卢湾区2010年4月高考模拟考试数学(理科)试卷(附答案)
2010年高考摸底考试数学试卷及答案
高 三 开 学 摸 底 考 试数 学 试 题（文理合卷 满分150分，时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合{|A x y ==，2{|0}6xB x x -=>-，则A B ＝ （ ）A ． {|46}x x <<B ．{|46}x x ≤<C ．{|4}x x ≥D ． {|26}x x x >≠且 2．（文）若函数())22cos(2sin x x x g -=π的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2πC ．3πD ．2π（理）如图，弹簧挂着小球作上下振动，时间()t s 与小球相对平衡位置（即静止的位置）的高度()h cm 之间的函数关系式是2sin(4)4h t ππ=+（[0,)t ∈+∞则小球最高点与最低点的距离、每秒能往复振动的次数分别为 （ ）A ．2 ，2B ．4 ，2C ．4 ，2π D ．2 ，2π3．已知球面上有三点A 、B 、C ， AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，且球心O 到平面ABC 的距离为12，则球的半径为 （ ） A ．13cm B ．12cm C ．24cm D ．26cm 4．某展柜用同样的长方体型商品堆成如下图的若干堆展品：现用()f n 表示第n 堆的商品总数，则(1)f n -＝ （ ） A ．2nB ．221n n -+ C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 5．（文） 某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取 （ ） A ．65人，150人，65人 B ．30人，150人，100人 C ．93人，94人，93人 D ．80人，120人，80人……第1第2第3……（理）若函数()1xf x x =+（1x ≠-）的反函数为1()y f x -=，则1(1)f i --＝（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1122i -+ D ． 1122i +6．若m 、n 、是空间两条不同直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，对于下列命题：①. m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β ②. α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β③. m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α④.若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m其中正确的命题的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．47．集合M ＝{()|1}x y x ≥，，P ＝{()|10}x y x y -+≤，，S ＝{()|220}x y x y --≤，，若T=M P S ，点(,)E x y T ∈，则22u x y =+的最小值是 （ ）A ．1B ．2C ． 25D ．58．（文）设()54325101051f x x x x x x =-+-++，则()f x 的反函数()1f x -为 （ ）（ ）A ．()11fx -=+B ．()11f x -=+C ．()11f x -=-D ．()11fx -= （理） 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +--=，且121a a ==，而该数列的第5项5a 与三角式5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数相等，则cos θ＝（ ）A B C ． 22±D ．129．二次函数212y x =的图像是抛物线，其焦点的坐标是 （ ） A ．(0,1) B ．1(,0)2 C ．1(0,)2 D ．1(0,)810．已知||2||a b = ，命题p ：关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 没有实数根，命题q ：,[0,]4a b π<>∈ ，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．某师范大学的数学教育专业有6名青年志愿者，为响应团中央发起的中国青年志愿者扶贫接力计划，志愿到某市的A 县、B 县、C 县三个县任教五年，则一县4名，另两县每县1名的概率为 （ ）A ．2081B ．1081C ．5243 D ．1024312．对任意正整数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=⋅，且1(1)2f =，则(1)f +(2)f ＋(2008)f +…＝（ ）A ．2008112-B ．2007112-C ．2009112-D ．2008112-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.13．某高校在2008年9月初共有m 名在校学生，其中有n 名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例_____（选填“变大”、“ 变小”或“不变”），其理论论据用数学形式表达为_______. 14．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为)0F，直线1y x =-与其相交于M ,N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是_______. 15．（文） 有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少?”（注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍），由此诗知该君第二日读的字数为_______．（理） 已知点集}|),{(y y x L ⋅==，其中(2,2)m x b =- ，(1,1)n b =+，点(,)n n n P a b L ∈，1{(,)|1}P L x y x == ，且11n n a a +-=，则数列{}n b 的通项公式为_______.16．对于下列四个命题①.若向量a ，b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b的夹角为钝角；②.已知集合{}A =正四棱柱，B {}=长方体，则B B A = ；③.在直角坐标平面内，点(,3)M a a -与(cos ,sin )N αα在直线02=-+y x 的异侧；④.对22⨯数表定义平方运算如下：2a b a b a b c d c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝22a ab ac cd bc ⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭bc bd d ， 则21011⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝1021⎛⎫⎪-⎝⎭其中真命题是_ _（将你认为的正确命题的序号都填上）． 三、解答题：（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知向.1)(),sin ,sin 2(),cos 32,(sin -⋅===x f x x x x 设 （Ⅰ）若)(],2,0[x f x 求π∈的值域；（Ⅱ）若函数()(0),y f x x ααα==>的图象关于直线对称求的最小值.科18．（本小题满分12分）（文）某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止.（Ⅰ）求某乘客在第i 层下电梯的概率)5,4,3,2(=i ；（Ⅱ） 求电梯停下的次数不超过3次的概率； （理）某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止. （I ）求某乘客在第i 层下电梯的概率)5,4,3,2(=i ； （Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率； （Ⅲ）求电梯停下的次数ξ的数学期望. 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，若(4,)a x y =+ ，(4,)b x y =-，且10a b += .（Ⅰ）求动点),(y x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点N （2，1），是否存在一条直线l 与轨迹C 相交于A 、B 两点，且以点N为线段AB 的中点？若存在，求出直线l 的方程；不存在，请说明理由. 20．（本小题满分12分）如图，在空间中的直角三角形ABC 与直角梯形EFGD 中，平面ABC//平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，AC ∥DG .且AB=AD ＝DE=DG=2,AC=EF=1. （Ⅰ）求证：四点B 、C 、F 、G 共面；（Ⅱ）求平面ADGC 与平面BCGF 所组成的二面角余弦值； （Ⅲ） 求多面体ABC-DEFG 的体积.A BC D EG21．（本小题满分12分）已知函数),,()(23R c b a c bx ax x x f ∈++-=．（Ⅰ）若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，试求b a ,的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，当]6,2[-∈x 时，)(x f ＜2｜c ｜恒成立，求c 的取值范围． 22．（本小题满分14分）设函数()y f x =的定义域与值域均为R ，其反函数为1()y f x -=，且对任意实数x 都有125()()33f x f x x -+=.现有数列11a =，253a =，1()n n a f a +=（*n N ∈）. （Ⅰ）令1n n nb a a +=-（*n N ∈），求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）（文）求满足121n m a m ->+对所有n N *∈恒成立的m 的取值范围.（理）令113n n c a =-，n S 为数列{}n nc 的前n 项和，求证不等式2233n S n n ≤-+.参考答案1．B A ＝{|x y =＝2{|log 20}x x -≥＝{4}x ≥,2{|0}6xB x x -=>-＝{|26}x x <<, ∴{|46}A B x x =≤< .评析 集合及其运算是高中数学的入门基础，也是历届高考的热点，几乎年年必考.求解集合类问题注意两看技巧：一看代表元素，二看属性.本题{|A x y ==的代表元素是x ，属性是y =所以集合A 的本质是满足函数式y =x 的范围，即该函数的定义域；类似集合B 的本质是不等式206xx ->-的解集. 2．（文）B ()x x x x x g 4cos 21212sin )22cos(2sin 2-==-=π，∴函数的周期为2π=T评析 本题属于基础题，试题是由教材高一（下）复习参考题改编而来；重视教材的示范作用是我们备战高考的一个不可或缺的环节.（理）B ∵在三角函数式2sin(4)4h t ππ=+中，振幅2A =，周期2142T ππ==, ∴小球最高点与最低点的距离24d A ==，每秒能往复振动的次数12f T==. 评析 本题属于基础题，试题是由教材高一（下）复习参考题的第33题改编而来；重视教材的示范作用是我们备战高考的一个不可或缺的环节.3．A ∵62＋82＝102 , ∴△ABC 是直角三角形, ∵球心O 在平面ABC 内的射影M 是△ABC 所在截面圆（外接圆）的圆心. ∴M 是直角三角形斜边AC 上的中点，且OM ⊥AC, 在Rt △OAM 中，球半径为13R =.评析 试题是由教材高二（下）第79页例3“反演”而来，其中找准点M 在平面ABC 的射影是关键.重视教材的示范作用是我们备战高考的一个不可或缺的环节. 4．B 第n 堆的堆放规律：从上向下，依次是1，3，5，7，……，21n -,∴[1(21)]()2n n f n ⋅+-=＝2n ，即2(1)(1)f n n -=-＝221n n -+.评析 本题是由广东高考题对比演化而来，主要考查等差数列求和、函数符号等知识以及由已知特殊项归纳、探索一般规律的能力. 5．（文）A 抓住分层抽样按比例抽取的特点有5600130030001300280x y z===. ∴65x z ==，150y =，即专科生、本科生与研究生应分别抽取65，150，65. 评析 简单随机抽样与分层抽样方法是文科数学高考的一个常考点，求解的关键是明确各类抽样的基本特点. （理）A 由函数1x y x =+（1x ≠-）解得1y x y=-（1y ≠）, ∴函数()1x f x x =+ （1x ≠-）的反函数为1()1xfx x-=-（1x ≠）, ∴1(1)f i --＝11(1)ii ---＝1i i -＝1i --.评析 本题属于基础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬. 6．A 命题①错误，在正方体AC 1中，令m ＝AB ，n ＝BC ，α＝面A 1B 1C 1D 1 ,β＝面ABCD ，显然满足m ⊥n ，α∥β，m ∥α，但n ⊆β；命题②错误，在正方体AC 1中，令γ＝面ABCD ，α＝面AA 1B 1B ，β＝面AA 1C 1C ，显然满足α⊥γ，β⊥γ，但不满足α⊥β；命题③错误，在正方体AC 1中，令m ＝BB 1，n ＝BC ，α＝面ABCD ，显然满足m ⊥α，m ⊥n ，但n ⊆α；命题④错误，在正方体AC 1中，令m ＝AB 1，n ＝CD 1，α＝面ABCD ，显然m 、n 与α所成的角均为450，n ∥m.评析 正方体蕴含大量的线面关系、空间几何量等，是立体几何的一个聚宝盆，特别是求解“立体几何的线面关系的判定”型问题时，常常在正方体中寻找反例.7．D 由条件T=M P S 可转化为线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，作出可行域如右图阴影部分所示.而22u x y =+ 表示的几何意义为阴影部分的点到坐标原点的距离，显然右图 中的点A 到原点的距离最小. ∴110x x y =⎧⎨-+=⎩， 即A （1，2） ， ∴22min min ()u x y =+＝5.评析 本题是以集合语言包装的非线性的规划问题，求解这类问题的关键在于准确作出平面区域，明确所求式子的几何意义.一般地说，所求式子属于分式型注意联系斜率，而含有平方和或可化为平方和时注意联系距离求解.8．（文） A ．逆用二项式定理，得()()512f x x =-+，从而有()5121x y ,x -=--=∴1x =()11fx -=评析 二项式定理的运用十分广泛，既可以正向运用，将一个二项式展开成多项式的形式，从而解决有关整除性问题、近似计算问题、不等式证明问题等等，又可以逆向运用，将一个多项式合并成一个二项式的形式，从而实现化简的目的．重视公式和定理的逆向运用，有助于培养逆向思维的能力，这一点，应该予以足够的重视．（理）C ∵11n n n a a a +--=，且121a a ==, ∴3212a a a =+=，4323a a a =+=，5435a a a =+=,又∵5)1cos (+θx 的通项为R R x C -⋅55)cos (θ , 令52R -=，则3R =,∴5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数是325cos C θ⋅, 据题意有325cos 5C θ⋅=，即21cos 2θ=, ∴22cos ±=θ. 评析 “由21cos 2θ=得出cos θ=”，这类错误尽管很可笑，却来自于同学们，而且不在少数，在高三复习注意改正这类低级错误，减少不必要的损失.9．C 将抛物线212y x =化成标准形式22x y =，所以焦点F 在y 轴上，其坐标为F 1(0,)2.评析 本题易犯两个错误：①抛物线212y x =未整理成标准形式；②抛物线22x py=的焦点是(0,)2P ，而不是(0,)P ，也不是(,0)2P.这两点是易错点，应特别小心.10．B ∵关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 没有实根，||2||a b =∴△＝24b ac -＝2||4a a b -⋅ ＝2||4||||cos ,a a b a b -⋅⋅<>＝22||2||cos ,0a a a b -<><.∴1cos ,2a b <>> 又∵0cos ,a b π≤<>≤ ∴0cos ,3a b π≤<><∴命题q ：,[0,][0,)43a b ππ<>∈⊆ ∴命题p 是命题q 的必要但不充分条件.