2020届理科数学练习册(学生版)
2020高考数学(理数)复习作业本10.1 计数原理与排列组合(含答案)
2020高考数学(理数)复习作业本10.1计数原理与排列组合一、选择题1.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中个位数字小于十位数字的只有( )A.210个B.300个C.464个D.600个2.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是( )A.9B.10C.18D.203.直线方程Ax ＋By=0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A ，B 的值，则可表示________条不同的直线( )A.19B.20C.21D.224.某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数有( )A.50B.26C.24D.6165.计算：A 67－A 56A 45=( )A.12B.24C.30D.366.从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( )A.2B.4C.12D.247.若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )A.180种B.360种C.15种D.30种8.有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( ) A.A 88种 B.A 48种 C.A 44A 44种 D.2A 44种二、填空题9.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)10.从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________.11.把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种.12.用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种.三、解答题13.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？14.写出下列问题的所有排列.(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长.15.某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行.(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.全部赛程共需比赛多少场？16.已知10件不同的产品中有4件是次品,现对它们进行测试,直至找出所有次品为止.(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数是多少?答案解析3.D.解析：若A 或B 中有一个为零时，有2条；当AB ≠0时，有5×4=20条，则共有20＋2=22条， 即所求的不同的直线共有22条.故选D. 4.A.解析：根据分类加法计数原理，因数学课代表可为男生，也可为女生，因此选法共有26＋24=50(种)，故选A. 5.D.解析： A 67=7×6×A 45，A 56=6×A 45，所以原式=36A 45A 45=36.6.C.解析：本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A 24=12. 7.B.解析：由排列定义知选派方案有A 46=6×5×4×3=360(种). 8.C.[解析]安排4名司机有A 44种方案，安排4名售票员有A 44种方案.司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有A 44A 44种方案.9.答案为：1 560；[解析]同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 240=40×39=1 560条毕业留言.10.答案：6.解析：从四个数中任取两个数的取法为C 24=6. 11.答案：36.解析：先考虑产品A 与B 相邻，把A 、B 作为一个元素有A 44种方法，而A 、B 可交换位置，所以摆法有2A 44=48(种).又当A 、B 相邻又满足A 、C 相邻，摆法有2A 33=12(种). 故满足条件的摆法有48－12=36(种).12.答案：28.解析：0夹在1,3之间有A 22A 33种排法，0不夹在1,3之间又不在首位有A 12A 22A 12A 22种排法.所以一共有A 22A 33＋A 12A 22A 12A 22=28种排法.13.解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66=1 440(种).(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44=37 440(种).14.解：(1)四名同学站成一排，共有A44=24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲.(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A25=20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.15.解：(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C26=2×6×51×2=30(场).(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A22=2×1×2=4(场).(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负.所以全部赛程共需比赛30＋4＋1=35(场). 16.解：。
2020高考数学(理数)复习作业本1.1 集合(含答案)
2020高考数学(理数)复习作业本1.1 集合一、选择题1.已知集合{}1,2,3A =,{}2,3B =,则( ).A.A B =B.A B =∅C.A B ØD.B A Ø2.已知集合{}0≥=x x A ，{}2,1,0=B ，则A.B A ⊆B.A B ⊆C.B B A =D.∅=B A3.已知集合}2,1,0,1,2{--=A ，}0)2)(1(|{<+-=x x x B ，则=B A （ ）A.}0,1{-B.}1,0{C.}1,0,1{-D.}2,1,0{4.已知集合M={x||x|＜2}，N={x|x2-x ＞0}，则M ∪N=_____A.ΦB.RC.MD.N5.已知集合，，，则的取值范围是（ ） A. B.C. D. 6.设全集U=R,，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 7.已知集合,则B 的子集个数为（ ）A.8B.2C.4D.78.设集合{}(){}|sin ,x R ,|lg A y y x B x y x ==∈==-,则A B =( )A.(]0,1B.[)1,0-C.[]1,0-D.(],1-∞二、填空题9.已知集合A={x|-2≤x ≤7},B={x|m ＋1<x<2m-1},且B ≠∅,若A ∪B=A,则实数m 取值范围是________.10.若A={x|－3≤x ≤4},B={x|2m －1≤x ≤m ＋1},B ⊆A,则实数m 的取值范围为________．11.已知[1,5] ，那么实数a的最小值为12.已知A={x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B={x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若A B，则实数a的取值范围是___________________.三、解答题13.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B和A∪B.14.用A、B、U表示图中阴影部分．15.设全集U=R，集合M={x|3a-1＜x＜2a，a∈R}，N={x|-1＜x＜3}，若N包含于∁U M.求实数a的取值集合．16.设集合A={x|x2-5x＋6=0},B={x|x2-(2a＋1)x＋a2＋a=0},若B⊆A,求a的值.答案解析1.D.2.B3.A4.B5.C6.B.7.A.8.D9.答案为：2<m≤410.答案为：[－1，＋∞)11.答案为：-7.12.答案为：－4≤a≤－1.13.解析:A∩B={(1,1)}，A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}14. [答案] (A∪B)∩∁U(A∩B)或(∁U A∩B)∪(A∩∁U B)15. [解析] ∵N≠∅，N包含于∁U M ∴①若M=∅，则∁U M=R，显然成立．于是有3a－1≥2a，得a≥1.②若M≠∅，则3a－1＜2a，有a＜1.这时∁U M={x|x≤3a－1，或x≥2a}，由N=U M得2a≤－1或3a－1≥3，即a≤－0.5或a≥4/3，又a＜1故a≤－0.5.综合①②有a≥1或a≤－0.5.即a的取值集合为{a|a≥1或a≤－0.5}．16.解:A={x|x2－5x＋6=0}={2,3}，由B⊆A，得B=，或B={2}，或B={3}，或B={2,3}.因为Δ=(2a＋1)2－4a2－4a=1>0，所以B必有两个元素．则B={2,3}，需2a＋1=5和a2＋a=6同时成立，所以a=2.综上所述：a=2.。
2020高考数学(理数)复习作业本9.2 用样本估计总体(含答案)
2020高考数学(理数)复习作业本9.2用样本估计总体一、选择题1.在频率分布直方图中，小长方形的面积是（）A、频率/样本容量B、组距×频率C、频率D、样本数据2.下列叙述中正确的是（）A、从频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小B、频数是指落在各个小组内的数据C、每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率D、组数是样本平均数除以组距3.列样本频率分布表时，决定组数的正确方法是（）A、任意确定B、一般分为5—12组C、由组距和组数决定D、根据经验法则，灵活掌握4.频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）A、组距B、频率C、组数D、频数5.为考察某种皮鞋的各种尺码的销售情况，以某天销售40双皮鞋为一个样本，把它按尺码分成5组，第3组的频率为0、25，第1，2，4组的频率分别为6，7，9，若第5组表示的是40—42码的皮鞋，则售出的200双皮鞋中含40—42码的皮鞋为（）A、50B、40C、20D、306.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是( )（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关7.一个容量为20 的样本数据，分组后组距与频数如下：（10,20］,2;(20,30］,3；(30，40］，4；（40，50］，4；（60，70］，2。
