勾股定理逆定理2
勾股定理的逆定理(2)
2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4
∴ a2 + c2 = b2
即: 三角形是直角三角形
科教园地
如果勾股定理的公式c2 = a2 + b2中的 a ，b ，c未知数，是第一个不定方程（即未知 数的个数多于方程的个数）也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式 各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。 法国人费尔马（Pierre de Fermat, 1601-1665）虽然学的是法律，从事的也是 律师的职业，但他对数学却有浓厚的兴趣，在业余时间常读数学书，并自己从事一些 数学研究。他在阅读希腊数学家丢番图（Diophontus）的《算术》一书中论述求解 x2 + y2 = z2 的一般解的问题时，在书的空白处，用笔写下这样的心得：“反过来说 不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和，一个四方数分拆成两个四方数之和。更 一般地，任何大于二的方数不能分拆为同样方数的两个之和。我已发现了一个绝妙的 证明，但因为空白太小，写不下整个证明”。用数学语言来表达，费尔马的结论是： 当n≥3时, xn + yn = zn 没有正整数解。 1983年，史皮娄（Lucien Szpiro）提出史皮娄猜想，并证明由史皮娄猜想可以推出， 对于充分大的指数，费尔马大定理均成立。1985年，与塞尔（D.W.Masser）等人提 出一系列等价猜想，其中一个称为abc猜想，由它可推出史皮娄猜想。1987年，史皮 娄又提出一系列猜想，由它们也能推出史皮娄猜想。这些猜想似乎更容易下手，但至 今一个也没有证明。 1987年，塞尔由伽罗华表示出发提出一些更强的猜想，称为塞尔强（弱）猜想。 由它不仅可以推出费尔马大定理，还可推出许多其他猜想，但这条路最终也没有能走 通。 英国数学家维尔斯正是沿着这一道路，在经过漫长的7年探索，终于在1993年6月取 得突破。最终在一九九五年完全证明费尔马大定理。解开了困惑世间300多年的谜 .
人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
八下数学17.2(2)勾股定理的逆定理
试一试
[P76:2.]
八年级 数学
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
(1) 同旁内角互补，两条直线平行．
逆命题: 两条直线平行，同旁内角互补． 成立
(2)如果两个角是直角，那么它们相等．
逆命题: 如果两个角相等，那么它们是直角． 不成立
(3)全等三角形的对应边相等．
逆命题:对应边相等的两个三角形是全等三角形. 成立
D
12
A
13
4
B 3C
自主评价：
八年级 数学
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。
作业：38页， 复习题17, 第4、5、6题
(4) 如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
八年级 数学
例1 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺 寸，这个零件符合要求吗？
此时四边形ABCD的面积是多少?
C
答案：符合 S四边形ABCD
C
S2
A
b
ca
S1
B
S3
C
S2 b
S1
a
c
A
B
S3
思维训练
八年级 数学
7、 已知a，b，c为△ABC的三边, 且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
八年级 数学
8.如图，一块四边形地，测得四边长如图所示，且 ∠ABC＝90°，求这个四边形地的面积。（单位：米）
八年级 数学
初二勾股定理逆定理公式
初二勾股定理逆定理公式1. 勾股定理勾股定理是初中数学中非常重要的定理之一，它是由古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）提出的。
勾股定理的公式表达如下：a^2 + b^2 = c^2其中 a、b、c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，满足该公式的三条边的比例关系。
2. 逆定理逆定理是勾股定理的一个重要推论，它在解决初中数学中一些几何问题时非常有用。
逆定理的公式表达如下：如果 a^2 + b^2 = c^2 成立，那么这三个数构成一个直角三角形。
逆定理的意义在于，当我们已知某个三角形的边长满足勾股定理的公式时，可以根据这个公式判断该三角形是否为直角三角形。
3. 应用示例为了更好地理解逆定理的应用，下面通过一个例子来说明。
例子：已知一个三角形的三边分别为 3、4 和 5，我们要判断这个三角形是否为直角三角形。
根据逆定理，我们可以将已知的三边长度代入勾股定理的公式中，并验证等式是否成立。
3^2 + 4^2 = 5^29 + 16 = 25计算结果符合等式，所以根据逆定理，我们可以得出结论，这个三角形是一个直角三角形。
4. 注意事项在应用逆定理时，需要注意以下几点：•应用逆定理时，必须满足勾股定理的公式，即 a^2 + b^2 = c^2，才能判断三角形是否为直角三角形。
•如果已知三边的长度满足 a^2 + b^2 = c^2，但等式的两边可能相差一个数的误差，这时我们可以使用近似值来验证等式是否成立。
•在进行计算时，应注意数值的精确性，尽量避免精度误差带来的影响。
5. 总结初二勾股定理逆定理公式是初中数学中重要的概念之一，在几何学习中有着广泛的应用。
逆定理可以帮助我们判断已知三边长度的三角形是否为直角三角形，为解决几何问题提供了便利。
在应用逆定理时，我们应注意勾股定理公式的条件和计算的精确性，以得出准确的结论。
