浙江省2017-2018学年高一上学期12月质检数学试卷 Word版含解析
浙江省宁波市2017-2018学年高一统考试数学试题
宁波市2017学年第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{1,3,4,7}A =，{1,2,4,6,7}B =，则()U C A B = （ ） A ．{3,6} B ．{5} C ．{2,3,5,6} D ．{1,2,3,4,5,6,7}2.下列函数中，在定义域内单调递增的是（ ）A ．0.5log y x =B ．sin y x =C ．2x y =D ．tan y x = 3.若幂函数()f x x α=的图像过点(4,2)，则(9)f 的值为（ ） A ．1 B ．3- C ．3± D ．3 4.若角α的终边经过点(1,1)P --，则（ ） A ．tan 1α= B ．sin 1α=-C.cos α=．sin α=5.在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点，则向量CD = （ ）A ．12BA BC -B ．12BA BC --C.12BA BC -+ D ．12BA BC +6.下列函数中，最小正周期为π，且图像关于直线6x π=对称的是（ ）A ．1sin()212y x π=-B ．sin(2)6y x π=+C.1cos()26y x π=+ D ．cos(2)6y x π=+7.函数||cos x xy e=的图像大致是（ ）A ．B ． C.D ．8.已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()x e f x g x =+，则()f x =（ ）A ．2x x e e --B ．2x x e e -+ C.2x x e e -- D ．2x x e e ---9.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：||||s i n m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c为非零向量，则下列说法错误．．的是（ ） A ．a b b a ⨯=⨯ B ．()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯ C.若0a b ⨯=，则//a b D ．()a b a b ⨯=-⨯10.已知[,]22ππα∈-，[,0]2πβ∈-，且211sin cos 2()()24παβαβ--=-，则sin()2αβ-=（ ）A ．12- B ．0 C.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知2log 3a =，则2log 9= （用a 表示），2a = ．12.已知(1,1)A -，(3,3)B ，(1,)a m =，且//AB a ，则||AB =，m = ．13.已知函数()=2sin()f x x ωϕ+(0,0)2πωω><<一部分图像如图所示，则ω= ，函数()f x 的图像可以由()2sin g x x ω=的图像向左平移至少个单位得到．14.()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x =，且关于x 的方程2[()]4f x -()0f x a +=在R 上有三个不同的实数根，则(1)f -= ，a = ．15.弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是 ． 16.已知向量,a b 的夹角为3π，(0,1)a =，||2b =，则|2|a b -= ．17.函数65,1()2,1x x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩．若存在12x x <，使得12()()f x f x =，则12()x f x ⋅的最大值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知集合={|3}A x x a -≤≤，a R ∈，{|34,}B y y x x A ==+∈，2{|,}C z z x x A ==∈. （Ⅰ）若0a =，求A B ；（Ⅱ）若3a ≥，且B C B = ，求a 的取值范围.19.已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,)2x π∈，求函数()f x 的最大值以及取得最大值时x 的值.20.如图所示，四边形ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=.（Ⅰ）求AB AC ⋅的值；（Ⅱ）若点P 在线段AB 及BC 上运动，求()AB AC AP +⋅的最大值.21.已知,(0,)2παβ∈，sin α=sin β=. （Ⅰ）求cos()αβ+的值；（Ⅱ）是否存在,(0,)2x y π∈，使得下列两个式子：①2x y αβ+=+；②t a n t a n 22xy ⋅=-同时成立？若存在，求出,x y 的值；若不存在，请说明理由. 22.已知函数2()log (1)f x x =+，()||g x x x a =-.（Ⅰ）若()g x 为奇函数，求a 的值并判断()g x 的单调性（单调性不需证明）；（Ⅱ）对任意1[1,)x ∈+∞，总存在唯一的2[2,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =成立，求正实数．．．a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CCDAA 6-10:BDABC二、填空题11.2a ，3 12.2 13.2，6π14.2，315.1 16.2 17.2524三、解答题18.解：（Ⅰ）由题可得0a =时，{|30}A x x =-≤≤，{|54}B y y =-≤≤. ∴{|30}A B x x =-≤≤ .（Ⅱ）∵B C B = ，∴C B ⊆，{|534}B y y a =-≤≤+.3a ≥时，2{|0}C z z a =≤≤. ∴234a a ≤+，14a -≤≤. ∴34a ≤≤.19.解：（Ⅰ）()2cos2f x x x +2sin(2)6x π=+.∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （Ⅱ）∵(0,)2x π∈，()2sin(2)6f x x π=+，∴72(,)666x πππ+∈∴max ()2f x =. 此时262x ππ+=，∴6x π=.20.解：（Ⅰ）以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，∴(2,0)B，C ，(2,0)AB =，AC =.∴6AB AC ⋅= .（Ⅱ）AB AC +=，设(,)P x y，∴()5AB AC AP x +⋅=.所以当点P 在点C 处时，()AB AC AP +⋅的值最大，最大值为18.21.解：（Ⅰ）∵,(0,)2παβ∈，sin α=sin β=，∴cos α=cos β=∴1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-= （Ⅱ）∵(0,)αβπ+∈，∴3παβ+=，∴23x y παβ+=+=.∴tan tan 2tan()21tan tan 2xyx y x y ++==-⋅∵tan tan 22x y ⋅=tan tan 32xy +=∴tan 2x，tan y是方程2(320t t -+的两个根.∵,(0,)2x y π∈，∴0tan 12x <<，∴tan 22x=tan 1y =.∴4y π=，6x π=.即存在6x π=，4y π=满足①②两式成立的条件.22.解：（Ⅰ）∵()g x 为奇函数，∴()()(||||)0g x g x x x a x a +-=--+=恒成立. ∴0a =.此时()||g x x x =，在R 上单调递增.（Ⅱ）1[1,)x ∈+∞，2()log (1)f x x =+，∴1()[1,)f x ∈+∞22,(),x ax x ag x x ax x a⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩. ①当2a ≤时，2()g x 在[2,)+∞上单调递增，∴(2)421g a =-≤，32a ≥，∴322a ≤≤②当24a <<时，2()g x 在[2,]a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增. ∴(2)421g a =-+<，52a <，∴522a <<③当4a ≥时，2()g x 在[2,]2a 上单调递增，在[,]2a a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增.∴22()()1222a a a g =-+<，22a -<<，不成立. 综上可知，3522a ≤<.。
2017-2018学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷(精编含解析)
2017-2018学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合U =R ，A ={x |-1≤x ≤1}，B ={x |0≤x ≤2}，则A ∩（∁U B ）=（ ）A. [−1,0]B. [−1,0)C. (−1,0)D. [0,1]2. 下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. y =x 3B. y =2xC. y =2|x|D. y =−lg|x|3. 已知A （-1，1），B （-3，4），平面向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是（ ） A. (2,3) B. (−2,−3) C. (2,−3) D. (−2,3) 4. 函数f （x ）=2x -8+log 3x 的零点一定位于区间（ ）A. (5,6)B. (3,4)C. (2,3)D. (1,2) 5. 已知平面向量a ⃗ =（2m +1，3）b ⃗ =（2，m ），且a ⃗ ∥b ⃗ ，则实数m 的值等于（ ）A. 2或−32B. 32C. −2或32D. −276. 若f(x)=log 23(x 2−6x +5)在（a ，+∞）上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A. (3,+∞) B. (5,+∞) C. [3,+∞) D. [5,+∞) 7. 若f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）=2x ，则f （log 49）=（ ）A. 13B. 3C. −13D. −38. 已知函数f （x ）=x 2+bx +c 且f （1+x ）=f （-x ），则下列不等式中成立的是（ ）A. f(−2)<f(0)<f(2)B. f(0)<f(−2)<f(2)C. f(2)<f(0)<f(−2)D. f(0)<f(2)<f(−2)9. 已知△ABC 中，AB =AC =2，BC =2√3，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值（ ）A. 与P 的位置有关，最大值为2B. 与P 的位置无关，为定值2C. 与P 的位置有关，最大值为4D. 与P 的位置无关，为定值4 10. 已知函数f(x)=|−tx−2t+4x+2|在区间[-1，2]上的最大值为2，则t 的值等于（ ）A. 2或3B. 1或3C. 2D. 3二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 11. 已知a ⃗ =(1，1)，b ⃗ =(2，3)，则|a ⃗ +b ⃗ |=______． 12. 函数f （x ）=x α的图象过点(√22，12)，则α的值为______．13. 若a ＞0且a ≠1，则函数y =a x -1-1的图象经过定点______．14. 函数y =√log 2(2x −1)的定义域是______． 15. 若2a =5b =10，则1a +1b =______．16. 已知f(x)={x 3+2(x ≥0)2x (x ＜0)，若f （a ）=10，则a 的值等于______．17. 若函数f （x ）=（1-x 2）（x 2+bx +c ）的图象关于直线x =-2对称，则b +c 的值是______．18. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ −2b ⃗ |=|a ⃗ +3b⃗ |=2，则|a ⃗ |的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）19.已知集合A={x|m-2＜x＜m+1}，B={x|1＜x＜5}．（Ⅰ）若m=1，求A∪B；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数m的取值范围．20.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，a⃗=3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =2e1⃗⃗⃗ −3e2⃗⃗⃗ ．（1）求a⃗⋅b⃗ ；（2）求a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角．21.已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足条件f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；，3]时，函数y=g（x）的图象与y=f（2x）的图象有且只有一个（Ⅱ）设g（x）=mx-3，已知当x∈[12公共点，求m的取值范围．22.已知函数f(x)=a x−ka−x（a＞0且a≠1）是奇函数．k（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）若a=2，g（x）=a2x+a-2x-2mf（x），且g（x）在[0，1]上的最小值为1，求实数m的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∁U B={x|x＜0，或x＞2}；∴A∩（∁U B）={x|-1≤x＜0}=[-1，0）．故选：B．进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，以及补集和交集的运算．2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于B，y=2x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y=2|x|，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，y=-lg|x|，是偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：．故选：D．根据A，B两点的坐标即可求出向量的坐标．考查向量坐标的概念，根据点的坐标求向量坐标的方法．4.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=2x-8+log3x是连续函数，f（3）=-1，f（4）=log34＞0，f（3）f（4）＜0，故函数f（x）=2x-8+log3x的零点一定位于区间（3，4）内，故选：B．根据连续函数f（x）的解析式，求出f（3）和f（4）的值，根据f（3）f（4）＜0，由函数的零点的判定定理得出结论．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵∥，∴m（2m+1）-6=0，化为2m2+m-6=0，解得m=或-2．故选：C．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：设t=x2-6x+5x2-6x+5＞0，解得x＜1或x＞5．在（-∞，1）上t=x2-6x+5是递减的，也是递减的，所以以在（-∞，1）上是单调递增的，在（5，+∞）t=x2-6x+5是递增的，y=log x也是递减的，所以以在（5，+∞）上是单调递减的，所以a≥5．故选：D．设t=x2-6x+5，由x2-6x+5＞0，解得x＜1或x＞5．在（5，+∞）t=x2-6x+5是递增的，也是递减的，所以在（5，+∞）上是单调递减的，由此求解即可．本题考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．7.【答案】C【解析】解：根据题意，log49=log23＞0，当x＜0时，f（x）=2x，则f（-log49）=f（-log23）=f（）==；则f（log49）=-f（-log49）=-；故选：C．根据题意，由对数的运算性质可得log49=log23＞0，结合函数的解析式可得f（-log49）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵f（1+x）=f（-x），故函数f（x）的图象关于直线x=对称又由函数图象的开口朝上故函数f（x）在（，+∞）上为增函数故f（0）=f（1）＜f（2）＜f（-2）=f（3）故选：D．由已知分析出函数图象的开口方向和对称轴方程，进而得到函数的单调性，可比较几个函数值的大小，得到答案．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据已知分析出函数图象的开口方向和对称轴方程，进而得到函数的单调性，是解答的关键．9.【答案】B【解析】解：取BC中点D，连结AD，∵△ABC中，AB=AC=2，，点P为BC边所在直线上的一个动点，∴AD==1，AD⊥BC，cos∠PAD=，=2，∴=2=2||•||cos∠PAD=2||2=2．∴与P的位置无关，为定值2．故选：B．取BC的中点D，则AD=1，由平行四边形法则，=2，从而=2，由此能求出结果．