24.1圆复习课

A
M└
●
B O
(5)平分优弧.
知二得三
注意:
( 错) “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
D
对垂径定理的理解
一条直线若满足：
（1）过圆心；（2）垂直于弦； 则可推出：
（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；
（5）平分弦所对的劣弧
圆的对称性：
2、圆的旋转对称性：
弧、弦、圆心角的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相 等， 所对的弦相等 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相 等，所对的弧相等．
∵CD为∠ACB的平分线，
A O B
ABD 中， AD 2 BD 2 AB 2
∴AD=BD,又在Rt ∴
D
2 AD BD AB 5 2cm 2
教学说明：充分利用直径所对的圆周角为直角，解直角三角形。
(练) 如图，
AB 是⊙O的直径，点
，则
C，D 是圆上两点，
________．
.
A
图形中存在等腰三角形；
O E
图形中的直角三角形的三边分别 B
与圆的元素：弦、弦心距、半径有着一 定的数 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所的两条弧 . C
A B O
M└
●
③AM=BM,
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
④AC=BC,
矩形ABCD与圆O交于A,B,E,F DE=1cm,EF=3cm,则AB=___ E D
A F C B
四、圆心角(同侧)、弦、弧、弦心距、圆 周角
前四组量中有一组量相等，其余各组量也相等； 注意：圆周角有两种情况 圆周角的推论应用广泛
在⊙O中，弦AB所对的圆心角 ∠AOB=100°，则弦AB所对的 圆周角为____________.
A 了解圆周角与圆心角 的关系；了解直径所 对的圆周角是直角
C 能综合运用 几何知识解 决与圆周角 有关的问题
垂径 定理
会在相应的图形中确 定垂径定理的条件和 结论
能用垂径定理解 决有关问题
圆的有关概念： 1.关于圆的定义 2.关于弦、弧、圆心角、圆周角
圆的对称性
1．圆的轴对称性： 垂径定理
C 利用轴对称性可得到的相等元素；
练习 1.如图,则∠1+∠2=__
1
.
2
3.圆周上A,B,C三点将圆周 分成1:2:3的三段弧AB,BC,CA,则△ABC 的三个内角∠A,∠B,∠C 的度数依次为________
六、近年中考圆的知识考查情况
题型 2008 2009 选择题3与解答题19 填空题10解答题19 分值 9 （不含8题） 9 （不含8题） 9
典型例题 1.在两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C、D两点，问AC和BD相等 吗？如果相等，请加以证明.
A C
O
E
D B
解：相等.过O点作OE⊥AB于E
∵OE⊥AB ∴AE=EB，CE=ED ∴AC=DB
过圆心
作弦的垂线
典型例题 １.如图，已知AD=BC．求证AB=CD A . O C
D
B
变式：如图，如果弧AD=弧BC ．求证：AB=CD
A
E
C
（2）∵D，F分别是AB，BC的中点， ∴DF∥AC，∠A＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠GEF，∴∠A＝∠GEF.
专题一：与圆有关的辅助线的作法： 辅助线， 莫乱添， 规律方法记心间；圆半径， 不起眼， 角的计算常要连，构成等腰解疑难； 弦与弦心距， 亲密紧相连；
切点和圆心，
连结要领先； 灵活应用才方便。
1 BD 2
(练)如图， 平分
AB，AC 是圆的两条弦，
AD 是圆的一条直径，且
） D
AD
BAC ，下列结论中不一定正确的是（
B C
B、
A、
BD CD
D、
C、 BC
AD且弦BC被AD平分
B
AB DB
A
D
C
应用提高
例3.如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E均在⊙O上，且 ，那么∠ACD的度数是（ A．60° B．50° ） ∠BED=30°
B A
●
O
B
A
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧 所对的圆心角的一半. 推论:直径所对的圆周角是 直角 . 90°的圆周角所对的弦是 直径 . 判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×) (2)相等的圆周角所对的弧相等. (3) 等弧所对的圆周角相等. (×) (√)
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗
●
B
O

M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
可推得
④AC=BC,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3) 平分弦 ； (4)平分劣弧；
2.已知AB是⊙O的直径，OD∥AC. 那么CD 和BD有什么关系？证明你的结论
C D
A
0
B
知识巩固
例1．如下图所示，已知在圆O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm， ∠ACB的平分线交圆O于D，求BC、AD、BD的长。 解：∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB= 在Rt
C
90
ACB中，BC AB2 AC2 8cm
A
C．40° D．30°
例4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径 的⊙O交△ABC的边于G，F，E点. 求证：（1）F是BC的中点；（2）∠A＝∠GEF.
B G D
O
证明：（1）连结DF，∵∠ACB＝90° 1 ，D是AB的中点，∴BD＝DC＝ AB，
2
F
∵DC是⊙O的直径，∴DF⊥BC. ∴BF＝FC，即F是BC的中点.
AOC 100
D
例2．如下图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦 AD相交于点E，（1）你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ （2）连接OE、BD，你认为OE与BD之间的关系是怎样的？
D E B
答案
(1)OA=OB，CA=CO，AE=ED (2)OE∥BD且OE=
A
C
O
例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
2cm 或14cm . 距离是___
1.两条弦在圆心的同侧
O D
2.两条弦在圆心的两侧
A O D B
A C
●
B C
●
例.CD为⊙O的直径, 弦AB⊥CD于点 E,CE=1,AB=10, 求CD的长.
D O
A
.
E
B
C
练习
遇到直径想直角，
等对等定理整体理解：
(1) 圆心角
(2) 弧 (3) 弦 B
α
知 一 得 二
Oα
A B1
A1
圆周角
1.定理的获得 （1）根据圆心与圆周角的位置进行分类；
（2）由特殊到一般进行证明；
2.定理 强调同弧或等弧所对的圆周角 3.定理的推论 出现直角三角形
三、圆周角定理及推论 D
B
E
●
C
C
O
A C
●
O
24.1 圆复习课
考试要求
考试 内容
圆的 有关 概念
考试要求
A 理解圆及其有关概念 B 会过不在同一直 线上的三点作圆； 能利用圆的有关 概念解决简单问 题 能用弧、弦、圆 心角的关系解决 简单问题 C
圆的 性质
知道圆的对称性，了 解弧、弦、圆心角的 关系
能运用圆的 性质解决有 关问题
考试要求
考试 内容 圆周 角 考试要求 B 会求圆周角的度 数，能用圆周角 的知识解决与角 有关的简单问题
2010 2011
填空题10解答题19 解答题20
5 （不含25题）
近年中考题（2009）
10.（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB， E 为弧BC上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD= °．
近年中考题（2010）
11.（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂 足为点E，连结OC，若OC=5，CD=8，则 AE= ．