评析 本题的实数方程系数是向量式，让部分同学望而却步，但实际上比较基础，主要考查向量夹角与简易逻辑等知识点；沉着是求解这类面目比较新颖的题目的关键. 11．B 大致可分为两个过程：①分成三组，其中一组4名，另两组每组1名，属于局部均匀分组问题，有4116212215C C C A =种不同的分法；②再分到A 、B 、C 三个县，有33A 种不同的分法.由分步计数原理知满足“一县4名，另两县每县1名”有4113621322A 90C C C A ⨯=种不同的分法.而总数共有63729=种不同的分法，所以满足“一县4名，另两县每县1名”的概率为90729m p n ==＝1081. 评析 本题的概率计算是以分组分配问题为基础的，而分组分配问题是中学数学的一个难点，也是近年高考的难点.突破关键是分清“均匀分组问题”、“ 不均匀分组问题”、“ 不均匀定向分配问题”、“不均匀不定向分配问题”及“均匀分配问题”五个基本类型；其中“不均匀不定向分配问题型”和“均匀分组问题型”的计算要特别小心. 12．A ∵任意正整数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=⋅，∴令x n =，1y =，则(1)()(1)f n f n f +=⋅，即(1)1(1)()2f n f f n +==.∴()f n 是以1(1)2f =为首项，公比12q =的等比数列， ∴(1)(2)(2008)f f f +++…＝2008200811[1()]1221()1212-=--.评析 本题以抽象函数为载体，考查无穷等比递减数列的各项和的求法（文科：数列求和问题），对数学逻辑思维能力的要求比较高.求解的关键是利用已知灵活赋值，转化为递推式(1)1()2f n f n +=求解.13．增大 “若0m n >>，0b >，则n n bm m b+<+”.补录前补录后利用表格分析评析 本题结合今年“高校补录”这一热点，将教材高二（上）改编的6.3节例2改编、引申而来，与题目“已知b 克糖水中含有a 克糖()0>>a b ，再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解）糖水变甜了，试根据这一事实提炼一个不等式_________”类似，难度不大. 14．22125x y -= 设所求双曲线的方程是()2222100x y a ,b a b -=>>，将其与直线1y x =-联立，消去y 并整理得：()222222220b a x a x a a b -+--=．依题意有：()2222232a b a --=-，整理得：2252a b =．又227a b +=，∴2225a ,b ==．得所求双曲线的方程是22125x y -=． 评析 充分运用数学选择题是单项选择的特征，即有且仅有一个正确选择支这一信息，或从题干出发通过分析、推理、计算、判断，逐一排除错误选择支，或从所给选择支提供的信息入手，逐一检验是否与题干相容，若不相容则可排除，排除了 3 个选项后，剩下的一个即为正确的选项．这样一些解选择题的策略与技巧，要注意掌握并能够灵活地加以运用才好．15．（文）9910 设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为3(12)12a --=7a =34685，解得a =4955，则2a =9910，即该君第二日读的字数为9910． 评析 本题以一首诗词为背景，考查等比数列及其求和公式．本题与2004年重庆的高考卷《送瘟神》相似，较好地体现了人文精神及人文价值的历史体现形式，其知识的表达方式对平时教学或学习有很多参考价值．（理） 2n b n =+ ∵}|),{(n m y y x L ⋅==，(2,2)m x b =- ，(1,1)n b =+，∴y ＝m n ⋅ ＝(2,2)(1,1)x b b -⋅+＝22(1)x b b -++＝2x +，新生人数 n n b + 总体人数 mm b +新生比例 n mn bm b++ 大小关系 n n b m m b +<+ 限定条件0m n >>，0b >∵1{(,)|1}P L x y x == ，∴1(0,2)P ，11a =，13b =，又∵11n n a a +-= ， ∴n a n = ， ∵点(,)n n n P a b L ∈， ∴22n n b a n =+=+.评析 本题知识覆盖面广，但题目不难，主要考查数学的抽象思维能力和逻辑分析能力；求解本题的基本策略是逐步具体化条件.16．答案：③ ④ 命题①错误，当a 与b 共线时，也有0a b ⋅<；命题②错误，正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，而长方体的底面是一般的矩形；所以B A A = ；命题③正确，因3|(3)|32αααα+-≥--=>，cos sin )24πααα+=+<，所以M与N 在直线02=-+y x 的异侧；命题④正确，21011⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝10101111⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭＝110(1)1001111(1)1011⨯+⨯-⨯+⨯⎛⎫⎪-⨯+⨯--⨯+⨯⎝⎭＝1021⎛⎫⎪-⎝⎭点拨：本题属于不定选项型填空题，比较难；这类题目频频出现在近年高考试卷中，得分率比较低，多选、少选、错选都是零分，能很好克服单项选择题的“瞎猜”的缺点，是单项选择题有益补充.求解这类题目必须逐项判断正确，这需要较好上午数学基本功. 17．解：（1）1cos sin 32sin 21)(2-+=-⋅=x x x x f …………2分分分分8]2,1[]1,21[)62sin(6]65,6[62]2,0[4)62sin(22cos 2sin 3 -∈⇒-∈-⇒-∈-⇒∈-=-=y x x x x x x ππππππ（2）由题设，).(32,262Z k k k ∈+=+=-ππαπππα即 …………10分 .3,0,0min παα==∴>时当k …………12分评析 平面向量是现行教材中的新增内容，近年来的高考对向量内容的考查逐步加强、渐趋完善，其中，向量与三角结合，既是一个热点，也是一个亮点，以平面向量为载体，以三角函数为背景，综合考查三角恒等变换、三角函数的图像和性质以及平面向量的有关知识．求解本题，将|m n|+表示为θ的函数关系式是关键，三角公式的灵活运用是基础．在解题的过程中，要注意角的范围的限制作用，以防止漏解或增解，确保解题准确无误．18．（文）解：（Ⅰ）某乘客在第i 层下电梯的概率为41………6分 （Ⅱ）电梯停下次数为4的概率32344441==A P ………9分故电梯停下的次数不超过3次的概率3229323111=-=-=P P ………12分 （理） 解：（Ⅰ）41)(=i F ； ………3分 （Ⅱ）256175)411(14=--=P ………7分（Ⅲ）ξ可取1、2、3、4四种值6414)1(414===C P ξ； 64214)22()2(4424=-==C P ξ；64364)3(4332434===A C C P ξ；6464)4(444===A P ξ 故ξ的分别列如下表：ξ1 2 3 4P641 6421 6436 646 ……………………11分 ∴6417564646436364212641=⨯+⨯+⨯+=ξE ……………………12分 评析 近年全国各套试卷中，都以解答题形列态考查排组合与概率统计问题，这类问题是近年高考的热点，文科数学多以概率计算为主，理科数学以概率、概率分布列为主；大致在解答题前三个位置出现,属中档题的范围.就本题而言，以网络信息安全为背景，考查n 次独立事件恰好k 次发生的概率，对立事件与相互独立事件概率的计算，考查运用数学知识解决实际问题的能力；求解本题的关键是识别概率类型，从容求解.19．（1）∵(4,)a x y =+ ，(4,)b x y =-，且10a b +=10，即动点),(y x M 到两定点F 1(4,0)-，F 2(4,0)的距离距离之和为常数10 ……………………3分∵108>， ∴动点),(y x M 的轨迹C 是以F 1(4,0)-，F 2(4,0)为焦点，210a =的椭圆∴221259x y += …………………… 5分 （2）假设存在以点N 为线段AB 的中点的直线l ，显然直线l 不可能与x 轴垂直，……6分设A 11(,)x y ，B 22(,)x y （12x x ≠），则∵点A 、B 在椭圆C ：221259x y +=上 ，∴22111259x y +=，22221259x y += ∴12121212()()()()0259x x x x y y y y +-+-+= ……………………8分又∵点N 是线段AB 的中点，N （2，1）， ∴124x x +=，122y y += ∴12124()2()0259x x y y --+=， ∴12121825AB y y k x x -==-- ……………………10分∴直线l ：181(2)25y x -=--，即1825610x y +-= ……………………11分 故存在满足以点N 为线段AB 的中点的直线l ，其方程为1825610x y +-= ……………………12分评析 本题是平面向量与圆锥曲线相综合的问题，主要考查平面向量基本运算、椭圆求法以及中点弦问题，考查解析几何“设而不求”的技巧.解析几何板块在历届高考中必有一个解答题，而且在以往高考试卷中多以压轴题形态出现；在近年的一些省市高考卷中，解析几何类题目是以中档题形态出现，在备战高考时应留意解析几何这一新动态. 20．解法一 向量法由 AD ⊥面DEFG 和直角梯形EFGD 可知，AD 、DE 、DG 两两垂直，建立如图的坐标系，则A （0，0，2），B （2，0，2），C （0，1，2），E （2，0，0），G （0，2，0），F （2，1，0）（1）(2,1,0)(2,0,2)(0,1,2)BF =-=-(0,2,0)(0,1,2)(0,1,2)CG =-=-∴BF CG =，即四边形BCGF 是平行四边形.故四点B 、C 、F 、G 共面. ……………………4分（2）(0,2,0)(2,1,0)(2,1,0)FG =-=-，设平面BCGF 的法向量为1(,,)n x y z =，则112020n CG y z n FG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ， 令2y =，则1(1,2,1)n =，而平面ADGC 的法向量2(1,0,0)n i ==A B C DE GF M N ∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=⋅=故面ADGC 与面BCGF 所组成的二面角余弦值为6……………………8分 （3）设DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，则A B C -D E F G V 多面体＝ADM-BEF ABC-MFG V V 三棱柱三棱柱+＝ADM MFG DE S AD S ⨯+⨯△△＝1122122122⨯⨯⨯+⨯⨯⨯＝4. ……………12分 解法二 （1）设DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以MF//DE ，且MF ＝DE又∵AB//DE ，且AB ＝DE ∴MF//AB ，且MF ＝AB∴四边形ABMF 是平行四边形，即BF//AM ，且BF ＝AM 又∵M 为DG 的中点，DG=2,AC ＝1，面ABC//面DEFG ∴AC//MG ，且AC ＝MG ，即四边形ACGM 是平行四边形 ∴GC//AM ，且GC ＝AM 故GC//BF ，且GC ＝BF ，即四点B 、C 、F 、G 共面………………4分（2）∵四边形EFGD 是直角梯形，AD ⊥面DEFG ∴DE ⊥DG ，DE ⊥AD ，即DE ⊥面ADGC ，∵MF//DE ，且MF ＝DE ， ∴MF ⊥面ADGC在平面ADGC 中，过M 作MN ⊥GC ，垂足为N ，连接NF ，则 显然∠MNF 是所求二面角的平面角.∵在四边形ADGC 中，AD ⊥AC，AD ⊥DG ，AC=DM ＝MG ＝1∴CD CG == ∴cos DGC ∠＝2222GCGD CD GC GD +-⨯⨯∴sin 5DGC ∠=，∴MN ＝sin MG DGC ⋅∠5=在直角三角形MNF 中，MF ＝2，MN =∴tan MNF ∠＝MF MNcos MNF ∠故面ADGC 与面BCGF 所组成的二面角余弦值为6……………………8分 （3）ABC-DEFG V 多面体＝ADM-BEF ABC-MFG V V 三棱柱三棱柱+＝ADM MFG DE S AD S ⨯+⨯△△ACDGMN＝1122122122⨯⨯⨯+⨯⨯⨯＝4. ……………………12分 评析 本题以不规则几何体为载体，考查空间线面关系的判断与证明，空间几何量的计算，准确把握立体几何的最新发展趋势：由正方体、正四棱柱等规则几何体的考查向不规则几何体过渡，但仍坚持向量法与公理化法的“双轨”处理模式，在复习备考时应引起高度注意.21．（I ）∵函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，∴－1，3是方程0232=+-b ax x 的两根，∴213,3,39.13,3a a b b ⎧-+=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩……………………5分 （II ）963)(,93)(2'23--=+--=x x x f c x x x x f ，当x 变化时，有下表x（-∞，-1）-1 （-1，3）3 （3，+∞）f ’（x ）+ 0 - 0 + f （x ）↗Maxc+5↘Min c-27↗而(2)2,(6)54,[2,6]f c f c x -=-=+∴∈-时，f （x ）的最大值为c+54． ……10分 要使f （x ）<2|c|恒成立，只要c+54<2|c|即可．当c ≥0时，c+54<2c ， ∴c>54． 当c ＜0时，c+54<－2c ，∴c ＜－18．故实数c 的取值范围是（-∞，－18）∪（54，+∞）． ……………………12分 评析：三次函数是近年高考命题的热点之一，这是因为三次函数的导数是二次函数，而二次函数又是中学数学的重点内容．这可以牵扯到二次函数、二次不等式和二次方程． 22．（1）∵1()n n a f a += ， ∴11()n n a f a -+=∵任意实数x 都有125()()33f x f x x -+= ， ∴111125()()33n n n f a f a a -++++= ∵1()n n a f a += ，即11()n n a f a -+= ， ∴12()n n f a a ++=，11()n n f a a -+=∴212533n n n a a a +++=，即2112()3n n n n a a a a +++-=- ∵1n n n b a a +=-（*n N ∈），11a =，253a =∴数列{}n b 是以2152133a a -=-=为首项，以23q =为公比的等比数列故数列{}n b 的通项为2()3nn b =.……………………7分（2）（文）由12()3nn n n b a a +=-=得1n a a -＝11221()()()n n n n a a a a a a ----+-++-＝1222222()()()3333n n --++++ ＝122[1()]3n --……………………10分 又∵11a =， ∴1233n n n a -=-（*n N ∈），即数列{}n a 是递增数列，且3n a <（*n N ∈）∴满足121n m a m ->+对所有n N *∈恒成立的参数m 必须满足1321m m -≥+，即4152m -≤≤-.又12m ≠-，故满足121n m a m ->+对所有n N *∈恒成立的参数m 的取值范围为4152m -≤<-.……………………14分 （理） 由12()3nn n n b a a +=-=得11n a a +-＝1121()()()n n n n a a a a a a +--+-++-＝122222()()()3333nn -++++ ＝22[1()]3n -又∵11a = ∴1233n n n a -=-（*n N ∈），即1112211(3)()3333n nn n n c a -=-=--=……………………8分∴n S ＝12323n C C C nC +++…＝2322222()3()()3333n n +⨯+⨯+⨯………………（1） （1）式左右两边同乘23得 2341222222()2()3()(1)()()333333n n n S n n +=+⨯+⨯+-⨯+⨯……（2） （1）式减去（2）式得231122222()()()()333333n n n S n +=++++-⨯…＝1222[1()]()33n n n +--⨯∴n S ＝1122633n n n nn +-⨯--＝26(32)()3n n -+⋅……………………12分 ∵2221121()(1)1()133333nnn n C n =-=-+⨯+≥-…… ∴2212(32)()(32)(1)3333n n n n n n +⋅≥+⋅-=-++∴222226(32)()6(3)3333n n S n n n n n =-+⋅≥--++=-+ 故2233n S n n ≤-+……………………14分 评析 本题是函数与数列问题型综合问题，是近年数学高考的一个常考点，以抽象函数为背景，考查数列不等式的证明（理科数学）或以恒成立的形式考查不等式的解法（文科数学）；求解本题得的关键明确抽象函数式125()()33f x f x x -+=的含义，同时注意挖掘隐含条件“()f b a =⇔1()a f b -=”.。
