不等式恒成立问题教案
高中数学不等式的恒成立问题教案及练习
不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题不等式恒成立问题的常规处理方式:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()m i n f x B <.3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .1.设常数a ＞0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为___．2.已知f (x )＝2x x 2＋6.若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围． 3.当x>1时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2] B ．[2,+∞) C ．[3,+∞) D ．(－∞,3]4.若对任意恒成立，则的取值范围是_____5.若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 6.已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．7．已知x >0，y >0，2x +y =1，若2240x y m <+恒成立，则m 的取值范围是8.不等式)(322y x ay y x +≥+对任意R y x ∈,恒成立,则实数a 的最大值为.9.已知正实数满足,且恒成立,则的最大值是________.10. 若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．0x >1a ≤+a ,x y ln ln 0x y +=22(2)4k x y x y +≤+k。
【高中数学】 利用导数研究不等式的恒成立问题 学案
第4课时 利用导数研究不等式的恒成立问题策略一：分离参数法(2020·南昌质检)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )<0，得ln x ＋1<0，解得0<x <1e，所以f (x )的减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1e.令f ′(x )>0，得ln x＋1>0，解得x >1e ，所以f (x )的增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.综上，f (x )的减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.(2)因为g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意得2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1恒成立．因为x >0，所以a ≥ln x －32x －12x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．设h (x )＝ln x －32x －12x (x >0)，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－（x －1）（3x ＋1）2x 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－13(舍)． 当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) ＋0 －h (x )极大值所以当x ＝1max ，所以若a ≥h (x )在x ∈(0，＋∞)上恒成立，则a ≥h (x )max ＝－2，即a ≥－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)．(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 转化关通过分离参数法，先转化为f (a )≥g (x )(或f (a )≤g (x ))对任意的x ∈D 恒成立，再转化为f (a )≥g (x )max (或f (a )≤g (x )min )求最值关 求函数g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题(2020·石家庄质量检测)已知函数f (x )＝ax e x－(a ＋1)(2x －1)．(1)若a ＝1，求函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当x >0时，函数f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)若a ＝1，则f (x )＝x e x－2(2x －1)． 即f ′(x )＝x e x＋e x－4， 则f ′(0)＝－3，f (0)＝2， 所以所求切线方程为3x ＋y －2＝0. (2)由f (1)≥0，得a ≥1e －1>0，则f (x )≥0对任意的x >0恒成立可转化为aa ＋1≥2x －1x e x对任意的x >0恒成立． 设函数F (x )＝2x －1x e x(x >0)，则F ′(x )＝－（2x ＋1）（x －1）x 2e x .当0<x <1时，F ′(x )>0； 当x >1时，F ′(x )<0，所以函数F (x )在(0，1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的， 所以F (x )max ＝F (1)＝1e .于是aa ＋1≥1e ，解得a ≥1e －1. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e －1，＋∞. 策略二：等价转化法设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0，2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)存在x 1，x 2∈[0，2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max≥M .由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23.令g ′(x )＞0得x ＜0或x ＞23，令g ′(x )＜0得0＜x ＜23，又x ∈[0，2]，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23上是减少的，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤23，2上是增加的， 所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527，又g (0)＝－3，g (2)＝1， 所以g (x )max ＝g (2)＝1.故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min≥g (x )max ，由(1)可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1. 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令m (x )＝x ln x ，由m ′(x )＝ln x ＋1＞0得x ＞1e.即m (x )＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上是增函数， 可知h ′(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数， 又h ′(1)＝0，所以当1＜x ≤2时，h ′(x )＜0； 当12≤x ＜1时，h ′(x )＞0. 即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上是增加的，在区间(1，2]上是减少的，所以h (x )max ＝h (1)＝1， 所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化．(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．已知函数f (x )＝a x＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)．(1)求函数f (x )的极小值；(2)若存在x 1，x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1(e 是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a xln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x－1)ln a .