希望通过本文的介绍，您对初二勾股定理逆定理公式有了更深入的理解和应用。
勾股定理逆定理2
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那 么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
1.长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能 搭成(首尾连接)直角三角形的个数为( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c, 且 c+a=2b, c – a= ( )
──
1 b,则三角形ABC的形状是 2
A
A 直角三角形 C 等腰三角形
B 等边三角形 D 等腰直角三角形
3.如果一个三角形的三边为a ,b ,c 满足 直角 a2+c2=b2,那么这个三角形是＿＿＿＿ 斜 三角形,其中 b边是＿＿＿边 ,
直 b边所对的角是＿＿＿角 . 4.工人师傅想要检测一扇小门两边 AB .CD 是否垂直于底边 BC,但他只带了一把卷尺,你 能替工人师傅想办法完成任务吗?
B
D
1000
C
如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中
A 解：连接AE A ∵ABCD是正方形，边长是4，F是 DC的中点，EC=1/4BC ∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1 ∴根据勾股定理，在 B Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF
N 海天 R P
Q 远航
E
2.如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公园 的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路 将两村连通,经测得 AB=600m,AC=800m,问此公 路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.
人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理(2)》名师教案
17.2 勾股定理的逆定理（第二课时）一、教学目标1．核心素养:通过运用勾股定理的逆定理，提高运算能力、逻辑推理能力和应用意识．2．学习目标（1）理解勾股数的含义.（2）能运用勾股定理的逆定理解决实际问题.3．学习重点勾股定理的逆定理的应用.4．学习难点二、教学设计（一）课前设计1．预习任务请写出几组能作为直角三角形边长的正整数.2．预习自测1.由7、24、25组成的三角形是直角三角形吗？2.我们知道以3、4、5为边长能构成直角三角形，那6、8、10呢？9、12、15呢？你发现了什么？（二）课堂设计1．知识回顾勾股定理的逆定理是什么？2．问题探究问题探究一勾股数●活动一理解定义像3、4、5这样，能够成为直角三角形三边长的三个正整数成为勾股数. 即满足的三个正整数就称为勾股数.再如：…●活动二推理论证我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，所以且3k 、4k 、5k 均为正整数，所以3k 、4k 、5k 也是一组勾股数.●活动三 推广提升一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，而，∴∴，则ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数.请你再写几组勾股数.问题探究二 利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题 重点知识★ ●活动一 初步应用 例1 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile ，“海天”号每小时航行12nmile, 它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？E NRP Q【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：根据题意PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18， QR=30，因为，即，所以QPR=90o .由“远航”号沿东北方向航行可知，“海天”号沿西北方向航行. 点拨：由已知条件易想到求出两轮船航行的路程，即为三角形的边长，从而已知C A 三角形的三边长，再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形而解决问题 .●活动二 拓展提升例2 如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC=90°.又AB 2+BC 2=52+122=169=132∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE=288，∴CE=13144. 13144÷169144≈0.85（小时），0.85×60＝51（分）.9时50分+51分＝10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.点拨：由题意可得△ABC 的三边长分别为5、12、13，根据勾股定理的逆定理判断∠ABC=90°，由题可知走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，再利用勾股定理建方程求出CE 的长，从而解决问题.问题探究三 勾股定理及逆定理的综合运用例3. 