2010年高考复习模拟考试理科数学试卷(15)
试卷的知识分值分布试卷与07，08年广东卷试题知识分值分布对照2010年高考复习模拟考试理科数学试卷（15）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中s 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 斥，那么P A B P A P B +=+（）（）（）．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{|1),{|21}xM x x N x =<=>，则MN 等于（ ）A ．∅B ．{|0}x x <C ．{|1}x x <D ．{|01}x x << 2．在复平面中，复数1iz i=+（i 为虚数单位）所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 为了解一片大约一万株树木的生长情况， 随机测量了其中100株树木的底部周长 （单位：㎝）.根据所得数据画出的样本 频率分布直方图如图，那么在这片树木中， 底部周长小于110㎝的株树大约是（ ） A.3000 B.6000 C.7000 D.80004.已知向量a 、b 满足)32,2(),0,1(==b a，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5.已知),2,2(,54sin ππαα-∈-=则α2sin 的值为（ ）A. 2524-B. 2524C. 54D. 2576.等差数列{}n a 中，已知4a 、5a 分别是方程28150x x -+=的两根，则=8S （ ）A. 8B. 16C. 24D. 32 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A. 3y x = B. ln y x = C. 21y x=D . cos y x =8.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ）， 则此几何体的表面积是（ ）A. (80+cm 2B. (96+cm 2C. 96 cm 2D. 112 cm 29.若实数x ，y 满足100x y x -+≤⎧⎨≥⎩，则1yx -的取值范围是（ ）A.（－1，1）B.（－∞，－1）∪[1,＋∞)C.（－∞，－1）D.［1,＋∞)10.已知函数c bx x x f ++=2)(，其中40,40≤≤≤≤c b .记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为（ ） A ．14 B ． 58 C ． 12 D ． 38二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效） （一）必做题(11--13题)11.以点)5,0(A 为圆心、双曲线191622=-yx 的渐近线为切线的圆的标准方程是____ __.12. 1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， . 13.若右图框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的 关于k 的判断条件是K< ?（填自然数）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ 的距离的最小值是 ．15.如图，⊙O 的直径cm AB 6=，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 若︒=∠30CPA ，=PC ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
2010年高中毕业班模拟试题数学(理科)
2010年高中毕业班模拟试题数学(理科)(42)本试卷分选择题和非选择题两部分,满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑。
不按要求填涂的，答卷无效。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需变动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上答案作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，所有答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集R ，M={}R x x x ∈≤,0，N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈⎰+2xdx x Z x ，则()N M C R ⋂等于（ ） A ．{}0 B ．{}1 C ． {},2,1 D ．{}2,1,0 2.已知方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实数根 b ，且 bi a z +=，则 复数z =( )A. i 22--B. i 22+C. i 22+-D. i 22-3.已知1>a 且实数,x y 满足1≤+y x ,则y ax z +=的最大值是 ( ) A. 1 B. 1+a C. a D.21+a4. 如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =，A A 1=.则下列向量中与M B 1相等的向量是( )A ．－21+21+B ．21+21+C ．21a －21b +c D ．－21a +21b +23c5.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >），若()f x 的图像如右图所示，则函数()x g x a b =+的图像是( )A ．B ．C ．D ．6.已知等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d<0，则使前n 项和S n 取最大值的正整数n 是( )A 、4或5B 、5或6C 、6或7D 、8或97.如果一个几何体的三视图是如图1所示(单位:)cm 则此几何体的表面积是( ) A. ()32616cm + B.223cm C.()32612cm + D.()33218cm +8.已知P 是双曲线12222=-b ya x 的右支上一点，21,F F 分别是双曲线的左右焦点，且焦距为2c,则21F PF ∆的内切圆的圆心横坐标为（ ）A ．a -B ．aC ．c -D ．c二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选作题，考生只能选作两题，三题全答的，只计算前两题得分.每小题5分,满分30分. （一）必做题9. “3πθ-=”是“)2cos(2tan θπθ-=”的 条件10.铁路托运行李，从甲地到乙地，按规定每张客票托 运行李不超过50kg 时，每千克13元，如超过50kg 超过的部分按每千克20元计算.行李重量为wkg , 运费为f 元.求运费f 的程序框图如图.主视图俯视图7题在①中应填入的内容是 ；在②中应填入的内容 .11. 实数a ，b 满足121=-b a ，则b a -+24的最小值为 .12. 从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m 接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有 种参赛方法. . （二）选做题13.(坐标系与参数方程选作题)圆θθρsin 2cos 2-=的圆心与直线3cos =θρ的距离是 .14.(不等式选讲选作题)若不等式a x x ≤+--14的解集为R,则a 的取值范围是 .15.(几何证明选讲选作题) 如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ， AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)已知函数,sin 2)3sin()3sin()(2x x a x a x f -++-=ππ其中[]π,0∈x ，a 为常数( 1 )求当21)3sin(=-πx 时，求()x f y =的值；（2）求使0)(≥x f 恒成立时a 的最小值。
2010年高考理科数学摸拟试题3
2010年高考理科数学摸拟试题（3）本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n p p C k P --=)1()(球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设I 为全集，M 、N 、P 都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是 A.M ∩(N ∪P) B.M ∩[(C I N)∩P] C.[(C I M)∩[(C I N)]∩P D.(M ∩N)∪(N ∩P)2.奇函数y =f(x)(x ≠0)，当x ∈(0，+∞)时，f(x)=x-1，则函数f(x-1)的图象为3.设O 、A 、B 、C 为平面上四个点，OA =a ，OB =b，OC=c ，且a+b+c =0，a 、b 、c两两数量积都为-1，则|a|+|b|+|c|等于A.22B.23C.32D.33 4.下列函数中值域是(0，+∞)的函数是 A.x215y -=B.x 1)21(y -=C.x 21y -=D.121y x-=5.三个数成等差数列，其公差为d ，如果最小数的2倍，最大数加7，则三个数成等比数列，且它们的积C B DA为1000，此时d 为A.8B.8或-15C.±8D.±15 6.设a ＞b ＞c ，且ca nc b 1b a 1-≥-+-，则n 的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知0＜θ＜4π，则下列各式中正确的是 A.sin θ＜cos θ＜cot θ B.cos θ＜cot θ＜sin θ C.cot θ＜sin θ＜cos θ D.cos θ＜sin θ＜cot θ 8.如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线Ax+By+C =0不通过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 9.有如下一些说法，其中正确的是①若直线a ∥b ，b 在面a 内且a ⊄α，则a ∥α；②若直线a ∥α，b 在面α内，则a ∥b ；③若直线a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；④若直线a ∥α，b ∥α，则a ∥bA.①④B.①③C.②D.①10.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答及格的概率为54，乙答及格的概率为53，丙答及格的概率为107，三人各答一次，则三人中只有一人答及格的概率为 A.203 B.12542 C.25047D.以上都不对 11.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为 A.1 B.2 C.2 D.22 12.已知曲线S ：y =3x-x 3及点P(2，2)，则过点P 可向S 引切线的条数为 A.0 B.1 C.2 D.32010年高考理科数学摸拟试题（3）第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.题 号 二 三总 分 17 18 19 20 21 22 分 数二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13.设有两个命题：①不等式|x|+|x-1|＞m 的解集是R ；②函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是_________.14.已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 也成等差数列，则y cx a +的值等于___________.15.过底面边长为1的正三棱锥的一条侧棱和高作截面，如果这个截面的面积为41，那么这个棱锥的侧面与底面所成角的正切值为___________. 16.设F 为椭圆1by a x 2222=+(a ＞b ＞0)的一个焦点，已知椭圆长轴的两个端点与F 的距离分别为5和1，如果点P(a，6)在直线y =kx 的上方，则k 的取值范围是___________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知复数z 1=x+ai ，z 2=x+bi(b ＞a ＞0，x ＞0)的辐角主值分别为α、β，求tan(β-α)的最大值及对应的x 的值.18.(本小题满分12分)如图，α—ι—β是120°的二面角，A 、B 两点在棱上，AB =2，D 在平面α内，三角形ABD 是等腰直角三角形，∠DAB =90°，C 在平面β内，三角形ABC 是直角三角形，∠ACB =90°，∠ABC =60°.求： (1)三棱锥D —ABC 的体积；(2)直线BD 与平面β所成的角的正弦值；(3)二面角D —AC —B 的平面角的正切值.得分评卷人得分 评卷人19.(本小题满分12分)一次数学测验共有10道选择题，每题都有四个选择肢，其中有且只有一个是正确的.考生要求选出其中正确的选择肢，只准选一个选择肢.评分标准规定：答对一题得4分，不答或答错倒扣1分.某考生确定6道题是解答正确的；有3道题的各四个选择肢中可确定有1个不正确，因此该考生从余下的三个选择肢中各题分别猜选一个选择肢；另外有1题因为题目根本读不懂，只好乱猜.在上述情况下，试问： (1)该考生这次测试中得20分的概率为多少?(2)该考生这次测试中得30分的概率为多少?20.(本小题满分12分)椭圆C1：1b y a x 2222=+(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，P 是双曲线C2：1by a x 2222=-的右支(x 轴上方)上的一点，线段AP 交椭圆于C ，PB 的延长线交椭圆于D ，且C 平分AP.(1)求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角；(2)当双曲线C 2的离心率e 为何值时，直线CD 恰过椭圆C 1的右焦点?21.(本小题满分12分)设曲线C ：y =x 2(x ＞0)上的点P 0(x 0，y 0)，过P 0作曲线C 的切线与x 轴交于Q 1，过Q 1作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 1(x 1，y 1)，然后再过P 1作曲线C 的切线交x 轴于Q 2，过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 2(x 2，y 2)，依次类推，作出以下各点：P 0，Q 1，P 1，Q 2，P 2，Q 3，…，P n ，Q n+1，…，已知x 0=2，设P n (x n ，y n )(n ∈N *).(1)求出过点P 0的切线方程；(2)设x n =f(n)，求f(n)的表达式；(3)设S n =x 0+x 1+…+x n ，求∞→n lim S n .22.(本小题满分14分) 设f(x)的定义域为x ∈R 且x ≠2k ，k ∈Z ，且)x (f 1)1x (f -=+，如果f(x)为奇函数，当0＜x ＜21时，f(x)=3x . (1)求)42001(f(2)当21k 2+＜x ＜2k+1(k ∈Z)时，求f(x)；(3)是否存在这样的正整数k ，使得当21k 2+＜x ＜2k+1(k ∈Z)时，log 3f(x)＞x 2-kx-2k 有解？参考答案一、选择题1.B 阴影部分的元素在集合M 中而不在集合N 中.2.D 用图象平移或直接求出f(x-1)的解析式即得.3.C 利用a+b =-c 平方得.4.B5.C6.C 用基本不等式2b a +≥b1a 12+(a ＞0,b ＞0)变形得. 7.A 由tan θ=θθcos sin ＞sin θ得.8.C 利用AC ＜0，BC ＜0研究横纵截距. 9.D10. 分为三种情况计算，再求和. 11.D12.D 设S 的切线方程，令切线过点P 可求得. 二、填空题 13.1≤m ＜214.2 用特值法易得所求值. 15.2 16.k ＜35 由题意知a+c =5,a-c =1(c =22b a -),从而a =3,c =2,P(3,5),做k ＜35. 三、解答题17.解：由题设知tan α=x a ，tan β=x b 且0＜α＜β＜2π， ∴tan(β-α)=xab x ab tan tan 1tan tan +-=βα+α-β. 5分∴x ＞0，x ab ＞0且x ·xab=ab 为定值，∴当且仅当x =x ab ，即x =ab 时，x+xab取得最小值2ab .此时tan(β-α)取最大值ab2a b -. 12分18.解：(1)过D 向平面β作垂线，垂足为O ，连接OA 并延长至E. ∵AB ⊥AD ，OA 为DA 在平面β内的射影，∴AB ⊥OA.∴∠DAE 为二面角β--αl 的平面角.