数列
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结一、基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, …,an来表示，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的数称为项，n称为项数。
2. 数列的类型数列可以根据项的规律和性质进行分类，主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其序号之间的关系的公式，通常用an或者Un 表示第n个项，用n表示项数。
数列的通项公式可以根据数列的类型和性质进行求解。
二、等差数列1. 定义如果一个数列满足任意相邻两项之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列，差值为d。
2. 性质（1）通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）前n项和：等差数列的前n项和Sn= (a1+an) * n /2。
（3）求和公式推导：对于等差数列Sn= (a1+an) * n /2，可用数学归纳法进行证明。
3. 等差数列的应用等差数列在数学和现实生活中有着重要的应用，如计算机算法中的序列求和、物理学中等速直线运动、金融学中的等额本息贷款等。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的任意相邻两项的比值都相等的数列，比值为q。
2. 性质（1）通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（2）前n项和：等比数列的前n项和Sn= (a1*(q^n - 1)) / (q-1)。
3. 等比数列的应用等比数列在数学和现实生活中也有着重要的应用，如复利计算、生物学中种群增长问题、物理学中的指数衰减等。
四、递推数列1. 定义递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或几项通过某种规律得到的数列。
2. 性质递推数列的通常是通过递推关系式进行求解，递推数列的解可以是显式公式和递推公式。
3. 递推数列的应用递推数列是数学中的重要概念，它在代数、离散数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
五、常见数列形式1. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第n项等于其前两项之和的数列，通常用F(n)表示，前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …2. 调和数列调和数列是指数列中的每一项是调和级数的一部分的数列，通常用H(n)表示，前几项为1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …2. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项之间既满足等差数列的条件，又满足等比数列的条件的数列。
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
数列知识点归纳
数列知识点归纳数列是数学中非常重要的概念，它是由一系列按一定规律排列的数所构成的。
在数学和其他科学中，数列常常被用来描述和分析各种变化的现象和问题。
本文将对数列的基本概念、性质以及常见的数列类型进行归纳总结。
一、基本概念1. 数列的定义：数列是由一系列具有固定顺序的数所构成的集合。
通常用字母表示数列，如a1,a2,a3,…,an，其中a1表示数列的第一项，an表示数列的第n项。
2. 数列的项数和项的通项公式：项数指数列中的项的个数，通项公式是指能够根据项的位置n来确定该位置上的数的公式。
3. 数列的和与差：数列的和是指将数列中的所有项相加所得到的结果，数列的差是指相邻两项之间的差值。
4. 数列的递增和递减：如果数列中的每一项都比它前面的项大，则称这个数列为递增数列；如果数列中的每一项都比它前面的项小，则称这个数列为递减数列。
二、性质与定理1. 数列的有界性：一个数列可能是有界的，也可能是无界的。
如果一个数列的所有项都在某一范围内，则称它是有界数列；如果一个数列存在项无限大或无穷小的情况，则称它是无界数列。
2. 数列的极限：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列中的数趋于的值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无穷大或无穷小。
3. 数列的收敛与发散：如果一个数列存在极限，并且极限是有限的，则称这个数列是收敛数列；如果一个数列不存在极限，或者极限是无限大或无穷小，则称这个数列是发散数列。
4. 数列的递推公式和通项公式：递推公式是指通过前一项或前几项计算出后一项的公式；通项公式是指能够根据项的位置n来确定该位置上的数的公式。
三、常见数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d 是公差。
2. 等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r 是公比。
数列的概念
数列的概念1.数列：按一定的次序排列的一列数叫数列。
2．项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
其中第1项也叫做首项 3.项数：数列的各项所在的位置序号叫做项数。
4．数列的表示：（1）一般形式：1a ，2a ，3a ，…n a ，…其中n a 是数列的第n 项。
（2）简单表示：{}n a5、数列分类：递增数列，递减数列，摆动数列， 6．通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与它的项数n 之间的关系可以用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。
简记为)(n f a n =。
等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示设数列}{n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列 d n a a n )1(1-+= *N n ∈ 广义通项公式: d m n a a m n )(-+=*1,n n a a d n N +=+∈(1)*,,,N q p n m ∈若q p n m +=+则:q p n m a a a a +=+ (2)}{n ka k 为常数,也是等差数列. (3)下标成等差数列的项也成等差数列. (4)}{n a ,}{n b 是等差数列,则}{n nqb pa +也是等差数列.在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。