某中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【知识点：勾股定理，勾股定理的逆定理；】详解：连接BD. 在Rt△ADB中∠BAD=90o，BD==5，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴S四边ADBC=S△ADB+ S△DBC=5×12=36∴36×200=7200（元）.答：学校需投入7200元买草皮.点拨：根据条件易想到链接BD，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由AB=3，AD==4，易求BD=5，而△CBD中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案.3．课堂总结【知识梳理】1. 一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数.2.利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题.【重难点突破】1.三个数是勾股数，则必须满足两个条件：（1）较小的两个数的平方和等于较大数的平方.（2）三个数必须是正整数.2.已知一个三角形的三边长时，首先应想到利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形.3.在勾股定理及其逆定理的综合运用时需注意正确区分：勾股定理是在直角三角形中运用，而其逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形.4．随堂检测1. 在△ABC中，三边长a、b、c满足 = 0，则此三角形为（）A . 钝角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【知识点：勾股定理的逆定理】【答案】D2. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出两组基本勾股数：， .【知识点：勾股数】【答案】5，12，13；9，40，41.3．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50°航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？东【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】∵AC＝16×3＝48，AB＝12×3＝36，∴222222+=-==，BC AC AB604836∴△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∴乙船出发后的航向是南偏东40o.4. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=13 ， BC=12，这个零件符合要求吗？【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】这个零件符合要求.在△ADB中，，则，∴∠DAB=90o，同理，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴这个零件符合要求.。
17.2 勾股定理的逆定理(2)旋转勾股
17.2 勾股定理的逆定理（二）基础版【教学目标】1．掌握勾股定理及逆定理与旋转综合的图形特征、基本思路以及问题类型，熟练解此类问题．2．掌握勾股定理及逆定理与常规问题的图形特征、基本思路以及问题类型，熟练解此类问题．3．掌握勾股定理及逆定理与夹半角综合的图形特征、基本思路和变式类型，熟练解此类问题．【重点难点】1．旋转问题（构手拉手全等&Rt△）；2．常规问题（导角导线、Rt△斜边中点处的直角、逆命题）；3．夹半角模型（构Rt△）．【夯实基础】1．勾股定理及逆定理与旋转问题的图形特征：．2．勾股定理及逆定理与旋转问题的基本思路：．3．勾股定理及逆定理与旋转问题的问题类型：．【基本图形】1．旋转问题：2．等腰Rt△夹半角：（1）基本图已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，E、F是斜边AB上两点，△ECF＝45°．结论AE2＋BF2＝EF2．证法①旋转法（vs过A作AF′△AB且AF′＝BF，连CF′、EF′）；②轴对称法．△CEF′ ≌△CEF（SAS），Rt△AEF′△CFA′ ≌△CFB（SAS），Rt△A′EF（2）变式图已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，E、F是直线AB上两点，△ECF＝45°．结论AE2＋BF2＝EF2．证法①旋转法（vs过A作AF′△AB且AF′＝BF，连CF′、EF′）；②轴对称法．△CEF′ ≌△CEF（SAS），Rt△AEF′△CFA′ ≌△CFB（SAS），Rt△A′EF重难点1勾股定理及逆定理与旋转问题♀例一♀．（手拉手）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为；（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA、DB、PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若图1 图2 图3♂巩固练习♂1．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且P A＝3，PB＝1，CD＝CP＝2，CD ⊥CP，求△BPC的度数．♀例二♀．如图，在△ABD中，AB＝AD，△BAD＝90°，P A＝a，PB＝b．（1）若P点在△ABD外，且△APB＝45°，求PD的长；（2）若P点在△ABD内，且△APB＝135°，求PD的长．1．正方形ABCD内一点P，连接P A、PB、PC．