数21高一数学函数的奇偶性2
高一数学知识点奇偶性
高一数学知识点奇偶性数学中的奇偶性是指数的特性，即一个数是奇数还是偶数。
本文将介绍高一数学中涉及到的奇偶性相关的知识点，包括奇数、偶数、奇偶校验和函数的奇偶性。
1. 奇数与偶数奇数是能被2整除余1的整数，例如1、3、5等。
而偶数则是能被2整除的整数，例如2、4、6等。
由此可见，奇数与偶数在除以2的余数上有明显的差异。
在高一数学中，奇偶数的性质非常常见且重要。
奇数与奇数相加、相乘，结果仍为奇数。
偶数与偶数相加、相乘，结果同样为偶数。
而奇数与偶数相加，结果为奇数，相乘则为偶数。
这些性质在解题和证明中经常会用到，需要加以掌握。
2. 奇偶校验奇偶校验是一种常用的信息传输校验方式，用来检测在传输过程中是否存在错误。
它利用了奇偶性的特性来实现校验。
奇偶校验的基本原理是：给定一个二进制数，统计其中1的个数，如果结果为偶数，则在数的最高位添加一个1，构成一个奇数；如果结果为奇数，则在数的最高位添加一个0，构成一个偶数。
这样，接收端在接收到数据后，再次进行奇偶校验，若结果与发送端的奇偶校验位相同，则说明传输没有错误。
奇偶校验在计算机领域中广泛应用，特别是在数据传输和存储方面。
了解奇偶校验的原理及其应用，对理解计算机相关知识具有重要的帮助。
3. 函数的奇偶性在高一数学中，函数的奇偶性也是一个重要的概念。
函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。
对于一个函数f(x)，如果对于任意x，f(-x) = f(x)，则该函数称为偶函数。
换句话说，偶函数在x轴上对称。
例如，y = x^2就是一个典型的偶函数。
另一方面，如果对于任意x，f(-x) = -f(x)，则该函数称为奇函数。
奇函数关于坐标原点对称。
例如，y = x^3就是一个典型的奇函数。
通过判断函数的奇偶性，我们可以简化函数图像的绘制过程，更好地理解和分析函数的性质。
总结：奇偶性是高一数学中重要的知识点。
掌握奇数与偶数的性质，了解奇偶校验的原理和应用，以及函数的奇偶性对于解题和理解数学概念都具有重要的作用。
数学高一函数知识点
数学高一函数知识点各个科目都考试内容有自己的学习方法，但其实其实全都是万变不离其中的，基本离不开背、记，练，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。
下面是给大家整理的一些高一函数知识点的研读资料，希望对大家有所能够帮助。
高一数学必修数论一函数高等数学1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);(3)线性判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调上升通道性;偶函数在对称的单调区间内有功能性相反的单调性;2. 复合函数的有关风险问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究课题函数的问题一定要注意定义域优先优先权的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意两点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图形又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;五年级数学必修一函数知识点总结一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
高一数学函数奇偶性知识点归纳
高一数学函数奇偶性知识点归纳在高中数学学习中，函数是一个非常重要的内容，而其中奇偶性是函数的一个重要性质。
了解函数的奇偶性对于理解函数图像的对称性，解题以及应用等方面都有着至关重要的作用。
本文将围绕高一数学函数奇偶性的相关知识点展开归纳。
1. 函数的定义函数是一种关系，其中每个自变量的取值都唯一地确定了一个因变量的取值。
函数可以用数学符号表示为 f(x)，其中 x 表示自变量，而f(x) 表示因变量。
2. 奇函数的定义与性质奇函数是指满足 f(-x)=-f(x) 的函数。
具体来说，如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x) 就是一个奇函数。
奇函数具有如下性质：- 函数图像关于原点对称；- 如果函数在原点处定义，那么 f(0)=0；- 如果函数图像关于 y 轴对称，那么函数是奇函数。
3. 偶函数的定义与性质偶函数是指满足 f(-x)=f(x) 的函数。
具体来说，如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x) 就是一个偶函数。
偶函数具有如下性质：- 函数图像关于 y 轴对称；- 如果函数在原点处定义，那么 f(0)=0；- 如果函数图像关于原点对称，那么函数是偶函数。
4. 奇偶性与对称性函数的奇偶性与其图像的对称性密切相关。
如果一个函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称；如果一个函数是偶函数，那么它的图像关于 y 轴对称。
5. 奇偶性的判断方法判断一个函数的奇偶性可以通过以下方法：- 观察函数的解析式，如果 f(x) 中不包含任何偶数次幂的 x，那么该函数可能是奇函数；- 判断函数图像关于原点的对称性，如果图像关于原点对称，则函数可能是奇函数；- 检验函数的定义域和值域，如果函数在原点处满足 f(0)=0，那么函数可能是奇函数；- 利用函数的性质和性质的推论来判断奇偶性。
6. 奇偶函数的性质奇偶函数有一些特殊的性质：- 奇函数与奇函数的和（或差）是奇函数；- 偶函数与偶函数的和（或差）是偶函数；- 奇函数与偶函数的积是奇函数；- 奇函数在 0 点对称的点函数值相等；- 偶函数在 0 点对称的点函数值相等。
高中数学(人教B版)函数的奇偶性(2)
课堂小结
二. 函数运算与奇偶性:
1
∵−1 ∈而1 ∉ ,
－1
O 1
P
∴ 是非奇非偶函数.
Q
－1
x
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
2
1
−
≥ 0, 得定义域 = −1,0 ⋃ 0,1 ,
解 (4)由
3− − 3 ≠ 0
∴∀ ∈, − ∈.
1 − 2
由定义域, =
=−
3− − 3
∴ − = −
∀ ∈ , − ∈, 且 − = , 则 为偶函数.
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) = + 1 − − 1 ;
(2) = 1;
2 − 1
3 =
− 1;
−1
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
(5) =
1− ,
本题小结 对于复合函数 ,
1. 和 都是奇函数时, 为奇函数;
2. 与 一个是偶函数,另一个是奇或偶函数时, 为偶函数.