本题考查平面向量的数量积的运算，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】A【解析】解：函数，即f（x）=|-t|，可得y=在[-1，2]递减，可得y∈[1，4]，则y=-t在[-1，2]的值域为[1-t，4-t]，由f（x）在区间[-1，2]上的最大值为2，可得4-t=2，|1-t|≤2，解得t=2；或1-t=-2，且|4-t|≤2，解得t=3，故选：A．由y=在[-1，2]递减，可得y∈[1，4]，结合f（x）在区间[-1，2]上的最大值为2，可得4-t=2，|1-t|≤2，或1-t=-2，且|4-t|≤2，计算可得所求值．本题考查函数的最值求法，注意运用函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．11.【答案】5【解析】解：；∴．故答案为：5．可求出向量的坐标，进而求出．考查向量坐标的加法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法．12.【答案】2【解析】解：函数f（x）=xα的图象过点，∴=（）α，解得α=2，故答案为：2．代值计算即可求出．本题考查了幂函数的解析式，属于基础题．13.【答案】（1，0）【解析】解：∵函数y=a x的图象过点（0，1），而函数y=a x-1-1的图象是把函数y=a x的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，∴函数y=a x-1-1的图象必经过的点（1，0）．故答案为：（1，0）．由指数函数的图象恒过定点（0，1），再结合函数图象的平移得答案．本题考查指数函数的图象变换，考查指数函数的性质，是基础题．14.【答案】[1，+∞）【解析】解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故答案为：[1，+∞）根据函数成立的条件，即可得到结论．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．15.【答案】1【解析】解：因为2a=5b=10，故a=log210，b=log510=1故答案为1．首先分析题目已知2a=5b=10，求的值，故考虑到把a和b用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．16.【答案】2【解析】解：∵，f（a）=10，∴当a≥0时，f（a）=a3+2=10，解得a=2；当a＜0时，f（a）=2a=10，解得a=5，不合题意，舍．综上，a的值是2．故答案为：2．当a≥0时，f（a）=a3+2=10；当a＜0时，f（a）=2a=10．由此能求出a的值．本题考查函数值的求法，考查函数定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】23【解析】解：由题意，令函数f（x）=0，即（1-x2）（x2+bx+c）=0，其中两个零点为1，-1，图象关于直线x=-2对称，那么另外两个零点分别为-3，-5．即x2+bx+c=0的两个根分别为-3，-5．由韦达定理：-b=-3-5，即b=8c=（-3）×（-5）=15则b+c=23．故答案为：23．根据函数f（x）=0，即（1-x2）（x2+bx+c）=0，其中两个零点为1，-1，图象关于直线x=-2对称，可得另外两个零点，即可求出b，c的值．本题考查了对称问题，利用零点求解对称点，转化为二次函数零点求解；属于中档题．18.【答案】[2，2]5【解析】解：因为向量满足，所以，|3-6|=6，|2+6|=4，所以，由绝对值三角不等式可得，=10，即2≤|5|≤10，所以a∈[，2]，故答案为：[，2]．根据向量的模的性质，利用绝对值三角不等式，求得的取值范围．本题主要考查向量的模的性质，绝对值三角不等式的应用，属于基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）由m=1得，A={x|-1＜x＜2}；∴A∪B={x|-1＜x＜5}；（Ⅱ）∵A ∩B =A ； ∴A ⊆B ； ∴{m +1≤5m−2≥1；解得3≤m ≤4；∴实数m 的取值范围为[3，4]． 【解析】（Ⅰ）m=1时，得出集合A ，然后进行并集的运算即可； （Ⅱ）根据A∩B=A 可得A ⊆B ，从而得出，解出m 的范围即可．考查描述法表示集合的概念，并集的运算，交集和子集的概念．20.【答案】解：∵e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为600的两个单位向量，∴|e 1⃗⃗⃗ |=1，|e 2⃗⃗⃗ |=1，e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =|e 1⃗⃗⃗ ||e 2⃗⃗⃗ |cos600=12 （1）a ⃗ ⋅b ⃗ =(3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )⋅(2e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ )=6e 1⃗⃗⃗ 2−13e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +6e 2⃗⃗⃗ 2=6−13×12+6=5.5（2）a ⃗ +b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ +2e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ =5(e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )，a ⃗ +b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=5(e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )⋅(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )=5(e 1⃗⃗⃗ 2−e 2⃗⃗⃗ 2)=0， ∴a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为900． 【解析】（1）利用向量的数量积运算即可得出； （2）利用向量的数量积与垂直的关系即可得出．本题考查了向量的数量积运算、向量的数量积与垂直的关系，属于基础题． 21.【答案】解：（Ⅰ）由f （0）=1 得 c =1，由f （x +1）-f （x ）=2x （x ∈R ），得[a （x +1）2+b （x +1）+1]-（ax 2+bx +1）=2x ， 化简得，2ax +a +b =2，所以2a =2，a +b =0，则a =1，b =-1．所以f （x ）=x 2-x +1； （Ⅱ）由（Ⅰ）得f （2x ）=4x 2-2x +1由题意得mx -3=4x 2-2x +1在x ∈[12，3]上只有唯一解， m =4x 2−2x+4x=4（x +1x ）-2在x ∈[12，3]上只有唯一解，令y =m ，h （x ）=4（x +1x ）-2，x ∈[12，3]， 又h ′（x ）=4-4x 2，令h ′（x ）＜0，得12≤x ＜1，令h ′（x ）＞0，得1＜x ≤3，所以h（x）在[12，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，又h（12）=8，h（1）=6，h（3）=343，所以m=6或8＜m≤343．【解析】（Ⅰ）由方程恒成立，等式两边对应项系数相等可求得a，b，c；（Ⅱ）将函数图象交点问题转化为方程的根的问题，再构造函数，利用函数函数草图可得．本题考查了二次函数、函数与方程思想、导数的应用．属中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1-k=0，∴k=1；（Ⅱ）因为a=2，所以g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2，令t=2x-2-x，因为f（x）=2x-2-x在0≤x≤1是增函数，可得t∈[0，32]．令h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2，t∈[0，32]，①若m≤0，h（t）min=h（0）=2≠1，不合题意；②若0＜m＜32，h（t）min=h（m）=2-m2=1，解得m=±1，因为0＜m＜32，所以m=1；③若m≥32，h（t）min=h（32）=174-3m=1，解得m=1312＜32，舍去．综上可得m=1．【解析】（Ⅰ）由奇函数的性质可得f（0）=0，解方程可得k；（Ⅱ）因为a=2，求得g（x）的解析式，可设t=2x-2-x，由指数函数的单调性可得t的范围，设h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2，t∈[0，]，讨论对称轴与区间的关系，可得最小值，解方程即可得到所求m的值．本题考查函数的奇偶性的定义和性质，考查换元法和指数函数和二次函数的单调性的运用，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．。
浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析
浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=（2，0），=（﹣1，3），则+与﹣的坐标分别为（ ） A ．（3，3），（3，﹣3） B ．（3，3），（1，﹣3） C ．（1，3），（3，3） D ．（1，3），（3，﹣3）2．函数y=a x+2+1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过的定点是（ ） A ．（﹣2，0） B ．（﹣1，0） C ．（0，1） D ．（﹣2，2）3．已知向量，不共线，且=λ+， =+（2λ﹣1），若与共线反向，则实数λ值为（ ）A ．1B ．﹣C ．1或﹣D ．﹣1或﹣4．已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3+x 2+1，则f （1）+g （1）=（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1D ．35．下列函数f （x ）中，满足“∀x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1≠x 2，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0”的是（ ）A ．f （x ）=2xB ．f （x ）=|x ﹣1|C ．f （x ）=﹣xD ．f （x ）=ln （x+1）6．对于幂函数，若0＜x 1＜x 2，则，大小关系是（ ）A ．＞B ．＜C ．=D ．无法确定7．已知x 2+y 2=1，x ＞0，y ＞0，且，则log a y 等于（ ）A ．m+nB ．m ﹣nC ．（m+n ）D ．8．若直角坐标平面内A 、B 两点满足条件：①点A 、B 都在f （x ）的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则对称点对（A ，B ）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上是增函数，则m= ．10．已知f（x）=，则f（f（﹣2））= ．11．若，则a的取值范围．12．若2x=3y=5z，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为．13．D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，则= ．14．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①当c=0时，y=f（x）是奇函数；②当b=0，c＞0时，函数y=f（x）只有一个零点；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；④函数y=f（x）至多有两个零点．其中正确命题的序号为．15．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|（x﹣a）•（x﹣3a）＜0}．（1）若a=1，求A∩B；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．17．设，是二个不共线向量，知=2﹣8， =+3， =2﹣．（1）证明：A、B、D三点共线（2）若=3﹣k，且B、D、F三点共线，求k的值．18．已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且函数f（x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]上的最大值．x）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1 19．已知函数f（x）满足f（loga（1）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的集合；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若a=1，求方程f（x）=g（x）的解；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=（2，0），=（﹣1，3），则+与﹣的坐标分别为（）A．（3，3），（3，﹣3） B．（3，3），（1，﹣3） C．（1，3），（3，3）D．（1，3），（3，﹣3）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的坐标运算的法则计算即可．【解答】解： =（2，0），=（﹣1，3），则+=（2，0）+（﹣1，3）=（1，3）﹣=（2，0）﹣（﹣1，3）=（3，﹣3），故选：D2．函数y=a x+2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过的定点是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣2，2）【考点】指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数过定点的性质，即a0=1恒成立，即可得到结论．【解答】解：∵y=a x+2+1，∴当x+2=0时，x=﹣2，此时y=1+1=2，即函数过定点（﹣2，2）．故选D．3．已知向量，不共线，且=λ+， =+（2λ﹣1），若与共线反向，则实数λ值为（）A．1 B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的充要条件及反向时对系数的要求得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组求解．【解答】解：据题意向量，不共线，且=λ+， =+（2λ﹣1），若与共线反向，存在m（m＜0）使得=m，即λ+=m+（2λ﹣1）m，∵，不共线∴∴m=﹣故选：B．4．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．5．下列函数f（x）中，满足“∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0”的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=|x﹣1| C．f（x）=﹣x D．f（x）=ln（x+1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】易得所求函数在区间（0，+∞）上为减函数，逐个验证：A 为增函数；B 在（1，+∞）单调递增；C 符合题意；D 在（﹣1，+∞）上单调递增，可得答案．【解答】解：由题意可得函数在区间（0，+∞）上为减函数， 选项A 为指数函数，为增函数，故不合题意；选项B ，f （x ）=，故函数在（1，+∞）单调递增，不合题意；选项C ，由f′（x ）=＜0可知函数在（0，+∞）上为减函数，符合题意；选项D ，函数在（﹣1，+∞）上单调递增，故不合题意， 故选C6．对于幂函数，若0＜x 1＜x 2，则，大小关系是（ ）A ．＞B ．＜C ．=D ．无法确定【考点】幂函数的图象．【分析】根据幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x 1＜x 2时，应有＞，由此可得结论．【解答】解：∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，∴当0＜x 1＜x 2时，应有＞．故选：A ．7．已知x 2+y 2=1，x ＞0，y ＞0，且，则log a y 等于（ ）A ．m+nB ．m ﹣nC ．（m+n ）D ．【考点】对数的运算性质．【分析】由题设条件，先求出1+x和1﹣x的值，然后由y2=（1+x）（1﹣x）得到y的值．y2的值，两边取以a为底的对数，能求出loga【解答】解：∵x2+y2=1，x＞0．y＞0，∴1+x=a m，，1﹣x=a﹣n，∴1﹣x2=a m﹣n，∴y2=a m﹣n，∴．故选D．8．若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值．【分析】首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e x+x2+2x零点的个数即可．【解答】解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是，化为2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）=2e x+2x+2，令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．故选B．