（1）若P A：PB：PC＝1：2：3，求△APB的度数；（2）若P A2＋PC2＝2PB2，求证：点P在对角线AC上．♀例三♀．（1）利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，P A＝1，PB3，PC＝2．求∠BPC的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为；在△P AP′中，易证∠P AP′＝90°，且∠PP′A的度数为，综上可得∠BPC的度数为；（2）类比迁移如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，P A＝2，PB2，PC＝1．求∠APC的度数；（3）拓展应用如图3，在四边形ABCD中，BC＝4，CD＝5，AB＝AC＝12AD，∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．图1 图2 图31．在△ACD中，AD＝4，CD＝3；在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，若△CAB＝60°，△ADC＝30°，△在△ACD外作等边△ADD′，求证：BD＝CD′；△求BD的长；（2）如图2，若△CAB＝90°，△ADC＝45°，求BD的长．图1 图22．请阅读下面的材料：问题：如图△，在等边△ABC内有一点P，且P A＝2，PB＝PC＝1，求△BPC的度数和等边△ABC的边长；李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②）．连接PP′．根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC＝°，等边△ABC的边长为．（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且P A，BP PC＝1，求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．①②③♀例四♀．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，连接P A、PB、PC，且P A＝2PC，设∠APB＝α，∠CPB＝β．（1）如图1，若∠ACP＝45°，将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，易证△DAP为等边三角形，则α＝，β＝；（2）如图2，若PB＝2P A，则α＝，β＝；（3）如图3，试猜想α与β之间的数量关系，并给予证明．图1 图2 图3♂巩固练习♂1．如图，P是正△ABC内一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10，求S△P AB＋S△P AC的值．重难点2勾股定理及逆定理与常规问题♀例五♀．等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图△）．（1）求证：AM＝AN；（2）连接DE分别与边AB、AC交于点G、H，如图②，当∠BAD是多少度时，AD＝DH？①△♂巩固练习♂1．如图，在△ABC中，△ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、CD分别交于点G、H，△ABE＝△CBE．（1）线段HB与AC相等吗？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；（2）求证：BG2－GE2＝EA2．♀例六♀．（Rt△斜边中点处的直角）如图，在△ABC中，D是BC的中点，点M是AB上的点，点N在AC边上，并且△MDN＝90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2，求证：△BAC＝90°．♂巩固练习♂1．如图△，在△ABC中，CA＝CB，△ACB＝90°，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上的点，且DM ⊥DN．（1）求证：CM＋CN＝2BD；（2）如图△，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．①△2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD是BC边上的中线，且AD＝4，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．（1）求证：△AEC是直角三角形；（2）求BC边的长．3．如图，CD是△ABC的高，D在边AB上，且CD2＝AD·DB，求证：△ABC为直角三角形．重难点3勾股定理及逆定理与夹半角模型♀例七♀．△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，点D、E在直线BC上，如图1，若△DAE＝45°，求证：BD2＋CE2＝DE2．【阅读理解】要证明BD2＋CE2＝DE2，设法将BD、CE、DE转化为某直角三角形的三边即可，故过A作AF⊥AD，且AF＝AD．连接CF、EF．再通过证明△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF．即可将BD、CE、DE 三边转化到直角△ECF中解决问题．【拓展应用】如图2，若∠DAE＝135°，其他条件不变，请探究：以线段BE、CD、DE的长度为三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．图1 图2♂巩固练习♂1．