第04讲--相等问题
高分子物理-第04讲-高分子链的构象统计(选讲)
h
2 0
无扰状态下高分子链的均方末端距
(1) 调节溶剂-链节的作用屏蔽掉体积排除 效应 和链节-链节相互作用
达到θ温度的溶液, 测得无扰尺寸<h2>0 (2) 降低高分子链的分辨率—消除局部的刚性和旋 转的不自由将链重新划分成有效链节数 Z 和有效 链节长度 b (Kuhn segment)
粗粒化
近程相互作用: short range interaction
主要是指高分子链节中非键合原子间的相互作用, 主要表现为 斥力.
近程相互排斥作用的存在，使得实际高分子的内旋转受阻， 使之在空间可能有的构象数远远小于自由内旋转的情况。受 阻程度越大，构象数就越少，高分子链的柔性就越小。
远程相互作用: long-distance interaction
高分子链占有体积及交联和氢键等都属于远程相 互作用。
2、均方末端距的计算(统计算法)
三维空间无规行走: 在三维空间中
z
任意行走, 从坐标原点出发, 第跨一
步距离为 l, 走了 n 步后, 出现在离
原点距离为 h 处的小体积单元
dxdydz内的几率大小为 W(h)----末
O
端距的几率密度, 则均方末端距可 x
用下式表示:
h2 Whh2dh 0
dV=dxdydz y
对于一维无规行走, 有: W xdxe2x2dx
对于三维无规行走, 有:
23
2nl2
3
W x,y,zdxdydz e2x2y2z2dxdydz
对于无规行走, 末端距向量在三个坐标轴上的投影的平均 值相等, 且 x2 y2 z2 h23
Review 链段(segment)
单个化学键能否独立运动(旋转)？ 不能。因为高分子的链式结构，一个键运动必然 要带动附近其它键一起运动。也就是说，一个键 在空间的取向与相连的其它键有关。
九年级上第04讲 一元二次方程的应用 讲义+练习
类型三利润问题
某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
当3＜x≤4时，S= ×2×（12－3x）=12－3x= ，∴x= （舍去），∴此时不存在．
综上所述，x= 或2＋ 时，S= ．
（3）当△AQP为锐角三角形时，2＜x＜6－2 ．
1.受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2017年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为_____．
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程
（1）填表：（不需化简）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
40
销售量（件）
200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【答案】
（1）80－x，200＋10x，800－200－（200＋10x）；
（2）根据题意，得80×200＋（80－x）（200＋10x）＋40[800－200－（200＋10x）]－50×800=9000，
第04讲 全等三角形2021-2022学年八年级数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教版)解析版
第04讲全等三角形考点定位精讲讲练一全等图形概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.全等图形特征：①形状相同。
②大小相等。
③对应边相等、对应角相等。
小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。
二全等三角形1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角；2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.记作: ∆ABC ≌∆A’B’C’读作：∆ABC全等于∆A’B’C’对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’对应元素的规律:(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；考点一：全等图形的概念理解典例1．（2019·阜宁县期中）全等图形是指两个图形（）A．能够重合B．形状相同C．大小相同D．相等【答案】A【详解】解：根据全等图形的定义：能够重合的两个图形叫做全等图形，故选：A．变式1-1．（2018·无为县期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等形B．两个长方形是全等图形C．两个全等图形形状一定相同D．两个正方形一定是全等图形【答案】C【详解】A、面积相等，但图形不一定完全重合，故错误，B、两个长方形，图形不一定完全重合，故错误；C、全等图形因为完全重合，所以形状一定相同，故正确，D、两个正方形，面积不相等，也不是全等图形，故答案选C.变式1-2．（2018·福州市期中）下列选项中表示两个全等图形的是（）A．形状相同的两个图形 B．能够完全重合的两个图形C．面积相等的两个图形 D．周长相等的两个图形【答案】B【详解】A、形状相同的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；B、能够完全重合的两个图形，一定是全等图形，故此选项正确；C、面积相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；D、周长相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；故选：B．考点二：全等图形的识别典例2．