由定义,实数b a ,的等差中项2ba A +=等 比 数 列一、基础知识 1．定义与定义式从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.)(1为不等于零的常数q q a a nn =+ 2．通项公式11-=n n q a a ,推广形式:m n m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q mn mn3．前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a qq a q na S n nn 且注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=5．在等比数列{}n a 中有如下性质: (1)若q p n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*则,,,, (2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若{}为等比数列数列n nn a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n n n a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论 ②当{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>>()1(111-=--+q qa a a n n n ){}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>><1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
数列的概念和性质
数列的概念和性质数列（Sequence）是数学中一个重要的概念，指按照特定顺序排列的一组数的集合。
数列可分为有穷数列和无穷数列两种。
具体而言，数列的概念和性质如下所述：一、数列的概念数列是按照特定规律排列的一组数的有序集合。
数列常用字母表示，如a₁,a₂,a₃,…,aₙ，其中的a₁、a₂、a₃等分别表示数列的第1、2、3个元素，而aₙ表示数列的第n个元素。
数列中的每个元素都有其独立的位置和值。
根据数列的特点，数列可以分为等差数列、等比数列和等差数列的一般形式。
二、等差数列的性质等差数列（Arithmetic Progression）指数列中的每一项与前一项的差等于同一个常数d，该常数称为该等差数列的公差（Common Difference）。
等差数列的性质如下：1. 通项公式：等差数列的第n项的通项公式可表示为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
2. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可表示为Sn = n/2(a₁ + an) = n/2(2a₁ + (n-1)d)，其中a₁为首项，an为末项，n为项数。
3. 等差中项：等差数列中两个相邻的项的平均值称为等差数列的中项，若n为奇数时，中项可表示为an/2 +1 = a₁ + (n/2-1)d；若n为偶数时，中项可表示为aₙ/2 = a₁ + (n/2-0.5)d。
三、等比数列的性质等比数列（Geometric Progression）指数列中的每一项与前一项的比等于同一个非零常数q，该常数称为该等比数列的公比（Common Ratio）。
等比数列的性质如下：1. 通项公式：等比数列的第n项的通项公式可表示为an = a₁ *q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比。
2. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可表示为Sn = a₁(q^n -1) / (q - 1)，其中a₁为首项，q为公比。
四、等差数列和等比数列的一般形式在实际问题中，数列的规律未必只符合等差或等比的特性。
数学数列知识点整理
数学数列知识点整理数学数列是数学中的重要概念，是指按照特定规律排列的一系列数。
数列具有重要的应用价值，例如在数学、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将从数列的定义、分类、性质、求和公式和应用等方面进行整理和介绍。
一、数列的定义和分类数列是按照一定规律排列的一系列数，可以用{a1, a2, a3, …, an}表示，其中a1、a2、a3等分别表示数列的第1项、第2项、第3项等。
数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等几种类型。
1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列，常用an=a1+(n-1)d表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
2.等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，常用an=a1*r^(n-1)表示，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
3.递推数列递推数列是指数列中每一项都是前一项的某个函数，常用an=f(an-1)表示。
二、数列的性质数列具有一些基本性质，如有限项数列的和等于各项之和，等差数列和等比数列的前n项和公式等。
1.有限项数列的和有限项数列的和是指将数列中所有项相加的结果，用Sn表示。
例如，数列{1,2,3,4,5}的和为1+2+3+4+5=15，用S5表示。
有限项数列的和公式为Sn=(a1+an)*n/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。
2.等差数列的和等差数列的和是指将等差数列中前n项相加的结果，用Sn表示。
等差数列的和公式为Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
3.等比数列的和等比数列的和是指将等比数列中前n项相加的结果，用Sn表示。
等比数列的和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
三、数列的求和公式求和公式是指可以用一种通用的方法来计算数列的和。
除了上述等差数列和等比数列的前n项和公式外，还有一些其他的求和公式。
1.调和级数调和级数是指数列1/1、1/2、1/3、1/4、1/5……的和，用Hn表示。
(完整版)数列的概念
【解析】(1)各数都是偶数，且最小为 4，所以通项公式 an＝2(n＋1)(n∈N＋)． (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，
偶数项为正，所以它的一个通项公式
an＝(－1)n× n
1 n ＋1
.
(3)这是一个摆动数列，奇数项是 a，偶数项是 b，所以此数列的一个通项公式
（1）3,5,7,9，…
（2）1,2,4,8，…
（3）9,99,999,9 999，…
解:（1）观察知，这个数列的前4项都是序号的
2倍加1，所以它的一个通项公式为
an 2n 1；
（2）这个数列的前4项可以写成20,21,22,23，
所以它的一个通项公式为
an 2n1;
（3）这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 0001,
【即时训练】
1.下面数列是有穷数列的是 ( B )
A.1,0,1,0, C.2,22,222,
B.1, 1 , 1 , 1 234
D.0,0,0,0,
2.以下四个数中，是数列 {n(n 1)}中的一项的是 ( A )
A.380 B.39 C.32 D.23
探究点2 数列的通项概念
在数列⑤中，每一项的序号n与这一项 an有下
与该项都有对应关系，见下表.
序号
1
2
3
4
…
n
…
项 a1 a2 a3 a4 … an …
因此数列也可以看作定义域为正整数集N+(或它的 有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时， 该函数对应的一列函数值就是这个数列.
