简单微分方程及其应用
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 应用举例
§1 简单微分方程及其应用 §2 线性规划简介 §3 关于对策论的话题 §4 库存与生产批量的最优
控制
文科数学
用数学方法解决实际问题的能力包括： ①.将实际问题归结为一个数学问题（数学建 模）； ②.选择合适的数学方法加以求解； ③.对所得结果用适当的方法进行验证； ④.将结果应用于实际问题（对某些现象加以解 释、作出预测、用于设计等）。
文科数学
三、齐次方程
定义1 形如
dy ( y )
dx x 的一阶微分方程称为齐次方程。
例如
(xy y2 )dx (x2 2xy)dy 0
dy dx
xy y2 x2 2xy
y ( y)2 xx 12 y
x
文科数学
齐次方程的求解方法 dy ( y )
dx x 令 u y , 则 y = ux，从而
解：设列车在制动后 t 秒行驶了s 米，即求 s = s(t)
①
② 方程①含有未知函数的二阶导数，两边对 x 积分
两边对 x 再次积分
(C1, C2为任意常数)
文科数学
① ②
再由条件②得 C1＝20, C2＝0，因此所求运动规律为
定义2 方程中所含未知函数导数的最高阶数称
为微分方程的阶。
n 阶常微分方程的一般形式
在中学数学中：
x2 bx c 0, x 10 x 2; 3x1 9x 18 0
前两个方程中只含未知量 x 的代数运算，称为代数 方程；后一个方程中含未知量 x 的超越运算，称为 超越方程。这些方程的共同点是：未知量 x 均为数 值。
文科数学
在大学数学中： x2 y2 R2 0; dy 2x or dy 2xdx dx
F (x, y, y, , y(n) ) 0
(隐式)
y(n) f (x, y, y, , y(n1) ) (显式)
文科数学
定义3 将函数及其导数或微分代入微分方程，
能使其成为恒等式，这样的函数称为该微分方程的
解，其图形称为积分曲线。
分类
通解 －解中所含独立的任意常数的个数与 方程的阶数相同
特解 －不含任意常数的解
文科数学
§1 简单微分方程及其应用
一、微分方程的基本概念 二、可分离变量的微分方程 三、齐次方程 四、牛顿冷却定律与破案问题 五、马尔萨斯人口模型及其修正 六、放射性碳的蜕变与考古问题
文科数学
一、微分方程的基本概念
微积分研究的对象是函数，但许多实际问题中， 往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系， 而可根据问题的性质和所给条件，列出一个含有未 知函数导数的关系式，这就是微分方程。
令 C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
文科数学
xydx ( x2 1) d y 0 练习 求解初值问题 y(0) 1
解：显然 y = 0 是方程的解，但不满足初始条件。
当 y≠0 时，分离变量得
两边积分得
dy y
1
x x2
例1
例2
通解： 特解：
文科数学
定义4 确定通解中任意常数的条件称为微分
方程的定解条件。
n 阶微分方程的初始条件（或初值条件）
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 ,
,
y (n1) ( x0 )
y (n1) 0
初值问题：求微分方程满足初始条件的特解这样一
个问题。
例1
例2
通解： 特解：
文科数学
例3 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为
Q，且线段 PQ 被 y 轴平分，求所满足的微分方程。
解：如图所示，点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0，得 Q 点的横坐标为
y P
Qo xx
即
yy 2x 0
文科数学
二、可分离变量的微分方程
定义1 形如
dy f (x)g( y)
解：设所求曲线方程为 y = y(x)，则有如下关系式
dy 2x or dy 2xdx ① dx
y(1) 2
②
方程①含有未知函数的一阶导数，两边对 x 积分 (C为任意常数)
再由条件②得 C = 1，因此所求曲线方程为
文科数学
例2 列车在直路上以 20m/s 的速度行驶, 制动时 获得加速度 a = -0.4m/s2, 求制动后列车的运动规律。
x
代入原方程得 分离变量
u x d u (u)