（2020·唐山市期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是A．B．C．D．【答案】D【详解】A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；D、两个图形能够完全重合，故本选项正确．故选D．变式2-1．（2019·九江市期中）下列图形是全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】B试题解析：A、两个图形相似，错误；B、两个图形全等，正确；C、两个图形相似，错误；D、两个图形不全等，错误；故选B.变式2-2．（2018·山亭区期末）下列四个图形中，通过旋转和平移能够全等图形的是( )A．③和④B．②和③C．②和④D．①②④【答案】D【详解】①、②和④都可通过平移或旋转完全重合．故选D．考点三：将已知图形分割为几个全等图形典例3．（2019·石家庄市期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：故选：B．变式3-1．（2020·台州市期末）如示例图将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定某两种划分法可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法）．【详解】解：如图所示：．考点四：全等三角形的概念典例4．（2018·无棣县期中）下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形B．全等三角形是指面积相等的三角形C．周长相等的三角形是全等三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】A【解析】根据全等三角形的定义，能够完全重合的三角形是全等三角形，故选A变式4-1．（2020·普洱市期中）下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等腰三角形都全等【答案】C【详解】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，本选项不符合题意；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误，本选项不符合题意；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确，本选项符合题意；D、所有的等腰三角形都全等，说法错误，本选项不符合题意．故选：C．变式4-2．（2019·赣州市期中）下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（）.A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】D【解析】依据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形．即可求解．解答：解：①全等三角形的对应边相等，正确；②、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；③、全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形．故该选项错误；④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故正确；故正确的是①④．故选D．变式4-3．（2020·安顺市期末）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故D为答案.考点五：全等三角形的性质典例5．（2020·沧州市期中）如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（）A．30 B．45 C．50 D．85【答案】A【详解】解：∠A＝180°﹣105°﹣45°＝30°，∵两个三角形是全等三角形，∴∠D＝∠A＝30°，即x＝30，故选：A．变式5-1．（2020·泰安市期中）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】试题分析：根据三角形全等可以得出BD=AC=7，则DE=BD-BE=7-5=2.变式5-2．（2019呼伦贝尔市期末）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么∠DAE等于（）A．45°B．30 °C．15°D．60°【答案】C【详解】解：∵ABCD是长方形，∴∠BAD=90°，∵∠BAF=60°，∴∠DAF=30°，∵长方形ABCD沿AE折叠，∴△ADE≌△AFE，∴∠DAE=∠EAF=12∠DAF=15°．故选C．变式5-3．（2019·株洲市期中）若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（）A．5 B．8 C．7 D．5或8【答案】C【详解】∵△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，∴AC＝20−5−8＝7，∵△ABC≌△DEF，∴DF＝AC＝7，故选：C．变式5-4．（2020·揭阳市期末）如图，已知△ABC≌△CDE，下列结论中不正确的是( )A．AC＝CE B．∠BAC＝∠ECD C．∠ACB＝∠ECD D．∠B＝∠D【答案】C【详解】解：由全等三角形的性质可知A、B、D均正确，而∠ACB＝∠CED，故C错误.故选择C.变式5-5．（2020·绵竹市期中）如图，△ABC与△DEF是全等三角形，则图中的相等线段有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴BC-EC=EF-EC，即BE=CF.