如果数列 an的第n项 an与n之间的函数关系可
以用_一__个__式__子__表示成an f (n) ，那么这个式子就 叫作这个数列的_通__项__公__式__，数列的通项公式就是
数列(共84张PPT)
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
数列的基本概念
数列的基本概念数列是数学中常见的一个概念，它在各个领域都有广泛的应用。
数列是由一系列按照特定顺序排列的数所组成的集合，其中每一个数称为该数列的项。
在数列中，第一个数称为首项，最后一个数称为末项。
数列的一般表示形式为{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}，其中 a₁表示首项，aₙ表示末项，n 表示项数。
数列有许多不同的分类方式，其中最常见的有等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都相等的数列。
这个公差可以用字母 d 来表示。
等差数列的通项公式为 aₙ = a₁ + (n - 1) * d，其中 aₙ 表示第 n 项的值，a₁表示首项的值，n 表示项数，d 表示公差。
例如，数列 {2, 4, 6, 8, 10} 就是一个公差为 2 的等差数列，它的首项为 2，项数为 5，公差为 2。
等比数列是指数列中每一项与它的前一项之比都相等的数列。
这个公比可以用字母 q 来表示。
等比数列的通项公式为 aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中 aₙ 表示第 n 项的值，a₁表示首项的值，n 表示项数，q 表示公比。
例如，数列 {1, 2, 4, 8, 16} 就是一个公比为 2 的等比数列，它的首项为 1，项数为 5，公比为 2。
在数列中，常常需要求解某一项的值或者根据数列的特点进行推断。
例如，已知等差数列的首项和公差，我们可以根据通项公式求解任意一项的值；已知等比数列的首项和公比，也可以根据通项公式求解任意一项的值。
反之，已知数列中的多个项，我们也可以根据其之间的关系推断出该数列是等差数列还是等比数列，并求解出相应的公差或公比。
数列的概念和应用在数学中有着重要的地位。
在高等数学中，数列是数学分析的基础，也是数学归纳法的重要应用对象。
在应用数学中，数列广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域，例如用于描述某种规律的增长、衰减或周期性变化。
总结起来，数列是由一系列按照特定顺序排列的数所组成的集合。
数列总结
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第一个 月
小兔 对数
大兔 对数
1
总对 数
第二个 月 1
1
2
第三个 月
第四个 月
第五个 月
…
1
2
3…
2
3
5…
3
5
8…
用Fn 表示第n个月初时兔房里的兔子的对数，则有 F1 1, F2 2, F3 3，于是有 Fn2 Fn1` Fn.
b1 b2 b3
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例4 在等差数列 {an} 中，公差d 0,a2是a1 与 a4
的等比中项，又数列a1，a3，ak1，ak2，L ，akn ，L 成等比数列，求数列{ kn}的通项。
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例5 已知数列 a0，a1，a2，L ，an，L 满足关系式 (3 an1)(6 an ) 18, 且 a0 3，
定理 2 若 {an} 为 r 阶等差数列，则前 n 项和 Sn
r
为r+1阶等差数列, 且 Sn＝ Cnk1ka1. k 0
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推论2 当 {an} 为一阶等差数列时, 各阶差分的首项唯
0a1，a1 0, 因而有
Sn
1 Cnk1ka1 na1 n
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特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为 xn2 pxn1 qxn (n 1，p，q为常数，q 0) () 称 x2 px q 为 () 特征方程，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的根 ， , 则其通项 公式为 xn A n B n (n 1), 其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根 ，则其通项公式为
数列的概念与分类
数列的概念与分类数列是数学中的一个重要概念，它在不同领域的应用非常广泛。
本文将介绍数列的概念、分类以及一些相关的性质和应用。
一、数列的概念数列是由一串按照一定规律排列的数构成的序列。
这些数可以是整数、实数或者其他类型的数。
数列中的每个数称为数列的项，用An表示第n项。
二、数列的分类1.等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。
如果数列公差为d，则数列的通项公式可以表示为An = A1 + (n-1)d。
其中，A1为首项，n为项数。
等差数列的常用表示方法有递推公式和通项公式。
2.等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比保持恒定的数列。
如果数列公比为q，则数列的通项公式可以表示为An = A1 * q^(n-1)。
其中，A1为首项，n为项数。
等比数列的常用表示方法有递推公式和通项公式。
3.斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
即A1 = A2 = 1，An = An-1 + An-2 (n≥3)。
斐波那契数列在自然界中常常能够找到相应的规律。
4.调和数列调和数列是指数列中的每一项的倒数构成的数列。
调和数列的通项公式为An = 1/n。
5.等差-等比数列等差-等比数列是指数列中既有等差又有等比关系的数列。
它的通项公式可以表示为An = (A1 + (n-1)d) * q^(n-1)。
三、数列的性质和应用1.数列的递增和递减性质根据数列的定义，可以得出数列的递增和递减性质。
如果数列中的每一项都比前一项大，则该数列为递增数列；如果数列中的每一项都比前一项小，则该数列为递减数列。
递增和递减数列在求和、求极限等数学运算中有重要应用。
2.数列的求和公式对于一些特殊的数列，可以通过求和公式计算数列的前n项和。
例如等差数列的前n项和公式为Sn = (A1 + An) * n / 2；等比数列的前n项和公式为Sn = (A1 * (q^n - 1)) / (q - 1)。
数列的概念与性质