例 6 已知对于任意, ∈, 有 + + − = 2 , 且 0 ≠ 0,
综上, ∀ ∈, 都有 − = − ,
∴ 为奇函数.
1x＝－2x＝ Nhomakorabea1
2
x
小结 用定义法 判断函数 奇偶性:
(1)看定义域 D 是否关于原点对称;
(2)看 − 与 的关系.
注: ①在定义域关于原点对称的前提下, 可先化简解析式再判断;
②分段函数, 分段讨论.
例 2 判断下列函数是否具有奇偶性:
高一数学函数的奇偶性知识点详解
高一数学函数的奇偶性知识点详解1.定义一般地，对于函数fx1如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=-fx，那么函数fx就叫做奇函数。
2如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=fx，那么函数fx就叫做偶函数。
3如果对于函数定义域内的任意一个x，f-x=-fx与f-x=fx同时成立，那么函数fx既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
4如果对于函数定义域内的任意一个x，f-x=-fx与f-x=fx都不能成立，那么函数fx 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇或偶函数。
分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与fx比较得出结论③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2.奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
fx为奇函数《==》fx的图像关于原点对称点x，y→-x，-y奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算1.两个偶函数相加所得的和为偶函数.2.两个奇函数相加所得的和为奇函数.3.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.4.两个偶函数相乘所得的积为偶函数.5.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.6.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性如：世界上最高的山2 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}3 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2 集合的表示方法：列举法与描述法。
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
高一数学 函数的奇偶性
1.3.2 奇偶性Q 情景引入ing jing yin ru大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命．被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥．它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩．一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？X 新知导学in zhi dao xue函数的奇偶性由于f (x )和f (－x )必须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)；②偶函数有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数． Y 预习自测u xi zi ce1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( B )[解析] A 、C 、D 中的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，B 中的图象关于y 轴对称，是偶函数．2．下列函数为偶函数的是( B ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝x 3[解析] y ＝x ＋1为非奇非偶函数；y ＝x 2＋x 为非奇非偶函数；令f (x )＝x 2，∴f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数；令g (x )＝x 3，g (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．3．(2019·南阳市高一期中测试)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b 的值为( B )A ．0B ．13C ．1D ．2[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＝0b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0，∴a ＋b ＝134．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝__－2__.[解析] ∵x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝1＋1＝2.又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 5．已知函数f (x )＝x －ax 的图象经过点(2,1)．(1)求a 的值； (2)判断f (x )的奇偶性．[解析] (1)∵点(2,1)在函数f (x )的图象上， ∴1＝2－a2，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x －2x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．f (－x )＝－x －2(－x )＝－x ＋2x ＝－(x －2x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨函数奇偶性的判断典例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ＋1；(2)f (x )＝x －1＋1－x ； (3)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|；(4)f (x )＝⎩⎨⎧12x 2＋1(x ＞0)－12x 2－1(x ＜0).[思路分析] (1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？ (2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？[解析] (1)函数f (x )＝x ＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称．因为f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)，－f (x )＝－(x ＋1)，即f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，所以函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x ≥0，∴定义域为{1}，∵定义域不关于原点对称，∴f (x )为非奇非偶函数．(3)函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|的定义域为实数集R ，关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，所以函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|是偶函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝－12(－x )2－1＝－(12x 2＋1)＝－f (x )；①当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－(－12x 2－1)＝－f (x )．②综上可知，函数f (x )＝⎩⎨⎧12x 2＋1(x ＞0)－12x 2－1(x ＜0)是奇函数．[注意] ①由于这里的－x ＜0，因此应将－x 代入f (x )＝－12x 2－1；②由于这里的－x ＞0，因此应将－x 代入f (x )＝12x 2＋1.『规律方法』 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．〔跟踪练习1〕判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝－3x 2＋1；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x <0)x －x 2(x >0)； (4)f (x )＝0； (5)f (x )＝2x ＋1； (6)f (x )＝x 3－x 2x －1.[解析] (1)函数f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (－x )＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x是奇函数．(2)函数f (x )＝－3x 2＋1的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )＝－3(－x )2＋1＝－3x 2＋1＝f (x )，∴f (x )＝－3x 2＋1是偶函数．(3)显然函数f (x )的定义域关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ＝－(x －x 2)＝－f (x )， 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －x 2＝－(x 2＋x )＝－f (x )， ∴f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． (4)由于f (－x )＝0＝f (x )，且f (－x )＝0＝－f (x )， ∴f (x )＝0既是奇函数，又是偶函数．(5)函数f (x )＝2x ＋1的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (1)＝3，f (－1)＝－1，－f (1)＝－3，∴f(－1)≠f(1)，∴y＝2x＋1不是偶函数，又f(－1)≠－f(1)，∴y＝2x＋1不是奇函数，∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．(6)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．命题方向2⇨奇、偶函数图象的应用典例2已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．[思路分析]∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数y ＝f(x)在x>0时的图象．[解析](1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．『规律方法』 1.研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性．2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．〔跟踪练习2〕如图给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值．[解析] 奇函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，则补全的图象如图，易知f (3)＝－2.命题方向3 ⇨利用函数的奇偶性求解析式典例3 已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.试求f (x )在R 上的表达式．[思路分析] (1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？ (2)奇函数f (x )在x ＝0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知y ＝f (x )是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．[解析] ∵函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )为奇函数，则f (0)＝0，设x ＜0，则－x ＞0，∵x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3 于是有：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3 (x ＞0)0 (x ＝0)－x 2－2x －3 (x ＜0).『规律方法』 利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x (另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．〔跟踪练习3〕已知f (x )是R 上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋x －1，求x ∈(－∞，0)时，f (x )的解析式 .[解析] 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2＋(－x )－1＝x 2－x －1， ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2－x －1. ∴当x ∈(－∞，0)时， f (x )＝x 2－x －1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误典例4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x －1)x ＋1x －1； (2)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2.