2019届上海华东师范大学第二附属中学高三(10月)考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件： ①0++=aOA bOB cOC ；②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ④0OA OB OC ++=； 则点O 分别为ABC ∆的（ ） A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心 C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心． 【详解】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =， 可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1， 则O 为ABC 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=， 可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC 的外心；④0OA OB OC ++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=， 即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =，由AC 的中点D 为()0,2，DB =，3OB =，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ， ②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=，即为)))(),2,10,0x y x y x y --+--+--=，0x =10y +=，解得1x =-，y =即(1,O -，由OC AB ⊥，1OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC 的垂心． 故选：D 【点睛】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型．2．如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，点M ，N 分别在1l ，2l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A.15B.12C.10D.9【答案】A【解析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM 、PN uuu r，根据8PM PN +=，求出PM PN ⋅的解析式，再求其最大值． 【详解】由点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，可得平行线1l 、2l 间的距离为2；以直线1l 为x 轴，以过点P 且与直线1l 垂直的直线为y 轴， 建立坐标系，如图所示：由题意可得点()0,1P -，直线2l 的方程为2y =， 设点(),0M a 、点(),2N b ，(),1PM a ∴=、(),3PN b =， (),4PM PN a b ∴+=+；8PM PN +=， 2()1664a b ∴++=，a b ∴+=，或a b +=-；当a b +=()2333PM PN ab a a a ⋅=+=+=-++，它的最大值为2315-+=；当a b +=-时，()2333PM PN ab a a a ⋅=+=-+=--+，它的最大值为(2(315----+=； 综上可得，PM PN ⋅的最大值为15． 故选：A 【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，熟记向量数量积的运算法则，以及数量积的坐标表示即可，属于常考题型. 3．如图，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD yAE x y R =+∈、，则x y +的取值范围是（ ）A.1,4⎡+⎣B.44⎡-+⎣C.1,2⎡+⎣D.22⎡⎣【答案】B【解析】连接AM 并延长分别交圆M 于Q T 、，连接DE ，DE 与AM 交于R ，显然1122AR AD AE =+，此时1x y +=，分别过Q T 、作DE 的平行线，由于01,120AD AE BAC ==∠= ，则2,A M D M ==，则2AQ =，12AR =， 23(423)(23)(23)2AQ AR AD AE-==-=-+- ，此时4x y +=-，同理可得：(23)(23)AT AD AE =+++，4xy +=+，选B .【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P 在等和线DE 上1x y +=去求x y +的取值范围，由于点P 是圆M 及其内部任意一点，所以分别过Q T 、作圆的切线，求出两条等和线的x y +值，就可得出x y +的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.4．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 正确的个数是（ ） A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则2d ==,则22a b +>4，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率。
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题(原卷+解析版)
对④，当 ， 时，不总存在单位向量 和单位向量 ，使 ，故④错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理和应用，注意运用向量的加减运算性质和单位向量的概念，难度中档．
12.已知 内一点 是其外心， ，且 ，则 的最大值为________.
10.已知边长为1 正八边形的8个顶点依次为 、 、 、 、 、 、 、 ，点 为该八边形边上的动点，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，根据向量数量积的几何意义知，当点 在 位置时， 取得最小值，当点 在 位置时， 取得最大值，建立直角坐标，利用向量的坐标运算，即可得答案.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于 的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】∵ 与 的夹角为锐本题考查向量夹角的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况去掉，才不会出现错解.
②存在 为第二象限角，角 为第四象限角；
则下列选项中，正确的是（）
A. ①正确②正确B. ①正确②错误C. ①错误②正确D. ①错误②错误
三.解答题
17.在△ 中，三个内角 、 、 所对 边分别为 、 、 .
（1）若 ， ，求△ 面积的最大值；
（2）若 ，试判断△ 的形状，并说明理由.
18.已知 （ ）
【详解】设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式、向量模的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
2019届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期质量调研数学试题(解析版)
2019届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期质量调研数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的极限是A ,如果数列{}n b 满足66210310n n n a n b a n ⎧≤=⎨⎩，，，＞那么数列{}n b 的极限是（ ） A ．3A B ．2AC ．AD ．不存在【答案】A【解析】利用数列的递推关系式，求解数列的极限即可． 【详解】解：数列{a n }的极限是A ，如果数列{b n }满足66210310n n na nb a n ⎧≤=⎨⎩，，，＞， 那么数列{b n }的极限是：3A ． 故选：A ． 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力． 2．已知,x y R ∈，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ） A ．充要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】通过反例可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；利用逆否命题为真可知若2x y +>，则1x >或1y >为真，验证出“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件，从而可得结果. 【详解】 若32x =，0y =，则322x y +=<，可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；若2x y +>，则1x >或1y >的逆否命题为：若1x ≤且1y ≤，则2x y +≤；可知其逆否命题为真命题，则原命题为真；则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件； 则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要非充分条件本题正确选项：B 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够利用原命题与逆否命题同真假来判断出必要条件成立.3．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为（ ）A ．12B ．24C ．48D ．58【答案】B【解析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2． 【详解】解：当顶点为A 时，三棱锥A ﹣EHG ，A ﹣EFG ，A ﹣DCG ，A ﹣DHG ，A ﹣BCG ，A ﹣BFG ，为鳖臑．所以8个顶点为8×6＝48个．但每个鳖臑都重复一次，再除2．所以个数为24个． 故选：B ．【点睛】本题考查线面位置关系，属于中档题．4．函数()()0y f x x R m =∈，＞，若存在实数m M ≤，使得对所有x D ∈，都有()m f x M ≤≤，则称()()y f x x D =∈“有界”，设()()1y f x x R =∈是增函数，()()2y f x x R =∈是周期函数，且对所有()()1200x R f x f x ∈，＞，＞，已知()()()12h x f x f x =，下列命题中真命题是（ ）A ．若()h x 是周期函数,则()1f x “有界”B ．若()h x 是周期函数,则()2f x “有界”C ．若()1f x “有界”,则()h x 不是周期函数D ．若()2f x “有界”,则()h x 不是周期函数 【答案】D【解析】根据有界性、周期性与单调性的概念逐一分析判断即可. 【详解】解： 设()2y f x =的周期为2T ，()h x 的周期为1T ，()22x max f M =，()11x max f M =，若()h x 是周期函数,则()()()()()1112112T T T h x n f x n f x n f x f x +=++=， ∵()()1y f x x R =∈是增函数，即()()111T f x n f x +>, ∴()()212T f x n f x +＜，若21T T =，则()()2121T T f x n f x n ++＜，显然不成立， 若21T T ＜，给定S ，则存在S N +∈使得()()()()21222122T T T f x n f x n f x n f x n s T ⎧++⎪⎨⎡⎤+++⎪⎣⎦⎩＜＜, ∵()2f x 为周期函数，∴()()2222T f x n f x n s T ⎡⎤+++⎣⎦＜，又∵()()1f x x R ∈是增函数，∴()21T f x n +的值越来越小，无法判定； 对于C ，D 选项，()()()()()21222122T T T T h x n f x n f x n f x n f x +=++=+ 若()1f x “有界”,即()()212T h x n M f x +≤ ∵()2f x 为周期函数，∴()h x 也是周期函数， 若()2f x “有界”,则()2m f x M ≤≤，()()()()()()21222122212T T T T T h x n f x n f x n f x n f x M f x n +=++=+≤+，又()()1y f x x R =∈是增函数， ∴()h x 不是周期函数故选：D ． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查函数的性质，涉及到函数的周期性、单调性及有界性，属难题．二、填空题 5．行列式1598的值为________.【答案】﹣37【解析】按照行列式的运算法则，直接展开化简计算即可． 【详解】 解：1598＝1×8﹣9×5＝﹣37． 故答案为：﹣37 【点睛】本题考查二阶行列式的定义，运算法则，是基础题．6．设集合{}{}1234202A B ==-，，，，，，，则AB =________.【答案】{}2【解析】利用交集概念及运算即可得到结果. 【详解】∵{}{}1234202A B ==-，，，，，，，∴{}2A B ⋂= 故答案为：{}2 【点睛】本题考查交集概念及其运算，属于基础题.7．已知向量()()157215a b =-=，，，，，，则a b +=_______.【答案】13【解析】利用向量加法坐标公式可得a b +的坐标，进而求模即可. 【详解】∵()()157215a b =-=，，，，，，∴()3412a b +=-，， ∴91613a b +=+=， 故答案为：13 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长的计算，考查运算能力，属于简单题. 8．如果复数z 满足2220z z-+=，那么z =______. 【解析】设z ＝a +bi ，利用待定系数法建立方程组求出a ，b 的值，再由复数的模长公式进行计算即可． 【详解】 解：设z ＝a +bi ，则由z 2﹣2z +2＝0得（a +bi ）2﹣2（a +bi ）+2＝0， 即a 2﹣b 2﹣2a +2+（2ab ﹣2b ）i ＝0， 则a 2﹣b 2﹣2a +2＝0①且2ab ﹣2b ＝0②， 由2ab ﹣2b ＝0得ab ﹣b ＝0， 即b ＝0或a ＝1，若b ＝0，由①得a 2﹣2a +2＝0此时a 无解， 若a ＝1由①得b 2＝1，即b ＝1或b ＝﹣1， 即z ＝1+i 或z ＝1﹣i ， 则|z |， 【点睛】本题主要考查复数的模长的计算，利用待定系数法求出复数是解决本题的关键． 9．椭圆2221x y +=的焦距是______. 【解析】把椭圆x 2+2y 2＝1转化为标准方程，然后求出其焦距． 【详解】解：把椭圆x 2+2y 2＝1转化为：22112y x +=，a ＝1，b ＝2得c=∴2c．椭圆x2+2y2＝1．．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的合理选用．10．掷一颗均匀的骰子,所得点数为质数的概率是_______(结果用最简分数表示).【答案】1 2【解析】掷一颗均匀的骰子，一共有6种可能，其中为质数为2，3，5，根据概率公式即可求出【详解】解：掷一颗均匀的骰子，一共有6种可能，其中为质数为2，3，5，故所得点数为质数的概率是31 62 =，故答案为：1 2【点睛】本题考查概率的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．11．若圆锥的侧面积与底面积之比为2,则其母线与轴的夹角大小为________.【答案】30°【解析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l＝2R，进而解三角形得到答案．【详解】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：其底面积：S底面积＝πR2，其侧面积：S侧面积＝12×2πRl＝πRl，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴l＝2R，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有cosθ＝12， ∴θ＝60°，∴该圆锥的轴与母线的夹角大小为30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的底面积公式和侧面积公式，是解答的关键． 12．从5名男教师和4名女教师选出4人参加“组团式援疆”工作,且要求选出的4人中男女教师都有,则不同的选取方法的种数为________. 【答案】120【解析】根据题意，用间接法分析：首先计算从5名男教师和4名女教师选出4人的选法，再计算其中只有男教师和女教师的选法数目，进而分析可得答案． 【详解】解：根据题意，从5名男教师和4名女教师选出4人，有C 94＝126种， 其中只有男教师的选法有C 54＝5种， 只有女教师的选法有C 44＝1种，则男女教师都有的选法有126﹣5﹣1＝120种； 故答案为：120． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题． 13．若两直线12:2:24l y kx k l y x =++=-+，的交点在第一象限,则正整数k =______.【答案】1【解析】直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于0，解不等式组即可． 【详解】解：两直线l 1：y ＝kx +k +2，l 2：y ＝﹣2x +4，则224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩，k ≠﹣2，22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又两直线的交点在第一象限，则2026402kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得﹣23＜k ＜2， 所以正整数k ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查两条直线的交点坐标，考查计算能力，是基础题．14．若321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中,常数项为正数,则正整数n 的最小值是______. 【答案】6【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．再根据常数项为正数，求得正整数n 的最小值． 【详解】解：∵321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式的通项公式为T r +1＝rn C •（﹣1）r •x 3n ﹣5r ，令3n ﹣5r＝0，因为常数项为正数 求得最小的r ＝6，故常数项为6n C ,为正数，则正整数n 的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知()122x x ay a b R b++=∈+，既是奇函数,又是减函数,则a b +=_______.【答案】1-【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有122x x ab --++＝﹣122x xab+++，分析可得a ＝﹣1，b ＝2或a ＝1，b ＝﹣2，将a 、b 的值代入函数的解析式，分析其单调性可得a 、b 的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，()122x x ay a b R b ++=∈+，是奇函数，则有f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有122x x a b --++＝﹣122x x ab+++，变形可得：a ＝﹣1，b ＝2或a ＝1，b ＝﹣2；当a ＝﹣1，b ＝2时，f （x ）＝12122x x +-+＝11221x --，为增函数，不符合题意；当a ＝1，b ＝﹣2时，f （x ）＝12122x x ++-＝11221x +-，为减函数，符合题意；故a ＝1，b ＝﹣2，则a +b ＝﹣1； 故答案为：﹣1 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断与应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义，属于基础题．16．已知坐标平面上的曲线Γ和直线l ，若l 与Γ有且仅有一个公共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，称l 为Γ的一条“基线”，则下列曲线中：arcsin y x =①；3y x =②；2111y y x x x==-+③；④，没有“基线”的是_________(写出所有符合要求的曲线编号). 【答案】②④【解析】根据函数的图像与性质分析即可得到结果. 【详解】作出arcsin y x =的图象，显然y 2π=适合题意；作出3y x =的图象，显然不存在基线；函数211y x =+为偶函数，在x 0=处取到最大值1， 所以y 1=适合题意； 作出1y x x=-的图象，显然不存在基线；综上可知：②④不存在基线. 故答案为：②④ 【点睛】本题考查命题的真假，函数的图象与性质，新定义的理解与应用，考查转化思想以及计算能力．三、解答题17．如图,正三棱柱111ABC A B C -底面三角形的周长为6,侧棱长1AA 长为3.(1)求正三棱柱111ABC A B C -的体积；(2)求异面直线1A C 与AB 所成角的大小. 【答案】（1）23（2）24【解析】（1）由已知求得三棱柱底面边长，得到底面积，再由棱柱体积公式求解； （2）以C 为坐标原点，以过C 且垂直于AB 的直线为x 轴，以过C 且平行于AB 的直线为y 轴，以CC 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解． 【详解】解：（1）∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1底面三角形的周长为6，∴边长为2， 则AB 边上的高为3， ∴12332ABCS=⨯⨯=， 又侧棱长AA 1长为3，则正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝123ABCSAA ⋅=；（2）以C 为坐标原点，以过C 且垂直于AB 的直线为x 轴，以过C 且平行于AB 的直线为y 轴，以CC 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则C （0，0，0），A()31,0-，，B()310，，，A 1()312-，，，()()10,2,031,2AB CA ==-，，，∴cos 1CA AB ，＝11CA AB CA AB⋅⋅＝224222-=-⨯． ∴异面直线A 1C 与AB 所成角的大小为24．【点睛】本题考查多面体体积的求法，训练了利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 18．已知函数()2sin cos sin .f x x x x =-(1)求()f x 的最小正周期；(2)设ABC ∆为锐角三角形,角A 角B 若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）π（2【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）根据f （A ）＝0，求得A 的值，再利用正弦定理求得B ，可得C 的值，利用△ABC 的面积为 12•ab •sin C ，计算求得结果． 【详解】解：（1）函数f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x ＝12sin2x ﹣122cos x -＝2sin （2x +4π）﹣12， 故它的最小正周期为22π＝π．（2）∵△ABC 为锐角三角形，角A B若f （A ）＝2sin （2A +4π）﹣12＝0，∴sin （2A +4π）＝2，∴2A +4π＝34π，∴A ＝4π．再由正弦定理可得4sinBsinπ=，∴sin B ＝2， ∴B ＝3π，∴C ＝π﹣A ﹣B ＝512π，∴sin C ＝sin （6π+4π）＝sin 6πcos 4π+cos 6πsin 4π故△ABC 的面积为 12•ab •sin C ＝124＝34+． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦定理，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．19．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量,并描述该地人口数量的变化趋势；(2)研究人员用函数()0.65544502000 4.48781tP t e -=++拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年初对应时刻()0t P t =，的单位是干人，设()P t 的反函数为()T x ，求()2400T 的值(精确到0.1),并解释其实际意义.【答案】（1）见解析，（2）T （2400）＝5.5，见解析.【解析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019人后增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年在增加的， （2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可． 【详解】解：（1）2014年至2019年每年该地人口的增长数量为2385﹣2082＝303千人， 3135﹣2082＝53，2203﹣2135＝68，2276﹣2203＝73，2339﹣2276＝63，2385﹣2339＝46，由上述数据可得从2014年到2019年每年人口增长数量呈先增加后减少的变化趋势，每一年人口总数呈逐渐递增的变化趋势， （2）由()0.65544502000 4.48781tP t e -=++， ∵P （t ）的反函数为T （x ），∴2400＝20000.66544504.48781t e -++，∴4.4878e ﹣0.6554t +1450400=，∴4.4878e ﹣0.6554t 18=，两边取对数可得ln 4.4878﹣0.6554t ＝﹣ln 8， ∴t 4.4878835.90240.65540.6554ln ln ln +==≈5.5，∴T （2400）＝5.5．其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效数据，即经过半年时间，该地人口数量人数即增长到2400千人．【点睛】本题考查了函数模型在实际生活中的应用，考查了反函数的性质，考查了运算求解能力，属于中档题20．设常数m≥在平面直角坐标系xOy中,已知点(0F，直线:l y m=，曲线)x y m lΓ=≤≤：，与y轴交于点A与Γ交于点,,B P Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用m表示点B到点F的距离；(2)若0AP FQ⋅=且FA FP FQ+=，求m的值；(3)设m=且存在点P、Q,使得FPQ∆是等边三角形,求FPQ∆的边长.【答案】（1）1BF=-（2）m1=（3）3【解析】（1）运用平面内两点间距离公式求解；（2）由条件可知四边形AFPQ为正方形，转化为边长相等，即可得到m的解；（3）设出P，Q坐标利用|PF|＝|FQ|求出t，即可求出两点坐标，进而求出边长．【详解】解：（1）由y mx=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得Bm），又F（0，∴|BF|===﹣1，（2）由0AP FQ⋅=且FA FP FQ+=，则四边形AFPQ为正方形，∵F（0，A（0，m），P（1），∴|AF|＝m，|FP|＝1，∴m=1，即m=1，（3）由yx⎧=⎪⎨=⎪⎩可得B，），设点Q （t ，22），则||FQ |22t =+，（0≤t 7≤）， 设P （x 0，y 0），则|PF |021y =-，∵△FPQ 是等边三角形，∴|PF |＝|FQ |，即20212y t -=+，即20212t y ++=，代入曲线方程得22200(21)112t x y ++=+=-， ∵|QF |2＝|QP |2，t 2+2＝（22(21)12t t ++--）2+（221222t ++-）2， 解得t 2＝7， |FQ |72=+=3△FPQ 的边长为3．【点睛】考查了两点之间的距离公式，向量运算带来的几何意义，以及特殊三角形的性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．已知*n N ∈和31n +个实数1231n x x x +≤≤⋯≤，若有穷数列{}k a 由数列{}k x 的项重新排列而成,且下列条件同时成立：① 3n 个数()11211k k k n k k n k a a a a a a k n +++++---≤≤，，两两不同；②当1k n ≤≤时，2111k n k k n k k k a a a a a a +++++---＞＞都成立，则称{}k a 为{}k x 的一个“友数列”.(1)若12341123n x x x x =====，，，，写出的{}k x 全部“友数列”；(2)已知{}k a 是通项公式为()131k x k k n =≤≤+的数列{}k x 的一个“友数列”，且131n a x +=，求31n a +(用n 表示)；(3)设2n ≥，求所有使得通项公式为()131kk a q k n =≤≤+的数列{}k a 不能成为任何数列{}k x 的“友数列”的正实数q 的个数(用n 表示). 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）对1a 分类讨论即可得到结果；（2）由条件①知：3n 个数两两不同，又{}{}131131max max 31i i i n i n a x n ≤≤+≤≤+==+ ， {}{}1313max max 1i i i ni na x ≤≤≤≤==，∴差值最大为3n ，分类讨论即可得到结果；（3）根据“友数列”的定义，分析即可得到结果. 【详解】解：（1）若11,a ≠ 则234,,a a a 中存在两个1，不妨设(),24i j a a i j ≤<≤， 则有11i j a a a a -=- 与②矛盾， 故有11,a =则234111a a a -<-<-， ∴234111,a a a -<-<- ∴2341,2,3a a a ===即好数列{}{}1234,,,1,1,2,3a a a a = ；（2）由条件①知：3n 个数两两不同，又{}{}131131max max 31i i i n i n a x n ≤≤+≤≤+==+ ， {}{}1313max max 1i i i ni na x ≤≤≤≤==，∴差值最大为3n ，而令k 取1时，由131a n =+，2222313131n n n a n a n a +++-<+-<+- ，若221n a +≠，则22313n n a n ++-<，而1k ≠时，1121k k k k n k k n a a a a a a +++++-<-<- 故只可能为某个j 且1j ≠ 使213j j n a a n ++-=， 则{}2121max ,3j j n j j n a a a a n ++++-<<，矛盾， ∴必有1k =则有22313n n a n ++-=，即221n a += ， 其次，若1231,n a a n +-≠+则此时差值中31n -除3n 外最大，则有2131j j n a a n ++-=-，1j ≠，又2122,j j n n a a a +++≠， ∴21,2j j n a a ++≥，而21,3j j n a a n ++≤， 则213231j j n a a n n ++-≤-<-矛盾， ∴必有1231,n a a n +-=-即22n a += 同理，若1232,a a n -≠-则有1j ≠使2132j j n a a n ++-=-，且21,3j j n a a ++≥，且21,3j j n a a n ++≤，∴213332j j n a a n n ++-≤-<-矛盾， ∴必有1232,n a a n +-=-即23a =，接着考虑：223n a a +- ，2323,n a a a a +--， 若22333n a a n +-≠-，则有()1,2j j ≠，使得2333j j n a a n ++-=-， 又234,4j j n a a ++≥≥ ，23,3j j n a a n ++≤矛盾， ∴22333n a a n +-=- 依次类推即可.故对于21n k =+ ()0,1,2,n =时，313,n n a a +-=且122323a a n a -=-⇒=，3233532a a n a n -=-⇒=-，11n n a a --=，联立，得322n n a +=， ∴31352n n a ++=，对于2n k = ()0,1,2,n =时，1232a a n -=-，()3235a a n -=--，11n n a a --=-， 联立，得32n n a =， ∴31362n n a ++=，（3）233112331,,,,n n a q a q a q a q ++==== ，若()0131kk a q k n =≤≤+ 为一个数列{}k x 的“友数列”，则()01131kk a k n q ⎛⎫=≤≤+ ⎪⎝⎭亦为一个数列{}k x '的友数列，故不妨设1q ≥ ，则所有差排列如下：01 ：1q =时，易知与条件①②矛盾； 02 ：1q >时，()()2121121111n n n n q q q q q ++-+-<-<<- ， ()()1111111n n n n q q q q q ++-+-<-<<-，()()1111n q q q q q --<-<<-观察上面式子，若不存在{}k x ，则先比较：211n q+-与()111n n qq-+-()()21221111n n n q q q q q +--=-++++，()()()1111111n n n n n q q q q q q q -+---=-++++()()212212111n n n n q q q q q ---+=-+++<-，在比较11n q+-与()11n qq --大小，()()11111n n n q q q q q +--=-++++()1111n n q q q -+-<-，综上，不存在满足题意的q 值. 【点睛】本题以新定义为载体，考查数列及极限，关键是理解新定义，合理转化，需要计算细心．。
上海市华师大二附中2019届高三综合练习数学10试题