数列的概念与性质数列作为数学中重要的概念之一，被广泛应用于各个领域，是数学研究和实际问题分析的基础。
在本文中，我们将介绍数列的概念与性质，并探讨其应用。
一、数列的概念数列是由一串有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数称为该数列的项，用字母表示。
数列常用的表示方法有一般表示法和递推表示法。
1. 一般表示法数列的一般表示法是通过给出项的位置与对应项的数值之间的关系来定义数列。
例如，数列{1, 3, 5, 7, 9}可以表示为a1=1, a2=3, a3=5,a4=7, a5=9。
2. 递推表示法数列的递推表示法是通过给出某一项与前一项之间的关系来定义数列。
例如，数列{1, 3, 5, 7, 9}可以表示为a1=1, an=an-1+2(n≥2)。
二、数列的性质数列具有多种性质，其中包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
下面我们将依次介绍这些性质。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
设数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，那么有如下性质：①公差：d=an-an-1；②第n项：an=a1+(n-1)d；③前n项和：Sn=n/2[2a1+(n-1)d]。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
设数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，那么有如下性质：①公比：q=an/an-1；②第n项：an=a1q^(n-1)；③前n项和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一个非常著名的数列，其定义如下：①首两项为1，1；②从第3项开始，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列具有许多有趣的性质，如黄金分割、菲波那契数列的逼近等，在数学、自然科学等领域中有广泛的应用。
三、数列的应用数列的应用广泛，几乎涵盖了数学的各个领域。
以下是数列应用的几个典型例子。
1. 几何和几何和是数列前n项和的一种特殊情况。
当公比q不等于1时，几何和的求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
(完整)数列常见数列公式(很全)
常见数列公式等差数列1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，(n ≥2，n ∈N +)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示)2．等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数））3．有几种方法可以计算公差d① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn -- 4．等差中项：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ （m, n, p ， q ∈N ) 等差数列前n 项和公式6。
等差数列的前n 项和公式 （1）2)(1n n a a n S +=(2)2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0,是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0,d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(q ≠0）,即:1-n na a =q (q ≠0) 2。
等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(1≠⋅⋅=-q a q a a m n m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q (+∈N n ，q ≠0) “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ，b 同号）。
数列的基本概念
数列的基本概念数列是数学中的一个重要概念，它在数学研究和实际应用中都具有广泛的应用价值。
本文将介绍数列的基本概念及其相关特性。
一、数列的定义数列是由一系列有序的数字所组成的集合，每个数字称为数列的项。
数列可以用一个通项公式来表示，并按照一定的规律排列，其中通项公式可以是一个递推公式或直接给出每一项的算式。
二、等差数列等差数列是一种常见的数列形式，其中每一项与前一项之差都相等。
等差数列的通项公式通常表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
例如，1, 4, 7, 10, 13就是一个公差为3的等差数列，其中a1=1，d=3，可以通过通项公式an=1+(n-1)3计算出任意一项的值。
等差数列具有以下特性：1. 公差相等，每一项与前一项之差都为固定值。
2. 通项公式可以确定数列中任意一项的值。
3. 数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n/2[2a1+(n-1)d]计算，其中Sn表示前n项的和。
三、等比数列等比数列是一种特殊的数列形式，其中每一项与前一项之比都相等。
等比数列的通项公式通常表示为an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
例如，2, 4, 8, 16, 32就是一个公比为2的等比数列，其中a1=2，r=2，可以通过通项公式an=2*2^(n-1)计算出任意一项的值。
等比数列具有以下特性：1. 公比相等，每一项与前一项之比都为固定值。
2. 通项公式可以确定数列中任意一项的值。
3. 数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)计算，其中Sn表示前n项的和。
四、斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数列形式，其特点是每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式通常表示为an=an-1+an-2，其中a1和a2为给定的首项。
例如，1, 1, 2, 3, 5, 8就是一个斐波那契数列，可以通过通项公式递推计算出后续的项。
数列
此 题 也 可 用 排 除 法 求 解 ， 只 需 验 证 当 n= 1 时 ， A 3 3 1 选 项 为 ， B 选 项 为 ， C选 项 为 ， 均 不 为 1 ， 故 2 4 3 排除A 、B、C，从而选D.
