高一数学平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝_(1_,_0_)_，j＝_(_0_,1_)，0＝_(_0_,0_)_．
3．向量与坐标的关系
设
→ OA
＝xi＋yi，则向量
→ OA
的坐标_(_x_，__y_) _就是终点A的坐
标；反过来，终点A的__坐__标___就是向量
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R)，则有下表：
文字描述
符号表示
两个向量和的坐
加法
标分别等于这两 a＋b＝_(x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2)__
个向量相应这两个向量相应坐标的
_差____
__(x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2)___
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
1．平面向量的正交分解 垂直
把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做平
面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 __相__同___的两个_单__位__向量i，j作为__基__底__． (2)坐标：对于平面内的一个向量a，_有__且__只__有__一___对实数 x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对_(_x_，__y_) _叫做向量a的 坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在 x 轴上的坐标，y叫 做向量a在 y轴上的坐标．
→ OA
的坐标(x，y)．因
此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序
实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是
__一__一__对__应___的．
[破疑点]向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相 同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量 终点的坐标才相同．
平面向量的正交分解及坐标运算
混合积的坐标运算
$overset{longrightarrow}{AB} cdot (overset{longrightarrow}{AC} times overset{longrightarrow}{BC}) = (x_{2}x_{1})(y_{3}-y_{1}) - (x_{3}-x_{1})(y_{2}-
以另一个向量的模。
03 平面向量的坐标运算
向量的加法运算
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其结果仍为向量，且满足平行四边形法则。
详细描述
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量。向量加法 满足平行四边形法则，即以两个不共线的向量为邻边作平行四边形，其对角线所表示的向量即为这两个向量的和。
向量的模
表示向量大小的长度，记作$|overrightarrow{a}|$ 或$a$，计算公式为$a = sqrt{x^2 + y^2}$。
数乘
实数与向量的乘法，表示为$lambda overrightarrow{a}$，其中$lambda$为实数，表 示将向量$overrightarrow{a}$按比例放大或缩小。
04 平面向量的向量积运算
向量积的定义
向量积的定义
向量积是一个向量运算，其结果为一个向量，记作$vec{A} times vec{B}$。它垂直于作为运算对象的两 个向量$vec{A}$和$vec{B}$，并且其模长为$|vec{A} times vec{B}| = |A||B|sintheta$，其中$theta$为 $vec{A}$和$vec{B}$之间的夹角。
未来发展方向和挑战
算法优化
随着计算技术的发展，平面向量的正 交分解及坐标运算的算法优化成为研 究热点，以提高运算效率和精度。
平面向量的正交分解及坐标表示
b
a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
B
P
a 2 3坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
CD 2i 3 j
探究:平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系，它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点，则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
作业： P102习题2.3B组：3，4.
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
平面向量的坐标表示
y 如图，i，j是分别与x轴，y轴方向相
D a
同的单位向量，若以i，j为基底，则
C
A
对于该平面内的任一向量a,
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是 唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？
提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个， 这些向量都是相等向量．
4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯 一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．
(2)设 c＝(x，y)，则 f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)， ∴y2＝y－4，x＝5， 解得xy＝＝43，， 即 c＝(3,4).