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上是增函数，则m= 2 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义得到，m2﹣m﹣1=1，再由单调性得m＞0，求出m即可．【解答】解：由幂函数的定义，得：m2﹣m﹣1=1，∴m=﹣1或m=2，∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且m∈Z，∴m＞0，∴m=2．故答案为：2．10．已知f（x）=，则f（f（﹣2））= 14 ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】由已知f（x）=，将x=﹣2代入可得答案．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=4，∴f（f（﹣2））=f（4）=14，故答案为：14．11．若，则a的取值范围．【考点】对数函数的单调性与特殊点．x在（0，+∞）单调【分析】当a＞1时，由，结合函数y=logax在（0，+∞）单调递递增；当0＜a＜1时由，结合函数y=loga减可求a【解答】解：由=logax在（0，+∞）单调递增当a＞1时，函数y=loga由可得∴a＞1x在（0，+∞）单调递减当0＜a＜1时，函数y=loga由可得综上可得，故答案为：12．若2x=3y=5z，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为3y＜2x ＜5z ．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】先将指数式化为对数式，再由作差判断大小．【解答】解：令2x=3y=5z=t，则t＞1，，，，∴，∴2x＞3y；同理可得：2x﹣5z＜0，∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z．故答案为：3y＜2x＜5z13．D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，则= 3 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，列出方程组求出λ与μ的表达式，即可求出+的值．【解答】解：如图所示，∵=+， =+=λ，∴=（1﹣λ）；又E，D，F三点共线，∴存在实数k，使=k=k（﹣）=kμ﹣kλ；又=﹣2，∴==﹣；∴（1﹣λ）=（kμ﹣kλ）﹣（﹣），即（1﹣λ）=（kμ﹣）+（﹣kλ），∴，解得μ=，λ=；∴+=3（1﹣k）+3k=3．故答案为：3．故答案为：3．14．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①当c=0时，y=f（x）是奇函数；②当b=0，c＞0时，函数y=f（x）只有一个零点；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；④函数y=f（x）至多有两个零点．其中正确命题的序号为①②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用函数奇偶性的定义可判断．②当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R 上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根．③利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称．④举出反例如c=0，b=﹣2，可以判断．【解答】解：①当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx为奇函数，故①正确．②b=0，c＞0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，故函数y=f（x）只有一个零点，故②正确．③因为f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c，所以f（﹣x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确．④当c=0，b=﹣2，f（x）=x|x|﹣2x=0的根有x=0，x=2，x=﹣2，故④错误．故答案为：①②③．15．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|（x﹣a）•（x﹣3a）＜0}．（1）若a=1，求A∩B；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．【考点】交集及其运算．【分析】（1）求出A中不等式的解集确定出A，把a=1代入确定出B，求出A与B的交集即可；（2）由A与B交集为空集，分a=0，a＞0与a＜0三种情况求出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣4）＜0，解得：2＜x＜4，即A={x|2＜x＜4}，把a=1代入B得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}；（2）要满足A∩B=∅，当a=0时，B=∅满足条件；当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，可得a≥4或3a≤2．解得：0＜a≤或a≥4；当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，显然a＜0时成立，综上所述，a的取值范围是（﹣∞，]∪[4，+∞）．17．设，是二个不共线向量，知=2﹣8， =+3， =2﹣．（1）证明：A、B、D三点共线（2）若=3﹣k，且B、D、F三点共线，求k的值．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）先求出，只要证明存在实数λ使得即可；（2）利用向量共线定理即可得出．【解答】（1）证明：，∵与有公共点，∴A、B、D三点共线（2）解：∵B、D、F三点共线，∴存在实数λ，使，∴，∴又∵不共线，∴，解得λ=3，k=12．18．已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且函数f（x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]上的最大值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由已知中f（﹣2）=f（4），可得函数图象的对称轴为直线x=1，结合函数f（x）最大值为2，设出函数的顶点式，进而可得答案；（2）分析给定区间[t，t+1]与对称轴的位置，进而得到函数的在[t，t+1]上的单调性和最大值．【解答】解：（1）因为f（﹣2）=f（4），所以函数图象的对称轴为直线x=1，又因为f（x）=2，max所以设f（x）=a（x﹣1）2+2，a＜0，由f（﹣2）=a（﹣2﹣1）2+2=﹣16得a=﹣2，所以f（x）=﹣2（x﹣1）2+2=﹣2x2+4x，即所求函数y=f（x）的解析式为f（x）=﹣2x2+4x．（2）①当t+1≤1即t≤0时，y=f（x）在[t，t+1]上单调递增，所以f（x）=f（t+1）=﹣2（t+1﹣1）2+2=﹣2t2+2；max②当t≥1时，y=f（x）在[t，t+1]上单调递减，所以f（x）=f（t）=﹣2（t﹣1）2+2=﹣2t2+4t；max③当t＜1＜t+1即0＜t＜1时，y=f（x）在[t，1]上单调递增，在[1，t+1]上单调递减，=f（1）=﹣2（1﹣1）2+2=2．所以f（x）max综上所述，f（x）=maxx）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1 19．已知函数f（x）满足f（loga（1）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的集合；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）首先根据题意，用换元法求出f（x）的解析式，进而分析函数的单调性和奇偶性，将已知不等式转化为f（1﹣m）＜f（m2﹣1），进而转化为，解可得答案；（2）由（1）中的单调性可将f（x﹣4）的值恒为负数转化为f（2）﹣4≤0，解不等式即可．x=t，则x=a t，【解答】解：（1）根据题意，令loga所以，即当a＞1时，因为a x﹣a﹣x为增函数，且＞0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；当0＜a＜1时，因为a x﹣a﹣x为减函数，且＜0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；综上所述，f（x）在（﹣1，1）上为增函数．又因为f（﹣x）==﹣f（x），故f（x）为奇函数．所以f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0⇔f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）⇔f（1﹣m）＜f（m2﹣1）由f（x）在（﹣1，1）上为增函数，可得解得1＜m＜，即m的值的集合为{m|1＜m＜}（2）由（1）可知，f（x）为增函数，则要使x∈（﹣∞，2），f（x）﹣4的值恒为负数，只要f（2）﹣4＜0即可，即f（2）==＜4，又a＞0解得又a≠1，可得符合条件的a的取值范围是（2﹣，1）∪（1，2+）．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若a=1，求方程f（x）=g（x）的解；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（1）代值计算即可．（2）分三种情况加以讨论：当a＞0时，将方程f（x）=g（x）两边平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，构造新函数h（x）=（a2﹣1）x2+2ax ﹣a2，通过讨论h（x）图象的对称轴方程和顶点坐标，可得0＜a＜﹣1；当a＜0时，用同样的方法得到﹣1＜a＜0；而当a=0时代入函数表达式，显然不合题意，舍去．最后综合实数a的取值范围；（3）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x﹣a|，根据实数a与区间[1，2]的位置关系，分4种情况加以讨论：①当0＜a≤1时，③当2＜a≤4时，④当a＞4时，最后综上所述，可得函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值的结论．【解答】解：（1）当a=1时，|x﹣1|=x，即x﹣1=x或x﹣1=﹣x，解得x=；（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，因为h（0）=﹣a2＜0，所以，故0＜a＜1；同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．（3）令F（x）=f（x）•g（x）①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），对称轴x=，函数在[1，2]上是增函数，所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．②当1＜a≤2时，F（x）=，对称轴x=，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a﹣2a2，1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2；2）若F（1）≥F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a．③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）对称轴x=，=F（）=，此时F（x）max④当a＞4时，对称轴x=，此时F（x）=F（2）=2a2﹣4a．max综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．。
2017-2018高一数学上学期期末考试(带答案)
2017-2018学年上学期期末考试 高中一年级 数学 参考答案一、选择题二、填空题13. 1314. {}6,5,2- 15.55-16. {}1,0,1-三、解答题17.解：{}1A aa=-，，{}2,B b =，.................................2分 （Ⅰ）若2a =，则{}12A =，，A B=∴11b a =-=.若12a -=，则3a =，{}23A =，，∴3b =.综上，b的值为1或3.......................................5分 （Ⅱ）∵{|24}C x x =<<，,A C C A C=∴⊆,.................................7分 ∴24,214a a <<⎧⎨<-<⎩∴34a <<. ∴a的取值范围是（3,4）.......................................10分 18.解：(I)直线BC的斜率32141BC k +==+.∴BC边上的高线斜率1-=k，........................... ......3分∴BC边上的高线方程为：()23y x-=-+即：10x y++=，......................... ..............6分(II) )2,1(),3,4(--CB由)2,1(),3,4(--CB得直线BC的方程为：10x y--=........................... ......9分A∴到直线BC的距离d==1152ABC S ∆∴=⨯=........................................12分19.解：根据上表销售单价每增加1元日均销售量就减少40桶，设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为()48040152040x x--=-，.......................3分 由于x >，且520x ->，即0x <<，.......................................6分于是,可得()520y x =-240522,x xx =-+-<<.......................9分 易知，当6.5x =时，y有最大值，所以，只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.......................12分 20.证明（Ⅰ）CDEFABCD 平面平面⊥，CDCDEF ABCD =平面平面 ,在正方形CDEF中,ED DC ⊥∴ABCDED 平面⊥,ED BC∴⊥.................................2分取DC的中点G连接BG，12DG DC =,在四边形ABCD中，//,AB DC 12AB DC =,ABGD四边形∴为平行四边形，所以,点B在以DC为直径的圆上，所以DB BC⊥,............................4分 又ED BD D=,所以BBC 平面⊥,......................................6分 （Ⅱ）如图,取DC的中点G，连接AG,在DC上取点P使13DP DC =,连接NP13D ND P D ED C ==，//PN EC ∴,//PN BCE∴面,................8分连接MP，23DM DP G DC DA DG ∴==为中点，,//MP AG ∴.又//,,AB CG AB CG ABCG=∴为平行四边形，//AG BC∴,//MP BC∴,//MP BCE∴面,.................................10分 又MP NP P=，MNP BCE ∴平面//平面. MNPMN 平面⊂ ,所以MN//平面B........................................12分21.解：（Ⅰ）当3m =时， f(x)为R 上的奇函数。
浙江省2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷Word版含解析
