数列与解析几何综合—点列问题
知识交汇处,综合能力显
知识交汇处,综合能力显作者：一心来源：《新高考·高三数学》2012年第06期高考数学除了考查基本知识、基本技能、基本思想方法外，更注重对知识内在联系、数学综合能力的考查，要求同学们能够综合地运用有关的知识与方法，解决有一定难度或综合性的问题．多数高考题不只是蕴涵单一知识点，而往往是综合几个知识点，甚至一些客观题也涉及三个以上的知识点.因此复习时应十分关注知识的联系与交汇，尤其要注意如下几个重要的知识交汇处.一、平面向量与三角函数平面向量中的夹角是引起平面向量与三角函数交汇的主要因素，它把平面向量与三角函数有机地综合在一起，使问题得以充实与加强，能有效地考查同学们解决问题的能力.例1 设G是△ABC的重心，且有( 56 sin A ) GA +(40 sin，则角B的大小为 .B) GB +(35 sin C) GC =0●解●析，，知56 sin A=40 sin B=35 sin C 由重心G满足 GA + GB + GC =0利用正弦定理转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求出角B的大小为60 ° .二、平面向量与平面解析几何向量具有“数”与“形”的双重功能，而解析几何的本质是利用“数”去研究“形”，利用“几何”把两者有机地结合在一起，能有效地考查同学们运用知识的能力.例2 已知直线y=－x+1与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>0,b>0)相交于A，B两点.（1）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB的长；（2）若向量 OA 与向量 OB 互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈12,22时，求椭圆长轴长的最大值.●解●析（1） 835（过程从略）.（2）将直线与椭圆方程联立，写出点A，B坐标的关系，由 OA ⊥ OB ，建立a 2+b 2－2a 2b 2=0，再由判别式，建立a 2+b 2>1，根据离心率e∈12,22，求出426≤a≤62，从而得出答案.三、数列与函数、导数数列是一种特殊的函数，数列中的许多问题都可以转化为函数问题解决，而导数是处理函数问题的重要工具，所以数列很容易与导数交汇.例3 已知函数f(x)=a ln x-ax- 3(a∈ R).（1）讨论f(x)的单调性；（2）求证： ln x＜x-1对一切x∈(1, +∞ )成立；（3）求证： ln 22× ln 33× ln 44× ln 55×…× ln nn＜1n(n≥2,n∈N *).●解●析（1）当a＞0时，f(x)在（0，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减；当a＜0时，f(x)在（0，1］上单调递减，在［1，+∞）上单调递增.（2）令a=-1，则f(x)=- ln x+x-3，利用函数的单调性，证明当x∈(1,+∞)时f(x)＞f(1)，即 ln x＜x-1对一切x∈(1,+∞)成立.（3）这是数列问题，由于数列是特殊的函数，所以将其转化为函数的特殊值问题，先寻找或构造函数不等式.因为n≥2,n∈N *，则有0＜ ln n＜n-1，所以0＜ ln nn＜n-1n，所以ln 22×ln 33×ln 44×…×ln nn＜12×23×34×…×n-1n=1n(n≥2,n∈N *).四、数列与解析几何数列与圆锥曲线的交汇是近几年高考试题中的热点，引起交汇的主要因素是“点列”，点列具有双重功能，一方面“点”是解析几何的基本元素，另一方面“列”是数列的基本特征，把两者结合起来，能多角度考查同学们驾驭知识的能力.例4 已知二次函数f(x)满足以下条件：①图象关于直线x=32对称；② f(1)=0；③图象可由 y=x 2－1的平移得到.（1）求f(x)的解析式；（2）若数列{a n},{b n}对任意的实数x都满足f(x)g(x)+a nx+b n=x n+1 (n∈N *)，其中g(x)是定义在实数集R上的函数，求数列{a n},{b n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设圆C n: (x－a n) 2+ (y－外切，且{r n}∈ N *），若圆C n 与圆C n +1b n) 2= r 2 n(n是各项都为正数的等比数列，求数列{r n}的公比q的值.●解●析（1）利用待定系数法，求出f(x)=x 2－3x+2.（2）解题的关键是抓住函数f(x)的图象特征，即过点（1,0），（2,0），而对一切实数x，等式f(x)g(x)+a nx+b n=x n+1 (n∈N *)恒成立，所以特殊的f(1)=0，f(2)=0当然也，成立，于是可以建立关于a n与b n的方程组a n+b n=1， 2a n+b n=2 n+1 解得a n=2 n+1 －1，b n=2－2 n+1 .（3）根据圆C n 与圆C n+1 外切，得－－a n) 2+ (b n+1r n+r n+1 = |C nC n+1 | = (a n+1b n) 2=2·2 n+1 ，所以r 1+r 2=42,r 2+r 3= 82 ，所以公比q=r 2+r 3r 1+r 2=2.五、导数与函数、解析几何导数的引入给研究函数和切线带来便利，从而使切线为导数、函数、解析几何的整合提供了方向，通过切线把这三者完美地交汇在一起，出现了大量充满活力与生机的试题，体现出高考稳中求新的特点.例5 （2011年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝e x (x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．●解●析通过切线、直线的位置关系，建立t 关于点P横坐标x的函数：t＝12-，再利用导数法，求出t的最大值为12 e +1 e .x e x+2 e x+x e x六、新信息迁移题要求同学们通过阅读理解所定义的新概念、新运算，从中获得解题所需知识、信息，并立即将其综合应用于解题的过程中.这类题能较好地考查阅读理解、知识迁移的能力和后续学习的潜能.例6对于数列A：a 1，a 2，…，a n，若满足a i∈{0,1}(i=1,2,3,…,n)，则称数列A为“01数列”.定义变换T，T将“01数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A:1,0,1，则T(A):0,1,1,0,0,1.设A 0是“01数列”，令A k=T(A k－1 ),k=1，2，3,….(1) 若数列A 2：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1，求数列A 1,A 0；(2) 若数列A 0共有10项，则数列A 2中连续且相等的数对（两个数）至少有多少对？请说明理由；(3) 若A 0为0，1，记数列A k中连续且都是0的数对（两个数）的个数为l k，k=1,2,3,…，求l k关于k的表达式.●解●析（1） A 1：0，1，1，0，0，1；A 0：1，0，1.(2) 数列A 2中连续且相等的数对（两个数）至少有10对.证明：对于任意一个“01数列”A 0，A 0中每一个1在A 2中对应连续四项1,0,0,1，A 0中每一个0在A 2中对应连续四项0,1,1,0，因此共有10项的“01数列”A 0中的每一个项在A 2中都会对应一个连续且相等的数对，所以A 2中至少有10对连续且相等的数对.(3) A k+1 中的00数对只能由A k中的01数对得到，设A k中有b k个01数对，所以l k+1 =b k.A k+1 中的01数对有两个产生途径： ①由 A k中的1得到；②由A k中00得到，由变换T的定义及A 0：0,1，可得A k中0和1的总个数相等，且共有2 k+1 个，所以b k+1 = l k+ 2 k.所以l k+2 =l k+2 k.由A 0： 0,1，可得A 1:1,0,0,1，A 2:0,1,1,0,1,0,0,1.所以l 1=1,l 2=1.对k的奇偶性分类讨论，利用累加法求出l k=13(2 k+1),k为奇数，13(2 k－1),k为偶数.。
数列专题复习之典型例题(含答案)
数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。
答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。
高考数学解析几何专题讲义第25讲-调和点列-极点极线
解析：方法一（高考标准答案 1）：
直线
AT
:
y
m 12
(x
3)
，直线
BT
:
y
m 6
(x
3)
，设
M
(x1,
y1 ),
N (x2 ,
y2 )
，
联立
AT
与椭圆，则
y1
x12
9
m 12
(x1
y12 1 5
3)
（第 18 题图）
得
x1
y1
240 3m2 80 m2 40m 80 m2
二、典例分析
类型 1：客观题中结论的直接运用 例 1（2013•山东）过点（3，1）作圆 (x 1)2 y2 1 的两条切线，切点分别为 A 、B 则直线 AB 的方程为（ ）
A． 2x y 3 0
B． 2x y 3 0
C． 4x y 3 0
D． 4x y 3 0
解析：直线 AB 是点（3，1）对应的极线，则方程为 3 1 x 1 1 y 1 ，即 2x y 3 0 ．故选 A．
则极线为切线 l
:
x0 x a2
y0 y b2
1 ；
③极点 P(x0 , y0 ) 在椭圆内，过点 P 作椭圆的弦 AB ，
分别过
A, B
作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线
x0 x a2
y0 y b2
1；
（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.
