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高中数学必修4知识点总结(最新最全)
高中数学必修4知识点总结第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180.§1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°，§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、 诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈）2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos = x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1] [-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=Tπ2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增 在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增 对称性 Z k ∈ 对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位()sin y x ϕ=+ （左加右减）横坐标不变()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin A x ωϕ=+（左加右减） 平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2y y A -=，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、b a +≤b a +.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同；当0<λ时, λ的方向与的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()≠与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x y x ==，则： ⑴()2121,y y x x ++=+，⑵()2121,y y x x b a --=-， ⑶()11,y x a λλλ=， 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θcos .3、 2a =.4、=.5、 0=⋅⇔⊥b a b a .§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式 21cos a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-。
高中数学必修四全套PPT课件讲义
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S R2 n 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 R2 2 2
l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
所以它的面积是 S 1 lR 2
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)； （2）把112º30′化成弧度（用π 表示）。
1
rad
180
57.30
57 18'
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
由公式：
l r
l r
比公式
l nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
② 扇形面积公式 S 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
(2) S={β| β=k·360º－21º(k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
高中数学必修四知识点总结
高中数学必修四知识点总结高中数学必修四知识点总结如下：
1. 极限与连续
- 无穷小和无穷大的概念与性质
- 函数的极限与连续
- 极限运算的性质
- 利用极限计算函数的极限值
2. 导数与微分
- 导数的定义与性质
- 微分的定义与性质
- 导数的运算法则与应用
- 函数的单调性与最值
3. 不等式与降幂解法
- 二次函数与一元二次不等式
- 绝对值与绝对值不等式
- 分式不等式与整式不等式- 降幂解法与根、次方的性质
4. 三角函数
- 弧度制与角度制
- 基本三角函数及其性质
- 三角函数的和差与倍角公式- 三角函数的图像与性质
5. 三角恒等变换
- 三角函数的基本关系式
- 三角恒等变换的基本公式- 三角方程及其解法
- 三角函数的复合与反函数
6. 平面向量
- 平面向量的定义与运算
- 坐标表示与线性运算
- 平面向量的数量积与几何应用- 平面向量的叉乘与坐标表示
7. 解析几何
- 平面直角坐标系
- 点、线、圆、抛物线方程
- 二次曲线的性质与直线判定- 三角形与圆的性质
8. 数列与数学归纳法
- 数列的概念与表示
- 等差数列与等比数列
- 数列的通项公式与前n项和- 数学归纳法与应用
9. 概率与统计
- 随机事件与概率
- 条件概率与乘法定理
- 独立事件与加法定理
- 统计图表的分析与应用
这些是高中数学必修四的主要知识点，通过学习这些知识点，可以帮助学生建立扎实的数学基础，为高级数学学习打下坚实的基础。
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设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
对于向任量意的的加向、量减ar、、数br乘,以运及算任统意称实为数向、 量的1、 线形2运，恒算有。
(1ar
2br )=1ar
r
2b
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
向量的加法：1 三角形法则:
rr
uuur r uuur r
已知向量a和b,在平面内任取一点O,作OA a, AB b,
uuur r r
r r r r uuur uuur uuur
则向量OB叫做a和b的和,记作a b.即a b=OA+ AB=OB
．对称轴：x=k
．
o
． /2 3/2 2
x
-1 T/2
3、正切函数的图象与性质
y=tanx
y 图
象 3
2
2
o
2