∴∠DAE =120°.∴∠DAO =60°. ∵AD =AB =2，∴DO =3.∵△ABC 是有一个锐角为30°的直角三角形，斜边AB =2，∴S △ABC =23.又D 到平面β的距离DO =3， ∴V D-ABC =21. 4分(2)由(1)可知，∠DBO 为直线BD 与平面β所成的角，∴sinDBO =46BD DO =. 8分 (3)过O 在平面β内作OF ⊥AC ，交AC 的反向延长线于F ，连结DF ，则AC ⊥DF ，∴∠DFO 为二面角D-AC-B 的平面角.又在△DOA 中，OA =2cos60°=1，即∠OAF =∠EOC =60°， ∴OF =1·sin60°=23.∴tanDFO =OFDO=2. 12分19.解：(1)设可确定一个不正确选择肢的试题答对为事件A ，乱猜的一题答对为事件B. 1分则P(A)=31，P(B)=41，则得分为20分的事件相当于事件A 独立重复试验3次没有1次发生而且事件B 也不发生. 3分其概率为03C (1-31)3(1-41)=92. 6分答：在这次测试中得20分的概率为92. (2)得分为30分的事件相当于事件A 独立重复试验3次有2次发生且事件B 不发生或事件A 独立重复试验3次只有1次发生而且事件B 发生. 8分 其概率为185916141)311)(31(C )411)(311()31(C 213223=+=-+--. 11分 答：该考生在这次测试得30分的概率为185. 12分20.解：(1)由已知A(-a,0)、B(a,0)，设P(x 0,y 0)、C(x 1,y 1)、D(x 2,y 2)，x 0＞a,y 0＞0，则x 1=2y y ,2a x 020=-.将C(2y ,2a x 00-)代入椭圆方程得4b y a )a x (220220=+-. ∵1bya x 220220=-，消去y 0，得x 0=2a 或x 0=-a(舍)，将x 0=2a 代入双曲线方程得y 0=b 3,∴P(2a,b 3).∴k PD =k PB =ab 3a x y 00=-.∴PD 的方程为y =a b 3(x-a)，代入椭圆方程得2x 2-3ax+a 2=0,解得x 2=2a或x 2=a(舍).∵x 1=2a x 0-,∴x 1=x 2.∴CD 的倾斜角为90°.6分(2)当直线CD 过椭圆C 1的右焦点F 2(c,0)时，x 1=x 2=c ，则a =2c ，∴b =c 32c 2a =-,即a 23b =在双曲线中半焦距27ac ,a 272b2a c ='=∴=-=' ，这时CD 恰过椭圆C 1的右焦点. 12分 21.解：(1)∵k 0=2x 0=4，∴过点P 0的切线方程为4x-y-4=0.3分(2)∵k n =2x n ，∴过P n 的切线方程为y-x n 2=2x n (x-x n ).5分将Q n+1(x n+1,0)的坐标代入方程得-x n 2=2x n (x n+1-x n ). ∴21x x 2x x n 1n n 1n =⇒=++. 7分故｛x n ｝是首项为x 0=2，公比为21的等比数列. ∴x n =f(n)=2·n )21(，即f(n)=1n )21(-.9分(3))211(4S 211)211(2S 1n n 1n n ++-=⇒--=，∴)211(4lim S lim 1n n n n +∞→∞→-==412分22.解：(1)∵f(x+2)=-)x (f )1x (f 1=+,∴f(x)是周期为2的周期函数.∴413)41(f )41500(f )42001(f ==+=.5分(2)∵Z k ,1k 2＜x＜21k 2∈++,∴,0＜1k 2＜x 21,1k ＜2＜x 21----0＜2k+1-x ＜21.∴f(2k+1-x)=32k+1-x.又f(2k+1-x)=f(1-x)=-f(x-1)=-f(x+1)=.)x (f 1 ∴f(x)=.3)x 1k 2(f 11k 2x --=-+10分(3)log 3f(x)＞x 2-kx-2k,∴x-2k-1＞x 2-kx-2k,x 2-(k+1)x+1＜0.(*)∴△=k 2+2k-3.①若k ＞1且k ∈Z 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+++-+-+.1k 2＜x＜21k 2,23k 2k 1k ＜x＜23k 2k 1k 22但是21k 2＜1k 21k 2k 1k ＜23k 2k 1k 22++=++++-+++. ∴x ∈Ф.②若k =1，则△=0，(*)式无解. ∴不存在满足条件的整数k. 14分。
上海市卢湾区2010年高考模拟考试
上海市卢湾区2010年高考模拟考试历史试卷（考试时间120分钟满分150分）2010.04考生注意：选择题做在答题卡上，非选择题做在答题纸上答题前应在答题纸上填写姓名。
选择题：（共60分，每小题2分。
每题只有一个正确选项。
）1. 公元前1000年至公元前600年左右，中国、印度、希腊三大文明在哲学思想上各有侧重，其内容大致可分为：甲、参悟生死问题；乙、探索人的理性；丙、规范社会秩序。
与上述内容相对应的国家应是A. 中国：甲；印度：乙；希腊：丙B. 中国：丙；印度：甲；希腊：乙C. 中国：丙；印度：乙；希腊：甲；D. 中国：乙；印度：丙；希腊：甲2. 英国、法国、西班牙及意大利是经济发达、独立自主的欧洲国家。
在历史上这些国家曾共同受到某一帝国的统治，这个帝国是A．罗马帝国 B. 拜占庭帝国C. 阿拉伯帝国D. 奥斯曼土耳其帝国3. 第十一届全运会开幕式于2009年的10月11日在山东举行，CCTV-5体坛快讯也特别开设了“走齐鲁看全运”的专题，全景展现了“齐鲁大地”的风采。
历史上“齐鲁大地”称呼渊源于A．商朝的内外服制度 B．西周的封邦建国制C．秦朝实行的郡县制 D．西汉初年的分封制4. 在某中学历史探究课上，学生从“如何遏制学生上课说废话现象”的角度表达他们的见解。
其中甲说:“这是品德问题,应该以德教化”乙说:“这是违纪行为，应该严格惩罚”丙说：“这是无意识的,要让学生自我觉悟”他们的见解在某种程度上反应了春秋战国时期儒家、道家、法家的思想内涵。
如果把它们对应起来，正确的是A. 甲——儒，乙——法，丙——道B. 甲——儒，乙——道，丙——墨C. 甲——道，乙——儒，丙——法D. 甲——道，乙——法，丙——儒5. 有学者认为：中国历史上某一时期“有极关重要者四事”：一为中国版图之确立，二为中国民族之抟成，三为中国政治制度之创建，四为中国学术思想之奠定。
这个时期应是A. 春秋战国B. 秦汉C. 隋唐D. 明清6．作家余秋雨在《十万进士》一书中认为:科举制度选拔的“十万进士”，“其中包括着一大批极为出色的、有着高度文化素养的政治家和行政管理专家。
2010年高考理科数学摸拟试题15带详解
2010年高考理科数学摸拟试题15本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.不等式|3x －12|≤9的整数解的个数是 A.7 B.6 C.5 D.42.已知：sin α－cos α=sin αcos α，则sin2α的值为A.2－1B.1－2C.2－22D.22－23.直线L 与平面α成45°角，若直线L 在α内的射影与α内的直线m 成45°角，则L 与m 所成的角是A.30°B.45°C.60°D.90°4.由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4=(x +1)4+b 1(x +1)3+b 2(x +1)2+b 3(x +1)1+b 4定义f (a 1，a 2，a 3，a 4)=(b 1，b 2，b 3，b 4)，则f (4，3，2，1)等于A.(1，2，3，4)B.(0，3，4，0)C.(－1，0，2，－2)D.(0，－3，4，－1)5.已知圆(x －3)2+(y +4)2=r 2上至多有两点到直线4x －3y －4=0的距离为1，则半径r 的取值范围是A.(0，4]B.(0，5)C.(0，5]D.［5，+∞)6.已知y =f (2x +1)是偶函数，则函数y =f (2x )的图象的对称轴是 A.x =1B.x =2C.x =－21 D.x =21 7.若数列{a n }的前8项的值互异，且a n +8=a n 对任意的n ∈N 都成立，则下列数列中可取遍{a n }的前8项值的数列为A.{a 2k +1}B.{a 3k +1}C.{a 4k +1}D.{a 6k +1} 8.在直角坐标系中，到点(1，1)和直线x +2y =3距离相等的点的轨迹是 A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线9.若地球半径为6370 km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面站，它们在北纬30°圈上的距离为336370πkm ，则这两地间的经度差是 A.6π B.3π C.65π D.32π10.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有六个焊接点A 、B 、C 、D 、E 、F ，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通.现在发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有A.63种B.64种C.6种D.36种11.设函数f (x )=sin6πx ，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2003)的值等于 A.21B.23 C.231+ D.012.设f (x )(x ∈R )为偶函数，且f (x －23)=f (x +21)恒成立，x ∈［2，3］时，f (x )=x ，则x ∈［－2，0］时，f (x )等于A.|x +4|B.|2－x |C.3－|x +1|D.2+|x +1| 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10，则f (2)等于___________.14.购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算．15. 袋中有3个5分硬币，3个2分硬币和4个1分硬币，从中任取3个，总数超过8分的概率是_________.16.已知92log 42⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-x x a 的展开式中x 3的系数为169，则实数a 的值为_________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)设e 1，e 2是两个垂直的单位向量，且a =－(2e 1+e 2)，b =e 1－λe 2. (1)若a ∥b ，求λ的值； (2)若a ⊥b ，求λ的值. 18.(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC =AB =BC =BD =2，AE =1，F 为CD 中点．(1)求证：EF ⊥面BCD ；(2)求多面体ABCDE 的体积；(3)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． 19.(本小题满分12分)已知递增等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2、a 4的等差中项. (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若b n =a n log 21a n ，S n =b 1+b 2+…+b n ，求S n +n ·2n +1＞30成立的n 的最小值.20.(本小题满分12分)因居民住房拆迁的需要，准备在某小区建造总面积为40000 m 2完全相同的住房若干栋.已知面积为M 的一栋房子，其造价是由地面部分造价和基础部分造价组成，地面部分的造价与M M 成正比，基础部分的造价与M 成正比.据统计，一栋面积为1600 m 2的住房造价是176.8万元，其中地面部分的费用是基础部分的36%，试确定:建造多少栋房子，可使总费用最少？并求出总费用.21.(本小题满分12分)已知动点P 与双曲线3222y x -=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos F 1PF 2的最小值为－91． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若已知D (0，3)，M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM =λDN ，求实数λ的取值范围． 22.(本小题满分14分)定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x 、y ∈(－1，1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1)． (1)求证：函数f (x )是奇函数；(2)如果当x ∈(－1，0)时，有f (x )＞0，求证：f (x )在(－1，1)上是单调递减函数； (3)在(2)的条件下解不等式：f (x +21)+f (x-11)＞0．参 考 答 案一、选择题(每小题5分，共60分) 1.解析：∵1≤x ≤7. 答案：A2.解析：两边平方. 答案：D3.解析：利用公式cos θ=cos45°cos45°=21. 答案：C4.解析：令x =－1，得b 4=－1，选D. 答案：D5.B6.解析：∵y =f (2x +1)=f (1－2x )，∴对称轴为x =21. 答案：D7.解析：∵2k +1，4k +1，6k +1均为奇数，∴选B. 答案：B8.解析：∵点(1，1)在直线x +2y =3上. 答案：A 9..D 10.A 11.解析：∵f (x )的周期为12，∴f (1)+f (2)+ f (3)+…+f (2004)=0，又∵f (2004)=0，f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2003)=0. 答案：D12.解析：根据y =f (x )以2为周期，画出函数图象可得出结论. 答案：C二、填空题(每小题4分，共16分) 13.18或11 14.神州行 15.12031 16.161 三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)17.解：(1)∵a ∥b ，∴a =m b ，即－2e 1－e 2=m e 1－m λe 2. ∴⎩⎨⎧-=-=-.1,2λm m 解得：m =－2，λ=－21.6分(2)∵a ⊥b ，∴a ·b =0，(－2e 1－e 2)·(e 1－λe 2)=0即－2(e 1)2+2λe 1·e 2－e 2·e 1+λ(e 2)2=0，－2+λ=0，∴λ=2. 12分18.(1)证明：取BC 中点G ，连FG ，AG ． ∵AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，∴BD ⊥面ABC ，又AG ⊂面ABC ，∴BD ⊥AG ，又AC =AB ，G 是BC 中点， ∴AG ⊥BC ，∴AG ⊥平面BCD ，∵F 是CD 的中点且BD =2， ∴FG ∥BD 且FG =21BD =1，∴FG ∥AE . 2分又AE =1，∴AE =FG ，故四边形AEFG 是平行四边形，从而EF ∥AG ， ∴EF ⊥面BCD ．4分(2)解：设AB 中点为H ，则由AC =AB =BC =2，可得CH ⊥AB 且CH =3，又∵BD ∥AE ，∴BD 与AE 共面，又AE ⊥面ABC ，故平面ABDE ⊥平面ABC ， ∴CH ⊥平面ABDE ，即CH 为四棱锥C －ABDE 的高． 故V C －ABDE =31S ABDE ·CH =31×21[(1+2)×2］×3=3． 8分(3)解：过C 作CK ⊥DE 于K ，连接KH ，由三垂线定理的逆定理得KH ⊥DE ， ∴∠HKC 为二面角C —DE —B 的平面角. 9分易知EC =5，DE =5，CD =22，由S △DCE =21×(22)×3=21×5×CK ， 可得CK =5230，在Rt △CHK 中， sin HKC =CKCH =410，故cos HKC =46. ∴面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值为46． 12分19.解：(1)设此等比数列为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++).2(2,282131131211q a q a q a q a q a q a 3分 ∴a 1=2，q =2，∴a n =2·2n -1=2n .6分(2)b n =a n log 21a n =2n log 212n =－n ·2n ，∴S n =－(n －1)·2n +1－2. 若S n +n ·2n +1＞30，即2n +1＞32，n ＞4，n 的最小值是5.12分20.解：设建造n 栋房子，可使总费用最少.则M =n40000. 设面积为M 的一栋房子的造价为y =k 1M M +k 2M ，∴⎩⎨⎧⨯=⨯+⨯⨯=%.3640401600,404016008.1762121k k k k4分∴k 2=413.则总造价W =ny =M40000·y =40000(M k M M 1+M M k 2)=40000(M k 1+Mk 2) ≥2×4000021k k ，8分当且仅当M =12k k 时取最小值，即n 40000=36160000. ∴n =9时，W 取最小值.