则样本在区间（- ，50］上的频率是（）A、5%B、25%C、50%D、70%8.把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是( )A．0.05 B．0.25 C．0.5 D．0.79.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0、125，则n的值为（）A、640B、320C、240D、16010.为考察某种皮鞋的各种尺码的销售情况，以某天销售40双皮鞋为一个样本，按尺码分为5组，第三组的频率为0.25，第1，2，4组的频数为6，7，9，若第5组表示的是40~42的皮鞋，则售出的200双皮鞋中含40~42的皮鞋为（）双A、50B、40C、20D、3011.在10人中，有4人是学生，2人是干部，3人是工人，1人是农民，分数2/5是学生占总体的（）A、频数B、概率C、频率D、累积频率12.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )13.某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n －m 的值是________．14.某人掷一个均匀的正方体玩具（它的每个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6），一共抛了7768次，从而统计它落地时向上的数出现的频率。
2020高考数学(理数)复习作业本12 不等式选讲(含答案)
2020高考数学(理数)复习作业本12不等式选讲1.已知函数f(x)=m-|x-2|，m ∈R ，且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 大于0，且，求证：a+2b+3c ≥9.2.已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2=1，m 2＋n 2＋p 2=1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp|≤1；(2)若abc≠0，证明：＋＋≥1.m4a2n4b2p4c23.已知函数f(x)=|x －a|＋(a≠0)．12a(1)若不等式f(x)－f(x ＋m)≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a ＜时，函数g(x)=f(x)＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．124.选修45：不等式选讲已知函数()213f x x =+，（1）若不等式f(x)≥-|x|+a 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对于实数x,y,有113x y ++≤，1233y -≤，求证:()23f x ≤．5.已知函数f(x)=|x ＋a|＋|x-2|.(1)当a=-3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．6.已知函数f(x)=|x ＋m|＋|2x －1|(m ∈R)．(1)当m=－1时，求不等式f(x)≤2的解集；(2)设关于x 的不等式f(x)≤|2x＋1|的解集为A ，且⊆A ，求实数m 的取值范围．[34，2]7.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-a |.（1）当a=1时，解不等式：f(x)≥4-|x-1|；（2）若f(x)≤1的解集为[]()110,2,0,02a m n m n+=>>，求mn 的最小值.8.选修4-5：不等式选讲若实数x ，y ，z 满足4x+3y+12z=1，求x 2+y 2+z 2的最小值．答案解析1.2.解：(1)易知|am ＋bn ＋cp|≤|am|＋|bn|＋|cp|，因为a 2＋b 2＋c 2=1，m 2＋n 2＋p 2=1，所以|am|＋|bn|＋|cp|≤＋＋==1，a2＋m22b2＋n22c2＋p22a2＋b2＋c2＋m2＋n2＋p22故|am ＋bn ＋cp|≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2=1，m 2＋n 2＋p 2=1，所以＋＋=(a 2＋b 2＋c 2)≥2=(m 2＋n 2＋p 2)2=1，m4a2n4b2p4c2(m4a2＋n4b2＋p4c2)(m2a ·a ＋n2b ·b ＋p2c·c )所以＋＋≥1.m4a2n4b2p4c23.解：(1)∵f(x)=|x －a|＋，12a∴f(x ＋m)=|x ＋m －a|＋，12a∴f(x)－f(x ＋m)=|x －a|－|x ＋m －a|≤|m|，∴|m|≤1，即－1≤m≤1，∴实数m 的最大值为1.(2)当a ＜时，g(x)=f(x)＋|2x －1|=|x －a|＋|2x －1|＋1212a=Error!∴g(x)min =g =－a ＋=≤0，(12)1212a －2a2＋a ＋12a∴Error!或Error!∴－≤a＜0，∴实数a 的取值范围是.12[－12，0)4.解:5.解:6.解：(1)当m=－1时，f(x)=|x －1|＋|2x －1|，由f(x)≤2，得|x －1|＋|2x －1|≤2，∴Error!或Error!或Error!解得Error!或Error!或Error!∴0≤x≤或＜x ＜1或1≤x≤.121243∴原不等式的解集为.{x|0≤x ≤43}(2)∵⊆A ，∴当x ∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，[34，2][34，2]即|x ＋m|＋|2x －1|≤|2x＋1|在x ∈上恒成立，[34，2]∴|x ＋m|＋2x －1≤2x＋1，即|x ＋m|≤2，∴－2≤x＋m≤2，∴－x －2≤m≤－x ＋2在x ∈上恒成立，[34，2]∴(－x －2)max ≤m≤(－x ＋2)min ，∴－≤m≤0，114∴实数m 的取值范围是.[－114，0]7.解：8.解：。
2020金考卷理科数学45套
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2020版高考理科数学练习-1.8 排列、组合、二项式定理
1.8 排列、组合、二项式定理命题角度1计数原理、排列与组合问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) A .12种 B .18种 C .24种 D .36种4项工作分成3份有C 42C 21C 11A 22种情况,再把3名志愿者排列有A 33种情况,故不同的安排方式共有C 42C 21C 11A 22·A 33=36种,故选D .2.(2016全国Ⅱ·5)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9,小明从街道的E 处出发到F 处的最短路径有6条,再从F 处到G 处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B .3.(2016全国Ⅲ·12)定义“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意k ≤2m ,a 1,a 2,…,a k 中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有( ) A.18个 B.16个C.14个D.12个a 1=0,a 8=1,则满足题意的a 1,a 2,…,a 8的可能取值如下:综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.4.(2017浙江·16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答),总的选择方法为C84C41C31种方法,其中不满足题意的选法有C64C41C31种方法,则满足题意的选法有:C84C41C31−C64C41C31=660种.5.(2018全国Ⅰ·15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案):①当3人中恰有1位女生时,有C21C42=12种选法.②当3人中有2位女生时,有C22C41=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有C63种选法,当3人全是男生时有C43种选法,所以至少有1位女生入选时有C63−C43=16种选法.6.(2017天津·14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)没有一个数字是偶数的四位数有A54=120个;②有且只有一个数字是偶数的四位数有C41C53A44=960个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1 080个.典题演练提能·刷高分1.有5名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学不能相邻,则不同的站法有()A.8种B.16种C.32种D.48种,乙、丙两位同学不能相邻,则两人必须站在甲的两侧,选出一人排在左侧,有C21A21种方法,另外一人排在右侧,有A21种方法,余下两人排在余下的两个空,有A22种方法,综上可得,不同的站法有C21A21A21A22=16种.2.上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种,所以参观甲博物馆的年级有C62种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据乘法原理可得C62×54种情况,故选D.3.将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有()A.480种B.360种C.240种D.120种:先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球,有4种选法;第二步:从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里,有C52种选法;第三步:把剩下的3个球全排列,有A33种排法,由乘法分步原理得不同方法共有4C52A33=240种,故选C.4.福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有()A.90种B.180种C.270种D.360种,为甲地选一名志愿者,有C61=6种选法;第二步,为乙地选一名志愿者,有C51=5种选法;第三步,为剩下两个展区各安排两个人,有C42C22=6种选法.故不同的安排方案共有6×5×6=180种.故选B.5.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有()A.14 400种B.28 800种C.38 880种D.43 200种P点出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色,有A64=360种不同的方案, 接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数:(1)不使用新的颜色,有2种颜色分类方案;(2)使用1种新的颜色,分为2类:第一类,染一条边,有2×4×4=32种方案;第二类,染两条对边,有2×2×4=16种方案.(3)使用2种新的颜色,分为4类:第一类,染两条邻边,有4×2×3=24种方案;第二类,染两条对边,有2×2×4=16种方案;第三类,染三条边,有4×2×2=16种方案;第四类,染四条边,有2种方案.因此不同的染色方案总数为360×[2+(32+16)+(24+16+16+2)]=38 880,故选C.6.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研,每个地区至少派遣一位专家,其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区,则不同的派遣方案种数为 (用数字作答).,可分为两类:第一类:甲乙在一个地区时,剩余的三类分为两组,再三组派遣到三个地区,共有C 32A 33=18种不同的派遣方式;第二类:甲乙和剩余的三人中的一个人同在一个地区,另外两人分别在两个地区,共有C 31A 33=18种不同的派遣方式;由分类计数原理可得,不同的派遣方式共有18+18=36种.