浙江省2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A）=（）1．全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，B={x|﹣1≤x≤3}，则B∪（∁UA．{x|1＜x≤3} B．{x|﹣2＜x≤3} C．{x|x＜﹣2或x≥﹣1} D．{x|x＜﹣2或x＞3}2．复数等于（）A．﹣i B． i C．﹣i D．i3．设x，y∈R，则x＞y＞0是|x|＞|y|的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣ B．8﹣C．8﹣2πD．6．已知x、y满足约束条件，则Z=x2+y2+2x+1的最小值是（）A．B．C．2D．1647．已知向量={cosα，sinα}， ={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分．9．设等差数列{an }中，S3=42，S6=57，则an= ，当Sn取最大值时，n= ．10．展开式中只有第六项二项式系数最大，则n= ，展开式中的常数项是．11．已知随机变量ξ的分布列如图所示，则函数a= ，E（ξ）= ．12．设函数f（x）=，若f（a）=﹣，则a= ，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则实数b的取值范围是．13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．14．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD与折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的体积为．15．已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1， =，且a+c=4，试求b2的值．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证AD⊥BM；（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E﹣AM﹣D大小为时，试确定点E的位置．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．19．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；（3）求的取值范围．20．已知正数数列{an }的前n项和为Sn，满足an2=Sn+Sn﹣1（n≥2），a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =（1﹣an）2﹣a（1﹣an），若bn+1＞bn对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．浙江省2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，B={x|﹣1≤x≤3}，则B∪（∁A）=（）UA．{x|1＜x≤3} B．{x|﹣2＜x≤3} C．{x|x＜﹣2或x≥﹣1} D．{x|x＜﹣2或x＞3}【考点】补集及其运算；并集及其运算．【分析】由全集R和集合A，求出集合A的补集，然后把集合A的补集和集合B的解集画在数轴上，根据并集的意义即可求出集合B和集合A补集的并集．【解答】解：由全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，A={x|x＜﹣2或x＞1}，得到∁U又B={x|﹣1≤x≤3}，根据题意画出图形，如图所示：A）={x|x＜﹣2或x≥﹣1}．则B∪（∁U故选C2．复数等于（）A．﹣i B． i C．﹣i D．i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数的除法运算化简求值．【解答】解： ==．故选：D．3．设x，y∈R，则x＞y＞0是|x|＞|y|的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：x＞y＞0”一定能推出“|x|＞|y|”．当|x|＞|y|，当x=﹣2时，y=﹣1时，成立，则推不出x＞y＞0故“x＞y＞0”是“|x|＞|y|”的充分非必要条件，故选：A4．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能【考点】平面的基本性质及推论．【分析】可根据题目中的信息作图判断即可．【解答】解：∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），故选D．5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．8﹣B ．8﹣C ．8﹣2πD ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥， 正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V 1=23=8，圆锥的体积为V 2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选A ．6．已知x 、y 满足约束条件，则Z=x 2+y 2+2x+1的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．164【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x 2+y 2表示点（﹣1，0）到可行域的点的距离的平方，故只需求出点（﹣1，0）到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：如图，作出约束条件可行域，Z=x 2+y 2+2x+1=Z=（x+1）2+y 2是点（x ，y ）到（﹣1，0）的距离的平方，故最小值为原点到直线x+2y ﹣3=0的距离的平方，即为=，故选：B．7．已知向量={cosα，sinα}， ={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量的模的计算公式可知与都是单位向量，方向任意，可判定B、D的真假，根据向量数量积可判定选项A、D的真假．【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴•=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β），•不一定为0，故选项A不正确；与都是单位向量，方向任意，故选项B不正确；=0，故选项C正确；与的夹角任意，故选项D不正确．故选C．8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．【分析】先设出双曲线方程，则F ，B 的坐标可得，根据直线FB 与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b 和a ，c 的关系式，进而根据双曲线方程a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F （c ，0），B （0，b ）直线FB ：bx+cy ﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b 2=ac所以c 2﹣a 2=ac ，即e 2﹣e ﹣1=0，所以或（舍去）二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分． 9．设等差数列{a n }中，S 3=42，S 6=57，则a n = 20﹣3n ，当S n 取最大值时，n= 6 ． 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3=42，S 6=57，可得3a 1+d=42，d=57，解出可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 3=42，S 6=57，∴3a 1+d=42，d=57，解得a 1=17，d=﹣3．则a n =17﹣3（n ﹣1）=20﹣3n ， 令a n =20﹣3n ≥0，解得n ≤=6+．∴当S n 取最大值时，n=6． 故答案为：20﹣3n ，6．10．展开式中只有第六项二项式系数最大，则n= 10 ，展开式中的常数项是180 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由展开式中只有第六项二项式系数最大，可得n=10．再利用的通项公式即可得出．【解答】解：∵展开式中只有第六项二项式系数最大，∴n=10．==2r，解得r=2．∴的通项公式：Tr+1∴常数项为： =180．故答案为：10，180．11．已知随机变量ξ的分布列如图所示，则函数a= 0.3 ，E（ξ）= 1 ．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】根据随机变量的概率和为1，求出a的值，再计算数学期望E（ξ）．【解答】解：根据随机变量ξ的分布列知，0.3+0.4+a=1，解得a=0.3；所以E（ξ）=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1．故答案为：0.3，1．12．设函数f（x）=，若f（a）=﹣，则a= 或，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则实数b的取值范围是（﹣，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】通过讨论a＞0，a＜0，得到关于a的方程，求出a的值即可；求出f（x）的值域，问题转化为b=f（x）的交点问题，求出b的范围即可．【解答】解：若﹣4a2=﹣，解得：a=﹣，若a2﹣a=﹣，解得：a=，故a=﹣或；x＜0时，f（x）＜0，x＞0时，f（x）=﹣，f（x）的最小值是﹣，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则b=f（x）有3个交点，故b∈（﹣，0）；故答案为：﹣或；（﹣，0）．13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16 ．【考点】基本不等式．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．14．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD与折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】先利用基本不等式，确定矩形周长最小时，矩形为正方形，求得边长，再利用沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，求得半径，根据球的体积公式，即可求得结论．【解答】解：设矩形ABCD的边长分别为x、y，则xy=8，矩形周长为2（x+y）≥4=8，当且仅当x=y=2时，矩形周长最小，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，∵AC=4，∴球的半径为2，∴三棱锥D﹣ABC的外接球的体积等于π×23=．故答案为：．15．已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．【解答】解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=．化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．∴a 的取值范围为[1，+∞）．故答案为[1，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1， =，且a+c=4，试求b2的值．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）将三角函数化简，由函数f（x）的最小正周期求出ω的值，从而可得函数f （x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，f（B）=1，可求B=，根据=可得ac=3，利用a+c=4，可得a2+c2=16﹣6，利用余弦定理可求b2的值．【解答】解：（Ⅰ） =sinωx+cosωx﹣1=2sin（ωx+）﹣1，∵函数f（x）的最小正周期为π，∴ω=2∵f（x）=2sin（2x+）﹣1；（Ⅱ）在△ABC中，f（B）=1，则2sin（2B+）=1，∴2B+=，∴B=；∴=，∴accos=，∴ac=3∵a+c=4，∴a2+c2=16﹣6∴b2=a2+c2﹣2accos=16﹣9．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证AD⊥BM；（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E﹣AM﹣D大小为时，试确定点E的位置．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD ⊥BM；（Ⅱ）作出二面角E﹣AM﹣D的平面角，利用二面角E﹣AM﹣D大小为时，即可确定点E的位置．【解答】（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点∴AM=BM=∴BM⊥AM∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（Ⅱ）过点E作MB的平行线交DM于F，∵BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM在平面ADM中，过点F作AM的垂线，垂足为H，则∠EHF为二面角E﹣AM﹣D平面角，即∠EHF=设FM=x，则DF=1﹣x，FH=在直角△FHM中，由∠EFH=，∠EHF=，可得EF=FH=∵EF∥MB，MB=，∴，∴∴∴当E位于线段DB间，且时，二面角E﹣AM﹣D大小为．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．19．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；（3）求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可求b 的值，再利用椭圆的离心率为，即可求出椭圆C 的方程；（2）设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0），将直线PB ：y=代入椭圆，可得[3+]x 2﹣+﹣12=0，从而可得E 的坐标，从而可得直线AE 的方程，进而可知直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）由（2）知x 1+x 0=，x 1x 0=，y 1y 0==，=x 1x 0﹣y 1y 0，从而可得=，设5﹣2x 0=t ，进而可确定的取值范围．【解答】（1）解：∵以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，∴b=，∵椭圆的离心率为，∴∴，∴，∴椭圆C 的方程为（2）证明：设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0）将直线PB ：y=代入椭圆，可得[3+]x 2﹣+﹣12=0设E （x 1，y 1），则x 1+x 0===∴，∴y 1=∴直线AE ：化简可得∴直线AE 与x 轴相交于定点Q ：（1，0）（3）解：由（2）知x 1+x 0=，x 1x 0=，y 1y 0==∵=x 1x 0﹣y 1y 0，∴=﹣=设5﹣2x 0=t ，∵x 0∈（﹣2，2），∴t ∈（1，9）∴=﹣+∵t ∈（1，9），∴∴（﹣4，]20．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），a 1=1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（1﹣a n ）2﹣a （1﹣a n ），若b n+1＞b n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）由 a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），可得a n ﹣12=S n ﹣1+S n ﹣2 （n ≥3）．两式相减可得 a n ﹣a n ﹣1=1，再由a 1=1，可得{a n }的通项公式．（2）根据{a n }的通项公式化简b n 和b n+1，由题意可得b n+1﹣b n =2n+a ﹣1＞0恒成立，故a ＞1﹣2n 恒成立，而1﹣2n 的最大值为﹣1，从而求得实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），∴a n ﹣12=S n ﹣1+S n ﹣2 （n ≥3）． 两式相减可得a n 2 ﹣a n ﹣12=S n ﹣s n ﹣2=a n +a n ﹣1， ∴a n ﹣a n ﹣1=1， 再由a 1=1，∴正数数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴an=n．（2）∵bn =（1﹣an）2﹣a（1﹣an），∴bn+1=（1﹣an+1）2﹣a（1﹣an+1）．即bn =（1﹣n）2﹣a（1﹣n）=n2+（a﹣2）n+1﹣a，bn+1=[1﹣（n+1）]2﹣a[1﹣（n+1）]=n2+an．故bn+1﹣bn=2n+a﹣1，再由bn+1＞bn对任意n∈N*恒成立可得2n+a﹣1＞0恒成立，故a＞1﹣2n恒成立．而1﹣2n的最大值为1﹣2=﹣1，故a＞﹣1，即实数a的取值范围（﹣1，+∞）．。
浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析
浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷一．选择题（每小题4分，共32分）1．已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．2．已知sin（π+θ）=﹣cos（2π﹣θ），|θ|＜，则θ等于（）A．﹣B．﹣C．D．3．已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=3sin（2x﹣），在区间[0，]上的值域为（）A．[﹣，] B．[﹣，3] C．[﹣，] D．[﹣，3]5．△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC），则y=的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣36．方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）的两根为tanα，tanβ，且α，β∈（﹣，），则α+β=（）A．B．﹣C．D．或﹣7．已知f（x）=2sin（ωx+），x∈R，其中ω是正实数，若函数f（x）图象上一个最高点与其相邻的一个最低点的距离为5，则ω的值是（）A．B．C．D．8．设f（x）=cosx+（π﹣x）sinx，x∈[0，2π]，则函数f（x）所有的零点之和为（）A．πB．2π C．3π D．4π二．填空题.（本题共有9小题，每题4分，共36分）9． = ．10．已知角α的终边过点（3a﹣9，a+2）且cosα≤0，sinα＞0，求实数a的取值范围．11．将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度后，再将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解析式为．12．若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA= ．13．化简.= ．14． = ．15．已知α、β为锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则cosβ= ．16．已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α﹣β）= ．17．已知（ω＞0），，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω= ．三、解答题（共5小题，满分52分）18．计算：（1）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当他的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？19．已知sin（3π+α）=2sin，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin 2α．20．已知函数f（x）=cosx•sin﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）单调增区间；（3）求f（x）对称中心．21．（1）求的定义域（2）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，求f（0）．22．（1）当x∈[，]时，求函数y=3﹣sin x﹣2cos2x的最大值．（2）已知5sinβ=sin（2α+β），tan（α+β）=，求tanα浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题4分，共32分）1．已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由角的范围和同角三角函数基本关系可得cosα=﹣，代值计算可得．【解答】解：∵角α是第二象限角，且，∴cosα=﹣=﹣，故选：A2．已知sin（π+θ）=﹣cos（2π﹣θ），|θ|＜，则θ等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简，通过角的范围，求出角的大小即可．【解答】解：sin（π+θ）=﹣cos（2π﹣θ），|θ|＜，可得﹣sinθ=﹣cosθ，|θ|＜，即tan，|θ|＜．∴θ=．故选：D．3．已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．【考点】终边相同的角．【分析】将点的坐标化简，据点的坐标的符号判断出点所在的象限，利用三角函数的定义求出角α的正弦，求出角α的最小正值【解答】解： =∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选D4．函数f（x）=3sin（2x﹣），在区间[0，]上的值域为（）A．[﹣，] B．[﹣，3] C．[﹣，] D．[﹣，3]【考点】三角函数的最值．【分析】通过自变量的范围求出相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解即可．【解答】解：x∈[0，]，则2x﹣∈[﹣，]．3sin（2x﹣）∈．故选：D．5．△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC），则y=的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意△ABC为锐角三角形，可知，sinA﹣cosB＞0，cosA﹣sinC＜0，推出θ的象限，确定三角函数的符号，然后求出表达式的值．【解答】解：△ABC为锐角三角形，所以A+B＞，所以sinA＞cosB，cosA＜sinC；所以θ是第二象限角，所以y==1﹣1﹣1=﹣1故选B6．方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）的两根为tanα，tanβ，且α，β∈（﹣，），则α+β=（）A．B．﹣C．D．或﹣【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用韦达定理、两角和的正切公式，求得tan（α+β）的值，可得α+β的值．【解答】解：∵方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）的两根为tanα，tanβ，且α，β∈（﹣，），∴tanα+tanβ=﹣3a，tanα•tanβ=3a+1，∴tan（α+β）==1，∴α+β=，故选：A．7．已知f（x）=2sin（ωx+），x∈R，其中ω是正实数，若函数f（x）图象上一个最高点与其相邻的一个最低点的距离为5，则ω的值是（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】求出函数的周期，即可求解ω的值．【解答】解：f（x）=2sin（ωx+），x∈R，其中ω是正实数，若函数f（x）图象上一个最高点与其相邻的一个最低点的距离为5，可得T==3，T=6，ω==．故选：D．8．设f（x）=cosx+（π﹣x）sinx，x∈[0，2π]，则函数f（x）所有的零点之和为（）A．πB．2π C．3π D．4π【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f（x）=cosx+（π﹣x）sinx=0得（x﹣π）sinx=cosx，当x=π时，方程等价为0=﹣1，方程不成立，当x=或时，方程等价为±=0，此时方程不成立，则方程等价为tanx=，作出函数y=tanx，y=，在x∈[0，2π]上的图象，则两个图象有两个交点，则两个点关于点（π，0）对称，设两个交点的横坐标为x1，x2，则，即x1+x2=2π，即函数f（x）所有的零点之和为2π，故选：B二．填空题.（本题共有9小题，每题4分，共36分）9． = ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】原式中的“1”化为tan45°，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．【解答】解：原式==tan（45°+15°）=tan60°=．故答案为：10．已知角α的终边过点（3a﹣9，a+2）且cosα≤0，sinα＞0，求实数a的取值范围．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得，从而可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵cosα≤0且sinα＞0，∴≤0且＞0．∴∴﹣2＜a≤3．∴实数a的取值范围为：﹣2＜a≤3．11．将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度后，再将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解析式为y=sin（x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度后，可得数y=sin2（x﹣）的图象，再将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解析式为y=sin（x﹣），故答案为：y=sin（x﹣）．12．若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA= ．【考点】二倍角的正弦．【分析】根据sin2A的值确定A的范围，然后把已知条件两边都加上1，利用同角三角函数间的基本关系把等式右边的“1”变为sin2A+cos2A，并利用二倍角的正弦函数公式把sin2A化简，等式的左边就变成一个完全平方式，根据A的范围，开方即可得到sinA+cosA的值．【解答】解：因为A为三角形的内角且，所以2A∈（0，180°），则A∈（0，90°）把已知条件的两边加1得：1+sin2A=1+即1+2sinAcosA=sin2A+2sinAcosA+cos2A=（sinA+cosA）2=所以sinA+cosA==故答案为：13．化简.= ．【考点】二倍角的正切；三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】原式第一个因式利用二倍角的正切函数公式化简，第二个因式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简即可得到结果．【解答】解：原式=tan（90°﹣2α）•=cot2α•tan2α=．故答案为：14． = ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．【解答】解：原式=====，故答案为：．15．已知α、β为锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则cosβ= ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），sinα的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵α、β为锐角，∴α+β∈（0，π），∵cos（α+β）=﹣，cosα=，∴sin（α+β）==，sin=，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（﹣）×+×=．故答案为：．16．已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α﹣β）= ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】直接利用已知条件，通过三角函数的平方关系式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：sinα+sinβ+sin1=0，可得sinα+sinβ=﹣sin1，两边平方可得（sinα+sinβ）2=（﹣sin1）2，…①cosα+cosβ+cos1=0，可得cosα+cosβ=﹣cos1，两边平方可得（cosα+cosβ）2=（﹣cos1）2…②．①+②可得：2+2cos（α﹣β）=1．解得cos（α﹣β）=．故答案为：﹣．17．已知（ω＞0），，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω= ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意利用正弦函数的图象特征可得当x=时，f（x）取得最小值，即ω•+=2kπ+，k∈z，由此求得ω的值．【解答】解：∵（ω＞0），，∴f（x）的图象关于直线x==对称，故有ω•+=kπ+，k∈z，∴ω=4k+；又f（x）在区间（，）上有最小值无最大值，故当x=时，f（x）取得最小值，故有有ω•+=2kπ+，k∈z，∴ω=8k+．因为恰好为区间（，）的中点，故﹣≤=，∴0＜ω≤12，故只有当k=0时，ω=满足条件，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分52分）18．计算：（1）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当他的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？【考点】弧度制的应用．【分析】（1）根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=求出扇形圆心角的弧度数．（2）由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得2r+l=40，扇形的面积S=lr=•l•2r，由基本不等式可得．【解答】解：（1）解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=10，∵S扇形=lr=4，解得：r=4，l=2∴扇形的圆心角的弧度数是：；（2）设扇形的半径和弧长分别为r和l，由题意可得2r+l=40，∴扇形的面积S=lr=•l•2r≤2=100．当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，此时圆心角为α==2，∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．19．已知sin（3π+α）=2sin，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin 2α．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得tanα=﹣2，从而求得要求式子的值．【解答】解：∵sin（3π+α）=2sin，∴﹣sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，∴（1）===；（2）sin2α+sin 2α====0．20．已知函数f（x）=cosx•sin﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）单调增区间；（3）求f（x）对称中心．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性即可得答案；（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可得到f（x）的单调增区间；（3）由图象的对称性即可得到f（x）对称中心．【解答】解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin﹣cos2x+=cosx•（sinx+cosx）﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x+=sin2x﹣•+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为═π；（2）由（1）可知：f（x）=sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）令2x﹣=kπ，求得x=，∴f（x）对称中心为（，0）．21．（1）求的定义域（2）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，求f（0）．【考点】正切函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）根据正切函数的定义，令3x﹣≠kπ+求出x的取值范围即可；（2）由图象求出函数的解析式，再计算f（0）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=tan（3x﹣），∴3x﹣≠kπ+，k∈Z；解得x≠+，k∈Z；故函数f（x）=tan（3x﹣）的定义域为{x|x≠+，k∈Z}；（2）由图可知，A=， =﹣=，∴T=π，又T=（ω＞0）， ∴ω=2．又函数图象经过点（，0），∴2×+φ=2k π+π，∴φ=2k π+（k ∈Z ），∴函数的解析式为：f （x ）=sin （2x+），∴f （0）=sin =．22．（1）当x ∈[，]时，求函数y=3﹣sin x ﹣2cos 2x 的最大值．（2）已知5sin β=sin （2α+β），tan （α+β）=，求tan α【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由题意可得sinx ∈[﹣，1]，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大值．（2）根据题意，利用2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）﹣α，化简5sin β=sin （2α+β），再结合同角的三角函数关系，即可求出tan α的值．【解答】解：（1）∵x ∈[，]，∴sinx ∈[﹣，1]，则y=3﹣sinx ﹣2cos 2x=3﹣sinx ﹣2（1﹣sin 2x ）=2sin 2x ﹣sinx+1=2（sinx ﹣）2+，∴由二次函数性质可知当sinx=1或﹣时，y 取最大值2．（2）∵5sin β=sin （2α+β），∴sin[（α+β）+α]=5sin[（α+β）﹣α]，即sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α=5sin （α+β）cos α﹣5cos （α+β）sin α， ∴4sin （α+β）cos α=6cos （α+β）sin α，∴4tan（α+β）=6tanα，∴tanα=tan（α+β）=．。
浙江省2017-2018学年高一上学期11月段考数学试卷 Word版含解析