[错解] (1)f (x )＝(x －1)·x ＋1x －1＝x 2－1. ∵f (－x )＝(－x 2)－1＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (2)f (－x )＝1－(－x )2|－x ＋2|－2＝1－x 2|x －2|－2，∵f (－x )≠－f (x )且f (－x )≠f (x )， ∴f (x )为非奇非偶函数．[错因分析] 要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f (x )进行变形，以利于判定其奇偶性．[正解] (1)由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}，∵f (x )定义域关于原点不对称， ∴f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0，得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∵f (－x )＝1－(－x )2－x＝－1－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．[警示] 1.函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称． 2．确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式． X 学科核心素养ue ke he xin su yang逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：(1)f (x )在区间D 上单调递增，则对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)恒成立； (2)若f (x )是奇函数，定义域为M ，则f (－x )＝－f (x )对任意x ∈M 恒成立；若f (x )是偶函数，定义域为M ，则对任意x ∈M, f (－x )＝f (x )恒成立；(3)若f (x )的最大值为M ，最小值为m ，定义域为A ，则对任意x ∈A ，有m ≤f (x )≤M . 解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．2．遇到f (－x )与f (x )的关系问题时，应首先从函数f (x )的奇偶性入手考虑，如果f (x )不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g (x )，使f (x )用g (x )表示，再利用g (x )的奇偶性来解答．典例5 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( A )A ．－26B ．－18C ．－10D ．10[思路分析] 只有一个条件f (－2)＝10，两个待定系数a ，b ，不能通过列方程组方法求出a ，b .由f (－2)求f (2)，我们可联想函数的奇偶性，观察f (x )的表达式有什么特征？如何借助函数的奇偶性求f (2)?[解析] 解法一：令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，易知g (x )是R 上的奇函数，从而g (－2)＝－g (2)，又f (x )＝g (x )－8，∴f (－2)＝g (－2)－8＝10，∴g (－2)＝18，∴g (2)＝－g (－2)＝－18.∴f (2)＝g (2)－8＝－18－8＝－26.解法二：由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(－2)5＋a (－2)3＋b (－2)－8 ①f (2)＝25＋a ·23＋b ·2－8 ②，①＋②得f (2)＋f (－2)＝－16.又f (－2)＝10，∴f (2)＝－26. K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．无法确定[解析] 由题意得－1＋a ＝0，∴a ＝1. 2．已知函数f (x )＝ax 2(a >0)，则必有( B ) A ．f (a )<f (－a ) B ．f (a )＝f (－a ) C ．f (a )>f (－a )D ．f (a )＝f (a ＋1) [解析] ∵f (－x )＝a (－x )2＝ax 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，∴f (a )＝f (－a )．3．对于定义域是R 的任意奇函数f (x )，都有( C ) A ．f (x )－f (－x )>0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )·f (－x )>0 [解析] ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0， ∴f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0，故选C ．4．函数f (x )＝x 2－2mx ＋4是偶函数，则实数m ＝__0__. [解析] f (x )为偶函数，则对称轴为x ＝m ＝0.5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小．[解析](1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．A级基础巩固一、选择题1．函数f(x)＝|x|＋1是(B)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[解析]f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．2．若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是(D) A．(a，－f(a))B．(－a，－f(－a))C．(－a, f(a))D．(－a，－f(a))[解析]∵－f(a)＝f(－a)，∴点(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上，故选D．3．下列说法正确的是(B)A．偶函数的图象一定与y轴相交B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点D．图象过原点的奇函数必是单调函数[解析]A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B．4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(D)A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数[解析]令F1(x)＝f(x)·f(－x)，F2(x)＝f(x)|f(－x)|，F3(x)＝f(x)－f(－x)，F4(x)＝f(x)＋f(－x)，则F1(－x)＝f(－x)·f(x)＝F1(x)，即F1(x)为偶函数；F2(－x)＝f(－x)·|f(x)|≠±F2(x)，即F2(x)为非奇非偶函数；F3(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F3(x)，即F3(x)为奇函数；F4(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F4(x)，即F4(x)为偶函数．结合选项知D正确．5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(C)A．－2B．－1C．1D．2[解析]∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，且函数是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴1－a＝0，∴a＝1.6．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为(A)A．4B．0C．2m D．－m＋4[解析]由f(－5)＝a(－5)7－b(－5)5＋c(－5)3＋2＝－a·57＋b·55－c·53＋2＝m，得a·57－b·55＋c·53＝2－m，则f(5)＝a·57－b·52＋c·53＋2＝2－m＋2＝4－m.∴f(5)＋f(－5)＝4－m＋m＝4.故选A．二、填空题7．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝__－x＋1__.[解析]设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x＋1.∴x>0时，f(x)＝－x＋1.8．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__12__.[解析]∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，∴f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－16＋4＝－12，11又∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－12，∴f (2)＝12.三、解答题9．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .B 级 素养提升一、选择题1．函数f (x )＝1x －x 的图象关于( C )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称[解析] ∵f (x )＝1x －x (x ≠0)，∴f (－x )＝－1x ＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，所以f (x )＝1x －x 的图象关于原点对称，故选C ．2．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( A )A ．12B ．23C ．34D ．1[解析] 解法一：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－x(－2x ＋1)(－x －a )＝－x(2x ＋1)(x －a )，即(2x －1)(x ＋a )＝(2x ＋1)(x －a )恒成立，整理得(2a －1)x ＝0，∴必须有2a －1＝0，∴a ＝12，故选A ．解法二：由于函数f (x )是奇函数，所以必有f (－1)＝－f (1)，即1－1－a ＝－13(1－a )，即1＋a ＝3(1－a )，解得a ＝12，故选A ．123．已知f (x )＝x 5－2ax 3＋3bx ＋2，且f (－2)＝－3，则f (2)＝( C )A ．3B ．5C ．7D ．－1[解析] 令g (x )＝x 5－2ax 3＋3bx ，则g (x )为奇函数，∴f (x )＝g (x )＋2，f (－2)＝g (－2)＋2＝－g (2)＋2＝－3，∴g (2)＝5，f (2)＝g (2)＋2＝7.4．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( A )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2)[解析] ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，即f (－π)>f (3)>f (－2)．二、填空题5．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为__5__.[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a ×(－3)＝－6，解得a ＝5.6．设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时f (x )的图象如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为__[－6，－3)∪(0,3)__.[解析] 由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．三、解答题7．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25，求函数f (x )的解析式． [解析] ∵f (x )是(－1,1)上的奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝0，又f (12)＝25，∴12a 1＋(12)2＝25，∴a ＝1， ∴f (x )＝x 1＋x 2.13 8．奇函数f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，若f (m －1)＋f (3－2m )<0，求实数m 的取值范围．[解析] 原不等式化为f (m －1)<－f (3－2m )．∵f (x )是奇函数，∴f (m －1)<f (2m －3)．∵f (x )为(－1,1)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －1<1－1<2m －3<1m －1>2m －3，解得1<m <2，故实数m 的取值范围是(1,2)．9．已知f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值．[解析] ∵x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋32)2－14， ∴当x ∈[－3，－1]时，f (x )min ＝f (－32)＝－14，f (x )max ＝f (－3)＝2. ∵f (x )为奇函数，∴f (x )在x ∈[1,3]上的最小值和最大值分别是－2，14， ∴m ＝14，n ＝－2. ∴m －n ＝14－(－2)＝94， 即m －n 的值为94.。
3.2.2函数奇偶性(第2课时-函数奇偶性的应用)2022学年高一数学人教A版(2019)必修第一册
例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.