命题角度2求展开式中的指定项或其系数高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·5)(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为( ) A .10 B .20 C .40 D .80T r+1=C 5r (x 2)5-r (2x -1)r =C 5r 2r x 10-3r .当r=2时,x 4的系数为C 5222=40.2.(2019全国Ⅲ·4)(1+2x 2)(1+x )4的展开式中x 3的系数为( ) A.12 B.16 C.20 D.24+2x 2)(1+x )4的展开式中x 3的系数为C 43+2C 41=4+8=12.故选A .3.(2017全国Ⅲ·4)(x+y )(2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80x-y )5的展开式的通项公式T r+1=C 5r (2x )5-r (-y )r .当r=3时,x (2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 53×22×(-1)3=-40; 当r=2时,y (2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 52×23×(-1)2=80.故展开式中x 3y 3的系数为80-40=40.4.(2015全国Ⅰ·10)(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .10 B .20 C .30 D .60(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i ·x i =C 3i x6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30.5.(2019浙江·13)在二项式(√2+x )9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 .√2 5√2+x )9的通项为T r+1=C 9r (√2)9-r x r (r=0,1,2,…,9),可得常数项为T 1=C 90(√2)9=16√2.因为系数为有理数,所以r=1,3,5,7,9,即T 2,T 4,T 6,T 8,T 10的系数为有理数,共5个. 6.(2019天津·10)2x-18x 38的展开式中的常数项为 .解析 T r+1=C 8r (2x )8-r 1-8x3r =C 8r ·28-r ·-18r ·x 8-4r. 需8-4r=0,r=2.常数项为C 8226-182=C 8226126=C 82=28.典题演练提能·刷高分1.(x 2+2)1x-15展开式中的常数项是( )A.12B.-12C.8D.-8解析 由1x-15展开式的第r+1项T r+1=C 5r 1x5-r(-1)r =(-1)r C 5rx r-5,得(x 2+2)1x-15展开式的通项为x 2·(-1)r C 5r x r-5=(-1)r C 5r x r-3或2(-1)r C 5rx r-5,则当r-3=0或r-5=0,即r=3或r=5时,为展开式的常数项,即(-1)3C 53+2(-1)5C 55=-12.故选B . 2.x 2+1x6展开式的常数项为 .(用数字作答)解析 由题得x 2+1x 6展开式的通项为T r+1=C 6r (x 2)6-r 1xr =C 6r x 12-3r (r=0,1,2,3,4,5,6),令12-3r=0,得r=4.所以x 2+1x6展开式的常数项为C 64=15. 3.在2x+1x26的展开式中x -3的系数为 .T r+1=C 6r (2x )6-r ·1x 2r=C 6r ·26-r ·x 6-3r,令6-3r=-3⇒r=3,所以系数为C 63·23=160. 4.(x+y )(x-y )8的展开式中x 2y 7的系数为 (用数字作答).x-y)8展开式的通项公式为T r+1=C8r x8-r(-y)r=(-1)r C8r x8-r y r,令r=7,则展开项为(-1)7C87x8-7y7=-8xy7,令r=6,则展开项为(-1)6C86x8-6y6=28x2y6,据此可得展开式中x2y7的系数为-8+28=20.5.(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数是5,则a=.1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数是1×C52+a×C51=10+5a,所以10+5a=5,故a=-1.命题角度3二项式系数与项的系数问题高考真题体验·对方向1.(2015湖北·3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29C n3=C n7,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.2.(2015全国Ⅱ·15)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.(1+x)4=x4+C43x3+C42x2+C41x+C40x0=x4+4x3+6x2+4x+1,∴(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3.(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5, ①令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5, ②由①-②,得16(a+1)=2(b1+b3+b5).即8(a+1)=32,解得a=3.典题演练提能·刷高分1.已知x3+2xn的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为()A.5B.40C.20D.10解析由题意,二项式x3+2xn的展开式中各项的系数和为243,令x=1,则3n=243,解得n=5,所以二项式x3+2x 5的展开式为T r+1=C5r(x3)5-r2xr=2r C5r x15-4r,令r=2,则T3=22C52x15-4×2=40x7,即x7的系数为40,故选B.2.若多项式(2x+3y )n 展开式仅在第5项的二项式系数最大,则多项式x 2+1x2-4n-4展开式中x 2的系数为 ( )A.-304B.304C.-208D.208解析 多项式(2x+3y )n 展开式仅在第5项的二项式系数最大,故n=8,多项式x 2+1x2-44展开式中x 2的系数为C 41·(-4)3+C 42·C 21·(-4)=-256-48=-304.选A . 3.记(2-x )7=a 0+a 1(1+x )2+…+a 7(1+x )7,则a 0+a 1+a 2+…+a 6的值为( ) A.1 B.2 C.129 D.2 188-x )7=a 0+a 1(1+x )2+…+a 7(1+x )7中,令x=0,得27=a 0+a 1+…+a 7=128.∵(2-x )7展开式中含x 7项的系数为C 7720(-1)7=-1,∴a 7=-1,∴a 0+a 1+…+a 6=128-a 7=129.4.在二项式ax+√x8的展开式中,所有项的系数之和记为S ,第r 项的系数记为P r ,若S P 9=38,则ab 的值为( )A.2B.-4C.2或-2D.2或-4解析 在ax+√x8中,令x=1,所以S=(a+b )8,又其通项公式为T r+1=C 8r(ax )8-r√xr, 即T r+1=C 8r a 8-r ·b r x 8-32r,所以P 9=C 88a 8-8b 8=b 8,因此依题有(a+b )8b8=1+a b8=38, ∴1+a =±3,∴a=2或-4.故选D .5.(2x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项的系数是 .(用数字作答)160x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项是第四项,系数为C 63(2)3(-1)3=-160.6.x-ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中含x 4项的系数为 .48解析 令x=1,可得x-ax 2x-1x5的展开式中各项系数的和为1-a=2,得a=-1,x+1x2x-1x5展开式x 4的系数,即是2x-1x5展开式中的x 3与x 5系数的和,2x-1x5展开式通项为T r+1=C 5r(-1)r 25-r ·x 5-2r ,令5-2r=3,得r=1,令5-2r=5,得r=0,将r=1与r=0,分别代入通项,可得x 3与x 5的系数分别为-80与32,∴原展开式x 4的系数为-80+32=-48.。
2020届高三理科数学 大题精练 14套 含答案
(2) 当 AB ⊥ CD 时，点 P，Q 在什么位置时， PQ 取得最小值？ 解： (1) 设 A( x1, y1 ) ， B ( x2, y2 ) ， P ( x0, −1) ，
则 x12 = 4 y1 ， x22 = 4 y2 ，
10 读万卷书 行万里路
抛物线的方程可变形为 y = 1 x2 ，则 y' = x ，
uuur
∴ CA = （1，﹣2，0）， CS = （0，﹣1，1）， CB = （1，0，0），
ur 设平面 ASC 的法向量 m = （x，y，z），
则
mv mv
⋅ ⋅
uuuv CuuAuv CS
= =
x −
− y
2 +
y z
= =
0 0
，取
y＝1，得
ur m
=
（2，1，1），
r 设平面 BSC 的法向量 n = （x，y，z），
解： (1) 由饼图得： a = 1− (6% + 9% + 27% +12% +14% + 3%) = 29% ． (2) 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的 100 名学生每天平
均使用手机的平均时间在第 4 组．
7 读万卷书 行万里路
旗开得胜
(3)Q样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机
旗开得胜
20．过抛物线外一点 M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点 M 对应的切点弦已
知抛物线为 x2 = 4 y ，点 P，Q 在直线 l：y = −1上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为 AB，
CD
2020届高三数学(理科)“选择填空精练”16
－ 2＋ i
2i2＋ i
i （ 2i＋ 1）
解法二：因为 z＝－ 2＋
＝－ 2＋
＝－ 2＋
＝－ 2＋ i ，所以复数 z 在
1＋ 2i
1＋ 2i
1＋ 2i
复平面内对应的点为 (－2， 1)，该点在第二象限． 1x
2．解析：选 B.解法一： A＝ { x|log2x<0} ＝{ x|0<x<1} ，B＝ x| 3 <3 ＝ { x|x>－ 1} ，所以 A∩B
A ． 0.5
B ． 0.6
C．0.7
D ．0.8
4．设 α， β是两个不同的平面， m 是直线且 m? α， “m∥ β”是 “α∥β”的 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．将函数 y＝ sin 2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数
15．已知△ ABC ，AB＝AC ＝4， BC＝ 2.点 D 为 AB 延长线上一点， BD ＝ 2，连接 CD ， 则△ BDC 的面积是 ________，cos∠ BDC ＝ ________．