若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．
[解] 法一：设 a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有
m2＋n2＝1， p2＋q2＝1， m＋p＝1， n＋q＝0，
[通一类] 1．已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|＝4 3，
∠xOA＝60°， (1)求向量OA的坐标； (2)若 B( 3，－1)，求 BA的坐标． 解：(1)设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos 60°＝2 3， y＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3，6)，OA＝(2 3，6)． (2) BA＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
[点评] 法一利用模的概念和向量的坐标运算，通 过解方程组来求解，思路自然严谨；法二利用了“三角换 元”，借助三角公式简化了运算；法三利用了数形结合， 解法直观，简洁明了．
[小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)． 2．已知向量 OM ＝(－1，－2)，M点的坐标与 OM 的 坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而 M(－1，－2)．
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示知识导引1.借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义.2.了解向量与坐标的关系,会求给定向量的坐标.知识点1.平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做平面向量的正交分解.【做一做1】如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,下列是正交分解的是()A.AB=OB−OAB.BD=AD−ABC.AD=AB+BDD.AB=AC+CB解析:由于AD⊥AB,则BD=AD−AB是正交分解.答案:B2.平面向量的坐标表示(1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.(2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=x i+y j,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标.(3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示.(4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).【做一做2】已知基向量i=(1,0),j=(0,1),m=4i-j,则m的坐标是()A.(4,1)B.(-4,1)C.(4,-1)D.(-4,-1)3.向量与坐标的关系设OA=x i+y j,则向量OA的坐标x,y就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标x,y就是向量OA的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示,即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.归纳1.向量的表示法(1)字母表示法:用一个小写的英文字母来表示,例如向量a;也可以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示,例如向量AB,该向量的起点是A,终点是B.(2)几何表示法:用有向线段来表示.(3)代数表示法:用坐标表示.2.点的坐标与向量坐标的联系与区别剖析:(1)表示形式不同,向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.(2)意义不同,点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外,(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量a=(x,y).(3)联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.题型一求向量的坐标【例1】如图,已知点M (1,2),N (5,4),试求MN的坐标.分析:用基底i 和j 表示MN=x i +y j ,则(x ,y )是MN 的坐标. 解:分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ,j 作为基底,则MN=4i +2j , 所以MN的坐标是(4,2). 反思向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.【变式训练1】如图,点A (-1,3),B (2,-2),试求AB,BA 的坐标.解:∵AB=3i -5j ,∴AB =(3,−5); ∵BA =−3i +5j ,∴BA=(−3,5). 题型二 平面向量的正交分解及坐标表示【例2】已知O 是坐标原点,点A 在第一象限,|OA|=4 3,∠xOA=60°,求向量OA 的坐标.解:设点A (x ,y ),则x=|OA |cos 60°=2 3,y =|OA |·sin60°=6,即A (2 3,6),故OA =(2 3,6).【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中,向量a ,b ,c 的方向和长度如图,分别求它们的坐标.解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2),则a 1=|a |cos45°=2× 22= 2,a 2=|a |sin45°=2× 2= 2;b 1=|b |cos120°=3× -12 =−32,b 2=|b |sin120°=3× 32=3 32;c1=|c|cos(-30°)=4×3=23,=−2.c2=|c|sin(-30°)=4×-12因此a=(b=-3,33,c=(23,−2).。
人教版高一数学必修四课件平面向量的正交分解及坐标表示
例3 如图，在平行四边形ABCD中，
AB =a，AD =b，E、M分别是AD、DC的中
点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表A示B 23AC向量 AM 和 EF .
AM 1 a b 2
EF a 1 b 6
BF C M
A ED
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理， 同时又是向量坐标表示的理论依据，是 一个承前起后的重要知识点.
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线
存在唯
一实数λ ，使b＝λa.
