初中相似三角形性质与判定复习 (1)

一、基础训练

１、如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，满足条件 时，△ADC ∽△ACB 。

E

D

C B

A

第１题 第３题 第４题 第５题

10，则后一个三角形的面积2），如果点C 在X 轴上（C 与A 不重合），

B ，O ，

C 组成的三角形与△ABC 相似。 ,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边 ： ：

：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值 是 二、例题精讲 1、如图，AB ∥EF ∥CD ，若AB=6cm ，CD=9cm ，求EF 的长。

２、如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ， （1）△ABE 与△ECD 相似吗？为什么？

（2）设△ABE 的边BE 上的高为h 1，△ECD 的边CD 上的高为h 2，△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，求2

1

h h 的值及△BCE 的面积。

E

F

D C B A P

D

C

B A

O

D

C

B

A E

D

C B

A

3、如图，已知直角三角形的铁片ABC 的两条直角边BC 、AC 的长分别为3、4，按图示所采用两种方法，各剪一块正方形的铁片，试比较哪一种方法剪出的正方形的面积较大；

4、如图，在△PAB 中，点C 、D 在边AB 上，PC=PD=CD ，∠APB=120°。 （1）△APC 与△PBD 相似吗？为什么？ （2）CD 是AC 与BD 的比例中项吗？

5、如图，在ABC △中，1AB AC ==，点D ，E 在直线BC 上运动，设BD x =，CE y =． （1）如果30BAC ∠=

，105DAE ∠=

，试确定y 与x 之间的函数关系式；

（2）如果BAC ∠的度数为α，DAE ∠的度数为β，当αβ，满足怎样的关系式时，（1）中y 与x 之间的函数关系式还成立，试说明理由．

Ｂ

Ｃ Ｅ

Ａ

Ｄ

P D C B A

M

D C B A

P D C

B

A 50︒70︒

C B A

30︒70︒F

E D 5、如图，在DE

F ABC ∆∆和中，已知︒=∠=∠70D A ,︒=∠︒=∠30,50E B .画直线ｌ、ｍ，使直线ｌ

将ABC ∆分成两个三角形，直线ｍ将　DEF ∆分成两个三角形，并使ABC ∆分成的两个小三角形分别与　DEF ∆分成的两个小三角形相似，并标出每个小三角形的各内角的度数。

三、巩固练习

１、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比 是 。

２、已知：如图,梯形ABCD 的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高为12cm,点M 为腰AD 、BC 的交点,则点M 到上底CD 的距离为 cm,点M 到下底AB 的距离为 cm.

３、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900

，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 。

4、有一块三角形铁片ABC ，BC=12cm ，高AH=8cm ，按图（1）（2）两种方法设计，把它加工成一块矩形铁片DEFG ，使矩形的长是宽的2倍，试分别求出按（1）（2）两种设计加工成

的矩形铁片的面积，并比较两种设计方法的优劣.

5、

6、如图，在Rt △ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1cm/s ；点P 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ，设它们运动的时间为x(s)。

⑴ 求x 为何值时，PQ ⊥AC ；

⑵ 设△PQD 的面积为y(cm 2

)，当0＜x ＜2时，求y 与x 的函数关系式； ⑶ 当0＜x ＜2时，求证：AD 平分△PQD 的面积；

7、在等边△ABC 中， P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD= 600，BP=1，CD=

23

，求△ABC 的边长。

8、如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共

（2）（1）I H G F E D H I

A B C G F E D C B A Q

D C B A P O

B

A

顶点，∠BAC =∠AGF =90°，它们的斜边长为2，若∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE =m ，CD =n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围.

（3）以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直

角坐标系(如图12).在边BC 上找一点D ，使BD =CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证

B D 2

＋CE 2

=DE 2

.

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系B D 2

＋CE 2

=DE 2

是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

9、如图，在四边形ABCD 中，,,BC DC BC AB ⊥⊥垂足分别温B 、C ，当AB ＝4，DC=1， BC ＝4时，在线段BC 上是否存在点P ，使得PD AP ⊥？若存在，求线段BP 的长；若不存在，

请说明理由。

A