16．过双曲线 ax22－ yb22＝ 1(a>0， b>0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两 点， D 为虚轴的一个端点，且△ ABD 为钝角三角形，则此双曲线的离心率的取值范围为
一部影响巨大的著作． 卷八中第 33 问：“今有三角果一垛， 底阔每面七个． 问
该若干？ ”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的
总数 S 为 ( )
A ． 120 C．56
B ． 84 D ．28
2020高考新课标卷理科数学模拟卷20套03 学生版
2．【答案】 C
【解析】 Q z 1 3 i ， z 1， z z 1 3 i ．故选 C．
22
22
3．【答案】 A
【解析】 Q
0,
2
，sin
4
2
2 3
， sin
sin
4
4
4
6
2，
故选 A．
4．【答案】 A
【解析】 几何概型．
5．【答案】 C
【解析】 由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的 1 组成的，故选 C． 4
(x 2)2 y2 16 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则△FAB 的周长的取值范
围是
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设 S 为数列{a }的前 n 项和，且 a 1， na (n 2)S n(n 1) ， n N* ．
n
n
1
n1
n
（1）证明：数列{Sn 1} 为等比数列； n
6．【答案】 C
7．【答案】 C
【解析】 由题知 A 2 3 ， 2 26 2， ，再把点 2, 2 3 代入可得 3 ，
8
4
g x 2
3
cos
8
x
3 4
，故选
C．
8．【答案】 D
【解析】由函数
y
esin
x
≤x≤不是偶函数，排除
A、C，当
x
2
,
2
时，y
sin
x
为单调递增函数，而外层函数
x2 y2
40
20．已知椭圆C : 1(a b 0) 的长轴长为 6，且椭圆C 与圆 M : (x 2)2 y2
2020高考理科数学仿真模拟卷01
2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}|B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．23．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u vu u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（ ）A ．13B ．13-C ．76D ．76-6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．112n - B ．121n- C ．113n - D ．1121n -+7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--U8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A ．B ．C ．D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D （）（例如＝219，则（）＝129，D （）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．49512．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．A ．22B 25C 26D 26二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数())2ln11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．14．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，2AB BD ==，1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数 0 1 2 3台数 5 10 20 15以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==，且点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124py y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R （I ）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集； （II ）若函数()f x 的最小值为1，证明：14918a b b c c a++≥+++（a b c ++）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}|B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】D【解析】因为{}2,1,0,1,2A =-- ,{}0B x x =≤，所以{}2,1,0A B =--I .故选D. 2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】A【解析】()()()()221222255a i i a i a az i i i i +-++-===+++-Q 是纯虚数 2105205a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得：12a =-本题正确选项：A3．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，，，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为的大小比较．设f （x ），则f ′（x ），当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减， ∵e ＜3＜π＜4∴，∴b ＞c ＞a ，故选：D ．4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f ee=>-，排除D 选项.故选A. 5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（ ）A ．13B ．13-C ．76D ．76-【答案】B【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r ，因为E 是AD 的中点， 所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B. 6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+【答案】B【解析】111123n n n n n n a a a a a a -+-++= ,11123n n n a a a +-+= ,1111112()n nn n a a a a +--=-, 则1111211n n n n a a a a +--=-,数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列， 1111222n n n na a -+-=⨯= ，利用叠加法，211213211111111()()......()122.......2n n n a a a a a a a --+-+-++-=++++ ， 1212121n n n a -==-- ，则121n n a =-.选B. 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--U【答案】D【解析】由题意得21362k T ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，k N ∈，得21T k π=+，故242k Tπω==+，因为06ω<<，k N ∈，所以2ω=.由2sin 263f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得232k ππϕπ+=+，因为2πϕ<，故6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤+≤，令26t x π=+，则由题意得2sin 0t m -=在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有唯一解，故由正弦函数图象可得12m =-或11222m -<≤，解得{}(]21,1m ∈-⋃-.故选D8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】抛物线28y x =的焦点()2,0F ，准线l ：2x =-，圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0F ，半径1r =，过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义可知|PB PF =，则1PA PQ PA PF r PA PB +≥+-=+-，∴当,,A P B 三点共线时PA PB +取最小值325+=，∴+≥+-≥-=．PA PQ PA PB1514+取得最小值4，故选B．即有PA PQ9．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选； ，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域有种选择，不同的涂色方案有种， 区域涂色不相同的概率为,故选D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数 【答案】A【解析】根据题意可知：（12341234+++++x x x x y y y y +）（）>0,又（12341234+++++x x x x y y y y +）（）去掉括号即得：（12341234+++++x x x x y y y y +）（） =1234T T T T +++>0,所以可知1234,,,T T T T 中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D （）（例如＝219，则（）＝129，D （）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．495【答案】D 【解析】试题分析：A ，如果输出的值为792，则，不满足题意．B ，如果输出的值为693，则，，不满足题意．C ，如果输出的值为594，则，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则，，满足题意．故选D ．12．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．A ．22B ．25C ．265D ．266【答案】B【解析】连接EF ，因为EF 1111A B EHA D C FGD -1V 2V 2V 1111D C B A 1A N 1MA N ∠1A M 1111D C B A 1MA N∠1MNA M 1A M 11=MN HN A M A H 25()()2ln11f x x x =++()4f a =()f a -=2-()()())()2222f x f x ln1x 1ln1x 1ln 122x x x x +-=+++++=+-+=()()f a f a 2∴+-=()f a 4=()f a 2-=-答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________． 