又k 1k 2=(k 2)2×16000036，∴W min =2×40000×413×4006=3900.∴当建造9栋房子时，总费用最少为3900万元.12分21.解：(1)由题意c 2=5，设|PF 1|+|PF 2|=2a (a ＞5)，由余弦定理得cos F 1PF 2=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+=||||102212PF PF a ⋅-－1．又|PF 1|·|PF 2|≤(2||||21PF PF +)2=a 2，3分当且仅当|PF 1|=|PF 2|时，|PF 1|·|PF 2|取最大值，此时cos F 1PF 2取最小值22102a a -－1，令22102a a -－1=－91，解得a 2=9. ∵c =5，∴b 2=4，故所求P 的轨迹方程为4922y x +=1. 6分(2)设N (s ，t )，M (x ，y )，则由DM =λDN ，可得 (x ，y －3)=λ(s ，t －3)，故x =λs ，y =3+λ(t －3)，8分∵M 、N 在动点P 的轨迹上，故4922t s +=1且9) (2s λ+4)33(2λλ-+t =1. 消去s ，可得4)33(222t t λλλ--+=1－λ2，解得t =λλ6513-. 又|t |≤2，∴|λλ6513-|≤2，解得51≤λ≤5.故实数λ的取值范围是［51，5］. 12分 22.(1)证明：令x ＝y ＝0，则f (0)＋f (0)＝f (0)，故f (0)＝0.2分令y ＝－x ，则f (x )+f (－x )=f (21xxx --)=f (0)=0. ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．4分(2)证明：设x 1＜x 2∈(－1，1)，则 f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=f (21211x x x x --).∵x 1＜x 2∈(－1，1)，∴x 2－x 1＞0，－1＜x 1x 2＜1. 因此21211x x x x --＜0，∴f (21211x x x x --)＞0，即f (x 1)＞f (x 2).∴函数f (x )在(－1，1)上是减函数．9分(3)解：不等式f (x +21)+f (x -11)＞0，化为f (x +21)＞f (11-x ). ∵函数f (x )在(－1，1)上是减函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+<-<-<+<-.1121,1111,1211x x x x11分解得：－23＜x ＜－1. ∴原不等式的解集为{x |－23＜x ＜－1}．14分。
2010年高考数学(理)模拟试题及答案(三)
2009—2010学年度下学期高三理科数学综合测试（3）[原人教版]注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．若2log 1a ii ++是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．2C ． 1D ．22．已知函数y=f(x)的图像与函数132(1)x y x -=+≥的图像关于y=x 对称，则函数y=f(x)解析式为（ ）A ．3log (2)1(3)y x x =-+>B ．3log (2)1(1)y x x =++≥C ．3log (2)1(3)y x x =-+≥D ．3log (2)1(3)y x x =++≥3．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若462824,10a a a a =+=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．50B ． 45C ．40D ．354．已知,2,32)4tan(παππα<<-=+且则)4sin(cos 22sin 2πααα--等于 （ ）A ．13132 B ．10133-C ．13132-D ．10133 5．设γβα,,为两两不重合的平面。
n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列4个命题O ABC D A 1B 1C 1D 1· （1）若βαγββα//,,则⊥⊥（2）若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂ （3）若βαβα//,,//l l 则⊂ （4）若.//,//,,,n m l n m l 则γαγγββα=⋂=⋂=⋂ 其中真命题的是（ ）A ．（1）（3）B ． （2）（4）C ．（1）（2）D ． （3）（4）6．在Rt △ABC 中，∠A=2π，BC=4，若点G 是△ABC 的重心，则()GA GB GC ∙+ =（ ）A ．49-B ．49C ．169- D ．1697．据报道，2009年7月22日的“日全食”较为理想的观测地点有上海、重庆、苏州、杭州、合肥、武汉、宜昌、成都、乐山、嘉兴十个城市。
2010届高考模拟试题数学理科卷(01)
2010届高考模拟试题数学理科卷（01）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设全集U=R,集合M={x|x ≤1或x ≥3},集合P={}R ,1|∈+<<k k x k x ，且UM P ≠∅，则实数k 的取值范围是（ ） A. 0＜k ＜3 B. k ≤0 或k ≥3 C. k<3 D. k>0 2、设a ∈R ，且（a+i ）2i 为正实数，则a=（ ）A. 1B. 0C. -1D. 0或-13、“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)1,+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ） A. 68 B. 72 C. 54 D. 905、．定义在R 上的函数)(x f ，如果存在函数为常数）b k b kx x g ,()(+=，使得)(x f ≥)(x g 对一切实数x 都成立，则称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数．现有如下命题： ① 对给定的函数)(x f ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；② ()2g x x =为函数()2xf x =的一个承托函数；③定义域和值域都是R 的函数)(x f 不存在承托函数． 其中正确命题的序号是（ ）（A ） ① （B ） ② （C ） ①③（D ） ②③6、设22)1(,3005,y x x y x y x y x ++⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-则满足约束条件的最大值为( )A. 80B. C. 25 D.1727、某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案．记该同学至少答对9道题的概率为p ，则p 为（ ）A ．109414341⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ B ．1010109109414341C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C ．104130⎪⎭⎫⎝⎛⨯ D ．104131⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯8、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）二、填空题（本答题共6小题，每小题5分，共30分） （一）必做题（９～１２题）9、若框图所给的程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是_________.10、在四边形ABCD 中，AB =DC=（1，1），11BA BC BD BA BC BD+=，则四边形ABCD 的面积是____.11、已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
数学_2010年某校高考数学模拟试卷1(理科)(含答案)
2010年某校高考数学模拟试卷1（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 集合P ={−1, 0, 1}，Q ={y|y =cosx, x ∈R}，则P ∩Q = ( ) A P B Q C {−1, 1} D [0, 1]2. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70m/ℎ视为“超速”，同时汽车将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以得出将被处罚的汽车约有（ ） A 30辆 B 40辆 C 60辆 D 80辆3. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线方程为y =43x ，则双曲线的离心率为（ ） A 53B 43C 54D 324. 函数y =Asin(ωx +φ)( A >0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（ ） A y =2sin(2x +5π6) B y =2sin(2x −5π6) C y =2sin(2x +π6) D y =2sin(2x −π6)5. 已知幂函数y ＝f(x)的图象过(4, 2)点，则f(12)=( ) A √2 B 12 C 14 D √226. 若函数f(x)=x 2+ax(a ∈R)，则下列结论正确的是（ ）A ∃a ∈R ，f(x)是偶函数B ∃a ∈R ，f(x)是奇函数C ∀a ∈R ，f(x)在(0, +∞)上是增函数D ∀a ∈R ，f(x)在(0, +∞)上是减函数 7. 已知向量a →，b →，则“a → // b →”是“a →+b →=0→”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 8. 已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填的是（ ）A 2B 3C 4D 169. 已知数列{a n }中，a 1=b(b >0)，a n+1=−1a n+1(n ∈N ∗)，能使a n =b 的n 可以等于（ ）A 14B 15C 16D 1710. 若不等式组{x ≥0x +3y ≥43x +y ≤4 ，所表示的平面区域被直线y ＝kx +4分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ）A 73B 37C −173D −31711. 设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当x ≥1时，f(x)=lnx −x ，则有（ ）A f(13)<f(32)<f(23) B f(23)<f(32)<f(13) C f(23)<f(13)<f(32) D f(32)<f(23)<f(13)12. 如果对于函数f(x)定义域内任意的x ，都f(x)≥M （M 为常数），称M 为f(x)的下界，下界M 中的最大值叫做f(x)的下确界．下列函数中，有下确界的函数是( ) ①f(x)=sinx ②f(x)=lgx ③f(x)=e x④f(x)={1,x >00,x =0−1,x <0．A ①②B ①③C ②③④D ①③④二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．14. 高三(1)班共有56人，学号依次为1，2，3，...，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．15. 上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如图所示）．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120∘．据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________m．16. 一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是−x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n=________；若x=1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T4=________．三、解答题（共6小题，满分74分）17. 已知数列a n=2n−1，数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=1−b n（1）求{b n}的通项公式；（2）在{a n}中是否存在使得1是{b n}中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求a n+9写出所有的项）；若不存在，请说明理由．18. 已知复数z1=sin2x+λi，z2=m+(m−√3cos2x)i(λ,m,x∈R)，且z1=z2．（1）若λ=0且0<x<π，求x的值；（2）设λ=f(x)，求f(x)的最小正周期和单调减区间．19. 袋中装有号码分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，设号码为n的球的重量为n2−6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．（1）如果任意取出1球，求其重量大于号码数的概率；（2）如果不放回地任意取出2球，求它们重量相等的概率．20. 如图某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，BQ=BR，点S、D、A、Q共线及P、D、C、R共线．（1）沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合为点P，请画出其直观图；并求四棱锥P−ABCD的体积；（2）若M是AD的中点，N是PB的中点，求证：MN⊥面PBC．21. 已知函数f(x)=lnx−a；x（I ）当a >0时，判断f(x)在定义域上的单调性； （II ）求f(x)在[1, e]上的最小值．22. 设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12，右焦点到直线xa +yb =1的距离d =√217，O 为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明点O 到直线AB 的距离为定值，并求弦AB 长度的最小值．2010年某校高考数学模拟试卷1（理科）答案1. A2. B3. A4. C5. D6. A7. B8. B9. C10. 易知直线y ＝kx+4过点B （0，4），作出可行域，由图可知，当直线经过线段AC 的中点M 时，平分可行域△ABC 的面积，由解得点C （1，1），A （0，43）从而M （12，76），于是k ＝k BM =−173故应选C11. A 12. D 13. 12π 14. 20 15.1000√3316. 2n −1,10 17. 解：（1）当n =1时，∵ B 1=T 1=1−b 1， ∴ b 1=12．当n ≥2时，∵ T n =1−b n ，∴ T n−1=1−b n−1，两式相减得：b n =b n−1−b n ，即：b n =12b n−1， 故b n 为首项和公比均为12的等比数列，∴ b n =(12)n ． （2）设a n 中第m 项a m 满足题意，即1am+9=(12)n ， 即2m −1+9=2n ，∴ m =2n −4(n ≥3, n ∈N)∴ a4=7．18. 解：（1）∵ Z1=Z2∴ sin2x=m，λ=m−√3cos2x∴ λ=sin2x−√3cos2xλ=0，∴ sin2x−√3cos2x=0，∴ tan2x=√3∵ 0<x<π，∴ 2x=π3，即x=π6．（2）∵ λ=f(x)=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3 )∴ 函数的最小正周期是π由2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2(k∈Z)得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，(k∈Z)∴ f(x)的单调减区间[kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z)．(K∈Z)19. 解：（1）由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法．