上海市浦东新区洋泾中学2016学年高一(上)期中数学试卷
上海市高一(上)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题B= ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U2．若函数，则f（x）•g（x）= ．3．函数y=的定义域是．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．413．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣315．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x+1）≤f（x）f（1）成立；（1）请给出一个x的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题B= {0} ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．B={x|x≤}，最后根据交集定义运算得出结果．【分析】先确定集合A={0，3}，再确定CU【解答】解：因为A={x|x2﹣3x=0}={0，3}，而B={x|x＞}，且U=R，B={x|x≤}，所以，CU所以，{x|x≤}∩{0，3}={0}，B={0}，即A∩CU故答案为：{0}．【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，交集和补集的定义，属于基础题．2．若函数，则f（x）•g（x）= x（x＞0）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．【解答】解：函数，则f（x）•g（x）==x，x＞0．故答案为：x（x＞0）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．3．函数y=的定义域是{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用分母不为0，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：﹣1≤x＜1或1＜x≤4．函数的定义域为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．故答案为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为（﹣∞，] ．【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，代入要解的不等式可得．【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），∴a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，∴不等式bx﹣a≥0可化为2ax﹣a≥0，两边同除以a（a＜0）可得2x﹣1≤0，解得x≤故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查不等式的解集，得出a的正负是解决问题的关键，属基础题．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是[﹣7，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得≤，求得a的范围，再由不等式的性质，可得f（2）的范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴为x=，由题意可得≤，解得a≤2，则f（2）=4﹣2（a﹣1）+5=11﹣2a≥﹣7．故答案为：[﹣7，+∞）．【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是[3，+∞）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合B，再利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}，A∩B=B，∴m﹣1≥2，解得m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”．【考点】四种命题．【专题】演绎法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”，故答案为：“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，则函数f（x）对应的图象如图：即当x＞1或x＜﹣1时，f（x）＞0，当0＜x＜1或﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价为或，即或，即或，即x＞2或0＜x＜1，即不等式的解集为（0，1）∪（2，+∞），故答案为：（0，1）∪（2，+∞）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m 的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，∴f（2）=f（﹣2）=1；∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤x+a≤2，即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，∴﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为 3 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：解：∵ x2﹣2x+3=（2x2﹣6x+9）= [（x﹣3）2+x2]≥，令n2﹣2n+3=n，得2n2﹣9n+9=0，解得n=（舍去），n=3；令x2﹣2x+3=3，解得x=0或3．取m=0．∴m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．【分析】由集合间的关系判断（1）；写出方程组的解集判断（2）；由A∪B=B∪C，可得A=C或A、C均为B的子集判断（3）；画图说明（4）正确．【解答】解：（1）∅⊆{0}．故（1）错误；（2）方程组的解集是{（1，﹣2）}．故（2）错误；（3）若A∪B=B∪C，则A=C或A、C均为B的子集．故（3）错误；（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，如图，则A⊆∁B．故（4）正确．U∴正确命题的个数是1个．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合的表示法及集合间的关系，是基础题．13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；判别式法；简易逻辑．【分析】一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△＜0．解出即可判断出．【解答】解：若一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△=a2﹣4＜0．解得﹣2＜a＜2．∴“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣3【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】原不等式化为＜0，分类讨论即可得到答案．【解答】解：化为式﹣1＞0，即＞0，即＜0，当a+3＞0时，即a＞﹣3时，原不等式为x+a＜0，即x＜﹣a，∵﹣4∉P，∴a≥4；当a+3＜0时，即a＜﹣3时，原不等式为x+a＞0，即x＞﹣a，∴﹣4∉P，∴a＜﹣3；当a+3=0时，即x∈∅，∴﹣4∉P，综上所述：a的取值范围为a≥4，或a≤﹣3，故选：C．【点评】本题考查分式不等式解法的运用，关键是分类讨论，属于与基础题．15．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．【解答】解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，由x+≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】（I）分式不等式的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．【点评】对于条件Q⊆P的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．【考点】充要条件．【专题】转化思想；集合思想；简易逻辑．【分析】（1）若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得实数b的取值范围；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，进而得到结论．【解答】解：（1）∵a=2，∴β：B={x|b﹣2＜x＜b+2}．若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得：b∈[﹣1，1]；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，即a＜1，b≤|a﹣1|【点评】本题考查的知识点是充要条件，正确理解并熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得：二次函数的对称轴为x=，由条件可得：2a＞a+c，所以x=＜＜1，进而得到f（x）在区间[1，+∞）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案．（2）二次函数的对称轴是x=，讨论f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．【解答】解：（1）因为二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c的图象的对称轴x=，因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，所以x=＜＜1，所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．所以f（x）min=f（1）=a﹣c，因为f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，所以a﹣c＞c2﹣2c+a，所以0＜c＜1；（2）二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c图象的对称轴是x=．若f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，所以函数f（x）在区间（0，）和（，1）内分别有一零点．故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；若f（0）=c＜0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x+1）≤f（x）f（1）成立；（1）请给出一个x的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a 的取值范围．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】应用题；新定义；函数思想．【分析】（1）取值带入即可；（2）根据函数f （x ）的定义求解x 0即可；（3）利用函数的思想求解．【解答】解：（1）令x 0=2，则，成立；（2）假设函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2是集合M 中的元素，则存在x 0，使f （x 0+1）≤f（x 0）f （1）成立，即（x 0+1）2﹣（x 0+1）﹣2≤（）（﹣2），解得：， 故x 0组成的集合是：{x 0|}； （3）∵函数f （x ）=，∴，设g （x ）==，∴0＜g （x ）＜3，2a=0时显然成立，当a ＞0时，a ＞g （x ），∴a＞3；a ＜0时，a ＜g （x ），∴a＜0；综上，a≤0或a ＞3【点评】本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题。
2016-2017年上海市上海中学高一上期中数学试卷
上海中学高一期中数学卷2016.11一. 填空题1. 设集合{0,2,4,6,8,10}A =，{4,8}B =，则A C B =2. 已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =I3. “若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是4. 若2211()f x x x x +=+，则(3)f = 5. 不等式9x x>的解是 6. 若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是7. 不等式2(3)30x --<的解是8. 已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠U 且A B ≠∅I ，则m 的 取值范围是9. 不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 10. 设0a >，0b >，且45ab a b =++，则ab 的最小值为 11. 已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个 实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是 12. 已知0a >，0b >，2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为二. 选择题1. 不等式||x x x <的解集是（ ）A. {|01}x x <<B. {|11}x x -<<C. {|01x x <<或1}x <-D. {|10x x -<<或1}x >2. 若A B ⊆，A C ⊆，{0,1,2,3,4,5,6}B =，{0,2,4,6,8,10}C =，则这样的A 的个数 为（ ）A. 4B. 15C. 16D. 323. 不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（ ） A. 7- B. 7 C. 5- D. 54. 已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等” 的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要三. 解答题1. 解不等式：（1）|2||23|4x x -+-<； （2）2232x x x x x -≤--；2. 已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+； （2）222a b c ab bc ca ++≥++；3. 已知二次函数2()1f x ax bx =++，,a b R ∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且 最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；4. 设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根 的两倍，求p 的取值范围；5. 已知二次函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，记[2]()(())fx f f x =，例：2()1f x x =+， 则[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()fx x =； （2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()fx x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；参考答案一. 填空题1. {0,2,6,10}2. {1,0,1}-3. 若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠；4. 75. (3,0)(3,)-+∞U6. 1(,)3-∞-7. (0,6)8. [6,8)- 9. 16 10. 25 11. 3(3,)2- 12. 2+二. 选择题1. C2. C3. C4. A三. 解答题1.（1）1(,3)3；（2）(1,0]{1}(2,)-+∞U U ；2. 略；3.（1）2()21f x x x =++；（2）3k <或134k =； 4. 107p <<； 5.（1）0x =或2x =；（2）4∆>；。
2016年上海市浦东新区高三上学期数学期中考试试卷