3.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*), 则a100等于 A.1 解析 B.-1 方法一 C.5 （ B ） D.-5 由 a1 = 1 , a2 = 5 , an + 2 = an + 1 - an
存在正数M，使|an|≤M an的符号正负相间，如 1，-1，1，-1，…
摆动数列
3.数列的表示法： 数列有三种表示法，它们分别是 列表法、图象法 和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列 { an} 的第 n项 an与 序号n 之间的关系可 以用一个公式 an=f(n)来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.
解
∵当n≥2, n∈N*时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1
+2SnSn-1=0，
1 1 即 − = 2, S n S n −1 1 ∴ 数列 { }是公差为2的等差数列 . Sn 1 1 又S1 = a1 = ,∴ = 2, 2 S1 ∴ 1 = 2 + (n − 1) ⋅ 2 = 2n, S1
题型分类
题型一
深度剖析
由数列的前几项写数列的通项公式
【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式： （1）-1，7，-13，19，… （2）0.8，0.88，0.888，… 1 1 5 13 29 61 （3） , , − , , − , , 2 4 8 16 32 64 3 7 9 （4） ,1, , , 2 10 17 （5）0 ， 1 ， 0 ， 1 ， …
第1讲 数列的概念及简单表示法
第1讲数列的概念及简单表示法一、知识梳理1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.常用结论1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n }上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.二、教材衍化1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32 B.53 C.85D ．23解析：选D.a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12，a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23. 2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝ ．答案：5n －4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }是一回事．( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )(6)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 二、易错纠偏常见误区(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N ＋或其子集{1，2，…，n }； (2)根据S n 求a n 时忽视对n ＝1的验证．1．在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2中，0.08是它的第 项．解析：依题意得n －2n 2＝225，解得n ＝10或n ＝52(舍)．答案：102．已知S n ＝2n ＋3，则a n ＝ ．解析：因为S n ＝2n ＋3，那么当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋3＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋3－(2n －1＋3)＝2n －1(*)．由于a 1＝5不满足(*)式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2由数列的前几项求数列的通项公式(师生共研)(1)数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－(n －1)B ．a n ＝n 2－1C ．a n ＝n （n ＋1）2D ．a n ＝n （n －1）2(2)已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是 ．【解析】 (1)设此数列为{a n }，则由题意可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4.…所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n －32n .【答案】 (1)C (2)a n ＝(－1)n·2n －32n解决此类问题，需抓住下面的特征：(1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项．(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．(3)相邻项(或其绝对值)的变化特征．(4)拆项、添项后的特征．(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律．[注意]根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！1．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝ ．解析：数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.答案：2n ＋1n 2＋12．数列3，7，11，15，…的一个通项公式是 ．解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a 2n －a 2n －1＝4，所以a 2n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1，所以a n ＝4n －1.答案：a n ＝4n －1由a n 与S n 的关系求通项公式a n (师生共研)(1)(2020·河南三市联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1的值为( )A.12B.14C.18D ．116(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a 1＝ ，{a n }的通项公式为 ．【解析】 (1)因为S n ＝a 1（4n －1）3，a 4＝32，所以S 4－S 3＝255a 13－63a 13＝32，所以a 1＝12，故选A.(2)数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)， 所以(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1. 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立． 所以a n ＝22n －1.【答案】 (1)A (2)2 a n ＝22n －1(1)已知S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1；②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． (2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝ ．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥22．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝ ．解析：由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，所以a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n－1由递推关系求数列的通项公式(师生共研)分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1)(n∈N＋)；(2)a1＝1，a n＋1＝2n a n(n∈N＋)；(3)a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N＋)．【解】(1)a n＝a1＋(a2－a1)＋…＋(a n－a n－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为a n＝(n－1)2.(2)由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘， 得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2，所以数列的通项公式为a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n－1－1.由递推关系求数列的通项公式的常用方法1．在数列{a n}中，若a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1，则a n＝．解析：a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1⇒a n＋1－a n＝2n－1⇒a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，则a n＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＝1－2n－11－2＋2＝2n－1＋1.答案：2n－1＋12．若a1＝1，na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，则数列{a n}的通项公式a n＝．解析：由na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，得a na n－1＝nn＋1(n≥2)．所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34×23×1＝2n ＋1，(*) 又a 1也满足(*)式，所以a n ＝2n ＋1. 答案：2n ＋1数列的函数特征(多维探究) 角度一 数列的单调性已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N ＋，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1＜0，所以k ＞3－3n 对任意n ∈N ＋恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D.【答案】 D(1)解决数列单调性问题的三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法①可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；②利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．角度二 数列的周期性等差数列{a n}的公差d＜0，且a21＝a211，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n的值为()A．5 B．6C．5或6 D．6或7【解析】由a21＝a211，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.