【答案】1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =，结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为1．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】5122⎫+⎪⎪⎭， 【解析】设c 为半焦距，则(),0F c ，又()0,B b ， 所以:0BF bx cy bc +-=，以12A A 为直径的圆的方程为O e ：222x y a +=，因为120i i PA PA ⋅=u u u u r u u u u r ，1,2i =， 所以O e 与线段BF 有两个交点（不含端点），所以22ab c b a<⎪+⎨⎪>⎩即422422302c a c a c a ⎧-+<⎨>⎩，故4223102e e e ⎧-+<⎨>⎩， 512e +<<故填5122⎫⎪⎪⎭，.16．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，2AB BD ==，1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为______ 【答案】4π【解析】如图，在四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，2AB BD ==，1CB CD ==，可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，12，22211(2)2++=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1． 其表面积为2414ππ⨯=．故答案为：4π．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【解析】 (Ⅰ) ()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭Q ，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+Q ，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =. 又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n nn a ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()111211221212121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <， 因为n 是自然数，所以n 的最大值为4. 18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算 【解析】（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=，∴X 的分布列为（Ⅱ）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：170009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10720=（元）. 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为：2Y 10000 11000 12000P 67100 625 9100267691000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）. ∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==，且点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长. 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ， 由此可得，0MN n ⋅=u u u u r r，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD （Ⅱ），设1(,,)n x y z =u r 为平面1ACD 的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=u r u u u u r u r u u u r ，即220{20x y z x -+==，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =u r ，设2(,,)n x y z =u u r 为平面1ACB 的一个法向量，则2120{0n AB n AC ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u r ，又1(0,1,2)AB =u u u r ，得20{20y z x +==，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-u u r ，因此有12121210cos ,10n n n n n n ⋅〈〉==-⋅u r u u r u r u u r u r u u r ，于是12310,sin n n 〈〉=u r u u r 所以二面角11D AC B --310. （Ⅲ）依题意，可设111A E AB λ=u u u r u u u u r ，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+u u u r ， 又(0,0,1)n =r为平面ABCD 的一个法向量，由已知得2221cos ,3(1)(2)1NE n NE n NE n λ⋅〈〉===⋅-+++u u u r r u u u r r u u u r r ，整理得2430λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈，解得72λ=，所以线段1A E 72.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点. （1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4p l y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124p y y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=， 则212124p 80{x x 2x x 2p p p ∆=->+==， ∵直线p y 4=平分AFB ∠， ∴AF BF k k 0+=， ∴1212p p y y 440x x --+=，即：12121212p p x 1x 1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭， ∴p 4=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2x 8y =．（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，，由2{x 2y kx b py =+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pkpb ∆=+>+==-， ∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===， ∵212p y y 4=， ∴22p b 4=， ∵b 0>， ∴p b 2=． ∴直线AB 的方程为：p y kx 2=+． 假设存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，即PQ PQ 3PA PB+=， 作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、，∴121212p pPQ PQ OQ OQ y y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='， ∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4=， ∴222PQ PQp 2pk p ·4k 2p PA PB 24++==+，由24k 23+=，得1k 2=±， 故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22=±+． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【解析】 (1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'， 对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立. ()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数； ②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<<，()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数.⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立， ()f x ∴在()0,+∞为增函数。
2020年高考数学理科综合实战演练试卷二 人教版
2020年高考数学理科综合实战演练试卷二第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．全集21R,{|},{|1}U M y x y y N x x===-=>，则 A ．M ∪N=R B ．M∩N=φC ． N=MD ．2．（理）若i i +-22=y x yi x ,,+∈R,则xy= A ．34- B ．43 C ．43-D ．34（文）44cos sin y x x =-的最小正周期为A ．4πB ．2π C ．πD ．2π3．已知2,3,7a b a b ==-=r r r r=+→→b aA ．13B ．15C ．17D ．19 4．方程3x y z ++=的非负整数解的组数为A ．6B ．9C ．10D ．205．若将函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后得到函数)42sin(π-=x y -1的图象,则向量a可以是A ．)1,8(-πB ．)1,8(π-C ．)1,4(πD ．)1,4(--π6．数列{n a }的前n 项和12-=n n S （n ∈N +），则++2221a a …2n a +等于A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n7．已知椭圆1102022=+y x 的左右焦点分别为F 1和F 2，点M 在椭圆上,若三角形M F 1F 2是直角三角形,则M 点到X 轴的距离是A ．10B ．5C ．10 或 5D ．28如图，在正三棱锥P-ABC 中,E 、F 分别为棱PA 、AB 的中点,EF ⊥CE 且BC=1,则此正三棱锥的体积是A ．122 B ．242 C ．123 D ．2439．若连掷两次骰子,分别得到的点数是m 、n , 将m 、n 作为点P 的坐标, 则点P 落在区域|2||2|2x y -+-≤内的概率是第二卷 （非选择题 共130分）二．填空题（本题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题目中的横线上） 11．如图所示小正方形边长为1,渐开线形成的螺旋曲线,是由半径分别为1、2、3、⋅⋅⋅、n 的四分之一圆弧形成的螺线图案,并且圆心逆时针以正方形的各个顶点为圆心,则第n 个图形的圆弧长度的通项公式为___________．12． 已知球的体积为36π, 球面上三点A 、B 、C 满足1,AB AC BC ===，则球心到平面ABC 的距离为 ．13． 奇函数f （x ） 在（-∞,0）,（0,+∞）上单调递增，且f （-3）=0，则不等式f （x ）<0的解集是 ．14．二项式122⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x n 的展开式第4项是常数项，则n 的值是15．若函数)3(log )(2+-=kx x x f k 在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,k 上是减函数，则实数k 的取值范围是 。