由不等式n2−6n+12>n，得n>4或n<3所以n=1，n=2，n=5或，=6，于是所求概率为46=23（2）从6个球中任意取出2个球，共有15种等可能的方法，列举如下：(1, 2)(1, 3)(1, 4)(1, 5)(1, 6)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6)(3, 4)(3, 5)(3, 6)(4, 5)(4, 6)(5, 6)设第n号与第m号的两个球的重量相等，则有n2−6n+12=m2−6m+12∴ (n−m)(n+m−6)=0∵ n≠m，∴ n+m=6∴ {n=1m=5，或{n=2m=4即满足条件的基本事件有(1, 5)，(2, 4)两种故所求概率为21520. 解：（1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥（注：评分注意实线、虚线；垂直关系；长度比例等）PD⊥AD，PD⊥CD，∴ PD⊥平面ABCD，则V P−ABCD=13×6×6×6=72（2）取PC中点E，连接DE，NE△PBC中，PN=NB，∴ NE // BC，且NE=12BC，在正方形ABCD中，MD // BC，且MD=12BC，∴ NE // MD，且NE=MD∴ 四边形MNED为平行四边形∴ MN // DE在RT△PDC中，PD=DC∴ DE⊥PC又∵ PD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD∴ PD⊥BC又∵ BC⊥DC∴ BC⊥面PDC又∵ DE⊂面PDC∴ BC⊥DE∴ DE⊥面PBC∵ MN // DE∴ MN⊥面PBC21. 解：(I)由题意：f(x)的定义域为(0, +∞)，且f′(x)=1x +ax2=x+ax2．∵ a>0，∴ f′(x)>0，故f(x)在(0, +∞)上是单调递增函数．（II）由（1）可知：f′(x)=x+ax2①若a≥−1，则x+a≥0，即f′(x)≥0在[1, e]上恒成立，此时f(x)在[1, e]上为增函数，f(x)min=f(1)=−a②若a≤−e，则x+a≤0，即f′(x)≤0在[1, e]上恒成立，此时f(x)在[1, e]上为减函数，f(x)min=f(e)=1−ae③若−e<a<−1，令f′(x)=0得x=−a，当1<x<−a时，f′(x)<0，∴ f(x)在(1, −a)上为减函数，当−a<x<e时，f′(x)>0，∴ f(x)在(−a, e)上为增函数，f(x)min=f(−a)=ln(−a)+1综上可知：当a≥−1时，f(x)min=−a；当a≤−e时，f(x)min=1−ae；当−e<a<−1时，f(x)min=ln(−a)+122. （I）由e=12ca=12a=2c，∴ b=√3c．由右焦点到直线xa +yb=1的距离为d=√217，得：√a2+b2=√217，解得a=2,b=√3．所以椭圆C的方程为x 24+y23=1．(II)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线AB的方程为y＝kx+m，与椭圆x 24+y23=1联立消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)−12＝0，x1+x2=−8km3+4k2,x1x2=4m2−123+4k2．∵ OA⊥OB，∴ x1x2+y1y2＝0，∴ x1x2+(kx1+m)(kx2+m)＝0．即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2＝0，∴ (k2+1)4m2−123+4k2−8k2m23+4k2+m=0，整理得7m2＝12(k2+1)所以O到直线AB的距离d=√k2+1=√127=2√217．为定值∵ OA⊥OB，∴ OA2+OB2＝AB2≥2OA⋅OB，当且仅当OA＝OB时取“＝”号．由d⋅AB=OA⋅OBd⋅AB=OA⋅OB≤AB 22，∴ AB≥2d=4√217，即弦AB的长度的最小值是4√217．。
2010nianweifangmijian高三数学试题(理科)
2010年高考仿真模拟高三数学试题(理科) 2010.5本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.（特别强调：为方便本次阅卷，每位考生在认真填涂 “数学”答题卡的前提下，再将Ⅰ卷选择题答案重涂在另一答题卡上.）如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合P ={1，2，3，4}，集合Q ={3，4，5} ，全集U =R ，则集合P u Q ð= A. {1，2} B. {3，4} C. {1} D. {-2，-1，0，1，2} 2．已知x ,y ∈R ，i 为虚数单位，且(1)2x i y i --=+，则(1)x yi -+的值为A.4-B. 4C. 1-D. 13. 已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.84P ξ≤=，则(0)P ξ≤=A. 0．16B. 0．32C. 0．68D. 0．84 4. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ②④5. 已知1()x f x a =，2()a f x x =，3()log a f x x =，（0a >且1a ≠），在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是A B C D 6. 一等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值为A.518 B. 34 C. 2D. 787． 8222x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的4x 系数是A. 56B. 70C. 448D. 1120 8. 如图所示是以建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆0.2k g ，则共需油漆大约公斤数为（尺寸如图所示，单位：米 π取3）A. 20B. 22.2 C . 111 D. 1109. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为A.B. C. 2D.10. 已知a .b ∈R ，那么 “122<+b a ” 是“ ab +1＞a +b ”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 11. 在圆x y x 522=+内，过点（25，23）有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为n a ，若公差为d ∈[61，31]，那么n 的取值集合为A. {4,5,6,7}B. {4,5,6}C. {3,4,5,6}D. { 3.4.5,6,7}12. 设x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z =ax +by (a .>0,b >0)，最大值为12，则b a 32+的最小值为 A.724 B. 625 C. 5 D. 4第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)注意事项:1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题.2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13. 已知(),103202=+⎰dx t x则常数t=_________.14. 如图是为计算10个数的平均数而设计的算法框图， 请你把图中缺失的部分补充完整________.15.已知,1=,0,O B OA OB ==点C 在AOB ∠内，045=∠AOC ，设,(,)O C m O A n O B m n =+∈R 则mn=_______. 16. 已知f (x )为R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x +6)=f (x )+f (3)且当x 1,x 2∈[0,3],x 1≠x 2时，有2121)()(x x x f x f -->0成立，给出四个命题：① f (3)=0; ② 直线x =-6是函数y =f (x )的图像的一条对称轴; ③ 函数y =f (x )在[-9,-6]上为增函数; ④ 函数y =f (x )在[-9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为______________.三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位，得)(x g y =的图象，求xx g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.18．(本小题满分12分)如图所示，在棱锥P -ABCD 中， ⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB //CD ， 90=∠BAD ，P A =AD =DC =2，AB=4.（Ⅰ）求证：PC BC ⊥;（Ⅱ）求PB 与平面P AC 所成角的正弦值.19．(本小题满分12分)某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T （单位：年）有关，若T ≤1，则销售利润为0元；若1<T ≤3，则销售利润为100元，若T>3,则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间T ≤1，1<T ≤3，T>3这三种情况发生的概率分别为123,,P P P ，又知12,P P 为方程25x 2-15x +a =0的两根,且23P P =.(Ⅰ)求123,,P P P 的值;（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列及数学期望.20．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为1,n n n S a S +=且—n +3，n 1,2a ∈=+N . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项; （Ⅱ）设()2n n nb n S n =∈-++N 的前n 项和为n T ，证明:n T ＜34.21．(本小题满分12分)若椭圆1E : 2222111x y a b +=和椭圆2E : 2222221x y a b +=满足2211(0)a b m m a b ==>,则称这两个椭圆相似，m 是相似比.(Ⅰ)求过(且与椭圆22142x y +=相似的椭圆的方程； (Ⅱ)设过原点的一条射线l 分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A 、Ｂ两点（点Ａ在线段OB 上）.①若P 是线段AB 上的一点，若|OA |，｜ＯP ｜，｜ＯB ｜成等比数列，求Ｐ点的轨迹方程;②求||||OA OB的最大值和最小值.22．(本小题满分14分)设函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++. （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值； （Ⅱ）当0a ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当2a =时，对任意的正整数n ，在区间11[,6]2n n++上总有4m +个数使得1231234()()()()()()()()m m m m m f a f a f a f a f a f a f a f a +++++++<+++成立，试问：正整数m 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.。
2010年上海市卢湾区高考模拟考试(数学理含答案)
上海市卢湾区2010年高考模拟考试数学试卷（理科）2010.4说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置．．．．．．．．．．．．，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．． 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中．每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分． 1．设集合，，若，则实数的取值范围是 ． 2．函数（）的值域为 ． 3．若，则的值等于 ． 4．若函数，则方程的解 ． 5．函数的最小正周期 ．6．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为 （结果保留）． 7．若平面内不共线的四点满足，则_______．8．在极坐标系中，圆的圆心与点的距离为 ．9．有一种彩票，每注售价2元，中奖的概率为．如果每注奖的奖金为元，那么购买一注彩票的期望收益为 元．10．如图，由编号1，2，…，，…（且）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为，则所有圆柱的体积V 为 （结果保留）． 11．某公司为改善职工的出行条件，随机抽取名职工，调查他们的居住地与公司的距离(单位:千米)．若样本数据分组为，，，，，，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过千米的人数为 人．12．已知二次函数的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有．若向量，，则满足不等式的的取值范围为 ．13．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数，联结原点与点，若用表示线段上除端点外的整点个数，则______． 14．若不等式对于一切正数、恒成立，则实数的最小值为 ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中． 每题选对得4分，不选、选错或选出的频率/第11题第10题代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分． 15．式子等于（ ）．A ．B ．C ．D ．16．关于、的二元一次方程组1,323,mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式是该方程组有解的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件17．若函数（）为奇函数，且存在反函数（与不同），，则下列关于函数的奇偶性的说法中正确的是（ ）．A ．是奇函数非偶函数B ．是偶函数非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数 18．已知曲线：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误的是（ ）． A ．垂直于轴的直线与曲线只有一个交点 B ．直线（）与曲线最多有三个交点 C ．曲线关于直线对称D ．若，为曲线上任意两点，则有三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤． 19．（本题满分14分）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根，，且（为虚数单位），，求实数的值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求棱的长；1C（2）求点到平面的距离．21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．如图，反比例函数（）的图像过点和，点为该函数图像上一动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、．记四边形（为坐标原点）与三角形的公共部分面积为S．（1）求S关于的表达式；（2）求S的最大值及此时的值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆：（），其焦距为，若（），则称椭圆为“黄金椭圆”．（1）求证：在黄金椭圆：（）中，、、c成等比数列．（2）黄金椭圆：（）的右焦点为，为椭圆上的任意一点．是否存在过点、的直线l，使l与轴的交点满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆：（）的左、右焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过焦点、．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．（1）若，，成等比数列，求其公比．（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由．卢湾区2010年高考模拟考试数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、填空题（本大题满分56分）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．