2016年上海市浦东新区高三上学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 设全集，集合，，则．2. 函数的反函数为，则．3. ，则函数的值域是．4. 已知集合，，则．5. 如图，正三棱柱中，有，则与平面所成的角的正弦值为．6. 已知一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的中位数是．7. 若不等式的解集中的整数有且仅有，，，则的取值范围．8. 的展开式中的系数是．9. 从总体中抽取一个样本：，，，，，则总体标准差的估计值为．10. 已知是奇函数，且，若，则．11. 已知，，且，则使成立的的集合是．12. 在中，两直角边分别为，，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱，，两两垂直，且长度分别为，，，设棱锥底面上的高为，则．二、选择题（共6小题；共30分）13. “”是“在定义域内为增函数”的条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要14. 如图，直线，相交于点且，成角，过点与，都成角的直线有A. 条B. 条C. 条D. 条15. 有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为A. B. C. D.16. 已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，满足的等量关系是A. B.C. D.17. 已知函数则不等式的解集是A. B. C. D.18. 我们定义渐近线：已知曲线，如果存在一条直线，当曲线上任意一点沿曲线运动时，可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①；②；③；④；其中有渐近线的函数的个数为A. B. C. D.三、解答题（共5小题；共65分）19. 用一个半径为的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．20. 已知全集，集合，，，求，．21. 如图：三棱锥中，底面，若底面是边长为的正三角形，且与底面所成的角为．若是的中点，求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22. 甲厂以千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元．（1）写出生产该产品小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品小时获得的利润不低于元，求的取值范围．23. 已知函数；（1）作出函数的图象；（2）根据（）所得图象，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点（3）关于的方程（）恰有个不同的实数解，求的取值范围．答案第一部分1.【解析】因为全集，集合，，所以，所以．2.【解析】根据函数与它的反函数的定义域和值域互换，令函数，其中，解得；所以．3.【解析】因为，则，；那么：函数，当且仅当时取等号．所以函数的值域是．4.【解析】因为集合，，所以．5.【解析】取的中点，连接，，则，正三棱柱中，所以面面，面面，所以面，所以就是与平面所成的角，在中，因为，．6.7.【解析】因为，又由已知解集中的整数有且仅有，，，故有．8.【解析】由题意，二项式的展开式通项是，故展开式中的系数是．9.【解析】样本数据：，，，，的平均数为：，方差为，所以标准差为．10.【解析】由题意，是奇函数，且，所以解得，所以．11. 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为【解析】，即，．当时，上述不等式等价于解得；当时，原不等式等价于解得．综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．12.【解析】因为，，两两互相垂直，，，在平面内，所以平面．设在平面内部，且，由已知有：，，所以，即．第二部分13. A 【解析】当时，，在定义域内为增函数，则在定义域内为增函数成立，即充分性成立，若，，在定义域内为减函数，满足在定义域内为增函数，此时不成立，即必要性不成立，故“”是“在定义域内为增函数”的充分不必要条件．14. C 【解析】在，所确定的平面内有一条如图，平面外有两条．如图：15. A【解析】有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本，将其随机地并排放到书架的同一层上，基本事件总数，同一科目的书都相邻包含的基本事件个数，所以同一科目的书都相邻的概率为．16. C 【解析】因为，所以，同理：，，由，得．17. A 18. C 【解析】对于①，根据渐近线的定义，不存在渐近线；对于②是由的图象向上平移个单位得到，其渐近线方程为；对于③是由向右平移一个单位得到，其渐近线方程为；对于④，其渐近线方程为，；综上，有渐近线的函数的个数为个．第三部分19. 如图所示，设为轴截面，过点作，，解得，所以是等边三角形，所以．所以它的最高点到桌面的距离为．20. 由，得．由，得 ． 由 ，得 ． 所以 ， ．21. （1） 因为 底面 ， 与底面 所成的角为，所以， 因为 ， 所以 ，．（2） 连接 ，取 的中点，记为 ，连接 ，则 ，所以 为异面直线 与 所成的角， 计算可得： ， ， ，， 异面直线 与 所成的角为． 22. （1） 设生产该产品 小时可获得利润为 ，则元， ， ．（2） 由题意可得：，化为： ， ． 解得 ．所以 的取值范围是 ．23. （1） 函数．作出函数的图象如图：（2）由函数的图象得函数的定义域为，函数的值域为，在和上单调递增，在和单调递减，函数关于轴对称，是偶函数，函数与轴没有交点，无零点．即：性质定义域值域单调性奇偶性零点在上单调增偶函数无零点在上单调减（3）因为，且函数为偶函数，所以令，则方程等价为，则由图象可知，当时，方程有个不同的根，当时，方程有个不同的根．当或时，方程有个不同的根，若方程（）恰有个不同的实数解，等价为方程（）恰有个不同的实数解，即有两个不同的根，其中，，则．。
上海市高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。
上海高一第一学期期中数学试卷及答案
上海高一第一学期期中数学试卷一、填空题（每题3分，共42分）1、已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{－2，－1,0}，则U C AB ＝____________.2、“1m ”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．3、不等式x>ax ＋32的解集是(4,b)，则b ＝________.4、若集合A ＝{x|(k-1)x 2＋x －k ＝0}有且仅有两个子集，则实数k 的值是________．5、函数232()23x x f x x的定义域是__________________.6、设函数f(x)＝－x ，x ≤0，x 2，x>0，若f(α)＝2，则实数α为________．7、不等式204x x的解集是___________________.8、不等式x 2－3>2|x|的解集是____________．9、已知0,0xy且2223,xy则212x y 的最大值是________________.10、下面几个不等式的证明过程：①若a 、,b R 则22;b a b a ab a b②xR 且0,x则4442;xxxxxx③若a 、,bR 0,ab 则()2 2.b a b a b a abab ab其中正确的序号是___________________.11、若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．12、某种商品将在某一段时间内进行提价，提价方案有三种：第一种：先提价%,m 再提价%;n 第二种：先提价%,2m n 再提价%;2m n 第三种：一次性提价()%.m n 已知0m n ，则提价最多的方案是第_________________种。
13、对a 、.bR 记,(),min ,,(),a ab a bb ab 函数1()min,12()2f x x x x R 的最大值为____________________.14、对,xR y R ,已知()()(),f x y f x f y 且(1)2,f 则(2)(3)(4)(1)(2)(3)f f f f f f (2015)(2016)(2014)(2015)f f f f 的值为____________________.二、选择题（每题3分，共12分）15、设0,xy 则下列各式中正确的是（）A ，2x y x xy y B ，2x y x xy y C ，2x yxyxyD ，2x yxyxy16、已知a 、b 、c 、d 为实数，且cd 则“ab ”是“ac bd ”的（）A ，充分而不必要条件B ，必要而不充分条件C ，充要条件D ，既不充分也不必要条件17、下列各对函数中，相同的是（）A ，2(),()1xx f x g x x xB ，()1,f x g x xC ，11(),()11u v f u g v uvD ，2(),()f x xg x x18、设,,a b c 为实数，2()()(),f x x a x bx c 2()(1)(1).g x ax cxbx 记集合()0,,Sx f x xR ()0,,Tx g x x R 若,S T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A ，10S T 且B ，11S T 且C ，22ST且D ，23ST且三、解答题19、（本题8分，每小题4分）解下列不等式组222116801233421815x x x x x x x x x 20、（本题8分，每小题4分）（1）已知1x，求27101xx yx 的最小值；（2）已知3412x y ，求xy 的最大值.21、（本题8分）已知适合不等式5|3||4|2x a x x的x 的最大值为3,求实数a 的值；并解该不等式.22、（本题12分，每小题4分）已知二次函数()yf x 满足条件1(0),(1)(1)42.2f m f x f x x m (m 为已知实数)（1）求函数()f x 的解析式；（2）如果函数()yf x 的图像与x 轴的两个不同交点在区间（0,4）内，求实数m 的取值范围；（3）当函数()yf x 的图像与x 轴有两个交点时，这两个交点能否在点1(,0)2的两旁？请说明理由.23、（本题10分，每小题5分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。
高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套,上海市)
上海市高一第一学期期中考试数学一、 填空题(共42分，1-6每小题3分，7-12每小题4分) 1. 若82log 3x =-，则x = 2. 已知集合(){}(){}2,1,,1A x y y x B x y y x ==+==+，则AB =3. 若幂函数()f x 过)22,2(，则(8)f = 4. 不等式x x x 232)31()31(2<+-的解集为5. 若22xa=且0a >，则33x xxxa a a a --+=+ 6. 若关于x 的方程03422=-+x x 的两个根为21,x x ，则=+2221x x ______7. 若函数()21xy a =-在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是___________8. 下列幂函数在区间(),0+∞上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的是（请填入全部正确的序号）(1) ;21x y =（2）;31x y = (3) ;32x y =(4) ;31-=xy (5) .3x y =9. 已知集合{}2(1)320A x a x x =-+-=的子集有且仅有2个，则a = 10. ＂2560x x ++≠＂是＂2x ≠-＂的 条件．11. 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≤+-00)23)(32(a x x x 的解集为φ，则实数a 的取值范围为12. 若x>0,y>0, x+2y=2，则11x y+的最小值为 二、选择题(共16分，每小题4分)13、若56789log 6log 7log 8log 9log 10p =⋅⋅⋅⋅，则 （ ） （A ）(0,1)p ∈；（B ）1p =；（C ）(1,2)p ∈;(D)2p =14、在同一平面直角坐标系中，指数函数(0xy a a =>且1)a ≠和一次函数(1)y a x =+的图像关系可能是 （ ）15、如果|a-c|<|b|，则一定有 （ ） A.a<b+c; B.|a|<|b|+|c|; C.a<c-b; D.|a|>|b|-|c|16、已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，现有下列命题： （1）M 中的元素都不是集合P 中的元素； （2）M 中一定有不属于P 的元素； （3）M 中一定有属于P 中的元素； （4）M 中的元素不都是集合P 中的元素。
上海高一数学上学期期中试卷含答案(共3套)
上海中学高一上学期期中数学卷一、填空题1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A C B =___________2.已知集合{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =___________3“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是____________4.若2211()f x x x x+=+，则(3)f =___________ 5.不等式9x x>的解是___________ 6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是___________7.不等式22(3)2(3)30x x ---<的解是____________8.已知集合{}68A x x =-≤≤，{}B x x m =≤，若AB B ≠且A B ≠∅，则m 的取值范围是_____________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_________ 10.设0,0a b >>，且45ab a b =++，则ab 的最小值为____________11.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是_____________12.已知0a >，0b >，2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________ 二、选择题13..不等式x x x <的解集是（）（A ）{}01x x <<（B ）{}11x x -<<（C ）{}011x x x <<<-或（D ）{}101x x x -<<>或14.若A B ⊆，A C ⊆，{}0,1,2,3,4,5,6B =，{}0,2,4,6,8,10C =，则这样的A 的个数为（）（A ）4 （B ）15 （C ）16 （D ）3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）（A ）7-（B ）7（C ）5-（D ）516.已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（）条件（A ）充分不必要（B ）必要不充分（C ）充要（D ）既不充分也不必要三、解答题17.解不等式： （1）2234x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++19.已知二次函数2()1,,f x ax bx a b R =++∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()13f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；21.已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；参考答案一、填空题1.{}0,2,6,102.{}1,0,1-3.若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠；4.75.(3,0)(3,)-+∞6.1(,)3-∞- 7.(0,6)8.[6,8)- 9.16 10.25 11.3(3,)2- 12.2+二、选择题13.C 14.C 15.C 16.A三、解答题17.（1）1(,3)3（2）{}(1,0]1(2,)-+∞18.略19.（1）2()21f x x x =++；（2）1334k k <=或； 20.107p <<；21.（1）02x x ==或；（2）4∆>;上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷一. 填空题1. 用∈或∉填空：0 ∅2. {|1,}A x x x R =≤∈，则R C A =3. 满足条件M {1,2}的集合M 有 个4. 不等式2(1)4x ->的解集是5. 不等式2210x mx -+≥对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是6. 集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，AB R =，则a 的取值范围是 7. 若1x >，92x x+-取到的最小值是 8. 如果0x <，01y <<，那么2y x ，y x ，1x 从小到大的顺序是 9. 一元二次不等式20x bx c ++≤的解集为[2,5]-，则bc =10. 全集为R ，已知数集A 、B 在数轴上表示如下图，那么“x B ∉”是“x A ∈”的条件11. 已知U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，用交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来12. 若规定集合12{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅*()n N ∈的子集12{,,,}m i i i a a a ⋅⋅⋅*()m N ∈为M 的第k 个子集，其中12111222m i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则M 的第25个子集是二. 选择题13. 集合{,,}A a b c =中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形14. 已知0a ≠，下列各不等式恒成立的是（ ） A. 12a a +> B. 12a a +≥ C. 12a a +≤- D. 1||2a a+≥ 15. 集合*1{|,}2m A x x m N ==∈，若1x A ∈，2x A ∈，则（ ） A. 12()x x A +∈ B. 12()x x A -∈ C. 12()x x A ∈ D.12x A x ∈ 16. 设,,x y a R +∈，且当21x y +=时，3a x y+的最小值为121x y +=时，3x ay + 的最小值是（ ）A. 6 C. 12D.三. 解答题 17. 已知实数a 、b ，原命题：“如果2a <，那么24a <”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性；18. 集合2{|0,}2x A x x R x +=≤∈-，{||1|2,}B x x x R =-<∈； （1）求A 、B ；（2）求()U BC A ；19. 