3
2
x
定义域 {x | x k , k N}
2
值域 R
周期性 T
奇偶性 奇函数
单调性(k , k )(k Z )
2
2
正切函数的性质：
y
1
y 1
2
2
O 1 2
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含
角在内）的集合为. k 360, k Z
（4）角在“到”范围内，指.0 360
一、角的基本概念
高中数学必修4课件
05 数列的概念与表示
数列的定义与性质
定义
数列是一组按照一定顺序排列的数， 通常用a1,a2,a3,...来表示。
数列的性质
数列中的每一个数都有其特定的位置 ，它们按照顺序排列，并且每一个数 都有其唯一的对应位置。
数。
几何表示法
复数可以用几何形式表示，即复平 面上的点或向量。
三角形式表示法
复数可以用三角形式表示，即 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其 中$r$是模长，$\theta$是幅角。
复数的运算
加法运算
两个复数的加法运算， 实部和实部相加，虚部 和虚部相加。
减法运算
两个复数的减法运算， 实部和实部相减，虚部 和虚部相减。
三角函数的图像变换
通过数列的变换，可以对三角函数的图像进行平移、伸缩等操作，从而得到新的三角函数图像。
1.谢谢聆 听
传播和干涉等现象。
量子力学
在量子力学中，波函数通常是复 数，通过复数表示波函数的振幅 和相位，可以更方便地描述粒子
的状态。
复数在几何中的应用
平面几何
在平面几何中，复数可以表示平面向量，这有助 于分析平面图形的性质和几何变换。
解析几何
在解析几何中，复数可以表示点的坐标，这有助 于分析曲线和曲面的性质。
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目录
• 向量概念与表示 • 向量的应用 • 复数的概念与表示 • 复数的应用 • 数列的概念与表示 • 数列的应用
01 向量概念与表示
向量的定义与性质
向量的定义
向量是一种具有大小和方向的量 ，通常用有向线段表示。
人教版高中数学必修4知识点总结讲课讲稿
⑷运算性质：①交换律：
ar
r b
r b
ar ；
rr ②结合律： a b
rr ca
r b
r c
；③ ar
r 0
r 0
ar
ar ．
r
r
rr
⑸坐标运算：设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，则 a b x1 x2, y1 y2 ．
18 、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
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高中数学必修 4 知识点总结
第一章 三角函数
正角 : 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角
零角 : 不作任何旋转形成的角
2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
第一象限角的集合为
k 360o
k 360o 90o, k
为第几象限角．
第二象限角的集合为
k 360o 90o k 360o 180o, k
第三象限角的集合为
k 360o 180 o
k 360o 270o, k
第四象限角的集合为
k 360o 270o
k 360o 360o, k
终边在 x 轴上的角的集合为
k 180o, k
rr
x2 y2 0 ，则 sin
y
x
， cos
， tan
yx
r
r
x
9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
0．
y PT
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函数线： sin
， cos
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x
O
x
2k k Z k k Z
k k Z
2
4.写出终边在各图中阴影部分的角的集合
y
y
y
150
30
O
x
150
30
O
-30 x 210
O
x
S1
{
|
6
2k
5
6
2k , k Z}
S2
{
|
6
2k
6
2k , k
Z}
S3
{
| 5
6
2k
5
6
2k , k Z}
4.弧度制： (1)1弧度的角：长度等于半径的弧所对的圆心角.
一、角的有关概念
1、角的概念的推广
(,)
y 的终边
正角
o
零角
负角 x
的终边
2、角度与弧度的互化
180
1弧度 (180 ) 57.30 5718, π
1 π 180
3.终边相同的角； { | 2k , k Z}
练习：
1.把 765o表示成2k + , k Z的形式，
其中0 2
tan 2 2 tan 1 tan 2
与二倍角公式相关的公式变形
sin cos 1 sin 2
2
1 sin 2 (sin cos )2
1 sin 2 (sin cos )2
cos2 1 cos2
2
sin 2 1 cos2
2
辅 助 角 公 式
a cos x bsin x a cos x bsin x a sin x b cos x a sin x b cos x
答案： 765o= 6 + 7
高中数学必修4知识点总结
高中数学必修4知识点总结
三角函数：这是必修4的重要内容，包括正角、负角和零角的概念，以及角度的象限划分。
此外，还有任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、正余弦诱导公式、两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切等内容。
平面向量：平面向量的基本概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标计算、线段的定比分点、平面向量的数量积与运算律等也是必修4的重要知识点。
复数：复数的表示、复数的代数形式、复数的实部和虚部、以及复数的周期性等也是必修4的一部分内容。
集合：集合的基本性质、子集、真子集、集合的相等、空集等概念也是必修4的重要知识点。
以上就是高中数学必修4的主要知识点，需要学生在理解的基础上熟练掌握，并能够应用到解题中。
数学必修四知识点总结