(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)＜0. 解 先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)， 连线可得f(x)的图象如图.
(2)解不等式xf(x)＜0.
解 xf(x)＜0即图象上横坐标、纵坐标不同号. 结合图象可知，xf(x)＜0的解集是(-∞ ,－2)∪(2， ＋∞).
(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不 变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式．
2．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x＞0 时，f(x)＝x＋3x －4.求函数 f(x)在 R 上的解析式．
3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x，求函数f(x)，g(x) 的解析式． 解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x). 由f(x)＋g(x)＝x＋x2，① 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－x＋(－x)2， 所以f(x)－g(x)＝－x＋x2.② (①＝x.
奇偶性与单调性的关系 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区 间上的单调性相反． (2)利用奇偶性转化到一个单调区间，再利用单调性比较大小．
练习：
1.已知偶函数 f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝0，若 f(2x＋1)≤0，则
x 的取值范围是( )
奇函数的图象关于原点对称
考点一 由奇偶性画函数图像 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称.
例 1 定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数 f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
高一函数知识点总结奇偶性
高一函数知识点总结奇偶性函数是高中数学中的重要知识点之一，而函数的奇偶性则是函数理论中的一个重要概念。
在高一阶段，学生需要学习和掌握函数的奇偶性相关的知识，本文将对高一函数的奇偶性进行总结。
1. 函数的奇偶性概念函数的奇偶性是指函数在定义域内的奇偶性质。
如果对于在定义域内的任意x值，f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果对于在定义域内的任意x值，f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数；如果一个函数既不满足偶性质也不满足奇性质，那么这个函数就是既非偶函数也非奇函数。
2. 奇函数的性质奇函数的特点是关于原点对称，即图象关于原点对称。
此外，奇函数在坐标系的第一象限和第三象限的函数值相等，即f(x) = -f(-x)。
3. 偶函数的性质偶函数的特点是关于y轴对称，即图象关于y轴对称。
此外，偶函数在坐标系的第一象限和第二象限的函数值相等，即f(x) = f(-x)。
4. 奇偶函数的判定方法要判定一个函数是奇函数还是偶函数，可以通过以下方法：- 方法1：利用函数的定义，对于任意给定的x，计算f(-x)和f(x)的值是否相等或相反。
- 方法2：观察函数图象关于x轴的对称性。
如果函数的图象关于x 轴对称，则函数是偶函数；如果函数的图象关于原点对称，则函数是奇函数。
- 方法3：利用导函数的性质。
若函数的导函数是奇函数，则原函数是偶函数；若函数的导函数是偶函数，则原函数是奇函数。
5. 奇偶函数的性质应用奇偶函数在数学和物理中具有重要的应用。
在数学中，奇偶函数在积分计算时可以简化计算过程，同时在函数图象的对称性证明中也起到重要作用。
在物理中，奇函数和偶函数可用于描述对称和非对称的现象，如电荷分布的对称性、波函数的对称性等。
6. 奇偶函数的例子以下是一些常见的奇偶函数例子：- 正弦函数：sin(x)是奇函数，它在区间[-π, π]内关于原点对称。
- 余弦函数：cos(x)是偶函数，它在区间[-π, π]内关于y轴对称。
高一函数的奇偶性知识点
高一函数的奇偶性知识点函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。
在高中数学中，函数受到了广泛的研究和运用。
其中，函数的奇偶性是一个很重要的概念。
本文将介绍高一函数的奇偶性知识点，并探讨其应用。
一、奇函数和偶函数的定义函数f(x)是定义在一个对称区间上的函数。
如果对任意的x∈该区间，都有f(-x)=-f(x)成立，那么函数f(x)就被称为奇函数；如果对任意的x∈该区间，都有f(-x)=f(x)成立，那么函数f(x)就被称为偶函数。
二、奇函数和偶函数的性质1. 奇函数的图像关于原点对称，即在平面直角坐标系中，关于原点对称。
2. 奇函数的定义域包括原点，而奇函数在原点处取零值。
3. 偶函数的图像关于y轴对称，即在平面直角坐标系中，关于y轴对称。
4. 偶函数的定义域包括y轴，而偶函数在y轴上的任意点处取相等的函数值。
三、奇偶性的判断方法对于一个给定的函数，我们如何确定它是奇函数还是偶函数呢？有以下几种判断方法：1. 利用定义进行判断：根据奇函数和偶函数的定义进行判断。
2. 利用恒等式进行判断：对于一些特定的函数形式，我们可以通过代入x和-x，利用恒等式判断函数的奇偶性。
例如，对于幂函数y=x^n，如果n为偶数，则函数为偶函数；如果n为奇数，则函数为奇函数。
3. 利用图像进行判断：通过观察图像，我们可以发现奇函数的图像具有对称性，而偶函数的图像则具有轴对称性。
四、奇函数和偶函数的应用奇偶性在函数的研究和应用中扮演着重要的角色。
以下是一些常见的应用：1. 函数图像的绘制：通过了解函数的奇偶性，我们可以在绘制函数的图像时，仅仅绘制出对称区间上的一部分，然后通过对称性得到整个图像。
2. 函数性质的研究：通过奇偶性的判断，我们可以推论出一些重要的函数性质。
例如，奇函数与奇函数的和仍然是奇函数；奇函数与偶函数的积是一个偶函数。