2020版高考数学(理)刷题小卷练： 11-20
刷题增分练 11 定积分与微积分基本定理刷题增分练⑪ 小题基础练提分快 一、选择题1．已知条件p ：t ＝π2，q ：⎠⎜⎛tsin x d x ＝1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：由⎠⎜⎛0t sin x d x ＝(－cos x)⎪⎪⎪⎪t0＝－cos t ＋1＝1得cos t ＝0，∴t ＝π2＋k π(k ∈N )，于是p 是q 的充分不必要条件．故选A. 2．[2019·广东七校联考]由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln3C ．4＋ln3D ．4－ln3 答案：D解析： ＝4－ln 3，故选D .3．[2019·福建连城二中模拟]若a ＝⎠⎜⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎜⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎜⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b 答案：D解析：a ＝⎠⎜⎛2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 320＝83， b ＝⎠⎜⎛2x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 420＝4，c ＝⎠⎜⎛2sin x d x ＝(－cos x)20＝1－cos 2.∵cos 2∈[－1,1]，∴1－cos 2∈[0,2]，11．[2019·山西孝义模拟]若⎠⎜⎛1a⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值是________．答案：2解析：由⎠⎜⎛1a⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x) a1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，ln a ＝ln 2，所以a ＝2.12．[2019·湖南宁乡月考]如图，若直线y ＝kx 将抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形分成面积相等的两部分，则k ＝________.答案：1－342解析：因为⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪10＝16，所以∫1－k[(x －x 2)－kx]d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪1－k＝1－k 36＝112，所以(1－k)3＝12，解得k ＝1－312＝1－342.刷题课时增分练⑪ 综合提能力 课时练 赢高⎪⎪⎪⎪112＝14.故选D . 3．[2019·河北唐山联考]曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A ．1－ln 2B ．2－2ln 2C ．2ln 2－1D ．ln 2 答案：C解析：因为y ＝x －1x ＋1，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝2x ＋12，则曲线y＝x －1x ＋1在(0，－1)处的切线的斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x －1，则曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎜⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－x －1x ＋1d x ＝∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－1＋2x ＋1d x ＝[x 2－2x ＋2ln (x ＋1)]⎪⎪⎪⎪1＝2ln 2－1.故选C .4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，，则⎠⎜⎛－12f(x)d x的值为( )A .π2＋43B .π2＋3C .π4＋43D .π4＋3 答案：A解析：根据定积分的性质可得⎠⎜⎛－12f(x)d x ＝⎠⎜⎛－111－x 2d x ＋⎠⎜⎛12(x 2－1)d x ，根据定积分的几何意义可知，⎠⎜⎛－111－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的12，即⎠⎜⎛－111－x 2d x ＝π2，∴⎠⎜⎛－12f(x)d x⎪⎪⎪⎪10＝13＋2t ＝t ，∴t ＝－13，即⎠⎜⎛01f(x)d x ＝－13.故选B . 二、非选择题9．已知物体以速度v(t)＝2t 2(单位：m /s )做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 内所走过的路程为________．答案：18解析：∵v(t)＝2t 2，∴物体在t ＝0 s 到t ＝3 s 内所走过的路程S ＝⎠⎜⎛032t 2d t ＝23t 3⎪⎪⎪⎪30＝18.10．[2019·吉林省实验中学模拟]若f(x)＝则f(2 018)＝________.答案：712解析：当x ≤0时，f(x)＝2x＋60π⎰cos 3x d x ＝2x＋sin 3x 3⎪⎪⎪⎪π6＝2x＋13，所以f(2 018)＝f(2)＝f(－2)＝14＋13＝712.11．求曲线f(x)＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积．解析：对于f(x)＝sin x ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π，54π时，f(x)＜0，则所求面积为S ＝∫π0sin x d x ＋54ππ⎰ (－sin x )d x ＝－cos x π0＋cos x54ππ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22＋1＝3－22.刷题增分练 12 三角函数概念、同角三角函数基本关系式、诱导公式[2019·北京第三十五中学模拟]如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点A 在第二象限．若cos α＝－35，则点A 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45解析：∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. 10．[2019·天津质检]化简：sin π－α＋sin αcos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＝________.答案：cos α解析：sin π－α＋sin αcos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＝sin α＋sin αcos α1＋cos αtan α＝cosα.11．[2019·山西孝义模拟]已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值．(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.二、非选择题9．已知函数y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现不少于4次且不多于8次，则k的值为________．答案：2或3解析：令y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝54，得cos 2k ＋13πx －π6＝14.因为函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14的有2次，而区间[a ，a＋3]的长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使长度3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度，即2×2π2k ＋13π≤3且4×2π2k ＋13π≥3，解得32≤k ≤72，又k∈N ，故k 的值为2或3.10．[2019·河北邯郸教学质量检测]已知函数f (x )＝－4cos ωx ＋φe |x |(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωφ＝________.答案：2－x 2|min ＝12，得T 4＝12⇒T ＝2，即ω＝2π2＝π.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π＋φ＝12，即cos φ＝12，又0<φ<π2，所以φ＝π3，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.由－π2＋2k π≤πx ＋π3≤π2＋2k π，得－56＋2k ≤x ≤16＋2k ，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z .故选B.7．[2019·河南漯河高级中学模拟]已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6的周期T ＝6，当x ＝0时，y ＝12，当x ＝1时，y ＝1，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，有t －1≥T ，即t ≥7，所以正整数t 的最小值为7.故选B.8．[2019·四川绵阳高中诊断]已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)图象上最高点与相邻最低点的距离是 17.若将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝56B ．x ＝13C ．x ＝12 D ．x ＝0答案：B解析：由题意得f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.