（二）重要性质
性质 1：调和点列的几种表示形式
如图，若 A,C, B, D 四点构成调和点列，则有
GF FH
本题证明：
如图，可将椭圆 x2 y2 1 伸缩变换为 x2 y2 9 ，因为 AMB ANB 90 ，则 B 为 ATF 高的交点， 95
解析几何和数列综合练习
解析几何和数列综合练习1．在平面直角坐标系xOy 中，点()(),0P a b a b >>为动点，1F 、2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点．已知11PF F ∆为等腰三角形.（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2PF 与椭圆相交于A 、B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）12e =；（2）218150x --=. 【解析】试题分析：（1）先利用平面向量的数量积确定12F PF ∠为钝角，从而得到当12PF F ∆时，必有212F F F P =，根据两点间的距离公式列有关a 、b 、c 的方程，求出a 与c 之间的等量关系，从而求出离心率的值；（2）先求出直线2PF 的方程，与椭圆方程联立求出交点A 、B 的坐标，利用2AM BM ⋅=-以及P 、M 、2F 三点共线列方程组消去c ，从而得出点M 的轨迹方程.试题解析：（1）设椭圆22221x y a b+=的焦距为2c ，则c =()1,0F c -，()2,0F c ，()()()21,0,02,0F F c c c =--=- ，()()()2,,0,F P a b c a c b =-=-， ()21220F F F P c a c ∴⋅=-⋅-<，所以12F F P ∠为钝角，由于12PF F ∆为等腰三角形，212F F F P ∴=，2c ∴=，即()2224a c b c -+=，即()()22224a c a c c -+-=，整理得2220c ac a +-=，即()()20c a c a -+=，由于0a c >>，故有122c c a e a =⇒==，即椭圆的离心率为12； （2）易知点P的坐标为()2c ，则直线2PF的斜率为k ==故直线2PF的方程为)y x c =-，由于2a c =，b ==，故椭圆的方程为2222143x y c c+=，即22243x y c +=， 将直线2PF 的方程代入椭圆方程并化简得2580x cx -=，解得85cx =或0x =，于是得到点85c A ⎛⎝⎭，()0,B ， （2）设点M 的坐标为(),x y ，由于点M 在直线2PF 上，所以)3y x c c x y =-⇒=-， ()88,,,5555c c AM x y x y ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()(),0,,BM x y x y x =-=+=，8255c AM BM x x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即825x x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，整理得218150x --=，即点M的轨迹方程为218150x --=. 考点：1.椭圆的方程；2.两点间的距离；3.平面向量的数量积；4.动点的轨迹方程2．如图，F 1，F 2C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝－12将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1:3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB的中垂线与C 交于P ，Q 两点，线段AB 的中点M 在直线l 上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)求22F P F Q ⋅的取值范围．【答案】(Ⅰ)2212x y +=； (Ⅱ)[1-，125232）． 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意比例关系先求c ，再由离心率求a ，从而可求椭圆的方程；（Ⅱ）分直线AB 斜率是否存在两种情况讨论：（1）当直线AB 垂直于x 轴时，易求；（2）当直线AB 不垂直于x 轴时，先设直线AB 的斜率，点M 、A 、B 的坐标，把点A 、B 坐标代入椭圆方程求k 、m 之间的关系，再求PQ 直线方程，然后与椭圆方程联立方程组，由韦达定理求22F P F Q ⋅的表达式，最后求其范围．试题解析：(Ⅰ) 设F 2(c ，0)，则1212c c -+＝13，所以c ＝1． 因为离心率e2，所以a所以椭圆C 的方程为2212x y +=． 6分(Ⅱ)当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12，此时P(2-，0)、Q(2,0)221F P F Q ⋅=-．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M(－12，m) (m ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由 221122221,21,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)1212y y x x -⋅-＝0，则－1＋4mk ＝0，故k ＝14m ．此时，直线PQ 斜率为m k 41-=，PQ 的直线方程为)21(4+-=-x m m y ．即m mx y --=4．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12422y x m mx y 消去y ，整理得2222(321)16220m x m x m +++-=． 所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -=+． 于是=⋅F F 22(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2)4)(4(1)(212121m mx m mx x x x x +++++-=22122121))(14()161(m x x m x x m +++-++=2222222(116)(22)(41)(16)1321321m m m m m m m +---=+++++22191321m m -=+． 令t ＝1＋32m 2，1＜t ＜29，则tF F 3251321922-=⋅． 又1＜t ＜29，所以221251232F P F Q -<⋅< ．综上，F F 22⋅的取值范围为[1-，125232）． 15分考点：1、椭圆的方程及性质；2、直线与椭圆相交的性质；3、向量的坐标运算.3．P 为椭圆2212516x y +=上任意一点，1F 、2F 为左右焦点．如图所示：（1）若1PF 的中点为M ，求证1152MO PF =-；（2）若1260F PF ︒∠=，求12PF PF 的值． 【答案】（1）)证明：在12F PF ∆ 中，MO 为中位线21112152222PF a PF PF MO a PF -∴===-=- （2）643【解析】试题分析：（1）由椭圆定义知12210PF PF a +==，则2110PF PF =-，由条件知点O 、M 分别是1PF 、12F F 的中点，所以MO 为12F PF ∆的中位线，则22PF MO =，从而命题得证；（2）根据椭圆定义，在12F PF ∆中有1210PF PF +=，126F F =，又由条件1260F PF ︒∠=，从这些信息中可得到提示，应从余弦定理入手，考虑到22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅，所以需将1210PF PF +=两边平方，得2212121002PF PF PF PF +=-，将其代入余弦定理，得到关于12PF PF 的方程，从而可得解.试题解析：(1)证明：在12F PF ∆ 中，MO 为中位线21112152222PF a PF PF MO a PF -∴===-=- 5分 (2)2212121210,1002PF PF PF PF PF PF +=∴+=- ，126F F =在12PF F ∆中，222121212cos 602PF PF F F PF PF ︒+-=⋅，1212100236PF PF PF PF ∴⋅=-⋅-12643PF PF ∴=12分 考点：1.椭圆定义；2.余弦定理.4．如图，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为1l 、2l .过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B .（1）若1l 与2l 的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程； （2）求||||AP FA 的最大值.【答案】（1）2213x y +=；（21. 【解析】试题分析：（1）先确定双曲线的渐近线方程，根据条件两条渐近线的夹角为60，确定a 与b 的等量关系，再结合c 的值，确定a 与b 的值，最终确定椭圆C 的方程；（2）设点A 的坐标为()00,x y ，并设||||FA AP λ=得到FA AP λ= ，利用向量的坐标运算得到()2201c a x c λλ+=+，()01ab y c λλ=+，再由点A 在椭圆C 上这一条件将点A 的坐标代入椭圆方程，通过化简得到λ与离心率e 之间的关系式2222232e e λ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭，结合基本不等式得到λ的最大值.试题解析：（1）因为双曲线方程为12222=-by a x ，所以双曲线的渐近线方程为x aby ±=． 因为两渐近线的夹角为60且1<ab，所以30POF ∠= ．所以a b tan 303== ，所以b a 3=．因为2c =，所以2222=+b a ，所以a =1b =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=； （2）因为1l l ⊥，所以直线l 与的方程为()ay x c b=-，其中c = 因为直线2l 的方程为by x a=， 联立直线l 与2l 的方程解得点2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.设||||FA AP λ=，则FA AP λ= . 因为点(),0F c ，设点()00,A x y ，则有()20000,,a abx c y x y c c λ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．解得()2201c a x c λλ+=+，()01ab y c λλ=+.因为点()00,A x y 在椭圆22221x y a b+=上，所以()()()()2222222222111c a ab a c b c λλλλ++=++． 即()()222224221c aa a c λλλ++=+．等式两边同除以4a 得()()222221e e λλλ++=+，()0,1e ∈，所以24222222322e e e e e λ-⎛⎫==--++ ⎪--⎝⎭，)2331≤-=-=所以当22222e e-=-，即e =λ1． 故FA AP1.考点：1.双曲线的渐近线方程；2.椭圆的方程；3.三点共线的转化5．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连结EC 、CD.（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若tan ∠CED=21,⊙O 的半径为3，求OA 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）5OA =【解析】 试题分析：（1）连接OC ，要证明AB 是圆O 的切线，根据切线的判定定理，只需证明OC AB ⊥，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥；（2）由已知OA OB =，所以求OB 即可，因为圆O 的半径已知，所以求BD 即可，这时需要 寻求线段BD 长的等量关系，或者考虑全等或者考虑相似，由（1）知AB 是圆O 的切线，有弦切角定理可知,BCD E ∠=∠还有公共角B B ∠=∠，所以可判定BCD ∆∽BEC ∆，从而列出关于线段BD 的比例式，从中计算即可.试题解析：（1）连接OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥，所以AB 是圆O 的切线；（2）因为AB 是圆O 的切线，所以,BCD E ∠=∠又B B ∠=∠，所以BCD ∆∽BEC ∆,BC CE BE BD CD BC ==，所以2()CE BECD BD=，因为DE 是圆O 的直径，所以EC CD ⊥，在ECD ∆中，1tan 2CED ∠=，所以4BE BD =，64BD BD +=，∴2BD =，5OA =. 考点：1、圆的切线的判定；2、三角形的相似；3、弦切角定理.6．如图，设F(－c,0)是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，直线l ：x ＝－c a 2与x轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。
数列的综合应用经典教案【强烈推荐】
第5讲数列的综合应用一、考点、热点回顾1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题。
2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力。
【复习指导】1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算。
2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等。
3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法。
基础梳理1．等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意。
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么。
(3)求解——求出该问题的数学解。
(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中。
3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差。
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比。
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n ＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系。
一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解。
两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2的值为( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10解析 由题意知：a 23＝a 1a 4.则(a 2＋2)2＝(a 2－2)(a 2＋4)，解得：a 2＝－6. 答案 B 2．(·运城模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝( )． A ．7 B ．8 C ．15 D ．16解析 设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，∴q ＝2.∴S 4＝1－241－2＝15. 答案 C3．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定 解析 记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7，又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6⎝⎛⎭⎫1＋q 6q 3＝b 7⎝⎛⎭⎫1＋q 6q 3，又1＋q 6q 3＝1q 3＋q 3≥2(当且仅当q ＝1时，等号成立)，∴a 3＋a 9≥2b 7，即a 3＋a 9≥b 4＋b 10. 答案 B4．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )． A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4解析 由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a 、b 、c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q ＝－52a ＝10，所以a ＝－4.答案 D 5．(·苏州质检)已知等差数列的公差d ＜0，前n 项和记为S n ，满足S 20＞0，S 21＜0，则当n ＝________时，S n 达到最大值．解析 ∵S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＞0， S 21＝21a 11＜0，∴a 10＞0，a 11＜0， ∴n ＝10时，S n 最大． 答案 10考向一 等差数列与等比数列的综合应用【例1】►在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列．[审题视点] 第(1)问列首项a 1与公差d 的方程组求a n ；第(2)问利用定义证明． (1)解 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明 由(1)，得b n ＝2a n －10＝22n＋10－10＝22n ＝4n ，∴b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4.∴{b n }是首项是4，公比q ＝4的等比数列．对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【训练1】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15， 又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1. (2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10.∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .考向二 数列与函数的综合应用【例2】►等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[审题视点] 第(1)问将点(n ，S n )代入函数解析式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得到a n ，再利用a 1＝S 1可求r . 第(2)问错位相减求和．解 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1·(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， ∴T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．【训练2】 (·福建)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1. 又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 考向三 数列与不等式的综合应用【例3】►(·惠州模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．