(遵义专版)2018年中考数学总复习 第三篇 闯关篇 第2节 方程、函数类综合应用试题含答案

第二节 方程、函数类综合应用
函数类应用问题，是根据实际背景材料来确定函数关系式，利用函数的增减性解决问题的方法，这类问题通常与方程或不等式进行联合考查．一般先建立方程(不等式)等模型，然后建立函数关系式，最后确定自变量的取值范围，通过取值范围来确定最佳选择等知识点．其中建立方程(不等式)在这类问题中属于基础考点，确定自变量的范围是解决问题的关键．
,中考重难点突破)
【例1】(2016汇川升学二模)某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6 m 的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．
(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
(2)如果制作甲、乙两种包装盒3 000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍．那么请写出所需材料总长度l(m )与甲盒数量n(个)之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料．
【解析】(1)设制作每个乙盒子用x m 材料，则制作每个甲盒子用(1＋20%)x m 材料，根据同样用6 m 的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，列出方程即可；(2)根据所需材料的总长度＝甲盒子材料的总长度＋乙盒子材料的总长度，列出函数关系式；再根据甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍求出n 的取值范围，最后根据一次函数的性质即可解答．
【答案】解：(1)设制作每个乙盒用x m 材料，制作每个甲盒用(1＋20%)x m 材料，
由题意得6x ＝6（1＋20%）x
＋2，解得x ＝0.5， 经检验，x ＝0.5是方程的解．∴(1＋20%)x ＝0.6. 答：制作每个甲盒用0.6 m 材料，制作每个乙盒用0.5 m 材料；
(2)∵甲盒数量是n 个，∴乙盒数量是(3 000－n)个．
∴l ＝0.6n ＋0.5(3 000－n)＝0.1n ＋1 500.
∵甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，
∴n ≥2(3 000－n)，∴n ≥2 000.
∴当n ＝2 000时，所需材料最少，
最少为：0.1×2 000＋1 500＝1 700(m )．
【例2】(2017牡丹江中考)某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)试确定y 与x 之间的函数关系式；
(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为Q 元，试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？
(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x 的取值范围．
【解析】本题考查了一次函数的应用；二次函数的应用．
【答案】解：(1)设y ＝kx ＋b ，根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧55k ＋b ＝65，60k ＋b ＝60，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝120， 所求一次函数的解析式为y ＝－x ＋120；
(2)利润Q 与销售单价x 之间的函数关系式为：
Q ＝(x －50)(－x ＋120)＝－x 2
＋170x －6 000；
Q ＝－x 2＋170x －6 000＝－(x －85)2＋1 225；
因为x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥50，x －5050
≤40%，解得50≤x≤70， 因为a ＝－1<0，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．
所以当定价x ＝70时，该商店可获得最大利润，最大利润为Q ＝1 000元；
(3)根据题意得Q ＝－(x －85)2＋1 225≥600，
即－(x －85)2≥－625，解得60≤x≤110，又因为获利不得高于40%，
即x －5050≤40%，解得x≤70， 所以销售单价x 的取值范围为60≤x≤70.
【规律总结】解这类实际应用的题目往往先要建立方程或不等式的模型去解出未知量；然后结合题意建立函数解析式；结合实际情况确定自变量的取值范围．
◆模拟题区
1．(2017遵义十一中三模)“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，该商城4月份卖出多少辆自行车？
(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A 型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B 型车进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆．根据销售经验，A 型车不少于B 型车的2倍，但不超过B 型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
解：(1)设前4个月自行车销量的月平均增长率为m ，
根据题意，列方程64(1＋m)2
＝100，
解得m 1＝－94
(不合题意，舍去)，m 2＝0.25＝25%，100×(1＋25%)＝125(辆)． 答：该商城4月份卖出125辆自行车；
(2)设销售利润为W 元，购进B 型车x 辆，则购进A 型车30 000－1 000x 500
＝(60－2x)辆， 根据题意得不等式组
2x ≤60－2x≤2.8x，解得12.5≤x≤15，
∵自行车辆数为整数，∴13≤x ≤15，
即x ＝13，14或15.
销售利润W ＝(700－500)×(60－2x)＋(1 300－1 000)x.
整理得：W ＝－100x ＋12 000，
∵W 随着x 的增大而减小，
∴当x ＝13时，销售利润W 有最大值，此时60－2x ＝34.
答：该商城应购进A 型车34辆，B 型车13辆.
◆中考真题区
2．(宿迁中考)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30<m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．
解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0＜x≤30），－x 2＋150x （30＜x≤m），（150－m ）x （m ＜x≤100）；
(2)由(1)可知当0<x≤30或m ＜x≤100，函数值y 都是随着x 的增加而增加，
当30＜x≤m 时，
y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5 625，
∵a ＝－1＜0，∴x ≤75时，y 随着x 的增加而增加，
∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，
∴30＜m≤75.
3．(湖州中考)随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率；
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t 的值；
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
解：(1)设该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x ，
由题意可列出方程2(1＋x)2＝2.88，
解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%；
(2)①设规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30)，则建造双人间的房间数为2t ，三人间的房间数为100－3t ，
由题意，得t ＋4t ＋3(100－3t)＝200，解得t ＝25.
答：t 的值是25；
②设该养老中心建成后能提供养老床位y 个，
由题意，得y ＝t ＋4t ＋3(100－3t)＝－4t ＋300(10≤t ≤30)，
∵k ＝－4＜0，
∴y 随t 的增大而减小．当t ＝10时，y 的最大值为300－4×10＝260(个)，
当t ＝30时，y 的最小值为300－4×30＝180(个)．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个.。