设:127m x m α+≤≤+()m R ∈，:13x β≤≤，若α是β的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；20. 某农户计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m 宽的通道，沿前侧保留3m 宽的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最小？并求出最小值；21. 集合{||1|4}A x x =+<，{|(1)(2)0}B x x x a =--<；（1）求A 、B ；，求实数a的取值范围；（2）若A B B上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（2016秋•浦东新区期中）用∈或∉填空：0∉∅．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】转化思想；集合．【分析】根据元素与集合的关系进行判断【解答】解：∵0是一个元素，∅是一个集合，表示空集，里面没有任何元素．∴0∉∅故答案为：∉．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题2．（2016秋•浦东新区期中）A={x|x≤1，x∈R}，则∁R A={x|x＞1} ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据集合A，以及全集R，求出A的补集即可．【解答】解：∵A={x|x≤1，x∈R}，∴∁R A={x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（2016秋•浦东新区期中）满足条件M⊊{1，2}的集合M有3个．【考点】子集与真子集．【专题】综合题；综合法；集合．【分析】根据题意判断出M是集合{1，2}的真子集，写出所有满足条件的集合M，可得答案．【解答】解：由M⊊{1，2}得，M是集合{1，2}的真子集，所以M可以是∅，{1}，{2}，共3个，故答案为：3．【点评】本题考查子集与真子集的定义，写子集时注意按一定的顺序，做到不重不漏，属于基础题．4．（2016秋•浦东新区期中）不等式（x﹣1）2＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞3} ．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据平方数的定义，把不等式化为x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）2＞4可化为：x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，解得x＜﹣1或x＞3，所以该不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．故答案为：{x|x＜﹣1或x＞3}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．（2016秋•浦东新区期中）不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，△≤0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则△≤0，即4m2﹣4≤0，解得﹣1≤m≤1；所以实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．故答案为：﹣1≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题目．6．（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，A∪B=R，则a的取值范围是a≤1．【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题考查集合关系中的参数问题，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，本题解题的关键是借助于数轴完成题目．7．（2016秋•浦东新区期中）若x＞1，x+﹣2取到的最小值是4．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由x＞1，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：由x＞1，可得x+﹣2≥2﹣2=4．当且仅当x=，即x=3时，取得最小值4．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等的条件，考查运算能力，属于基础题．8．（2016秋•浦东新区期中）如果x＜0，0＜y＜1，那么，，从小到大的顺序是＜＜．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】由0＜y＜1，可得0＜y2＜y＜1，由x＜0，即可得出大小关系．【解答】解：∵0＜y＜1，∴0＜y2＜y＜1，∵x＜0，∴＜＜．故答案为：＜＜．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2016秋•浦东新区期中）一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，则bc=30．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出b、c的值．【解答】解：一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，所以对应一元二次方程x2+bx+c=0的实数根为﹣2和5，由根与系数的关系得，解得b=﹣3，c=﹣10；所以bc=30．故答案为：30．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及根与系数的关系的应用问题，是基础题目．10．（2016秋•浦东新区期中）全集为R，已知数集A、B在数轴上表示如图所示，那么“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据数轴结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由数轴得A={x|x≥1或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x≤1}，则∁R B={x|x＞1或x＜﹣2}，则∁R B⊊A，即“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据数轴关系求出对应的集合，根据集合关系进行判断是解决本题的关键．11．（2016秋•浦东新区期中）已知U是全集，A、B是U的两个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来B∩（∁U A）【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【专题】对应思想；待定系数法；集合．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁U A）．故答案为：B∩（∁U A）．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．12．（2016秋•浦东新区期中）若规定集合M={a1，a2，…，a n}（n∈N*）的子集{a，a，…a}（m ∈N*）为M的第k个子集，其中k=2+2+…+2，则M的第25个子集是{a1，a4，a5} ．【考点】子集与真子集．【专题】新定义；综合法；集合．【分析】根据定义将25表示成2n和的形式，由新定义求出M的第25个子集．【解答】解：由题意得，M的第k个子集，且k=2+2+ (2)又25=20+23+24=21﹣1+24﹣1+25﹣1，所以M的第25个子集是{a1，a4，a5}，故答案为：{a1，a4，a5}．【点评】本小题主要考查子集与真子集、新定义的应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题．二、选做题13．（2014•万州区校级模拟）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；选D．【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可．14．（2016秋•浦东新区期中）已知a≠0，下列各不等式恒成立的是（）A．a+＞2 B．a+≥2 C．a+≤﹣2 D．|a+|≥2【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】可取a＜0，否定A，B；a＞0，否定C；运用|a+|=|a|+，由基本不等式即可得到结论．【解答】解：取a＜0，则选项A，B均不恒成立；取a＞0，则选项C不恒成立；对于D，|a+|=|a|+≥2=2，当且仅当|a|=1时，等号成立．故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用反例法和基本不等式，属于基础题．15．（2016秋•浦东新区期中）设集合A={x|x=，m∈N*}，若x1∈A，x2∈A，则（）A．（x1+x2）∈A B．（x1﹣x2）∈A C．（x1x2）∈A D．∈A【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】利用元素与集合的关系的进行判定【解答】解：设x1=，x2=，x1x2=•=，p、q∈N，x1x2∈A，故选：B【点评】本题主要考查元素与集合的关系的判定，属于基础题．16．（2016秋•浦东新区期中）设x，y，a∈R*，且当x+2y=1时，+的最小值为6，则当+=1时，3x+ay的最小值是（）A．6 B．6 C．12 D．12【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题设条件，可在+上乘以x+2y构造出积为定值的形式，由基本不等式求得+的最小值为3+2a+2，从而得到3+2a+2=6，同理可得当+=1时，3x+ay 的最小值是3+2a+2，即可求得3x+ay 的最小值是6．【解答】解：由题意x，y，a∈R+，且当x+2y=1 时，+的最小值为6，由于+=（+）（x+2y）=3+2a++≥3+2a+2，等号当=时取到．故有3+2a+2=6，∴3x+ay=（3x+ay ）（+）=3+2a++≥3+2a+2=6，等号当=时取到．故选A．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，及构造出积为定值的技巧，解题的关键是由题设条件构造出积为定值的技巧，从而得出3+2a+2=6，本题中有一疑点，即两次利用基本不等式时，等号成立的条件可能不一样，此点不影响利用3+2a+2求出3x+ay 的最小值是6，这是因为3+2a+2是一个常数，本题是一个中档题目．三、解答题17．（14分）（2016秋•浦东新区期中）已知实数a、b，原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性．【考点】四种命题．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的形式与之间的关系，分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；并判断这四个命题的真假性即可．【解答】解：原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，是假命题；逆命题：“如果a2＜4，那么a＜2”，是真命题；否命题：“如果a≥2，那么a2≥4”，是真命题；逆否命题：“如果a2≥4，那么a≥2”，是假命题．【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假性的判断问题，是基础题目．18．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|≤0，x∈R}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}．（1）求A、B；（2）求B∩（∁U A）．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：（1）A={x|≤0，x∈R}={x|（x+2）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0}={x|﹣2≤x＜2}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}；（2）∁U A={x|x＜﹣2或x≥2}，∴B∩（∁U A）={x|2≤x＜3}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．19．（14分）（2016秋•浦东新区期中）设α：m+1≤x≤2m+7（m∈R），β：1≤x≤3，若α是β的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：设α对应的集合为A，β对应的集合为B，若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，则，即，得﹣2≤m≤0．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．20．（14分）（2016秋•浦东新区期中）某农户计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m宽的通道，沿前侧保留3m的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最大？并求出最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设出矩形的长为a与宽b，建立蔬菜面积关于矩形边长的函数关系式S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b ﹣2a+8=800﹣2（a+2b）．利用基本不等式变形求解．【解答】解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800．蔬菜的种植面积S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=808﹣2（a+2b）．=648（m2）．所以S≤808﹣4=648（m2），当且仅当a=2b，即a=40（m），b=20（m）时，S最大值答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．21．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x||x+1|＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣2a）＜0}．（1）求A、B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；分类讨论；集合．【分析】（1）通过解绝对值不等式得到集合A，对于集合B，需要对a的取值进行分类讨论：（2）A∩B=B，则B是A的子集，据此求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x||x+1|＜4}={x|﹣5＜x＜3}，当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．当a=0.5时，B=∅．当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．（2）由（1）知，A={x|﹣5＜x＜3}，∵A∩B=B，∴B⊆A，①当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．此时，，则＜a≤1.5；②当a=0.5时，B=∅．满足题意；③当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．此时，则﹣2.5≤a＜0.5．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2.5，1.5]．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．上海市黄浦区高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是．3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．4．不等式≤0的解集是．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A B（横线上填入⊆，⊇或=）9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=．10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为．11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）=．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=6．【考点】集合的相等．【分析】利用集合相等的定义求解．【解答】解：∵{1，2，3}={a，b，c}，∴a+b+c=1+2+3=6．故答案为：6．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是真命题．【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题，进而得到答案．【解答】解：若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是“若x∉Z，则x∉N”，是真命题故答案为：真命题3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，∴f（x）•g（x）=•=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3），故答案为：﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．