上海市华师大二附中高三年级综合练习[10]数学一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、已知集合A={(x ，y)|y=sinx ，∈x (0，2π)}，B={(x ，y)|y=a ，∈a R}，则集合A∩B 的子集个数量多有 个.2、若函数)(x f =x 21log 2的值域是[-1，1]，则函数)(1x f-的值域为 .3、(文)若⎩⎨⎧≥+≤≤222y x y x ， ，则目标函数y x z 2+=的取值范围是 . (理)将曲线 )(sin cos R y x ∈⎩⎨⎧==θθθ，上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的21倍后，得到的曲线的焦点坐标为 .4、在等差数列{}n a 中，中若01<a ，n S 为前n 项之和，且177S S =，则n S 为最小时的n 的值为 .5、函数x x x x f cos sin 42sin )(3-=的图象上相邻二条对称轴之间的距离是 . 6、设1e 和2e 是互相垂直的单位向量，且212143,23e e b e e a +-=+=，则b a ⋅= .7、若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 .8、在正三棱锥S －ABC 中，D 为AB 中点，且SD 与BC 所成角为︒45，则SD 与底面所成角的正弦值为 .9、一动圆与两圆(x+4)2+y 2=25和(x-4)2+y 2=4都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 .10、)(x f 是偶函数，且)(x f 在(0，+∞)上是增函数，若∈x [21,1]时，不等式)2()1(-≤+x f ax f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .11、在三位数中,如果十位数字比个位和百位数字都小,则称这个三位数为凹数,如402，745等,那么各数位无重复数字的三位凹数共有 个.12、对于正整数n 和m(m<n)定义!m n =(n-m)(n-2m)(n-3m)┈(n -km)其中k 是满足n>km 的最大整数,则!20!1864=________.二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。
2019届上海市上海师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2019届上海市上海师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列函数是在(0,1)上为减函数的是 （ ） A ．cos y x = B ．2x y =C ．sin y x =D ．【答案】A 【解析】在上为减函数，在也为减函数；在上为增函数；在上为增函数，在也为增函数；在上为增函数，在也为增函数；故选A.【考点】函数的单调性.2．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B 【解析】【详解】由223030x x x x ⎧+-=⇒=-⎨≤⎩，由202ln 0x x e x >⎧⇒=⎨-+=⎩， 所以函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为2，故选B.3．下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是2π； ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有一个公共点；④把函数的图象得到的图象向右平移x y x y 2sin 36)32sin(3=+=ππ； ⑤在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆是等腰三角形； 其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（3）（4）（5）D ．（1）（4）（5） 【答案】C【解析】试题分析：化简函数的解析式求出函数的周期，可判断①的真假；写出指定角的集合，比照后可判断②的真假；在同一坐标系中画出两个函数的图象，可判断③的真假；根据函数图象的平移法则，可判断④的真假；由正弦定理及正切函数的性质，可判断⑤的真假；进而得到答案．：①函数442y sin x cos x cos x =-=- 的最小正周期是π ，故①错误；②终边在y 轴上的角的集合是22|k a a k k z πππ=+≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，}，故②错误；③在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有（0，0）一个公共点，故③正确；④把函数323y sin x π=+（）的图象向右平移6π得到323263y sin x sin x ππ⎡⎤⎢=⎥=⎣+⎦-（）（） 的图象，故④正确；⑤在△ABC 中，若acosB=bcosA ，即sinAcosB=sinBcosA ，即tanA=tanB ，即A=B ，则△ABC 是等腰三角形，故⑤正确；故选C 【考点】命题的真假判断与应用．4．已知二次函数2(1)(21)1y n n x n x =+-++，当n 依次取1,2,3,4,,10时，其图象在x 轴上所截得的线段的长度的总和为（ ） A ．1 B ．1011C ．1211D ．1112【答案】B【解析】令2(1)(21)10y n n x n x =+-++=，可求得其与x 轴交点的横坐标，从而可求得线段长，然后让n 从1取到10相加即可． 【详解】由2(1)(21)10y n n x n x =+-++=，得11x n =，211x n =+，∴12111x x n n -=-+， ∴当n 依次取1,2,3,4,.,10时，其在x 轴上截得所有线段之和为：11111110(1)()()122310111111-+-++-=-=． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的裂项相消法求和，解题时关键是求出二次函数图象与x 交点间的线段长，本题属于基础题．二、填空题5．函数y ＝sin2xcos2x 的最小正周期是 . 【答案】2π 【解析】试题分析：先利用二倍角公式化简函数，再求函数的周期．12224242y sin xcos x sin x T ππ==∴==，．【考点】二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法 6．函数()()210f x x x =+<的反函数是__________．【答案】()11y x x =-->【解析】 由21y x =+，则21x y =-，因为0x <，则1x y =--，所以函数21y x =+的反函数1(1)y x x =-->. 7．不等式()22011a xa x a ->≠--的解集为______.【答案】()22,1a a +【解析】将不等式化为()22201x ax a -<-+，作差比较21a +与2a 的大小关系，即可得出该不等式的解集. 【详解】原不等式即为()22201x ax a -<-+，1a ≠，()221210a a a ∴+-=->，则212a a +>， 解不等式()22201x ax a -<-+，得221a x a <<+因此，该不等式的解集为()22,1a a +. 故答案为：()22,1a a +. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，解题的关键就是比较解集两端点的大小，考查运算求解能力，属于中等题. 8．对于集合A 、B ，定义运算{A B x x A -=∈且}x B ∉，若{}11A x x =-<<，{}02B x x =<<，则A B -=__________. 【答案】{}10x x -<≤【解析】利用新定义和交集的定义可求出集合A B -. 【详解】{}11A x x =-<<，{}02B x x =<<，则{}01A B x x ⋂=<<，根据题中定义可得{}10A B x x -=-<≤. 故答案为：{}10x x -<≤. 【点睛】本题考查集合运算，同时也考查了集合中的新定义，考查计算能力，属于基础题. 9．设:14:x x m αβ≤≤≤，，若α是β的充分条件,则实数m 的取值范围是_______. 【答案】(],1-∞【解析】由题意得出[][)1,4,m ⊆+∞，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】:14x α≤≤，:x m β≤，若α是β的充分条件，[][)1,4,m ⊆+∞，则1m £.因此，实数m 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查利用充分条件求参数，一般转化为集合的包含关系求解，考查运算求解能力，属于基础题. 10．若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有0、1、2，则实数b 的取值范围是______. 【答案】()2,4【解析】解出不等式34x b -<，4433b b x -+<<，由题意可得出关于b 的不等式组，解出即可得出实数b 的取值范围. 【详解】解不等式34x b -<，即434x b -<-<，解得4433b b x -+<<. 由题意可知，0、2满足该不等式，1-、3不满足该不等式，所以，41034233b b -⎧-≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得24b <<.因此，实数b 的取值范围是()2,4. 故答案为：()2,4. 【点睛】本题考查利用绝对值不等式的整数解求参数，解题的关键就是找出一些关键的整数来列不等式组，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．若α、β均为锐角，且3πα=，()1sin 3αβ-=，则sin β=_______. 【答案】2616- 【解析】利用同角三角函数的基本关系求出()cos αβ-的值，然后利用两角差的正弦公式可求出sin β的值. 【详解】 由题意知02πβ<<，633πππβ∴-<-<，即63ππαβ-<-<，()()22122cos 1sin 133αβαβ⎛⎫∴-=--=-=⎪⎝⎭， 因此，()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦3221126123236-=⨯-⨯=.故答案为：2616-. 【点睛】本题考查利用两角差的正弦公式求三角函数值，解题时要熟悉角与角之间的关系，善于利用已知角来表示未知角，考查运算求解能力，属于中等题.12．设函数()()2sin ,f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=__________． 【答案】12π【解析】 由()f x 的最小正周期大于2π，得42T π>， 又5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得11534884T πππ=-=，所以3T π=，则2233w w ππ=⇒=， 所以()()22sin 2sin()3f x x x ωϕφ=+=+， 由52552sin()2sin()183812f πππφφ⎛⎫=⨯+=⇒+=⎪⎝⎭，所以52,122k k Z ππφπ+=+∈， 取0k =，得12πφπ=<，所以2,312w πφ==. 13．已知二次不等式220ax x b ++>的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，且a b >，则22a b a b +-的最小值为__________. 【答案】22【解析】根据题意得出0440a ab >⎧⎨∆=-=⎩，可得出1b a =，然后将所求代数式转化为()2a b a b -+-，并利用基本不等式求出该代数式的最小值. 【详解】由于二次不等式220ax x b ++>的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，则0440a ab >⎧⎨∆=-=⎩，1ab ∴=且0a >，a b >，0a b ∴->.()()()()22222222222a b ab a b a b a b a b a b a b a b a ba b-+-++∴===-+≥-⋅=-----. 当且仅当2a b -=时，等号成立.因此，22a b a b+-的最小值为22.故答案为：22. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了不等式的解集与方程根的关系，把所要求的式子化简为可利用基本不等式的形式是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题. 14．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】255-； 【解析】f(x)＝sin x －2cos x ＝5525sin cos 55x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2kπ＋2π(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.15．已知函数()2,12,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】[]22-,【解析】【详解】根据题意，函数()2,12,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩的 图象如图， 令()2xg x a =+，其图象与x 轴相交于点(2,0)a -，在区间(,2)a -∞-上为减函数，在(2,)a -+∞上为增函数， 若不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则函数()f x 的图象在()g x 上的上方或相交， 则必有()()00f g ≥，即2a ≤，可得22a -≤≤.16．某公园草坪上有一扇形小径（如图）,扇形半径为40m ,中心角为120︒,甲由扇形中心O 出发沿OA 以每秒2米的速度向A 快走,同时乙从A 出发,沿扇形弧以每秒43π米的速度向B 慢跑,记()020t t ≤≤秒时甲、乙两人所在位置分别为N M 、,()MN f t =，通过计算()()()51015f f f 、、，判断下列说法是否正确：（1）当MN OA ⊥时，函数()f t 取最小值； （2）函数()y f t =在区间[]10,15上是增函数； （3）若()0f t 最小，则[]00,10t ∈；（4）()()40g t f t =-在[]0,20上至少有两个零点；其中正确的判断序号是______（把你认为正确的判断序号都填上） 【答案】②③④【解析】建立如下图所示的平面直角坐标系,根据题意求出N M 、两点坐标,求出()MN f t =,并计算出()()()51015f f f 、、的值,对四个选项逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系,因为甲由扇形中心O 出发沿OA 以每秒2米的速度向A 快走,所以(2,0)N t ,乙从A 出发,沿扇形弧以每秒43π米的速度向B 慢跑,所以434030tt AOM ππ∠==,因此40cos ,40sin 3030t t M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,其中020t ≤≤222||()40cos 240sin 4160cos 1600303030t t t MN f t t t t πππ⎛⎫⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(5)101743,(10)203,(15)50f f f =-==, (5)(10)(15),f f f <<当10t =时MN OA ⊥，因为(5)(10)f f <,所以此时函数()f t 不是最小值；当15t =时OM OA ⊥,当[]10,15t ∈时，结合图象可得M 向左上方移动，而N 沿x 正半轴向右边移动，因此MN 越来越大，()y f t =增函数由于当1020t ≤≤时，()(10)f t f ≥，而(5)(10),f f <所以若()0f t 最小，则[]00,10t ∈； 由()()400g t f t =-=得()40f t =，因为()040f =，(10)40(15),f f <<所以[]10,15t ∈时，存在()40f t =，即()()40g t f t =-在[]0,20上至少有两个零点；故答案为：②③④ 【点睛】本题考查了应用数学运算研究函数性质,考查了数学建模能力.三、解答题17．已知函数()()233sin sin cos .2f x x x x x R =+-∈ （1）求函数()f x 的最小正周期T 与单调增区间； （2）在ABC ∆中，若()()12f A f B ==，求角C 的值． 【答案】（1）T π=，增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）6π或2π.【解析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求出T ，然后解不等式()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调增区间； （2）先在()0,x π∈内解方程()12f x =，得出4x π=或712π，然后对A 、B 的取值进行分类讨论，利用三角形的内角和定理求出角C 的值. 