因为当a >1时，ln a >0，函数y ＝(a x－1)ln a 在R 上是增函数， 当0<a <1时，ln a <0，函数y ＝(a x－1)ln a 在R 上也是增函数， 所以当a >1或0<a <1时，f ′(x )在R 上是增函数，又因为f ′(0)＝0，所以f ′(x )>0的解集为(0，＋∞)，f ′(x )<0的解集为(－∞，0)，故函数f (x )的增区间为(0，＋∞)，减区间为(－∞，0)，所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值1.(2)因为存在x 1，x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1成立， 所以只需f (x )max －f (x )min ≥e －1即可．由(1)可知，当x ∈[－1，1]时，f (x )在[－1，0]上是减函数，在(0，1]上是增函数， 所以当x ∈[－1，1]时，f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )max 为f (－1)和f (1)中的较大者．f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ，令g (a )＝a －1a－2ln a (a >0)，因为g ′(a )＝1＋1a2－2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2>0，所以g (a )＝a －1a－2ln a 在(0，＋∞)上是增函数．而g (1)＝0，故当a >1时，g (a )>0，即f (1)>f (－1)； 当0<a <1时，g (a )<0，即f (1)<f (－1)． 所以当a >1时，f (1)－f (0)≥e －1， 即a －ln a ≥e －1.由函数y ＝a －ln a 在(1，＋∞)上是增函数，解得a ≥e ； 当0<a <1时，f (－1)－f (0)≥e －1，即1a＋ln a ≥e －1，由函数y ＝1a ＋ln a 在(0，1)上是减函数，解得0<a ≤1e.综上可知，所求实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ∪[e ，＋∞)． [基础题组练]1．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若对任意的x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，存在x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥2解析：选A.由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2，3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.2．(2020·吉林白山联考)设函数f (x )＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x－3－a x，若不等式f (x )≤0有正实数解，则实数a 的最小值为________．解析：原问题等价于存在x ∈(0，＋∞)，使得a ≥e x(x 2－3x ＋3)，令g (x )＝e x (x 2－3x ＋3)，x ∈(0，＋∞)，则a ≥g (x )min ，而g ′(x )＝e x(x 2－x )．由g ′(x )>0可得x ∈(1，＋∞)，由g ′(x )<0可得x ∈(0，1)．据此可知，函数g (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为g (1)＝e.综上可得，实数a 的最小值为e.答案：e3．(2020·西安质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －1. (1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若不等式f (x )≤ag (x )对任意的x ∈(1，＋∞)均成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝1x，所以f ′(1)＝1.又f (1)＝0，所以切线的方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即所求切线的方程为y ＝x －1.(2)易知对任意的x ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，g (x )＞0. ①当a ≥1时，f (x )≤g (x )≤ag (x )；②当a ≤0时，f (x )＞0，ag (x )≤0，所以不满足不等式f (x )≤ag (x )；③当0＜a ＜1时，设φ(x )＝f (x )－ag (x )＝ln x －a (x －1)，则φ′(x )＝1x－a ，令φ′(x )＝0，得x ＝1a，当x 变化时，φ′(x )，φ(x )的变化情况下表：所以φ(x )max ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞φ(1)＝0，不满足不等式．综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝ax －e x(a ∈R )，g (x )＝ln x x.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)存在x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x成立，求a 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a －e x，x ∈R .当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )在R 上是减少的； 当a ＞0时，令f ′(x )＝0得x ＝ln a .由f ′(x )＞0得f (x )的增区间为(－∞，ln a )； 由f ′(x )＜0得f (x )的减区间为(ln a ，＋∞)． (2)因为存在x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x， 则ax ≤ln x x ，即a ≤ln x x2.设h (x )＝ln x x2，则问题转化为a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2max，由h ′(x )＝1－2ln xx3，令h ′(x )＝0，则x ＝ e. 当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：由上表可知，当x ＝e 时，函数h (x )有极大值，即最大值为2e .所以a ≤2e .5．(2020·河南郑州质检)已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)，a ∈R ，在(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求f (x )的单调区间；(2)若存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )－x 22＋2x ＋12>k (x －1)成立，求k 的取值范围．解：(1)由已知可得f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝1x－a ，所以f ′(1)＝1－a ＝0，所以a ＝1，所以f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x >1，所以f (x )的 增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)．(2)不等式f (x )－x 22＋2x ＋12>k (x －1)可化为ln x －x 22＋x －12>k (x －1)．令g (x )＝ln x－x 22＋x －12－k (x －1)(x >1)，则g ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x ，令h (x )＝－x 2＋(1－k )x ＋1，x >1，h (x )的对称轴为x ＝1－k 2.①当1－k 2≤1时，即k ≥－1，易知h (x )在(1，x 0)上是减少的，所以h (x )<h (1)＝1－k ，若k ≥1，则h (x )≤0，所以g ′(x )≤0，所以g (x )在(1，x 0)上是减少的，所以g (x )<g (1)＝0，不合题意．