（1）如图△，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求△EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M、N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN、ND、DH之间的数量关（3）在图①中，连接BD分别交AE、AF于点M、N，若EG＝4，GF＝6，BM＝32，求AG、MN的长．①△2．如图，已知在Rt△AOB中，OA＝OB，△AOB＝90°，E、F在AB上，且△EOF＝45°．（1）求证：EF2＝AE2＋BF2；（2）如图，过E作EM⊥OA于M，过F作FN⊥OB于N，ME、NF交于点P，若设NF＝x，ME＝y，PE ＝a，则x2＋y2与a2之间的关系式为，若△AME、△BFN、△PEF的面积分别为S1、S2、S3，则S1＋S2与S3之间的数量关系为．♀例八♀．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，△BAC＝90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE存在等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立，现请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3 图4♂巩固练习♂1．已知Rt△ABC中，△ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C 旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM＝BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM＝AM，PN＝BN，△PMN的形状是，线段AM、BN、MN之间的数量关系是．（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是．（无需证明）①△ △2．（1）如图△，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足△DBE＝12△ABC（0°＜△CBE＜12△ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′＝DE．（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE2＝AD2＋EC2．（3）如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点E是AC边上的点，点D是CA边延长线上的点，且∠DBE＝45°．第（2）题中的结论：DE2＝AD2＋EC2还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图1 图2 图3。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理简介勾股定理是几何学中的一个著名定理，描述了直角三角形两条边的平方和等于斜边的平方。
然而，我们是否能找到一个定理，通过斜边和一条直角边，来确定另一条直角边的长度呢？这就是勾股定理的逆定理。
内容勾股定理的逆定理是指，如果已知一个直角三角形的斜边和一条直角边的长度，那么可以通过这些已知量来确定另一条直角边的长度。
具体地说，如果已知直角三角形的斜边长度为c，一条直角边的长度为a，我们可以通过逆定理得到另一条直角边的长度b。
逆定理的表达式为：\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \]这个逆定理的实质是利用了勾股定理中的平方关系，通过对已知量做平方运算来求解未知量的平方。
当然，在实际问题中，我们通常更关心未知量的具体值，所以最后需要对其开方来得到实际的长度。
例题 1我们来看一个例子，假设已知一个直角三角形的斜边长度为5，一条直角边的长度为3，那么我们可以使用逆定理来求解另一条直角边的长度。
根据逆定理的表达式，我们有：\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \]所以，这个直角三角形的另一条直角边的长度为4。
例题 2再来看一个例子，已知一个直角三角形的斜边长度为13，一条直角边的长度为5，那么我们可以使用逆定理来求解另一条直角边的长度。
根据逆定理的表达式，我们有：\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]所以，这个直角三角形的另一条直角边的长度为12。
总结勾股定理的逆定理是一种通过已知的斜边和一条直角边来确定另一条直角边长度的方法。
它利用了勾股定理中的平方关系，通过对已知量做平方运算来求解未知量的平方，并最后开方得到实际的长度。
使用逆定理时需要注意的是，已知的斜边和直角边必须是直角三角形的两条边，且要遵循勾股定理的条件。
17.3.2 勾股定理的逆定理(课件)冀教版数学八年级上册
否相等.
易
错
易 ∴a2+b2≠c2，∴ 三角形不是直角三角形.
混
［错因］c 不是三角形的最长边.
分
析
第二课时 勾股定理的逆定理
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易错警示 三角形三边长用 a，b，c 表示时，易把 c
易
错
2+b2=c2”.
当作最长边，直接套用逆定理中的“a
易
混
领悟提能 勾股定理的逆定理的实质是两直角边的平方
分
析
和等于斜边长的平方，斜边为最长边，故运用勾股定理的
易
混
分 ，试判断该三角形是不是直角三角形.
析
第二课时 勾股定理的逆定理
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［解析］利用勾股定理的逆定理进行判定即可.
易
错
易
［答案］ 解：∵a2=（ 6）2=6，b2=1，c2=（ 5）2=5，
混
分 ∴a2=b2+c2，∴ 三角形是直角三角形.