4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重
力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的正交分解及坐标表示1.引言平面向量是二维空间中的一个重要概念，它由起点和终点两个点确定，可以表示为一个有序对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
在二维空间中，向量的正交分解是一个重要的概念，它可以将一个向量分解为两个相互垂直的向量的和。
本文将介绍平面向量的正交分解及其坐标表示。
2.平面向量的概念平面向量是二维空间中的一个重要概念，它可以表示为一个有向线段，具有大小和方向。
平面向量通常用字母a、b、c等表示，其大小通常用模来表示，记作|a|。
方向通常用角度或者有向角表示。
3.平面向量的坐标表示平面向量可以用坐标来表示，通常表示为(a,b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
例如，向量a可以表示为(a1,a2)，其中a1表示向量在x轴上的投影，a2表示向量在y轴上的投影。
4.向量的正交分解向量的正交分解是指将一个向量分解为两个相互垂直的向量的和。
设向量a的坐标表示为(a1,a2)，则可以将向量a分解为两个坐标分别为(a1,0)和(0,a2)的向量的和。
这两个向量分别表示了向量a在x轴和y轴上的投影。
5.正交分量与投影在向量的正交分解中，正交分量表示了向量在两个相互垂直的方向上的投影，投影表示了向量在某个方向上的投影。
在二维空间中，向量的正交分量就是向量在x轴和y轴上的投影，这两个向量之间是相互垂直的。
6.向量的坐标表示与正交分解的关系向量的坐标表示与向量的正交分解有密切的联系。
通过向量的坐标表示，我们可以很容易地进行正交分解，将向量表示为两个垂直向量的和，分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
7.向量正交分解的应用向量的正交分解在实际问题中有很多应用。
例如，在物理学中，做功可以分解为沿着路径方向和垂直于路径方向的力的分量，这就是一个向量的正交分解。
在工程学中，力的分解、速度的分解等问题都可以用到向量的正交分解。
8.总结平面向量的正交分解是一个重要的概念，通过正交分解，我们可以将一个向量分解为两个相互垂直的向量的和，这对于我们理解向量在空间中的运动和变化具有重要意义。
9高中数学“平面向量正交分解与坐标表示”知识点全解析
高中数学“平面向量正交分解与坐标表示”知识点全解析一、引言平面向量的正交分解与坐标表示是向量运算的重要组成部分，对于理解向量的本质和性质，以及解决向量相关问题具有重要意义。
本文将详细解析“平面向量正交分解与坐标表示”相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。
二、正交分解定理在平面内，一个向量可以按照两个相互垂直的方向进行分解，这种分解称为正交分解。
根据平面向量基本定理，平面内的任意向量都可以由两个不共线的向量线性表示。
特别地，如果选取的两个向量相互垂直，那么这种表示就是正交分解。
正交分解定理：如果e1、e2是同一平面内的两个相互垂直的单位向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数x、y，使得a = x e1 + y e2。
其中，x、y分别称为向量a在e1、e2方向上的投影或坐标。
三、坐标表示法在平面直角坐标系中，我们可以选择两个坐标轴上的单位向量i和j作为基底，则平面内任意向量a可以表示为a = xi + yj，其中x和y分别为向量a在x轴和y轴上的投影长度，也称为向量a的坐标。
这种表示方法称为向量的坐标表示法。
通过坐标表示法，我们可以方便地进行向量的加减、数乘和数量积等运算。
例如，设有两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则它们的加法运算可以表示为a + b = (x1 + x2, y1 + y2)，数乘运算可以表示为λa = (λx1, λy1)，数量积可以表示为a·b = x1x2 + y1y2。
四、正交分解与坐标表示的关系正交分解与坐标表示之间存在密切关系。
实际上，正交分解是坐标表示的基础，而坐标表示是正交分解的具体实现。
在平面直角坐标系中，我们可以选择两个相互垂直的坐标轴作为基底，将任意向量表示为两个分量的线性组合，即实现了向量的正交分解。
同时，这两个分量恰好就是向量在坐标轴上的投影长度，即向量的坐标。
因此，正交分解与坐标表示是相互依存、相互促进的两个概念。
平面向量的正交分解及坐标表示
(1, 2) (3 x, 4 y) 1 3 x
2 4 y
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
例５.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
y C
解法２
A
平面向量的坐标表示
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则 对于该平面内的任一向量 a ，
y
a
C
A
D
有且只有一对实数x、y，可使 a xi + y j
j o i B
x
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y )
y
a
C
A
D
有且只有一对实数x、y，可使 a xi + y j
j o i B
x
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y )
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标， ①式叫做向量的坐标表示。
• 小结2 :
平面向量的坐标运算：
a 1 e1 +2 e2
这就是说平面内任 一向量a都可以表示 成1 e1 +2 e2的形式
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解
思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA i, OB j ，填空：
的坐标吗？
平面向量的坐标运算：
高中数学平面向量的正交分解及坐标表示
高中数学平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算一、内容解析通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反之，任一有序实数对就表示一个向量，这样就给出了向量的另一种表示——坐标表示，向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为数量运算，从而简化了思维过程。