浙江省2017-2018学年高一上学期11月段考数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，计40分．1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁UA等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}2．与y=|x|为同一函数的是（）A．B．C．D．3．若102x=25，则10﹣x等于（）A．B．C．D．4．计算：log29•log38=（）A．6 B．8 C．10 D．15．设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．设f（x）=，则f（5）的值为（）A．10 B．11 C．12 D．137．函数y=a x与y=﹣logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1] B．[0，1] C．[，+∞）D．[1，+∞）二、填空题：本大题共6小题，前两题每题6分，其他每题4分，共28分，答案写在答题卡上．9．计算： = ， = ．10．若函数，则函数f（x）的定义域是，单调递减区间是．11．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= ．12．函数f（x）=log2（3x+1）的值域为．13．函数y=loga（2x﹣3）+1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．14．下列说法中：①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a﹣1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；②f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1；③若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6；④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．其中正确说法的序号是（注：把你认为是正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共3小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a为实数，（1）分别求A∩B，A∪（∁UB）；（2）若B∩C=C，求a的取值范围．16．已知奇函数y=f（x）定义域是R，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x）．（1）求出函数y=f（x）的解析式；（2）写出函数y=f（x）的单调递增区间．（不用证明，只需直接写出递增区间即可）17．设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．四．附加题：本大题共3小题，其中第（1）、（2）题每小题5分，第（3）小题10分，共20分．18．已知是R上的减函数，那么a的取值范围是．（ax2+2ax+1）的定义域为R，则a的范围为．19．若函数y=log220．已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）≥x成立的x的集合；（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．浙江省2017-2018学年高一上学期11月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，计40分．A等于（）1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁UA．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}【考点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算．【分析】先求出全集U={3，2，1，0}，然后进行补集、并集的运算即可．【解答】解：U={3，2，1，0}；A={3}；∴∁UA={2，3}．∴B∪∁U故选：B．2．与y=|x|为同一函数的是（）A．B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．【解答】解：A、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是[0，+∞），∴不是同一个函数B、∵两个函数的解析式一致，定义域是同一个集合，∴是同一个函数C、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴不是同一个函数D、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是[0，+∞），∴不是同一个函数故选B．3．若102x =25，则10﹣x 等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】有理数指数幂的运算性质．【分析】通过有理指数幂的运算，102x =25求出10x =5，然后再求10﹣x 的值．【解答】解：102x =25可得10x =5，所以10﹣x =故选A ．4．计算：log 29•log 38=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1【考点】对数的运算性质．【分析】根据换底公式和对数的运算性质计算即可．【解答】解：log 29•log 38=•=6，故选：A ．5．设a=20.3，b=0.32，c=log 20.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】要比较三个数字的大小，可将a ，b ，c 与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系． 【解答】解：∵0＜0.32＜1log 20.3＜020.3＞1∴log 20.3＜0.32＜20.3，即c ＜b ＜a故选B ．6．设f （x ）=，则f （5）的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】欲求f （5）的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x ≥10内的函数值即可求出其值．【解答】解析：∵f （x ）=，∴f （5）=f[f （11）]=f （9）=f[f （15）]=f （13）=11．故选B ．7．函数y=a x 与y=﹣log a x （a ＞0，且a ≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数图象的特征进行判定．【解答】解：根据y=﹣log a x 的定义域为（0，+∞）可排除选项B ，选项C ，根据y=a x 的图象可知0＜a ＜1，y=﹣log a x 的图象应该为单调增函数，故不正确 选项D ，根据y=a x 的图象可知a ＞1，y=﹣log a x 的图象应该为单调减函数，故不正确 故选A8．设函数f （x ）=，则满足f （f （a ））=2f （a ）的a 的取值范围是（ ）A ．[，1]B ．[0，1]C ．[，+∞）D ．[1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选C．二、填空题：本大题共6小题，前两题每题6分，其他每题4分，共28分，答案写在答题卡上．9．计算： = 2 ， = 2 ．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】利用有理数指数幂、对数的性质、运算法则求解．【解答】解： ==2，=lg25+lg4=lg100=2．故答案为：2，2．10．若函数，则函数f（x）的定义域是（﹣∞，1）∪（3，+∞），单调递减区间是（3，+∞）．【考点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质．【分析】根据真数大于0，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间．【解答】解：由x2﹣4x+3＞0得：x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞），故函数f（x）的定义域是（﹣∞，1）∪（3，+∞）；令t=x2﹣4x+3，则y=，∵y=为减函数，t=x2﹣4x+3在（﹣∞，1）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数；故函数在（﹣∞，1）上为增函数，在（3，+∞）上为减函数；即函数的单调递减区间是（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）；（3，+∞）11．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= 3 ．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．（3x+1）的值域为（0，+∞）．12．函数f（x）=log2【考点】对数函数的值域与最值．【分析】先根据指数函数的性质求出真数3x+1的范围，然后根据对数函数的单调性求出函数的值域即可．【解答】解：∵3x+1＞1∴log（3x+1）＞02（3x+1）的值域为（0，+∞）∴f（x）=log2故答案为：（0，+∞）（2x﹣3）+1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（2，1）．13．函数y=loga【考点】对数函数的单调性与特殊点．1=0，知2x﹣3=1，即x=2时，y=1，由此能求出点P的坐标．【分析】由loga【解答】解：∵log1=0，a∴2x﹣3=1，即x=2时，y=1，∴点P的坐标是P（2，1）．故答案为：（2，1）．14．下列说法中：①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a﹣1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；②f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1；③若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6；④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．其中正确说法的序号是①③④（注：把你认为是正确的序号都填上）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①f（x）是偶函数，应满足定义域关于原点对称，且一次项系数为0；②f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，可用分段函数表示f（x），再求f（x）的最大值；③f（x）的单调递增区间是[3，+∞），即x≥3时，2x+a≥0，得出a的取值；④由题意，可求出f（1）=f（﹣1）=0，f（﹣x）与f（x）的关系，从而判定f（x）的奇偶性．【解答】解：①∵f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a﹣1，a+4]）是偶函数，∴有，∴a=﹣1，b=2，命题正确；②∵f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，∴f（x）=，∴f（x）的最大值为2，原命题错误；③∵f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），∴当x≥3时，2x+a≥0，∴a≥﹣6，故取a=﹣6，命题正确；④∵f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），∴当x=y=1时，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；当x=y=﹣1时，f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1），∴f（﹣1）=0；当y=﹣1时，f（﹣x）=x•f（﹣1）+[﹣f（x）]，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，命题正确．所以，命题正确的序号是①③④三、解答题：本大题共3小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a为实数，B）；（1）分别求A∩B，A∪（∁U（2）若B∩C=C，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】本题（1）先求出集合B的补集，再求出A∪（∁B），得到本题结论；（2）由B∩C=CU得到C⊆B，再比较区间的端点，求出a的取值范围，得到本题结论．【解答】解：（1）∵A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，B={x|x≤2或x≥4}，∴∁uB）={x|x≤3或x≥4}．∴A∩B={x|2＜x≤3}，A∪（∁U（2）∵B∩C=C，∴C⊆B．∵B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，∴2＜a，a+1＜4，∴2＜a＜3．16．已知奇函数y=f（x）定义域是R，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x）．（1）求出函数y=f（x）的解析式；（2）写出函数y=f（x）的单调递增区间．（不用证明，只需直接写出递增区间即可）【考点】函数奇偶性的性质；函数的单调性及单调区间．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，根据已知可求得f（﹣x），根据奇函数的性质f（x）=﹣f （﹣x）即可求得f（x）的表达式．（2）结合二次函数的图象和性质，可得分段函数的单调递增区间．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣x（1+x）．…又因为y=f（x）是奇函数所以f（x）=﹣f（﹣x）x（1+x）．…综上f（x）=…（2）函数y=f（x）的单调递增区间是[，]…17．设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由函数的解析式可得函数开口方向及对称轴，分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析函数的单调性后，可得最值；（2）若g（a）﹣m≤0恒成立，则m不小于g（a）的最大值，分析函数g（a）的单调性求阳其最值可得答案．【解答】解：（1）对称轴x=﹣a①当﹣a≤0⇒a≥0时，f（x）在[0，2]上是增函数，x=0时有最小值f（0）=﹣a﹣1…②当﹣a≥2⇒a≤﹣2时，f（x）在[0，2]上是减函数，x=2时有最小值f（2）=3a+3…③当0＜﹣a＜2⇒﹣2＜a＜0时，f（x）在[0，2]上是不单调，x=﹣a时有最小值f（﹣a）=﹣a2﹣a﹣1…∴…（2）存在，由题知g（a）在是增函数，在是减函数∴时，，…g（a）﹣m≤0恒成立⇒g（a）max≤m，∴…，∵m为整数，∴m的最小值为0…四．附加题：本大题共3小题，其中第（1）、（2）题每小题5分，第（3）小题10分，共20分．18．已知是R上的减函数，那么a的取值范围是[，1）．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得，由此求得a的范围．【解答】解：已知是R上的减函数，∴，求得≤a＜1，故答案为：[，1）．19．若函数y=log（ax2+2ax+1）的定义域为R，则a的范围为[0，1）．2【考点】函数的定义域及其求法．（ax2+2ax+1）的定义域为R，得ax2+2ax+1＞0对任意实数恒成立，然【分析】由函数y=log2后分a=0和a≠0讨论，当a≠0时，得，求解不等式组得答案．（ax2+2ax+1）的定义域为R，【解答】解：∵函数y=log2∴ax2+2ax+1＞0对任意实数恒成立，当a=0时，符合题意；当a≠0时，则，解得0＜a＜1．综上，使函数y=log（ax2+2ax+1）的定义域为R的a的范围为[0，1）．2故答案为：[0，1）．20．已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）≥x成立的x的集合；（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即x＜2和x≥2分别求解对应不等式的解集，再把所有的解集取并集表示出来．（Ⅱ）根据区间[1，2]和绝对值内的式子进行分类讨论，即a≤1、1＜a＜2和a≥2三种情况，分别求出解析式，利用二次函数的性质判断在区间上的单调性，再求最小值；最后用分段函数表示函数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，f（x）=x|x﹣a|．…当x＜2时，f（x）=x（2﹣x）≥x，解得x∈[0，1]；…当x≥2时，f（x）=x（x﹣2）≥x，解得x∈[3，+∞）；…综上，所求解集为x∈[0，1]∪[3，+∞）；…（Ⅱ）①当a≤1时，在区间[1，2]上，f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣，其图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=，∵a≤1，∴，∴f（x）=f（1）=1﹣a…min②当1＜a＜2时，在区间[1，2]上，f（x）=x|x﹣a|≥0，=0…f（x）min③当a≥2时，在区间[1，2]上，f（x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+，其图象是开口向下的抛物线，对称轴是x=，1° 当1≤＜即2≤a＜3时，f（x）=f（2）=2a﹣4…min=f（1）=1﹣a2° 当即a≥3时，f（x）min=…∴综上，f（x）min。
2017-2018学年浙江省宁波市高一第一学期期末数学试卷〖详解版〗
2017-2018 学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．（4 分）若集合 U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，3，4，7}，B＝{1，2，4，6，7}，
则∁U（A∩B）＝（ ） A．{3，6}
扇形圆心角的弧度数是
．
16．（6 分）已知向量 ， 的夹角为 ， ＝（0，1），| |＝2，则|2 ﹣ |＝
．
17．（6 分）函数 f（x）＝
，若存在 x1＜x2，使得 f（x1）＝f（x2），则 x1•f
（x1）的最大值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A．
