【高考调研】2012高考数学精品复习 第三章单元能力测

单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则() A．f′(x0)＜0B．f′(x0)＞0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在答案 B2．三次函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)内是减函数，则()A．a≤0 B．a＝1C．a＝2 D．a＝1 3答案 A解析y′＝3ax2－1，由y′≤0得3ax2－1≤0.∴a≤0.3．如果函数f(x)＝x4－x2，那么f′(i)＝()A．－2i B．2iC．6i D．－6i答案 D解析因为f′(x)＝4x3－2x，所以f′(i)＝4i3－2i＝－6i.4．若对任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4＋2答案 B解析用f(1)＝－1验证即可．5．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()答案 D解析当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)的该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．6．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )的极大值为f (3，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3) 答案 D解析 由函数y ＝x ·f ′(x )的图象可知 x ∈(－∞，－3)，f ′(x )<0，f (x )单减 x ∈(－3,3)，f ′(x )>0，f (x )单增x ∈(3，＋∞)，f ′(x )<0，f (x )单减，∴选D.7．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4C ．1 D.π2 答案 B解析 f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x ＋e x (－sin x )＝e x (cos x －sin x )，则函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(x )|x ＝0＝e x (cos x －sin x )|x ＝0＝e 0＝1，故切线的倾斜角为π4，故选B.8．(2011·《高考调研》原创题)家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预期运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析 由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B 满足条件，故选B.9．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫6π，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6 答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1 ∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )令f ′(x )>0，结合选项，选A. 10．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )n ∈(N *)的前n 项和( )A.nn －1B.n ＋1nC.nn ＋1 D.n ＋2n ＋1 答案 C解析 ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ，又f ′(x )＝2x ＋1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m －1＝1.∴m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x . ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2＋n ，a n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.11．(2010·江西卷)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215 答案 C解析 f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )＝f (b )D ．f (|a |)<f (b ) 答案 A解析 f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)∴f ′(x )＝cos x ＋2f ′(π3)∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)∴f ′(π3)＝－cos π3＝－12∴f ′(x )＝cos x －1≤0，∴f (x )为减函数∵b ＝log 32>log 31＝0>－12＝a ∴f (a )>f (b )．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知曲线y ＝－13x 3＋2与曲线y ＝4x 2－1在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为________．答案 12解析 ∵两曲线在x 0处切线互相垂直∴(－x 20)·(8x 0)＝－1 ∴x 0＝12.14．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则其导数y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.15．已知f (x )＝ln(ax ＋b )－x ，其中a >0，b >0，则使f (x )在[0，＋∞)上是减函数的充要条件为________．答案 b ≥a解析 ∵f ′(x )＝aax ＋b －1由已知aax ＋b－1≤0在[0，＋∞)上恒成立，即a －b ≤ax ，∴a －ba ≤x 在[0，＋∞)上恒成立，只要a －ba ≤0，也就是b ≥a 即可．16．(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12，又直线x －6y －7＝0的斜率为16， 因此，f ′(1)＝3a ＋b ＝－6， ∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)． f (x )在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8 2.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12. (1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． 解 (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋bx .又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎨⎧f ′(1)＝0，f (1)＝12.即⎩⎨⎧2a ＋b ＝0，a ＝12.解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y ＝f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．19．(本题满分12分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr 2分，其中r 是瓶子的半径，单位是cm ，已知每出售1 mL 饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6 cm.试求出瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大或最小．解析 由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是y ＝f (r )＝0.2×43πr 3－0.8πr 2＝0.8π(r 33－r 2)，0<r ≤6. f ′(r )＝0.8π(r 2－2r )， 当r ＝2时，f ′(r )＝0.当r ∈(0,2)时，f ′(r )<0；当r ∈(2,6)时，f ′(r )>0.因此，当半径r >2时，f ′(r )>0，它表示f (r )单调递增，即半径越大，利润越高；半径r <2时，f ′(r )<0，它表示f (r )单调递减，即半径越大，利润越低．所以半径为2 cm 时，利润最小，这时f (2)<0，表示此种瓶装饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6 cm 时，利润最大．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－m ln x .(1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是递增的，求实数m 的取值范围； (2)当m ＝2时，求函数f (x )在[1，e ]上的最大值和最小值．解析 (1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0在(12，＋∞)上恒成立．而f ′(x )＝x －m x ，即m ≤x 2在(12，＋∞)上恒成立，即m ≤14.(2)当m ＝2时，f ′(x )＝x －2x ＝x 2－2x ，令f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈[1，2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，e )时，f ′(x )>0，故x ＝2是函数f (x )在[1，e ]上唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (2)＝1－ln2，又f (1)＝12，f (e )＝12e 2－2＝e 2－42>12，故f (x )max ＝e 2－42.21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1，y ＝f (x )在x ＝－2时有极值．(1)求f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的单调区间和最大值．解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝3＋2a ＋b ， 过曲线上P 点的切线方程为y －f (1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)， 即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)． 又已知该切线方程为y ＝3x ＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，c －a －2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c －a ＝3，因为y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝0.所以－4a ＋b ＝－12. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝0，c －a ＝3，－4a ＋b ＝－12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，c ＝5，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23 当x ∈[－3，－2)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，23)时，f ′(x )<0；当x ∈(23，1]时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间是[－3，－2)和(23，1]；单调减区间是(－2，23)． 因为f (1)＝4，f (x )极大值＝f (－2)＝13. 所以f (x )在区间[－3,1]上的最大值为13.22．(本题满分12分)(2010·湖北卷，理)已知函数f (x )＝ax ＋bx ＋c (a >0)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1. (1)用a 表示出b ，c ；(2)若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝a －bx 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ＋b ＋c ＝0f ′(1)＝a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －1，c ＝1－2a .(2)由(1)知，f (x )＝ax ＋a －1x ＋1－2a .令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1x ＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)(x －1－aa )x 2，(ⅰ)当0<a <12时，1－a a >1.若1<x <1－aa ，则g ′(x )<0，g (x )是减函数，所以g (x )<g (1)＝0， 即f (x )<ln x ．故f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立． (ⅱ)当a ≥12时，1－a a ≤1.若x >1，则g ′(x )>0，g (x )是增函数，所以g (x )>g (1)＝0， 即f (x )>ln x ，故当x ≥1时，f (x )≥ln x .综上所述，所求a 的取值范围为[12，＋∞)．。