1、 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2、 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量j i ,作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使j y i x a +=，则称有序实数对（x ，y ）为向量a 的坐标，记作a =（x ，y ），其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。
3、 平面向量的坐标运算（1）若),(),,(2211y x b y x a ==，则),,(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=-即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；（2）若),(y x a =)(),,(R y x a ∈=λλλλ即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；（3）若A(x 1,y 1) , B(x 2,y 2) ，则AB = (x 2-x 1 , y 2-y 1)即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
二、目标解析1、认知目标：理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
2、能力目标：培养阅读概括、观察猜想、归纳类比、分析综合等思维能力，化归与转化、分类讨论思想的应用及从特殊到一般的研究方法。
3、情感目标：激发学生学习兴趣，体验数学发现和创造历程，培养自主研究，勇于探索、讨论交流、阅读自学等优秀学习品质。
高一数学人必修四课件时平面向量的正交分解及坐标表示
若向量AB的起点A的坐标为(x1, y1)，终点B的坐 标为(x2, y2)，则向量AB的坐标为(x2-x1, y2-y1) 。
零向量与单位向量的坐标表示
零向量的坐标为(0,0)；单位向量的坐标为(1,0)或 (0,1)或(-1,0)或(0,-1)。
坐标运算在几何问题中应用
3 例2
已知向量$vec{OA} = (3, 4)$，向量$vec{OB} = (1, 2)$ ，求$angle AOB$的余弦值。
4 • 解析
首先计算两个向量的模$|vec{OA}| = sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，$|vec{OB}| = sqrt{1^2 + 2^2} = sqrt{5}$，然 后计算两个向量的点积$vec{OA} cdot vec{OB} = 3 times 1 + 4 times 2 = 11$，最后利用余弦公式 $cosangle AOB = frac{vec{OA} cdot vec{OB}}{|vec{OA}| times |vec{OB}|} = frac{11}{5sqrt{5}}$求出余弦值。
平面直角坐标系简介
定义
平面直角坐标系是由两条互相垂直、 原点重合的数轴组成，水平的数轴称 为x轴，垂直的数轴称为y轴。
坐标原点
坐标轴上的点
在x轴上的点，其纵坐标为0；在y轴 上的点，其横坐标为0。
两数轴的交点称为坐标原点，其坐标 记为(0,0)。
向量坐标表示法规则
1 2 3
向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，一个向量可以用一对有序 实数来表示，这对有序实数称为该向量的坐标。
总结归纳
平面向量的正交分解及坐标表示是高中数学的重要内容之一 。通过本节课的学习，学生们应该掌握以下几点
高中数学《平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算》课件
向量正交分解．
3
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
(2)平面向量的坐标表示
4
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
2．平面向量的坐标运算
5
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课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
17
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
探究2 平面向量的坐标运算 例 2 (1)已知三点 A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向 量 3A→B＋2C→A＝____(1_1_,_1_3_)__，B→C－2A→B＝_(_－__7_，__－__1_4_)； (2)已知向量 a，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求 a ＋b，a－b,3a,2a＋3b 的坐标．
10
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课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
(3)(教材改编 P100T2)若 a＝(2,1)，b＝(1,0)，则 3a＋2b
的坐标是( )
A．(5,3)
B．(4,3)
C．(8,3)
D．(0，－1)
解析 3a＋2b＝3(2,1)＋2(1,0)＝(6,3)＋(2,0)＝(8,3)．
11
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课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
(4) 若 点
M(3,5) ， 点
N(2,1)
，
用
坐
标
平面向量的正交分解及坐标表示 6
