8不定方程

第八讲不定方程（组）

专题精讲

我国古代数学家提出了有趣的“百鸡问题”：

公鸡5元钱1只，母鸡3元钱1只，小鸡1元钱3只。如果100元钱买100只鸡，问公鸡、母鸡和小鸡各能买几只？

这里可以设买公鸡x只，母鸡y只，则买小鸡（100-x-y）只

列方程，得5x＋3y＋（100－x－y）÷3=100

化简，得7x＋4y=100

方程（1）中，未知数有2个，方程只有1个。未知数的个数多余方程的个数，这样的方程叫做不定方程。古希腊数学家丢番图写过不定方程的书《算术》，所以不定方程又叫丢番图方程、不定方程往往有无数解，但如果有限制条件，例如求自然数解，往往使解的个数变成有限个。

例1、在一个两位数的两个数中间加一个0，那么所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数。

解：设原来的两位数为ab，则三位数为a0b。依题意则有：

a0b=（8＋1）×ab

100a＋b=9×（10a＋b）

10a=8b

5a=4b

因为5和4互质，有因为a，b是数位的数字，应是不大于9的整数，所以a=4，b=5.故所求的两位数为45.

点击：任何数位上的数字不大于9，且为自然数，这一条件在不定方程中经常用到。

练习

1、一个两位数，它的值恰好是两个数字之积的3倍，求这个两位数。

2、一个两位数，各位数字和的5倍比原数大10，求这个两位数。

3、有一个长，宽不相等且为整数的长方形水池，面积数和周长数恰好相等，它的两条边各为多少米长？

例2，甲种铅笔7角钱一枝，乙种铅笔3角钱一枝，张明用6元钱恰好可以买两种不同的铅笔共多少枝？

解：设甲种铅笔x枝，乙种铅笔y枝，则有：7x＋3y=60

练习

1、李明要买一张3角7分钱的生日卡送给王欢，他手上有贰分和五分的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？

2、小华帮助同学们买铅笔和练习本共花了1元零7分钱，铅笔每枝1角1分钱，练习每本1角3分钱，请问小华买了多少枝铅笔和多少本练习本?

3、在一个盒子里装有蟋蟀和蜘蛛若干只，共46只脚，盒内蟋蟀和蜘蛛各有几只？（蜘蛛8只脚，蟋蟀6只脚。）

例3、小富在甲公司打工，几个月后又再乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。年终，小富从两家公司共获7620元，他在甲公司打工多少个月？在乙公司兼职多少个月？

解：设小富在甲公司打工a个月，在乙公司兼职b个月，则：470a＋350b=7620,47a ＋35b=762

这说明他在甲公司打工11个月，在乙公司兼职7个月。

点击：列出不定方程后，要能根据题中隐含条件，确定未知数的范围。

练习

1、某地电费是不超过10度时，每度0.45元；超过10度时，每度0.80元。张家比李家多交电费3.30元，如果两家的用电量都是整数度，张家、李家各交电费多少元？

例4、小明准备到商店买2角钱一枝的铅笔和9角钱一枝的圆珠笔，两种笔都要买，并且刚好用4元钱，问小明可以买铅笔、圆珠笔各几枝？

解：设小明买铅笔x枝，圆珠笔y枝，则有2x＋9y=40

由上可知，y最大是4，但由于等式右边的40为偶数，所以y比为偶数，y=2,4，则x=11,2.

所以小明可以买11枝铅笔，2枝圆珠笔或2枝铅笔，4枝圆珠笔。

点击：这道题的突破口是利用奇偶性确定未知数的范围，可简便省时.

练习

1、小华和小强各自用6元4角钱买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔都是5角一枝和7角一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来铅笔多少枝？

2、某校601班学生共48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只（大小船都有）？

3、一个商人将弹珠放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹珠数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？

例5某市汽车司机考试已举行24次，共出426道题，每次出的题目有25题，16题或20题，其中考25题的有多少次？

解：设25题的考了x次，16题的考了y次，20题的考了z次，依题意则有：

x＋y＋z=24 (1)

25x＋16y＋20z=426 (2)

(2)－(1)×16得：9x＋4z=42 由奇偶性可得x必为偶数，且最大为4.

X=0，2，4 Z=×，6，×

所以考25题的有2次。

点击：含有三个未知量的不定方程组用消元法化为一般的不定方程再求解。

练习

1、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得7分，套中小猴一次得5分，套中小狗一

次得2分，小明套中了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，共得61分，问小鸡至多被套中多少次？

2、学校里共有12间宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，问中宿舍和小宿舍共有多少间？

3、房间有凳子和椅子若干，每条凳子有3条腿，每把椅子有4条腿。当它们都被人坐上之后，共有35条腿（含人腿），房间里有凳子、椅子、人各多少？

不定方程（组）提高卷

1、仙桃机械厂某师徒两人加工一批零件，师傅每天加工7个，徒弟每天加工4个，师徒至少各加工多少天后，师傅才比徒弟多加工2个零件？

2、小可把生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和为170.她出生于何月何日？

3、要把1米长的铜管锯成长38毫米和90毫米的两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管，那么只有当锯得的38毫米的铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管最少？

4、有三种卡片，第一种卡片上面有1朵红花，第二种卡片上画有5朵红花，第三种卡片上有10朵红花，每种卡片备有100张。从三种卡片中选出21张，恰好凑成100朵红花，这21张卡片中，每种卡片各有多少张？