高中数学人教A版选修2-1第一章 常用逻辑用语 单元测试 (2)5

第一章常用逻辑用语单元测试
(时间：90分钟满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()
A．不存在x0∈R,2x0＞0 B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x＞0
解析：因为命题“存在x0∈R,2x0≤0”是特称命题，所以它的否定是全称命题．答案：D
2．(2013·安徽卷)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若(2x－1)x＝0，则x＝1
2或x＝0，即不一定推出x＝0；若x＝0，则一定能推
出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
答案：B
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除
解析：一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题为已知命题的逆否命题．
答案：B
4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4是|a|＝5”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：由x＝4知|a|＝42＋32＝5；反之，由|a|＝x2＋32＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()
A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q
解析：命题p为假，因为当x＜0时，2x＞3x.命题q为真，因为f(x)＝x3＋x2－1在(0，＋∞)内单调递增，且f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以在(0,1)内函数f(x)必存在零点．所以綈p∧q为真命题，故选B.
答案：B
6．在三角形ABC中，∠A＞∠B，给出下列命题：
①sin∠A＞sin∠B；②cos2∠A＜cos2∠B；③tan ∠A
2＞tan
∠B
2.
其中正确的命题个数是()
A．0个B．1个C．2个D．3个
解析：当∠A、∠B均为锐角时，由函数的单调性及不等式的性质知都成立；当∠
B为锐角，∠A为钝角或直角时，又有∠A、∠B为三角形的内角，所以π
2≤∠A＜π，0
＜∠B＜π
2，∠A＋∠B＜π，即
π
4≤
∠A
2＜
π
2，0＜
∠B
2＜
π
4，∠B＜π－∠A＜
π
2，即tan
∠A
2＞
tan ∠B
2，sin∠B＜sin(π－∠A)＝sin∠A，cos∠B＞cos(π－∠A)＝－cos∠A≥0，所以cos
2
∠A＜cos2∠B.
答案：D
7．下面说法正确的是()
A．命题“∃x0∈R，使得x20＋x0＋1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2＋x＋1≥0”
B．实数x＞y是x2＞y2成立的充要条件
C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“綈p∧綈q”也为假命题
D．命题“若α＝0，则cosα＝1”的逆否命题为真命题
解析：对A选项，命题的否定是：“∀x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，故不正确，对于B选项，由x＞yA/⇒x2＞y2，且x2＞y2A/⇒x＞y，故不正确．对于C选项，若“p∨q”为假命题，
则“綈p∧綈q”为真命题，故不正确．
对于D选项，若α＝0，则cosα＝1是真命题，故其逆否命题也为真命题，故正确．
答案：D
8．已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( )
A ．命题“p ∧q ”是真命题
B ．命题“p ∧綈q ”是假命题
C ．命题“綈p ∨q ”是真命题
D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题
解析：∵p 真，q 假．故p ∧q 为假，p ∧綈q 为真．綈p ∨q 为假，綈p ∧綈q 为假，选D.
答案：D
9．下列结论错误的是( )
A ．命题“若log 2(x 2－2x －1)＝1，则x ＝－1”的逆否命题是“若x ≠－1，则log 2(x 2－2x －1)≠1”
B ．设α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，则“α＜β”是“tan α＜tan β”的充要条件 C ．若“(綈p )∧q ”是假命题，则“p ∨q ”为假命题
D ．“∃α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≥1”为真命题
解析：根据逆否命题定义知A 选项正确．由正切函数单调性，可判断B 选项正确．D 选项作为特称命题正确，对于C 选项，“綈p ∧q ”为假，则綈p ，q 中至少一个为假，故p ∨q 真假不定，故选C.
答案：C
10．给出下列三个命题：
①若a ≥b ＞－1，则a 1＋a ≥b 1＋b
；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则mn －m 2≤n 2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．
其中假命题的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：①a 1＋a ≥b 1＋b ⇒1－11＋a ≥1－11＋b ⇒11＋a ≤11＋b
，又a ≥b ＞－1⇔a ＋1≥b ＋1＞0知本命题为真命题．
②用基本不等式：2xy ≤x 2＋y 2(x ＞0，y ＞0)，取x ＝m ，y ＝n －m ，知本命题为真命题．
③圆O 1上存在两个点A 、B 满足弦AB ＝1，所以P 、O 2可能都在圆O 1上，当O 2在圆O 1上时，圆O 1与圆O 2相交．故本命题为假命题．
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．给出命题：“若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________．
解析：∵命题：“若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”是假命题，如函数y ＝x ＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1个．
答案：1个
12．命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 解析：∵命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，∴不等式ax 2－2ax －3≤0对
于任意的实数x 恒成立，(1)当a ＝0时，符合条件；(2)当⎩⎨⎧ a ＜0，Δ≤0，
即－3≤a ＜0. 由(1)、(2)得实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－3}．
答案：－3≤a ≤0
13．若不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，则实数a 的取值范围是__________．
解析：∵|x －1|＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a ，
又∵不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，
∴⎩⎨⎧ 1－a ≤0，1＋a ≥4，即⎩⎨⎧
a ≥1，a ≥3，
∴a ≥3. 答案：[3，＋∞)
14．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p ∧q ”为真命题，则实数a 的取值范围是__________．
解析：∵“p ∧q ”为真命题，∴p ，q 均为真命题．
由p 为真命题得a ≤1.由q 为真命题得a ≤－2或a ≥1.
∴当p ，q 同时为真时，有a ≤－2或a ＝1.
答案：a ≤－2或a ＝1
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)命题：已知a ，b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2－4b ≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：逆命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集．(3分)
否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2－4b ＜0.(6分)
逆否命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ＜0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集．(9分)
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
(12分)
16．(12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
解：由题意p ：－2≤x －3≤2，
∴1≤x ≤5.
∴綈p ：x ＜1或x ＞5.(4分)
q ：m －1≤x ≤m ＋1，
∴綈q ：x ＜m －1或x ＞m ＋1.(8分)
又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，
∴⎩⎨⎧
m －1≥1，m ＋1≤5.
∴2≤m ≤4.(12分)
17．(12分)设命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－a ＝0.命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1.如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
解：当命题p 为真时，Δ＝4a 2＋4a ≥0得a ≥0或a ≤－1，当命题q 为真时，(a ＋
2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，
∴a ＋2＞0且16－4(a ＋2)(a －1)≤0，即a ≥2.(6分)
由题意得，命题p和命题q一真一假．
当命题p为真，命题q为假时，得a≤－1；
当命题p为假，命题q为真时，得a∈∅；
∴实数a的取值范围为(－∞，－1]．(12分)
18．(14分)给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞1
3或a＜－1.
乙命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－1 2.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a的取值范围是{a|a＜－1
2或a＞
1
3}．(7分)
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，1
3＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－
1
2，
∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|1
3＜a≤1或－1≤a＜－
1
2}．(14
分)。