B．
。
。. 11，，
第 1 页（共 12 页）
C．
D．
8．（4 分）已知函数 f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且 ex＝f（x）+g（x），则 f（x）＝
（）
A．
B．
C．
D．
9．（4 分）对于非零向量 ， ，定义运算“×”： × ＝| || |sinθ，其中 θ 为 ， 的夹角．设
， ， 为非零向量，则下列说法错误的是（ ）
B．{5}
C．{2，3，5，6}
D．{1，2，3，4，5，6，7}
2．（4 分）下列函数中，在定义域内单调递增的是（ ）
A．y＝log0.5x
B．y＝sinx
C．y＝2x
D．y＝tanx
3．（4 分）若幂函数 f（x）＝xα 的图象过点（4，2），则 f（9）的值为（ ）
A．1
2017_2018学年高一数学上学期期末质检考试试题
2017～2018学年度第一学期高一级期末质检考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=｛1，2，3，4，5｝，m集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A∩CUB=（）A．B． C．D．2．函数的定义域是（）A．B．C． D．3．如图，下列几何体为台体的是 ( )A．①②B．①③C．④D.①④4．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=x B．f（x）=x，g（x）=C．D．5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A. B. C. D.6.直线经过抛物线与y轴的交点，且与直线平行，则直线的方程是（）A．B．C．D．7.如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CC1、C1D1的中点，则异面直线EF和BD所成的角的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°8.圆心为且与直线相切的圆的方程为( )A．B．C．D．9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 4B. 6C. 16D. 810.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，且，则C.若，，，则D.若，，，则11.已知函数的图象向右平移()个单位后关于直线对称，当时，恒成立，设，)，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.12. 已知偶函数的定义域为且，，则函数的零点个数为（）．A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二．填空题（共4个小题，5分每题，共20分）13.计算：14.直线与坐标轴所围成的三角形的面积为15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为16.已知定义域为的奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集是__________.三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）设全集，集合，.（1）（2）.18．（本小题满分12分）已知的三个顶点（1）求边上高所在直线的方程；（2）求的面积．19．（本小题满分12分）已知函数(其中，为常数)的图象经过、两点．（1）求，的值，判断并证明函数的奇偶性；（2）证明：函数在区间上单调递增．。
浙江省2017-2018学年高一12月阶段性练习数学试题 Word版含答案
浙江省2017-2018学年高一12月阶段性练习数学试题满分[100]分 ，时间[120]分钟第一部分 选择题 (共24分)一、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a (2,0)=，b (1,3)=-，则a ＋b 与a －b 的坐标分别为( )A.(3,3),(3,3)-B.(3,3),(1,3)-C.(1,3),(3,3)D.(1,3),(3,3)- 2.函数)10(12≠>+=+a a a y x 且的图像恒过的定点是（ ） A. ()0,2- B.()0,1- C.()1,0 D. ()2,2-3. 已知a ， b 向量不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－124.已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g += ( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35.下列函数()f x 中,满足“12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<”的是( ) A ．1()f x x x=- B ．5()f x x = C.()ln f x x =D.()2x f x =6．对于幂函数45()f x x =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ．)2(21x x f +<2)()(21x f x f +C ．)2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ．无法确定 7．已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,1a ax m n x+==-log a y 等于（ ） A ．m n + B ．m n - C ．1()2m n + D ．1()2m n -8.若直角坐标系内A ，B 两点满足：（1）点A ，B 都在f(x)的图像上；（2）点A ，B 关于原点对称，则称点对（A ，B ）是函数()f x 的一个“姊妹对点”，（A ，B ）与（B ，A ）可看作一个“姊妹对点”。
2017-2018浙江省高中学业水平考试数学试题（解析版）
2017-2018浙江省⾼中学业⽔平考试数学试题（解析版）2017-2018浙江省⾼中学业⽔平考试数学试题(解析版)⼀、选择题（本⼤题共18⼩题，每⼩题3分，共54分。
每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，不选、多选、错选均不得分）1. 函数()f x = ） A.（－∞，0） B.[0，+∞）C. [2，+∞）D. （－∞，2）答案：C2. 下列数列中，构成等⽐数列的是（）A. 2，3，4，5，B. 1，－2，－4，8C. 0，1，2，4D. 16，－8，4，－2 答案：D3. 任给△ABC ，设⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列等式成⽴的是（）A. c 2=a 2+b 2+2abcosCB. c 2=a 2+b 2－2abcosCC. c 2=a 2+b 2+2absinCD. c 2=a 2+b 2－2absinC答案：B4. 如图，某简单组合体由⼀个圆锥和⼀个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为（）答案：D 5. 要得到余弦曲线y=cosx ，只需将正弦曲线y=sinx 向左平移（）A. 2π个单位B. 3π个单位C. 4π个单位D. 6π个单位答案：A6. 在平⾯直⾓坐标系中，过点(0，1)且倾斜⾓为45°的直线不．经过（） A.第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限答案：D7. 已知平⾯向量a =(1，x)，b =(y ，1)。
若a ∥b ，则实数x ，y ⼀定满⾜A.xy －1=0B. xy+1=0C.x －y=0D.x+y=0答案：A8. 已知{a n }(n ∈N *)是以1为⾸项，2为公差的等差数列。
设S n 是{a n }的前n 项和，且S n =25，则n=（）A.3B.4C.5D.6答案：C9. 设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F 。
若F 到直线，则p=（）A.2B.4答案：B10. 在空间直⾓坐标系Oxyz 中，若y 轴上点M 到两点P(1，0，2)，Q(1，－3，1)的距离相等，则点M 的坐标为（） A.(0，1，0) B. (0，－1，0)C. (0，0，3)D. (0，0，－3) 答案：B11. 若实数x ，y满⾜220,20,(1)1,y x y x y -≥-≤??-+≤?则y 的最⼤值为（）A. B.1D.45答案：B12. 设a>0，且a≠1，则“a>1”是“log a12<1”的（）A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A13. 如图，在正⽅体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点。
浙江省宁波市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
宁波市2017学年第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由交集的定义可得：，进行补集运算可得：.本题选择C选项.2. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】注意考查所给函数的性质：A.在定义域内单调递减；B.在定义域内没有单调性；C.在定义域内单调递增；D.在定义域内没有单调性；本题选择C选项.3. 若幂函数的图像过点，则的值为（）A. 1B.C.D. 3【答案】D【解析】由题意可得：，则幂函数的解析式为：.本题选择D选项.4. 若角的终边经过点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由点P的坐标计算可得：，则：，，.本题选择A选项.点睛：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．5. 在中，点为边的中点，则向量（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：.本题选择A选项.6. 下列函数中，最小正周期为，且图像关于直线对称的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的最小正周期为，则，据此可得选项AC错误；考查选项BD：当时，，满足题意；当时，，不满足题意；本题选择B选项.7. 函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则，函数为偶函数，排除AB选项；当时，，而，则，排除选项C.本题选择D选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8. 已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，①，②.....................本题选择A选项.9. 对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角.设为非零向量，则下列说法错误．．的是（）A. B.C. 若，则D.【答案】B【解析】利用排除法.由题中新定义的运算结合向量的运算法则有：，A选项正确；若，则，结合可得：或，均有，C项正确；，D选项正确；本题选择B选项.10. 已知，，且，则（）A. B. 0 C. D.【答案】C【解析】，，，构造函数，很明显函数在区间上单调递增，则：，据此可得：.本题选择C选项.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11. 已知，则__________（用表示），__________．【答案】 (1). (2). 3【解析】由题意可得：，.12. 已知，，，且，则__________，__________．【答案】 (1). (2). 2【解析】由题意可得：,则..13. 已知函数一部分图像如图所示，则__________，函数的图像可以由的图像向左平移至少__________ 个单位得到．【答案】 (1). 2 (2).【解析】由函数图象可得，函数的最小正周期为，结合最小正周期公式有：；令有：，令可得：，函数的解析式为：绘制函数的图象如图所示，观察可得函数的图像可以由的图像向左平移至少个单位得到.14. 是定义在上的偶函数，当时，，且关于的方程在上有三个不同的实数根，则__________，__________．【答案】 (1). 2 (2). 3【解析】由偶函数的性质可得：，关于的方程在上有三个不同的实数根，方程的根为奇数个，结合为偶函数可知为方程的一个实数根，而，则：.15. 弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是__________．【答案】1【解析】设扇形的弧长和半径长为，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是.16. 已知向量的夹角为，，，则__________．【答案】2【解析】由题意可得：，则：，则：.17. 函数．若存在，使得，则的最大值为__________．【答案】【解析】绘制函数的图象如图所示，观察可得：，且：，原问题等价于考查二次函数：在区间上的最大值，函数的对称轴，则函数的最大值为：.综上可得：的最大值为.点睛：本题的实质是二次函数在给定区间上求最值.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知集合，，，.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，且，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)当时，，.则.(Ⅱ)由题意可知，其中，而时，.求解不等式结合题意可得.试题解析：（Ⅰ）由题可得时，，.∴.（Ⅱ）∵，∴，.时，.∴，.∴.点睛：(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．19. 已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数的最大值以及取得最大值时的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).此时.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意整理三角函数的解析式可得，结合最小正周期公式可得函数的最小正周期.(Ⅱ)由，可得，由正弦函数的性质结合(Ⅰ)中函数的解析式可得当即时函数取得最大值2.试题解析：（Ⅰ）.∴函数的最小正周期.（Ⅱ）∵，，∴∴.此时，∴.20. 如图所示，四边形是边长为2的菱形，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若点在线段及上运动，求的最大值.【答案】(Ⅰ)6；(Ⅱ)18.【解析】试题分析：(Ⅰ)以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，由平面向量数量积的坐标运算法则可得.(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中建立的平面直角坐标系可知，则，由线性规划的结论可知的最大值为18.试题解析：（Ⅰ）以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，∴，，，.∴.（Ⅱ），设，∴.所以当点在点处时，的值最大，最大值为18.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．21. 已知，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在，使得下列两个式子：①；②同时成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，满足①②两式成立的条件.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合同角三角函数基本关系可得，，然后利用两角和的余弦公式可得(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知，则，满足题意时，则，是方程的两个根，结合二次方程的特点计算可得存在，满足①②两式成立的条件.试题解析：（Ⅰ）∵，，，∴，.∴（Ⅱ）∵，∴，∴.∴，∵，∴.∴，是方程的两个根.∵，∴，∴，.∴，.即存在，满足①②两式成立的条件.22. 已知函数，.（Ⅰ）若为奇函数，求的值并判断的单调性（单调性不需证明）；（Ⅱ）对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数．．．的取值范围.【答案】(Ⅰ).在上单调递增.(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)函数为奇函数，则恒成立.据此可得.此时，在上单调递增.(Ⅱ)由题意可知，而.据此分类讨论：①当时有；②当时有；③当时不成立.则正实数的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）∵为奇函数，∴恒成立.∴.此时，在上单调递增.（Ⅱ），，∴.①当时，在上单调递增，∴，，∴②当时，在上单调递减，在上单调递增.∴，，∴③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∴，，不成立.综上可知，.- 11 -。
