矩阵范数

二、向量范数的抽象定义： 1、向量范数的定义 n n x 定义9（向量范数）对于向量 R 或x C 的某个实值非负




2、常用的向量范数 T n n x y x y 定义10 设x ( x1 ,, xn ) R (或x C ) N （1）向量的“∞”范数： ( x ) || x || max x i ； 1 i n
§9 向量，矩阵范数，矩阵的条件数 T 线性方程组，解的形式均为向量，如近似解 x x1 , x 2 ,, x n ，
该近似解的误差估计如何？ 下一章要讨论解大型稀疏线性方程组的迭代法，迭代法的收 敛性怎样？ 需要对向量空间R n 或矩阵空间 nn 的元素 “大小”给出某 R 度量。即向量范数（或矩阵范数）概念， 种 从而引进 n 或R nn中元素 R 的距离概念。 向量、矩阵与线性方程组有着密切的关系，向量、矩阵范数是 解方程组以及研究与探讨方程组本身性质的工具。 9.1 向量，矩阵范数 二维，三维的长度概念：
k k
max x
1 i n
(k ) i
(k ) x i 0(当k ) x x
k

0(当k )。
由范数的等价性定理有：
(k ) lim x x k (k ) lim x x
k
(k ) x x 0当k , (k ) 2 x x 0当k 。
T
2 2 R 2中，x R 2， x1 x2，其中x x1 , x2 ； x T 2 2 2 R 3中, x R 3， x 1 x 2 x 3 , 其中x x1 , x 2 , x 3 。 x 2 2 2 n x R n , x x1 x 2 x n , 其中x x1 , x 2 , , x n T 。 推广到 R ：
1
注：对v =1也可采用以下证法
(k ) lim x x lim x i( k ) x i 0( i 1, , n) x i( k ) x i 0 ( i 1,, n) k k n x i( k ) x i 0 x ( k ) x 0(当k )。
n
一、复向量空间 定义8 x1
(1) C n { x | x , xi 为复数，i 1,2, , n} 称为n维复向量空间。 xn n n C { A A (aij )n n , aij为复数} 称为n×n复矩阵空间。 H T n n n 称 ( 2) 设x C , A C ， x ( x1 , , x n ) x R n，则 定理21 设{ x }为R ((kk)) ((kk)) lim x lim x x x x 00当kk ,, x 当
kk
vv
其中 || ||v 为向量的任一种范数。 证明：当v 时， lim x ( k ) x lim x i( k ) x i ( i 1, , n) lim x i( k ) x i 0( i 1, , n )
n维向量范数可以推广到矩阵 上去，一个n×n矩阵A可看作 n2 维向量空间中一个向量。
由于在许多应用问题中，矩阵和向量是相联系的，现引进一种 矩阵的算子范数。它是由向量范数诱导出来的，并且这种矩阵范数 有不等式 和向量范数是相容的，即对 x R n , A R nn， Ax A x 矩阵范数与向量范数的相容性条件
A A 称为A共轭转置矩阵。
H
T
函数N x x ，若满足： （1）正定性 x 0, x 0 x 0或记为 ； x 或 （2）齐次性 x ，其中 R( C )； n n （3）三角不等式 x y x y , x , y R 或 C 。 称N ( x ) || x || 是R n 上 或C n 一个向量范数或模。
i 1
x x1 n x2 即 x2 2 x 1 n x 2； n x i x 1， (3) ( a ) x x j n i 1 n (b) x 1 x i x j n x j n x ，
x n x 即 x x x n x 1 1
T 证明：记x x1 x n , || x || max | x i || x j | ， 1 i n
于是有
(1)
(a ) || x || | x j |
2
n
2

| x i | 2 || x ||2 || x || || x ||2 ， 2
i 1


i 1

i 1
1
2
i 1
。
Rn 注： 上一切范数都等价。
三、向量序列的极限 １、定义 ( ( { x (k ) }及向量x ，且记 x k ( x1k ) , , x nk ) )T ， 定义11 设有向量序列 x ( x1 ,, x n )T ， 若n个数列收敛，即
i 1
1
四、矩阵的范数n
2 F ( A) A F ( aij )1 / 2 称为A i , j 1
则称N ( A)是R nn 上的一个矩阵范数模 )。 (
的弗罗贝尼乌斯范数，或希尔范数。 1、矩阵范数的一般定义(类似于向量范数) n n 的某个非负实值函数 定义13 （矩阵范数）矩阵A R N ( A) A ， 若对任意的n×n矩阵A，B满足下述条件： 且 （1） 正定性 ： A 0， A 0 A 0； （2） 齐次性 ： A A , R； （3） 三角不等式 ：A B A B 。
n N （2）向量的“1”范数： 1 ( x ) || x ||1 x i ； n i /12 1 （3）向量的“2”范数： 2 ( x ) x 2 ( x , x ) ( x i 2 )1 / 2； N
（4）向量的能量范数：设A R n 1/ 2 N A ( x ) x A ( Ax , x ) ( a ij xi x j )1 2 称为向量的能量范数。
2、矩阵的算子范数 n n n 定义14 ( 矩阵的算子范数) 设x R , A R ， 且有一向量范数 x v相应的定义一个矩阵的非负函数：
称N ( A)为矩阵A的关于向量范数 || ||v的算子范数或诱导范数。 N ( A) A v 是R nn 上 设 x v 为R n 上 的 定理22 向量范数，则 上一个矩阵范数且满足相容条件： n n
2. 距离 n y || x y || 称非负实数 d ( x, y )) || x y || 为x , y 之间 定义12 设x , y R ， 距离，其中 || || 为向量的任何一种意义下范数。
k (k ) 2 ( k ) 2 10 例11 设有向量序列x 则有 lim x 。 2 2 10 k ( k 1,2, n)， k
n
n
2 2 2 2 2 (b) || x ||2 x i x j n x j n || x || x n x , 2 i 1 i 1 x x n ； x ||即 || || x ||2 n || x || n x 2 2 2 2 2 n (a ) x 2 x i x i x 1 x 2 x 1， (2) i 1 2 i 1 n n 2 2 2 ( b ) x 1 x i n x i n x 2 x n x ，
n n n 则 定理19 设x R (或x C )， N x , N 1 x , N 2 x 是R 上 n
注： 证“1”范数时，用 x i y i
i 1
n
xi yi 。
i 1 i 1
n
n
3. 范数的等价性 定理20 x , y R n，有 (1) || x || || x ||2 n || x || ； ( 2) || x ||2 || x ||1 n || x ||2 ； (3) || x || || x ||1 n || x || 。
i , j 1
nn
为对称正定阵， R n , x
i 1
(或C 上)的向量范数。 只验证三角不等式，并 且以“2”范数为例。 证明： n 即对x , y R , 有 || x y ||2 || x ||2 || y ||2 。 2 y 事实上，|| x y ||2 ( x , x y ) ( x, x ) 2( x, y ) ( y, y )， 由柯西不等式（x , y ) ||| x ||2 || y ||2 , 则 | Cauchy不等式 2 2 2 2 2 2 n n n || x y ||2 || x ||2 2 || x ||2 || y ||2 || y ||2 || x ||2 2 || x ||2 || y ||2 || y ||2 2 x i y i x i y i2 2 i 1 i 1 i 1 (|| x ||2 || y ||2 ) || x y ||2 || x ||2 || y ||2 。
k lim x i(i(k )) x ii((ii 1,, ,,n)) x 1 n k (k ) (k ) * 记 为 lim x ( k ) x ， 或说向量序列 { x } 的收敛 则称{ x }收敛于x ， k