【详解】 （1）()231cos 2133sin sin cos 3sin 22222x f x x x x x -=+-=⋅+-13sin 2cos 2sin 2cos cos 2sin sin 222333x x x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==. 解不等式()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0πx <<时，52333x πππ∴-<-<，由()1sin 232f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得236x ππ-=或5236x ππ-=，解得4x π=或712π. ①当4A B π==时，则2C A B ππ=--=；②当4A π=，712B π=或712A π=，4B π=，则6C A B ππ=--=；③当712A B π==时，此时76A B ππ+=>，不合乎题意. 综上所述，2C π=或6π. 【点睛】本题考查三角函数的最小正周期和单调递增区间的求解，同时也考查了三角形内角的计算，利用二倍角公式以及辅助角公式进行化简是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 18．已知函数()()21,f x ax a b R x b=+∈+. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当0b =时，()124f x a ≥+在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],4-∞.【解析】（1）根据函数奇偶性的定义，结合a 、b 的取值即可判断出函数()y f x =的奇偶性； （2）求出函数()y f x =的解析式，利用参变量分离法进行转化求解即可. 【详解】（1）若0b =，则()21f x ax x=+，此时函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞. 当0a =时，()1f x x=，该函数为奇函数； 当0a ≠时，()()2211f x a x ax x x -=⋅--=-，则()()f x f x -≠±，函数()y f x =为非奇非偶函数； 若0b ≠，则()21f x ax x b=++，该函数的定义域为()(),,b b -∞--+∞，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数；（2）当0b =时，()21f x ax x =+，不等式()124f x a ≥+在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立， 21124ax a x +≥+在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，即21124a x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，即1211222x a x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 102x <≤，则11022x -<-≤，11122x <+≤，所以，122a x x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，212a x x ∴≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立， 当102x <≤时，由于函数12y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上单调递增，则11022x x ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，2412a ∴≤=，因此，实数a 的取值范围是(],4-∞. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，以及不等式恒成立问题，利用参变量分离法求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）由题设可知50A =，60b =,又23T πω==，所以23ωπ=,从而，再由题设知0t =时10y =，代入，得， 从而,因此；（2）要使点P 距离地面超过85米， 则有， 即,,, 解得即:，所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过85米的时间有1分钟.20．已知函数()()231f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧．（1）求实数m 的取值范围；（2）令2t m =-+，求1t⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值（其中[]t 表示不超过t 的最大整数，例如：[]11=，[]2.52=)；（3）对（2）中的t 求函数()[][]1111t tg t t t t t +=⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域．【答案】（1）(],1-∞；（2）0,111,1t t t >⎧⎡⎤=⎨⎢⎥=⎣⎦⎩；（3）15,26⎧⎫⎡⎫+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭.【解析】（1）分0m =和0m ≠两种情况讨论，在0m =时进行验证即可，在0m ≠时，由()01f =可分二次函数()y f x =有且只有一个零点且为正零点、一个正零点和一个负零点、两个正零点三种情况进行分类讨论，由此可得出实数m 的取值范围；（2）求出1t ≥，可得出(]10,1t ∈，然后分1t >和1t =两种情况讨论，根据定义得出1t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值；（3）分1t =、12t <<、2t ≥三种情况讨论，在1t =时代入函数()y g t =的解析式计算即可，在12t <<时，利用函数()y g t =的单调性得出该函数的值域，在2t ≥时，考查()12,n t n n n N *≤<+≥∈，结合函数的单调性来得出值域，由此可得出函数()y g t =的值域.【详解】（1）①若0m =，则()13f x x =-，令()0f x =，得13x =，此时，函数()y f x =只有一个正零点，合乎题意；②若0m ≠，由于()010f =>.（i ）若函数()y f x =有且只有一个零点且为正数，则21090302m m m m⎧∆=-+=⎪⎨-->⎪⎩，解得1m =；（ii ）若函数()y f x =有一个正零点和一个负零点，则10m<，解得0m <； （iii ）若函数()y f x =有两个正零点时，则()2109030200m m m m mf m ⎧∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪=>⎪⎩，解得01m <<.综上所述，实数m 的取值范围是(],1-∞； （2）1m ≤，21t m ∴=-+≥.当1t >时，101t <<，此时10t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；当1t =时，11t =，此时11t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 因此，0,111,1t t t >⎧⎡⎤=⎨⎢⎥=⎣⎦⎩；（3）()[][][]()11111111t t tt g t t t t t t t ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭. ①当1t =时，()221122g ==;②当12t <<时，[]1t =，10t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则()112g t t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，此时()514g t <<；③当2t ≥时，设()12,n t n n n N*≤<+≥∈，则[]t n =，10t⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，此时，()111g t t n t ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭在[),1n n +上单调递增，则()()()22111111n n g t n n n ++⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭+. 设()()1111111211111111n h n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=+=+=-+-=+- ⎪++++++⎝⎭， 则()()()()()121221*********h n h n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+--+-=- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭()()212n n n n -=++. 当2n =时，()()23h h =；当2n >且n *∈N 时，()()1h n h n +>，数列(){}h n 单调递增，()()526h n h ∴≥=； 设()()()2111111n n n n n ϕ++==++++，当2n ≥且n *∈N ，数列(){}n ϕ单调递增，当n →+∞时，()n ϕ→+∞.所以，当2t ≥时，函数()y g t =的值域为5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.综上所述，函数()y g t =的值域为15,26⎧⎫⎡⎫+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭.【点睛】本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，同时也考查与与新定义相关的函数的值域问题，解题的关键就是将函数的值域问题转化为数列的单调性问题，考查化归与转化思想的应用，属于难题. 21．已知数()()2log 1af x x x =++（其中1a >）.（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的()y f x =反函数()1y fx -=；（3）若两个函数()F x 与()G x 在区间[],p q 上恒满足()()2F x G x ->，则函数()F x 与()G x 在闭区间[],p q 上是分离的．试判断()y f x =的反函数()1y fx -=与()x g x a =在闭区间[]1,2上是否分离？若分离，求出实数a 的取值范围；若不分离，请说明理由． 【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）()12x xa a fx ---=；（3）()23,++∞. 【解析】（1）求出函数()y f x =的定义域，然后利用定义可判断出函数()y f x =的奇偶性；（2）由（1）得()()22l o g 1l o g 1a a y x xy x x ⎧=++⎪⎨⎪-=++⎩，将两个等式化为指数式，可解出x ，即可得出函数()1y fx -=的解析式，并求出函数()y f x =的值域，作为函数()1y f x -=的定义域；（3）根据函数()1y fx -=与()x g x a =在闭区间[]1,2上分离得出不等式4x x a a -+>在区间[]1,2上恒成立，令x t a =，得出2,t a a ⎡⎤∈⎣⎦，利用函数1y t t=+在区间2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最小值min 4y >可解出实数a 的取值范围. 【详解】（1）对任意的x ∈R ，221x x x x +>=≥-，则210x x ++>对任意的x ∈R 恒成立，则函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，又()()()22log 1log 1a af x x x x x ⎛⎫-=-+-=+-⎪⎝⎭，()()()()22log 11log 10a a f x f x x xx x ⎡⎤∴-+=+-++==⎢⎥⎣⎦，()()f x f x ∴-=-，因此，函数()y f x =为奇函数； （2）设()2log 1a y x x =++，当x →+∞时，21x x ++→+∞，此时y →+∞，当x →-∞时，21x x +-→+∞，则221101x x x x++=→+-，所以，函数()2log 1ay x x =++的值域为R .由（1）可得()()22log 1log 1aa y x x y x x ⎧=++⎪⎨⎪-=++⎩，将上述两个等式化为指数式得2211y y x x a x x a-⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得2y ya a x --=. 因此，()()12x xa a fx x R ---=∈；（3）假设函数()1y fx -=与()x g x a =在闭区间[]1,2上分离，则()()12f x g x -->，即22x xx a a a --->，整理得4x x a a -+>，即4x x a a -+>在区间[]1,2上恒成立， 令x t a =，则2,t a a ⎡⎤∈⎣⎦，设1y t t=+，1a >Q ，则函数1y t t=+在区间2,a a ⎡⎤⎣⎦上单调递增， 所以，函数1y t t =+在区间2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最小值为min 1y a a =+，由题意得14a a+>， 即2410a a -+>，1a >Q ，解得23a >+， 因此，实数a 的取值范围是()23,++∞. 【点睛】本题考查函数奇偶性的定义、反函数解析式的求解以及函数中新定义问题，解题时应该严格按照新定义，将问题转化为不等式恒成立问题，并将问题转化为与函数最值相关的不等式来求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.。
2019年上海华东师范大学第二附属中学高三数学文模拟试题含解析
2019年上海华东师范大学第二附属中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等比数列满足,则的值为（）A．B．C．D．参考答案：B略2. 已知集合M={x|x+1≥0}，N={x|﹣2＜x＜2}，则M∩N=（）A．（﹣∞，﹣1] B．（2，+∞）C．（﹣1，2] D．[﹣1，2）参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求解一元一次不等式化简M，然后利用交集运算得答案．【解答】解：∵M={x|x+1≥0}=[﹣1，+∞），N={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2），则M∩N=[﹣1，+∞）∩（﹣2，2）=[﹣1，2）．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，考查了一元一次不等式的解法，是基础题．3. 已知向量=（1，λ），=（2，1），若2+与=（1，﹣2）共线，则在方向上的投影是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量共线求出λ，再代入平面向量的投影公式计算．【解答】解：2+=（4，2λ+1），∵2+与=（1，﹣2）共线，∴﹣8﹣（2λ+1）=0，解得λ=﹣．∴， =2﹣=﹣．∴在方向上的投影为||×==﹣．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量共线与数量积的关系，属于基础题．4. 过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（）（A）（B）（C）或（D）或参考答案：D若直线过原点，设直线方程为，把点代入得，此时直线为，即。
若直线不经过原点，在设直线方程为，即。
把点代入得，所以直线方程为，即，所以选D.5. 设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i参考答案：【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C6. 设集合，若，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：C7. “2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【分析】分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．【解答】解：2a＞2b?a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．故选B．8. cos（﹣300°）的值是( )A．﹣B．C．﹣D．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题．【分析】利用诱导公式可得cos（﹣300°）=cos（﹣300°+360°）=cos60°．【解答】解：cos（﹣300°）=cos（﹣300°+360°）=cos60°=，故选 B．【点评】本题考查应用诱导公式化简三角函数式，把要求的式子化为cos（﹣300°+360°），是解题的关键．9. 奇函数在上的解析式是，则在上的函数解析式是（）A． B．C． D．参考答案：B10. 已知函数是奇函数，当时，则的值等于（）A． C． D ．-参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数x，y满足则的最大值为。