因为d＜0，所以{a n}是递减数列，所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.【答案】 C解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．已知数列{a n}满足a n＝(n－λ)2n(n∈N ＋)，若{a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是．解析：因为数列{a n}是递增数列，所以a n＋1＞a n，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，化为λ＜n＋2，对任意的n∈N＋都成立．所以λ＜3.答案：(－∞，3)核心素养系列13 逻辑推理——数列的通项公式逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比推理；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎推理．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( )A.2（n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.12n －1D ．12n －1【解析】 法一(归纳推理)：因为S n ＝n 2a n ，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 故a n ＋1＝nn ＋2a n ，当n ＝2时，a 1＋a 2＝4a 2，a 1＝1， 所以a 2＝13.所以a 1＝1＝21×2，a 2＝13＝22×3，a 3＝22＋2a 2＝12×13＝16＝23×4，a 4＝33＋2a 3＝35×16＝110＝24×5，a 5＝44＋2a 4＝23×110＝115＝25×6，由此可猜想a n ＝2n （n ＋1）.法二(演绎推理)：因为a 1＝1，S n ＝n 2a n ，所以n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n－1，即(n ＋1)(n －1)a n ＝(n －1)2a n －1，所以a na n －1＝n －1n ＋1，所以a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×n －3n －1·…·24×13，即a n a 1＝2n （n ＋1），所以a n ＝2n （n ＋1）. 【答案】 B本题是从特殊到一般的归纳，是不完全归纳，解答此类问题的具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N ＋处理．1．在数列1，2，7，10，13，…中219是这个数列的第项．解析：数列1，2，7，10，13，…，即数列1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，3×4＋1，…，所以该数列的通项公式为a n＝3（n－1）＋1＝3n－2，所以3n－2＝219＝76，所以n＝26，故219是这个数列的第26项．答案：262．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1(n∈N＋)，则a2 020等于．解析：因为a1＝1，所以a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的周期数列，所以a2 020＝a2＝0.答案：0[基础题组练]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则( ) A ．3不是数列{a n }的项 B ．3只是数列{a n }的第2项 C ．3只是数列{a n }的第6项 D ．3是数列{a n }的第2项和第6项解析：选D.令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3.整理，得n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或n ＝6.故选D.2．已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N ＋，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，则a 5＝( )A.132B.116C.14D ．12解析：选A.由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，所以a 5＝a 3·a 2＝132.3．在数列{a n }中，“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.“|a n ＋1|>a n ”⇔a n ＋1>a n 或－a n ＋1>a n ，充分性不成立，数列{a n }为递增数列⇔|a n ＋1|≥a n ＋1>a n 成立，必要性成立，所以“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，且a 1＝2，则( )A ．a 3＝－1B ．a 2 019＝12C ．S 3＝3D ．S 2 019＝2 019解析：选A.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，可得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12，…所以a n －3＝a n ，数列的周期为3.a 2 019＝a 672×3＋3＝a 3＝－1.S 6＝3，S 2 019＝2 0192.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1 B.2n （n ＋1） C.6（n ＋1）（n ＋2）D ．5－2n 3解析：选B.由题意知，S n ＋na n ＝2， 当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2， 所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， 从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n （n ＋1），当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n （n ＋1）.6．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝ ．解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式可以为n2n －1.答案：n2n －17．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为 ． 解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， 当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n，所以a n＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N*8．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n ＝(n ＋1)a n ，则a n ＝ ．解析：由2S n ＝(n ＋1)a n 知，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝(n ＋1)a n－na n －1，所以(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11＝1，所以a n ＝n .答案：n9．已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝ (－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.10．(2020·安徽合肥四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式；(2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4（a n ＋1）a n ＋1＝4.[综合题组练]1．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，若S n －22n ＋1＋1＝n ，则数列{b n }的通项公式为b n ＝ ．解析：因为S n －22n ＋1＋1＝n ，所以S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.所以当n ≥2时，S n －1＝(n －2)2n ＋2，两式相减，得a n b n ＝n ·2n ，所以b n ＝n ；当n ＝1时，a 1b 1＝2，所以b 1＝1.综上所述，b n ＝n ，n ∈N *.故答案为n .答案：n2．(2020·新疆一诊)数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }的前n 项之积，则A 2 019＝ ．解析：由a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝1－1a n，又a 1＝3，则a 2＝1－1a 1＝23，a 3＝1－1a 2＝1－32＝－12，a 4＝1－1a 3＝1－(－2)＝3，则数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1a 2a 3＝3×⎝⎛⎭⎫23×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，则A 2 019＝(a 1a 2a 3)·(a 4a 5a 6)·…·(a 2017a 2 018a 2 019)＝(－1)673＝－1.答案：－13．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .4．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围． 解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)可知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n－2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，所以，当n ≥2时， a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。
数列
项数无限的数列叫做无穷数列
如数列（4）是有穷数列
如数列（1）、（2）、（3）、（5）、（6） 都是无穷数列。
an
数列（4） 10
用图象表
9
示：
8
7
6
5
4
哇！图象也
3
可以是一些
2
点呀！
1
O 12 3456 7 n
an
1
数列（2）
用图象表
1 2
示
1 4 1 8
O 12345 67n
数，序号从1开始依次增加时，对 应的函数值按次序排出就是数列， 这就是数列的实质。
数列的一般形式可以写成：
a1, a2, a3, an , ,
其中an是数列的第n项，上面的数列又可简记为 an
如数列（1）
n 1，2，3，4，5，··· ···可简记为 n
如数列（2）
1, 1 , 1 , , 1 ,
一数 列
1，2，3，4，5，···n， ···.（1）
1，1 ，1 ，1 ，1 ，···1 ，···. （2）
2 34 5 n
1，1.4，1.41，1.414， ···. （3）
2 1.41421 4，5，6，7，8，9，10. （4）
－1，1，－1，1， ···. （5）
1，1，1，1， ···.