4．不等式≤0的解集是{x|x≤或x＞4} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≤0等价于，解得x≤或x＞4，∴不等式≤0的解集为：{x|x≤或x＞4}故答案为：{x|x≤或x＞4}．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】确定1≤a+2≤3，即可解关于x的不等式ax+4＞1﹣2x．【解答】解：∵a2≤1，∴﹣1≤a≤1，∴1≤a+2≤3，∴不等式ax+4＞1﹣2x化为（a+2）x＞﹣3，∴x＞﹣，∴关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣}．故答案为{x|x＞﹣}．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是（4，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即[0，4]⊆（﹣∞，a），故a＞4，故答案为：（4，+∞）．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=2x2+3x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】令x﹣1=t，则x=t+1，将x=t+1代入f（x﹣1），整理替换即可．【解答】解：令x﹣1=t，则x=t+1，故f（x﹣1）=f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1，故f（x）=2x2+3x+1，故答案为：2x2+3x+1．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A⊆B（横线上填入⊆，⊇或=）【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论．【解答】解：根据题意，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，表示所有比7的整数倍小4的整数，也表示所有比7的整数倍大3的整数，故A⊆B；故答案为：⊆．9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B中函数的值域确定出集合A，B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的函数x+y2=1，得到集合A=（﹣∞，1]，由集合B中的函数y=x2﹣1≥﹣1，集合A=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为[﹣1，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴解得﹣1≤x≤1；函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为：[﹣1，1]；故答案为：[﹣1，1]11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，=1，∴1≥2，∴≤，ab≥8，当且仅当b=2a时“=”成立，=ab≥4，故S△故答案为：4．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}，b={1，2，3}，所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}，b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}；所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断；由∅是任何集合的子集，知∅⊆{0}．【解答】解：元素与集合间的关系是用“∈”，“∉”表示，故选项A、D不正确；∵∅是不含任何元素的∴选项C不正确∵∅是任何集合的子集故选：B．14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个【考点】子集与真子集．【分析】当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，x=2与函数y=f（x）只有一个交点；当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，即可求．【解答】解：当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，对于任意的x=2都有唯一的y与之对应，故x=2与函数y=f（x）只有一个交点，即集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素只有一个，当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，综上可得，集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素的个数为0个或1个故选：D．15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得结论．【解答】解：若a=﹣1，b=0，c=﹣1，d=0，则a＜b且c＜d，但ac＞bd，故A错误；若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故B正确；若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A与B不存在包含关系，故D错误；故选：B．16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④【考点】集合中元素个数的最值．【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：①A∩B=∅Û集合A与集合B没有公共元素，正确；②A⊆B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确；③A⊈B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误；④A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．故选B．三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，（1）计算a=3时集合A，根据补集与交集的定义；（2）A⊈B时，得出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}={x|x2﹣7x+10≤0}={x|2≤x≤5}；（1）当a=3时，A={x|4≤x≤9}，∴∁R A={x|x＜4或x＞9}，集合（∁R A）∩B={x|2≤x＜4}；（2）当A⊈B时，a+1＜2或2a+3＞5，解得a＜1或a＞1，所以实数a的取值范围是a≠1．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；（2）根据x1﹣1，x2﹣1同号得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；（1）当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x1＜1＜x2，∴f（1）=a+2﹣2a＜0，解得a＞2，∴a的取值范围是a＞2；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣，∴﹣2﹣（）+1＞0，解得0＜a＜2；又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，解得a∈R；综上，实数a的取值范围是0＜a＜2．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，即可得到函数的解析式，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，因此y==+，因为y=+≥2=10，当且仅当，即v=80时取“=”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区．20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据新定义可得x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3，解得即可，（2）根据新定义可得x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6，解得即可，（3）根据新定义可得x3﹣ax=x3++﹣ax﹣，解得即可．【解答】解：（1）x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3≥4x﹣4x﹣3=﹣3，当且仅当x=1时，取到最小值﹣3，（2）x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6≥3x﹣3x﹣6=﹣6，当且仅当x=3时，取到最小值﹣6，（3）x3﹣ax=x3++﹣ax﹣≥ax﹣ax﹣=﹣，当且仅当x=时，取到最小值﹣。
上海市浦东新区2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷一. 填空题1. 用∈或∉填空：0 ∅2. {|1,}A x x x R =≤∈，则R C A =3. 满足条件M {1,2}的集合M 有 个4. 不等式2(1)4x ->的解集是5. 不等式2210x mx -+≥对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是 6. 集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，A B R = ，则a 的取值范围是 7. 若1x >，92x x+-取到的最小值是 8. 如果0x <，01y <<，那么2y x，y x ，1x 从小到大的顺序是9. 一元二次不等式20x bx c ++≤的解集为[2,5]-，则bc =10. 全集为R ，已知数集A 、B 在数轴上表示如下图，那么“x B ∉”是“x A ∈”的 条件11. 已知U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，用交、 并、补关系将右图中的阴影部分表示出来12. 若规定集合12{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅*()n N ∈的子集12{,,,}m i i i a a a ⋅⋅⋅*()m N ∈为M 的第k 个子集，其中12111222m i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则M 的第25个子集是二. 选择题13. 集合{,,}A a b c =中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 14. 已知0a ≠，下列各不等式恒成立的是（ ）A. 12a a +> B. 12a a +≥ C. 12a a +≤- D. 1||2a a+≥15. 集合*1{|,}2m A x x m N ==∈，若1x A ∈，2x A ∈，则（ ） A. 12()x x A +∈ B. 12()x x A -∈ C. 12()x x A ∈ D. 12x A x ∈ 16. 设,,x y a R +∈，且当21x y +=时，3a x y+的最小值为121x y +=时，3x ay +的最小值是（ ）A. 6 C. 12D.三. 解答题17. 已知实数a 、b ，原命题：“如果2a <，那么24a <”，写出它的逆命题、否命题、逆 否命题；并分别判断四个命题的真假性；18. 集合2{|0,}2x A x x R x +=≤∈-，{||1|2,}B x x x R =-<∈； （1）求A 、B ； （2）求()U B C A ；19. 设:127m x m α+≤≤+()m R ∈，:13x β≤≤，若α是β的必要不充分条件，求实 数m 的取值范围；20. 某农户计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室， 在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m 宽的通道，沿前侧 保留3m 宽的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为 多少时，总占地面积最小？并求出最小值；21. 集合{||1|4}A x x =+<，{|(1)(2)0}B x x x a =--<； （1）求A 、B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围；2016-2017学年上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（2016秋•浦东新区期中）用∈或∉填空：0∉∅．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】转化思想；集合．【分析】根据元素与集合的关系进行判断【解答】解：∵0是一个元素，∅是一个集合，表示空集，里面没有任何元素．∴0∉∅故答案为：∉．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题2．（2016秋•浦东新区期中）A={x|x≤1，x∈R}，则∁R A={x|x＞1} ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据集合A，以及全集R，求出A的补集即可．【解答】解：∵A={x|x≤1，x∈R}，∴∁R A={x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（2016秋•浦东新区期中）满足条件M⊊{1，2}的集合M有3个．【考点】子集与真子集．【专题】综合题；综合法；集合．【分析】根据题意判断出M是集合{1，2}的真子集，写出所有满足条件的集合M，可得答案．【解答】解：由M⊊{1，2}得，M是集合{1，2}的真子集，所以M可以是∅，{1}，{2}，共3个，故答案为：3．【点评】本题考查子集与真子集的定义，写子集时注意按一定的顺序，做到不重不漏，属于基础题．4．（2016秋•浦东新区期中）不等式（x﹣1）2＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞3} ．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据平方数的定义，把不等式化为x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）2＞4可化为：x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，解得x＜﹣1或x＞3，所以该不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．故答案为：{x|x＜﹣1或x＞3}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．（2016秋•浦东新区期中）不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，△≤0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则△≤0，即4m2﹣4≤0，解得﹣1≤m≤1；所以实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．故答案为：﹣1≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题目．6．（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，A∪B=R，则a的取值范围是a≤1．【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题考查集合关系中的参数问题，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，本题解题的关键是借助于数轴完成题目．7．（2016秋•浦东新区期中）若x＞1，x+﹣2取到的最小值是4．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由x＞1，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：由x＞1，可得x+﹣2≥2﹣2=4．当且仅当x=，即x=3时，取得最小值4．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等的条件，考查运算能力，属于基础题．8．（2016秋•浦东新区期中）如果x＜0，0＜y＜1，那么，，从小到大的顺序是＜＜．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】由0＜y＜1，可得0＜y2＜y＜1，由x＜0，即可得出大小关系．【解答】解：∵0＜y＜1，∴0＜y2＜y＜1，∵x＜0，∴＜＜．故答案为：＜＜．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2016秋•浦东新区期中）一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，则bc=30．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出b、c的值．【解答】解：一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，所以对应一元二次方程x2+bx+c=0的实数根为﹣2和5，由根与系数的关系得，解得b=﹣3，c=﹣10；所以bc=30．故答案为：30．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及根与系数的关系的应用问题，是基础题目．10．