上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三年级第二学期开学考数学试卷(简略答案)
华二附中2019届高三年级第二学期开学考数学试卷2019.03时间：120分钟；满分150分一、填空题： 1. 行列式1958的值为 2. 设集合{1,2,3,4}A =，{2,0,2}B =-，则AB =3. 已知向量{1,5,7}a =-，{2,1,5}b =，则||a b +=4. 如果复数z 满足2220z z -+=，那么||z = 5. 椭圆2221x y +=的焦距是6. 掷一颗均匀的骰子，所得点数为质数的概率是 （结果用最简分数表示）7. 若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为8. 从5名男教师和4名女教师中选出4人参加“组团式援疆”工作，且要求选出的4人中 男女教师都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示）9. 若两直线1:2l y kx k =++，2:24l y x =-+的交点在第一象限，则正整数k =10. 若321()nx x -的二项式展开式中，常数项为正数，则正整数n 的最小值是 11. 已知122x x ay b++=+（,a b ∈R ）既是奇函数，又是减函数，则a b +=12.已知坐标平面上的曲线Γ和直线l ,称l 为Γ的一条“基线”，若l 与Γ有且仅有一个公 共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，则下列曲线中：①arcsin y x =；②y =③211y x =+；④1y x x=-；没有“基线”的是 （写出所有符合要求的曲线编号） 二、选择题：13. 已知数列{}n a 的极限是A ，如果数列{}n b 满足66210310n n na nb a n ⎧≤=⎨>⎩，那么数列{}n b 的 极限是（ ）A. 3A B. 2A C. A D. 不存在14. 已知,x y ∈R ，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ）条件A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分也非必要 15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的鳖臑的个数为（ ）A. 12 B. 24 C. 48 D. 5816. 称()y f x =（x D ∈）“有界”，若存在实数m M ≤，使得对所有x D ∈，都有()m f x M ≤≤，设1()y f x =（x ∈R ）是增函数，2()y f x =（x ∈R ）是周期函数，且对所有x ∈R ，1()0f x >，2()0f x >，已知12()()h f x f x =，下列命题中真命题是（ ）A. 若()h x 是周期函数，则1()f x 有界B. 若()h x 是周期函数，则2()f x 有界C. 若1()f x 有界，则()h x 不是周期函数D. 若2()f x 有界，则()h x 不是周期函数 三、 解答题：17. 如图，正三棱柱111ABC A B C -底面三角形的周长为6，侧棱长1AA 长为3. （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1A C 与AB 所成角的大小.18. 已知函数2()sin cos sin f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A B 的对边长()0f A =，求△ABC 的面积.19. 某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示.（1）根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数 量的变化趋势；（2）研究人员用函数0.6544450()2000 4.48781t P t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，设()P t 的反函数为()T x ，求(2400)T的值（精确到0.1），并解释其实际意义.20. 设常数m ≥xOy 中，已知点F ，直线:l y m =，曲线:x Γ=0y m ≤≤），l 与y 轴交于点A ，与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ 与线段AB 上的动点.（1）用m 表示点B 到点F 的距离；（2）若0AP FQ ⋅=且FA FP FQ +=，求m 的值；（3）设m =P 、Q ，使得△FPQ 是等边三角形，求△FPQ 的边长.21. 已知*n ∈N 和31n +个实数1231n x x x +≤≤⋅⋅⋅≤，若有穷数列{}k a 由数列{}k x 的项重新排列而成，且下列条件同时成立：① 3n 个数1||k k a a +-，1||k n k a a ++-，21||k n k a a ++-（1k n ≤≤）两两不同；② 当1k n ≤≤时，2111||||||k n k k n k k k a a a a a a +++++->->-都成立，则称{}k a 为{}k x 的一个 “友数列”.（1）若1n =，121x x ==，32x =，43x =，写出{}k x 的全部友数列；（2）已知{}k a 是通项公式为k x k =（131k n ≤≤+）的数列{}k x 的一个友数列，且131n a x +=，求31n a +（用n 表示）；（3）设2n ≥，求所有使得通项公式为kk a q =（131k n ≤≤+）的数列{}k a 不能成为任何数列{}k x 的友数列的正实数q 的个数（用n 表示）.华二附中2019届高三年级第二学期开学考数学试卷参考答案2019.03 一. 填空题1. 37-2. {2}3. 134.5.6.12 7. 6π 8. 20219. 1 10. 10 11. 1- 12. ②④ 二. 选择题13. A 14. C 15. B 16. C 三. 解答题17.（1）（2）1318.（1）T π=；（2）S =19.（1）2015201453f f -=，2016201568f f -=，2017201673f f -=，2018201763f f -=，2019201846f f -=，2014年至2018年每年该地人口的增长数量呈先增后减的趋势，每一年 人口总数呈逐渐递增的趋势；（2）(2400) 5.5T =，其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，即经过半年时间，该地人口数量总人数即增长到2400人.20.（1）||1BF =-；（2）1m =；（3.21.（1）1、1、2、3；（2）31121n a n +≤≤-，31n a +∈*N ；（3）略.。
2019届上海华东师范大学第二附属中学高三10月月考数学试题
华东师大二附中2019届高三数学考试试卷（10月）本试卷满分150分，考试时间为120分钟一、填空题（本大题共12小题，1到6题每题4分，7到12题每题6分，共54分） 1、设函数 ( )是奇函数，当x < 0时， f (x ) = 3x+ x ，则当x > 0时， ( ) = .2、已知函数 f (x ) = 2x+ m ，其反函数 y = f -1 (x )图ۿ㓿过点( )，则实数m 的值为 .3、设集合 A B =R ”是“a = 1”的 .条件（填空：充要条件、充分不= { } { }，则“ A ∪必要条件、必要不充分条件、既非充分也非必要条件之一）4、若关于x , y 的二元一次方程组⎧mx + 4y = m + 2有无穷多组解，则m 的取值为.C 1B 15、如图在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1 中∠ACB = 90︒, AA 1 = 2，AC = BC =1，则异面直线A 1B 与AC 所A 1 成角的余弦值是 .C2 2B-1=1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是.A7、如果数列{a }为递增数列，且a n = n 2+ λn ()，则实数λ的取值范围为 .8、从2位女生，4为男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）9、已知F 是椭圆x 2 2 10、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cos B - b cos A = 12 c，则 tan n A 的值为 .11、若二次函数 f ( x ) = ax + bx + c (a > 0)在区间[1 2]上有两个不同的零点，则 ( )的取值范围为.12、已知集合M = ⎧ 25 ,1,4⎫⎬，集合M 的所有非空子集依次记为：一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m 1 + m 2 +⋯+ m 1s = .二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13、函数 y = a x - 1 ( )的图ۿ可能是（）y 1O y 11xO y 11xO y11 xO 1 xA. B.C.D.14、等差数列{ }的前n 项和为S n ，若公差 ( )( ) < 0，则（）A. a 7 > a 8B. a 7 < a 8C. a 7 = a 8D. a 7 = 0f x f x 3,1 | 1 , | x x B x x a ≤ = ≥ + = ⎩ ⎨x my my n 6、方程2x m - m ∈ * n N 20 4C : + =1的右焦点，P 是C 上一点，A (-2,1)，当 APF 周长最小时，其面积为 y ∆ ta B 2 ， 1 f a , ⎩ ⎨- 3 4 , , , , , ⎭ M 1 M 2 ⋯ M 15 ，设m 1,m 2 ⋯ m 15 分别是上述⇿ 0, 1 a a n a 8 5 9 5 0, d S S S S > - -15、已知D 为∆ABC 的边 AB 上的一点，且CD = 13 AC + λ ⋅ BC ，则实数λ的值为（）A . 2 3B. - 2C.34 3D . 4 - 3⎧x 2- x + 3, x ≤ 116、已知函数 f (x ) = ⎨x + 2 , x ，设a ∈ R ，若关于x 的不等式 f (x ) ≥ ⎩ x是（ ） x+ a 在R 上恒成立，则a 的取值范围⎡- ⎣47 16 ,2⎤⎥ ⎡- 47 39⎤ ⎡ ⎦39⎤三、解答题（本大题有5个小题，共76分，解答题要写出解题步骤）17、（本题满分14分）如图所示，在边长为5+ 2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M 、N 、K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.B MCFKO NAE D18、（本题满分14分，分别为6+8分）已知函数 f (x ) = 2x -1 - x - a ,a ≤ 0 （1）当a = 0时，求不等式 f (x ) < 1的解集；（2）若 f (x )的图ۿ与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围.19、（本题满分14分，分别为6+8分）已知函数 f (x ) = cos () + m (m ∈ R )，将 y = f (x )的图ۿ向左平π移 6个单位后得到g ( x )的图ۿ，且 y = g (x )在区间⎡⎢ （1）求m 的值； π π ⎤内的最小值为3⎛ c ⎫ = 1⎝ 2 ⎭ 2⎪ ⎪ > 12 ⎢ A. , ⎢ ⎡- ⎣ ⎣ B. ⎣ 16 16 ⎥⎦ C. 2 3,2⎤⎦ D. ⎢-2 3, 16 ⎥⎦ 3sin cos x x- 2⎣ 4 , 3 ⎥⎦ ⎪ （2）在锐角∆ABC 中，若g + 3 ，求sin A + cos B 的取值范围.20、（本题满分16分，分别为4+6+6分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C : x 2= 2 py ( p > 0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M , F ,O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34 过定点D (0, p )作直线与抛物线C 相交于A B 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若点N 是点D 关于坐标原点O 的对称点，求∆ANB 面积的最小值； （3）是否存在垂直于 y 轴的直线l ，使得l 被以AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不 存在，说明理由.a n +1密数列”；（1）已知数列{a }是“紧密数列”，其前5项依次为1 a n3，9 x , 81，求x 的取值范围；（2）若数列{a }的前n 项和为S n =1( )( )，判断{ }是否是“紧密数列”，并说明理由；（3）设{a }是公比为q 的等比数列，若{a }与{S }都是“紧密数列”，求q 的取值范围.、 n S 21、（本题满分 18分，分别为4+6+8 分）设数列{a }的前n 项和为 n ，若12 ≤ * n N ∈ n a ≤ 2( )，则称{ }是“紧nn ，2 4，2*3 4n n n N + ∈ na n n n参考答案一、填空题 二、选择题：13-16 DBDA 三、解答题 17、S =10π ,V =π . 18、（1）(0 2)；（2）(- ∞，-1)19、（1） 23；（2）⎝⎛ 3 2 ，2 ⎪⎭⎫ .20、（1）抛物线C 的方程x = 2y ;（2）2 2；（3） y =p2.21、（1）x 的取值范围是⎢⎣⎡321 81 8⎥⎦⎤；（2）是；（3）q 的取值范围是⎢ ⎥⎦⎤63302 ，3 2 8 ， ⎣ ⎡ 1 21，。
上海市浦东新区华师大二附中2019届高三文科数学上册10月月考试题
2019届高三月考（数学文）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，只要求直接写出结果，每个空格填对得4分，否自一律零分1、已知复数3(z i i =+为虚数单位），则5z i +=2、集合{|0,}1xA x x R x =>∈-，则R C A = 3、经过点(3,4,)P 且与直线:3490l x y +-=垂直的直线方程是 4、抛物线24x y =的准线方程为 5、若函数()(2)()xf x x x a =+-为奇函数，则实数a 的值为6、函数()arcsin arctan f x x x =+的值域为7、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1451,125S S ==，那么7S = 8、从3名男同学和n 名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中有一个人是男生的选派方案是46，那么n = 9、数列{}n a 是等比数列，n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，已知13524()2015a a a a a ++-+=，则22222123452016a a a a a ++++=，则5S =10、自球面上一点P 作球的两两垂直的三条线,,PA PB PC ，球的半径为R ，则222PA PB PC ++=11、已知,a b R ∈，满足22a b a b +=+，则a b +的取值范围是12、一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为视图中俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 13、方程sin sin 2sin3cos cos 2cos31,(0,2)x x x x x x x π+=∈的解是14、如图，直线l ⊥平面α，垂直为O ，已知长方体1111ABCD A BC D -中，15,6,8AA AB AD ===，该成方体符合以下条件的自由运用：（1）A l ∈ (2)C α∈，则,C O 两点间的最大距离为二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4个小题，每题都给出4个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律不得分15、由无理数引发的数学危机已知延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次危机，所谓戴德金分割，是指有理数集Q 划分为两个非空的子集M 和N ，且满足,M N Q M Q φ==，M 中的每个元素都小于N 中的每一个元素，则称(,)M N 为戴德金分割，试判断，对于任一戴德金分割(,)M N ，下列选项中，不可能成立的是（ ） A ．M 没有最大值元素，N 有一个最小元素 B ．M 没有最大值元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大值元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大值元素，N 没有最小元素16、已知()2,1f x ax bx b =->，则条件:p “对任意[]01,()1x f x ∈≤”是条件:"1q b a -≤≤的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 17、若[0,],[,44Rππαπβλ∈∈-∈满足22()cos 20,sin cos 02πααλβββλ--=++=，则cos()2αβ+的值是A ．0B ．．关于λ的非常值函数 18、已知O 是平面上一个定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(sin AB OP OA AB Bλ=+)(0)sin AC AC Cλ+>，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心三、解答题：本大题满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90,2ACB AC BC ∠===，直线1A B 与平面11BB C C 所成的角大小为，求三棱锥11C A BC -的体积。