高一数学人教A 版（2019）必修第二册课前导学6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示+6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示+6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、新知自学1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作 .2.平面向量的坐标表示：对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x y ，，使得=a ，把有序数对 叫做向量a 的坐标，记作()x y =a ，.3.平面向量的坐标运算设向量1122()()x y x y λ==∈R a b ，，，，，则有下表： 11AB = 1122，其中≠0b ，的充要条件是存在实数λ，使 .用坐标表示，向量()≠0a b b ，共线的充要条件是 .二、问题思考1.求点和向量坐标的常用方法有哪些？2.平面向量坐标运算的方法有哪些？3.如何判定向量共线？4.利用向量平行的条件求参数值的思路是什么？三、练习检测1.已知向量(2,6),(1,)λ==-b a .若//a b ，则λ=( )A.3B.3-C.13D.13- 2.若向量(1,2),(1,4)AC AB BC =-=-，则AB =( )A.(-1，1)B.(0，6)C.(-2，2)D.(0，3)3.设,x y ∈R ，向量(, 1) ,(2,)x y ==a b ，且2(5,3)+=-a b ，则x y +=( )A.1B.2C.1-D.2-4.已知向量(3,2),(2,1)==-a b ，若非零向量m n +a b 与2+a b 共线，其中,m n ∈R ，则m n等于___________.【答案及解析】一、新知自学1.垂直 正交分解2.x y +i j ()x y ，3.1212()x x y y ++，1212()x x y y --， 11()x y λλ， 2121()x x y y --， 4.λ=a b 12210x y x y -=二、问题思考1.（1）求一个点的坐标：可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.（2）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.2.（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差、数乘的运算法则进行运算.（2）若已知有向线段两端点的坐标，则先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.3.（1）利用向量共线定理，由()λ=≠0a b b 推出a b .（2）利用向量共线的坐标表达式12210x y x y -=直接求解.4.（1）利用共线向量定理()λ=≠0a b b 列方程组求解.（2）利用向量平行的坐标表达式直接求解.三、练习检测1.答案：B解析：因为向量(2,6),(1,),//λ==-a b a b ，所以26λ=-，解得3λ=-.故选B.2.答案：D解析：依题意，得(1,2)AB BC AC +==，所以(1,2),(1,4)AB BC AB BC ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，两式相加得2(0,6)AB =，所以(0 3) AB =，.故选D.3.答案：C解析：由于向量(,1),(2,)x y ==a b ，故2(4,12)(5,3)x y +=++=-a b ，45,123x y ∴+=+=-，解得1,2,1x y x y ==-∴+=-.故选C.4.答案：12解析：由(3,2),(2,1)==-a b ，可得(32,2),2(7,0)m n m n m n +=+-+=a b a b . 因为m n +a b 与2+a b 共线，所以1470m n -=，即可得12m n =.故答案为12.。
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课件-高一下学期数学人教A版
及坐标表示
学习目标
学习活动
学习总结
1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算.
学习目标
学习活动
学习总结
目标一：借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
任务1：根据物体平衡，分析斜坡上物体受力情况，了解正交分解的概念.
联系
当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
学习目标
学习活动
学习总结
任务3：根据下列图形，利用正交分解求解相关向量的坐标. (1)根据平行四边形法则， a 可以沿x轴、y轴如何分解？a AA1 AA2 (2)如何用{i, j} 作为基底表示，其坐标表示是多少？ a 2i 3 j (2,3) (3) b, c, d 的坐标是多少？b 2i 3 j (2,3), c 2i 3 j (2, 3), d 2i 3 j (2, 3)
加法运算 减法运算
归纳总结 求向量坐标的两种方法 (1)正交分解法：即将向量直接正交分解，用 i, j 表示； (2)将向量平移，使起点与原点重合，读出终点坐标.
学习目标
学习活动
学习总结
目标二：会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
任务1：根据平面向量的坐标表示，探究向量坐标加减的运算法则.
已知 a (x1, y1),b (x2, y2), 则 a b , a b 的坐标是多少？ 解：由题意知，a (x1, y1) x1i y1 j,b (x2, y2) x2i y2 j ，所以
记作 a (x, y) .其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标, a (x, y)
平面向量的正交分解及坐标表示
b
o
x
例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
b 2i 3 j ( 2, 3)
b
y 5 4 3 2 1
-2 -1
O
a
A 2 3
B AB 2i 3 j (2,3)
-4 -3 c 2i 3 j
1 i -1
j
4
x
( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
课堂小结
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对 应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的 起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点 坐标就是向量的坐标.