若－1≤k <1，则h (1)>0，所以必存在x 0使得x ∈(1，x 0)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(1，x 0)上是增加的，所以g (x )>g (1)＝0恒成立，符合题意．②当1－k 2>1时，即k <－1，易知必存在x 0，使得h (x )在(1，x 0)上是增加的．所以h (x )>h (1)＝1－k >0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(1，x 0)上是增加的．所以g (x )>g (1)＝0恒成立，符合题意．综上，k 的取值范围是(－∞，1)． 6．设f (x )＝x e x，g (x )＝12x 2＋x .(1)令F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的最小值；(2)若任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)，且x 1>x 2，有m [f (x 1)－f (x 2)]>g (x 1)－g (x 2)恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x＋12x 2＋x ，所以F ′(x )＝(x ＋1)(e x＋1)，令F ′(x )>0，解得x >－1，令F ′(x )<0，解得x <－1，所以F (x )在(－∞，－1)上是减少的，在(－1，＋∞)上是增加的． 故F (x )min ＝F (－1)＝－12－1e.(2)因为任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)，且x 1>x 2，有m [f (x 1)－f (x 2)]>g (x 1)－g (x 2)恒成立，所以mf (x 1)－g (x 1)>mf (x 2)－g (x 2)恒成立．令h (x )＝mf (x )－g (x )＝mx e x－12x 2－x ，x ∈[－1，＋∞)，即只需证h (x )在[－1，＋∞)上是增加的即可．故h ′(x )＝(x ＋1)(m e x－1)≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 故m ≥1e x ，而1e x ≤e ，故m ≥e ，即实数m 的取值范围是[e ，＋∞)．。
2021-2022学年北师大版必修5 3.2.2 一元二次不等式的应用 教案
不等式恒成立问题解法研究教学设计教材地位与教学内容分析：1、本节课在高考中的地位：不等式恒成立问题，特别是含参不等式，把导数，不等式，函数，三角，几何，数列等内容有机地结合起来，覆盖知识点广，渗透的数学思想方法多，解题方法灵活，能很好的考查学生的创新能力和潜在的数学素质。
正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。
2、本节课的主要教学内容：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法等解决不等式恒成立问题教学目标1、掌握求不等式恒成立问题中参数范围的常见策略与方法，能根据不同的条件，选择恰当的方法，确定不等式恒成立中的参数范围.2、通过不等式恒成立问题解法研究，理解换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法.3、培养学生思维的灵活性、创造性，提高学生的综合解题能力.教学重难点重点：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法难点：根据不同条件用适当方法求参数范围教学方法：引导发现，合作探究，总结归纳教具：多媒体课件教学时间：40分钟教学过程：〔一〕导入不等式恒成立问题是中学数学的一类重要题型，它散见于许多知识板块中，载体较多，而且不少情况下题意较为隐含。
正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。
今天这节课我们就来探讨不等式恒成立问题的解法。
（二）例题精讲一、利用二次函数性质例1 〔1〕 假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围为〔 〕〔2〕上题假设改为“假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立〞，那么k 的取值范围是.归纳：1、在R 上恒成立问题，利用判别式：对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：〔1〕R x x f ∈>在0)(上恒成立⇔；〔2〕R x x f ∈<在0)(上恒成立⇔ .2、在给定区间上恒成立问题，分类讨论：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔二、别离参数法 例1〔2〕〔方法二〕：假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立,那么k 的取值范围是.归纳：假设在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，那么可将恒成立问题转化成函数的最值(或上、下界)问题求解。
高中数学 不等式恒成立问题 教案
解：（I）（过程略） ．
（II）（过程略）函数 的单调减区间为 ，函数 的单调增区间为 ．
（III）由（II）可知，函数 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值．要使 （ ）恒成立，只需 ，解得 或 ．
所以 的取值范围为 ．
评注：最值法是我们这里最常用的方法． 恒成立 ； 恒成立 ．
7单调性法
例8．若定义在 的函数 满足 ，且 时不等式 成立，若不等式 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围是＿＿＿．
解：设 ，则 ，有 ．这样， ，则 ，函数 在 为减函数．
因此 ；而 （当且仅当 时取等号），又 ，所以 的取值范围是 ．
评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．
解：设 ， ，则原问题转化为 恒成立的问题．
故应该有 ，解得 或 ．
所以实数 的取值范围是 ．
评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．
5 特殊化法
例5．设 是常数，且 （ ）．
（I）证明：对于任意 ， ．
（II）假设对于任意 有 ，求 的取值范围．
不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．
例10．关于 的不等式 在 上恒成立，求 实数 的取值范围．
通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵ ，∴不等式可以化为 ；下面只要求 在 时的最小值即可，分段处理如下．
当 时， ， ，再令 ， ，它的根为 ；所以在区间 上有 ， 递增，在区间 上有 ， 递减，则就有 在 的最大值是 ，这样就有 ，即 在区间 是递减．同理可以证明 在区间 是递增；所以， 在 时的最小值为 ，即 ．
利用导数解决不等式恒成立中参数问题优秀教案
利用导数解决不等式恒成立中地参数问题一、单参数放在不等式上型：【例题1】（07全国Ⅰ理）设函数．若对所有都有，求地取值范围．解：令，则，（1）若，当时，，故在上为增函数，∴时，，即．（2）若，方程地正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．∴时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件地地取值范围是．说明：上述方法是不等式放缩法．【针对练习1】（10课标理）设函数，当时，，求地取值范围．解：【例题2】（07全国Ⅰ文）设函数在及时取得极值．（1）求、地值；（2）若对于任意地，都有成立，求地取值范围．解：（1），∵函数在及取得极值，则有，．即，解得，．（2）由（1）可知，，．当时，；当时，；当时，．∴当时，取得极大值，又，．则当时，地最大值为．∵对于任意地，有恒成立，∴，解得或，因此地取值范围为．最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上地最值．【针对练习2】（07重庆理）已知函数在处取得极值，其中、、为常数．（1）试确定、地值；（2）讨论函数地单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求地取值范围．解：【针对练习3】（10天津文）已知函数，其中．若在区间上，恒成立，求地取值范围．解：【例题3】（08湖南理）已知函数．（1）求函数地单调区间；（2）若不等式对任意地都成立（其中是自然对数地底数），求地最大值．解：（1）函数地定义域是，．设．则，令，则．当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数．