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)
2025届华二附中高三10月月考数学试卷一、填空题1．若集合，则__________．2．已知复数，则__________．3．展开式中的系数为60，则实数__________．4．己知是单调递增的等比数列，，则公比q 的值是__________．5．已知，则_________．6．已知函数，若在定义域内为增函数，则实数p 的最小值为__________．7．己知双曲线，左，右焦点分别为，关于C 的一条渐近线的对称点为P ．若，则的面积为__________．8．己知，则的最小值为__________．9．已知函数是上的奇函数，则__________．10．对平面直角坐标系中两个点和，记，称，为点与点之间的“距离”，其中表示p ，q 中较大者．设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r 为半径的“圆”．以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的面积为__________．11．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：{23},{(4)(2)0}A xx B x x x =<<=+->∣∣A B = 1i z =+|2i |z -=5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x a ={}n a 453824,128a a a a +==π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2ln p f x px x x=--()f x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F 2F 12PF =12PF F △0,0,23x y x y >>+=23x y xy+tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12PP 1P 2P t -max{,}p q ()000,P x y 0r >0P t -0P t -12t -100=⨯水库实际蓄水里水库总蓄水里（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ii ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（iii ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．12．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为__________．二、单选题13．“”是“对任意的正整数x ，均有的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14．己知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.315．已知函数不是常数函数，且满足对于任意的，，则（ ）A ．B ．一定为周期函数C ．不可能为奇函数D ．存在16．如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是（ ）命题甲：存在曲线满足要求命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求[0,100]21620y x x =-+y =5010x y =π100sin 200y x =1111ABCD A B C D -1111A B C D 45︒ABCD EFGH -1a =2a x x+≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(24)P ξ<≤()f x ,R a b ∈()()2()()f a b f a b f a f b ++-=(0)0f =()f x ()f x ()00R,2x f x ∈=-()y f x =()y f x =sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1()y f x =2()y f x =,λμ1λμ+=12()()y f x f x λμ=+A ．甲命题正确，乙命题正确B ．甲命题错误，乙命题正确C ．甲命题正确，乙命题错误D ．甲命题错误，乙命题错误三、解答题17．如图，在正三棱柱中，分别是的中点，的边长为2．（1）求证：平面；（2）若三棱柱的高为1，求二面角的正弦值．18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．己知2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区（不包含A ，B 两地）航班放行准点率的估计值分别为和、2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6试解决一下问题：（1）现在从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（2）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．19．在中，，内有一点M ，且．（1）若，求的面积；（2）若，求BM 的长．20．己知圆，直线过点且与圆交于点B ，C ，BC 中点为D ，过中点E 且平行于的直线交于点P ，记P 的轨迹为（1）当到直线时，求直线方程；（2）求的方程；（3）坐标原点O 关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直线与交于点M ，N ，直线相交于点Q ，求的面积．111ABC A B C -1,,D D F 1111,,BC B C A B 4,BC BE ABC = △EF ∥11ADD A 1B EF C --84%80%，75%84%，ABC △π10,3BC ABC =∠=ABC △2,π3BM CM AMB ⊥∠=BM =ABC △14AC =221:(1)16A x y ++=1l 2(1,0)A 1A 2A C 1A D 1AC Γ1A 1l 1l Γ12,A A 12,B B 12,A A y x =12,C C 1A 2l Γ12,B M B N 12QC C △21．对于函数，定义域R ，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．己知．（1）如果对成立．求证：为周期函数；（2为“关于倒数点”，且只有两个不同的解，求函数m 的值；（3）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．()f x 0x ()()001f x f x λ+=0λ≠()f x 0x ()f x λ()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>()(1)1f x f x +=x R ∈()h x 2-2()()m h x g x =(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩()x ω2025届华二附中高三10月月考数学试卷参考答案一、填空题1．【答案】2．3．【答案】12【解析】展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为，解得．4．【答案】2【解析】由等比数列性质知，联立，解得或，因为是单调递增的等比数列，所以，即．5．【答案】6．【答案】1【解析】函数．要使在定义域内为增函数，只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立．，当且仅当，即时等号成立，，即实数p 的最小值为1．7．【答案】4{23}xx <<∣5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭552155C C kk k k k k k a T x a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭523k -=1k =5ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 15C 60a =12a =3645a a a a =454524128a a a a +=⎧⎨=⎩45816a a =⎧⎨=⎩45168a a =⎧⎨=⎩{}n a 45816a a =⎧⎨=⎩542a q a ==725- 22222()2ln ,(0,),()p p px x p f x px x x f x p x x x x-+'=--∈+∞=+-=()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞220px x p -+≥(0,)+∞221x p x ≥+(0,)+∞222111x x x x =≤=++ 1x x =1x =1p ∴≥【解析】设与渐近线交于M ，则，所以，由O ，M 分别与的中点，知且，即，由，所以．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】2PF b y x a=222,tan ,sin b b F M OM MOF MOF a c⊥∠=∠=222sin ,F M OF MOF b OM a =⋅∠===12F F 2PF 1OM PF ∥1112OM PF ==1a =e =2c b ==1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=△△1+223(2)211x y x x y y x y xy xy y x+++==++≥+2-tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+tan tan tan 1tan tan tan tan 121tan tan x x x x θθθθθ+--=+-⨯-tan (1tan tan )(tan tan )1tan tan 2(tan tan )x x x x θθθθθ--+=--+()2tan 1tan 12tan (tan 2)tan xxθθθ-+=--+上的奇函数，又上的奇函数．10．【答案】4【解析】设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则．若，则；若，则有．由此可知，以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：则“圆”的面积为．11．【答案】②④【解析】①，该函数在时函数值为180，超过了范围，不合题意；②为严格增函数，且，则，符合题意；③，当时，不合题意④，当时，，故该函数在上严格递增，又ππ(),20242024f x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()2tan 1tan y x θ=-+⋅tan 20,tan 2θθ∴+=∴=-(,)P x y 12t -||||1max ,1||1||2x y x y ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭||||11||1||2y x y x ≤=++||1||1x y =⎧⎨≤⎩||||11||1||2x y x y ≤=++||1||1y x =⎧⎨≤⎩12t -t -224⨯=()2221116120(60)180202020y x x x x x =-+=--=--+60x =y =[0,100],[0,100]x y ∈∈10≤x ≤5010xy =50x =50101050x=<π100sin 200y x =[0,100]x ∈ππ0,2002x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,100]π100sin[0,100]200y x =∈设即即，易知在上为严格减函数令，则存在，有当；当；故在严格递增，在严格递减．故上即上，故④符合题意12．【解析】如图作出原正方体，与HE ，EF 的交点分别为M ，N ，HE 与的交点为P ，上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为a ，则，所以，π()100sin ,[0,100]200g x x xx =-∈ππ()100cos 1,[0,100]200200g x x x '=⋅⋅-∈ππ()cos 12200g x x '=⋅-ππ()cos 12200g x x =⋅-[0,100]()0g x '=0[0,100]x ∈()0g x '=[]00,,()0x x g x '∈>[]0,100,()0x x g x '∈<()g x []00,x []0,100x (0)0,(100)0g g ==[0,100]()0g x ≥[0,100]π100sin 200x x ≥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 21a =a =所以，设该十面体的体积为V ，二、单选题13．【答案】A【解析】对任意的正整数x ，均有，所以，当时，取最大值1，所以．因为时，一定成立；时，不一定成立．所以“”是“对任意的正整数x ，均有”的充分不必要条件．14．【答案】B【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以15．【答案】C【解析】由题意，函数满足对于任意的，令，解得或．若，令，则，故，与题设不为常数函数矛盾，所以A 错误；所以，此时令，得，即，所以必然为偶函数，所以C 正确；||1MN ==-1111144ABCD A B D A MP E ABNMC V V V V --=-+11111144||332A MP ABNM S A A S MN =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯△四边形211114141323=-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2a x x +≥222,2x a x a x x +≥∴≥-+1x =22x x -+1a ≥1a =1a ≥1a ≥1a =1a =2a x x +≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(4)0.2P ξ>=11(24)[12(0)](120.2)0.322P P ξξ<≤=-≤=⨯-⨯=()f x ,R,()()2()()a b f a b f a b f a f b ∈++-=0a b ==(0)0f =(0)1f =(0)0f =,0a x b ==()()0f x f x +=R,()0x f x ∀∈=(0)1f =0,a b x ==()()2()f x f x f x +-=()()f x f x -=()f x再令，则，所以D 错误；例如，函数符合题意，此时函数在上严格递增，且不为周期函数，所以B 错误．故选：C ．16．【答案】B【解析】由图知点，所以直线AB 的方程为，直线CD 的方程为，所以，对于命题甲：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，方程组中a ，b 不可解，故命题甲不正确；对于命题乙：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故命题乙正确，综上，故选B三、解答题17．