析
第二课时 勾股定理的逆定理
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［易错］解：∵a2=（ 6）2=6，b2=1，c2=（ ）2=5，
7，24，25；8，15，17；9，12，15 等
第二课时 勾股定理的逆定理
考
点
清
单
解
读
归纳总结
判断一个三角形是不是直角三角形的步骤
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第二课时 勾股定理的逆定理
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对点典例剖析
考
点
典例
将下列各组数据作为三角形的边长，能够组成直
清
单
）
解 角三角形的是（
读
A. 2，2，3
B. 1.5，2，2.5
17.2勾股定理的逆定理2—子龙
A B
CD 2 3 AC 2 19
D
在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm, 求△ABC的面积和AC边上的高.
AD 12
S ABC 60
120 A BE 13
A
A
E
两个直角三角形中，如果有一条公共边， 可利用勾股定理建立方程求解 C B C B .
已知：如图，四边形ABCD中，∠A ＝900，AB＝3， BC＝12 ，CD＝13 , AD＝4，求四边形ABCD的面积?
SABCD 6 30 36 SABCD 30 6 24
A 4 3 B
D
3 4 A 13 12 C
如图BE⊥AE, ∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC= 2 3 CD= 3 ,DE=3,求证:AD⊥CD
D
3
90
3
C
60° A 4
2
E
2 3 2 3
2 3 60°
B
一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各 边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？此时四 边形ABCD的面积是多少? C C 13 D D 30 12 46 5 A B A3 B
SABCD 6 30 36
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD 证明：过A作AE⊥BC于E D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) = DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD ∵AB=AC，∴BE=CE
勾股定理逆定理
勾股定理的逆定理（1）知识领航1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.e 线聚焦【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形.解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°．故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）A .4组B .3组C .2组D .1组 2. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A .1倍B . 2倍C . 3倍D . 4倍 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A .两直线平行,同旁内角互补B .若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C .对顶角相等D .如果a =b ,那么a 2=b 25．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D综合运用认真解答，一定要细心哟！6. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ADA D8. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.A D C B勾股定理的逆定理（2）知识领航1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.e 线聚焦【例】如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类型的三角形？（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C 最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC =900.又AB 2+BC 2=52+122=169=132=AC 2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC =900.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ， 则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE =288， ∴CE =13144. 13144÷169144≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A .7,24,25B .321,421,521 C .3,4,5 D .4,721,821 2．在下列说法中是错误的（ ）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形.B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形.C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形.3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾A ME NC B顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,124．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 . 6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .综合运用◆ 认真解答，一定要细心哟！7．如图，已知等腰△ABC 的底边BC =20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =16cm ，BD =12cm ，求△ABC 的周长.8．如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？9．如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .拓广创新◆ 试一试，你一定能成功哟！10．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB =1，PC =2，P A =3，求∠BPC 的度数．B12 5。
18.2勾股定理的逆定理(2)
变式3：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，
求四边形的面积
三、本课知识能力提升训练
提升能力点
灵活运用“勾股定理的逆定理”解决实际图形问题
学生层面
数形结合能力的培养，数学建模思想的渗透
提升容
在正方形ABCD中，F是DC的中点，E为BC上一点，
且 如图
四、课堂梳理小结作业说明
小结具体内容
1、典型例题的解题方法2、变式的灵活处理
详细分层作业
布置要求说明
必做：书76页习题18.2 3导航34页第二课时随堂练习
选作：书76页习题18.2 5学案课后提升题
例2某小区有一块草坪如图，已知AB=3 m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,且AB BC，则这块草坪的面积是多少？
针对性练习：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，BC=CD=1，AD= ，试求四边形ABCD的面积。
变式1：如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，若∠B=90°，猜想∠A与∠C的关系，并证明你的猜想
初二学案记录学科八下数学时间月日
课题
18.2勾股定理的逆定理（2）
课型
新授
课时
2-2
一、课堂导入知识点衔接
复习内容重点
1、勾股定理的逆定理2、命题与逆命题
具体衔接点
1、勾股定理成立的条件
2、勾股定理逆定理的成立条件3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识
二、本课知识点强调说明
本课重点难点
重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题
勾股定理(二)
（1）若k是一个奇数，且k≥3
（k， ， ）（k≥3的奇数）①
（2）设m是一个偶数，且m≥4，
（m， ， ）（m≥4的偶数）②
（3）若（a，b，c）是勾股数组，则（ a， b， c）也是勾股数组，其中 为任意正整数。
并约定 （a，b，c）=（ a， b， c）。
31.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，CB=5，AM=AC，BN=BC，求MN的长。
2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）
A．a=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c= D．a：b：c=2：3：4
3．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）
A．等腰三角形；B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。
4．若三角形的三边是⑴1、 、2；⑵ ；
⑶32，42，52⑷9，40，41；⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．三角形的三个内角的比为1:2:3，则这个三角形三边之比为（）A. 1:2:3B. C. D.
