矩阵的概念

( x1 2x2 x3 ) 2( x2 x3 ) 4x
2 2
2 3
《线性代数》课题组
令
y1 x1 2 x2 x3 x2 x3 y2 x3 y3
即
y1 1 2 1 x1 y 0 1 1 2 x2 y 0 0 1 x 3 3
《线性代数》课题组
则
x1 y1 2 y2 3 y3 y2 y3 x2 x y3 3
即
x1 1 2 3 y1 x 0 1 1 y 2 2 x 0 0 1 y 3 3
2 1 2 2 2 3
化为标准形，并写出相应的线性变换矩阵。
解 原式 ( x1 2x2 x3 ) 2x 2x 4x2 x3
2 2 2 2 3
2 ( x12 4x1x2 2x1x3 ) 2x2 3x32 8x2 x3
2 ( x1 2x2 x3 )2 2( x2 2x2 x3 ) 2x32
x1 y1 y2 x2 y1 y2 x y3 3
《线性代数》课题组
即
x1 1 1 0 y1 x 1 1 0 2 y2 x 0 0 1 y 3 3
则原二次型化为
《线性代数》课题组
方法总结 （1）如果二次型 f 中含有变量 xi 的平方项，则先把 含有 xi 的项集中，按 xi 配方，然后按此法对其他 变量逐步配方，直至将 f 配成平方和形式. （2）如果二次型 f 中没有平方项，只有混合项，例如 有混合项 xi x j (i ¹ j ) ，则先作可逆线性变换
z1 1 0 1 y1 z 0 1 1 2 y2 z 0 0 1 y 3 3
1 1 0 1 0 1 z1 1 1 0 0 1 1 z2 0 0 10 0 1 z 3
1 1 0 z1 1 1 2 z 2 0 0 1 z 3
x1 1 1 0 y1 x 1 1 0 2 y2 x 0 0 1 y 3 3
《线性代数》课题组
即经过线性可逆线性变换
x1 1 2 3 y1 x 0 1 1 2 y2 x 0 0 1 y 3 3
二次型化成标准型
f y 2y 4y
2 1 2 2
2 3
xi yi y j x j yi y j xk yk (i j , k i, j )
使 f 中出现平方项，再按上面的方法配方.
《线性代数》课题组
三、正交变换法化二次型为标准形
xT Ax (Cy)T A(Cy) yTC T ACy yT By
2 1 y12 2 y2
r yr2 (r n)
y1 y2 r yr
知识点2---化二次型为标准形
1. 二次型标准形的概念 2. 配方法化二次型为标准形 3. 正交变换法化二次型为标准形 4. 二次型的规范形
《线性代数》课题组
一、二次型的标准形的概念
定义 对于二次型 f ( x1 , x2 ,
, xn ) xT Ax ，通过
可逆线性变换x=Cy将其化成仅含有平方项的二次型， 即
相应的线性变换矩阵为
1 2 3 C 0 1 1 0 0 1
《ຫໍສະໝຸດ Baidu性代数》课题组
例2
用配方法将二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1x2 4 x1x3
化成标准形，并写出相应的线性变换. 解 由于二次型中不含变量的平方项，只含混 合项，故先作线性变换
xT Ax (Cy)T A(Cy) yTC T ACy yT By
2 1 y12 2 y2
r yr2 (r n)
称这种只含变量的平方项，所有混合项的系数全是
零的二次型为二次型的标准形。
《线性代数》课题组
二、配方法化二次型为标准形
例1 用配方法将二次型
f ( x1, x2 , x3 ) x 2x 3x 4x1x2 2x1x3 8x2 x3
2 f 2 y12 4 y1 y3 2 y2 4 y2 y3
2 2 2( y1 y3 )2 2 y2 4 y2 y3 2 y3
2( y1 y3 )2 2( y2 y3 )2
《线性代数》课题组
再令
y3 z1 y1 y2 y3 z2 z y3 3
z1 1 0 1 y1 z 0 1 1 2 y2 z 0 0 1 y 3 3
2 f 2z12 2z2
即
则原二次型化为标准形
《线性代数》课题组
相应的线性变换为
x1 1 1 0 y1 x 1 1 0 2 y2 x 0 0 1 y 3 3