【答案】（1）见解析；（2）2x a b ==2()2112x f x f ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭e e ()2x xf x -+=()f x (0,)+∞(0,4),(1,3),(2,1),(4,0)A B C D 4y x =-+122y x =-+11,2AB CD k k =-=-sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1(cos sin )2y a ax b bx '=-1x =1y =-2x =12y =-1(cos sin )2y a ax b bx '=-1( c o s s i n )1211( c o s 2 s i n 2)22a ab b a a b b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩cos sin 2cos 2sin 21a a b b a a b b -=-⎧⎨-=-⎩sin cos 32sin 2cos 212a b c a b c +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(sin cos )(sin 2cos 2)4a b a b +-+=1λμ+=121122(1)(1)()11111(2)(2)()2222x x y f f y f f λμλμλμλμλμλμ=='''⎧=+=--=-+=-⎪⎨'''=+=--=-+=-⎪⎩12112x x y y =='⎧=-⎪⎨'=-⎪⎩1λμ+=12()()y f x f x λμ=+25【解析】（1）证明：取的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得，且，由三棱柱得性质知，所以，则四边形DGEF 是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．（2）因为是等边三角形，且边长为2，所以，因为三棱柱的高为1，以D 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：所以，所以，设平面BEF的法向量11A D 11FG B D ∥1111,22FG B D DE BD ==11BD B D ∥FG BD ∥EF DG ∥EF ⊄11ADD A DG ⊂11ADD A EF ∥11ADD A ABC △AD BC ⊥1,,DB AD DD111,0,0,,,(1,0,0),(1,0,1)22E F B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113,0,0,0,,,0,122BE EF EC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111,,m x y z =则，令，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，设二面角为，所以，所以，所以二面角的正弦值为．18．【解析】（1）设"该航班飞往A 地"， "该航班飞往B 地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，由全概率公式得，，所以该航班准点放行的概率为0.778（2）（2），11111110020x m BE x z y m EF y z ⎧=⋅=-=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⋅=+=⎩⎪⎩ 1y =113,02z x ==32m ⎛⎫= ⎪⎝⎭1C EF ()222,,n x y z =122222222330220n EC x z z x n EF y z z y ⎧⎧⋅=-+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅=+==⎪⎪⎩⎩22y =22x z ==n = 1B EF C --([0,π])θθ∈|||cos |||||m n m n θ⋅= 2sin 5θ==1B EF C --251A =2A =3A =C =()()()1230.2,0.2,0.6P A P A P A ===()()()1230.84,0.8,0.75P C A P C A P C A ===∣∣∣()()()()()()112232()P C P A P C A P A P C A P A P C A =++∣∣∣0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=()()()()11110.20.84()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大．19．【答案】（1；（2【解析】（1）在直角中，，可得，因为，则在中，，则，所以，解得，则（2）在中，，即，即，解得或（舍去），设，则，()()()()22220.20.8()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣()()()()33330.60.75()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯BMC △BM =ππ,63MBC BCM ∠=∠=10BC =BM =ABM △π2π,63ABM AMB ∠=∠=π6BAM ∠=2ππsin sin 36AB BM ==15AB =11sin 151022ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=△ABC △222π2cos 3AC AB BC AB BC =+-⋅211961002102AB AB =+-⋅⨯210960AB AB --=16AB =6AB =-CBM θ∠=π2ππ,π333ABM BAM θθθ⎛⎫∠=-∠=---= ⎪⎝⎭在中，可得，可得，即，则，则20．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）（2）由题意得，．因为D 为BC 中点，所以，即，又，所以，又E 为的中点，所以，所以，所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．设，其中．则故．（3）思路一：由题意得，，且直线的斜率不为0，ABM △10cos 2πsin sin sin 3AB BM θθθ==10cos sin θθ=16sin θθ=tan θ=cos θ==cos BM BC θ=⋅=1)y x =-22:1(2)43x y x Γ+=≠±1)y x =-12(1,0),(1,0)A A -1A D BC ⊥12A D A C ⊥1PE A D ∥2PE A C ⊥2A C 2||PA PC =121112||4PA PA PA PC AC A A +=+==>Γ12,A A 2222:1()x y x a a bΓ+=≠±2220,a b a b c >>-=24,2,1,a a c b =====22:1(2)43x y x Γ+=≠±1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l可设直线，且．由，得，所以，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路二：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以，()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()21122222y x x x y x ++=--()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路三：由题意得，，且直线的斜率不为0．()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l（i ）当直线垂直于x 轴时，，由得或．不妨设，则直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，所以，故Q 到的距离，此时的面积是．（ii ）当直线不垂直于x 轴时，设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得．下证：．即证，即证，2l 2:1l x =-221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1B M 3(2)2y x =+2B N 1(2)2y x =-3(2)21(2)2y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)Q --12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=2l ()()21122:(1),,,,l y k x M x y N x y =+122,2x x ≠±≠±22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()22224384120k x k x k +++-=221212228412,4343k k x x x x k k --+==++1MB 11(2)2y y x x =++2MB 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()()()()()2112121221121212124262121234k x x k x x x x x x k x x k x x x x ⎡⎤++++--+==⎢⎥++-+-++⎣⎦121212426434x x x x x x -+=-++()121212426434x x x x x x -+=-++()121241016x x x x =-+-即证，即证，上式显然成立，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，此时的面积是定值，为．由（i ）（ii ）可知，的面积为定值．思路四：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，因为，所以，故直线的方程为：22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22244121081643k k k -=---+4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=12QC C △1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,x my M x y N x l y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--2222143x y +=22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭2B N 2223(2)4x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭由，得，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．21．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）；（3）．【解析】（1）对成立，得，所以2为函数的周期．（2为"关于倒数点"，得，即，即，得，设的定义域为R，求导得，当时，严格递增；时，严格递减；时，严格递增，所以的单调递增区间为，递减区间为，成立，（舍）（3）依题意，，1122(2)223(2)4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩()()1212422322y y x x x x -=-+++()()()()12122222121212444933113139634y y y y mx my m y y m y y m m m ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥=-=-=-=⎢⎥+++++-+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=(,3),(1,)-∞--+∞(3,1)--34e -(2,e)()(1)1f x f x +=x R ∈1()(2)(1)f x f x f x ==++()f x ()h x 2-2)1h h =22)1,2)10a a a a ++=+-+-=(1)(1)0a a +--=1a =2()e (1)x x x ϕ=+2()e (1)2e (1)e (1)(3)x x x x x x x x ϕ'=+++=++(,3)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(3,1)x ∈--()0,()x x ϕϕ'<(1,)x ∈-+∞()0,()x x ϕϕ'>()x ϕ(,3),(1,)-∞--+∞3(3,1).(3)4m e ϕ---=-=(1)0m ϕ=-=e ,0()1,0x x x x x a ω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，①当时，，方程可化为，解得，这与不符，因此在内没有实数根；②当时，，方程可化为，该方程又可化为．设，则，因为当时，，所以在内严格递增，又因为，所以当时，，因此，当时，方程在内恰有一个实数根；当时，方程在内没有实数根．③当时，没有意义，所以不是的实数根．④当时，，方程可化为，化为，于是此方程在内恰有两个实数根，则有，解得因此当时，方程在内恰有两个实数根，当在内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为．()x ϕ()(1)1x x ωω+=0x >10x +>()(1)1x x ωω+=21e 1x +=12x =-0x >(0,)+∞()(1)0x x ωω+=10x -<<10x +>()(1)1x x ωω+=11x e x a+=+1ex a x +=-1()e x k x x +=-1()e 1x k x +'=-(1,0)x ∈-()0k x '>()k x (1,0)-(1)2,(0)e k k -==(1,0)x ∈-()(2,e)k x ∈(2,e)a ∈()(1)1x x ωω+=(1,0)-(0,2][e,)a ∈+∞ ()(1)1x x ωω+=(1,0)-1x =-10,(1)x x ω+=+1x =-()(1)1x x ωω+=1x <-10x +<()(1)1x x ωω+=1111x a x a ⋅=+++22(21)10x a x a a ++++-=(,1)-∞-()222(21)41021121(21)10a a a a a a a ⎧+-+->⎪+⎪-<-⎨⎪-+++->⎪⎩a >a >()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-0a <≤()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-(2,e)(2,e)⎫+∞=⎪⎪⎭。
2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期质量检测数学试题(解析版)
2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期质量检测数学试题一、单选题1．已知函数()()f x x R ∈满足()f x =()4f x -,若函数y =241x x -+与()y f x =图象的交点为()()()()112233,,,,,,,,,n n x y x y x y x y 则1ni i x ==∑A ．0B ．nC ．2nD ．4n【答案】C【解析】由()f x =()4f x -知函数()y f x =的图象关于直线x =2对称,且函数y =241x x -+的图象也关于直线x=2对称,则两个函数图象的交点两两关于直线x=2对称,故12nii xn ==∑.故答案为：C.2．关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程组存在唯一解的条件是（ ） A ．12a a ⎛⎫⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行 B ．12a a ⎛⎫⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫⎪⎝⎭不平 C ．12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行D ．12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫⎪⎝⎭不平行【答案】C【解析】由方程组存在唯一解时，系数行列式11210a b a b ≠，所以12210a b a b -≠，即可求解． 【详解】由题意，关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，若方程组存在唯一解时，系数行列式11210a b a b ≠，所以12210a b a b -≠，又由1122,a b a b a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得向量a 和b 不平行，即12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平行．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及二元一次方程组的增广矩阵的应用，其中解答中熟记二元一次方程组唯一解的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．在R t A B C ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．18【答案】C【解析】取MN 中点D ，由极化恒等式得，22PM PN PD DM ⋅=-， 所以当DP BC ⊥，PM PN ⋅最小，则14PC BC =，即14k =。
上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题(解析版)
（1）若集合 满足 ， ，求实数 的值；
（2）已知集合 ，其中 ，由 中的元素构成两个相应的集合： ， .其中 是有序数对，集合 和 中的元素个数分别为 和 .若对于任意的 ，总有 ，则称集合 具有性质 .