故共有四组相等线段.故选D.变式5-6．（2019·济宁市期中）如图，△ABO≌△DCO，∠D=80°，∠DOC=70°，则∠B=( )．A．35°B．30°C．25°D．20°【答案】B【详解】因为△ABO≌△DCO，∠D=80°，所以∠D=∠A=80°，由于∠DOC=70°，∠DOC是∠AOB的对顶角，所以∠DOC=∠AOB =70°，由于三角形内角和为180°.则∠B=180°-∠AOB-∠A=30°.故选择B项.一、单选题1．（2020·东平县期末）下列说法正确的是A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．两个等边三角形是全等三角形D．全等三角形是指两个能完全重合的三角形【答案】D【详解】A、全等三角形是指形状相同、大小相等的两个三角形,故本选项错误;B、全等三角形的面积相等,但是面积相等的两个三角形不一定全等,故本选项错误;C、边长相等的两个等边三角形是全等三角形,故本选项错误;D、全等三角形是指两个能完全重合的三角形,故本选项正确.故选D.2．（2018·徐州市期末）下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．全等三角形的周长和面积相等D．所有等边三角形是全等三角形【答案】C【详解】A、全等三角形不仅仅形状相同而且大小相同，错；B、全等三角形不仅仅面积相等而且要边、角完全相同，错；C、全等则重合，重合则周长与面积分别相等，正确．D、完全相同的等边三角形才是全等三角形，错．故选：C．3．（2019·莎车县期末）如图，△ABC≌△ADE，若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．45°C．35°D．25°【答案】B试题解析：∵∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD=∠BAC=80°，∴∠EAC=∠EAD-∠DAC=80°-35°=45°，故选B．4．（2020·晋城市期末）如图，沿边BC所在直线向右平移得到，则下列结论错误的是（）A．B．AC＝DF C．BE＝CF D．EC＝FC【答案】D【详解】A、△ABC向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故正确；B、因为△ABC≌△DEF，所以AC＝DF成立，故正确；C、因为△ABC≌△DEF，则BC＝EF，BC－EC＝EF－EC，即：BE＝CF，故正确；D、EC＝CF不能成立，故错误．故选：D．5．（2019·安平县期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°【答案】A【详解】解：∵两个三角形全等，∴∠α的度数是72°．故选：A．6．（2019·无锡市期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°【答案】D【详解】左边三角形中b所对的角=180°-50°-72°=58°，∵相等的边所对的角是对应角，全等三角形对应角相等∴∠1=58°故选D.7．（2020·平川区期末）如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是( )A．∠1＝∠2 B．CA＝AC C．∠D＝∠B D．AC＝BC【答案】D【解析】解：∵△ABC≌△CDA，AB=CD，∴∠1和∠2，∠D和∠B是对应角，∴∠1=∠2，∠D=∠B，∴AC和CA是对应边，而不是BC，∴A、B、C正确，D、AC=B C错误．故选D．8．（2020·海淀区期中）如图所示，△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，点B，C，D 在同一条直线上，则图中∠B的度数是( )A．38°B．48°C．62°D．70°【答案】D【详解】∵△ABC≌△ECD，∠A=48°，∠D=62°，∴∠ACB=∠D=62°，∴∠B=180°－∠ACB－∠A=180°－62°－48°=70°．故选D．9．（2020·长春市期末）如图，≌，，，则的长为（）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】B【详解】解：≌，．,故选B．10．（2019·常州市期中）如图，已知△ABC≌△ABD，若，则CAD的度数是（）A．115°B．110°C．105°D．100°【答案】B【详解】∵△ABC≌△ABD，且∠BAC=55°，∴∠BAC=∠BAD=55°，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=110°，故选B.11．（2019·上饶市期中）一个三角形的三边长分别为2，5，x，另一个三角形的三边长分别为y，2，6，若这两个三角形全等，则x+y=（）A．11 B．7 C．8 D．13【答案】A【详解】已知这两个三角形全等，则三组对应边应分别为2、5、6，所以x＝6，y＝5，则x＋y＝6＋5＝11，故本题正确答案为A.12．（2020·西青区期末）如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100 cm，A，B分别与D，E 对应，AB＝30 cm，DF＝25 cm，则BC的长为( )A．45 cm B．55 cm C．30 cm D．25 cm【答案】A【详解】解：∵△ABC≌△DEF，A，B分别与D，E对应，∴AC=DF=25cm，又△ABC的周长是100cm，AB=30cm，∴BC=100-AB-AC=100-30-25=45cm，∴BC的长等于45cm．故选：A．二、填空题13．（2020·梁平区期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）【答案】②③【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合故答案为：②③．