（2016秋•浦东新区期中）全集为R，已知数集A、B在数轴上表示如图所示，那么“x∉B”是“x ∈A”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据数轴结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由数轴得A={x|x≥1或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x≤1}，则∁R B={x|x＞1或x＜﹣2}，则∁R B⊊A，即“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据数轴关系求出对应的集合，根据集合关系进行判断是解决本题的关键．11．（2016秋•浦东新区期中）已知U是全集，A、B是U的两个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来B∩（∁U A）【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【专题】对应思想；待定系数法；集合．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁U A）．故答案为：B∩（∁U A）．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．12．（2016秋•浦东新区期中）若规定集合M={a1，a2，…，a n}（n∈N*）的子集{a，a，…a}（m∈N*）为M的第k个子集，其中k=2+2+…+2，则M的第25个子集是{a1，a4，a5} ．【考点】子集与真子集．【专题】新定义；综合法；集合．【分析】根据定义将25表示成2n和的形式，由新定义求出M的第25个子集．【解答】解：由题意得，M的第k个子集，且k=2+2+ (2)又25=20+23+24=21﹣1+24﹣1+25﹣1，所以M的第25个子集是{a1，a4，a5}，故答案为：{a1，a4，a5}．【点评】本小题主要考查子集与真子集、新定义的应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题．二、选做题13．（2014•万州区校级模拟）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；选D．【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可．14．（2016秋•浦东新区期中）已知a≠0，下列各不等式恒成立的是（）A．a+＞2 B．a+≥2 C．a+≤﹣2 D．|a+|≥2【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】可取a＜0，否定A，B；a＞0，否定C；运用|a+|=|a|+，由基本不等式即可得到结论．【解答】解：取a＜0，则选项A，B均不恒成立；取a＞0，则选项C不恒成立；对于D，|a+|=|a|+≥2=2，当且仅当|a|=1时，等号成立．故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用反例法和基本不等式，属于基础题．15．（2016秋•浦东新区期中）设集合A={x|x=，m∈N*}，若x1∈A，x2∈A，则（）A．（x1+x2）∈A B．（x1﹣x2）∈A C．（x1x2）∈A D．∈A【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】利用元素与集合的关系的进行判定【解答】解：设x1=，x2=，x1x2=•=，p、q∈N，x1x2∈A，故选：B【点评】本题主要考查元素与集合的关系的判定，属于基础题．16．（2016秋•浦东新区期中）设x，y，a∈R*，且当x+2y=1时，+的最小值为6，则当+=1时，3x+ay的最小值是（）A．6 B．6 C．12 D．12【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题设条件，可在+上乘以x+2y构造出积为定值的形式，由基本不等式求得+的最小值为3+2a+2，从而得到3+2a+2=6，同理可得当+=1时，3x+ay 的最小值是3+2a+2，即可求得3x+ay 的最小值是6．【解答】解：由题意x，y，a∈R+，且当x+2y=1 时，+的最小值为6，由于+=（+）（x+2y）=3+2a++≥3+2a+2，等号当=时取到．故有3+2a+2=6，∴3x+ay=（3x+ay ）（+）=3+2a++≥3+2a+2=6，等号当=时取到．故选A．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，及构造出积为定值的技巧，解题的关键是由题设条件构造出积为定值的技巧，从而得出3+2a+2=6，本题中有一疑点，即两次利用基本不等式时，等号成立的条件可能不一样，此点不影响利用3+2a+2求出3x+ay 的最小值是6，这是因为3+2a+2是一个常数，本题是一个中档题目．三、解答题17．（14分）（2016秋•浦东新区期中）已知实数a、b，原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性．【考点】四种命题．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的形式与之间的关系，分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；并判断这四个命题的真假性即可．【解答】解：原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，是假命题；逆命题：“如果a2＜4，那么a＜2”，是真命题；否命题：“如果a≥2，那么a2≥4”，是真命题；逆否命题：“如果a2≥4，那么a≥2”，是假命题．【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假性的判断问题，是基础题目．18．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|≤0，x∈R}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}．（1）求A、B；（2）求B∩（∁U A）．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：（1）A={x|≤0，x∈R}={x|（x+2）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0}={x|﹣2≤x＜2}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}；（2）∁U A={x|x＜﹣2或x≥2}，∴B∩（∁U A）={x|2≤x＜3}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．19．（14分）（2016秋•浦东新区期中）设α：m+1≤x≤2m+7（m∈R），β：1≤x≤3，若α是β的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：设α对应的集合为A，β对应的集合为B，若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，则，即，得﹣2≤m≤0．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．20．（14分）（2016秋•浦东新区期中）某农户计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m宽的通道，沿前侧保留3m的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最大？并求出最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设出矩形的长为a与宽b，建立蔬菜面积关于矩形边长的函数关系式S=（a﹣4）（b﹣2）=ab ﹣4b﹣2a+8=800﹣2（a+2b）．利用基本不等式变形求解．【解答】解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800．蔬菜的种植面积S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=808﹣2（a+2b）．=648（m2）．所以S≤808﹣4=648（m2），当且仅当a=2b，即a=40（m），b=20（m）时，S最大值答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．21．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x||x+1|＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣2a）＜0}．（1）求A、B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；分类讨论；集合．【分析】（1）通过解绝对值不等式得到集合A，对于集合B，需要对a的取值进行分类讨论：（2）A∩B=B，则B是A的子集，据此求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x||x+1|＜4}={x|﹣5＜x＜3}，当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．当a=0.5时，B=∅．当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．（2）由（1）知，A={x|﹣5＜x＜3}，∵A∩B=B，∴B⊆A，①当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．此时，，则＜a≤1.5；②当a=0.5时，B=∅．满足题意；③当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．此时，则﹣2.5≤a＜0.5．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2.5，1.5]．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．。
2016-2017学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
上海中学高一期中数学卷1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A B =ð_______________.2.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝________.3.“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是________4.若2211(f x x x x +=+，则(3)f =________5.不等式9x x >的解是________6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________7.不等式2(3)30x --<的解集是________8.已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠ 且A B ⋂≠∅，则m 的取值范围是________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为________10.设0a >，0b >，且45ab a b =++，则ab 的最小值为________11.若函数()22()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围为________.12.已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________．13.不等式||x x x <的解集是（）A.{|01}x x << B.{|11}x x -<<C.{|01x x <<或1}x <- D.{|10x x -<<或1}x >14.若A B ⊆，A C ⊆，{0,1,2,3,4,5,6}B =，{0,2,4,6,8,10}C =，则这样的A 的个数为（）A.4 B.15 C.16 D.3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）A.7-B.7C.5- D.516.已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件17.解不等式：（1）|2||23|4x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--；18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ≥+++；（2）222a b c ab bc ca ++≥++；19.已知二次函数2()1f x ax bx =++，,a b ∈R ，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；21.已知二次函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，则[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；上海中学高一期中数学卷1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A B =ð_______________.【答案】{}0,2,6,10【分析】利用补集的定义可得出集合A B ð.【详解】 集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，因此，{}0,2,6,10A B =ð.故答案为：{}0,2,6,10.【点睛】本题考查补集的计算，熟悉补集的定义是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝________.【答案】{-101}，，【分析】化简集合A ，由交集运算即可求解.【详解】因为{|22}A x x =-<<，所以A B ⋂＝{1,0,1}-，故填{1,0,1}-.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于中档题.3.“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是________【答案】若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠【分析】根据已知中的原命题及逆否命题的定义，可得答案．【详解】解：“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是“若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠”，故答案为：“若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠”【点睛】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握逆否命题的定义，是解答的关键，属于基础题．4.若2211(f x x x x +=+，则(3)f =________【答案】7【分析】利用换元法求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【详解】解：2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为当0x >时，12x x +≥=；当0x <时，112x x x x ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭；所以2()2f x x =-，(][),22,x ∈-∞-+∞ ，则()37f =．故答案为：7．【点睛】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．5.不等式9x x>的解是________【答案】(3,0)(3,)-⋃+∞【分析】首先通分化简分式不等式，最后化简为整式不等式，利用穿根法解答即可．【详解】解：原不等式等价于290x x->等价于(3)(3)0x x x +->，数轴标根，穿针引线得如下图形：则原不等式的解30x -<<或3x >即不等式的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞；故答案为：(3,0)(3,)-⋃+∞；【点睛】本题考查了分式不等式的解法；关键是转化为整式不等式解之；运用穿根法使得解集易得，属于中档题．6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________【答案】1(,3-∞-【分析】若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，则220(1)40a a a <⎧⎨∆=+-<⎩，解得a 的取值范围．【详解】解：若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，当0a =时，0x <，不满足条件；则220(1)40a a a <⎧⎨∆=+-<⎩，解得：13a <-，即1,3a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，故答案为：1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，转化思想，属于中档题．7.不等式2(3)30x --<的解集是________【答案】(0,6)t =，则原不等式化为2230t t --<，(0)t ，解关于t 的不等式，然后解出x 范围．t =，(0)t ，则原不等式化为2230t t --<，解得13t -<<所以03t ≤<，即[)0,3t ∈[)0,3，所以2(3)9x -<，解得333x -<-<，所以06x <<，故原不等式的解集为()0,6；故答案为：()0,6．【点睛】本题考查了利用换元法解不等式，属于基础题．8.