2 8． 9． 10．128π711． 12． 13． 14．2 二、选择题（本大题满分16分） 15．B 16．D 17．A 18．C 三、解答题（本大题满分78分） 19．（本题满分14分） 解：由题设，得，，（6分） 方程的两虚根为，， 于是，（10分） 由，得或．（14分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）设，由题设， 得，即，解得． 故的长为3．（6分）（2）以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 由已知及（1），可知，，，， 设平面的法向量为，有，，其中，，则有110,0,n A B n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即解得，，取，得平面的一个法向量，且．（12分）在平面上取点，可得向量，于是点到平面的距离1||62211||n DC d n ⋅==．（14分） 21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 解：（1）由题设，得（），（2分） 当时，，当时，，当时，， 故（8分）（2）易知当时，为单调递增函数，，（10分）当时，为单调递减函数，，（12分）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，（证明略），得，故S的最大值为3，此时．（16分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）证明：由及，得，故、、c成等比数列．（4分）（2）解：由题设，显然直线l垂直于轴时不合题意，设直线l的方程为，得，又，及，得点的坐标为3(,)22c kc，（6分）因为点在椭圆上，所以，又，得，，故存在满足题意的直线l，其斜率．（10分）（3）黄金双曲线的定义：已知双曲线：，其焦距为，若（或写成），则称双曲线为“黄金双曲线”．（12分）在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过顶点、．（14分）证明：直线的方程为，原点到该直线的距离为，将代入，得，又将代入，化简得，故直线与圆相切，同理可证直线、、均与圆相切，即以、为直径的圆为菱形的内切圆，命题得证．（16分）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）由题设，得，即，得，又，于是，故其公比．（4分）（2）设等比数列为，其公比，，（6分）由题设．假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，即，得，（8分）当时，，与假设矛盾，故该数列不为的无穷等比子数列．（10分）（3）①设的无穷等比子数列为，其公比（），得，由题设，在等差数列中，，，因为数列为的无穷等比子数列，所以对任意自然数，都存在，使，即，得1231(1)1(1)(1)11rr rtn m t t t mt----=-+=+++-+ -，由于上式对任意大于等于3的正整数都成立，且，均为正整数，可知必为正整数，又，故是大于1的正整数．（14分）②再证明：若是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项．在等比数列中，，在等差数列中，，，若为数列中的第k项，则由，得，整理得1231(1)1(1)(1)11rr rtk m t t t mt----=-+=+++-+ -，由，均为正整数，得k也为正整数，故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证．综上，当且仅当是大于1的正整数时，数列存在无穷等比子数列．（18分）温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。
2010年数学(理科)高考模拟试卷 第I卷
2010年数学(理科)高考模拟试卷第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设B A ,是非空集合，定义B A ⨯={B A x x Y ∈且B A x I ∉}，己知{}20≤≤=x x A{}0≥=y y B ，则B A ⨯等于 （ ）A ．(2，+∞)B ．[0，1]∪[2，+∞)C ．[0，1)∪(2，+∞)D ．[0,1]∪(2，+∞)2． 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 （ ）A ．25B ．30C ．15D ．20 3．181()3x x-的展开式中常数项是第 （ ） A ．5项 B ．6项 C ．7项 D ．8项 4．如果复数212bii -+（其中i 为虚数单位，b R ∈）的实部和虚部互为相反数，则b 等于( ) A ．23- B ．23C ．2D ．25．已知三个平面,,αβγ，若βγ⊥，且αγ与相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内的直线，则（ ）A ．,a a αγ∃⊂⊥B ．,//a a αγ∃⊂C ．,b b βγ∀⊂⊥D ．,//b b βγ∀⊂6．右图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720S =， 则在判断框中应填入关于k 的判断条件是 （ ）A ．6?k ≥B ．7?k ≥C ．8?k ≥D ．9?k ≥7．12名同学合影，站成前排4人，后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整至前排，若其他的人相对顺序不变，则不同的调整方法总数是 （ ）A ．2686A A B ．2283C A C ．2285C A D ．2286C A8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若12AB BC =u u u r u u u r,则双曲线的离心率是 ( )A.2B.3C.5D.10第6题9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令12nn S S S T n+++=L ，称T n 为数列a 1,a 2,…,a n 的“理想数”.已知a 1,a 2,…,a 500的“理想数”为1002，那么数列3,a 1,a 2,….a 500的“理想数”为( )A ．1005B ．1003C ．1002D ．99910．设定义域为R 的函数1,(1)1()1(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩， ，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有且仅有三个不同的实数解123x x x 、、，则222123x x x ++= （ ）A ．2222b b +B ．2232c c+ C ．5 D ．13第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 ▲12. 某几何体的三视图(单位:cm)如下图,则这个几何体的体积为_______cm 3 .13．观察等式1555159739991591311513131313159131715717171717176,22,22,22,C C C C C C C C C C C C C C +=+++++++=-++++=+……由以等式推测到一个一般的结论：对于*1594141414141,n n n n n n N C C C C +++++∈++++=L _______________.23 3 1 1 22正视图 侧视图俯视图第12题第11题 1114.已知△AOB,点P 在直线AB 上,且满足2,OP tOB tPA t R =+∈u u u r u u u r u u u r,则PA PBu u u r u u u r =_________15．若不等式组0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是 ．16. 如果一条直线和一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的概率为______. 17.设函数)(),(x g x f 的定义域分别为g f D D ,,且gfDD ⊂≠,若)()(,x f x g D x f =∈∀,则函数)(x g 为)(x f 在g D 上的一个延拓函数.已知()2(0)xf x x =<,上在是R x f xg )()(的一个延拓函数,且)(x g 是奇函数,则)(x g =________________三、解答题（本大题共5小题，共72分。
2010高考理数模拟题答案
参考答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．B 7．C 8．B 9．D 10．C 11．A 12．A 二、填空题：13．240 14．10042 15．12ln 2+ 16．)(a f <)0(f e a 三、解答题：17．（本小题满分12分） 解：（I ）∵ 2222cos ,b a cB ac--=-cos()2cos ,sin cos sin 2A C B A AA+=-，又∵ 222cos()sin cos b a cA C ac A A--+=，∴ 2cos 2cos ,sin 2B B A--=而A B C∆为斜三角形，∵cosB≠，∴sin2A =1.∵(0,)A π∈，∴2,24A A ππ==. …………… 6分（II ）∵34πB C +=，∴333sin sin cos cossin sin 444cos cos cos 22πππC C CB C CCC⎛⎫-- ⎪⎝⎭===> 即tan 1C>，∵304C π<<，∴42ππC <<.…………… 12分18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为11A A A C =，且O 为AC 的中点，所以1A O AC ⊥又由题意可知，平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为A C ， 且1A O ⊂平面11A A C C ，所以1A O ⊥平面ABC . ………………4分（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,O B O C O A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，112,A A A C AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2O B A C ∴==所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,(0,1,0),(0,O A A C C - 则有：A 111(0,1,(1,1,0).A C AA AB ===设平面1A A B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有10000AA y x y AB ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1,3x z =-=-所以(1,1,3=--n .111cos ,7|||A C A C A C ⋅<>==n n |n .因为直线1A C 与平面1A A B 所成角θ和向量n 与1A C所成锐角互余，所以sin 7θ=. ………8分（Ⅲ）设0001(,,),,E x y z BE BC λ==即000(1,,)(1,x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=-令//O E 平面1A AB ，得=0O E ⋅n ， 即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ，E 为1B C 的中点.………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A，则1221304545453937()42C CC C C C P A C++==………3分（Ⅱ）记“这3个数之和为18”为事件B ,考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，所以3971()12P B C ==………………7分（Ⅲ）随机变量的取值为0,1,2,ξ的分布列为∴ξ的数学期望为5112012122123E ξ=⨯+⨯+⨯=………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)x y a b ab+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为1(1,0)F -，2(1,0)F .532422a ∴==+=.2,a ∴=又1c = 2413b =-=，故椭圆的方程为22143xy+=.（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意. .……………5分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 2222(34)84120k x k x k +++-=， .……………6分 显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,,3434kk x x x x kk-+=-⋅=++.……………7分又||A B ==即2212(1)||3434k A B kk+==++， .……………8分又圆2F的半径|10|2||k k k r ⨯-+==.……………9分所以22221112(1)12||||,2234347A F Bk kS A B rk k∆+==⨯⋅==++化简，得4217180k k+-=，即22(1)(1718)0k k-+=，解得1k=±所以，r== (11)分故圆2F的方程为：22(1)2x y-+=. (12)分（Ⅱ）另解：设直线l的方程为1x ty=-，由221143x tyx y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得22(43)690t y ty+--=，0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x yB x y，则12122269,,4343ty y y yt t+=⋅=-++……………7分所以12||y y-==243t=+又圆2F的半径为r==，.……………10分所以212121221||||||2437A F BS F F y y y yt∆=⋅⋅-=-==+，解得21t=，所以r==故圆2F的方程为：22(1)2x y-+=. .……………12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）()ln2ln2(1)lnx xf x a a x a x a a'=+-=+- (1)分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ……………………………………………………………3分（Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增， 故()0f x '=有唯一解0x =……………………………………………………………………4分 所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：|()|1y f x t =--()1f x t =± 而11t t +>-，所以mi n1(())(0)1t fx f -===，解得2t = ……………………………7分（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…………8分由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-， 而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=+--++=--，记1()2ln (0)g t t t t t=-->，因为22121()1(1)0g t tt t'=+-=-≥（当1t =时取等号），所以1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =， 所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <， 也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-………………………10分①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥， ②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a ae--≥-⇒+≥-⇒<≤，综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦……………………12分22．(本小题满分10分)证明：∵AE =AC ，∠CDE ＝∠AOC ，………………………3分又∠CDE ＝∠P +∠PDF ，∠AOC ＝∠P +∠OCP ，从而∠PDF ＝∠OCP ．………………………………8分 在△PDF 与△POC 中，∠P ＝∠P ，∠PDF ＝∠OCP ，故△PDF ∽△POC ．…………………………………10分23．(本小题满分10分)解：曲线1C 的直角坐标方程4x y -=，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线24y x =，…4分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去x ，得212416016y y y y --=⇒=-，421=+y y ． (6)分016)(42)4)(4(212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x ． (8)分∴0O A O B ⋅=，∴OB OA ⊥． (10)分24．(本小题满分10分)解：由()a b a b a f x ≥++-，且0a ≠，得||||()||a b a b f x a ++-≥ (3)分又因为||||||2||||a b a b a ba baa++-++-=≥，则有2()f x ≥……………………………………6分解不等式122x x -+-≤，得1522x ≤≤……………………………………………………… 10分。