3. 函数的积分计算：对于定义在对称区间上的奇函数，其在该区间上的积分等于零。
高一数学函数的奇偶性
高一数学函数的奇偶性学习目标1、理解函数奇偶性及其几何意义.2、学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3、学会判断函数的奇偶性4、周期函数f(x T) f(x)知识框架1、偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X，都有f(—x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.2、奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X，都有f( —x)= —f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.f(0) 03、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.禾U用定义判断函数奇偶性的步骤：a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，贝S是非奇非偶的函数；若对称，贝S进行下面判断；b、确定f( —x)与f(x)的关系；c、作出相应结论：若f( —x) = f(x) 或f( —x) —f(x) = 0 ，则f(x)是偶函数若f( —x) = —f(x) 或f( —x) + f(x) = 0 ，贝S f(x)是奇函数.禾U用奇偶函数的四则运算在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除仍为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数。
4、函数的周期性随堂练习1、判断下列函数的奇偶性2、已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x 4) f (x),当x (0,2)时,f(x) 2x 2，贝S f(2011) _________ .3、 函数f (x) (m 1)x 2 2mx 3为偶函数，则f (x)在区间(5, 3)上()A 、先减后增B 、先增后减C 、单调递减D 、单调递增4、 已知函数y f (x)为奇函数，若f(3)f(2) 1,则f( 2) f ( 3) _____________ . 5、 设函数f(x) (x 1)(x a)为奇函数，则a __________________ .x 6、 函数f(x)在R 上为奇函数，且f(x) ■ x 1,(x 0),则当x 0时，f(x) __________ . 7、 设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x 0时，f(x) 2x 2x b (b 为常数)，贝S f( 1) ___________ .8、 若f(x)是R 上周期为5的奇函数且满足f(1) 1, f(2) 2,则f(3) f(4) _______ .9、 函数f(x)的定义域为R,且满足：f(x)是偶函数，f(x 1)是奇函数， 若 f(0.5) 9,贝S f(8.5) __________ .10、 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x 2) f (x).当 x [0,2]时，f (x) 2x x 2.(1) 求证：f(x)是周期函数；(2) 当x [2,4]时，求f (x)的解析式；(1) f(x)(3) f (x) (5) f(x)(2) f(x) x 2 x 3; x 2 1 1 x 2; x 2 2(x 0) 0(x 0) . x 2 2(x 0)(4) y 、2x 1 .1 2x;(3)计算f(0) f (1) f (2) f(2011)的值.。
高一数学函数的奇偶性2
f ( x) f ( x) 故函数没有奇偶性。
思考：
在刚才的几个函数中有的是奇函数 不是偶函数，有的是偶函数不是奇 函数，也有既不是奇函数也不是偶 函数的。那么有没有这样的函数， 它既是奇函数又是偶函数呢？
f(x)=0
是不是具备这样性质的函数解析 式只能写成这样呢？
例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶 函数。求证：f(x)=0
(4) f(x)=6x3-1 (6) f(x)=0 (-2<x<2)
0
(7) f ( x) 4 x (2 x)
判断方法:
f x f x 1.定义式: 2.等价形式: f x f x 0
f x 1 f x 0 f x
f ( x) 1 ( x) 2 1 x 2 f ( x), f ( x) 是偶函数。
（3） f ( x) x
2
( x [3,1])
定义域是否关于 原点对称
（ 4） f ( x ) 2 x 1
解：（3） 当x 2时,由于2 [3,1]
故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由 于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。 （4） 因为f ( x) 2 x 1, f ( x) f ( x)且
函数的奇偶性
y
2 =x
当x1=1, x2= -1时， f(-1) = f(1) 当x1=2, x2=-2时， f(-2)= f(2)
-x x
对任意x，f(-x)=f(x)
yx
3
当x1=1, x2= -1时， f(-1)= -f(1)
-x x
对任意x， f(-x)= -f(x)
偶函数定义：如果对于函数定义域内 的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那 么f(x)就叫偶函数。
高一函数奇偶性知识点总结
高一函数奇偶性知识点总结在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。
而函数的奇偶性是我们在学习和研究各类函数时需要了解和掌握的一项基本特性。
本文将从定义、性质和应用三个部分对高一函数的奇偶性知识点进行总结。
1.定义函数的奇偶性是指函数在定义域内某一点的改变是否与该点的自变量的改变符号相同。