数学必修四知识点总结一、函数与导数1. 函数的概念- 函数的定义- 函数的表示方法：解析式、图象、表格- 函数的域与值域- 函数的奇偶性2. 函数的运算- 函数的四则运算- 复合函数- 反函数- 分段函数3. 函数的性质- 单调性- 周期性- 有界性- 极限的概念与计算4. 导数的概念- 导数的定义- 导数的几何意义- 导数的物理意义5. 导数的运算- 导数的四则运算- 链式法则- 隐函数求导- 参数方程求导二、导数的应用1. 函数的极值与最值- 极值的定义与条件- 最大值与最小值的求解 - 应用题的求解2. 曲线的凹凸性与拐点- 凹凸性的定义- 拐点的求解3. 洛必达法则- 洛必达法则的适用情况 - 洛必达法则的应用4. 函数的渐近线- 水平渐近线- 垂直渐近线三、不等式与极值1. 不等式的性质- 不等式的基本性质- 不等式的解集表示2. 不等式的解法- 一次不等式- 二次不等式- 绝对值不等式- 分式不等式3. 极值问题- 极值与不等式的关系 - 利用导数求解极值问题四、数列1. 数列的概念- 数列的定义- 有穷数列与无穷数列 - 等差数列与等比数列2. 数列的极限- 极限的概念- 极限的性质- 极限的四则运算3. 无穷数列的和- 无穷等比数列的和- 级数的概念- 收敛与发散的概念五、级数1. 级数的概念- 级数的定义- 级数的收敛性2. 等差级数与等比级数- 等差级数的求和公式- 等比级数的求和公式3. 级数的收敛判别法- 比较判别法- 比值判别法- 根值判别法六、空间解析几何1. 空间直角坐标系- 空间直角坐标系的建立- 点的坐标表示2. 向量的概念与运算- 向量的定义- 向量的加法、数乘、数量积 - 向量的叉积与点积3. 平面与直线的方程- 平面的方程- 直线的方程- 点、线、面之间的关系4. 几种常见曲面的方程- 圆柱面- 圆锥面- 球面七、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的定义- 概率的定义与性质- 条件概率与独立事件2. 随机变量及其分布- 随机变量的定义- 离散型随机变量与连续型随机变量- 概率分布与概率密度函数3. 统计量与抽样分布- 样本与总体- 统计量的概念- 抽样分布的概念4. 假设检验与置信区间- 假设检验的基本思想- 置信区间的计算以上是数学必修四的知识点总结，每个部分都包含了该章节的核心概念、性质、公式和应用。
数学必修四知识点总结183页PPT
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
高中数学必修4知识点总结
高中数学必修4知识点总结第一章：三角函数§ 1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：2k ,k Z .§ 1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、l r .3、弧长公式：l n R R180.2n R 14、扇形面积公式：lRS360 2.§ 1.2.1、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P x,y ，那么：sin y, cos x, tan y x2、设点A x ,y为角终边上任意一点，那么：（设 2 2r x y ）sin yr，cosxr，tanyx，cotxyyTP3、sin ，cos ，t an 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：ATO M A x 4、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270 等的三角函数值.4 26 3 2334322sincostan§ 1.2.2、同角三角函数的基本关系式2 2 .1、平方关系：sin cos 12、商数关系：sin tan .cos3、倒数关系：tan cot 1§ 1.3 、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”k Z ）- 1 -sin 2k sin ,1、诱导公式一：cos 2k cos ,（其中：k Z ）tan 2k tan .sin sin ,2、诱导公式二：cos cos ,tan tan .sin sin ,cos cos , 3、诱导公式三：tan tan .sin sin ,4、诱导公式四：cos cos ,tan tan .sin cos ,25、诱导公式五：cos sin .2sin cos ,26、诱导公式六：cos sin .2§ 1.4.1 、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：yy=sinx3 7-5-12 2 22-4 -3 -2 - o 2 3 4 -7 5-3-12 2 22yy=cosxx-4 -72 -3-523 71-3- 22 2x-2 4o2 5-3-12 222、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.y sin x 在x [0, 2 ] 上的五个关键点为：3（0，0）（，，1）（，，0）（，，-1）（，2 ，0）.2 2§ 1.4.3 、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：- 2 -y y=tanx3 - 2 - -2o232x2、记住余切函数的图象：yy=cotx- -2 o2322x3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义：对于函数 f x ，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ，那么函数 f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.- 2 -图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质y sin y cos x y tan xx图象定义域R R , }{ x | x k k Z2值域[-1,1] [-1,1] R最值x2k ,k Z y 1时，max2x 2k ,k Z时，y 1min2x2k , k Z y 1时，maxx 2k ,k Z时，y 1min无周期性T 2 T 2 T奇偶性奇偶奇单调性k Z 在[2k ,2k ] 上单调递增2 2在[2 ,2 3 ]k k 上单调递减2 2在[2k ,2k ] 上单调递增在[2k ,2k ] 上单调递减在(k , k ) 上单调递2 2增对称性k Z 对称轴方程：x k对称中心(k,0)2对称轴方程：x k对称中心( , 0)k2无对称轴k对称中心( , 0)2§ 1.5 、函数y A s in x 的图象1、对于函数：y Asin x B A 0, 0 有：振幅A，周期21T ，初相，相位x ，频率 2f .T2、能够讲出函数y sin x的图象与y Asin x B的图象之间的平移伸缩变换关系.