6．如图，正方形网格中的△ABC，若小
所以这次台风影响该城市的持续时间为.
t=小时
（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－ ＝6.5级．
1．（2008年湖北省咸宁市）如图，在Rt△ABC中， ，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△
绕点 顺时针旋转90 后，得到△ ，连接 ，下列结论：
①△ ≌△ ；②；
③ ；
其中正确的是
勾股定理逆定理(二)汇总
教学目标教学重点教学难点学情分析学法指导教学内容自学互帮导学法”课堂教学设计勾股定理逆定理（二）课时修改意见知识与能力：1 •掌握互逆命题的意义，会写一个命题的逆命题，并判断是否成立；理及逆定理解决实际问题。
过程与方法：进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
情感态度与价值观：通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.勾股定理的逆定理及其应用.建立实际问题转化成用勾股定理的逆定理的数学模型，解决数■学问题。
2、灵活应用勾股定八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何，向推理几何过渡的重要阶段。
这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。
通过对勾股定理逆定理的再探究，有利于更好的培养学生的分析思维能力，发展推理能力。
引导、尝试、发现、探究、合作交流。
效果预测教师活动学生活动（可能出现补救措施修改意见的问题）启动课堂 （知 识再现）［活动1］知识回顾：一、勾股定理及其逆定理的文字和几何语言的叙述：1、勾股定理（“形”到“数”的结合）：文字表达：直角三角形两直角边和平方和等于斜边的平方 几何语言表达：•••/C=902 . 2 2…a +b=c2、文字表达：如果三角形一边的平方等于其他两边的平方和，那 么这个三角形是直角三角形。
几何语言表述：a+b=C•••/ C=903、点评学生汇报。
独自写出 两个定理的两 种表达方式， 并作好汇报准 备。
学生汇报。
前因后果 可能混淆“数”与“形”的完美结 合，才产生勾股 定理及其逆定 理，怎样结合， 其结果可以让 学生讨论后加 深印象，并将定 理和逆定理区 别开来。
二、复习训练:1、如图，两个正方形的面积分别为64和49,则AC=2、由五根木棍，长度分别为3、4、5、12、13,若取其中三根木棍，组成三角形，有_______________________ 种取法；构成直角三角形的有. 种取法。
勾股定理的逆定理 课件 2022—2023学年人教版数学八年级下册 (2)
1.两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰以30海里/小时的
速度向西北方向航行，乙舰以一定的速度向西南方向航行，
它们离开港口2小时后测得两船的距离为100海里，求轮船B的
速度是多少？
甲(A) 北
西
O
东
乙(B) 南
知识&回顾☞ 实际应用
2.小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿另 一方向又走100m回到原地．小明向东走80m后又向哪个方 向走的？
“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街 路上行驶的速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街 路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶在路边车速检测仪的北偏 东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与 车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的 哪个方向?这辆小汽车超速了吗?