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浙江省2017-2018学年高一上学期12月质检数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A ）∪B 为（ ）A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}2．已知角α的终边经过点P （﹣3，4），则sin α的值等于（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣3．已知cos α=﹣，sin α=，那么α的终边所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设a=0.50.5，b=0.30.5，c=log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．若sinxcosx=，且，则cosx ﹣sinx 的值是（ ）A ．±B ．C ．﹣D ．±6．若函数f （x ）=，则f=（ ）A ．lg101B ．5C ．101D ．0 7．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（ ）（1）在上单调递减，（2）最小正周期为2π，（3）是奇函数．A ．y=tanxB ．y=cosxC ．y=sin （x+3π）D ．y=sin2x8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m ）的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）（其中a ＞b ），若f （x ）的图象如图所示，则函数g （x ）=a x +b 的图象大致为（ ）A．B． C．D．10．已知f（x）=|2﹣x2|，若0＜m＜n时满足f（m）=f（n），则mn的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，2] C．（0，4] D．二、填空题（2015秋富阳市校级月考）用二分法研究函数f（x）=x3+3x﹣1的零点时，第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈，第二次应计算的f（x）的值为f（）．12．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是．13．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x+lnx，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）= ．14．存在实数x，使得关于x的不等式cos2x＜a﹣sinx成立，则a的取值范围为．15．【理】若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在）的值域为．17．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是．三、解答题（5题，共40分．）18．计算：（1）tanα=2，求的值；（2）求值：．19．已知函数f（x）=ln（3+x）+ln（3﹣x）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数y=f（x）的奇偶性；（Ⅲ）若f（2m﹣1）＜f（m），求m的取值范围．20．已知函数f（x）=ba x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式+1﹣2m≥0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．21．设函数f（x）=|1﹣|（1）求满足f（x）=2的x值；（2）是否存在实数a，b，且0＜a＜b＜1，使得函数y=f（x）在区间上的值域为，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．22．设二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x 恒成立．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在上的最小值；（3）设g（x）=kx+1，若G（x）=在区间上是增函数，求实数k的取值范围．浙江省2017-2018学年高一上学期12月质检数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】由题意，集合∁U A={0，4}，从而求得（∁U A）∪B={0，2，4}．【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选D．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα=的值．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，∴sinα==，故选C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，3．已知cosα=﹣，sinα=，那么α的终边所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】三角函数值的符号．【专题】三角函数的求值．【分析】根据题意和“一全正二正弦三正切四余弦”判断出α的终边所在的象限即可．【解答】解：由cosα=﹣＜0得，α的终边在第二或第三象限，由sinα=＞0得，α的终边在第一或第二象限，所以α的终边在第二象限，故选：B．【点评】本题考查了三角函数值的符号，即利用口诀：一全正二正弦三正切四余弦判断角所在的象限．4．设a=0.50.5，b=0.30.5，c=log0.32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=0.50.5＞b=0.30.5＞0，c=log0.32＜log0.31=0，∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的单调性的合理运用．5．若sinxcosx=，且，则cosx﹣sinx的值是（）A．±B．C．﹣D．±【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】依题意，知cosx﹣sinx＜0，令t=cosx﹣sinx，易求t2=，从而可得答案．【解答】解：∵，∴cosx＜sinx，∴cosx﹣sinx＜0，令t=cosx﹣sinx，∵sinxcosx=，则t2=（cosx﹣sinx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣2×=，∴t=﹣，即cosx﹣sinx=﹣．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考察三角函数间的平方关系的应用与正弦函数与余弦函数的单调性质，是基本知识的考查．6．若函数f（x）=，则f=（）A．lg101 B．5 C．101 D．0【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f=f（lg100）=f（2）=22+1=5．故选：B．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，基本知识的考查．7．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（）（1）在上单调递减，（2）最小正周期为2π，（3）是奇函数．A．y=tanx B．y=cosx C．y=sin（x+3π）D．y=sin2x【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】分别判断每个函数是否满足条件即可．【解答】解：A．y=tanx在上单调递增，不满足条件（1）．B．函数y=cosx是偶函数，不满足条件（3）．C．函数y=sin（x+3π）=﹣sinx，满足三个条件．D．函数y=sin2x的最小周期T=π，不满足条件（2）．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的性质以及判断．8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位m）的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；一元二次不等式的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】设矩形的高为y，由三角形相似可得，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，再由，得y=40﹣x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，由，得y=40﹣x，∴x（40﹣x）≥300，解得10≤x≤30．故选C．【点评】此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目．9．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；转化思想．【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．【点评】本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a、b的范围．10．已知f（x）=|2﹣x2|，若0＜m＜n时满足f（m）=f（n），则mn的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，2] C．（0，4] D．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意易得0＜m＜，n＞，可得m2+n2=4，由基本不等式可得4=m2+n2≥2mn，即mn≤2，结合题意可得范围．【解答】解：∵f（x）=|x2﹣2|，且0＜m＜n，f（m）=f（n），∴0＜m＜，n＞，∴2﹣m2=n2﹣2，即m2+n2=4，由基本不等式可得4=m2+n2≥2mn，解得mn≤2，但0＜m＜n，∴0＜mn＜2故选：A【点评】本题考查基本不等式，涉及二次函数的性质，属基础题．二、填空题（2015秋富阳市校级月考）用二分法研究函数f（x）=x3+3x﹣1的零点时，第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈（0，0.5），第二次应计算的f（x）的值为f（0.25 ）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（0）f（0.5）＜0，其中一个零点x0∈（0，0.5）；第二次应计算中点函数值．【解答】解：∵f（0）f（0.5）＜0，∴其中一个零点x0∈（0，0.5）；第二次应计算的f（x）的值为f（）=f（0.25）；故答案为：（0，0.5），0.25．【点评】本题考查了二分法的应用，属于基础题．12．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是3π．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题．【分析】把扇形的圆心角为代入扇形的面积s=α r2进行计算求值．【解答】解：扇形的圆心角为1200，即扇形的圆心角为，则扇形的面积是αr2==3π，故答案为：3π．【点评】本题考查扇形的面积公式的应用，求出扇形的圆心角的弧度数是解题的突破口．13．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x+lnx，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）= x﹣ln（﹣x）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数是奇函数将x∈（﹣∞，0）转化为﹣x∈（0，+∞），然后利用条件即可得到函数的解析式．【解答】解：当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=x+lnx，∴当﹣x∈（0，+∞）时，f（﹣x）=﹣x+ln（﹣x），∵函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣x+ln（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=x﹣ln（﹣x），x＜0．故答案为：f（x）=x﹣ln（﹣x）．【点评】本题主要考查函数解析式的求法，根据函数的奇偶性将条件进行转化是解决本题的关键．14．存在实数x，使得关于x的不等式cos2x＜a﹣sinx成立，则a的取值范围为（﹣1，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】问题等价于a大于cos2x+inx的最小值，由三角函数和二次函数区间的最值可得．【解答】解：存在实数x，使得关于x的不等式cos2x＜a﹣sinx成立等价于存在实数x，使得关于x的不等式a＞cos2x+sinx成立，故只需a大于cos2x+inx的最小值即可，令y=cos2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1=﹣（sinx﹣）2+，由二次函数可知当sinx=﹣1时，y取最小值﹣1，∴a的取值范围为：（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）【点评】本题考查不等式的成立问题，转化为求函数的最值是解决问题的关键，属基础题．15．【理】若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】去绝对值原函数变成：f（x）=，由已知条件知，函数x2+ax ﹣a在．故答案为：【点评】考查含绝对值函数的单调性，二次函数的单调性及单调区间．16．已知函数f（x）=22x﹣﹣6（x∈）的值域为．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题可以利用换元法，将原函数转化为一元二次函数在区间上的值域，利用二次函数的图象求出函数的值域，得到本题的结论．【解答】解：设2x=t，t∈．则g（t）=t2﹣5t﹣6=（t﹣）2﹣．∴g（）≤g（t）≤g（8）．即g（t）∈．∴函数f（x）=22x﹣﹣6（x∈）的值域为．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数在区间上的值域，还考查了换元法思想，本题属于基础题．17．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，0]∪∪上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】其他不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把点A（1，8），B（3，32）代入函数f（x）=ba x，求得a、b的值，可得f（x）的解析式．（2）不等式即m≤++，令t=，则m≤t2+t+．利用二次函数的性质求得g（t）=t2+t+的最小值，可得m的范围．【解答】解：（1）把点A（1，8），B（3，32）代入函数f（x）=ba x，可得，求得，∴f（x）=42x．（2）不等式+1﹣2m≥0，即m≤++．令t=，则m≤t2+t+．记g（t）=t2+t+=+，由x∈（﹣∞，1]，可得t≥．故当t=时，函数g（t）取得最小值为．由题意可得，m≤g（t）min，∴m≤．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数的恒成立问题，二次函数的性质应用，属于基础题．21．设函数f（x）=|1﹣|（1）求满足f（x）=2的x值；（2）是否存在实数a，b，且0＜a＜b＜1，使得函数y=f（x）在区间上的值域为，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【考点】带绝对值的函数；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数的零点，去掉绝对值符号，即可求满足f（x）=2的x值；（2）化简函数y=f（x）的表达式，判断函数的单调性，然后利用在区间上的值域为，列出关于a，b的方程即可求出结果．【解答】（本题满分10分）解：（1）由f（x）=2知，所以或，于是x=﹣1或…（2）因为当x∈（0，1）时，…易知f（x）在（0，1）上是减函数，又0＜a＜b＜1，y=f（x）在区间上的值域为所以…【点评】本题考查含绝对值的函数的应用，函数的零点，以及函数的单调性，考查计算能力．22．设二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x 恒成立．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在上的最小值；（3）设g（x）=kx+1，若G（x）=在区间上是增函数，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用题意，推出混合组，求出a、b、c，即可求函数f（x）的表达式；（2）化简函数F（x）=g（x）﹣f（x）的表达式，通过对称轴所在位置，讨论即可求F（x）在上的最小值（3）通过化简表达式，在区间上是增函数，转化F（x）=﹣x2+（k﹣2）x在上为增函数且恒非负，得到不等式组，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意知…（2）F（x）=g（x）﹣f（x）=﹣x2+（k﹣2）x，x∈，对称轴当，即k≤5时，F（x）max=F（2）=2k﹣8当，即k＞5时，F（x）max=F（1）=k﹣3综上所述，…（3），由G（x）在区间上是增函数得F（x）=﹣x2+（k﹣2）x在上为增函数且恒非负故…【点评】本题考查函数恒成立问题的应用，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查计算能力．。