故函数f (x )的最大值为2，由172－42＝1可得函数f (x )的周期为T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为g (x )两边平方可得1＋sin2α＝118，解得sin2α＝－1718.故选B.二、非选择题 9．[2019·荆州模拟]计算：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝________.答案：12解析：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝sin46°·cos16°－cos46°·sin16°＝sin(46°－16°)＝sin30°＝12.10．[2018·全国卷Ⅱ]已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.答案：32解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.11．[2019·山西康杰月考]若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.答案：43解析：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－tan α－β＋tan α1－tan α－β·tan α＝43.12．已知f (x )＝sin x －23sin 2x 2，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，函数f (x )的最大值减去最小值等于________．答案：2解析：f (x )＝sin x －23sin2x2＝sin x －3(1－cos x )＝。
2020届 理科数学(三)学生版精品解析
16．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的右焦点为 F
，双曲线 C
与过原点的直线相交
于 A 、 B 两点，连接 AF ， BF ．若 AF 6 ， BF 8 ， cos BAF 3 ，则该双曲线的 5
离心率为
．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 3aosc 2B3osc oscb B 0A c ． （1）求 cos B ； （2）若 AB 2 ， 3sin A 2sin B ，求△ABC 的面积．
B． x2 y 52 9 D． x2 y 52 9
11．设函数
f
(x)
cos
π 2
πx
x2 e2
(x
e)2
的最大值为
M，最小值为
m，则 M
m 1 2019
的
2019
12．棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 AB，AD，B1C1 的中点， 那么正方体内过 E，F，G 的截面面积为（ ）
3 （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷
2020高考数学(理数)复习作业本8.5 双曲线(含答案)
A. x2 y2 1 9 16
B. x2 y2 1 16 9
C. x2 y2 1 (x≤-3) 9 16
D. x2 y2 1 (x≥3) 9 16
x2 y2 1(a 0,b 0)
5.已知双曲线 E： a2 b2
的渐近线相互垂直，则 E 的离心率为（ ）
A. 2
B. 3
C.2
y2 x2
12.已知双曲线 － =1，过双曲线的上焦点 25 144
F1
作圆
O：x2＋y2=25
的一条切线，切点为
M，交
双曲线的下支于点 N，T 为 NF1 的中点，则△MOT 的外接圆的周长为________．
三、解答题
13.双曲线与椭圆 x2 y2 1 有相同的焦点，它的一条渐近线为 y=x，求双曲线的标准方程和 16 64
| | | | 2
2
ac－ a2 ac－ a2
3
3
焦点(c，0)到直线 l 的距离 d=
=
，
a2＋b2 c
则|MN|=2 c2－d2=2
( )2 2
ac－ a2 4 3 = 2c，整理可得 c4－9a2c2＋12a3c－4a4=0，
c3 所以双曲线 E 的离心率是 e= = = 3，故选 C.
a3
8.答案为：B.
b
b
解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为 y=± x，设垂直于直线 l 的渐近线方程为 y=
a
a
x，
( ) a
a2
2
则直线
l
的斜率
k1=－b，直线
l
的方程为
y=－ b
x－ a 3
，整理可得，ax＋by－ a2=0， 3
2020高考数学(理数)复习作业本3.6 解三角形的综合应用(含答案)
2020高考数学(理数)复习作业本3.6解三角形的综合应用一、选择题1.两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为( )A. akmB.2akmC. akmD. akm2.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是( )A．5(6＋2)km B．5(6－2)kmC．10(6－2)km D．10(6＋2)km3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A．102海里 B．103海里 C．203海里 D．202海里4.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为( )A．①② B．②③ C．①③ D．①②③5.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m6.两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为( )A.akmB.2akmC.akmD.akm7.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将( )A．不能作出满足要求的三角形B．能作出一个锐角三角形C．能作出一个直角三角形D．能作出一个钝角三角形8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccos B=2a＋b，若△ABC的面积为312c，则ab的最小值为( )A.12B．13C.16D．3二、填空题9.如图所示，在海岛A上有一座海拔3千米的山峰，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为________km/h.10.沿海某四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80 n mile，BC=(40＋303)n mile，CD=250 6 n mile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ，则sin θ=________．11.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10， AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长为________．12.已知△ABC中，AB=AC=4，BC=2.点D为AB延长线上一点，BD=2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC=________．三、解答题13.在某海域A 处正东方向相距80海里的B 处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40海里的C 处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB 前往B 处救援．(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间； (2)求tan θ的值．14.某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD=∠CDE=2π3，∠BAE=π3，DE=3BC=3CD=910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．15.已知函数f(x)=m·n，其中向量m=(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx)，n=(cos ωx －sin ωx ，2sin ωx)，ω＞0，若f(x)的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于π. (1)求ω的取值范围；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=3，当ω最大时，f(A)=1，求△ABC 的面积的最大值．16.在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC 及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)．看台Ⅰ，看台Ⅱ分别是以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD=10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC=θ.(1)当θ=π6时，求BC 的长；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．答案解析1.D.2.答案为：C.解析：由题意知∠BAC=60°－30°=30°，∠CBA=30°＋45°=75°，所以∠ACB=180°－30°－75°=75°，故AC=AB ，因为AB=40×12=20，所以AC=AB=20.在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2=AC 2＋AB 2－2AC·AB cos ∠CAB =400＋400－2×20×20cos30°=400(2－3)， 故BC=400（2－3）=200（3－1）2=10(6－2)．3.答案为：A.解析：画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB=20海里，∠CAB=30°， ∠ABC=40°＋65°=105°，∴∠ACB=45°，根据正弦定理得BC sin 30°=ABsin 45°，解得BC=102(海里)．4.答案为：D.解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A ，B 两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A ，B 两点间的距离． 5.答案为：A.解析：作出示意图如图所示，设水柱高度是hm ，水柱底端为C ， 则在△ABC 中，A=60°，AC=h ，AB=100，在Rt △BCD 中，BC=3h ，根据余弦定理得，(3h)2=h 2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000=0，即(h －50)(h ＋100)=0，即h=50，故水柱的高度是50 m.6.D.7.答案为：D.解析：设三角形三边长为a ，b ，c.根据三角形面积相等得S=12a ×113=12c ×15=12b ×111，∴a=26S ，c=10S ，b=22S.由大角对大边得26S 对应的角最大，∴cos A=（10S ）2＋（22S ）2－（26S ）22×10S ×22S =－23110＜0.又A∈(0，π)，∴∠A 为钝角，故D 正确．8.答案为：B.