ 1）f (m)am 22bm c a ，（ 2）又 ab c ，可得 4a a 2b c4c ，即 4 a0 4 c ，故 a 0, c 0,由（ 1）得 c a 2 b ，代入 ab c ，再由 a0 ，得1 b 1 ，（3）3a将 ca 2b 代入（ 2）得 am 22bm 2b 0 ，即方程 ax 2 2bx2b 0 有实根．故其鉴别式4b28ab ≥0 得b ≤ 2 ，或 b≥0 ， （4）aa由（ 3），（ 4）得 0 ≤b1 ；a（Ⅱ）由 f ( x) ax 2 2bx c 的鉴别式 4b 2 4ac 0 ，知方程 f ( x) ax 2 2bx c0 ( ) 有两个不等实根，设为 x 1 , x 2 ，又由 f (1) a2b c 0 知， x 11 为方程（ ）的一个实根，则由根与系数的关系得x 1 x 22b2b, x 21 0 x 1 ，a a当 xx 2 或 x x 1 时， f ( x) 0 ，当 x 2 x x 1 时， f ( x) 0 ，故函数 f ( x) 的递加区间为 [ x 2 , x 1 ] ，由题设知 [ x 2 , x 1 ] [ s, t ] ，所以 | s t | | x 1x 2 | 2 2b ，由（Ⅰ）知 0 ≤ b1 得aa | s t | 的取值范围为 [2, 4) .10. 解 : （Ⅰ）椭圆 C 的方程为：x 2y 2 1.4 3（Ⅱ）设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ，则 x 12 y 12 1 ， x 22y 22 1 .434 3依题意有 |PM || PN |，即 x 12 ( y 0 y 1 )2x 22 ( y 0 y 2 )2 ，( x 2 x 2 ) ( y 2 y 2 ) 2y ( y y )将 x 124 4y 12 ， x 22 4 4 y 22 代入上式，消去 x 12 , x 22 ，3 3得 ( y 12 y 22 ) 6 y 0 ( y 1y 2 ) 0 .依题意有 y 1 y 2 0 ，所以 y 0y 1y2.6注意到 | y 1 | 3 ， | y 2 | 3 ，且 M , N 两点不重合，进而2 3y 1 y 2 2 3 .所以 y 0( 3 , 3) .3 311. 解： (I)设 Q( x, y),由于 NP1PQ, 所以 N (0,y),22又 M ( 3m,0), 所以 MN (3m,y ), NQ ( x, 3y),2 2由已知 MNNQ 0, 则 3mx 3 y 2 04y 2 4mx,即Q 点轨迹方程为 y 24mx.（Ⅱ）如图，不如设正方形在抛物线上的三个极点中 A 、 B 在 x 轴的下方（包含 x 轴），记 A 、 B 、 C 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 ),( x 3 , y 3 ) ，此中 y 3 0 y 2 y 1并设直线 AB 的斜率为 （kk ＜0）y 2 y 1k( x 2x 1 )则有y 2 1( x 3①yy 3 x 2 )k又由于 A 、 B 、 C 在抛物线 y 24mx 上，故有Cx 1y 12 , x 2y 22 , x 3y 32 代入①式得O D4m4m 4mx4mBy 1y 2 , y 34mk y 2 ②Ak由于 |AB| |BC |即 ( x 1x 2 )2 ( y 1 y 2 )2(x 3x 2 )2 ( y 3y 2 )2所以 11y 1 )1 k 2( y 3y 2 )k2( y2所以 ( y 2 y 1 ) k ( y 3 y 2 ) 将②代入可得：4m y 2k( 4mk 2y 2 )y 2k即 4mk 24m 2( k 1) y 2 ，k4mk 24m 得 y 2k1)2( k正方形的边长为 |AB|1 k2 ( y3 y 2 )1 k2 ( 4mk 2 y 2 )4mk 2 4mk 311 k2 ( 4mkk k )4m 1 k 2k1k ( k 1)4m 1 k 2 (k 2 1)k( k 1)易知 (k21) 2,1k 22 , 所以4m 1k 2 ( k 2 1) 4 2mkk 12k ( k 1)所以正方形 ABCD 面积的最小值为 32m 2 .12．解：（Ⅰ）设圆心坐标为 ( x, y ) ，那么 22 y22 x 2 ，化简得 x 2 4 y( y 2) （Ⅱ） 解法一 ：设 P( x 1， y 1 )，Q( x 2，y 2 )设直线 PQ 的方程为 y kx b ，代入曲线 C 的方程得 x 2 4kx 4b 0 ，所以 x 1 x 2 4k ,x 1x 24b,16k 2 16b 0由于 PQ2 ，所以 (1 k 2 )[( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 2 ] 4, (1 k 2 )[16k216b] 4 所以 , 4(1 k 2 )[ k 2 b]1, k 2 b1 k2 )4(1过 P 、Q 两点曲线 C 的切线方程分别为 y y 1x 1( x x 1 ), y y 2x 2 ( x x 2 )2222两式相减，得 y 2 y 1xx 2 x 1( x 1x 2 )2x 2 2 x 12 x2x 12x 2 212( x 1 x 2 )， x 1x 2 ，xxx 2k4222代入过 P 点曲线 C 的切线方程得 ,y y 1x 1 ( x1x 2 x 1 )x 1 22 2yx 1 ( x 1 x 2x 1 ) ， yx 1x 2b4 2 24即两条切线的交点 M 的坐标为（ 2k, b ），所以点 M 到直线 PQ 的距离为d2k 2 2b2 k 2 b 11 k 21 k 232(1 k 2 ) 2当 k0 时 ,dmax1 , 此时 PQM 的面积的取最大值 S max1 PQ d max 12 22 解法二 : 设 P( x 1，y 1 )，Q( x 2， y 2 ) , 则过 P 、 Q 两点曲线C 的切线方程分别为y y 1x 1( x x 1 ), y y 2x 2( x x 2 )22两式相减得 y 2y 1x( x 1 x 2 ) x 2 2 2 x 1 2 ，2x 22x 12 x( x 1 x 2 ) x 2 2x 12 ， x 1 x 2 ， x x 1 x 24222 代入过 P 点曲线 C 的切线方程得 ,y y 1 x 1 ( x 1 x 2 x 1 )x 1 22 2yx 1 x 1 x 2x 1 ) ， y x 1 x 242(42即两条切线的交点 M 的坐标为 (x 1x 2 ， y 1 y 2 )2 2设中点为 C ，则 C 的坐标为 (x 1x 2 ，y1y 2 ) ，所以 MC 平行于 y 轴，所以PQ22MCx 1 x 2y 1 y 2 x 1 x 2 x 12 x 2 2 ( x 1 x 2 ) 2( x 1 x 2 )2424888设点 M 到直线 PQ 的距离为 d ，那么 dMC( x 1x 2 ) 2x 2 0 时等号成8( 当且仅当 x 1立) ．又由于 PQ2 ，所以 (x 1 x 2 )2 ( y 1y 2 )2 2 ，即( x 1 x 2 )2( x 1 x 2 ) 2( x 1x 2 )22 ，( x 1 x 2 ) 2[1( x 1 x 2)2]2 ．1616所以 ( x 1 x 2 )2 4 ( 当且仅当 x 1 x 2 0 时等号成立 )．所以 d1，S PQM1PQ d 1 2 1 1 ，222 2 2所以 PQM 的面积的最大值为 1 ．213. 解 : （Ⅰ） a 2 4 ， b 2 3 ，所以， c 2a 2b 2 1。