此处 y 作为未知量已不是数值，而是另一变量 x 的
函数，因此称为函数方程。但二者又有区别，后一
个方程含有未知函数的导数或微分运算，称为微分
方程。
定义1 含有未知函数及其导数或微分的方程称
为微分方程。
分类
常微分方程－方程中仅含一个自变量
偏微分方程 －方程中所含自变量多于一个
文科数学
例1 一条曲线通过点(1, 2)，在该曲线上任意点处 的切线斜率为 2x， 求该曲线的方程。
dx
两边取指数得
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
再由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
文科数学
例2 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速
度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0，
求降落伞下落速度与时间的函数关系。
解：根据牛顿第二运动定律列出方程
初始条件为
m dv mg kv dt
v t0 0
对方程分离变量，然后积分
得
文科数学
得
m dv mg kv dt
v t0 0
(此处 mg kv 0 )
利用初始条件，得
C 1 ln ( mg ) k
代入上式后化简，得特解
v来自百度文库
m
g
(1
e
k m
t
)
k
说明：
lim
t
v
m
g
k
, 跳伞后阶段接近于等速运动。
将方程②两边分别对 y, x 积分
令
则
G(y) F(x) C
③
称③为方程①的隐式通解或通积分。
这种通过分离变量来求解微分方程的方法称为分
离变量法。
文科数学
例1 求微分方程
的通解。
解：分离变量得 d y 3x2 dx，两边积分 y
说明：在求解过程中
得 ln y x3 C1
或
即
每一步不一定是同解 变形，因此可能增、 减解！
①
或
dx
M1(x)M 2 ( y)dx N1(x)N2 ( y)dy 0
的一阶微分方程称为变量可分离方程。
若 f 和 g 均是连续函数，且 g(y)≠0，则方程①可
写成变量分离的形式
dy f (x)dx
②
g( y)
文科数学
dy f (x)g( y) ① dx
dy f (x)dx ② g( y)
§1 简单微分方程及其应用 §2 线性规划简介 §3 关于对策论的话题 §4 库存与生产批量的最优
控制
文科数学
用数学方法解决实际问题的能力包括： ①.将实际问题归结为一个数学问题（数学建 模）； ②.选择合适的数学方法加以求解； ③.对所得结果用适当的方法进行验证； ④.将结果应用于实际问题（对某些现象加以解 释、作出预测、用于设计等）。
文科数学
三、齐次方程
定义1 形如
dy ( y )
dx x 的一阶微分方程称为齐次方程。
例如
(xy y2 )dx (x2 2xy)dy 0
dy dx
xy y2 x2 2xy
y ( y)2 xx 12 y
x
文科数学
齐次方程的求解方法 dy ( y )
dx x 令 u y , 则 y = ux，从而
解：设列车在制动后 t 秒行驶了s 米，即求 s = s(t)
①
② 方程①含有未知函数的二阶导数，两边对 x 积分
两边对 x 再次积分
(C1, C2为任意常数)
文科数学
① ②
再由条件②得 C1＝20, C2＝0，因此所求运动规律为
定义2 方程中所含未知函数导数的最高阶数称
为微分方程的阶。
n 阶常微分方程的一般形式
在中学数学中：
x2 bx c 0, x 10 x 2; 3x1 9x 18 0
前两个方程中只含未知量 x 的代数运算，称为代数 方程；后一个方程中含未知量 x 的超越运算，称为 超越方程。这些方程的共同点是：未知量 x 均为数 值。
文科数学
在大学数学中： x2 y2 R2 0; dy 2x or dy 2xdx dx
F (x, y, y, , y(n) ) 0
(隐式)
y(n) f (x, y, y, , y(n1) ) (显式)
文科数学
定义3 将函数及其导数或微分代入微分方程，
能使其成为恒等式，这样的函数称为该微分方程的
解，其图形称为积分曲线。
分类
通解 －解中所含独立的任意常数的个数与 方程的阶数相同
特解 －不含任意常数的解
文科数学
§1 简单微分方程及其应用
一、微分方程的基本概念 二、可分离变量的微分方程 三、齐次方程 四、牛顿冷却定律与破案问题 五、马尔萨斯人口模型及其修正 六、放射性碳的蜕变与考古问题