∴在处取得极大值，而，∴，函数在上为减函数．于是当时，，当时，．∴当时，在上为增函数．当时，，在上为减函数．故函数地单调递增区间为，单调递减区间为．（2）不等式等价于不等式，由知，．设，，则．由（1）知，，即．∴，，于是在上为减函数．故函数在上地最小值为．∴a地最大值为．小结：解决此类问题用地是恒成立问题地变量分离地方法，此类方法地解题步骤是：①分离变量；②构造函数（非变量一方）；③对所构造地函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；④写出变量地取值范围．【针对练习4】（10全国1理）已知，若，求地取值范围．解：【针对练习5】若对所有地都有成立，求实数地取值范围．解：二、单参数放在区间上型：【例题4】已知三次函数图象上点处地切线经过点，并且在处有极值．（1）求地解析式；（2）当时，恒成立，求实数地取值范围．解：（1）∵，∴，于是过点处地切线为，又切线经过点，∴，①∵在处有极值，∴，②又，③∴由①②③解得：，，，∴．（2），由得，．当时，，单调递增，∴；当时，，单调递减，∴．∴当时，在内不恒成立，当且仅当时，在内恒成立，∴地取值范围为．【针对练习6】（07陕西文）已知在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又．（1）求地解析式；（2）若在区间上恒有成立，求地取值范围．解：三、双参数中知道其中一个参数地范围型：【例题5】（07天津理）已知函数，其中，．（1）讨论函数地单调性；（2）若对于任意地，不等式在上恒成立，求地取值范围．解：（1）．当时，显然．这时在，上内是增函数．当时，令，解得．当变化时，，地变化情况如下表：由（2）知，在上地最大值为与地较大者，对于任意地，不等式法二：变量分离．∵，∴，即．令，，∴在上递减，最小值为，从而得，∴满足条件地地取值范围是．或用，即，进一步分离变量得，利用导数可以得到在时取得最小值，从而得，∴满足条件地地取值范围是．法三：变更主元．∵，∴在递增，即地最大值为．以下同上法．说明：本题是在对于任意地，在上恒成立相当于两次恒成立，这样地题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立．【例题6】设函数，，若对于任意地，不等式在上恒成立，求实数地取值范围．解：在上恒成立，即在上恒成立．由条件得，又，∴，即．设，则．令，，当，；当，，∴时，，于是，∴在递减，∴地最小值为，∴，因此满足条件地地取值范围是．【针对练习7】设函数，其中，．若对于任意地，不等式在上恒成立，求地取值范围．解：四、双参数中地范围均未知型：【例题7】（10湖南理）已知函数，对任意地，恒有．（1）证明：当时，；（2）若对满足题设条件地任意，，不等式恒成立，求地最小值．解：（1）易知．由题设，对任意地，，即恒成立，∴，从而．于是，且，因此．故当时，有，即当时，．（2）由（1）知，．当时，有．令，则，．而函数地值域是．因此，当时，地取值集合为．当时，由（1）知，，．此时或，．从而恒成立．综上所述，地最小值为．【针对练习8】若图象上斜率为3地两切线间地距离为，设．（1）若函数在处有极值，求地解析式；（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数地取值范围．解：五、双参数中地线性规划型：【例题8】（12浙江理）已知，，函数．（1）证明：当时，①函数地最大值为；②；（2）若对恒成立，求地取值范围．解：（1）①．当时，，在上恒成立，∴在上递增，此时地最大值为：；当时，，此时在上递减，在上递增，∴在上地最大值为：．综上所述：函数在上地最大值为．②∵，当时，．当时，．设，，列表可得，∴当时，，∴．（2）由①知：函数在上地最大值为，∴．由②知：，于是对恒成立地充要条件为：或，在坐标系中，不等式组所表示地平面区域为如图所示地阴影部分，其中不包括线段．作一组平行线，得，∴地取值范围为．【针对练习9】已知函数．（1）若，求地单调区间；（2）若地两个极值点，恒满足，求地取值范围．解：六、双参数中地绝对值存在型：【例题9】（06湖北理）设是函数地一个极值点．（1）求与地关系式（用表示），并求地单调区间；（2）设，．若存在，使得成立，求地取值范围．解：（1），由，得，即得，则．令，得或，由于是极值点，∴，即．当时，，则在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数．当时，，则在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数．（2）由（1）知，当时，，在区间上地单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上地值域是，而，，，那么在区间上地值域是．又在区间上是增函数，且它在区间上地值域是，由于，∴只须仅须且，解得．故地取值范围是．【针对练习10】（10辽宁理）已知函数．（1）讨论函数地单调性；（2）设，如果对任意，，，求地取值范围．解：总结：关于运用导数解决含参函数问题地策略还有很多，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强，对于某些“含参函数”题目，不一定用某一种方法，还可用多种方法去处理．这就要求我们养成良好地数学思维，有良好地观察与分析问题地能力，灵活地转化问题能力，使所见到地“含参函数”问题能更有效地解决．版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.p1Ean。
基本不等式及恒成立问题 - 解析版
基本不等式以及恒成立【教学目标】一、基本不等式基本不等式：如果,a b R ∈，那么22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”号）当0,0a b >>时，22+≥即a b +≥a b =时取“=”号）【例题讲解】 二、基本不等式的构造（一）分式分离【知识点】分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，()g x 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
【例题讲解】★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x x y x++=的最小值； 答案：9★☆☆练习1．函数241x x y x −+=−在1x >的条件下的最小值为_________；此时x =_________． 答案：5,3★☆☆练习2．已知0x >，则24x x x−+的最小值是 答案：3解：由于0x >， 41213x x−=，当且仅当2x =时取等号，此时取得最小值3．★★☆练习3． 求2710(1)1x x y x x ++=>−+的最小值。
答案：9解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)x +的项，再将其分离。
知识点要点总结：关键点在于对分式不等式的分离，明确对于分式不等式以低次幂的为主导来进行配凑，并且注意对于正负的讨论。
（二）整式凑分式分母形式【知识点】对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。
需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。
【例题讲解】★☆☆例题1．已知54x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。
答案：1 12)45x −不是常数，所以对拆、凑项， 5,4x <∴1⎫当且仅当5备注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
不等式恒成立问题
不等式恒成立问题【教学目标】（1）理解恒成立问题的充要条件，掌握解决此类问题的基本方法；（2）培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论的思想、数形结合与转化思想； （3）通过问题的探究，体验成功的喜悦【教学重点】理解解决恒成立问题的实质，有效掌握恒成立问题的基本技能 【教学难点】利用转化思想，通过函数性质和图像化归至最值问题来处理恒成立问题 【学情分析】经过一轮复习，学生较系统的复习了高中数学所有的基本知识点，对恒成立问题在不同的知识点都有所涉及，但缺乏系统的归纳整理，本节的重点即在学生已有的方法基础上，对高中数学解决此类问题进行梳理、归纳、整合、引申，形成方法的体系，并能对一些结论和规律适当拓展，扩大学生的知识面，达到训练的目的。