在物理中，力是一个向量，力的合成就 是向量的加法运算.力也可以分解，任何一
个大小不为零的力，都可以分解成两个不同
方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向
量中来，就会形成一个新的数学理论.
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ 1a 1
F1 G
x
y
a
y
A
j
O
2．点A的坐标与向量 a 的坐标的关系？
向量 a
两者相同
一一对应
i
x
x
坐标（x ，y）
相等的向量坐标相同
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a (1, 2)
解：
y
(2)b (1, 2)
B(1, 2)
y
o
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lg 2, lg5) x x ③ c= (2 , 2 ) ④ d=(1-x,x)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、已知单位正方形ABCD，
AB a, BC b, AC c, 求 2 a 3b c 的模 5 。
3.已知p (3, 1), 且 | p | 5,
2.3.2 《平面向量的坐标表示》
教学目标
（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）理解平面里的任何一个向量都可以 用两个不共线的向量来表示，初步掌握 应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底， 使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与 应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准 确性.
4 向量坐标：
AB=(x2 - x1 , y2 – y1 ) 5向量平行的坐标表示： 若向量a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a // b的充要条件是x1 y2 x2 y1 0
课堂练习:
1、向量a=(n,1),b=(4,n) 共线且方向相同， 则n =（C） 1 1 A. B.± C.2 D.±2 2 2
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， b相等？ a与
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
平面向量的坐标表示及运算
y
M ( x, y)
O
x
课前复习:
1 向量坐标定义. 2 加、减法法则.
3 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy) 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 则 a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)
4、已知ABC中，（7， A 8），（3， B 5）， C 4， （ 3），M 、N 是AB、AC边的中点，D是 BC中点，MN与AD交于F，求DF .
课后作业: 1.已知 [0, 2 ), OP (cos ,sin ) 1 OP2 (3 cos , 4 sin ), 则 | P P2 | 的 1
2、 ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则 顶点D的坐标为( C ) A(8,9) B(5,1) C(1,5) D(8,6)
（）平面向量的坐标表示 1
Y
A y
1. a OA xi y j x, y） （
且 a OA x y
同向量的单位向量是（ B）
2 2 A.( , ) 2 2
2 2 B.( , ) 2 2
2 2 C.( , ) 2 2
2 2 D.( , ) 2 2
2、已知a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b 且u∥v,求x,
1 (x= ) 2
3、已知a (1,0)、 (1,1), c (1,0), b 求实数与，使c a b.
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
1.已知（4， A 5），（ ， B 1 2）， C 12， （ 1 ），D(11,6), 求AC与BD交 点的坐标.
2、已知点P、（3， A 7）、（4， B 6）， C 1 2），是一个平行四边形的四个 （， 顶点，求P的坐标.
2、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2) c=(4,1),回答下列问题: (1)求3a+b-2c; (0, 6) 5 8 m ,n (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; 9 9 16 (3)若(a+kc) ∥ (2b-a),求实数k k 13 (4)设d=(x,y)满足(d-c) ∥(a+b)且 |d-c|=1,求d.
取值范围是
2、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2) c=(4,1),回答下列问题: (1)求3a+b-2c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)若(a+kc) ∥ (2b-a),求实数k (4)设d=(x,y)满足(d-c) ∥(a+b)且 |d-c|=1,求d.
附加题:
2 2
O
x
X
2. 若A ( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )，则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
练习:
1、下列向量中不是单位向量的有（B ）
① a= (cos , sin ) ② b= (
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
= 0 (0,0)
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， b共线？ a与
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 则 10 2
4.已知m (sin cos ,sin cos ),
1 5、若 a ( ,sin ) 为单位向量，则符合 2
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
2 2
a (6,8)或a (6,8)
课堂练习:
1、已知两点A(0,2)，B(2,0)，则与向量AB