文科数学
一、微分方程的基本概念
微积分研究的对象是函数，但许多实际问题中， 往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系， 而可根据问题的性质和所给条件，列出一个含有未 知函数导数的关系式，这就是微分方程。
令 C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
文科数学
xydx ( x2 1) d y 0 练习 求解初值问题 y(0) 1
解：显然 y = 0 是方程的解，但不满足初始条件。
当 y≠0 时，分离变量得
两边积分得
dy y
1
x x2
例1
例2
通解： 特解：
文科数学
定义4 确定通解中任意常数的条件称为微分
方程的定解条件。
n 阶微分方程的初始条件（或初值条件）
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 ,
,
y (n1) ( x0 )
y (n1) 0
初值问题：求微分方程满足初始条件的特解这样一
个问题。
例1
例2
通解： 特解：
文科数学
例3 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为
Q，且线段 PQ 被 y 轴平分，求所满足的微分方程。
解：如图所示，点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0，得 Q 点的横坐标为
y P
Qo xx
即
yy 2x 0
文科数学
二、可分离变量的微分方程
定义1 形如
dy f (x)g( y)
解：设所求曲线方程为 y = y(x)，则有如下关系式
dy 2x or dy 2xdx ① dx
y(1) 2
②
方程①含有未知函数的一阶导数，两边对 x 积分 (C为任意常数)
再由条件②得 C = 1，因此所求曲线方程为
文科数学
例2 列车在直路上以 20m/s 的速度行驶, 制动时 获得加速度 a = -0.4m/s2, 求制动后列车的运动规律。
x
代入原方程得 分离变量
u x d u (u)
此处 y 作为未知量已不是数值，而是另一变量 x 的
函数，因此称为函数方程。但二者又有区别，后一
个方程含有未知函数的导数或微分运算，称为微分
方程。
定义1 含有未知函数及其导数或微分的方程称
为微分方程。
分类
常微分方程－方程中仅含一个自变量
偏微分方程 －方程中所含自变量多于一个
文科数学
例1 一条曲线通过点(1, 2)，在该曲线上任意点处 的切线斜率为 2x， 求该曲线的方程。
dx
两边取指数得
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
再由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
文科数学
例2 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速
度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0，
求降落伞下落速度与时间的函数关系。
解：根据牛顿第二运动定律列出方程
初始条件为
m dv mg kv dt
v t0 0
对方程分离变量，然后积分
得
文科数学
得
m dv mg kv dt
v t0 0
(此处 mg kv 0 )
利用初始条件，得
C 1 ln ( mg ) k
代入上式后化简，得特解
v来自百度文库
m
g
(1
e
k m
t
)
k
说明：
lim
t
v
m
g
k
, 跳伞后阶段接近于等速运动。
将方程②两边分别对 y, x 积分
令
则
G(y) F(x) C
③
称③为方程①的隐式通解或通积分。
这种通过分离变量来求解微分方程的方法称为分
离变量法。
文科数学
例1 求微分方程
的通解。
解：分离变量得 d y 3x2 dx，两边积分 y
说明：在求解过程中
得 ln y x3 C1
或
即
每一步不一定是同解 变形，因此可能增、 减解！
①
或
dx
M1(x)M 2 ( y)dx N1(x)N2 ( y)dy 0
的一阶微分方程称为变量可分离方程。
若 f 和 g 均是连续函数，且 g(y)≠0，则方程①可
写成变量分离的形式
dy f (x)dx
②
g( y)
文科数学
dy f (x)g( y) ① dx
dy f (x)dx ② g( y)