①请检验集合 与 是否具有性质 ，并对其中具有性质 的集合，写出相应的集合 和集合 ；
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合 ，再根据 列不等式组即可求解；
（2）求出方程 的两根分别为 ，讨论 ， ， 时集合 ，结合 ，即可求解.
【详解】（1） ，
，
若 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
所以实数 的取值范围为： ；
（2）由 可得： ，
当 时， ，此时 ，而 ，
若 ，则 ，
当 时， ，不等式 解集为 ，此时满足 ，
故选：D.
4. “对任意 ，都有 ”的否定形式为（）
A.对任意 ，都有
B.不存在 ，都有
C.存在 ，使得
D.存在 ，使得
【答案】D
【解析】
【分析】
全称命题的否定是特称命题，据此得到答案.
【详解】全称命题的否定是特称命题，
则“对任意 ，都有 ”的否定形式为：存在 ，使得 .
故选：D.
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.
【解析】
【分析】设 ，利用待定系数法求出 的值，再由不等式的性质计算 和 的范围，即可得 的范围，再两边同时除以 即可求解.
【详解】由 可得： ，
令 ，整理可得： ，
所以 ，解得： ，
所以 ，
将 两边同时乘以 ，可得 ，①
将 两边同时乘以 ，可得 ，②
两式相加可得：
2019年上海华师大二附中高三数学文期末试题含解析
2019年上海华师大二附中高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数为奇函数，且当时，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D略2. 已知是的一个内角，且，则的值为（）A、B、C、D、或参考答案：A3. 已知区域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx 与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A的概率为（）A．B．C．D．参考答案：【考点】几何概型．【分析】首先明确几何概型测度为区域面积，利用定积分求出A的面积，然后由概型公式求概率．【解答】解：由已知得到事件对应区域面积为=4，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，面积为2=2sinx|=，由急火攻心的公式得到所求概率为：；故选C【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确几何测度是关键．4. 设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；集合．【分析】利用不等式性质和集合定义求解．【解答】解：（1）∵集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．5. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，，则数列{a n}的公比q=（）A. -1B. 1C. ±1D. 2参考答案：【分析】分别在和列出和，构造方程求得结果.【详解】当时，，满足题意当时，由得：，即，解得：综上所述：本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略的情况造成求解错误.6. 在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为A. B.C. D.参考答案：D略7. 设函数其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数不同零点的个数为()A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：略8. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A． B．C． D．参考答案：A9. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A. B. C. D.参考答案：B10. 在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：B,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 向量，，若，则m= ．参考答案：±1因为，所以，故12. 已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.参考答案：3略13. 已知实数，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为参考答案：14. 若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．解答：解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．点评：本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15. 设函数f（x）＝，则f（f（3））＝______参考答案：16. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________. ks5u参考答案：217.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知边长为4，a边长为6，则b边长为，△ABC的面积为 .参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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2019届上海华东师范大学第二附属中学高三（10月）考试数学试题一、单选题1．函数的图像可能是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，当时，∴，所以排除B，当时，∴，所以排除C，故选D.【考点】函数图象的平移.2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，（S8-S5）（S9-S5）<0，则（）A．|a7|>|a8| B．|a7|<|a8| C．|a7|=|a8| D．|a7|=0【答案】B【解析】根据题意，由分析可得，结合等差数列的性质可得，又由的公差，分析可得，，且，即可得到答案【详解】根据题意，等差数列中，即，为等差数列，则有，与异号，必有，，且，故选【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，根据题意进行化简，注意化简过程中的计算问题。
3．已知D为三角形ABC的边AB上的一点，且，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用三点共线，可得，经过比较即可得到答案【详解】三点共线，，，解得故选【点睛】本题主要考查的知识点是向量共线定理，平面向量基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于基础题。
4．已知函数，设a R，若关于x的不等式f（x）≥在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】画出分段函数的图像，然后讨论的取值范围【详解】由已给的函数的解析式，可得的图象在直线的左侧是抛物线，在直线的右侧是对勾函数的图象函数的图象是由函数的图象向左平移个单位或向右平移个单位得到的在平面直角坐标系中画出和的图象，如图所示，结合图象可知，关于的不等式在上恒成立等价于⑴若，则，由①可得，由②可得，取交集可得⑵若，只需，可得⑶若，由图象易知符合题意综上，则的取值范围为故选【点睛】本题是一道关于分段函数和不等式的综合题目，在求解过程中先画出分段函数的图像，结合图像讨论的取值，然后求解不等式，有一定难度。
二、填空题5．设函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=3x+x，则当x＞0时，f（x）=______ 【答案】【解析】设时，则，根据题意利用函数的奇偶性求得函数的解析式【详解】设时，则，当时，，函数是奇函数则故答案为【点睛】本题主要考查了解析式法表示函数，函数的奇偶性知识，转化的解题方法，属于基础题。
6．已知函数，其反函数图像经过点（3,1），则实数m的值为______ 【答案】1【解析】由反函数知识代入点坐标计算结果【详解】其反函数图像经过点，函数经过点，解得故答案为【点睛】本题主要考查的知识点是反函数，只需代入点坐标即可求出结果，属于基础题。
7．设集合A=，B=，则“A B=R”是“a=1”的______条件（填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一）【答案】必要不充分条件【解析】做出两个集合的并集是全体实数时，看出与之间的关系，得到的取值范围，比较两个条件对应的范围，看出两个范围的大小，得到不能推出，但可以推出【详解】，，当时，不一定得到当时一定可以得到是“”的必要不充分条件【点睛】本题主要考查了集合关系中的参数取值问题以及必要条件，充分条件和充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解题的关键，属于基础题。
8．若关于,x y 的二元一次方程组42{ mx y m x my m+=++=有无穷多组解，则m 的取值为__________． 【答案】2【解析】关于,x y 的二元一次方程组42{mx y m x my m+=++=有无穷多组解，所以直线42mx y m +=+与直线x my m +=重合，所以421m m m m+==，解得2m = ，即m 的取值为2，故答案为2.9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB ＝90°，AA1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A1B 与AC 所成角的余弦值是________．【答案】6【解析】以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，A (1,0,0)，C (0,0,0)，则1A B ＝(－1,1，－2)，AC ＝(－1,0,0)，cos 〈1A B ，AC 〉＝11A B AC A BAC⋅⋅＝10．方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______【答案】【解析】焦点在轴上的椭圆的标准方程为，其中，由此可得，解出即可得到实数的取值范围 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，该椭圆的标准方程为满足，解得则的取值范围为故答案为【点睛】本题已知椭圆是焦点在轴上椭圆，求参数的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题。
11．如果数列为递增数列，且，则实数的取值范围______ 【答案】【解析】由数列为递增数列，列出表达式求出取值范围【详解】数列为递增数列，则，即，当时取到最小值，故【点睛】本题考查了数列的单调性，只要比较与的大小关系即可算出结果，较为基础。
12．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.13．已知F是椭圆C：的右焦点，P是C上一点，A（-2，1），当△APF周长最小时，其面积为______ 【答案】4 【解析】利用椭圆的定义，确定周长最小时的坐标，即可求出周长最小时该三角形的面积。
【详解】椭圆：，设左交点为，右焦点为周长为当且仅当三点共线，即位于轴上方时，周长最小此时直线的方程为代入中，可得故故答案为 【点睛】本题主要考查的知识点是椭圆焦点三角形面积的求解，解答本题的关键是确定三角形面积最小时点的坐标，进而求出直线方程，属于中档题。
14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且1c o s c o s 2a B b A c -=，则t a n t a n AB的值为__________． 【答案】3【解析】∵ABC ∆中， 1cos cos 2a Bb Ac -=∴由正弦定理可得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=∴()2sin cos 2sin cos sin sin A B B A C A B -==+ ∴2sin cos 2sin cos sin cos sin cos A B B A A B B A -=+ ∴sin cos 3sin cos A B B A = ∴tan sin cos 3tan cos sin A A BB A B== 故答案为315．若二次函数f （x ）=ax2+bx+c （a>0）在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为______ 【答案】【解析】根据题意可得，，，，化简整理，设，，可得，的不等式组，作出可行域，根据平移法，可得所求范围 【详解】在区间上有两个不同的零点，，即设，，即有，画出上式表示的可行域，由组成的图形，（包括线段，，不包括曲线）由可得的最小值为0当经过点，可得即故答案为【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，运用数形结合，找出限制条件，将其转换为线性规划问题，然后求出取值范围，有一定难度。
16．已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【解析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。
【详解】集合的所有非空子集的乘积之和为函数展开式中所有项数之和令，故答案为 【点睛】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解，注意转化思想的应用，属于难题。
三、解答题17．如图所示，在边长为5的长方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．【解析】解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知条件(1522r r lππ⎧++=+⎪⎨=⎪⎩解得rl ＝，S 全面积＝πrl ＋πr 2＝10π，hV ＝13πr 2h＝3． 18．已知函数()21,0f x x x a a =---≤. (1)当a=0时,求不等式f(x)<1的解集(2)若f(x)的的图象与x 轴围成的三角形面积大于32,求a 的取值范围【答案】（1）{}|02x x <<；（2）(),1-∞-【解析】试题分析：（1）代入0a =时，不等式()1f x <化为2110x x ---<，分类讨论，即可求得不等式的解集； （2）由题设可得()f x 的解析式，求解三角形顶点坐标，得到三角形的面积()2126a -，列出不是，即可求解实数a 的取值范围. 试题解析：（1）当0a =时， ()1f x <化为2110.x x ---<. 当0x ≤时，不等式化为0x >，无解；当102x <≤时，不等式化为0x >，解得102x <≤； 当12x >时，不等式化为2x <，解得122x <<；综上， ()1f x <的解集为{}|02x x <<.（2）由题设可得()1,,1{31,, 211,.2x a x a f x x a a x x a x -+-<=-++≤≤-+> 所以()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为1,03a +⎛⎫⎪⎝⎭， ()1,0a -， 11,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，该三角形的面积为()212.6a - 由题设()212362a ->，且0a <，解得1.a <-所以a 的取值范围是(),1-∞-.19．已知函数，将y=f （x ）的图象向左平移个单位后得到g （x ）的图象，且y=g （x ）在区间内的最小值为（1）求m 的值；（2）在锐角三角形ABC 中，若g （）=，求sinA+cosB 的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】⑴根据二倍角公式化简，利用平移规律得出的解析式，根据最小值列方程求出⑵根据条件求出，用表示出，化简得出关于的函数，根据的范围，正弦函数的性质得出的范围【详解】⑴，则当时，取得最小值，解得⑵,，则，即是锐角三角形，则，解得，即的取值范围是【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求解以及解三角形中的取值范围问题，运用辅助角公式、两角和的正弦公式进行化简，需要注意角的取值范围，有一定的计算量，属于中档题。