2019届人教A版(理科数学) 函数图象的三个常考方式——作图、识图、用图 单元测试

（九） 函数图象的3个常考方式——作图、识图、用图一、选择题1．函数f (x )＝x 2－sin|x |在[－2,2]上的图象大致为( )解析：选B 函数f (x )＝x 2－sin|x |在[－2,2]上显然是偶函数， 令x ＝2，可得f (2)＝4－sin 2>3，故排除C 、D ；当x >0时，f ′(x )＝2x －cos x ，显然存在t ∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f ′(t )＝0，则函数f (x )上(0，t )是减函数，在(t,2)上是增函数，故排除A ，故选B.2.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，若f (x 2＋2x ＋1)·f [lg(x 2＋10)]≤0，则实数x 的取值范围是( )A ．[－2,0]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)解析：选A 由题意，f (x 2＋2x ＋1)·f [lg(x 2＋10)]≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1≥1，lg (x 2＋10)≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋1≤1，lg (x 2＋10)≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ≥0，x 2＋10≤10或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≤0，x 2＋10≥10，解得－2≤x ≤0. 3．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在 (－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．4.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．(2018·齐鲁名校模拟)已知函数f (x )＝4－x 2，函数g (x )(x ∈R 且x ≠0)是奇函数，当x >0时，g (x )＝log 2x ，则函数f (x )·g (x )的大致图象为( )解析：选D 易证函数f (x )＝4－x 2为偶函数，又g (x )是奇函数， 所以函数f (x )·g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A 、B.又当x >0时，g (x )＝log 2x ，当x >1时，g (x )>0，当0<x <1时，g (x )<0; f (x )＝4－x 2，当x >2时，f (x )<0，当0<x <2时，f (x )>0，所以排除C ，故选D.6．已知函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－94，0 C.[－2,0]D.[2,4]解析：选D 因为函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，所以函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与y ＝－x ＋2的图象存在交点，所以a －x 2＝－x ＋2(1≤x ≤2)有解，令h (x )＝a －x 2＋x －2(1≤x ≤2)，则⎩⎪⎨⎪⎧h (1)≥0，h (2)≤0，解得2≤a ≤4，故选D.7．(2017·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)解析：选B 法一：在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝⎛⎭⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m <1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．法二：若m ＝2，则y ＝(2x －1)2，x ∈[0,1]的值域为[0,1]，y ＝x ＋2，x ∈[0,1]的值域为[2，1＋2)，所以两个函数图象无交点，故排除C 、D ；若m ＝3，则点(1,4)是两个函数的公共点，故选B.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >0，－3|x ＋a |＋a ，x <0的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1716，－1 B.⎝⎛⎭⎫－178，－2 C.⎝⎛⎭⎫1，1916 D.⎝⎛⎭⎫1，1716解析：选D 由题意，问题转化为函数y ＝－3|x ＋a |＋a (x <0)与y ＝2－x 2(x <0)的图象恰有三个公共点，显然a ≤0时，不满足条件，当a >0时，画出草图如图，方程2－x 2＝3x ＋4a ，即x 2＋3x ＋4a －2＝0有两个小于 －a 的实数根．结合图形，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4(4a －2)>0，a >2－a 2，a >0，∴1<a <1716.二、填空题9．(2018·绵阳二诊)已知函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象分别如图所示，方程f (g (x ))＝0和g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 和b ，则a ＋b ＝____________.解析：由图象知f (x )＝0有3个根，分别为0，±m (m >0)，其中1<m <2，g (x )＝0有2个根，设为n ，p ，则－2<n <－1，0<p <1，由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或±m ，由图象可知当g (x )所对应的值为0，±m 时，其都有2个根，因而a ＝6；由g (f (x ))＝0，知f (x )＝n 或p ，由图象可以看出当f (x )＝n 时，有1个根，而当f (x )＝p 时，有3个根，即b ＝1＋3＝4.所以a ＋b ＝6＋4＝10.答案：10 10．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1,1)对称，则实数a ＝________. 解析：函数f (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1(x ≠1)，当a ＝2时，f (x )＝2，函数f (x )的图象不关于点(1,1)对称，故a ≠2，其图象的对称中心为(1，a )，即a ＝1.答案：111．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )与函数g (x )的图象，如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1， ∴a ≥－1. 答案：[－1，＋∞)12．若f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin π2x ＋1，0≤x <2，f (x －1)，x ≥2，若方程f (x )＝ x 恰有3个不同的根，则实数 的取值范围是________．解析：由题意，作出函数f (x )的图象，如图所示，因为方程f (x )＝ x 恰有3个不同的根，所以y ＝f (x )与y ＝ x 的图象有3个不同的交点，因此－13< ≤－14 或 14≤ <13.答案：⎝⎛⎦⎤－13，－14∪⎣⎡⎭⎫14，13 三、解答题13．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集．解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)，x ≥4，－x (x －4)，x <4.∴函数f (x )的图象如图所示．由图象知，函数f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．14．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：设f (x )＝(x －1)2，g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， 要使x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立， 只需函数f (x )的图象在g (x )的图象下方即可． 当0<a <1时，由两函数的图象知，显然不成立；当a >1时，如图所示，使x ∈(1,2)时， 不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f (2)≤g (2)， 即(2－1)2≤log a 2，解得1<a ≤2. 综上可知，实数a 的取值范围为(1,2]．1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|ln x |，x >0，x 2＋2x －1，x ≤0，若f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中a ，b ，c ，d 互不相等，则对于命题p ：abcd ∈(0,1)和命题q ：a ＋b ＋c ＋d ∈[e ＋e －1－2，e 2＋e －2－2)真假的判断，正确的是( )A ．p 假q 真B ．p 假q 假C ．p 真q 真D ．p 真q 假解析：选A 不妨设a <b <c <d ，作出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可得，－2<a <－1<b <0，1e 2<c <1e ，e<d <e 2，由二次函数的对称性可知，a ＋b ＝－2，ab ＝－1， 由f (c )＝f (d )，即－l n c ＝l n d ，则cd ＝1，所以abcd ＝－1，且e ＋e －1－2<a ＋b ＋c ＋d <e 2＋e －2－2，因此命题p 是假命题，命题q 是真命题，故选A.2．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－2bx ＋1，设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋1≥0，y ＋1≥0内的随机点，则函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率是( )A.12 B.19 C.716D.23解析：选C 因为点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋1≥0，y ＋1≥0，内的随机点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2≤0，a ＋1≥0，b ＋1≥0，作出可行域如图中三角形ABC 所示，面积为8. 因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数， 所以ba ≤1，且a >0，即a ≥b ，且a >0，表示的平面区域为图中阴影部分所示， 面积S ＝12×3×3－12×2×1＝72，所以函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率P ＝728＝716.。