14．（2020·昆明市期末）一个三角形的三边为3、5、，另一个三角形的三边为、3、6，若这两个三角形全等，则__________．【答案】1【详解】解：∵两个三角形全等，∴x=6，y=5，∴x-y=6-5=1，故答案为：1．15．（2020·临汾市期末）如图，，如果，那么的长是______．【答案】，【详解】ABC ADE，，，故答案为：．16．（2020·丹东市期末）已知，，的面积是，那么中边上的高是______________．【答案】8【详解】解：ABC的面积是16cm2，，即h=8则ΔDEF中EF边上的高是8cm,故答案为：8.17．（2019·赣州市期中）已知有两个三角形全等，若一个三角形三边的长分别为3、5、7，另一个三角形三边的长分别为3、3a﹣2b、a+2b，则a+b＝_____．【答案】5或4【详解】解：∵两个三角形全等，∴3a﹣2b＝5，a+2b＝7或3a﹣2b＝7，a+2b＝5，∴a＝3，b＝2或a＝3，b＝1，∴a+b＝5或4，故答案为：5或4．三、解答题18．（2019·济宁市期中）如图所示，△ABC≌△AEC，B和E是对应顶点，∠B＝30°，∠ACB ＝85°，求△AEC各内角的度数．【答案】∠E＝30°，∠ACE＝85°，∠EAC=65°．【详解】解：∵△ABC≌△AEC，∴∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠ACE＝85°，∴∠EAC＝65°．19．（2020·普洱市期中）如图，已知△≌△NMH，∠F与∠M是对应角．若EF=2.1 cm，FH=1.1 cm，HM=3.3 cm，求MN和HG的长度．【答案】，【详解】∵△≌△NMH，∠F与∠M是对应角，EF=2.1 cm， HM=3.3 cm∴∵FH=1.1 cm∴20．（2020·长春市期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上. （1）若BE⊥AD，∠F=62°，求∠A的大小.（2）若AD=9cm，BC=5cm，求AB的长.【答案】（1）∠A=28°；（2）AB =2 cm．【详解】（1）∵BE⊥AD，∴∠EBD=90°．∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA=∠EBD=90°．∴∠F+∠A=90°∵∠F =62°，∴∠A=28°．（2）∵△ACF≌△DBE，∴CA=BD．∴CA-CB=BD-CB．即AB=CD．∵AD=9 cm, BC=5 cm，∴AB+CD=9-5=4 cm．∴AB=CD=2 cm．21．（2019·丽水市期中）如图，△ABC≌△DEF，∠A=33°，∠E=57°，CE=5cm．（1）求线段BF的长；（2）试判断DF与BE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)5cm;(2)见解析.【详解】≌，，，即；≌，，，，，，．。
一年级数学疑难题理解相等和不相等的概念
一年级数学疑难题理解相等和不相等的概念相等和不相等是数学中的基础概念之一，而在一年级的数学教学中，理解这两个概念对于学生的数学发展至关重要。
本文将探讨一年级学生在理解相等和不相等概念时可能遇到的疑难问题，并提供一些教学策略来帮助他们更好地掌握这些概念。
1. “相等”和“不相等”的定义在引入相等和不相等的概念之前，教师应当首先明确地给出这两个概念的定义。
简单来说，两个物体或数字相等就意味着它们是一样的，没有差别；而不相等则意味着它们是不同的，有某种差异。
通过具体的例子和图示，引导学生理解这两个概念的含义。
2. 相等和不相等的表示方法学生在初次接触相等和不相等概念时，常常无法准确地用语言表达出来。
因此，教师可以借助视觉和操作来帮助学生理解和表达这些概念。
例如，可以使用平衡木、天平或图形等教具，让学生用物体进行比较，观察并判断它们是否相等。
3. 多样的相等表达在学生熟悉了相等和不相等的概念后，教师可以引导他们探索相等的各种表示方法。
相等不仅可以用“＝”来表示，还可以用类似于“同样的”、“一样多”、“等于”的描述来表达。
通过提供多样的表达方式，有助于学生理解相等的概念的广泛应用。
4. 相等与算术运算在学生具备一定的相等概念基础后，可以引导他们将相等运用到数学计算中。
例如，给学生出示两个数，并要求他们判断这两个数是否相等。
通过这样的练习，学生能够巩固相等的概念，并将其应用到实际问题中。
5. 常见的相等和不相等错误在学生学习相等和不相等的过程中，可能会出现一些常见的错误。
例如，将相似的外观误认为是相等，或者只关注数量而忽略其他属性导致判断错误等。
教师应及时发现并纠正这些错误，并通过适当的示范和练习来帮助学生克服这些困难。
6. 创设情境来理解相等和不相等为了更好地帮助学生理解相等和不相等，教师可以设计一些有趣的情境让学生进行探索和思考。
例如，通过游戏、实际生活中的场景或故事情节等，让学生身临其境地感受和应用这些概念，提升他们的理解能力。
第04讲 基本不等式高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
G ( x )万元，且 G ( x )＝
2 + 120，0 < ≤ 50，
4 900
201＋
− 2 100，50 < ≤ 100，
200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
每台该产品的售价为
(1)写出年利润 W ( x )(单位：万元)关于年产量 x (单位：台)的函数解析式(利润＝销售
2．几个重要的不等式
2ab
1a2＋b2≥______a，b∈R；
b a
2
2a＋b≥___a，b同号且不为零；
当且仅当a＝b
2
a＋b
3ab≤
时等号成立
a，b∈R；
2
2
2
2
a ＋b
a＋b
4
a，b∈R.