[审题视点] 第(1)问由等比数列的性质转化为a 3＋a 5与a 3a 5的关系求a 3与a 5；进而求a n ；第(2)问先判断数列{b n }，再由求和公式求S n ；第(3)问由S n n 确定正负项，进而求S 11＋S 22＋…＋S nn的最大值，从而确定k 的最小值．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n. (2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n (9－n )2.(3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n2.当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S nn ＝0；当n ＞9时，S nn＜0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn ＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理． 【训练3】 (·岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值．(1)解 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28， 可得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32. 又∵数列{a n }单调递增，所以q ＝2，a 1＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，所以S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1]， 两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1.要使S n ＋n ·2n ＋1＞50，即2n ＋1－2＞50，即2n ＋1≥52.易知：当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32＜50；当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64＞50.故使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值为5.难点突破14——数列与解析几何、三角的交汇问题从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决． 一、数列与解析几何交汇 【示例】► (·陕西)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n .记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.二、数列与三角交汇【示例】►(·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.。
2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解
专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ）A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258B ．264C ．642D ．636例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解. 题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ） A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.题型六：数列与传统文化例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10B ．14C ．23D ．26例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金n T几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ）A ．5-B ．7C ．13D ．26例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【总结提升】理解题意，构造数列，应用数列模型解题．专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n - B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a . 【详解】()()()()()()4411cos 221cos221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+=，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列. 例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】由题设11()()4n f f n n-+=，讨论n 的奇偶性求{}n a 的通项公式，再求n S . 【详解】由题设，111()()4ln(1)ln 41n f f n n n n -+=+-+=-， 所以()()**14121,2,N 221421,21,N 2n n f n n k k a n n n k k ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+=-=∈ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨-⎪⨯=-=+∈⎪⎩，即2(1)n a n =-且n ≥ 2， 当1n =时，11S =，当2n ≥时，21242(1)1n S n n n =+++⋅⋅⋅+-=+-，所以21n S n n =-+，n *∈N故答案为：2n n 1-+.例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）计算{}n a 和{}n b 的前4项和的差即可得出答案；（2）令n n a b ≥得出42n ≤，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析：（1）()()1234123496530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大()()()()12341234420503864742965878222a a a ab b b b ⎡⎤+⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=⎢⎥⎣⎦()2424424688008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】 【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k k-==， 设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫-<⎪⎭ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n nn n T --=++++，①231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ） A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 【答案】BD 【解析】 【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前n 项和公式求出X ，再设小郭第3年还款的现值为y ，根据复利规则求出y ． 【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，∴小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D 正确，C 错误， 设每年应还X 元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为29[1(1)(1)(1)]X r r r +++++⋯++， 银行贷款A 元10年后的本利和为10(1)A r +．2910[1(1)(1)(1)](1)X r r r A r ∴+++++⋯++=+， ∴10101[1(1)](1)1(1)r X A r r ⨯-+⋅=+-+， 即1010(1)(1)1Ar r X r +=+-，故A 错误．设小郭第三年还款的现值为y ，则3(1)y r X ⋅+=，所以()31Xy r =+，故B 正确；例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误；第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-， 因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误；【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，分类讨论n 可求出结果. 【详解】 由1112222n n n n A a a a n -+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅，∴1122(1)2-+⋅=⋅--⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n *∈N 恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ， 即225335(1)5(51)022p pn n n n -+-⨯++-⨯⨯+≤， 即22225335(5)(5)022p p n n n n -+-⨯+-+-≤，即5(5)(53)0222pn p p n n -+++++≤， 即(6)(5)(8)02p n n n +-++≤， 即216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，当14n ≤≤时，2164266+-≤=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为4412226465n +≥+=++，∴125-≤p ，所以125p ≥-，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+-≥=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为447226663n +≤+=++，∴73-≥p ，所以73p ≤-，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．35【答案】B 【解析】 【分析】根据分裂数的定义，求出从32到()31m -、从32到3m 分裂数个数，再根据所有分裂数成等差数列求出1111对应的位置，进而根据不等式求m 值. 【详解】由题意，对于332,...,m ，它们依次对应2、3、…、m 个分裂数，则从32到()31m -各分裂数个数的和为(2)(1)2m m -+，从32到3m 各分裂数个数和为(1)(2)2m m -+，又332,...,m 的分裂数{}n a ，构成首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+，令211111n +=，可得555n =，所以(2)(1)(1)(2)55522m m m m -+-+<≤，当32m =时，(1)(2)5275552m m -+=<不符合； 当33m =时，(1)(2)5605552m m -+=>，(2)(1)5275552m m -+=<符合； 当34m =时，(2)(1)5605552m m -+=>不符合； 综上，33m =. 故选：B例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258 B ．264 C ．642 D ．636【答案】A 【解析】 【分析】分析可知对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣，满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，进而可求得63S 的值.【详解】因为562632<<，由题中定义，对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣， 满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，当1m =时，0m b =，当)122,2m ⎡∈⎣时，1m b =，此时满足条件的m 的个数为12，当)232,2m ⎡∈⎣时，2m b =，此时满足条件的m 的个数为22，当)562,2m ⎡∈⎣时，5m b =，此时满足条件的m 的个数为52， 因此，01234563021222324252258S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）；(2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-． 【答案】(1)21263=+⨯S ，()12312633=+⨯+S ，133n n S +=+ (2)1122=-+n T n ，证明见解析 【解析】【分析】(1)根据定义求出{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，由此归纳出n S ，(2)由(1)化简n c ，再由裂项相消法求其前n 项和，并完成证明.(1)由题意得，116512S =++=，217611512181263S =++++=+=+⨯，()2123187136171116512185412636312633S =++++++++=++=+⨯+⨯=+⨯+，41981572013196231728112716215S =++++++++++++++++121854162=+++2312636363=+⨯+⨯+⨯()123126333=+⨯++， …()12311263333(1)n n S n -=+⨯++++≥，由等比数列的前n 项和公式可得，()113131263313n n n S -+-=+⨯=+-， 所以{}n S 的通项公式133n n S +=+．(2)由于133n n S +=+，所以()()33111111log 3log 31221n n n c S S n n n n +⎛⎫=-=--=- ⎪-⋅-++++⎝⎭， 则1111111132432122n T n n n =-+-++-=-+++， 因为n *∈N ，所以102n >+，所以111222n ->-+， 又n T 随n 的增大而减小，所以当1n =时，n T 取得最大值16-，故1126n T -<≤-． 【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦， 对其进行整理变形：()()()22222222asat ast b as at ast b as b +-++++=+， ()()222222(2)0as at b ast as b++--+=， ()2222222240as at b at a s t ++-=， 222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0=t ，其中2212s t b b a a-=为双曲线，0=t 为直线.故选：C.例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）（II ）过……向轴作垂线，垂足分别为……, 由(I)得记梯形的面积为.由题意， 所以 ……+n T 12.n n x -=(21)21.2n n n T -⨯+=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b=……+ ①又……+ ②①-②得= 所以题型六：数列与传统文化 例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）A ．10B ．14C ．23D ．26【答案】D【解析】【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列{}n a ，根据217a =，前5项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{}n a ．由题意可知，等差数列{}n a 中217a =，前5项和为100，设公差为(0)d d >，前n 项和为n S ，则535100S a ==，解得320a =，所以323d a a ， 所以公士出的钱数为532202326a a d =+=+⨯=，故选：D ．例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ） A ．5-B ．7C ．13D ．26【答案】C 【解析】【分析】 根据题意求得每次收的税金，结合题意得到111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，求得a 的值，代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意知：这个人原来持金为a 斤，第1关收税金为：12a 斤；第2关收税金为111(1)3223a a ⋅-⋅=⋅⨯斤； 第3关收税金为1111(1)42634a a ⋅--⋅=⋅⨯斤， 以此类推可得的，第4关收税金为145a ⋅⨯斤，第5关收税金为156a ⋅⨯斤， 所以111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯， 即1111111111(1)(1)12233445566a a -+-+-+-+-⋅=-⋅=，解得65a =， 又由()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，所以66()1011355f =⨯+=. 故选：C.例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】【详解】。
数列与解析几何的综合-高中数学知识点讲解
数列与解析几何的综合
1．数列与解析几何的综合
【知识点的知识】
函数、数列、解析几何作为高中数学的主要躯干，蕴含着诸多的数学思想和方法（数形结合、函数与方程、转化和归纳等），因而一直是高考的重点．尤其是它们互相之间及和其他数学知识（如复数、向量等）之间的互相渗透、互相联系，更为高考命题带来广阔的空间．而传统的章节复习法使学生分散地学习知识，对各个章节的联系和渗透考虑较少，从而造成对一些综合题心存胆怯．近几年高考中常见的函数﹣数列﹣解析几何综合题就是其中的典型．
【解题方法点拨】
事实上，无论是函数、数列还是解析几何中的曲线（包括复数、向量），都表现出数和形两种状态，数列是一个特殊的函数；函数的图象（解析式）则可看作解析几何中一种特殊的形（方程）；而复数、向量的坐标顺理成章地使它们与函数、数列及解析几何发生联系．解函数﹣数列﹣解析几何综合题首先是建立在对数学基本概念理解的基础上，然后抓住概念间内在的联系，将问题转化为较熟悉的数学问题予以解决，当然这也离不开对各章节内部的扎实基本功．
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第九讲 数列与解析几何、点列问题stu
（2）记四边形 An Bn Bn1An1 的面积为 an ，求 an 的表达式； （3）对于（2）中的 an ，是否存在最小的正整数 P ，使得对任意 n N * 都有 an P 成立？若存在，求 P
的值；若不存在，请说明理由．
六、实战演练： 一、填空题
1.已知数列 2、5、2 2、11、则 2 5 是该数列的第______项.