【教学设计】一．基础回顾，提炼方法【问题一】: 分析下列问题的区别,求相应参数的取值范围 (1)R x ∈∀,不等式0322≥-+-m x x 恒成立,求m 的取值范围 (2)不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的取值范围 (3) []2,1∈∀x ,不等式032≥+-mx x 恒成立,求m 的取值范围(4) []1,1-∈∀m ,不等式032≥+-m mx x 恒成立,求x 的取值范围【归纳总结一】对于二次不等式),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：0<a 且0<∆（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a（3）二次不等式02>++c bx ax 的解集是0,0≤∆<⇔a φ （4）二次不等式02<++c bx ax 的解集是0,0≤∆>⇔a φ【归纳总结二】二次项系数分类【归纳总结三】解决不等式恒利问题的基本方法 （1）判别式法（二次不等式专用） （2）函数性质0)(≥x f 在[]b a ,恒成立0)(min ≥⇔x f 0)(≤x f 在[]b a ,恒成立0)(max ≤⇔x f（3）分离系数法)(,x f a M x ≥∈∀M x x f a ∈≥⇔....)(max )(,x f a M x ≤∈∀M x x f a ∈≤⇔....)(min（4）数形结合法 （5）变换主元法 二． 反馈练习，小试牛刀（1）不等式0422≥++ax ax 对一切R x ∈的值恒成立,求a 的取值范围（2）对⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∀21,0x ，x a xlog 4<恒成立，求a 的取值范围A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22 B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0 C ．()2,1D ．()2,2（3）已知函数x ax x f ln )(-=，若1)(>x f 在()+∞,1上恒成立，求a 的取值范围 （4）若函数kxex x f ⋅=)()0(≠k 在区间()1,1-内为单调递增函数，求k 的取值范围三．归纳总结，积累经验1. 解决恒成立问题的基本方法有哪些？2. 本节学习体现了那些基本数学思想？（1）化归转化思想 （2）数形结合思想 （3）分类讨论思想专题——不等式恒成立问题学习要求：理解解决恒成立问题的实质，有效掌握恒成立问题的基本技能【问题一】: 分析下列问题的区别,求相应参数的取值范围 (1)R x ∈∀,不等式0322≥-+-m x x 恒成立,求m 的取值范围. (2)不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的取值范围. (3) []2,1∈∀x ,不等式032≥+-mx x 恒成立,求m 的取值范围.(4) []1,1-∈∀m ,不等式032≥+-m mx x 恒成立,求x 的取值范围.【问题二】选择恰当的方法解决下列问题，积累解题经验（1）不等式0422≥++ax ax 对一切R x ∈的值恒成立，求a 的取值范围.（2）对⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∀21,0x ，x a xlog 4<恒成立，求a 的取值范围.A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0 C ．()2,1 D ．()2,2（3）已知函数x ax x f ln )(-=，若1)(>x f 在()+∞,1上恒成立，求a 的取值范围. （4）若函数kxe x xf ⋅=)()0(≠k 在区间()1,1-内为单调递增函数，求k 的取值范围.。
解决一元二次不等式的恒成立问题 高中数学教案
教师姓名韩贺凤单位名称巴州第一中学填写时间2020·8·15学科数学年级/册高一年级教材版本人教A版课题名称必修五第三章第二节3.2 解决一元二次不等式的恒成立问题难点名称根据实物，概括棱柱、棱椎、棱台的结构特征难点分析从知识角度分析为什么难对一元二次不等式恒成立的理解与一元二次不等式的解集二者之间的关联性。
从学生角度分析为什么难1、一元二次不等式的解法在教材中是利用二次函数的图像分析出来的，学生往往只重视结果，而忽视了它的形成过程。
2、一元二次不等式恒成立的理解不能与解法有机结合。
难点教学方法数形结合的思想方法教学环节教学过程导入从教材的一道例题的解法作为本节课的导入复习一元二次不等式的解法，教材例2：求不等式-x2+2x-3>0的解集知识讲解（难点突破）通过由简入难的螺旋思维形成过程，设计三道例题例1：已知关于x的不等式x2-x+a>0的解集是R，求a的取值范围。
分析：不等式的解集是R，意思是x取任何实数，都能使不等式成立，因此，二次函数y=x2-x+a的图像就要保证x为任何实数时，都要使y>0，所以，∆=1-4a<0,从而得到a>¼例2：已知关于x的不等式x2-ax+4≥0的解集是R，求a的取值范围分析：同样不等式的解集为R，意思是x取任何实数不等式都成立，因此，二次函数y=x2-ax+4的图像也就要保证x取任何实数都要使y≥0，所以，∆≤0，即：a2-16≤0,从而得到-4≤a≤4例3：已知关于x的不等式2ax2+ax-83<0对一切实数x都成立，求a的取值范围。
分析：不等式对一切实数x都成立，意思是不等式的解集为R，也就是实数x取任何值，不等式都成立，因此二次函数y=2ax2+ax- （a≠0)的图像就要保证x取任何实数都要使y<0，从而得到-3<a<0我们可以发现,题中并没有告诉a≠0，所以需检验a=0的情况，看是否也能保证题意成立。
最新高三教案-不等式恒成立问题 精品
不等式恒成立问题一、知识梳理：不等式与函数、数列有关恒成立的综合运用 二、训练反馈：1．若关于x 的不等式a a x x ≥-+-2在R 上恒成立，则a 的最大值是（ ） A. 0 B. 0 C. -1 D. 22．不等式022224≥--++a a x x 恒成立，则a 的取值范围是 。
3．不等式)1(122->-x m x 对于满足2≤m 的一切实数m 都成立，则x 的范围是 。
4．（04启中模拟）对一切实数x ，不等式1||2++x a x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 、-∞(，－2］B 、［－2，2］C 、［－2，)+∞D 、［0，)+∞5．（04淄博月考）对任意a ∈[－1,1]，函数f(x)=x 2+(a －4)x+4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是 （ ）A ．1<x<3B ．x<1或x>3C ．1<x<2D ．x<1或x>26．（04苏中模拟）已知)1lg()(2x x x x f +++=,若)3(x m f ⋅+)239(-+-x x f0<恒成立，则m 的取值范围是__________.7．（04黄冈模拟）设函数3)(x x f =（x ∈R ），若2π0≤≤θ时，)sin (θm f +)1(m f - 0>恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）A 、（0，1）B 、（-∞，0）C 、-∞(，)21 D 、-∞(，)1 三、例题例1：)1lg()(+=x x f ，)2lg(2)(t x x g += 当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤恒成立，求的范围。
例2：已知)(x f 定义在)1,1(-上，且有)1()()(xyyx f y f x f ++=+，若数列)}({n x f 满足 21112,21nn n x x x x +==+。
（1） 求数列)}({n x f 的通项公式 （2） 是否存在整数M ，使不等式M x f x f x f n >+++)(1...)(1)(121对任意+∈N n 恒成立？若存在，求出M 的最大值；若不存在，请说明理由。
(完整版)《不等式恒成立问题》教案
《不等式恒成立问题》一、教学目标：（1）知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划求最值。
（2）能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，提升解决问题的能力。
（3）情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地参加高考。
二、教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。
三、教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数与方程思想的应用。
四、教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解法，然后再练习习题。
五、教具准备：多媒体课件六、教学过程：高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。
如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。