解析：由正弦定理及2ccos B=2a ＋b ，得2sin Ccos B=2sin A ＋sin B ．因为A ＋B ＋C=π，所以sin A=sin(B ＋C)，则2sin C ·cos B=2sin(B ＋C)＋sin B ，即2sin B ·cos C ＋sin B=0，又0＜B ＜π，所以sin B ＞0，则cos C=－12.因为0＜C ＜π，所以C=2π3，所以sin C=32，则△ABC 的面积为12absin C=34ab=312c ，即c=3ab ，结合c 2=a 2＋b 2－2ab·cos C ，可得a 2＋b 2＋ab=9a 2b 2.∵a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时取等号，∴2ab ＋ab≤9a 2b 2，即ab≥13，故ab 的最小值是13，故选B.9.答案为：67；解析：在Rt △PAB 中，∠APB=60°，PA=3，所以AB=3.在Rt △PAC 中，∠APC=30°，所以AC=1.在△ACB 中， ∠CAB=20°＋40°=60°，所以BC=1＋9－2×1×3×12=7.则船的航行速度为7÷16=67(km/h)．10.答案为：6－24； 解析：如图，设船行驶至F 处时收到指令，AM →为正北方向，FN →为正南方向，则AF=50 n mile ， 连接AC ，CF ，过A 作AE⊥BC 于E ，则AE=80sin 60°=403(n mile)，BE=ABcos60°=40(nmile)，CE=BC －BE=303n mile ，AC=AE 2＋CE 2=503n mile ，cos ∠ACE=35，sin ∠ACE=45，所以cos ∠ACD=cos(135°－∠ACE)=210=ACCD，所以∠CAD=90°.又AF=50 n mile ，AC=50 3 n mile ，所以∠AFC=60°，所以θ=∠CFN=∠AFN－∠AFC=∠MAF－∠AFC=15°，故sin θ=6－24.11.答案为：82；解析：在△ABD 中，设BD=x ，则BA 2=BD 2＋AD 2－2BD·AD·cos ∠BDA ，即142=x 2＋102－2·10x·cos 60°，整理得x 2－10x －96=0，解得x 1=16，x 2=－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB =BD sin ∠BCD ，所以BC=16sin 135°·sin 30°=8 2.12.答案为：152；104；解析：由余弦定理得cos ∠ABC=42＋22－422×4×2=14，∴cos ∠CBD=－14，sin ∠CBD=154，∴S △BDC =12BD ·BC ·sin ∠CBD=12×2×2×154=152.又cos ∠ABC=cos 2∠BDC=2cos 2∠BDC －1=14，0＜∠BDC＜π2，∴cos ∠BDC=104.13.解：(1)在题图中的△ABC 中，AB=80，AC=40，∠BAC=120°，由余弦定理可知： BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos 120°，即BC 2=802＋402－2·80·40·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12=11 200，故BC=407，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为40760=273小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin ∠ACB =BC sin ∠BAC ⇒sin ∠ACB=AB BC sin ∠BAC=217，显然∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB=277，tan ∠ACB=32，而θ=∠ACB＋30°.故tan θ=tan (∠ACB＋30°)=tan ∠ACB ＋tan 30°1－tan 30°tan ∠ACB =533.14.解：(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2=BC 2＋CD 2－2BC·CD cos ∠BCD=⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3102－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3102cos 2π3=27100，∴BD=3310 km.∵BC=CD ，∴∠CDB =∠CBD=π－23π2=π6，又∠CDE=2π3，∴∠BDE=π2.∴在Rt △BDE 中，BE=BD 2＋DE 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫33102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9102=335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE=α，∵∠BAE=π3，∴∠AEB=2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB =AE sin ∠ABE =BE sin ∠BAE =335sinπ3=65，∴AB=65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α，AE=65sin α. ∴S △ABE =12AB ·AEsin π3=9325sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α=9325⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋14 ≤9325⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14=273100(km 2)． ∵0＜α＜2π3，∴－π6＜2α－π6＜7π6.∴当2α－π6=π2，即α=π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100 km 2，故生活区△ABE 面积的最大值为273100km 2.15.解：(1)由题意知f(x)=m·n=cos 2 ωx －sin 2ωx ＋3sin 2ωx=cos 2ωx ＋3sin 2ωx=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. ∵T 2=12·2π2ω=π2ω≥π，ω＞0，∴0＜ω≤12. (2)由(1)知ωmax =12，f(A)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6=1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6=12.又0＜A ＜π，∴π6＜A ＋π6＜7π6，∴A ＋π6=5π6，得A=2π3.又由余弦定理得a 2=3=b 2＋c 2－2bc×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≥3bc ，即bc≤1.∴S △ABC =12bcsin A ≤12×1×32=34.∴△ABC 的面积的最大值为34. 16.解：(1)因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB=3AC.在△ABC 中，S △ABC =12AB ·AC ·sin θ=4003，所以AC 2=800sin θ.由余弦定理可得BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos θ=4AC 2－23AC 2·cos θ=4×800sin θ－23×800sin θcos θ=1 600×2－3cos θsin θ， 即BC=402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．当θ=π6时，BC=40.(2)设表演台的总造价为W 万元．因为CD=10米，表演台每平方米的造价为0.3万元， 所以W=0.3CD·BC=1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．记f(θ)=2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f′(θ)=3－2cos θsin 2θ. 由f′(θ)=3－2cos θsin 2θ=0(θ∈(0，π))，解得θ=π6. 当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(θ)<0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π时，f ′(θ)>0.故f(θ)在θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减，在θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π上单调递增，从而当θ=π6时，f(θ)取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=1. 所以W min =120(万元)．所以表演台的最低造价为120万元．。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期统一练习数学理科
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期统一练习数学理科一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i2. 设向量a =(x ,1), b =(4,x ),且a ,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）-2 （C ）2± （D ）03.41()x x-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-64.已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“a 1+a 3=2a 2”的 （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ）sin()23x y π=+（B ）sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π=-6. 在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14，则b 的取值范围是（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ）(1,)+∞7.用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是 (A)18 (B) 36 (C) 54 (D) 728.已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（ ）a R ∈. 关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （ ）m R ∈的3个命题如下： ① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 圆2cos ρθ=的半径是________。
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