Bn An+1
（2）用 n 表示 Bn Bn1 及点 Bn 的坐标；
An B2
（3）写出四边形 An An1Bn1Bn 的面积关于 n 的表达式 S (n) ，并求 S (n) 的最大
B1
A2
A1
x
值．
O
5
其中 n N*, 0 为常数， x1 1, x2 2 .
（1）设 an xn1 xn ，求数列 an {的通项公式；
（2）设
f
lim
n
xn
，当
变化时，求
f
的取值范围.
16.如图，平面直角坐标系中，射线 y x （ x 0 ）和 y 2x （ x 0 ）上分别依次有点 A1 、 A2 ，„„，
二、选择题
9.数列an 的首项为
1，满足 an1
1 2
an
1 2n
，则此数列的第
3
项是
(
)
A.1
B. 1
2
C. 3
D. 5
4
8
10.若某数列an 的前四项为 0,
2,0,
2 ，则下列各式：① an
2 2
[1 (1)n ] ；② an
1 (1)n ；
高考数学数列题型之点列综合题
二、点列综合题例15 设曲线)0(:2>=x x y c 上的点为),,(000y x P 过P 0作曲线c 的切线与x 轴交于Q 1，过Q 1作平行于y 轴的直线与曲线c 交于),(111y x P ，然后再过P 1作曲线c 的切线交x 轴于Q 2，过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线c 交于),(222y x P ，依此类推，作出以下各点：P 0，Q 1，P 1，Q 2，P 2，Q 3，…P n ，Q n+1…，已知20=x ，设))(,(N n y x P n n n ∈（1）求出过点P 0的切线方程； （2）设),(n f x n =求)(n f 的表达式； （3）设,10n n x x x S +++= 求n S解：（1） 4200==x k ∴过点P 0的切线段为)2(44-=-x y 即044=--y x（2）n n x k 2= ∴过点P n 的切线方程为)(22n n n x x x x y -=-将)0,(11++n n x Q 的坐标代入方程得：)(212n n n n x x x x -=-+21211=⇒=∴++n n n n x x x x故数列}{n x 是首项为21,20公比为=x 的等比数列 1)21()()21(2)(-=⋅==∴n n n n f n f x 即（3）)211(421)211(211++-=⇒--=n nn n S S例16 已知点()Pa b n n n ，满足：aa b b b a nN n n n n nn+++==-∈11121·，，，且已知P 01323，⎛⎝ ⎫⎭⎪ （1）求过点P P 01，的直线l 的方程；（2）判断点()P n n ≥2与直线l 的位置关系，并证明你的结论；（3）求点P n 的极限位置。
解：（1）由a b 001323==，，得：b a 1212311334133414=-⎛⎝ ⎫⎭⎪==⨯=， 显然直线l 的方程为x y +=1 （2）由a b 111434==，，得：b a 2223411445144515=-⎛⎝ ⎫⎭⎪==⨯=， ∴点P l 2∈，猜想点()P n n ≥2在直线l 上，以下用数学归纳法证明： 当n ＝2时，点P l 2∈假设当n kk =≥()2时，点P l k ∈，即a b k k +=1 当n k =+1时， a b ab b k k k k k +++++=+1111· ()()=+=+-=-=+1111112a b a b a b a k k k k kkk ∴点P l k +∈1 综上，点()P l n n∈≥2 （3）由a ab b b a ab n n n n n nn n +++==-+=111211·，，，得： ()a a b a a a a a a a a a n n n n n n nnn n n n++=-=--=+≠∴=+122111110111··∴数列1a n ⎧⎨⎩⎫⎬⎭是以130a =为首项，公差为1的等差数列∴=+=+=-=-+=++=+==++=++=→∞→∞→∞→∞→∞13131113231302312131a n a n b a n n n a n b n n n nn n n n n nn n n n n ， lim lim lim lim lim()∴−→−P P n01， 即点P n 的极限位置为点P （0，1）例17已知曲线1:=xy C ，过C 上一点),(111y x A 作斜率1k 的直线，交曲线C 于另一点),(222y x A ，再过),(222y x A 作斜率为2k 的直线，交曲线C 于另一点),(333y x A ，…，过),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线，交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A …，其中11=x ，)(41*2N x x x x k nn n n ∈++-= （1）求1+n x 与n x 的关系式；（2）判断n x 与2的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：2|2|...|2||2|21<-++-+-n x x x . 解：（1）由已知过),(n n n y x A 斜率为nn n x x x 412++-的直线为=-n y y nn n x x x 412++-)(n x x -，直线交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A所以n n y y -+1=nn n x x x 412++-)(1n n x x -+即=-+n n x x 111nn nx x x 412++-)(1n n x x -+，n n x x -+1≠0，所以)(14*1N n x x x n n n ∈++=+（2）解：当n 为奇数时，2<n x ；当n 为偶数时，2>n x因为1221421111+-=-++=-----n n n n n x x x x x ，注意到0>n x ，所以2-n x 与21--n x 异号 由于211<=x ，所以22>x ，以此类推， 当)(12*N k k n ∈-=时，2<n x ；当)(2*N k k n ∈=时，2>n x（3）由于0>n x ，131141++=++=+n n n n x x x x ， 所以n x ≥1（3,2,1=n ，…）所以1|2||12||2|1+-=+-=-+n n n n n x x x x x ≤|2|21-n x所以|2|-n x ≤|2|211--n x ≤|2|2122--n x ≤…≤11121|2|21--=-n n x所以|2|...|2||2|21-++++-n x x x ≤12)21(...)21(211-++++n2)21(21<-=-n例18 如图，11122212(,),(,),,(,),(0)n n n n P x y P x y P x y y y y <<<< 是曲线2:3(0)C y x y =≥上的n 个点，点(,0)(1,2,3,,)i i A a i n = 在x 轴的正半轴上，1i i iA A P -∆是正三角形(0A 是坐标原点) .(Ⅰ) 写出123,,a a a ；(Ⅱ)求出点n A (,0)(*)n a n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式； (Ⅲ)设12321111n n n n nb a a a a +++=++++ ，若对任意正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立，求实数t 的取值范围. . 解：(Ⅰ) 1232,6,12a a a ===. (Ⅱ)依题意11(,0),(,0)n n n n A a A a --，则12n n n a a x -+=，n y = 3分 在正三角形1n n n P A A -中，有11||)n n n n n y A A a a --==-. 1)2n n a a -=-. 1n n a a -∴-=2211122()(2,*)n n n n n n a a a a a a n n N ---∴-+=+≥∈ ， ①同理可得2211122()(*)n n n n n n a a a a a a n N +++-+=+∈ . ②①-②并变形得1111()(22)0(2,*)n n n n n a a a a a n n N +-+--+--=≥∈11n n a a +-> ，11220n n n a a a +-∴+--= ，11()()2(2,*)n n n n a a a a n n N +-∴---=≥∈ .∴数列{}1n n a a +-是以214a a -=为首项，公差为2的等差数列.12(1),(*)n n a a n n N +∴-=+∈ ， …………………………………… 7分n a ∴12132431()()()()n n a a a a a a a a a -=+-+-+-++- ， 2(123)n =++++ 2n n =+.(1)(*)n a n n n N ∴=+∈.(Ⅲ)解法1 ：∵12321111(*)n n n n n b n N a a a a +++=++++∈ ， ∴1234221111(*)n n n n n b n N a a a a +++++=++++∈ .121221111n n n n n b b a a a ++++∴-=+- 111(21)(22)(22)(23)(1)(2)n n n n n n =+-++++++ 22(221)(21)(22)(23)(2)n n n n n n -+-=++++. ∴当*n N ∈时，上式恒为负值， ∴当*n N ∈时，1n n b b +<， ∴数列{}n b 是递减数列.n b ∴的最大值为12116b a ==. 若对任意正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立，则不等式211266t mt -+>在[]1,1m ∈-时恒成立，即不等式220t mt ->在[]1,1m ∈-时恒成立. 设2()2f m t mt =-，则(1)0f >且(1)0f ->，∴222020t t t t ⎧->⎪⎨+>⎪⎩解之，得 2t <-或2t >，即t 的取值范围是(,2)(2,)-∞-⋃+∞.例19 △ABC 中，|AB|=|AC|=1，A B A C →→=·12，P 1为AB 边上的一点，B P A B 123≠，从P 1向BC 作垂线，垂足是Q 1；从Q 1向CA 作垂线，垂足是R 1；从R 1向AB 作垂线，垂足是P 2，再由P 2开始重复上述作法，依次得Q 2，R 2，P 3；Q 3，R 3，P 4……（1）令BP n 为x n ，寻求BP n 与BP n +1（即x x n n 与+1）之间的关系。
数列综合题的常见类型 与方法解析2
数列综合题的常见类型 与方法解析湖南省 黄爱民 高明生数列与其它数学知识的综合性问题一直是高考的热点，数列综合题一般是以数列与函数、数列与不等式，数列与解析几何为主，全面考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想以及分析和解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性。
下举例谈谈数列综合题的常见类型及方法解析。
一、 等差、等比数列的综合问题例1、已知数列{}n a 中，651=a ，且对任意正整数n 都有112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ．数列{}n b 对任意自然数n 都有n n n a a b 211-=+．（Ⅰ）求证数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，求n n S ∞→lim 的值．分析： 已知条件中，数列{}n a 的通项公式是通过相邻两项之间的关系给出的，而数列{}n b 的通项公式则是通过数列{}n a 给出．因此，解答本题自然有两种思路：一是从数列{}n b 入手，这就应该通过代数变形，致力于证明nn b b 1+为定值；二是从数列{}n a 的通项公式入手．如何求出数列{}n a 的通项公式呢？由于已知条件112131++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a 与等比数列很相似，结合上下文，则可以考虑设法构造出一个与n a 及n⎪⎭⎫⎝⎛21有关的新的等比数列．解法1：（1）∵ 112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ，∴ 11112133213++++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n a a a ．∴ 一方面，n n n a a b 211-=+n n n a a 2121311-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n a 61211-⎪⎭⎫⎝⎛=+，另一方面，n b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⋅--⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++12111161213213361216121n n n n n n n a a a ，∴3161213612112121=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n n n n nn a a b b ． 