（1）城市A是否受到台风影响？ 请说明理由。
（2）若城市A受到台风影响， 则持续时间有多长？
（3）城市A受到台风影响的最 大风力为几级？
C A
240 30°
B
（1）城市A是否受到台风影响？ 请说明理由。
解：（1）根据题意可知 作 AD⊥BC 于 D 点． 在 Rt△ABD 中，∠B=30°， AB=240 千米， ∴AD=120 千米， ∵25×（12-4）=200>120 ∴城市 A 是受到台风影响。
15km/h的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C
处时发现渔具丢在乙船上，于是快速（匀速）沿北偏
东75°方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是多少千米/时？
北 速度 (30 30 B3) 2 15 15 3
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
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目 录
CONTENTS
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
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勾股定理逆定理 (2)
18．2 勾股定理的逆定理（一）教学目标知识与技能:1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程。
过程与方法通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用。
情感态度与价值观1、通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的关系。
2、通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；重点掌握勾股定理的逆定理及证明。
难点勾股定理的逆定理的证明。
教学过程教学设计第一步：复习巩固：创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
第二步：应用提高：例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
解略。
例2（P82探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。
⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。
人教版八年级数学下册勾股定理逆定理课件第二课时
检测目标
2.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一 点，且CE＝1 CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
4
解：AF⊥EF.理由如下： 设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. (3) 本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿ 如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向 点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长． 思考1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
我们学会了用勾股定理解决生活中的很多问 题，那么勾股定理的逆定理可以解决哪些实际问 题呢？我们一起来探究吧。
人教版八年级数学 下册
沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
壮志与毅力是事业的双翼。
母鸡的理想不过是一把糠。
生无一锥土，常有四海心。
远大的希望造就伟大的人物。
志高山峰矮，路从脚下伸。
雄心志四海，万里望风尘。
检测目标
3.已知 △ABC三角形的三边分别为 a,b,c 且a = m2 - n2 ,b = 2mn,c = m2 n2 (m > n,m,n是正整数)， △ABC是直角三角形吗?说明理由
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24平方米
C
3
4 A D 13
例1：
“远航”号、“海天”号轮船 同时离开港口，各自沿一固定方向航 行，“远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们 离开港口一个半小时后相距30海里。 如果知道“远航”号沿东北方向航行， 能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N 海天 R P
C
例3、见《学案》P109典型例题
（请同学们自己独立完成此题的解答）
如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中
A 解：连接AE A ∵ABCD是正方形，边长是4，F是 DC的中点，EC=1/4BC ∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1 ∴根据勾股定理，在 B Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF
问: (1) 上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该 3 步的代号＿＿＿ a2- b2可能是0 (2) 错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 直角三角形或等腰三角形 (3) 本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿
6、如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m， BC=12m。求这块地的面积。 B
1 点，且CE= BC，则AF⊥EF，试说明理由 4
D F
E
C
`
1、作业本作业：课本P76 第5题、P80第8题
2、《学案》P110——112
3、《配套练习》P70—72
A
D
B
C
5.已知a.b.c为△ABC的三边,满 足 a 2 c 2 b 2 c 2 a 4 b 4 ,试判断 △ABC的形状.
解 ∵ ∴ ∴ ∴ a2c2- b2c2 = a4 – b4 c2(a2 – b2) = (a2+ b2) (a2- b2) c2 = a2 + b2 △ABC是直角三角形 (1) (2) (3)
Q 远航
E
例2.如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公 园的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现要 在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公 路将两村连通,经测得 AB=600m,AC=800m,问此 公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.
400
A
B
D
1000
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那 么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
1.长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能 搭成(首尾连接)直角三角形的个数为( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c, 且 c角形ABC的形状是 2
A
A 直角三角形 C 等腰三角形
B 等边三角形 D 等腰直角三角形
3.如果一个三角形的三边为a ,b ,c 满足 直角 a2+c2=b2,那么这个三角形是＿＿＿＿ 斜 三角形,其中 b边是＿＿＿边,
直 b边所对的角是＿＿＿角. 4.工人师傅想要检测一扇小门两边 AB .CD 是否垂直于底边 BC,但他只带了一把卷尺,你 能替工人师傅想办法完成任务吗?
18.2 勾股定理的 逆定理（2）
小路口镇中学八年级数学组
勾股定理: 直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
a2+ b2=c2
逆定理:
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是 直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命 题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的 题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的 逆命题.