例1 根据下面数列an的
通项公式，写出它的前5项：
（1）
an
n n 1
（2） an 1n n
解：（1）在通项公式中依次取 n =1，2，
3，4，5，得到数列an 的前5项为
1,2, 3,4,5. 23456
（2）在通项公式中依次取n=1，2，
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。
（6）已知二次函数 f ( x) 3x2 2 x ，数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn )(n N ) 均在函数 y f ( x) 的图像 上。求数列 {an } 的通项公式。 An=6n-5
注意等差数列的前 n 项和的特征在解题中的应用： ，其中 a1 an a2 an1 a3 an2 ，注意平均数的概念； 2 2 ②公差不为 0 的等差数列的前 n 项和是关于项数 n 的二次函数，且常数项为 0； ③前 n 项和最大最小的研究方法 5． （ 1 ） 若 互 不 相 等 的实 数 a 、 b 、 c 成 等 差 数 列 ， c 、 a 、 b 成 等 比 数 列 ， 且 a 3b c 10 ， 则 a = -4 。 ① Sn na1
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课
题
数列
备课时间： 数列的概念，等差数列等比数列的性质和应用 教学内容 2011-08-16
授课时间：2011-08-8 教学目标
数列的概念和简单表示法
1.数列的概念:按照一定______排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的______. 数列的第一项 a 1 也称为_______项， a n 是数列的第 n 项，也叫数列的_______项。 如果数列 {a n } 的第 n 项 a n 与项数 n 之间的关系可以用一个公式来表示，即 a n f (n) ，那么这个式子就叫做这 个数列的___________.数列的通项公式就是相应函数的解析式。 数列 {a n } 中， Sn a 1 a 2 a n ，叫做数列 {a n } 的_____________. 2.数列的分类：项数有限的数列称为_________数列，项数无限的数列称为_________数列。 递增数列：对于任意的 n 1 , n N ，都有 a n 1 a n ； 递减数列：对于任意的 n 1 , n N ，都有 a n 1 a n ； 常数列：对于任意的 n 1 , n N ，都有 a n 1 a n 。 3.重要关系式：对于任意数列 {a n } ，都有 a n 与 Sn 的关系式 a n 4.常见数列：分别写出以下几个数列的一个通项公式： （1）1,2,3,4,5,… a n =_______; （2）1,3,5,7,9,… (4)1,2,4,8,16,… a n =___________;
（3）{ an }、{ bn }分别为等差数列、等比数列，且 a1 ＝ b1 >0， a2 n1 ＝ b2 n1 ，则（ A． an1 > bn 1 B． an1 ＝ bn 1 C． an1 < bn 1 D． an1 bn 1
（2）已知等差数列{an}满足 a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有（ A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0 C．a3＋a99＝0
（3）已知等差数列{an}中， a1 a4 a7 39 ， a2 a5 a8 33 ，则 a3 a6 a9 =（ A．30 B．27 C．24 D．21
1
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等比数列
1.定义：如果一个数列从_______项起，每一项与它的________的比都等于_____________，那么这个数列就叫做等 比数列，这个常数称为等比数列的________,用字母_____来表示。 常见表示形式：
a n 1 a n q;
a n 1 q; an
a n 1 a n ; an a n 1
a n 1 a a a n 2
2
2.通项公式： a n _________________; 3.等比中项：若 a, G, b 成等比数列，则 G 叫作 a 与 b 的等比中项，G=_____________, 4.等比数列的前 n 项和公式： Sn =______________=________________.（q≠1） 5.等比数列的性质： (1)在等比数列{ a n }中， a n a m ________ (2)在等比数列{ a n }中，若 m n p q ，则 a m a n a p a q (3)若{ a n }为等比数列，则 a k , a k m , a k 2m , 仍为等比数列；且公比为_______. (4)若{ a n }为等比数列，则 Sn , S2n - Sn , S3n - S2n , 仍为等比数列；且公比为_______.