又916561416121121=⋅-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b ，∴ 数列{}n b 是以911=b 为首项，以31为公比的等比数列．（2）由（1）可知：11313191+-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n n n b ，又n b n n a 61211-⎪⎭⎫⎝⎛=+，∴ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++11131216216n n n n n b a ，N n ∈．（3）231131211216lim 22=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→n n S ．解法2：设数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n r a 21为等比数列，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++nn n n r a s r a 212111，对照112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ，不难解得：3=r ，31=s ．∴ 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-n n a 213是以322131-=⋅-a 为首项，以31为公比的等比数列．∴n n n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--31231322131．∴ nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=312213．∴n n n a a b 211-=+=1113131221321312213+++⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n ．∴ n S ∑∑∑∑====⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==n k k n k k nk k k n k k a 1111312213312213．∴ 23113221123lim =---=∞→n n S ． 评析：解法1是按照题目设问由易到难的顺序，思路自然顺畅；解法2虽不失为巧思妙解，但其思路的获得一方面源于对112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a 的认识，另一方面，题目的设问也给了我们一定的提示．二、 数列与函数综合问题例2、函数f x ()是定义在［0，1］上的增函数，满足f x f x()()=22且f ()11=，在每个区间(,]12121i i -（i =1，2……）上，y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。
数列训练(5) 数列与解析几何
数列训练（5） 数列与解析几何数列与解析几何1.数列{}n a 中，11=a ，且点),(1+n n a a 在直线012=+-y x 上 (1) 设1+=n n a b ，求证：数列{}n b 是等比数列； (2) 设)23(+=n n a n c ，求数列{}n c 的通项公式； (3) 求数列{}n c 的前n 项和n S（1）证明：由已知得121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a即n n b b 21=+，所以数列{}n b 是等比数列（2）解：nn b 2=，12-=∴n n a ，)123(-⋅=∴nn n c（3）解：)321()2232221(3321n n S nn ++++-⋅++⋅+⋅+⋅=设nn n T 2222121⋅++⋅+⋅=132222212+⋅++⋅+⋅=n n n T所以22)1(1+⋅-=+n n n T所以2)1(]22)1[(31+-+⋅-=+n n n S n n 2、已知直线:2n y x n =- 与圆22:22()n n C x y a n n N ++=++∈交于不同点A n 、B n ,其中数列{}n a 满足：21111,4n n n a a A B +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(2),3n n nb a =+求数列{}n b 的前n 项和n S .（1）圆心到直线的距离d n =，21111()22,22(2)2322n n n n n n n n a A B a a a a ++-∴==++=+∴=⨯-则易得 （2）10121123(2)2,3122232*********n n n n n nn nb a n S n S n --=+=⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯相减得(1)21nn S n =-+3．已知数列}{n a 是公差为()0≠d d 的等差数列，n S 为其前n 项和. （Ⅰ）若2a ，3a ，6a 依次成等比数列，求其公比q ； （Ⅱ）若),(nS n OP nn =)(*∈N n ，求证：对任意的m ，*∈N n ，向量n m P P 与向量()d b ,2=共线；（Ⅲ）若11=a ，21=d ，),(2n S n a OQ n n n =)(*∈N n ，问是否存在一个以坐标原点为圆心，半径最小的圆，使得对任意的*∈N n ,点n Q 都在这个圆内或圆周上. 解：（Ⅰ）因为2a ，3a ，6a 成等比数列，所以6223a a a ⋅=，)5)(()2(1121d a d a d a ++=+. 所以12a d -=，323==a a q . （Ⅱ）因为),(),(),(mSn S m n m S m n S n OP OP P P m n m n m n n m --=-=-=. 而d mn d m a d n a m S n S m n 2]2)1([]2)1([11-=-+--+=-. 所以()b mn d m n d m n m n P P n m ⋅-=⋅-=--=2,22)2,( 所以,向量n m P P 与向量()d b ,2=共线.（Ⅲ）因为21,11==d a ,所以212121)1(1+=⋅-+=n n a n ，n n S n 4342+=. 所以42222nSn a OQ n n n+=42222)3(161)]1(21[nn n n n +++= )51413(161161314524234++=++=n n n n n n .=131137116132+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n . 因为1≥n ,所以110≤<n,2131137116132≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴n ,当1=n 时取等号. 所以22≤nOQ ，即2≤n OQ 所以存在半径最小的圆，最小半径为2，使得对任意的*∈N n ，点n Q 都在这个圆内或圆周上.4、设函数,103)(223-++-=a ax x x x f 若它是R 上的单调函数，且1是它的零点。
人教版数学高二-备课资料数列与解析几何的综合问题
数列与解析几何的综合问题 一、知识预备 1．数列与解析几何的综合问题内容涉及解析几何、数列多个方面，因此，我们首先需要仔细阅读题目，并根据题设理清思路，从繁杂的条件中选取有用的信息，把握问题的实质． 2．数列与解析几何的综合性和探索性强，要求学生有较强的理性思维能力，能有效地考查深层次数学品质和数学综合素质，因而这类综合题往往作为压轴题形式出现，是近年来高考出现频率较高的综合题．3．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．二、典例选析例1．已知i ，j 分别是x 轴，y 轴方向上的单位向量，OA 1→=j ，OA 2→=10j ，且A n －1A n =3A n A n+1（n=2，3，4，…），在射线y=x （x≥0）上从下到上依次有点Bi （i=1，2，3，…），OB 1→=3i+3j 且Bn Bn 1-=22．（n=2，3，4，…）．（1）求A 4 A 5→；（2）求OA n → ， OB n →；（3）求四边形A n A n+1B n+1B n 面积的最大值．分析：第（2）小题利用向量知识将OA n → ， OB n→分别转化为等比数列、等差数列求和．第（3）小题主要是利用解析几何中点到直线的距离计算四边形面积．解：（1）由已知1An -An =1An -An ，得A n-1A n →=131An -An ，A 4 A 5→=13A 3 A 4→=（13）2A 2 A 3→=（13）3A 1 A 2→=127 （OA 2→－OA 1→）=13j ． （2）由（1）知A n-1A n →=13n-1 A 1 A 2→=13n-3 j ， OA n →=OA 1→+A 1 A 2→+…+A n-1A n →=j+A 1 A 2→+…+A n-1A n →=j+9j+3j+…+13n-3 j =j+j n 311])31(1[91---=j n 2)31(294-- ∵|B n-1B n →|=22且B n －1，B n 均在射线上y=x （x≥0）上，B n-1B n →=2i+2j ．∴OB n →=OB 1→+B 1 B 2→+B 2 B 3→+…+B n-1B n →=3i+3j+（n －1）（2i+2j ）=（2n+1）i+（2n+1）j（3）四边形A n A n+1B n+1B n 的面积为S n =S ΔA n A n+1B n+1+S ΔB n+1B n A n又|A n A n+1→|=13n-3 ， △A n A n+1B n+1的底边A n A n+1上的高为h 1=2n+3．又|B n B n+1→|=22，A n （0， 2)31(294--n ）到直线y=x 的距离为h 2=22)31(294--n ∴S n =3322922)31(29222131)32(2143-+=-⋅⋅+⋅+⋅--n n n n n 而S n －S n －1=343332313---+-=--n n n n n n < 0，∴S 1>S 2>…>S n >… ∴S max =S 1=2479229312292=+=+- 点评：本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合，体现了在知识交汇点设置试题的命题原则．其中割补法是解决四边形面积的常用方法．例2．已知函数f （x ）与函数y=a(x-1)（a>0）的图象关于直线y=x 对称（1）试用含a 的代数式表示函数f （x ）的解析式，并指出它的定义域；（2）数列中｛a n ｝中，a 1=1，当n≥2时，a n >a 1．数列｛b n ｝中，b 1=2，S n =b 1+b 2+…+b n ．点P n （ a n ，)nS n （n=1，2，3，…）在函数f （x ）的图象上，求a 的值； （3）在（2）的条件下，过点P n 作倾斜角为4π的直线l n ，则l n 在ｙ轴上的截距为31（b n +1）（n=1，2，3，…），求数列｛a n ｝的通项公式．分析：本题条件繁多，内容涉及解析几何、函数、数列多个方面，因此，我们首先需要仔细阅读题目，并根据题设理清思路，从繁杂的条件中选取有用的信息，把握问题的实质．实际上，本题的实质仍然是数列问题，解析几何和函数只是起到一种伪装的作用．解：（1）由题可知：f （x ）与函数y=a(x-1)（a>0）互为反函数，所以，f （x ）= a x 2+1，（x≥0）（2）因为点P n （ a n ，)nS n （n=1，2，3，…）在函数f （x ）的图象上， 所以，n S n =aa n 2+1（n=1，2，3，…） （*）在上式中令n=1可得：S 1=a a n 2+1， 又因为：a 1=1，S 1=b 1=2，代入可解得：a=1．所以，f （x ）=x 2+1，（*）式可化为：n S n =a 2n +1 （n=1，2，3，…）① （3）直线l n 的方程为：y －nS n =x －a n （n=1，2，3，…）， 在其中令x=0，得y=n S n －a n ，又因为l n 在ｙ轴上的截距为31（b n +1），所以，nS n －a n =31（b n +1） 结合①式可得：b n =3a 2n －3a n +2 ②由①可知：当自然数n≥2时，S n =na 2n +n ，S n －1=（n －1）a 2n-1+n －1，两式作差得：b n =na 2n －（n －1）a 2n-1+1．结合②式得：（n －3）a 2n +3a n =（n －1）a 2n-1+1 （n≥2，n ∈N ） ③在③中，令n=2，结合a 1=1，可解得：a 2=1或2，又因为：当n≥2时，a n >a 1，所以，舍去a 2=1，得a 2=2．同上，在③中，依次令n=3，n=4，可解得：a 3=3，a 4=4．猜想：a n =n （n ∈N *）．下用数学归纳法证明．（1）n=1，2，3时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．（2）假设n=k 时命题成立，即a k =k （k ∈N ，且k≥3），则当n=k+1时，由③式可得：（k －2）a 2k+1+3a k+1=ka 2k +1 把a k =k 代入上式并解方程得：a k+1=－212-+-k k k 或k+1 由于k≥3，所以，－212-+-k k k =kk k -+-21)1(<0，所以，a k+1=－212-+-k k k 不符合题意，应舍去，故只有a k+1=k+1．