①先平移后伸缩：y x 平移| | 个单位y s i n xsin（左加右减）纵坐标变为原来的 A 倍2横坐标变为原来的1| |倍平移|B | 个单位y Asin x B（上加下减）② 先伸缩后平移：yx横坐标不变y A s in xsin纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y A s in x横坐标变为原来的1| |倍平移个单位y Asi n x（左加右减）平移|B |y Asinx B （上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 函数 y sin( x)，x ∈R 及函数 y cos( x ) ，x ∈R(A,, 为常数，且A ≠0) 的周期2 T；| |函数 y tan( x) ，,x k k Z (A, ω,为常数，且A ≠ 0) 的周期2T.| |yA s i n ( x) 和y A c o s ( x求函数 y A sin( x ) 图像的对称轴与对称中心， 只需令 () xkk Z 与2x k (k Z )解出 x 即可 . 余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 y y 利用图像特征：m ax min A ， 2y ymax min B . 2 要根据周期来求 , 要用图像的关键点来求.§.6 、三角函数模型1、 要求熟悉题. 第三章、三角恒等变换 §3.1.1 、两角差的余弦公式 15°的三角函数值： sin cos tan6 1242 6 2 324§3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式31、sin sin cos cos sin2、sin sin cos cos sin3、cos cos cos sin sin4、c os cos cos sin sin5、tan tantan .1 tan tan6、tan tan tan .1 tan tan§ 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、s in 22sin cos ，变形： 1sin cos sin 2 .22、cos2 2 sincos22 c os 121 2sin.2变形如下：21 cos2 2cos 升幂公式：21 cos2 2sin降幂公式：12cos (1 cos 2)212sin (1 cos 2)23、2 tantan 2 .21 tan4、tansin 2 1 cos 2 1 cos 2sin 2§ 3.2 、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式y asin x b c osx a 2b2 xsin()（其中辅助角所在象限由点(a, b) 的象限决定, tan 第二章：平面向量ba).§ 2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§ 2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度4等于 1 个单位的向量叫做 单位向量 .3、 方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共线. 规定：零向量与任意向量平行 .§2.1.3 、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量 .§2.2.1 、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则 和 平行四边形加法法则 .2、 a b ≤ a b .§2.2.2 、向量减法运算及其几何意义1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量 .2、 三角形减法法则 和 平行四边形减法法则 .§2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义1、规数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做 向量的数乘 . 记作： a ，它的长度和方向规定如下：⑴ a a ,⑵当 0时, a 的方向与 a 的方向相同；当 0时, a 的方向与 a 的方向相反 .2、 平面向量共线定理 ：向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a .§2.3.1 、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理 ：如果 e 1 ,e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量 a ，有且只有一对实数 1 , ，使 a1 e 12 e 2 .2 §2.3.2 、平面向量的正交分解及坐标表示1、 a xi y j x, y .§2.3.3 、平面向量的坐标运算1、 设a x 1 ,y ,b x , y ，则：1 2 25⑴a b x1 x , y y ，2 1 2⑵a b x1 x , y y ，2 1 2⑶ a x1, y1 ，⑷a//b x y x y .1 2 2 12、设A x1 ,y,B x ,y，则：1 2 2AB x2 x , y y .1 2 1§ 2.3.4 、平面向量共线的坐标表示1、设A x1, y1 , B x2 , y2 ,C x3, y3 ，则⑴线段AB中点坐标为x x1 2 ,2 y12y 2，⑵△ABC的重心坐标为x x x1 2 3 ,3 y1y23y3 .§ 2.4.1 、平面向量数量积的物理背景及其含义1、a b a b cos .2、 a 在b 方向上的投影为： a cos .3、2 2a a .4、2 a a .5、 a b a b 0 .§ 2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设a x1 ,y,b x , y ，则：1 2 2⑴a b x1 x y y2 1 2⑵a 2 2x1 y1⑶a b a b 0 x x y y 01 2 1 2⑷a//b a b x y x y 01 2 2 12、设A x1 ,y1 ,B x2 ,y2 ，则：2 2AB x2 x y y .1 2 13、两向量的夹角公式6c o s a bx x y y1 2 1 22 2 2 2a b x y x y1 12 24、点的平移公式平移前的点为P(x, y) （原坐标），平移后的对应点为P (x, y ) （新坐标），平移向量为PP (h,k )，则x x hy y k.函数y f (x) 的图像按向量 a (h,k )平移后的图像的解析式为y k f ( x h).7。
数学必修四知识点总结