12例1.若不等式x +ax +1≥0对于一切x x ∈(0,]成立，2则a 的最小值为（）A.0B.-25 D.-3C.-211由x ∈(0,]，∴a ≥-(x +).，法一:不等式可化为ax ≥-x 2-1Q (x +111∴(-x -)max )在(0,]上是减函数,x x 22法二：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-a .2255=-∴a ≥-22x①a oy1x 2⎧a ⎪-≤0⎨2⇒a ≥0⎪⎩f (0)≥0②③ooyx =-yya 212x1⎧a -≥⎪⎪22⇒-1<a <0⎨⎪f (1)≥0⎪⎩2a 1⎧0<-<⎪⎪225⎨⇒-≤a ≤-1a 2⎪f (-)≥0⎪⎩2a2a2法三：验证法：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-.212当a =0时，f (x )=x +1≥0在（0,]恒成立。
212当a =-2时，f (x )=x 2-2x +1=（x -1）在（0,]恒成立。
25551当a =-时，f (x )=x 2-x +1，对称轴x =，（0,]是f (x )的减区间，224211f ()=0，故f (x )≥0在（0,]恒成立。
教案 不等式恒成立
教案不等式恒成立教案标题：不等式恒成立教学目标：1. 了解和理解不等式的概念和性质；2. 掌握解不等式的方法和技巧；3. 能够判断和证明不等式是否恒成立；4. 能够应用不等式恒成立的性质解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教师备课笔记、教学课件、教学素材、练习题；2. 学生准备：课本、笔记本、笔、计算器。
教学过程：引入活动：1. 教师通过提问和讨论引导学生回顾不等式的概念和性质，例如“什么是不等式？不等式有哪些符号表示？不等式有哪些基本性质？”等。
知识讲解与示范：2. 教师结合教学课件，详细讲解不等式恒成立的概念和判断方法。
a. 解释什么是不等式恒成立，即对于给定的不等式，无论取任何满足条件的变量值，不等式都成立；b. 介绍判断不等式恒成立的基本方法，如代入法、变形法等；c. 通过具体的例子演示如何判断不等式是否恒成立。
练习与巩固：3. 学生进行个人或小组练习，解决一些简单的不等式恒成立的题目，巩固刚才所学的知识。
4. 教师在课堂上解答学生的问题，引导学生发现解题的关键点和方法。
拓展与应用：5. 学生通过课堂讨论或小组合作的方式，解决一些复杂的不等式恒成立的问题，培养学生的分析和推理能力。
6. 学生将所学的不等式恒成立的知识应用到实际问题中，例如通过不等式恒成立解决最优化问题、约束条件问题等。
总结与评价：7. 教师对本节课所学的内容进行总结，强调不等式恒成立的重要性和应用领域。
8. 学生进行自我评价，回顾自己在本节课中的学习情况和收获。
作业布置：9. 布置一些相关的课后作业，以巩固学生对不等式恒成立的理解和应用能力。
教学反思：教师根据本节课的教学情况和学生的反应，进行教学反思和调整，为下一节课的教学做好准备。
不等式中恒成立问题 - 上海老港中学
含参数不等式中恒成立问题 （学案）崔向军学习目标1、通过对含参数不等式恒成立问题“一题多解”的探究，体会数学知识的系统性；2、通过变式训练达到“多题一法”的目的；3、通过交流、互动加深对含参数不等式中恒成立问题认识课前学习⒈20ax bx c ++≤在R 上恒成立 ⇔20a x b xc ++>在R 上恒成立 ⇔ ⒉ ()a f x >恒成立 ⇔ ；()a f x <恒成立 ⇔ ；()a f x >有解 ⇒ ； ()a f x <恒成立 ⇒ ； ⒊ 函数21log y x m x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭定义域为[)2+∞，，求实数m 的取值范围（你对恒成立问题有哪些认识？例题探究1、问题：当102x <≤时，不等式2310x ax +-≤恒成立，求实数a 的取值范围。
（反思解法，说出各种解法的特征以及所渗透的数学思想，）2、变式训练变题1：求最大的常数a ，使得对满足102x <≤的实数，恒有2310x ax +-≤。
变题2：设不等式120x x-≤的解集为A ，集合{}2310B x x mx =+-≤，若A B ⊆，求实数m 的取值范围。
变题3：当06x π<≤时，不等式23sin sin 10x a x +-≤恒成立，求实数a 的取值范围。
（体会知识间的纵横联系，体验从简单如何派生到复杂，掌握变式的思维方法。
）课堂练习⒈已知函数21()log f x x m x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，如果当[)2,x ∈∞时，()f x 恒有意义，求实数m 的取值范围⒉不等式22(1)(1)0(1)x a x a a a ++--<>在(1,1)x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围。
⒊若不等式2log 0a x x -≤在]1(0,2x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围。
（ 通过练习体会如何选择方法，感悟优化意识。
）本课小结：① 本节课你学到什么？② 本节课所探讨的问题有那些解法？③ 尝试选择最优解法提炼数学思想方法；注意挖掘题意，；思维拓展：设不等式221(1)x m x ->-对满足2m ≤的一切实数m 的值都成立，求x 的取值范围。
教案：一元二次不等式恒成立的问题
一元二次不等式恒成立的问题教学目标1. 会解决一元二次不等式恒成立的问题。
2. 进一步掌握一元二次不等式的解法。
3. 培养学生的分类讨论思想和数形结合思想。
教学重点：加强学生的分类讨论思想意识教学难点：提高学生利用数形结合的方法解决问题的能力教学过程：一、复习1．回顾一元二次不等式的解法，即“三个二次”之间的联系。
2．解一元二次不等式的步骤：一看（看是否标准型，非标准型须转化为标准型），二算（计算判别式及对应方程的解），三写（写出不等式的解集）。
3．解不等式(1)03532-2<-+x x (2)03-2<-+x x二、新授前面我们已经学习了一元二次不等式的解法，那现在看看一元二次不等式的 综合问题。
今天，我们就通过一个典型例题来研究不等式恒成立的问题。
典例：例、 关于的x 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：（一）讨论系数① 当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式变成常数不等式 。
② 当0)2(≠-a 时，原不等式是一元二次不等式。
（二）分类讨论①当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式可化为04<-，∴2=a 时，不等式恒成立。
② 当0)2(≠-a 时，不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 是一个一元二次不等式，此时对应方程04)2(2)2(2=--+-x a x a 应满足⎩⎨⎧<∆<-002a （这一充要条件是通过借助函数4)2(2)2(y 2--+-=x a x a 的图像，在图像上找出x 时0y <取什么值，而得到的。
强调数形结合思想。
）练习：不等式012<--kx kx 的解集为全体实数，求k 的取值范围。
举一反三：（提问，学生思考）1. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≤--+-x a x a 呢？2. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2>--+-x a x a 呢？3. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≥--+-x a x a 呢？ （以上三个问题由学生来完成）三、小结通过典例，得到以下结论：不等式02<++c bx ax 对一切实数恒成立（解集为R ），则系数应满足的条件：⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a （其他三种形式的不等式所得结论由学生自己归纳）。
高中数学必修五《不等式恒成立问题》优秀教学设计
恒成立问题（第一课时）
【学习目标】
1．能根据已知条件选择合适的方法，并能熟练准确地求出数列的通项公式；
2.独立思考，小组合作，理解转化与化归、分类讨论等数学思想方法；
3.积极主动展示，并能提出问题，从学习中体会数学的美及体验成功的快乐。
【知识准备】
1．？
2．？
【规律方法总结】
限时训练
计划使用时间：2017年4月6日至4月8日
班级：________姓名：_______学号：_____得分：
1.若关于x的不等式 恒成立，求m的取值范围。
2.若关于x的不等式 在R上恒成立，求m的取值范围。
3．关于x的不等式 的解集为R，求m的取值范围。
4．已知关于x的不等式 对任意的 恒成立，求m的取值范围.