所以，n=k+1时命题也成立．综上可知：数列｛a n ｝的通项公式为a n =n （n ∈N *）点评：演绎和归纳是解决数列问题的常用方法；解决综合题的策略往往是把综合问题分解成几部分，然后各个击破．例3．设点A n （x n ，0），P n （x n ，2n －1）和抛物线C n ：y=x 2+a n x ＋b n （n ∈N *），其中a n ＝－2－4n －121-n ，x n 由以下方法得到： x 1＝1，点P 2（x 2，2）在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1（x 1，0）到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点P n+1（x n+1，2n ）在抛物线C n ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点A n （x n ，0）到P n+1的距离是A n 到C n 上点的最短距离．（1）求x 2及C 1的方程；（2）证明｛x n ｝是等差数列．解：（1）由题意，得A 1（1，0），C 1：y=x 2－7x+b 1．设点P （x ，y ）是C 1上任意一点，则|A 1P|=22)1(y x +- =2122)b 7x -(x )1(¨++-x 令f （x ）=（x －1）2+（x 2－7x+b 1）2，则f′（x ）=2（x －1）+2（x 2－7x+b 1）（2x －7）．由题意，得f′（x 2）=0，即2（x 2－1）+2（x 22－7x 2+b 1）（2x 2－7）=0．又P 2（x 2，2）在C 1上，∴2=x 22－7x 2+b 1，解得x 2=3，b 1=14．故C 1方程为y=x 2－7x+14．（2）设点P （x ，y ）是C n 上任意一点，则|A n P|=(x-x n )2+(x 2+a n x+b n )2令g （x ）=（x －x n ）2+（x 2+a n +x+b n ）2，则g′（x ）=2（x －x n ）+2（x 2+a n x+b n ）（2x+a n ）由题意得g′（x n+1）=0，即2（x n+1－x n ）+2（x 2n+1+a n x n+1+b n ）（2x n+1+a n ）=0又∵2n =x 2n+1+a n x n+1+b n ，∴（x n+1－x n ）+2n （2x n+1+a n ）=0（n≥1）．即（1+2n+1 ）x n+1－x n +2n a n =0（*）由（1）知x 1=1，x 2=3，x 3=5，猜想：x n =2n －1下面用数学归纳法证明x n =2n －1①当n=1时，x 1=1，等式成立．②假设当n=k 时，等式成立，即x k =2k －1则当n=k+1时，由（*）知（1+2k+1）x k+1－x k +2ka k =0 又a k =－2－4k －121-k ，∴x k+1=1212++-k k k k a x =2k+1． 即当n=k+1时，等式成立．由①②知，等式对n ∈N *成立． ∴｛x n ｝是等差数列．。
高三数学专题02-解析几何综合题解题思路案例分析
解析几何综合题解题思路案例分析解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体；综合函数、不等式、三角、数列等知识；所涉及到的知识点较多；对解题能力考查的层次要求较高；考生在解答时；常常表现为无从下手；或者半途而废。
据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局；局部入手；整体思维. 即在掌握通性通法的同时；不应只形成一个一个的解题套路；解题时不加分析；跟着感觉走；做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握；从微观上去突破；在审题和解题思路的整体设计上下功夫；不断克服解题征途中的道道运算难关.1 判别式----解题时时显神功案例1 已知双曲线122:22=-x y C ；直线l 过点()0,2A ；斜率为k ；当10<<k 时；双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2；试求k 的值及此时点B 的坐标。
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科；因此；数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手；对照草图；不难想到：过点B 作与l 平行的直线；必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=∆. 由此出发；可设计如下解题思路：()10)2(:<<-=k x k y lk k kx y l 2222:'-++=的值解得k解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考；就应当把距离用代数式表达；即所谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”；相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：把直线l ’的方程代入双曲线方程；消去y ；令判别式0=∆直线l ’在l 的上方且到直线l的距离为2简解：设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点；则点M 到直线l 的距离为：212222=+-+-k kx kx ()10<<k ()*于是；问题即可转化为如上关于x 的方程. 由于10<<k ；所以kx x x >>+22；从而有.222222k x kx k x kx +++-=-+-于是关于x 的方程()* ⇔)1(22222+=+++-k k x kx⇔()⎪⎩⎪⎨⎧>+-++-+=+02)1(2,)2)1(2(222222kx k k kx k k x⇔()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-+=--++-++-.02)1(2,022)1(22)1(221222222kx k k k kx k k k x k由10<<k 可知： 方程()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k kx k 的二根同正；故02)1(22>+-+kx k k 恒成立；于是()*等价于()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k.由如上关于x 的方程有唯一解；得其判别式0=∆；就可解得 552=k . 点评：上述解法紧扣解题目标；不断进行问题转换；充分体现了全局观念与整体思维的优越性.2 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效案例2 已知椭圆C:x y 2228+=和点P （4；1）；过P 作直线交椭圆于A 、B 两点；在线段AB 上取点Q ；使AP PB AQQB=-；求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. 分析：这是一个轨迹问题；解题困难在于多动点的困扰；学生往往不知从何入手。
数列与解析几何结合的题
1、已知等差数列{an} 的首项为1，公差为d，且a3，a5，a9成等比数列，则d的值为？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案：B）2、设等比数列{bn} 的公比为q，前n项和为Sn，若b1 = 1，S3 = 3，则q等于？A. -1/2B. 1/2（舍去）或-1C. 1D. 2（答案：B，注：通常等比数列公比不能为0，且此题中q=1应被舍去，因为若q=1，则不构成等比数列）3、已知直线y = kx + b与x轴交于点A(m,0)，与y轴交于点B(0,n)，若m，n是等差数列{an} 的第2项和第5项，且a1 = -1，公差d = 2，则k的值为？A. -1B. -1/2C. 1/2D. 1（答案：C）4、抛物线y2 = 2px的焦点到准线的距离为6，若该抛物线上一点P的横坐标为4，则点P 到焦点的距离为？A. 5B. 6C. 7D. 8（答案：D）5、已知等差数列{an} 的前n项和为Sn，且a1 = 1，S5 = 35，若直线l的方程为ax - y +1 = 0，其中a为等差数列的第3项，则直线l的斜率为？A. 3B. 4C. 5D. 6（答案：A）6、设等比数列{bn} 的前n项积为Tn，若b1 = -1/2，且T4 = T6 ≠0，则b5的值为？A. -1B. -1/2C. 1/2D. 1（答案：A）7、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0)，且长轴长为6，离心率为1/3，则椭圆C的短轴长为？A. 2√2B. 4C. 4√2D. 8（答案：C）8、设数列{an} 的前n项和为Sn，且an = 2n - 1，若点P(n, Sn/n)在直线l上，则直线l的斜率k为？A. 1B. 2C. 3/2D. 5/2（答案：A）。
高中数学总复习第二轮专题六 6.3 解析几何的综合问题
§6.3 解析几何的综合问题考点核心整合解析几何考查的重点是圆锥曲线，在历年的高考中，占解析几何总分值的四分之三以上.解析几何的综合问题也主要以圆锥曲线为载体，通常从以下几个方面进行考查：位置问题.直线与圆锥曲线的位置关系问题，是解析几何研究的重点内容.常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题.其解法是充分利用方程思想以及韦达定理. 最值问题.最值问题是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容.其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.范围问题.范围问题主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.以上这些问题由于综合性较强，所以备受命题者的青睐.常用来综合考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等多方面的能力.考题名师诠释【例1】若双曲线m x 2-y 2=1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31,则m=( ) A.21 B.23 C.81 D.89 解析：∵到准线的距离是到左焦点距离的31，∴e=3,即mm 1 =3,∴m=81. 答案：C 【例2】已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线左支上的一点，P 到左准线的距离为d.(1)若双曲线的一条渐近线是y=3x,问是否存在点P 使d,｜PF 1｜,｜PF 2｜成等比数列？若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由；(2)在已知双曲线的左支上使d,｜PF 1｜,｜PF 2｜成等比数列的点P 存在时，求离心率e 的取值范围.解：(1)法一：由y=3x 是渐近线，得ab =3,c 2=a 2+b 2=4a 2,∴e=2,设P 点的坐标为(x 0,y 0),由双曲线的第二定义，得｜PF 1｜=ed=2d,｜PF 2｜=e(c a 2-x 0),d=-ca 2-x 0, ∴e 2d 2=d ·e(ca 2-x 0), 化简得2(-2a -x 0)=2a -x 0解得x 0=-23a ＜-a,∴点P 存在. 法二：同解法一得,｜PF 1｜=ed=2d,∴｜PF 2｜=2a+｜PF 1｜=2a+2d,又∵｜PF 1｜2=d ·｜PF 2｜，∴有4d 2=d ·(2a+2d)解得d=a,又∵d min =-c a 2-(-a)=a-c a 2=a-a a 22=2a ,d=a ＞2a , ∴存在点P ，使d,｜PF 1｜,｜PF 2｜成等比数列.(2)法一：由(1)得d=-c a 2-x 0,｜PF 1｜2=d ·｜PF 2｜∴有e 2d 2=d ·e(c a 2-x 0),∴ed=ca 2-x 0 即e(-c a 2-x 0)=(ca 2-x 0), 解得x 0=)1()1(e e e a -+≤-a,∴1＜e ≤1+2. 法二：由||||12PF PF =d PF ||1=e,可得｜PF 2｜=e ｜PF 1｜, 又｜PF 2｜-｜PF 1｜=2a,∴｜PF 1｜=12-e a ,｜PF 2｜=12-e ae . ∵｜PF 1｜+｜PF 2｜≥｜F 1F 2｜,而｜F 1F 2｜=2c=2ea, ∴1212-+-e ae e a ≥2ea, 又∵a ＞0,e ＞1,∴e 2-2e-1≤0，解得1＜e ≤1+2.法三：由(1)得e 2d 2=d(2a+ed).解得d=ee a -22≥d min =-c a 2+a, ∴有e 2-2e-1≤0，解得1＜e ≤1+2.点评：确定某几何量的值域或取值范围，一般需要建立起方程或不等式，因此，要树立用方程和不等式的解题思路.与圆锥曲线有关的参数范围问题的讨论常用的两种方法：①不等式(组)求解法；②函数值域求解法.本题要注意双曲线的离心率e ＞1,否则所得答案就不完整.【例3】已知动点P 与双曲线22x -32y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值2a(a ＞5)，且cos ∠F 1PF 2的最小值为-91. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若已知D(0，3)，M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM =λDN ，求实数λ的取值范围.解：(1)由题意知c 2=5, 设|PF 1|+|PF 2|=2a(a ＞5)，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2 =||||102||||2||||||212212212221PF PF a PF PF F F PF PF -=-+-1. 又|PF 1|·|PF 2|≤(2||||21PF PF +)2=a 2, 当且仅当|PF 1|=|PF 2|时，|PF 1|·|PF 2|取最大值，此时cos ∠F 1PF 2取最小值22102aa --1, 令22102a a --1=-91⇒a 2=9. ∵c=5,∴b 2=4.故所求点P 的轨迹方程为92x +42y =1. (2)设N(s,t)、M(x,y)，则由DM =λDN ，可得(x,y-3)=λ(s,t-3)，故x=λs,y=3+λ(t-3),∴M 、N 在动点P 的轨迹上.故4922t s +=1且4)33(9)(22λλλ-++t s =1. 消去s 得4)33(222t t λλλ--+=1-λ2, 解得t=λλ6513-.又|t|≤2, ∴|λλ6513-|≤2.解得51≤λ≤5. 故λ的取值范围是［51，5］. 评述：本题考查了解析几何的基本方法以及解析几何与三角、不等式、向量的联系，是在知识的交汇点处命题的充分体现，体现了高考命题的方向.【例4】设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),…,P n (x n ,y n )(n ≥3,n ∈N )是二次曲线C 上的点，且a 1=|OP 1|2,a 2=|OP 2|2,…,a n =|OP n |2构成了一个公差为d(d ≠0)的等差数列，其中O 是坐标原点，记S n =a 1+a 2+…+a n .(1)若C 的方程为2510022y x +=1,n=3,点P 1(10，0)且S 3=255，求点P 3的坐标；(只需写出一个)(2)若C 的方程为22a x +22by =1(a ＞b ＞0)，点P 1(a,0)，对于给定的自然数n ，当公差d 变化时，求S n 的最小值.(1)解：a 1=|OP 1|2=100,由S 3=23(a 1+a 3)=255,得 a 3=|OP 3|2=70.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,70,12510023232323y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.10,602323y x ∴点P 3的坐标为(215，10).(2)解法一：原点O 到二次曲线C:22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上各点的最小距离为b ，最大距离为a. ∵a 1=|OP 1|2=a 2,∴d ＜0，且a n =|OP n |2=a 2+(n-1)d ≥b 2. ∴122--n a b ≤d ＜0. ∵n ≥3,2)1(-n n ＞0, ∴S n =na 2+2)1(-n n d 在［122--n a b ,0］上递增. 故S n 的最小值为na 2+2)1(-n n ×122--n a b =2)(22b a n +. 解法二：对每个自然数k(2≤k ≤n),由⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+,1,)1(2222222b y ax d k a y x k k k k 解得y k 2=222)1(b a d k b ---. ∵0＜y k 2≤b 2,得122--k a b ≤d ＜0, ∴122--n a b ≤d ＜0.以下与解法一相同.评述：本题主要考查了解析几何、数列、函数、不等式等基本知识，具有一定的综合性，是考查学生良好的数学思维和分析问题、解决问题能力的一道好题.链接·拓展请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上一点P 1，对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1,P 2,…,P n 存在的充要条件，并说明理由.解法一:若双曲线C:22a x -22by =1，点P 1(a,0),则对于给定的n ，点P 1，P 2，…，P n 存在的充要条件是d ＞0.∵原点O 到双曲线C 上各点的距离h ∈［|a|,+∞)，且|OP 1|2=a 2,∴点P 1，P 2，…，P n 存在当且仅当|OP n |2＞|OP 1|2，即d ＞0存在.解法二:若抛物线C:y 2=2px,点P 1(0,0)，则对于给定的n ，点P 1，P 2，…,P n 存在的充要条件是d ＞0.理由同上.解法三:若圆C:(x-a)2+y 2=a 2(a ≠0),点P 1(0，0)，则对于给定的n,点P 1，P 2，…，P n 存在的充要条件是0＜d ≤142n a .。
高中数学交融于点列与不等式的求和问题 试题
高中数学交融于点列与不等式的求和问题点列可以将函数、数列、解析几何，导数以及不等式等知识融为一体，综合性强，以点列为载体考察数列知识是近年高考的热点也是难点问题。
以点列为背景，与前n 项和有关的不等式问题包括求取值范围、证明不等式、比拟大小、恒成立等问题。
解决问题的通法是先将点列问题数列化，求出数列的通项公式，再考虑能否求出相关数列的前n 项和。
一. 先求出前n 项和，再解决不等式问题假设是对等差或者等比数列求前n 项和，可直线利用前n 项和公式求解。
假设不是等差或者等比数列，可根据项的特点灵敏解决。
1. 裂项相消法求前n 项和对于形如⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a 1等形式的数列求前n 项和，可考虑用裂项相消法。
例 1. 设一次函数)x (f 图象关于直线y=x 对称的图象为C ，且0)1(f =-，假设点列)N n )(a a ,1n (P n 1n n *+∈+在图象C 上，且1a a 21==，求)!1n (a !3a !2a S n21n ++++= 的取值范围。
图1解：设)0a (b ax )x (f ≠+=。
因为0)1(f =-，所以b a 0+-= 因为点)N n )(a a ,1n (n1n *+∈+在函数)x (f 图象关于直线x y =对称的曲线C 上， 所以)N n )(1n ,a a (n1n *+∈+，在函数)x (f 图象上，于是b a a a 1n n1n +⋅=++。
〔1〕当n=1时，有b a a a 212+⋅=，又知1a a 21==，所以2=a+b 。
解方程组⎩⎨⎧+=+-=b a 2ba 0得⎩⎨⎧==1b 1a代入〔1〕式，得n a a n1n =+ 于是)2n ()!1n (11)2n )(1n (a a aa a a a a 1122n 1n 1n n n ≥-=⋅--=⋅⋅=--- 当n=1时，1a 1=也满足)!1n (a n -= 因此数列{}n a 的通项公式为)!1n (a n -= 所以n ,,2,1i ,1i 1i 1)1i (i 1)!1i ()!1i ()!1i (a i =+-=+=+-=+ 又因为)!1n (a !3a !2a S n21n ++++=所以1n 111n 1n 13121211S n +-=+-++-+-= 容易判断{}n S 单调递增，当n=1时，21S n =； 当+∞→n ，1S n → 所以1S 21n <≤ 评注：求n S 关键在于将项)1i (i 1)!1i (a i +=+裂成1i 1i 1+-形式。
高中数学《利用点的坐标处理解析几何问题》基础知识与例题分析
高中数学《利用点的坐标处理解析几何问题》基础知识与例题分析有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。
一、基础知识：1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。
然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与12121212,,,x x x x y y y y ++相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。
所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。
2、利用点坐标解决问题的优劣：（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受12121212,,,x x x x y y y y ++形式的约束（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得复杂导致运算繁琐。
那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型：（1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑把点的坐标解出来（用核心变量进行表示）（2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或因式分解求解）4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。
（整体代入是解析几何运算简化的精髓） 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点,A B 分别是椭圆C 的左右顶点（1）求圆O 和椭圆C 的方程（2）已知,P Q 分别是椭圆和圆上的动点（,P Q 位于y 轴的两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线,AP BP 分别与y 轴交于点,M N ，求证：MQN ∠为定值解：（1）依题意可得242a a =⇒=，O 过焦点，且r b = b c ∴=，再由2224b c a +==可得2b c ==∴椭圆方程为22142x y +=，圆方程为222x y += （2）思路：条件主要围绕着P 点展开，所以以P 为核心，设()00,P x y ，由PQ 与x 轴平行，可得()10,Q x y 。
研究性学习(29)数列中的点列问题研究
常青藤实验中学2013届高三理科数学研究性学习（29）专题：数列中的点列问题研究例：已知点1122(1,),(2,),,(,),n n A y A y A n y 顺次为直线11412y x =+上的点， 点1122(,0),(,0),,(,0),n n B x B x B x 顺次为x 轴上的点，其中1(01)x a a =<<.对于任意*n N ∈，点1,,n n n B A B +构成以n A 为顶点的等腰三角形.（1）求证：2n n x x +-是常数，并求数列{}n x 的通项公式；（2）若等腰三角形1n n n B A B +中存在直角三角形，求a 的值变式1：点1122(,0),(,0),,(,0),n n B x B x B x 顺次为x 轴上的点，其中112x =，数列{}n x 是公差为1的等差数列.对于任意*n N ∈，点1,,n n n B A B +均构成以n A 为顶点的等边三角形，求：（1）数列{}n x 的通项公式；（2）顶点n A 所在的轨迹方程变式2：点1122(,0),(,0),,(,0),n n B x B x B x 顺次为x 轴上的点，1B 在原点.对于任意*n N ∈，点1,,n n n B A B +均构成以n A 为顶点的等边三角形，且由等边三角形的边长1{}n n B B +构成的数列是首项为1、公差为1的等差数列。
求：（1）数列{}n x 的通项公式；（2）顶点n A 所在的轨迹方程变式3：点1122(,0),(,0),,(,0),n n B x B x B x 顺次为x 轴上的点，其中120,1x x ==.对于任意*n N ∈，点1,,n n n B A B +均构成以n A 为顶点的等腰直角三角形，且顶点n A 在抛物 线22(0,0)y px p y =>≥上。
求：（1）抛物线方程；（2）数列1{}n n B B +的通项公式n b ；（3）n B 点的坐标变式4：（2009年上海春考题）如图，在直角坐标系xOy 中，有一组对角线长为n a 的正方形n n n n D C B A ),2,1( =n ，其对角线n n D B 依次放置在x 轴上（相邻顶点重合）. 设{}n a 是首项为a ，公差为)0(>d d 的等差数列，点1B 的坐标为)0,(d .（1）当4,8==d a 时，证明：顶点321A A A 、、不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上；（3）为使所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p pxy 上，求a 与d 之间所应满足的关系式.变式5：已知点212(1,2),(2,2),,(,2),n n A A A n ，点1122(,0),(,0),,B x B x(,0)n n B x ，顺次为x 轴上的点，其中1(01)x a a =<<.对于任意*n N ∈，点1,,n n n B A B +构成以n A 为顶点的等腰三角形.（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）依次记112B A B ∆的面积为1s ，223B P B ∆的面积为2s ，…，11n n n B P B ++∆的面积为n s ，试求数列{}n s 的前n 项和n S变式6：在直角坐标平面中，已知点列111,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3313,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…，1,(1)2nn n A n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…，其中n 是正整数。