具体来说，如果对于函数f(x)在定义域内的任意x值，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)在定义域内的任意x值，有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。
2.性质2.1 偶函数与奇函数的性质(1) 奇函数在原点对称，即关于原点中心对称；(2) 偶函数关于y轴对称，即关于y轴中心对称；(3) y = f(x)的图像关于原点对称时，则f(x)必为奇函数；(4) y = f(x)的图像关于y轴对称时，则f(x)必为偶函数；(5) 两个奇函数的和（或差）必为偶函数；(6) 两个偶函数的和必为偶函数，差必为偶函数或奇函数。
2.2 常见函数的奇偶性(1) 偶函数：常数函数f(x) = c；幂函数f(x) = x^2；三角函数f(x) = cos(x)等。
(2) 奇函数：零函数f(x) = 0；反比例函数f(x) = 1/x；正弦函数f(x) = sin(x)等。
3.应用3.1 约束条件的简化在解题过程中，函数的奇偶性可以用来简化约束条件。
例如，当一个函数满足奇函数的性质时，我们只需要在定义域的非负部分进行研究，即可以得到整个函数的性质。
3.2 函数图像的判断通过函数的奇偶性，我们可以推断函数图像在平面上的对称性质。
当函数为奇函数时，图像关于原点对称；当函数为偶函数时，图像关于y轴对称。
这样的判断可以帮助我们更直观地理解和绘制函数的图像。
3.3 积分计算中的应用在一些积分计算中，函数的奇偶性可以被用来简化积分式子。
根据奇偶函数的性质，我们可以将积分区间缩小一半，便于求解。
例如，当被积函数为奇函数时，可直接将积分区间由[-a,a]缩小为[0,a]，简化计算步骤。
高一数学函数的奇偶性2
[单选]属国家一级保护动物、仅产于广西大瑶山的爬行动物为（）。A.石龙子B.鳄蜥C.巨蜥D.麻蜥 [单选]关于细菌性肝脓肿的处理错误的是（）A.非手术治疗适用于多发性肝小脓肿B.大剂量、联合应用抗生素C.经皮肝穿刺脓肿置管引流术适用于多发性肝小脓肿D.全身营养支持治疗E.经皮肝穿刺脓肿置管引流术适合于已液化的单个较大脓肿 [单选]有一复视患者的复视图表现为：同侧垂直复视，右像高，左像低，右下方向复像距离最大，周边物像属左眼，则其麻痹肌可能为()A.左眼外直肌B.右眼上斜肌C.左眼下直肌D.左眼上斜肌E.右眼下直肌 [单选]根据《信托公司集合资金信托计划管理办法》规定，委托人可以是投资一个信托计划的最低金额不少于（）人民币的自然人、法人或者依法成立的其他组织。A.50万元B.100万元C.200万元D.300万元 [单选]石油的凝固点一般为（）。A.-50～30℃B.-10～10℃C.0～30℃D.30～40℃ [单选]131-45=53在（）进制下成立。A.六B.七C.八D.九 [单选]甲公司作为上市公司，欲对目标公司乙公司实施收购行为，根据预测分析，得到并购重组后乙公司未来8年的增量自由现金流量的现值为1000万元，8年后以后每年的增量自由现金流量均为600万元，折现率为10%，乙公司的负债总额为2000万元，则乙公司的预计总体价值为（）万元。［已知 [多选]中医诊察疾病的四种方法是()A．寒、热B．闻、同C．表、里D．虚、实E．望、切 [单选]设计钢筋混凝土大型楼板，板厚20cm，钢筋间距为5cm，选用碎石的粒级应为（）A.5～10mmB.5～20mmC.5～40mmD.5～60mm [单选,A1型题]关于义齿软衬技术，下列描述正确的是（）A.旧义齿软衬应尽可能采用直接法B.间接法软衬比直接法软衬准确度高C.间接法软衬材料物理性能优于直接法软衬材料D.直接法软衬材料厚度必须大于2mmE.间接法软衬材料厚度应小于1mm [单选]提高深层淤泥质土的承裁力可采取（）。A.固结灌浆B.喷混凝土护面C.打土钉D.振冲置换 [名词解释]药动学 [单选]下列区域经济与宏观经济影响分析的指标中，属于社会与环境指标的是()。A.就业效果指标B.三次产业结构C.财政收入D.财政资金投入占财政收入的百分比 [多选]影响空气粘性力的主要因素：（）.A、空气清洁度B、速度剃度C、空气温度D、相对湿度 [单选]一段较长的土质路堑纵向开挖，采用沿路堑全宽，以深度不大的纵向分层进行挖掘作业，这种作业方法称作（）。A．分层纵挖法B．通道纵挖法C．分段纵挖法D．混合式纵挖法 [单选]花卉园艺学研究的内容是（）。A.花卉的种类、形态、产地B.花卉的繁殖、习性、栽培C.花卉的园林用途D.包括A、B和C等的一门综合性学科 [单选]根据视锥细胞和视杆细胞的功能差异。昼间扫视与夜间扫视技巧的特点是（）.A.昼间扫视的速度和范围相对较快、较大，夜间扫视时则应较慢，且范围较小B.昼问扫视的速度和范围与夜间扫视不应有任何区别C.昼问扫视的速度和范围相对较慢、较小，夜问扫规时则应较快、且范围较大 [名词解释]人格结构 [问答题]指出压力单位“兆帕”与“千帕”、“兆帕”与“公斤力”、“帕”与“毫米水柱”之间的关系？ [单选]由金黄色葡萄球菌或乙型溶血性链球菌引起的急性化脓性皮肤病是（）A.单纯疱疹B.带状疱疹C.脓疱疮D.疣E.癣 [单选,A2型题,A1/A2型题]对小儿胸外电除颤最常用的电能是（）A.1J/kgB.2J/kgC.3J/kgD.4J/kgE.5J/kg [单选,A2型题,A1/A2型题]脾气虚、脾阳虚、脾气下陷、脾不统血证的共同见症是（）A.畏寒肢冷，肢体水肿B.食少便溏，少气乏力C.便血出血，月经量多D.腹部疼痛，喜温喜按E.脘腹重坠，食后益甚 [单选]目前最理想的永久性创面覆盖物是()A．自体皮肤B．猪皮C．表皮细胞膜片D．鸡皮E．同种异体皮 [单选]某一竖直角为17°23，40，化为弧度值为（）。A.0.72B.0.304C.0.605 [单选]事业单位在财产清查中发现事业用材料盘亏，其中属于正常损耗的应()。A.计入当期经营支出B.计入当期事业支出C.直接抵减一般基金D.冲减事业用材料盘盈价值 [单选]Afullyloadedmotor-propelledlifeboatmustbecapableofattainingaspeedofatleast（）.A.3knotsinsmoothwaterB.6knotsinsmoothwaterC.3knotsinroughwaterD.6knotsinroughwater [单选]传输层模式可分为（）.A.电路模式.分组模式.贴中继模式和ATM模式B.PDH.SDH.ATM模式C.铜线系统.同轴电缆系统.光纤接入系统等 [单选,A1型题]亡阳兼气脱证，首选的药对是（）A.附子、桂枝B.附子、人参C.