已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠ 且A B ⋂≠∅，则m 的取值范围是________【答案】[6,8)-【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于m 的不等式组，解出即可．【详解】解：{|68}A x x =-，{|}B x x m =，若A B B ≠ 且A B ⋂≠∅，则68m m -⎧⎨<⎩，解得68m -≤<，即[)6,8m ∈-故答案为：[)6,8-．【点睛】本题考查了集合的交集、并集的定义，属于基础题．9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为________【答案】16【分析】利用基本不等式进行求解，先求出()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为)21+，然后解不等式即可．【详解】解：())211111a y ax x y a a a x y x y ⎛⎫++=+++++++ ⎪⎝⎭，当且仅当y ax x y =时取等号，即()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为)21+，若不等式()125a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数x ，y 恒成立，)2125∴+，即154，则16a ，即正实数a的最小值为16，故答案为：16．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式先求出()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为)21+是解决本题的关键，属于中档题．10.设0a >，0b >，且45ab a b =++，则ab 的最小值为________【答案】25【分析】利用基本不等式可将45ab a b =++转化为ab 的不等式，求解不等式可得ab 的最小值．【详解】解：0a > ，0b >，45a b ab ∴++=，可得55ab +=+，当且仅当4a b =时取等号．)150∴+，∴51-（舍去）．25ab ∴．故ab 的最小值为25；故答案为：25．【点睛】本题考查基本不等式，将212ab a b =++转化为不等式是关键，考查等价转化思想与方程思想，属于中档题.11.若函数()22()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围为________.【答案】3(3,2-【分析】直接计算，需分多种情况讨论，故先求题干的否定，即对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，只需满足(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，列出不等式组，求解即可得答案.【详解】函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的否定为：对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，则(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，即2242(2)21042(2)210p p p p p p ⎧----+≤⎨+---+≤⎩，整理得222390210p p p p ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得32p ≥或3p ≤-，所以函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.故答案为：3(3,)2-【点睛】本题考查二次方程根的分布与系数的关系，解题的要点在于求解题干的否定，再求得答案，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.12.已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________．【答案】63+【详解】试卷分析：因为,a b 为正实数，且2a b +=，所以22222112121(1)111111a b b a a b a b a b b a b a b +-+=+++=++-+=++++++[]()2+121(1)121111(1)=1+3+133131b a b a a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦(161333+≥++=当且仅当()2+11b a a b =+即1)a b =+时取等号，所以2221a b a b +++的最小值为63+．考点：基本不等式．【名师点睛】本主要考查基本不等式的应用以及构造基本不等式的拆项、拼凑等基本方法，属难题．第一难点是将2221a b a b +++正确拆分为2111a b +++形式，第二难点是211a b ++乘以(1)3a b ++进行变形拼凑基本不等式()2+11b a a b ++的形式，最后利用基本不等式求最小值时还得注意应用基本不等式的条件，即保证两个数均为正数、乘积为定值且能取到等号，得到正确结果．13.不等式||x x x <的解集是（）A.{|01}x x << B.{|11}x x -<<C.{|01x x <<或1}x <- D.{|10x x -<<或1}x >【答案】C【分析】原不等式即()||10x x -<，等价转化为①010x x >⎧⎨-<⎩，或②010x x <⎧⎨->⎩．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【详解】解：不等||x x x <，即()||10x x -<，∴①010x x >⎧⎨-<⎩或②010x x <⎧⎨->⎩．解①可得01x <<，解②可得1x <-．把①②的解集取并集，即得原不等式的解集为{|01x x <<或1}x <-，故选：C ．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．14.若A B ⊆，A C ⊆，{0,1,2,3,4,5,6}B =，{0,2,4,6,8,10}C =，则这样的A 的个数为（）A.4B.15C.16D.32【答案】C【分析】利用A B ⊆，A C ⊆，可得()A B C ⊆ ，求出B C ⋂，即可得出结论．【详解】解：A B ⊆ ，A C ⊆，()A B C ∴⊆ ，{0,1,2,3,4,5,6}B = ，{0,2,4,6,8,10}C =，{}0,2,4,6B C ∴= ，则B C ⋂的子集有4216=个；A ∴的个数为16，故选：C ．【点睛】本题考查集合的运算与关系，考查学生的计算能力，属于基础题．15.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）A.7- B.7 C.5- D.5【答案】C【分析】根据不等式的解集构造不等式，化简后于已知得不等式对比即可求出a 与b 的值，进而求出-a b 的值．【详解】解：由不等式210ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，构造不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：2610x x +-<，即2610x x --+>，与210ax bx ++>对比得：6a =-，1b =-，则615a b -=-+=-，故选：C ．【点睛】此题考查学生理解不等式解集的意义，会根据解集构造不等式，属于基础题．16.已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】试卷分析：由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -．令2=+t x bx ，则2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b -，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A ．考点：充分必要条件．17.解不等式：（1）|2||23|4x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--；【答案】（1）1(,3)3；（2）(1,0]{1}(2,)-+∞ 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出各个区间上的x 的范围，从而求出不等式的解集即可；（2）通过讨论x 的范围得到10x -=或0(2)(2)0x x x ⎧⎨-+>⎩或0(2)(1)0x x x <⎧⎨-+<⎩，解出即可．【详解】解：（1）因为|2||23|4x x -+-<当2x 时，2234x x -+-<，解得：3x <，即23x ≤<；当322x <<时，2234x x -+-<，解得：4x <，即322x <<；当32x时，2324x x -+-<，解得：13x >，即1332x <≤；综上可得不等式的解集是：1|33x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭即1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2） 2232x x x x x ---，∴2(1)0(2)(1)x x x x --+，10x ∴-=或0(2)(2)0x x x ⎧⎨-+>⎩或0(2)(1)0x x x <⎧⎨-+<⎩解得：10x -<或1x =或2x >，故不等式的解集是{}(1,0]1(2,)-+∞ ．【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查解分式不等式以及分类讨论思想，属于中档题．18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ≥+++；（2）222a b c ab bc ca ++≥++；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据不等式的左边减去右边化简结果为2()0ad bc -，可得不等式成立；（2）从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．【详解】（1）证明：22222()()()a b c d ac bd ++-+ ()()2222222222222a c a d b c b d a c abcd b d =+++-++()20ad bc =-，22222()()()a b c d ac bd ∴+++成立；（2）因为222a b ab +≥，222a c ac +≥，222c b cb +≥，当且仅当a b c ==时取等号；所以222a b c ++2222221()2a b c a b c =+++++1(222)2ab ca bc ab bc ca ++=++，当且仅当a b c ==时取等号；222a b c ab bc ca ∴++++．【点睛】本题主要考查用比较法证明不等式，考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，把差变为因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题．19.已知二次函数2()1f x ax bx =++，,a b ∈R ，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；【答案】（1）2(1)2f x x x =++；（2）3k <或134k =；【分析】（1）根据函数的对称轴和函数的最值，即可求出函数的解析式，（2）设|1|x t +=，0t ，得到230t t k -+-=，由x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，得到关于t 的方程由两个相等的根或有一个正根，解得即可．【详解】解：（1）1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0，12b a∴-=-，(1)10f a b -=-+=，解得1a =，2b =，2()21f x x x ∴=++，（2）()|1|3f x x k =+-+，221|1|3x x x k ∴++=+-+，即2(1)|1|3x x k +=+-+，设|1|x t +=，0t ，230t t k ∴-+-=，x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，∴关于t 的方程由两个相等的根或有一个正根，∴14(3)0k ∆=--=或14(3)030k k ∆=-->⎧⎨-<⎩解得134k =或3k <，故有k 的取值范围为13{|4k k =或3}k <【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及参数的取值范围，关键是换元，属于中档题．20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；【答案】107p <<【分析】根据根与系数的关系和判别式即可求出p 的范围．【详解】解：关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，则22(1)4(1)3610p p p p p ∆=--+=--+>，解得23231133p --<<-+，当1210p x x p -+=>，及1210p x x p +=>时，方程的两根为正，解得01p <<．故013p <<-．记1x =2x =，由212x x >，并注意0p >，得10p >->，2285280p p ∴+-<，即271320p p +-<．127p ∴-<<．综上得p 的取值范围为1|07p p ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．21.已知二次函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，则[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；【答案】（1）0x =或2x =；（2）4∆>【分析】（1）根据新类型的定义，求解[2]()f x ，再解方程即可．（2）换元思想，根据新类型的定义：(())f f x x =，令()f x x t -=，则()f x t x -=，()f x t x =+，则有：()()f t x f x t +=-．带入二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，求出t ，t 又是二次函数的值，即2ax bx c t ++=函数必有两个根，0∆>．化简可得2(1)4b ac --的取值范围．【详解】解：（1）由题意：当2()f x x x =-时，则：[2]22243()()()2f x x x x x x x x =---=-+；那么：[2]()f x x =；即：432x x x x -+=；解得：0x =或2x =．（2）根据新类型的定义：(())f f x x =，令()f x x t -=，则()f x t x -=，()f x t x =+，则有：()()f t x f x t +=-．即22()()a t x b t x c ax bx c t ++++=++-，化简可得：2(21)0at ax b t +++=，解得：0t =或21ax b t a++=-．当0t =时，即2ax bx c x ++=，有两个不相同的实数根，可得2(1)40b ac -->．当21ax b t a ++=-时，221ax b ax bx c x a ++++=+，整理可得：21(1)0b ax b x c a+++++=，∴2221(1)4()(1)44(1)(1)44b b a c b ac b b ac a +∆=+-+=+-++=--- 有两个不相同的实数根0∆>．2(1)440b ac ∴--->，即2(1)44b ac -->．综上所得2(1)4b ac ∆=--的取值范围是(4,)+∞．【点睛】本题考查了新定义的应用和理解，反函数的利用和构造思想．换元的代换是解决此题的关键．属于难题．。
2016-2017学年上海市浦东新区高三(上)期中数学试卷及解析