。
（3）已知数列 {an } 满足 a1 0, a n 1
an 3 3a n 1
(n N * ) ，则 a 20 =（
3 2
）
A．0
B． 3
C． 3
D．
考查递推公式和归纳思想（寻找规律） ，注意从等差、等比、周期等方面进行归纳。 2． （1） an 是首项 a1 1 ，公差 d 3 的等差数列，如果 an 2005 ，则序号 n 等于（ A．667 B．668 C．669 D．670 ）
练习： 1． （1）依次写出数 a1 1 ， a2 ， a3 ，…。法则如下：如果 an 2 为自然数且未写出过，则写 an1 an 2 ，否则 就写 an1 an 3 ，那么 a6 ．
（2）已知数列 {an } 满足 a1 1, a2 5, an2 an1 an (n N * ) ，则 a 20 =
（2）已知等差数列 {an } 中， a7 a9 16, a 4 1 ，则 a12 的值是（
）
2
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A．15 B．30 C．31 D．64 （3）在等差数列{ an }中，a3＋a7 – a10＝8，a11－a4＝4，则 S13＝ 156
．
（4）设 S n 为等差数列 an 的前 n 项和， S4 ＝14，S10－ S7 ＝30，则 S9＝
2
a n 1 a n d; a n 1 a n a n a n 1 ; 2an 1 a a a n 2
(5) 若{ a n }为等差数列，则 a k , a k m , a k 2m ,仍为等差数列；且公差为_______. (6) 若{ a n }为等差数列，则 Sn , S2n - Sn , S3n - S2n , 仍为等差数列；且公差为_______.
0.3
。
懂一点等差数列的性质能提高解题的速度。这些性质主要有：
3
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①若 m＋n＝p＋q，则 am an ap aq ； ②公差为 d 的等差数列{ a n }中，其下标成等差数列的子数列也成等差数列； ③公差为 d 的等差数列{ a n }中，连续 m 项的和也组成等差数列，且公差为 m d 等。 4． （1）设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 S7 35 ，则 a4 （ A． 8 B． 7 C． 6 ） D． 5
）
（7）在等比数列 an 中， a1 2 ，前 n 项和为 Sn ，若数列 an 1 也是等比数列，则 Sn 等于 （8）设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， S4 1, S8 17 ，则 an a1=1/15 q=2
2n 。
。
等比数列的概念，注意运用基本量思想（方程思想）解题。通项公式和前 n 项求和公式建立了基本量之间的关 系。等差和等比数列的简单综合。 6． （1）已知{an}是等比数列且 an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么 a3+a5 等于( ) A．5 B．10 C．15 D．20 （2）已知等比数列的公比是 2，且前四项的和为 1，那么前八项的和为( A．15 B．17 C．19 D．21 )
2
（2）数列{ an }的通项公式是 an 2n 49 ，那么数列的前 n 项和 Sn 取得最小值时，n 为（ A．23 B．24 C．25 D．26
）
（3）已知等差数列前 n 项和为 Sn，若 S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为（ A．第 5 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．第 8 项
）
（4）一个只有有限项的等差数列，它的前 5 项的和为 34，最后 5 项的和为 146，所有项的和为 234，则它的第七 项等于（ ） A．22 B．21 C．19 D．18 （5）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn pn2 2n q( p, q R， n N*） ，则 q= 0
54
。
（ 5 ） 设 an 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 ， 若 a1 a2 a3 15 ， a1a2 a3 80 ， 则 a11 a12 a13 = 105 。
考查等差数列的概念，注意运用基本量思想（方程思想）解题。通项公式和前 n 项求和公式建立了基本量之间 的关系。 3． （1）如果数列 {an } 是等差数列，则（ A． a1 a8 a4 a5 C． a1 a8 a4 a5 ） B． a1 a8 a4 a5 D． a1a8 a4 a5 ） D．a51＝51 ）
（4）等差数列{ an }的其前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ A．130 B．170 C．210 D．260
）
（5）已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和 15，偶数项之和为 30，则其公差是 3
。
S3 1 S6 （6）设 Sn 是等差数列｛an｝的前 n 项和，若 ＝ ，则 ＝ S6 3 S12
(n 1) _____, 成立。 , (n 2) __________
a n =_______;（3）1,4,9,16,25,… a n =______;
(5)1,-1,1,-1,… a n =___________;
等差数列
1. 定义：如果一个数列从__________项起，每一项与它的________的差等于________________， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数称为等差数列的_________,用字母_________来表示。 等差数列常见表示的表现形式有： a n 1 a n d; 2.等差数列的通项公式： a n _________________; 3.等差中项：若 a,A,b 成等差数列，则 A 叫作 a 与 b 的等差中项，A=_____________, 4.等差数列的前 n 项和公式： Sn =___________=________________.（推导方法：倒序相加法） 5.等差数列的性质： (1) 在等差数列{ a n }中, a n a m _____________ (2) 在等差数列{ a n }中，若 m n p q ，则 a m a n a p a q (3) 数列{ a n }是等差数列 a n kn b （k,b 是常数） （ n N ） ； (4) 数列{ a n }是等差数列 Sn An Bn （A,B 是常数） （ n N ） ；