必修4数学知识点 第一章、三角函数§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180.4、扇形面积公式：.lR R n S 213602==π §1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）r y 0sin =α，rx0cos =α，00tan x y =α.3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.4、诱导公式一：()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函数值.§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：1cos sin 22=+αα.2、商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二：2、诱导公式三：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-3、诱导公式四：4、诱导公式五：5、诱导公式六： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.（0，2π，π，23π，2π）§1.4.2、正弦、余弦函数的性质周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象1、能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=ϕωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.2、对于函数：()()0,0sin >>++=ωϕωA b x A y 有：振幅A ，周期ωπ2=T ，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .第二章、平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形法则和平行四边形法则.2++. §2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量. §2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：λ，它的长度和方向规定如下：⑴λλ=,⑵当0>λ时,λ的方向与的方向相同；当0<λ时,λ的方向与的方向相反. 2.平面向量共线定理：向量()≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x --=-，⑶()11,y x λλλ=，⑷1221//y x y x =⇔.2、设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为(222121,y y x x ++，⑵△ABC 的重心坐标为(33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、θ=⋅.2、在θcos .3、2a =.4=.5、0=⋅⇔⊥. §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、设()()2211,,,y xb y x a ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶02121=+⇔⊥y y x x2、设()()2211,,,y x B y x A ()()212212y y x x -+-=.第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式1、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-2、记住15°的三角函数值：§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+4、()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+.5、()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，变形：ααα2sin cos sin 21=.2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=， 变形1：22cos 1cos 2αα+=，变形2：22cos 1sin 2αα-=.3、ααα2tan 1tan 22tan -=. §3.2、简单的三角恒等变换注意正切化弦、平方降次. 我始终相信，时光会证明每天不管多晚多累都坚持在自己脸上涂抹半小时是正确的！1、。
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弧度 0
64
3
2 3 5
23 4 6
3 2
2
阿1h，
例3．已知角和满足
求角–的范围.
3
4
解：
, 0 . , .
3
3
, 7
4
4 3 12
例4、 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半
径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值
是多少？
略解：S 1 lr 1 (100 2r)r r 2 50r (r 25)2 625.
(2)象限角、象限界角(轴线角)
①象限角
第一象限角:
(2k<<2k+
2
,
kZ)
第二象限角:
(2k+
2
<<2k+,
kZ)
第三象限角:
(2k+<<2k+
3
2
,
kZ)
第四象限角:
(2k+
3
2
<<2k+2, kZ 阿1h，
或
2k-
2
<<2k,
kZ
)
②轴线角
x 轴的非负半轴: =k360º(2k)(kZ);
M
O
P
阿1h，
M
O
P
10）函数y=lg sinx+
c
os
x
1 2
的定义域是
（A） （A）{x|2kπ<x≤2kπ+ （B）{x|2kπ≤x≤2kπ+
(33(k2k∈∈ZZ))}}
（C）{x|2kπ<x≤2kπ+π (k∈Z)}
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三、 向量的有关概念 1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。
记作 |AB| 或 | a |
2．两个特殊向量：
零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 0。 单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
规定：零向量与任一向量的数量积为0
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ] 减函数
偶函数
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
y y=sinx
对称点：(k,0)
对称轴：x=k+2 k∈Z
． 1
o
．
．
．
-1