【探究三】
例3.若函数 的定义域为R，求实数a的取值范围。
问题1：这个方程式可以化成哪两项的比？
问题2：从特殊到一般来写，你可以写多少个式子？
训练：
【规律方法总结】
【探究四】
例4已知 关于x的不等式 恒成立，求a的取值范围。
问题1：？
问题2：？
问题3：？
问题4：？
训练：已知关于x的不等式 对任意的 恒成立，求m的取值范围
探 究 案
【探究一】
例1.若关于x的不等式 恒成立，求m的取值范围。
问题1：？
问题2于x的不等式 恒成立，求m的取值范围。
【规律方法总结】
【探究二】
例2、若关于x的不等式 在R上恒成立，求m的取值范围。
问题1：？
问题2：？
问题3：？
问题4：列？
训练:
【规律方法总结】
不等式恒成立问题教案
教学过程一、课堂导入纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查，主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从实际教学来看，这部分知识能力要求高、难度大，是学生掌握最为薄弱，看到就头疼的题目．分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本节课我们将就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨．二、复习预习新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．三、知识讲解考点1函数性质法有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ． 类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或注：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）．考点2 分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．考点3 主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．考点4 数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为()()f xg x≤）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则≥（或()()f xg x可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．考点5 不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立，则等价于在区间D 上()max f x k >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立，则等价于在区间D 上的()min f x k <．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()maxD x f x k f x k ⇔⊆<⇔<(){}()()min D x f x k f x k ⇔⊆>⇔>，而含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k <()()f x k >成立(){}()min D x f x k f x k ⇔<≠∅⇔<I (){}()()max D x f x k f x k⇔<≠∅⇔>I ．四、例题精析考点一 函数性质法例1 （2012蚌埠二中考试）已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立．则m 取值范围是（ ） A ．()1,0- B ．[]1,0- C ．()(),10,-∞-+∞U D ．(]1,0-【规范解答】由不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，知0m =或⎩⎨⎧<+<0161602m m m 由此能求出m 的取值范围，解得01≤<-m ．考点二 分离参数法——极端化原则例2 已知函数x x x f ln )(=，当012>>x x 时，给出下列几个结论：①0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ；②1221)()(x x f x x f +<+；③)()(2112x f x x f x ⋅<⋅; ④当1ln 1->x 时，)(2)()(122211x f x x f x x f x >⋅+⋅.其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）．【规范解答】答案：③④试题分析：因为x x x f ln )(=，所以1ln )(+=x x f ‘，可知（0，1e ）递减，（1e，+∞）递增，故①错误；令x x x x x f x g -==ln -)()(，所以'()ln g x x =，可知)(x g 在（0,1）上递减，（1，+∞）上递增，故②错；令x x x x x x x x h x x f x h 1ln ln )(')()(2=-+=⇒=，所以h （x ）在（0，+∞）上递增，所以⇒<2211)()(x x f x x f )()(2112x f x x f x ⋅<⋅，故③正确；当1ln 1->x 时，可知ex x 112>>，又因为f （x ）在（1e，+∞）递增， 设111()()2()()x xf x xf x x f x ϕ=-+1'()()'()2()x f x xf x f x ϕ∴=+-112ln 2ln 0x x x x x =+->，又因为f （x ）在（1e，+∞）递增，所以1x x >时，1()()f x f x >即11ln ln x x x x >，所以1x x >时，'()0x ϕ>，故()x ϕ为增函数，所以21()()x x ϕϕ>，所以2222111()()2()()x x f x x f x x f x ϕ=-+1()0x ϕ>=，故④正确.考点三 主参换位——反客为主法 例3已知函数c bx x x x f ++-=2321)( （1）若)(x f 在),(+∞-∞上是增函数，求b 的取值范围；（2）若)(x f 在1=x 处取得极值，且[]2,1-∈x 时，2)(c x f <恒成立，求c 的取值范围．【规范解答】解题思路：（1）利用“若函数)(x f 在某区间上单调递增，则0)('≥x f 在该区间恒成立”求解； （2）先根据)(x f 在1=x 处取得极值求得b 值，再将恒成立问题转化为求2max )(c x f <，解关于c 的不等式即可. 规律总结：若函数)(x f 在某区间上单调递增，则0)('≥x f 在该区间恒成立；“若函数)(x f 在某区间上单调递减，则0)('≤x f 在该区间恒成立；求函数最值的步骤：①13121226322322a a ora -<<⎧⎪⎨≥≤⎪⎩ 求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值.试题解析:（1）'2()3f x x x b =-+因)(x f 在),(+∞-∞上是增函数，则f′(x)≥0，即3x 2－x ＋b≥0， ∴b≥x －3x 2在(－∞，＋∞)恒成立．设g(x)＝x －3x 2，当x ＝16时，g(x)max ＝112，∴b≥112.（2）由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b ＝－2.x ∈[－1,2]时，f(x)＜c 2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c 2即可因f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－23.∵f(1)＝－32＋c，f(－23)＝2227＋c，f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c，∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，∴2＋c＜c2，解得c＞2，或c＜－1，所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).考点四 数形结合例4设函数)()1()(2R a ax e x x f x ∈--=.(1)当21=a 时,求函数)(x f 的单调区间; (2)若当0≥x 时0)(≥x f ,求a 的取值范围.【规范解答】试题分析：（1）由21=a 得到221)1()(x e x x f x --=,求其导数)1)(1(1)('+-=-+-=x e x xe e x f x x x ,解不等式0)('>x f 得到函数的增区间, 解不等式0)('<x f 得到函数的减区间;（2）法一:由当0≥x 时0)(≥x f 得: 0)1()1()(2≥--=--=ax e x ax e x x f x x 等价于: 01≥--ax e x 在0≥x 时恒成立,令ax e x g x --=1)(,注意到0)0(=g ,所以只需),0[0)('+∞∈≥x x g 在上恒成立即可,故有0≥-a e x 在),0[+∞上恒成立,则),0[,+∞∈≤x e a x 所以有1≤a .法二:将01≥--ax e x 在0≥x 时恒成立等价转化为:),0[,1+∞∈+≥x ax e x 恒成立⇔函数),0[,+∞∈=x e y x 的图象恒在函数),0[,1+∞∈+=x ax y 图象的上方,由图象可求得a 的取值范围.试题解析：（1）当21=a 时，221)1()(x e x x f x --=， )1)(1(1)('+-=-+-=x e x xe e x f x x x当)1,(--∞∈x 时，0)('>x f ；当)0,1(-∈x 时，0)('<x f 时， 当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，∴增区间),0[,]1,(+∞--∞，减区间]0,1[-（2）由当0≥x 时0)(≥x f 得: 0)1()1()(2≥--=--=ax e x ax e x x f x x 等价于: 01≥--ax e x 在0≥x 时恒成立,等价转化为:),0[,1+∞∈+≥x ax e x 恒成立⇔函数),0[,+∞∈=x e y x 的图象恒在函数),0[,1+∞∈+=x ax y 图象的上方,如图:,由于直线),0[,1+∞∈+=x ax y 恒过定点，而1)(00'===e e x x ，所以函数),0[,+∞∈=x e y x 图象在点（0，1）处的切线方程为：1+=x y ，故知：1≤a ，即a 的取值范围为]1,(-∞.五、课堂运用【基础】1、定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足x x f x f >')()(，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <【规范解答】答案：试题分析：∵f(x)在(0,)+∞上单调递减，∴'()0f x <,又∵x x f x f >')()(，∴f(x)<'()xf x ,令0)()(')('g ,)()(g 2>-=∴=x x f x xf x x x f x ，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，∴g(2)>g(1),即2)2(f 3)3(f >，即3f(2)<2f(3),A 正确． 考点：利用导数证明抽象函数不等式．2．下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（ ）A ．sin 1x x >-+B ．20x x ->C ．ln(1)x x >+D ．x e ex >【规范解答】答案：C 试题分析：对于A ，可转化为x+sinx>1，取x=0，结合函数x+sinx 的连续性可知A 错误，对于B 取x=2，可知B 错误，对于D 取x=1，可知D 错误，对于C ，令f(x)=x-ln(1+x),则01111)('f >+=+-=xx x x ，∴f(x)在),0(+∞上单调递增，∴f(x)>f(0)=0,即x>ln(1+x)成立．【巩固】1.若函数1)(23+-=ax x x f 在)2,0(上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A.3≥aB.3=aC.3≤aD.30＜a＜【规范解答】答案：A 试题分析：()()2'3232f x x ax x x a =-=-，因为函数()f x 在)2,0(上单调递减，则在)2,0(上()'0f x ≤即320x a -≤恒成立，等价于32x a ≥在)2,0(上恒成立，所以3232a ⨯≥=。
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
学习过程一、复习预习考纲要求：1．理解导数和切线方程的概念。
2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。
3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。
4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题二、知识讲解1.导数的计算公式和运算法那么几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法那么：法那么1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法那么2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法那么3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭复合函数的导数：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，那么复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'2.求直线斜率的方法〔高中范围内三种〕(1) tan k α=〔α为倾斜角〕； (2) 1212()()f x f x k x x -=-，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= 〔在0x x =处的切线的斜率〕；3.求切线的方程的步骤：〔三步走〕〔1〕求函数()f x 的导函数()f x '；〔2〕0()k f x '= 〔在0x x =处的切线的斜率〕；〔3〕点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-；4.用导数求函数的单调性：〔1〕求函数()f x 的导函数()f x '；〔2〕()0f x '>，求单调递增区间；〔3〕()0f x '<，求单调递减区间；〔4〕()0f x '=，是极值点。
高中数学同步教学课件 培优课 不等式恒成立、能成立问题
(1)如图①,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一
元二次不等式ax 2 +bx+c>0(a≠0)的解集为R⇔一元二次函数
> 0,
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ቊ
< 0.