≤
2
2
(2)[2024宁夏银川模拟]已知0＜ x ＜4，则 (4 − ) 的最大值为 2
[解析] 0＜ x ＜4，则0＜4－ x ＜4，由基本不等式可得 (4
.
+4−
− ) ≤
＝2，
2
当且仅当 x ＝4－ x ，即 x ＝2时，等号成立.故 (4 − ) 的最大值为2.
角度2 常数代换法
−4
8
−4
＞0，因为 a ＞0，所以 a ＞4，所以8 a ＋ b ＝8 a
＋5]≥8×(2 4 ＋5)＝72，当且仅当 a ＝6时取等号.故选C.
8
4
8
4
解法二 ∵8 a ＋4 b ＝ ab ， a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＝1，∴8 a ＋ b ＝(8 a ＋ b )( ＋ ) ＝
2023届新高考物理重点突破：第04讲 共点力的平衡
第04讲共点力的平衡知识图谱受力分析中的整体法和隔离法知识精讲一．整体法和隔离法的基本思想1．选择研究的对象选择研究对象是解决物理问题的首要环节。
在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的，研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度。
隔离法与整体法都是物理解题的基本方法。
2．整体法整体法就是对物理问题的整个系统进行研究的方法。
如果由几个物体组成的系统具有相同的加速度，一般可用整体法求加速度，但整体法不能求出系统的内力。
3．隔离法分析系统内各物理之间的相互作用时，需要选用隔离法，一般隔离受力较少的物体。
在某些情况下，解答一个问题时要多次选取研究对象，需要整体法与隔离法交叉使用，通常先整体后隔离。
二．受力分析中的整体法和隔离法的应用1．整体法的应用例如，在粗糙水平面上有一个三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量为m1、m2的木块，且m1>m2，如图所示。
已知三角形木块和两物体都静止，讨论粗糙水平面与三角形木块之间的摩擦力问题。
这个问题的一种求解方法是：分别隔离1m 、2m 和三角形木块进行受力分析，利用牛顿第三定律及平衡条件讨论确定三角形木块与粗糙水平面间的摩擦力。
采用整体法求解更为简捷：由于1m 、2m 和三角形木块相对静止，故可以看成一个不规则的整体，以这一整体为研究对象，显然在竖直平面上只受重力和支持力作用，在水平方向上没有外力。
2．整体法和隔离法的综合应用不计物体间相互作用的内力，一般首先考虑整体法。
利用整体法，涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法与隔离法相结合的方法。
举例说明（1），如下图，质量均为1kg 的10块相同的砖，平行紧靠成一直线放在光滑的地面上，第1块砖受到10N 的水平力作用，讨论第7块砖对第8块砖的压力的大小。
本题需要灵活选用整体和隔离思想求解，首先由整体法求出加速度，再将后3块和前7块作为两个整体来考虑，再用隔离求解。
第04讲 方程专题--构造一元二次方程解题
第四讲 方程专题--构造一元二次方程解题本讲梳理一元二次方程是初中数学的重点内容，也是解决数学问题的重要工具。
在很多具体题目中，往往看不到一元二次方程的“身影”，但往往可以利用题目中的已知条件构造一元二次方程，再利用方程的知识来求解，会使问题得以简捷解决，收到事半功倍之效. 常见构造方法有:⑴利用方程根的定义来构造一元二次方程； ⑵利用逆向设元法来构造一元二次方程； ⑶利用求根公式来构造一元二次方程； ⑷利用判别式来构造一元二次方程； ⑸利用韦达定理来构造一元二次方程； ⑹利用主元法来构造一元二次方程.知识点一：利用方程根的定义构造一元二次方程知识梳理方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.对于一元二次方程来说，即：若2000ax bx c 成立，则0xx 是方程20ax bx c的根.典型例题【例题1】 已知实数a ≠b ，且满足a+=3-3a+b+=-b+22（1）（1）,3（1）3（1），则的值为 。
【解析】【例题2】 设2210a a ，42210b b ，且210ab ，求2014221=___ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭．【解析】 由a 2－2a －1＝0，知a ≠0，则：21210a a⎛⎫--= ⎪⎝⎭，又 ∵b 4－2b 2－1＝0，∴(b 2)2－2b 2－1＝0， 由210ab 知1a≠b 2， 故1a，2b 可视为方程2210x x 的两个不相等的实数根． 根据根与系数的关系，得【练习1】 若1ab ≠，且有25201590a a ++=及29201550b b ++=，则ab= ，1a b+= ． 【解析】 因为1ab ≠，所以1a b≠，所以a 、1b 都是一元二次方程25201590x x ++=两个不相同的根；由Viete 定理，195a a b b ⋅==，120154035a b +=-=-．【练习2】 已知223m -2m-5=0n +2n-3=0，5，其中m 、n 是实数，则1|m-|n= 。
第04讲一元二次方程的解法(因式分解法)-2024年新九年级数学暑假提升讲义(人教版 学习新知)