广东省某重点中学2013届高三数学理高考冲刺之补差二 无答案
2013届高三冲刺复习 基础回顾二 2013—5-221、已知集合{}1,1A =-，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为 （ )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-2、集合2{6},{30}A x xB x xx =∈≤=∈->N|R|，则AB =（ ）A ．{3,4,5}B ．{4,5,6}C ．{|36}x x <≤D ．{|36}x x ≤<3、已知集合{(,)|A x y =,x y 为实数,且}221x y +=,{(,)|B x y =,x y 为实数,且}y x =,则A B 的元素个数为 ( ）A ．0B ．1C ．2D ．34、设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = （ ）A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i - 5、设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数6、下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递减的是( ）A．y =B ．xx y ee -=-C ．sin y x x =D ．1lg 1x y x -=+7、在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组022x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定,若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为（ ）A ．B ．C ．4D ．3 8、设,x y ∈R ，向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥=+（ )AB C ．D ．109、某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者,则在高二抽取的学生人数为______ks5u高一高二高三女生 600y 650 男生xz75010、设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ,若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+,则a =_______11、72x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答）12. 等差数列{}na 前9项的和等于前4项的和. 若141,0k aa a =+=，则k =______13、不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围______14、某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ=+，据1.23y x a此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约万元(结果保留两位小数）．15、甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，采取3局2胜制（即3局内谁先赢2局就算胜出，比赛结束，每局比赛没有平局，每局甲获胜的概率为3，则比赛打完3局且甲取胜的概率5为_____________ks5u16、三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是________________。
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2. 甲乙等 5 名志愿者被随机分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务, 每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位的概率; （2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)设随机变量 ξ 为这 5 名志愿者参加 A 岗位的服务的人数, 求 ξ 的分布列及期望.
3.如图所示， 直角梯形 ABCD 中， A＝∠ ∠ D＝90o， AD＝2， AB＝3， CD＝4，P 在线段 AB 上，BP＝1，O 在 CD 上，且 OP∥ AD， 将图甲沿 OP 折叠使得平面 OCBP⊥ 底面 ADOP， 得到一个多 面体(如图乙)，M、N 分别是 AC、OP 的中点． (1) 求证：MN⊥ 平面 ACD； (2) 求平面 ABC 与底面 OPAD 所成角（锐角）的余弦值．
an
3nan1 n 2, n N * 。 2an1 n 1
（I）求数列{an}的通项公式； （II）证明：对于一切正整数 n，不等式 a1a2 an 2n! 恒成立。
查漏补缺提升训练 2
（1）写出函数 f (x) 的最小正周期及单调递减区间； （2）已知当 x
……………………………………………………密…………………………封…………………………
1.设函数 f ( x) 3 sin x cos x cos2 x a
考号
时，函数 f (x) 的最大值与最小值 , 6 3
x2 y 2 1 (a＞b＞0)的离 a 2 b2
6.
已
知
数
列
an
满
足
a1
3 2
，
且
（ I ） 求 f(x) 在 [0 ， 1] 上 的 极 值 ；
1 1 x [ , ], 不等式 | a ln x | ln[ f ( x) 3x] 0 成立， 6 3
求实数 a 的取值范围； （III）若关于 x 的方程 f ( x) 2 x b 在[0，1]上恰有两个不同 的实根，求实数 b 的取值范围.
C O D B B P
(甲)
3 的和为 ，求不等式 f ( x) 1 的解集． 2
C
M N O D A
P
班级
姓名
(乙)
线……………………………………
4. 已知函数 f ( x) ln( 2 3 x )
3 2 x . 2
（ II ） 若 对 任 意
5. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 心率为
2 2 2 ，其焦点在圆 x +y =1 上． 2 (1)求椭圆的方程； (2)设 A，B，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角 θ ， 使 OM cos OA sin OB ． (i)求证：直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值； 2 2 (ii)求 OA +OB ．