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卢湾区2010年高考模拟考试数学试卷（理科） 2010.4．说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在．．．．答题纸的相应位置．．．．．．．．，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．． 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中．每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分．1．设集合{|12}A x x =≤≤，{|}B x x a =≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 2．函数arcsin y x =（01x ≤≤）的值域为 ．3．若tan 34απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值等于 ．4．若函数2()log f x x =，则方程112()2x f x --=的解x = ．5．函数sin cos 3y x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期T = ．6．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为 （结果保留π）．7．若平面内不共线的四点,,,O A B C 满足1233OB OA OC =+ ，则||||AB BC =_______． 8．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心与点()1,D π的距离为 ．9．有一种彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%．如果每注奖的奖金为50元，那么购买一注彩票的期望收益为 元．10．如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为（结果保留π）．11．某公司为改善职工的出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司的距离d (单位:千米)．若样本数据分组为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的人数为 人． 12．已知二次函数()y f x =的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有(1)(1)f x f x -=+．若向量1)a =- ，2)b =-，则满足不等式()(1)f a b f ⋅>-的m 的取值范围为 ．13．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n ，联结原点O 与第11题点(,3)n A n n +，若用()f n 表示线段n OA 上除端点外的整点个数，则(1)(2)(2010)f f f +++= ______．14．若不等式222()x a x y ++≤对于一切正数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为 ． 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中． 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分．15．式子 1 2 3248(2)n nn n n nC C C C -+-++- 等于（ ）． A ．(1)n - B ．(1)1n -- C ．3nD ．31n -16．关于x 、y 的二元一次方程组1,323,mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件17．若函数()f x （x ∈R ）为奇函数，且存在反函数1()f x -（与()f x 不同），11()()()()22()22f x f x f x f x F x ---=+，则下列关于函数()F x 的奇偶性的说法中正确的是（ ）．A ．()F x 是奇函数非偶函数B ．()F x 是偶函数非奇函数C ．()F x 既是奇函数又是偶函数D ．()F x 既非奇函数又非偶函数 18．已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误的是（ ）． A ．垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点B ．直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 C ．曲线C 关于直线y x =-对称D ．若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤． 19．（本题满分14分）已知关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=有两个虚根1x ，2x ，且(13i )i ia a c -=-（i 为虚数单位），12||1x x -=，求实数b 的值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10． （1）求棱1A A 的长；（2）求点D 到平面11A BC 的距离．21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．如图，反比例函数()y f x =（0x >）的图像过点(1,4)A 和(4,1)B ，点(,)P x y 为该函数图像上一动点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为C 、D ．记四边形OCPD （O 为坐标原点）与三角形OAB 的公共部分面积为S ．（1）求S 关于x 的表达式； （2）求S 的最大值及此时x 的值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），其焦距为2c ，若c a =（0.618≈），则称椭圆C 为“黄金椭圆”．（1）求证：在黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，a 、b 、c 成等比数列．（2）黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为2(,0)F c ，P 为椭圆C 上的任意一点．是否存在过点2F 、P 的直线l ，使l 与y 轴的交点R 满足23RP PF =-？若存在，求直线l的斜率k ；若不存在，请说明理由．（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，以(,0)A a -、(,0)B a 、(0,)D b -、(0,)E b 为顶点的菱形ADBE 的内切圆过焦点1F 、2F ．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．ABCD1A 1C 1D23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．从数列{}n a 中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{}n a 的一个子数列．设数列{}n a 是一个首项为1a 、公差为d (0)d ≠的无穷等差数列．（1）若1a ，2a ，5a 成等比数列，求其公比q ．（2）若17a d =，从数列{}n a 中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若11a =，从数列{}n a 中取出第1项、第m (2)m ≥项（设m a t =）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 为何值时，该数列为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．卢湾区2010年高考模拟考试数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、填空题（本大题满分56分）1．[2,)+∞ 2．[0,]2π 3．12 4．135．π 6． 7．2 89． 1.5- 10．128π711．24 12．01m <≤ 13．1340 14．2二、选择题（本大题满分16分） 15．B 16．D 17．A 18．C 三、解答题（本大题满分78分） 19．（本题满分14分）解：由题设，得1a =，3c =，（6分）方程230x bx ++=的两虚根为1x =，1x =于是12||x x -==（10分）1=，得bb =（14分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）设1A A h =，由题设111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=，得1111103ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，即1122221032h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得3h =． 故1A A 的长为3．（6分）（2）以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．由已知及（1），可知(0,0,0)D ，1(2,0,3)A ，(2,2,0)B ，1(0,2,3)C ，设平面11A BC 的法向量为(,,)n u v w = ，有1n A B ⊥ ，1n C B ⊥，其中1(0,2,3)A B =- ，1(2,0,3)C B =- ，则有110,0,n A B n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230,230.v w u w -=⎧⎨-=⎩解得32v w =，32u w =，取2w =，得平面的一个法向量(3,3,2)n =，且||n（12分）在平面11A BC 上取点1C ，可得向量1(0,2,3)DC =，于是点D 到平面11A BC 的距离1||||n DC d n ⋅=．（14分） 21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．解：（1）由题设，得4()f x x=（0x >），（2分） 当1x ≤时，2158S x =，当14x <<时，22248x S x =--，当4x ≥时，230S x=， 故222215,1,824,14,830,4.x x x S x x x x ⎧⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥（8分）（2）易知当1x ≤时，2158S x =为单调递增函数，158S ≤，（10分） 当4x ≥时，230S x=为单调递减函数，158S ≤，（12分）当14x <<时，22248x S x =--在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,4)上单调递减，（证明略），得1538S <≤，故S 的最大值为3，此时2x =．（16分） 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． （1）证明：由c a =及222b a c =-，得222222)b a c a =-=-= ac =，故a 、b 、c 成等比数列．（4分） （2）解：由题设，显然直线l 垂直于x 轴时不合题意，设直线l 的方程为()y k x c =-，得(0,)R kc -，又2(,0)F c ，及23RP PF =-，得P 的坐标为3(,)22c kc，（6分） 因为点P 在椭圆上，所以22223221c kc a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又2b ac =，得229144c k c a a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，20k =>，故存在满足题意的直线l，其斜率k =（10分）（3）黄金双曲线的定义：已知双曲线C：22221x ya b-=，其焦距为2c，若ca=（或写成ac=0.618≈），则称双曲线C为“黄金双曲线”．（12分）在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线C：22221x ya b-=的左、右焦点分别是1(,0)F c-、2(,0)F c，以1(,0)F c-、2(,0)F c、(0,)D b-、(0,)E b为顶点的菱形12F DF E的内切圆过顶点(,0)A a-、(,0)B a．（14分）证明：直线2EF的方程为0bx cy bc+-=，原点到该直线的距离为d=将2b ac=代入，得d=c代入，化简得d a=，故直线2EF与圆222x y a+=相切，同理可证直线1EF、1DF、2DF均与圆222x y a+=相切，即以(,0)A a-、(,0)B a为直径的圆222x y a+=为菱形12F DF E的内切圆，命题得证．（16分）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）由题设，得2215a a a=，即2111()(4)a d a a d+=+，得212d a d=，又0d≠，于是12d a=，故其公比213aqa==．（4分）（2）设等比数列为{}mb，其公比6232aqa==，11238()2m mmb a q d--==⋅，（6分）由题设1(1)(6)na a n d n d=+-=+．假设数列{}mb为{}na的无穷等比子数列，则对任意自然数m(3)m≥，都存在*n∈N，使n ma b=，即13(6)8()2mn d d-+=⋅，得138()62mn-=-，（8分）当5m=时，51*3698()6N22n-=-=∉，与假设矛盾，故该数列不为{}na的无穷等比子数列．（10分）（3）①设{}na的无穷等比子数列为{}rb，其公比211ma bta b==（1t≠），得1rrb t-=，由题设，在等差数列{}na中，1111ma a tdm m--==--，11(1)1nta nm-=+--，因为数列{}rb为{}na的无穷等比子数列，所以对任意自然数r(3)r≥，都存在*n∈N，使n ra b=，即111(1)1r t n t m --+-=-，得1231(1)1(1)(1)11r r r t n m t t t m t ----=-+=+++-+- ， 由于上式对任意大于等于3的正整数r 都成立，且n ，1m -均为正整数， 可知231r r t t t --+++ 必为正整数，又0d ≠，故t 是大于1的正整数．（14分） ②再证明：若t 是大于1的正整数，则数列{}n a 存在无穷等比子数列． 即证明无穷等比数列{}r b 中的每一项均为数列{}n a 中的项． 在等比数列{}r b 中，1r r b t -=， 在等差数列{}n a 中，1111m a a t d m m --==--，11(1)1n t a n m -=+--， 若r b 为数列{}n a 中的第k 项，则由r k b a =，得111(1)1r t t k m --=+--， 整理得1231(1)1(1)(1)11r r r t k m t t t m t ----=-+=+++-+- ， 由t ，1m -均为正整数，得k 也为正整数，故无穷等比数列{}r b 中的每一项均为数列{}n a 中的项，得证．综上，当且仅当t 是大于1的正整数时，数列{}n a 存在无穷等比子数列．（18分）。