第04讲一元二次方程的解法（因式分解法）（2个知识点+5个考点+易错分析）模块一思维导图串知识1．认识用因式分解法解方程的依据．模块二基础知识全梳理（吃透教材）2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测知识点1：因式分解法（重难点）（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）(1)在一元二次方程的四种解法中,优先选取顺序依次为直接开平方法→因式分解→公式法→配方法,若没有特别说明,一般不采用配方法.(2)对于复杂的一元二次方程,一般不急于化为一般形式,应先观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法,若不能,再化为一般形式用公式法求解。
考点1：利用提公因式法分解因式解一元二次方程【例1】用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋5x ＝0；(2)(x －5)(x －6)＝x －5.【变式1-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）方程(1)x x x +=的解是（）A ．=1x -B ．1x =C ．0x =D ．1x =或0x =【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）一元二次方程260x x -=的根是（）A ．126x x ==B ．126x x ==-C ．126,0x x ==D ．126,0x x =-=【变式1-3】解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）230x -=；（2）7(3)39x x x -=-．考点2：利用公式法分解因式解一元二次方程【例2】用因式分解法解下列方程：(1)x 2－6x ＝－9；(2)4(x －3)2－25(x －2)2＝0.【例2-1】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．【变式2-2】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；【变式2-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）一个菱形的边长是方程29180x x -+=的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为．【变式2-4】．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：2560x x -+=．【变式2-5】解下列关于x 的方程：（1）2(1(30x x +-++；（2）2(35)5(35)40x x +-++=；考点3：选择合适的方法解一元二次方程【例3】用适当的方法解下列方程：（1）22((1x +=-；（2）2x x =；（3）(3)(1)5x x +-=；（4）2()()0()b a x a c x c b a b -+-+-=≠．【变式3-1】.解关于x 的方程（合适的方法）：（1）2110464x x -+=；（2）22((1x +=+．【变式3-2】解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +-=；（2）2(41)10(14)240x x -+--=．【变式3-3】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）用合适的方法解下列方程：(1)22980x x -+=(2)22990x x --=(3)2410x x -+=(4)22310x x -+=考点4：用因式分解法解决问题【例4】若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 、b 、c 满足a 2－ac －ab ＋bc ＝0，试判断△ABC 的形状．【变式4-1】（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2560x x -+=的两根，则此直角三角形的面积为（）A ．2B ．3C D ．6【变式4-2】．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程27120x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）AB ．3C ．5D ．9【变式4-3】．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2540x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长为（）A ．9B ．6C ．1或4D ．9或6【变式4-4】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若菱形两条对角线的长度是方程29200x x -+=的两根，则该菱形的面积为．考点5：新定义问题【例5】．（23-24九年级上·广东汕头·期末）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号{}min ,a b 表示a 、b 中的较小值．如：{}min 2,33-=-，按照这个规定，方程{}2,13-=-min x x x 的解为【变式5-1】．（23-24九年级上·山东聊城·期末）若规定两数a ，b ，通过运算“∆”可得3ab ，即3a b ab ∆=，如2632636∆=⨯⨯=，若2240x x x ∆+∆-∆=，则x 的值为．【变式5-2】．