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专题：数列与解析几何综合——点列问1．如图，直线)21,0(1:1±≠≠-+=k k k kx y l 与:2l 2121+=x y 相交于点P.直线l 1与x 轴交于点P 1，过点P 1作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 1，过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2，过点P 2作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P 1、Q 1、P 2、Q 2，…，点P n （n=1，2，…）的横坐标构成数列{}.n x（Ⅰ）证明*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+； （Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅲ）比较5||4||22122+PP k PP n 与的大小.【解析】（Ⅰ）证明：设点P n 的坐标是),(n n y x ， 由已知条件得点Q n 、P n+1的坐标分别是：).2121,(),2121,(1+++n n n n x x x x 由P n+1在直线l 1上，得.121211k kx x n n -+=++ 所以 ),1()1(211-=-+n n x k x 即 .*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+（Ⅱ）解：由题设知 ,011,1111≠-=--=k x k x 又由（Ⅰ）知 )1(2111-=-+n n x kx ，所以数列 }1{-n x 是首项为,11-x 公比为k21的等比数列.从而 .*,)21(21,)21(111N n k x k k x nn n n ∈⨯-=⨯-=--即（Ⅲ）解：由⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为（1，1）.所以,)21(2)21(8)11(2)1(2||2222222-+⨯=--++-=n n nn n kk k kx x PP .945])10()111[(45||42222212+=+-+--=+k kk PP k （i ）当2121,21||>-<>k k k 或即时，5||4212+PP k >1+9=10.而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|021222+<=+⨯<<<PP k PP PP kn n 故所以 （ii ）当1110||,(,0)(0,)222k k <<∈-U 即时，5||4212+PP k <1+9=10.而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|21222+>=+⨯>>PP k PP PP kn n 故所以EX ：已知点()n n n b a P ,都在直线22:+=x y l 上，1P 为直线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差为1. （+∈N n ）(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b -12的前n 项和n T . (3)求证：+2211P P+2311P P …… +52121<nP P (n ≥2, +∈N n ) 【解析】(1)()22,2,0,11-=-=-n b n a P n n 4分（2）令n c =nb -12=14n 2-则它的前n 项的和ns =132n n -，7=cn T =()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-78413)7(1322n n n n n n 4分(3) ())0,1(,22,21---P n n P n Θ )1(51-=∴n P P n )2(≥n 2分()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++=+++∴22221231221113121151111n P P P P P P nΛΛ ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⨯+⨯+<)1(11151121321211151n n n Λ 52)1(1251<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n 4分2、如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形111221,,,,.n n n OPQ Q P Q Q P Q -L L 设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .(1) 求1a 的值;(2) 求数列{n a }的通项公式n a ;(3) 求证:当2≥n 时,2222122111132nn n na a a a ++++++<L .【解析】（1）由条件可得11112P a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,代入曲线2(0)y x y =≥得21111312,0,423a a a a =>∴=Q ; (2) 12n n S a a a =+++Q L ∴点1111()2n n n n P S a ++++代入曲线2(0)y x y =≥并整理得 2113142n n n S a a ++=-,于是当*2,n n N ≥∈时,221113131()()4242n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 即11113()()()24n n n n n n a a a a a a ++++=+⋅- PP 2PQ 1 Q 2O*1120,(2,)3n n n n a a a a n n N ++>>∴-=≥∈Q又当2122231421,,(4233n S a a a ==-∴=-时舍去）2123a a ∴-=,故*12()3n n a a n N +-=∈ 所以数列{n a }是首项为23、公差为23的等差数列, 23n a n =; (3) 由（2）得23n a n =，当2n ≥时，22221221111n n n na a a a ++++++L22299944(1)44n n n =+++⋅L 22291114(1)4n n n ⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦L 91114(1)(1)2(21)n n n n n n ⎡⎤<++⎢⎥-+-⎣⎦L 9111111()()()411212n nn n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥-+-⎣⎦L 9119(1)()4128(1)n n n n n +=-=--， 欲证9(1)38(1)2n n n +<-，只需证23344n n n +<-，即证24730n n -->，设2()473f n n n =--， 当78n ≥时，f （n ）递增.而当3n ≥时,有()0f n >成立.所以只需验证n=2时不等式成立.------ 13分事实上,919529613164646464642++=+=<. 综上,原不等式成立. ------------------------------------------14分3、已知曲线C ：x y 1=， n C ：n x y -+=21 （*∈N n ）。
从C 上的点),(n n n y x Q 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点),(111+++n n n y x Q ，设111,,1++-=-==n n n n n n y y b x x a x 。
（I ）求21,Q Q 的坐标； （II ）求数列{}n a 的通项公式；（III ）记数列{}n n b a ⋅的前n 项和为n S ，求证：31<n S【解析】（1）由题意得知)1,1(1Q ，)32,1(1P ，)32,23(2Q（2）),(n n n y x Q Θ，),(111+++n n n y x Q ，点n P 的坐标为),(1+n n y x1,+n n Q Q Θ在曲线C 上，n n x y 1=∴，111++=n n x y 又n P 在曲线n C 上，nn n x y -++=211 nn n x x -++=∴21 n n a -=∴2（III ）+-+-=---)()(211n n n n n x x x x x ……+112)(x x x +- ……7分=12221)2()1(++++-----ΛΛn n =n n--=--⋅122211)21(11 )11(2)()(111+-++-=-⋅-=⋅∴n n nn n n n n n x x y y x x b a )221221(21n n n ------= )122()222(1-⋅⋅-⋅=n n ……………………………………11分Θn n 2222≥-⋅，3122≥-⋅nnn n b a 231⋅≤⋅∴ nn n n b a b a b a S 23123123122211⋅++⋅+⋅≤+++=ΛΛΛΛ 31)211(31211)21(161<-=--⋅=n n6．（本小题满分15分，其中第一小问4分，第二小问6分，第三小问5分）过曲线3:x y C =上的点),(111y x P 作曲线C 的切线l 1与曲线C 交于),(222y x P ，过点P 2作曲线C 的切线l 2与曲线C交于点),(333y x P ，依此类推，可得到点列：),(111y x P ，2223331(,),(,),,(,),,1n n n P x y P x y P x y x =L L 已知（1）求点P 2、P 3的坐标.（2）求数列}{n x 的通项公式.（3）记点n P 到直线)(211+++n n n P P l 即直线的距离为n d ， 求证：9411121>+++n d d d Λ.【解析】（1）)64,4(),8,2(32P P -- …………………………………………4分（2）曲线C 上点),(n n n y x P 处的切线n l 的斜率为23n x x n x y k n ='==， 故得到的方程为)(32n n n x x x y y -⋅=- ……………………………………6分联立方程3233()n n n nn y x y y x x x y x ⎧=⎪-=⋅-⎨⎪=⎩消去y 得：023323=+⋅-n n x x x x化简得：0)2()(2=+⋅-n n x x x x 所以：n n x x x x 2-==或………………8分由n x x =得到点P n 的坐标),,(n n y x 由n x x 2-=就得到点1+n P 的坐标))2(,2(3n n x x --所以：n n x x 21-=+ 故数列}{n x 为首项为1，公比为－2的等比数 列所以：1)2(--=n n x …………………………………………10分（3）由（2）知：),)8(,)2((),)8(,)2((1121++++----n n n n n n P P所以直线n l 的方程为：))2(()2()2()8()8()8(11nn n n n nx y --------=--++ 化简得：0)8(243=-⋅--⋅nn y x …………………………………………12分321122112.923827149827)1()43(|)8(2)8()2(43|-----=⋅⋅<+⋅⋅=-+⋅-⋅----⋅⋅=n n n n n n n n n n n d 所以3)21(911-⋅>n n d ∴)211(9811121n n d d d ->+++Λ≥814(1)929-= …………………15分7. 已知曲线C:y=x 2(x ＞0),过C 上的点A 1（1，1）作曲线C 的切线l 1交x 轴于点B 1，再过点B 1作y轴的平行线交曲线C 于点A 2，再过点A 2作曲线C 的切线l 2交x 轴于点B 2，再过点B 2作y 轴的平行线交曲线C 于交A 3，…，依次作下去，记点A n 的横坐标为a n (n∈N *).（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{an}的前n 项和为Sn ，求证：anSn ≤1;（3）求证：1ni =∑1i i a S ≤41.3n - 【解析】(1)∵曲线C 在点A n (a n ,a 2)n n n 处的切线l 的斜率是2a , ∴切线l n 的方程是y-a 22().n n n a x a =-由于点B n 的横坐标等于点A n+1的横坐标a n+1，所以，令y=0，得a n+1＝12a n 。