2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题）=（a ﹣1）•a x 在定义域内为增函数”的（ ）条件． A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要2.如图，直线a 、b 相交于点O 且a 、b 成60°角，过点O 与a 、b 都成60°角的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条3.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（ ） A.15 B.25 C.14 D.164.已知三个球的半径R 1、R 2、R 3满足R 1+2R 2=3R 3 ， 则它们的表面积S 1、S 2、S 3满足的等量关系是（ ） A.S 1+2S 2=3S 3B.√s 1 + √2s 2 = √3s 3C.√s 1 +2 √s 2 =3 √s 3D.√s 1 +4 √s 2 =9 √s 35.已知函数 f(x)={x +2,x ≤0−x +2,x ＞0，则不等式f （x ）≥x 2的解集是（ ）A.[﹣1，1]B.[﹣2，2]C.[﹣2，1]D.[﹣1，2]6.我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M 沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y= x 13；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y=x+1 2x−1；其中有渐近线的函数的个数为（）A.1B.2C.3D.4第II卷（非选择题）二、解答题的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．8.已知全集U=R，集合A={x|4x﹣9•2x+8＜0}，B={x| 5x+2≥1 }，C={x||x﹣2|＜4}，求A∪B，CUA∩C．9.甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣3x ）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．10.已知函数f（x）=|x+ 1x |﹣|x﹣1x|；（1）作出函数f（x）的图象；（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．三、填空题11.设全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={y|y=x2+1}，则A∪∁UB= ．12.函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）= ．13.x＞1，则函数y=x+ 1x−1的值域是．14.已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x| √x≤4，x∈Z}，则A∩B=15.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为．16.已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是．17.若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围．18.（1+x）7的展开式中x2的系数是．19.从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为．20.已知f（x）=loga （x+1），g（x）=loga（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是．21.在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则1ℎ2 = 1a2+1 b2，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA，SB，SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．参考答案1.A【解析】1.解：当a＞1时，a﹣1＞0，a x在定义域内为增函数，则“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”成立，即充分性成立，若0＜a＜1，a﹣1＜0，a x在定义域内为减函数，满足“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”，此时a＞1不成立，即必要性不成立，故“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的充分不必要条件，故选：A2.C【解析】2.解：在a、b所确定的平面内有一条如图，平面外有两条．如图故选C【考点精析】关于本题考查的异面直线及其所成的角，需要了解异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能得出正确答案．3.A【解析】3.解：有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，将其随机地并排放到书架的同一层上，基本事件总数n= A55 =120，同一科目的书都相邻包含的基本事件个数m= A33A22A22 =24，∴同一科目的书都相邻的概率为p= m n =24120 = 15． 故选：A ． 4.C【解析】4.解：因为S 1=4πR 12 ， 所以 √s 1 =2 √πR 1 ， 同理： √s 2 =2 √πR 2 ， √s 3 =2 √πR 3 ， 由R 1+2R 2=3R 3 ， 得 √s 1 +2 √s 2 =3 √s 3 ． 故选：C ． 5.A【解析】5.解：①当x≤0时；f （x ）=x+2， ∵f（x ）≥x 2 ， ∴x+2≥x 2 ， x 2﹣x ﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2， ∴﹣1≤x≤0；②当x ＞0时；f （x ）=﹣x+2， ∴﹣x+2≥x 2 ， 解得，﹣2≤x≤1， ∴0＜x≤1，综上①②知不等式f （x ）≥x 2的解集是：﹣1≤x≤1， 故选A ．【考点精析】通过灵活运用解一元二次不等式，掌握求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边即可以解答此题． 6.C【解析】6.解：对于：①y= x13 ，根据渐近线的定义，不存在渐近线；对于②y=2x +1是由y=2x 的图象向上平移1个单位得到，其渐近线方程为y=1； 对于③y=log 2（x ﹣1）是由y=log 2x 向右平移一个单位得到，其渐近线方程为x=1； 对于④y=x+12x−1 = 12 （1﹣ 32x−1），其渐近线方程为x= 12 ，y= 12；综上，有渐近线的个数为3个 故选：C ．7.解：如图所示，设PAB 为轴截面，过点A 作AD⊥PB，π•AB=10π，解得AB=10，∴△PAB 是等边三角形， ∴AD=AB•sin60°=10×=5． ∴它的最高点到桌面的距离为5cm ．【解析】7.如图所示，设PAB为轴截面，过点A作AD⊥PB，利用圆的周长公式π•AB=10π，解得AB=10，可得△PAB是等边三角形，即可得出．【考点精析】解答此题的关键在于理解旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的相关知识，掌握常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球．8.解：由1＜2x＜8，得A=（0，3）．由，得B=（﹣2，3]．由|x﹣2|＜4⇒﹣2＜x＜6，得C=（﹣2，6）．所以A∪B=（﹣2，3]，CUA∩C=（﹣2，0]∪[3，6）【解析】8.由1＜2x＜8，得A=（0，3）．由5x+2≥1⇒x−3x+2≤0，得B=（﹣2，3]．由|x﹣2|＜4⇒﹣2＜x＜6，得C=（﹣2，6）．由此能求出A∪B，CuA∩C．【考点精析】根据题目的已知条件，利用交、并、补集的混合运算的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．9.（1）解：设生产该产品t（t≥0）小时可获得利润为f（t），则f（t）=100t（5x+1﹣3x）元，t≥0，1≤x≤10（2）解：由题意可得：100×2×（5x+1﹣3x ）≥3000，化为：5x2﹣14x﹣3≥0，1≤x≤10．解得3≤x≤10．∴x的取值范围是[3，5]【解析】9.（1）设生产该产品t（t≥0）小时可获得利润为f（t），可得f（t）=100t（5x+1﹣3x ）元．（2）由题意可得：100×2×（5x+1﹣3x）≥3000，解出即可得出．10.（1）解：函数f（x）=|x+ 1x |﹣|x﹣1x|= {2x,x≥12x,0＜x＜1−2x,−1≤x＜0−2x,x＜−1，作出函数f（x）的图象如图：（2）解：由函数的图象得函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（0，2]，在（﹣∞，﹣1]和（0，1）上单调递增，在[1，+∞）和（﹣1，0），单调递减，函数关于y轴对称，是偶函数，函数与x轴没有交点，无零点（3）解：∵0＜f（x）≤2，且函数f（x）为偶函数，∴令t=f（x），则方程等价为t2+mt+n=0，则由图象可知，当0＜t＜2时，方程t=f（x）有4个不同的根，当t=2时，方程t=f（x）有2个不同的根，当t≤0或t＞2时，方程t=f（x）有0个不同的根，若方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，等价为方程f2（x）+mf（x）+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，即t2+mt+n=0有两个不同的根，其中t1=2，0＜t2＜2，则n=t1t2∈（0，4）．【解析】10.（1）利用分段函数求出f（x）的表达式，然后作出函数f（x）的图象，（2）结合函数的图象判断相应的性质，（3）根据图象利用换元法将条件进行转化，利用数形结合即可得到结论．11.（﹣∞，2）【解析】11.解：∵集U=R，集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=x2+1}=[1，+∞），∴∁UB=（﹣∞，1），∴A∪（∁UB）=（﹣∞，2），所以答案是：（﹣∞，2）．【考点精析】本题主要考查了交、并、补集的混合运算的相关知识点，需要掌握求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法才能正确解答此题．12.√3【解析】12.解：根据函数与它的反函数的定义域和值域互换， 令函数f （x ）=x 2﹣1=2，其中x≥0， 解得x= √3 ；所以f ﹣1（2）= √3． 所以答案是： √3 ． 13.[3，+∞）【解析】13.解：∵x＞1，则，x ﹣1＞0， 1x−1＞0 ； 那么：函数y=x+ 1x−1 =x ﹣1+ 1x−1 +1≥ 2√(x −1)⋅1x−1+1 =3，当且仅当x=2时取等号．所以函数y 的值域是[3，+∞）．【考点精析】本题主要考查了函数的值域的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能正确解答此题． 14.{0，1，2}【解析】14.解：∵集合A={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}，B={x| √x ≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0，1，2}．所以答案是：{0，1，2}．【考点精析】掌握集合的交集运算是解答本题的根本，需要知道交集的性质：（1）A∩B A ，A∩B B ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则A B ，反之也成立．15.√64【解析】15.解：取BC 的中点E ，连接C 1E ，AE 则AE⊥BC，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， ∴面ABC⊥面BB 1C 1C ， 面ABC∩面BB 1C 1C=BC ， ∴AE⊥面BB 1C 1C ，∴∠AC 1E 就是AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角， 在Rt△AC 1E 中，∵AB=AA 1 ，sin ∠AC 1E= AEAC1=√32√2=√64．所以答案是： √64 ．【考点精析】掌握空间角的异面直线所成的角是解答本题的根本，需要知道已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．16.8【解析】16.解：由题意知：（7+8+9+x+y）÷5=8，化简可得又因为该组数据为5个，则中位数对应位置（5+1）÷2=3．①当x=y时，得x=y=8．显然，改组数据中位数为8．②当x≠y时，不妨设x＜y，又因为x+y=16，可以得到x＜8＜y，此时中位数也为8．【考点精析】关于本题考查的平均数、中位数、众数，需要了解⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据才能得出正确答案．17.5＜b＜7【解析】17.解：因为，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有．所以答案是5＜b＜7．【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．18.21= C7r x r【解析】18.解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是Tr+1故展开式中x2的系数是C72 =21所以答案是：21．19.√2【解析】19.解：样本数据：3、7、4、6、5的平均数为：x¯ = 15×（3+7+4+6+5）=5，方差为s2= 15×[（3﹣5）2+（7﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（5﹣5）2]=2，所以标准差为s= √2．所以答案是：√2．【考点精析】掌握极差、方差与标准差是解答本题的根本，需要知道标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差．20.当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}【解析】20.解：f（x）﹣g（x）＞0，即 loga （x+1）﹣loga（1﹣x）＞0，loga （x+1）＞loga（1﹣x）．当0＜a＜1时，上述不等式等价于{x+1＞01−x＞0x+1＜1−x，解得﹣1＜x＜0；当a＞1时，原不等式等价于{x+1＞01−x＞0x+1＜1−x，解得0＜x＜1．综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．所以答案是：当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．21.1ℎ2=1a2+1b2+1c2【解析】21.解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=√b2+c2，h=PO=√a2+PD2，∴ ，即1ℎ2=1a2+1b2+1c2．所以答案是：1ℎ2=1a2+1b2+1c2．【考点精析】通过灵活运用类比推理，掌握根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理即可以解答此题．。
2016年上海市浦东新区高一上学期数学期中考试试卷
2016年上海市浦东新区高一上学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 用∈或∉填空：0∅．2. A=x x≤1,x∈R，则∁R A=．3. 满足条件M⫋1,2的集合M有个．4. 不等式x−12>4的解集是．5. 不等式x2−2mx+1≥0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是．6. 集合A=x x≤1，B=x x≥a，A∪B=R，则a的取值范围是．7. 若x>1，则x+9x−2取到的最小值是．8. 如果x<0，0<y<1，那么y2x ，yx，1x从小到大的顺序是．9. 一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为−2,5，则bc=．10. 全集为R，已知数集A，B在数轴上的表示如图所示，那么“x∉B”是“x∈A”的条件．11. 已知U是全集，A，B是U的两个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来是．12. 若规定集合M=a1,a2,⋯,a n n∈N∗的子集 a i1,a i2,⋯,a imm∈N∗为M的第k个子集，其中k=2i1−1+2i2−1+⋯+2i n−1，则M的第25个子集是．二、选择题（共4小题；共20分）13. 若集合M=a,b,c中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形14. 已知a≠0，下列各不等式恒成立的是 A. a+1a >2 B. a+1a≥2C. a+1a ≤−2 D. a+1a≥215. 设集合A= x x=12m,m∈N∗，若x1∈A，x2∈A，则 A. x1+x2∈AB. x1−x2∈AC. x1x2∈AD. x1x2∈A16. 设x，y，a∈R∗，且当x+2y=1时，3x +ay的最小值为6，则当1x+2y=1时，3x+ay的最小值是 A. 63B. 6C. 12D. 123三、解答题（共5小题；共65分）17. 已知实数a，b，原命题：“如果a<2，那么a2<4”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性．≤0,x∈R ，B=x x−1<2,x∈R．18. 集合A= x x+2x−2（1）求A，B；（2）求B∩∁U A．19. 设α：m+1≤x≤2m+7m∈R，β：1≤x≤3，若α是β的必要不充分条件，求实数m的取值范围．20. 某农户计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1 m宽的通道，沿前侧保留3 m的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最大?并求出最大值．21. 已知集合M=0,1，A=x,y x∈M,y∈M，B=x,y y=−x+1．（1）请用列举法表示集合A；（2）求A∩B，并写出集合A∩B的所有子集．答案第一部分1. ∉【解析】因为0是一个元素，∅是一个集合，表示空集，里面没有任何元素．所以0∉∅．2. x x>1【解析】因为A=x x≤1,x∈R，所以∁R A=x x>1．3. 3【解析】由M⫋1,2得，M是集合1,2的真子集，所以M可以是∅，1，2，共3个．4. x x<−1或x>3【解析】不等式x−12>4可化为：x−1<−2或x−1>2，解得x<−1或x>3，所以该不等式的解集是 x x<−1或x>3．5. −1≤m≤1【解析】不等式x2−2mx+1≥0对一切实数x都成立，则Δ≤0，即4m2−4≤0，解得−1≤m≤1；所以实数m的取值范围是−1≤m≤1．6. a≤1【解析】因为A=x x≤1，B=x x≥a，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立，则a的取值范围是a≤1．7. 4【解析】由x>1，可得x+9x −2≥2 x⋅9x−2=4．当且仅当x=9x，即x=3时，取得最小值4．8. 1x <yx<y2x【解析】因为0<y<1，所以0<y2<y<1，因为x<0，所以1x <yx<y2x．9. 30【解析】一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为−2,5，所以对应一元二次方程x2+bx+c=0的实数根为−2和5，由根与系数的关系得−2+5=−b,−2×5=c,解得b=−3，c=−10；所以bc=30．10. 充分不必要【解析】由数轴得A= x x>1或x<−1，B=x−2≤x≤1，则∁R B= x x>1或x<−2，则∁R B⫋A，即“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件．11. B∩∁U A【解析】由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B且不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩∁U A．12. a1,a4,a5【解析】由题意得，M的第k个子集，且k=2i1−1+2i2−1+⋯+2i n−1，又25=20+23+24=21−1+24−1+25−1，所以M的第25个子集是a1,a4,a5．第二部分13. D 14. D 【解析】取a<0，则选项 A，B均不恒成立；取a>0，则选项 C 不恒成立；对于D，a+1a =a+1a≥2a ⋅1a=2，当且仅当a=1时，等号成立．15. C【解析】设x1=12p ，x2=12q，x1x2=12p⋅12q=12p+q，因为p,q∈N∗，所以p+q∈N∗，所以x1x2∈A．16. A 【解析】由题意x，y，a∈R+，且当x+2y=1时，3x +ay的最小值为63，由于3 x +ay=3x+ayx+2y=3+2a+6y+ax ≥3+2a+26a,等号当且仅当6yx =axy时取到．故有3+2a+26a=63，所以3x+ay=3x+ay 1+2=3+2a+ayx+6xy≥3+2a+26a =63,等号当且仅当ayx =6xy时取到．第三部分17. 原命题：“如果a<2，那么a2<4”，是假命题；逆命题：“如果a2<4，那么a<2”，是真命题；否命题：“如果a≥2，那么a2≥4”，是真命题；逆否命题：“如果a2≥4，那么a≥2”，是假命题．18. （1）A= x x+2x−2≤0,x∈R= x x+2x−2≤0,且x−2≠0=x−2≤x<2,B=x x−1<2,x∈R=x−2<x−1<2=x−1<x<3.（2）∁U A= x x<−2或x≥2，所以B∩∁U A=x2≤x<3．19. 设α对应的集合为A，β对应的集合为B，若α是β的必要不充分条件，则B⫋A，则2m+7≥m+1, 2m+7≥3,m+1≤1,即m≥−6, m≥−2, m≤0,得−2≤m≤0，则实数m的取值范围是−2,0．20. 设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab=800．蔬菜的种植面积S=a−4b−2=ab−4b−2a+8=808−2a+2b,所以S≤808−42ab=648m2，当且仅当a=2b，即a=40m，b=20m时，S最大值=648m2．答：当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2．21. （1）A=0,0,0,1,1,0,1,1．（2）集合A中元素0,0,1,1∉B，且0,1,1,0∈B，所以A∩B=1,0,0,1，集合A∩B的所有子集为∅，1,0，0,1，1,00,1．。