． /2 3/2 2 T/2
x
y
1．
y=cosx
对称点：(k+2 ,0) k∈Z
3 2
2
3
4 x
y 1
6、对称性：对称中心
( k , 0)
2
y Asin(x )
振幅
相位 初相（x=0时的相位）
周期 : T 2
频率 : f 1 T 2
2、函数 y Asin(x ) 的图象（A>0, >0 )
第一种变换: 图象向左( 0 ) 或
y sin x 向右( 0) 平移| | 个单位 y sin(x )
二倍角公式：
:
要 cos 2 cos2 sin2 S2 : sin 2 2sin cos
2cos2 1
1 2sin2
T2 :
tan 2
1
2
tan tan2
熟 记
降幂公式：
公
式
cos2α 1 cos2α sin2α 1 cos2α ！
2
2
要
一个化同角同函数名的常用方法：
P
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
如： a
平行向量又叫做共线向量
b
c
记作 a ∥b ∥c
规定：0与任一向量平行。
C
AB
OA = a OB = b
OC = c
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b 规定：0 = 0
熟
a sin x b cosx a2 b2 sin(x )
记
[其中sin b , cos a ]
a2 b2
a2 b2
公 式
！
如：sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )
3
6
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4
4
平面向量 复习
表示 向量的三种表示
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
首
a
A
a
b
B
尾 顺
次
a+b
相
b
O
连
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为 向量加法的三角形法则。
两种特例(两向量平行)
r
r
a
a r b
r b
A
B
r r uuur
a b AC
C
B r r C uuur A
a b AC
方向相同
方向相反
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含
角在内）的集合为. k 360, k Z
（4）角在“到”范围内，指.0 360
一、角的基本概念
1.几类特殊角的表示方法
(1)与 角终边相同的角的集合: { | =2k+, k∈Z}.
(2)象限角、象限界角(轴线角)
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b. 注意起点相同.共线向量不适用
向量加法的运算律
交换律： a b b a 结合律：(a b) c a (b c) 想一想
意k 义 ：（k Z）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
2
xR
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2Leabharlann 2k,22k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,
k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1
0
2
3 2 5 x
2
2
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
a
• 平面向量的数量积
θ b
• （1）a与b的夹角： 共同的起点
•（2）向量夹角的范围：[00 ，1800]
• （3）向量垂直：
B
B
B
a
Oθ
A
A
A
b
O
O
O
A
B
A
O
B
（4）两个非零向量的数量积：
a ·b = |a| |b| cosθ
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )
则a ·b= x1 ·x2 + y1 ·y2
为第二象限角时
P
MO
为第一象限角时
P
OM
MP为角的正弦线,OM为角的余弦线
为第三象限角时
为第四象限角时
M
O
P
M
O
P
6.诱导公式:
公式1 sin( 2k ) sin 公式3： sin( ） sin
cos( 2k ) cos
tan( ） tan
tan( 2k ) tan
cos( ） -cos
1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么?
a （ a）（ a） a 0
2.零向量和任一向量 aur 的和为什么?
a0 0a a
向量减法:
定义：求两个向量差的运算叫向量的减法。 rr r r
表示： a b a (b),
说明： r １、与 b 长r 度相等、方向相反的向量，
叫做 b 的相反向量
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
对于向任量意的的加向、量减ar、、数br乘,以运及算任统意称实为数向、 量的1、 线形2运，恒算有。
(1ar
2br )=1ar
r
2b
①象限角
第一象限角:
(2k<<2k+
2
,
kZ)
第二象限角:
(2k+
2
<<2k+,
kZ)
第三象限角:
(2k+<<2k+
3
2
,
kZ)
第四象限角:
(2k+
3
2
<<2k+2,
kZ
或
2k-
2
<<2k,
kZ
)
四、什么是1弧度的角？ 长度等于半径长的弧所对的圆心角。
B r
Or A
B
2r
Or A
（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可
向量的减法
•特殊情况
1.共线同向
ar b
rr ab
AC
B
2.共线反向
a
r b
rr ab
B
AC
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa， 它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的
度数和弧度数. 在书写时注意不要同时
混用角度制和弧度制
180 180 1 rad
1 rad 180 57.30
1 rad
180
（4）弧长公式和扇形面积公式.
lr
S r2 1 r2 1l r
2
2
2
l
n 360
2
r n
180
r
S n r 2 n r 2
图象向左( 0 ) 或
向右( 0 ) 平移 | | 个单位
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍
横坐标不变
y sin(x )
y Asin(x )
两角和与差的正弦、余弦、正切：
S( ) : sin( ) sin cos cos sin