附子、高良姜D.附子、干姜E.肉桂、吴茱萸 [单选,A1型题]暑淫证候的表现是（）。A.头昏沉，嗜睡，胸脘痞闷B.口渴饮水，口唇鼻咽干燥C.发热恶热，汗出，气短神疲D.突发皮肤瘙痒、丘疹、痦痞E.肠鸣腹泻，脘腹拘急冷痛 [单选]作为荧光抗体标记的荧光素必须具备的条件中，可以提高观察效果的是（）A.必须具有化学上的活性基团能与蛋白稳定结合B.性质稳定不会影响抗体的活性C.荧光效率高，荧光与背景组织色泽对比鲜明D.与蛋白质结合的方法简便快速E.与蛋白质的结合物稳定 [单选]()未经县级以上建设行政主管部门审查批准，不得使用。A.施工安全技术措施B.施工组织设计C.勘察文件D.施工图设计文件 [单选]以下各项中可能成为行政主体的是（）。A.国家权力机关B.人民检察院C.国家行政机关D.治安联防组织 [多选]关于航空运输市场的含义下列说法正确的是()A.航空运输市场是一种特定的市场B.是航空运输产品和服务交易的场所C.是指航空运输产品供求关系的总和D.是在一定时空条件下对航空运输产品和服务需求的总和E.供求关系的无法测量的市场 [单选]一位亲眼目睹美国9•11事件的妇女到现在头脑中还经常浮现出那悲惨的一幕。这属于（）。A.形象记忆B.情景记忆C.情绪记忆D.动作记忆 [单选]投资体制改革充分体现了科学发展观的要求，项目核准咨询也完全不同于传统的项目评估，这体现于()。A.由项目的外部条件评价转变到项目内部影响评价B.由项目的微观层次分析上升到国家的宏观层次C.由项目的宏观层次分析上升到地区的微观层次D.由工程项目分析为主变为以经济、社 [问答题,案例分析题]【病例摘要】某女，30岁，教师。于2011年1月4日就诊。患者于3天前食辛辣肥甘之品后，出现尿频、尿急、尿道灼痛，患者未予重视，又食肥甘厚味之品，今日不适症状加重而来诊治。现症见：尿频、尿急，排尿时自觉尿道灼痛，小腹胀痛，不思饮食，睡眠欠佳，舌质红， [单选]下列关于大额支付系统的处理，（）是不正确的。A、城市商业银行签发银行汇票，应及时通过行内系统将汇票资金移存至城市商业银行汇票处理中心。B、代理兑付行兑付银行汇票，应通过大额支付系统向汇票处理中心发送银行汇票资金清算请求。C、系统参与者应加强对查询、查复的管 [单选]关于家庭承包经营的描述，下列说法有误的是（）。A.承包期内，发包方可以收回承包地B.承包期内，承包方全家迁入小城镇落户的，应当按照承包方的意愿，保留其±地承包经营权或者允许其依法进行土地承包经营权流转C.承包期内，承包方全家迁入设区的市，转为非农业户口的 [单选]女，52岁，左颈部无痛性包块渐进性增大，MRI检查如图，最可能的诊断是()A．左侧颈部神经鞘瘤B．左侧颈部神经纤维瘤C．左侧颈部动脉瘤D．左侧颈部转移瘤E．左侧颈部脂肪瘤 [单选,A1型题]关于干酪性肺炎的叙述正确的是（）A.属于继发性肺结核常见的类型B.易发生在免疫力过强或变态反应过低的病人C.病变性质为渗出性炎D.常由浸润型肺结核恶化进展产生E.由慢性纤维空洞型肺结核经血行播散所致
高一数学函数的奇偶性2
高一数学函数的奇偶性2
f(x)=|x|
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
2 例如，函数 f ( x ) x 1, f ( x ) x 2 1 都是偶函数，
说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性
例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图 象如下图，画出在y轴左边的图象. 解：画法略
y
相等
0
x
y
相等
0
x
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
f(x)为奇函数 如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数 如果都有f(－x)=-f(x) 2、两个性质：
y
0
x
观察下图，思考并讨论以下问题：
f(x)=x2
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1) (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数.
2
它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发
现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
高一数学函数的奇偶性2
（3）判断函数奇偶性的方法：①定义法
②图象法
例1：判断下列函数的奇偶性 （1）f(x)=x3 +2x 奇函数 (2) f(x)2x4 +3x 2 偶函数
2 √1-x (4) f(x)= √x -1 +
(3) f(x)=√x-1 +√1-x
既非奇函数又非偶函数
2
既是奇函数又偶函数
(5) 既是奇函数又偶函数
2.1.4函数的奇偶性
课件
继续观察函数y=x 2 和y=x 3 的图象，回答下 列问题： (1)函数y=x 2 (y=x 3 )图象的对称性是怎样的？
函数y=x2 的图象关于y轴对称，y=x 3的图象关于原点对称
(2)从函数的本来说，其特点是什么？
对函数y=x 2 来说，f(-x)=f(x)
对函数y=x 3 来说，f(-x)=-f(x)
于是 又 f(-x)=2(-x)[1-(-x)]= -2x(1+x) f(x)是奇函数，故 f(-x)= -f(x)
所以，f(x)=2x(1+x)
即当x<0时，函数表达式为：f(x)=2x(1+x) 函数的表达式为： f(x)=
｛2x(1+x)
2x(1-x)
（x>0） (x<0为奇函数，则
(2)能判断函数的奇偶性。
武汉汗蒸房 / xqj219qox 汗蒸房装修 汗蒸房尺寸 汗蒸房安装 我当初的小学老师——王老先生，因有次给人们拿书，所骑自行车与一台货车相互撞，从来后也没有顾着在那所初三教 书了。走运的是，王老先生现在已无大碍。曾经，我一帮小鬼不明白顽皮到随意地步，给王老先生起的外号是“老白”。 到现在，我仍旧我还记得比较明晰，但我本来不情愿解说一些事了，提到“老白”，有特别多说不出的涉及初三的高兴 记东西的能力。在可爱三四年级的现今，又来了一位老先生，他姓冯，所以我给冯老先生的外号为“老冯“。 现出村，因刚下过一两天的雨，路并不好走。纵然如此，也倡导不到我当初的作为。路上，经满了好多块麦地，麦子曾 经开端泛黄，收割的时候行将临近。对我来讲，那条路再熟习不满了。上初三的现今，遗憾时常来回走。走在那条熟习 的街上，无数往事的点滴涌上了我当初的心头，我当初的思绪开端变得会有些不清楚。但我很明显，现在不是顾忌一些 事的现今，接着我又立马很快苏醒了来。我明白，我也猜疑，在辉煌的某几日，我得空去回想起和回想就现在的情况多 的曾经与往事，我得让侬有富足的精力时间去回味和感想理解感慨感叹感触感受等。