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）对于实数a b ，，定义运算“※”：()()2a b a b a b b a a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩※．例如24※，因为42>，所以42422=-=※．若1x ，2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x =※．【变式5-3】．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）方程2680x x -+=“倍根方程”（填“是”或“不是”）；（2）若()()80x x n --=是“倍根方程”，则n =．易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。
第04讲 有理数的加减法及加减混合运算(8类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级上册
第04讲有理数的加减法及加减混合运算1.掌握有理数的加法的运算法则；能够正确书写计算题都解题格式；并能够正确计算有理数的加法运算.2.掌握有理数的减法的运算法则；能够正确书写计算题都解题格式；并能够正确计算有理数的减法运算.3.能够灵活应用有理数的加减法则；并能够正确计算有理数的混合运算.知识点01有理数的加法法则（先确定符号，再算绝对值）（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；知识点02有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的_______，即)(b a b a -+=-.【注意】计算过程中，一定要注意符号.【答案】相反数题型01有理数的加法运算【典例1】（2023·天津河西·统考二模）计算()()14-+-的结果等于（）A ．5B ．3C ．5-D ．8-【变式训练】题型02有理数加法运算律【变式训练】题型03有理数加法在生活中的应用【典例1】（2023·全国·七年级假期作业）学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：7,68,1013,8,4+-+-+--，，（单位：米）．(1)守门员最后是否回到了球门线的位置？(2)在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？(3)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？【变式训练】【变式1】（2022秋·广西崇左·七年级统考期中）某天下午，出租车司机小王从公司出发，在东西向的公路上接送乘客．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：5+，4-，3+，7-，2-，3+，8-，7+．(1)最后一名乘客送到目的地时，小王与公司的距离有多远？(2)若汽车耗油量为0.2升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？【变式2】（2023·江苏·七年级假期作业）小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：5310861210+-+--+-，，，，，，．（单位：cm ）(1)小虫最后是否回到出发地O ？为什么？(2)小虫离开O 点最远时是多少？(3)在爬行过程中，如果每爬行1cm 奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？题型04有理数的减法运算【典例1】（2023·浙江绍兴·统考中考真题）计算23-的结果是（）A ．1-B ．3-C ．1D ．3【变式训练】题型05有理数的加减混合运算【典例1】（2022秋·广东河源·七年级校考期中）计算：()()()74314++----．【变式训练】题型06有理数的加减中的简便运算【变式训练】【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）计算下列各式：题型07新定义下的有理数加减混合运算【典例1】（2023·全国·九年级专题练习）对于任意有理数m 、n ，定义新运算：&2022m n m n =--，则()2&4-=________________．【变式训练】题型08有理数的加减混合运算的应用【典例1】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）一只蚂蚁在一根横木上从某点出发，以笔直的线路来回爬行，规定向右爬行记为正，爬行轨迹记录如下：647961210+--+-+-，，，，，，（单位：厘米）．(1)蚂蚁最后是否回到了出发点O ？(2)蚂蚁离开出发点最远是______厘米？(3)在爬行过程中，如果蚂蚁每爬行1厘米奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻？【变式训练】一、选择题1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）计算：()23-+=（）A ．1B ．1-C ．5D ．5-2．（2023·山东临沂·统考中考真题）计算(7)(5)---的结果是（）A ．12-B ．12C ．2-D ．23．（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）下列计算中，正确的是（）A ．()231+-=B ．()220--=C ．033-=D ．()235-+-=-4．（2023·江苏·七年级假期作业）将()()()6372-+--+-中的减法改写成省略加号的和的形式是（）A ．6372--+-B ．6372---C ．6372-+-D ．6372+--5．（2023春·四川自贡·八年级自贡市第一中学校考阶段练习）规定一种新运算“*”，对于任意有理数a 和b ，有1a b a b *=-+，请你根据定义的新运算，计算()()232**-的值是（）A ．2-B ．0C ．2D ．3。