图①
反
思
感
悟
(2)如图②,一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一
∴m≥2x2-8x+6能成立,
令y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2,
∴m≥-2,
∴m的取值范围为[-2,+∞).
课堂小结
1.知识清单:
(1)在R上的恒成立问题.
(2)给定区间上的恒成立问题.
(3)简单的能成立问题.
2.方法归纳:等价转换、数形结合.
3.常见误区:要注意端点值的取舍.
四
所以a<-2,故实数a的取值范围是(-∞,-2).
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8.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是 (-3,1] .
当k=1时,-1<0恒成立;
− 1 < 0,
当k≠1时,由题意得ቊ
( − 1)2 +4( − 1) < 0,
当且仅当x=2,y=8时,x+ 取得最小值4.
4
由x+ <m2-3m有解,可得m2-3m>4,
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教师： 学生： 时间: 2018年 2月 日 时段：高中 一、授课目的与考点分析：授课目的：在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。
同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。
本人根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。
法一：转换主元法。
适用于一次型函数。
法二：化归二次函数法。
适用于二次型函数。
法三：分离参数法。
适用于一般初等函数。
法四：数型结合法。
二、授课内容 不等式恒成立问题1) 一、常见类型 1. 1.恒成立问题若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 2 2. 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.3 3. 恰成立问题若不等式()f x A >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()f x A >的解集为D ； 若不等式()f x B <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()f x B <的解集为D .二、 四种常见的方法法一：转换主元法。
适用于一次型函数。
法二：化归二次函数法。
适用于二次型函数。
法三：分离参数法。
适用于一般初等函数。
法四：数型结合法。
在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。
同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。
在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。
所以以题为本，关键抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，不拘泥于一种方法。
三、函数型恒成立在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f环球教育个性化辅导教案提纲],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的三、例题分析：1．转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
此方法通常化为一次函数。
例1：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2)根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->+01-2x 2x 03-2x 2x 22解之：得x 的取值范围为231x 271+<<+- 变式练习1-1对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.2．化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。
结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。
例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y) ，若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<<解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x 成立即x 2-x-a 2+a+1>0对x ∈R 恒成立记f(x)=x 2-x-a 2+a+1 ，则应满足(-1)2-4(-a 2+a+1)<0 化简得 4a 2-4a-3<0解得 2321<<-a ,故选择C 。
例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
解：设f(x)=x 2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0≤x ≤1上的最小值大于0，求m 的取值范围。
(1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，解 ⎩⎨⎧>+=<012m f(0)0m 得 21-<m<0(2)当0≤m ≤1时，f(x)在x=m 时取得最小值解 ⎩⎨⎧>++=≤≤012m -m f (m)1m 02得 0≤m ≤1 (3)当m>1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值解 ⎩⎨⎧>=>02f(1) 1m 得 m>1综合(1)(2)(3) 得 21m ->注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。
此型题目有时也可转化为后面的法3求解。
变式练习2-1设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a.ⅰ)当∆=4（a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x ∈[-1,+∞)，F(x) ≥0恒成立； ⅱ）当∆=4（a-1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0af 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2;综合可得a 的取值范围为[-3，1]。
变式练习2-2关于x 的方程9x +(4+a)3x +4=0恒有解，求a 的范围。
分析：题目中出现了3x 及9x ，故可通过换元转化成二次函数型求解。
解法1（利用韦达定理）：设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t 2+(4+a)t+4=0有正根。
⎪⎩⎪⎨⎧>=∙>+-=+≥∆∴040)4(02121x x a x x 即⎩⎨⎧-<≥-+4016)4(2a a ⎩⎨⎧-<-≤≥∴480a a a 或 解得a ≤-8. 3．分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。
例5 已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
-1 oxy分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2上式等价于 ⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a 解得≤54a<8.注：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。
变式练习3-1、当)2,1(∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，则m 的取值范围是 .解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x +==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5maxf x f ==，则2min 4()5x x +->-∴5m ≤-.变式训练3-2：已知向量a =(x 2,x+1), b =(1-x,t) 若函数f(x)＝a ·b在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围。
解：依题意，f(x)＝x 2(1-x)+(x+1)t=-x 3+x 2+tx+t 则f ＇(x)=-3x 2+2x+t∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有f ＇(x)≥0即-3x 2+2x+t ≤0在x ∈(-1，1)上恒成立设g(x)=3x 2-2x∴t ≥g(-1) 即 t ≥54.数型结合法例6：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是1k 0≤≤ 解析：画出y 1=1x +,y 2=kx 的图像，由图可看出 0≤k ≤1K=1例7：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围(] 2,11,21⎪⎭⎫⎢⎣⎡解析：不等式x 2-a x <21可化为 a x > x 2-21画出y 1= a x ,y 2= x 2-21的图像。