高一数学 函数的奇偶性 (2)
二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)．a>0 时，在(－∞， －2ba]上为减函数，在[－2ba，＋∞)上为增函数，a<0 时相反； 在闭区间[m，n]上，既有最大值也有最小值，当－2ba∉[m，n] 时，在两端点取最值，当－2ba∈[m，n]时，f－2ba为其一个 最值，f(m)与 f(n)中的一个为另一最值．要熟练结合其图象进 行讨论．
()
• A．先减后增
B．先增后减
• C．递增
D．递减
• [答案] A
• 3．函数的单调性、奇偶性及最值是高考 考查的重点．应注意单调性是局部性质， 奇偶性是定义域上的整体性质．f(x)在区 间A上单调增(或减)，对任意x1、x2∈A有 x1<x2⇔f(x1)<f(x2)( 或 f(x1)>f(x2)) ， f(x) 为 奇 (或偶)函数，则f(x)＋f(－x)＝0(或f(－x)－ f(x)＝0)，对定义域内的任意x都成立．
• [解析] 由f(m)＋f(m－1)>0得，f(m)>－f(m －1)，
• ∵f(x)为奇函数，f(1－m)<f(m)． • 又 为奇∵－ －函f(22x≤ ≤数)在1m－，≤[m02≤,22]上，为即减－ －函12≤ ≤数mm≤ ≤且32f(x，)在[－2,2]上 • ∴f(x1)－在m>[－m 2,2]上为减m函<12数．
∴y＝ －x12＋1x＝ －1x－122＋14 ∵x≥1，∴0<1x≤1，∴0≤y≤12.
• 4．y＝x2＋|x|的大致图象是 ()
• [解析] 此函数为偶函数，排除C、D；又 y≥0，排除B，故选A.
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f ( x) f ( x) f (| x |)
f ( x) 1 ( x) 2 1 x 2 f ( x), f ( x) 是偶函数。
（3） f ( x) x
2
( x [3,1])
定义域是否关于 原点对称
（4） f ( x) 2 x 1
ห้องสมุดไป่ตู้
解：（3） 当x 2时,由于2 [3,1]
故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由 于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。 （4） 因为f ( x) 2 x 1, f ( x) f ( x)且
奇函数定义：如果对于函数定义域内 的任意一个x ,都有f(-x）= -f(x)。 那么f(x)就叫奇函数。
例1、判断下列函数的奇偶性
(1)
f ( x) 2 x
（2） f ( x) 1 x
2
解：(1) 因为f(-x)=2x= -f(x) ,所 以f(x)是奇函数。 (2) 因为f(x)的定义域为［－１，１］
证明：因为 f(x) 既是奇函数又是偶函数 所以 f(-x)=f(x),且f(-x)= -f(x) 这样的函数 所以 f(x)= -f(x) 有有多少个 所以 2f(x)=0 呢？ 即 f(x)=0. f ( x)只是解析式的特征， 若改变函数的定义域， 如f ( x) 0, x [1,1]和f ( x) 0, x {2,1， ，,2, } 01 显然是不同的函数， 但它们都既是奇函数又是 偶函数， 所以这样的函数有无数多个
函数按是否有奇偶性可分为四类：
(1)奇函数; (2)偶函数; (3)既是奇函数又是偶函数; (4)既不是奇函数又不是偶函数.
例3、判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) kx b
(k 0)
2 f ( x) a
(a R)
（1）解： 当b=0时， f(x)为奇函数，当 b 0时，f(x) 既不是奇函数，也不是偶函 数。 2、解：当a=0时，f(x) 既是奇函数又是 偶函数，当a 0时，f(x)是偶函数。
f ( x) f ( x) 故函数没有奇偶性。
思考：
在刚才的几个函数中有的是奇函数 不是偶函数，有的是偶函数不是奇 函数，也有既不是奇函数也不是偶 函数的。那么有没有这样的函数， 它既是奇函数又是偶函数呢？
f(x)=0
是不是具备这样性质的函数解析 式只能写成这样呢？
例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶 函数。求证：f(x)=0
3.具有奇偶性的函数图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称． 4.性质法:偶与偶的和差积商仍为偶;奇与奇的 和差为奇,积商为偶;奇与偶的积商为奇.
结论:
1.非零常数函数 f ( x) a(a 0)为偶函数;
f ( x) 0, x [m, m],(m 0)
函数的奇偶性
y
2 =x
当x1=1, x2= -1时， f(-1) = f(1) 当x1=2, x2=-2时， f(-2)= f(2)
-x x
对任意x，f(-x)=f(x)
yx
3
当x1=1, x2= -1时， f(-1)= -f(1)
-x x
对任意x， f(-x)= -f(x)
偶函数定义：如果对于函数定义域内 的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那 么f(x)就叫偶函数。
(4) f(x)=6x3-1 (6) f(x)=0 (-2<x<2)
0
(7) f ( x) 4 x (2 x)
判断方法:
f x f x 1.定义式: 2.等价形式: f x f x 0
f x 1 f x 0 f x
例4、已知函数f(x)为奇函数，定义域
为R,且X≥0时，f(x)= 求函数f(x)的解析式。
x 2x
2
小结：
•奇偶性的概念 •判断奇偶性时要注意的 问题
作业：
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=3x (3) f(x)=6x2 (5) f(x)=2x+2a
2
(2) f ( x) 2 | x | 3