洋泾中学2016学年第一学期高二年级期中数学试卷
洋泾中学2016学年第一学期高二年级期中数学试卷一、填空题（每题3分）：1、若向量(2,3)BA = ，(4,7)AC = ，则BC = ．2、过点()2,0A -，且垂直于直线3210x y +-=的直线一般式方程为 ．3、已知AM 是ABC ∆的边BC 的中线，若AB a = ，AC b = ，则AM = ．4、若13sin 301cos 1αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则α= ．5、若关于x 、y 的二元一次方程组1,2mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则m = ． 6、过点(1,2)A -且倾斜角正弦值为35的直线方程为 ． 7、函数()123x f x x x -=-+图像的顶点是(),b c ，且,,,a b c d 成等比数列，则ad = ． 8、不等式组3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩所表示的区域的面积为 ．9、设3a = ，2b = ，且向量a 与b 的夹角为60︒，c a b =+ ，d a kb =- ，若c d ⊥ ，则k = ．10、将直线12:0,:0(2,),l nx y n l x ny n n n *+-=+-=≥∈N x 轴，y 轴围成的封闭图形的面积记作n S ，则lim n n S →∞= ． 11、在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC AE AF λμ=+ ，其中λμ∈R 、，则λμ+= ．12、已知定点(4,1),(3,4)A B -，动点P 在直线240x y --=上，则||||PA PB -最大时，点P 的坐标是 ．二、选择题（每题4分）：13、下列各对矩阵中，存在积AB 的是…………………………………………………………………（ ）（A ）12A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （B ）1243A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，56B ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C ）14A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2365B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （D ）135246A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，78B ⎛⎫= ⎪⎝⎭14、若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有………………………………………………………（ ）（A ）3,5a b ==- （B ）10a b -+= （C ）23a b -= （D ）20a b -=15、已知直线1:sin l y x α=和直线2:2l y x c =+，则直线1l 与2l …………………………………（ ）（A ）通过平移可以重合 （B ）不可能垂直（C ）可能与x 轴围成等腰直角三角形 （D ）通过绕1l 上某一点旋转可以重合16、已知a b 、均为非零向量，有下列四个命题：（1）||||a b a b +=- 是a b ⊥ 的充要条件； （2）22a b = 是a b = 的必要非充分条件；（3）a b 是a 与b 同向的充分非必要条件； （4）a b 是||||a b a b = 的非充分非必要条件． 其中正确的命题是…………………………………………………………………………（ ）（A ）（1）和（2） （B ）（1）和（3） （C ）（2）和（4） （D ）（3）和（4）三、解答题：17、（本题8分）已知矩阵0x ⎛⎫ ⎝的某个列向量的模不大于行列式211203423----中元素0的代数余子的值，求实数x 的取值范围．18、（本题8分）已知直线1:(6)550l m x y +-+=与2:2(5)10l x m y +-+=，当m 为何值时，1l 与2l（1）相交？（2）平行？（3）重合？19、（本题10分）直线l 过点(2,1)C ，与x ，y 正半轴分别交于,A B 点，O 为原点（1）求l 的方程，使AOB ∆的面积为最小，并求此最小值；（2）当CA CB ⋅取最小值时，求直线方程．20、（本题10分）向量(1,1)m = ，向量m 与向量n 的夹角为34π，且1m n ⋅=- ．若向量n 与向量(1,0)q = 的夹角为2π，向量2(cos ,2cos )2C p A = ，其中A B C 、、为ABC ∆的内角，且A B C 、、成等差数列，求||n p + 的取值范围．21、（本题12分）已知一列非零向量12,,,,n a a a ，满足()10,1a = ，()()1111,,222n n n n n n n x y x y a x y n -----+⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭． （1）证明：{}n a 是等比数列； （2）求向量1n a - 与n a 的夹角()2n θ≥；（3）把12,,,,n a a a 中所有与1a 平行的向量按原来的顺序排成一列，记为12,,,,n b b b ，令12n n OB b b b =+++ ，O 为坐标原点，求点列{}n B 的极限点B 的坐标．（注：若点n B 坐标为(),n n t s ，且lim ,lim n n n n t t s s →∞→∞==，则称点(),B t s 为点列{}n B 的极限点．）。
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上海市浦东新区洋泾中学2016学年高一（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1. 设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合}3,2,1{=A ，则UA =2. “1a >”是“23a <<”的条件。
3. 用列举法表示{(,)|31}x y x y x y +=-==且4. 已知0x >，则1+x x的最小值是 5. 若a 、b 是非零实数，||||||a b abm a b ab =++，则m 的值的集合是________． 6．已知命题：“如果整数x 是6的倍数，那么x 是2的倍数”，这个的“①否命题”及其“②真假”分别是：①②7. 已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =，若B A ⊆，则实数m =。
8. 已知关于x 的不等式13x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是。
9. 设集合2{|210,}A x ax x x R =++=∈，若A 中有且只有一个元素，则实数a =。
10.已知正数x 、y 满足13=+y x ，yx 11+的最小值为。
11. 设x R ∈，定义x 为不小于x 的最小整数，如22, 1.21=-=-等，若213x -=，则x 的取值范围为。
()22.222x x A B A B a b a b a b -<+-+-+12定义关于的不等式的解集叫做的邻域。
若的邻域为区间，，则的最小值为。
二、选择题（每题3分，共12分）13．集合{|12,*}A x x x N =-≤≤∈，A 的子集个数是（）(A )16个 (B )8个 (C ) 4个 (D ) 2个 14．下列不等式（1）,11311-+<-+x x x （2）()(),13122-<-x x x （3）21<-x （4）(),0332<-x （5）013>+-x 中与3<x 同解的不等式的个数是（）(A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )3个15．同住一间寝室的四名女生甲、乙、丙、丁，某一时间内，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头，另一人在听音乐.其中 ①甲不在修指甲，也不在看书； ②乙不在听音乐，也不在修指甲；③如果甲不在听音乐，那么丙不在修指甲；④丁既不在看书，也不在修指甲；⑤丙不在看书，也不在听音乐. 若上面的命题都是真命题，则该时间内（）(A )丙在听音乐； （B ）丙在看书； （C ）丙在修指甲；（D ）丙在梳头发．16. 已知三个方程：①24430x ax a +-+=；②()2210x a x a +-+=；③2220x ax a +-=。
若其中至少有一个方程有实数解，则实数a 的取值范围是 （ ）(A )[)3,12⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦ ， (B ) 132⎡⎤⎢⎥⎣⎦， (C ) (]3,12⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭， (D )R三、解答题（8+8+10+12+14）17.(本题共8分，第（1）题4分，第（2）题4分） 已知集合206x M xx ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，2{||6160}N x x x =--≤。
（1）分别求集合M 、N ；（2）设实数集R 为全集，求()R M N ð。
已知a ,b ∈R +, 我们已经学过基本不等式a 2+b 2≥2ab ，即a 2+b 2≥a 1b 1+a 1b 1，请作如下探索：(1)比较a 3+b 3与a 2b +ab 2的大小，写出推理过程；并在此基础上探索a 4+b 4、a 3b +ab 3 、 2a 2b 2的大小关系，直接写出结论（不作推理证明）(2)对以上的结论加以推广，直接写出结论（不作推理证明）。
19.(本题共10分，第（1）题5分，第（2）题5分）{}{}{}()()()222280,12,32012A x x x B x x C x x ax a A B A B C A B a =--<=+>=-+<⊆ 设集合。
求集合、、；已知，求实数的取值范围。
某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字型地域。
计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米。
设总造价为y 元，AD 长为x 米。
（1）试建立y (元)关于x (米)的函数关系式；并写出函数的定义域； （2）当x 为何值时，y 取得最小值，最小值是多少？21. (本题共14分，第（1）题3分，第（2）题5分，第（3）题6分）已知函数：f ( x ) = 2x –3，g ( x ) = x 2，m ≠0，()()()()112m F x f x mg x m=-++，(1) 求集合A = { x | f ( x )＋g ( x )＞0 }；(2) 若集合{ x | F ( x ) = 0 , x ∈R}= Ø , 求实数m 的取值范围；(3) 设m ＞0，全集U=R ， 若集合{ x | F ( x ) = 0 , x ∈ U A } ≠ Ø , 求实数m 的取值范围；A B CD E F GH M M NP Q答案1、{4,5}2、必要不充分3、{(2,1)}4、25、{}1,3-6、①如果整数x 不是6的倍数，那么x 不是2的倍数②假7、18、(]2-∞， 9、0或110、423+11、[2,3)(3,2]--⋃ 12、2 13-16 CACA17、解：（1）()()26+M =-∞-∞ ，，，………………………[]2,8N =-；………………………… （2）(]6,8M N = , …………………………()(]()68+R M N =-∞∞ ，，ð。
…………………………18、解：(1)()()()()()()23322220a b a b ab a b a b a b a b +-+=--=+-≥ ，3322a b a b ab ∴+≥+…………………………探索的结论是：4433222a b a b ab a b +≥+≥，………………………… (2)推广1：55443223a b a b ab a b a b +≥+≥+； 推广2：当n 为 正偶数时，1112222222n n n n nnn n n n a b a b aba b a ba b a b ----+≥+≥+≥≥+…； 当n 为正奇数时，+111+11112222222n n n n nnn n n n a b a b aba b a babab------+≥+≥+≥≥+…。
19、()()()()()243114A B A B =-=-∞-+∞= 解：1，，，，，，；()()()(){}()(){}()20,000022112240022124012C x x a x a a C A B a a a a a C a a C A B a a a a a a a C a a a a a =--<==∅⊆∴=>⎧⎪><=⊆∴≤≤≤⎨≤⎪⎩<⎧⎪<>=≤⎨≤⎪⎩ 2由1：当时，，符合，当时，，，，，，，当时，，，，，无解。
由得：实数的取值范围是，。
①②③①②③20、解：（1）设t DQ =，则xx t xt x 4200200422-=⇒=+。
……………()22221200420021020048024x y x x x ⎛⎫-=+-+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭……………22400000380004000,x x =++…………… 由2020004x x t x >⎧⎪⎨-=>⎪⎩得定义域(0,102)x ∈；……………（2）22100380004000()y x x=++…………… 38000400020118000≥+⨯=…………… 当且仅当22100x x =，10=x 时等号成立。
…………… 答：当10=x 米时，y 取得最小值，最小值是118000元。
……………21、()()()(){}22212323230,13,13;f xg x x x x x x x x x A x x x +=-+=+-+->><-=><-解：，或或()()()()()()()()2212123111232322m F x f x mg x mm x mx mx m x m m m=-++=--++=+--++()()2312302F x mx m x m m=+--++=无实数根，()()203124302m m m m m ≠⎧⎪⎨∆=---++<⎪⎩0808505m m m m m ≠⎧⎪><⎨><⎪⎩，，或或，()()805m -∞+∞ 的取值范围是，， ()()(){}()()()()()()223132302310312430231393230231323022312U F x mx m x m mA x x m m m m m F m m m m F m m m m m m =+--++==-≤≤>⎧⎪∆=---++≥⎪⎪⎪-=---++>⎨⎪-=+--++>⎪⎪-⎪-<-<⎩在上有实数根，，ð① 22220058058027182027190232031210276222m m m m m m m m m m m m m m m m m m m >⎧>⎧⎪⎪-≤-+≥⎪⎪⎪-+>⎪⎪⎪-+>⎨⎨-+>⎪⎪-+>⎪⎪>⎪⎪-<-+<⎪⎪⎩>-⎩，，080533330.2520.5279920.28577233895m m m m m Rm m m >⎧⎪≤≤⎪⎪⎪-+<≈>≈⎪⎨⎪∈⎪⎪>≈⎪⎪>-⎩+<≤或，；）()()()()()()222202731131910220320271823200033333333992718209933895m F F m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m >⎧⎪⎨-=-+-+≤⎪⎩>⎧⎪-+>⎨-+-+≤⎪⎩>⎧>⎧⎪-+≤≤⎨⎨-+-+≤≤≤⎩⎪⎩⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ ，，，，，。
由实数的取值范围是。
②①②。