九年级上册第04讲_一元二次方程的应用(教师版)
第04讲_一元二次方程的应用知识图谱一元二次方程的应用知识精讲一．面积问题解应用题的一般步骤（1）找出题中的等量关系；（2）设未知数；（3）根据等量关系列出方程；（4）解一元二次方程；（5）将方程的解代入原方程检验，回到实际问题中检验；（6）作答结论注意：求出x 值后需要检验是否符合实际意义草坪问题在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，剩余部分面积为468m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为x m ，列方程（30-2x ）（20-x ）=468篱笆问题利用围墙的一段，砌成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m 长墙的材料，恰好用完，试求AB 的长，使矩形花园的面积为300m 2设m AB x =，则()502m BC x =-由题意，()502m 25mBC x =-≤列方程，()502300x x -=解得：110x =（舍去）215x =15x ∴=二．经济问题增长率某商品经过两次降价，每盒零售价由168元降为128元，求两次降价的平均百分率设降价的平均百分率为x ，列方程()21681=128x -降价销售核桃进价为40元/kg ，售价为60元/kg ，平均每天售出100千克，单价每降低2元，平均每天销量增加20kg ，若想平均每天获利2240元，每千克核桃应降价多少元？设每千克核桃应降价x 元降价后售价：60-x单价降2元，销量增加20kg单价降x 元，销量增加202x⋅kg（60-x -40）（100+2x×20）=2240三．其他问题比赛问题有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，已知每两队之间都比赛一场，求x∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x （x ﹣1），∴(1)2x x -=45传染问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感。
求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均每人传染了x 人，一轮传染：1x⋅此时共有()1+x 人得病二轮传染：()1+x x ⋅∴1+x +x （x +1）=64x =7或x =-9（舍去）三点剖析一．考点：一元二次方程的应用．二．重难点：列一元二次方程解应用题．三．易错点：建立一元二次方程解决实际问题时一定要注意检验是否符合实际意义．面积问题例题1、公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A.（x+1）（x+2）=18B.x2﹣3x+16=0C.（x﹣1）（x﹣2）=18D.x2+3x+16=0【答案】C【解析】设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）=18，例题2、如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m3，则根据图中的条件，可列出方程：【答案】x（x+1）=3【解析】长方体的高是1，宽x，长是x+1，根据题意得x（x+1）=3．例题3、如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78㎡，那么通道的宽应设计成________m．【答案】2【解析】暂无解析例题4、在美化校园的活动中，某综合实践小组的同学借如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形的花圃ABCD（篱笆只围AB、BC两边）设AB＝xm．（1）若想围得花圃面积为192cm2，求x的值；（2）若在点P处有一棵小树与墙CD、AD的距离分别为15m和6m，要将这棵树围在花圃内（含边界，不考虑树干的粗细），求花圃面积S的最大值．【答案】（1）12m或16m（2）195（m2）【解析】（1）∵AB＝xm，则BC＝（28－x）m，∴x（28－x）＝192，解得：x1＝12，x2＝16，答：x的值为12m或16m；（2）设花园的面积为S，由题意得：S＝x（28－x）＝－x2＋28x＝－（x－14）2＋196，∵62815 xx⎧⎨-⎩≥≥，∴6≤x≤13，6≤x≤13的范围内，S随x增大而增大，∴当x＝13时，S最大值＝－（13－14）2＋196＝195（m2）随练1、有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（）A.4x2=3600B.100×50﹣4x2=3600C.（100﹣x）（50﹣x）=3600D.（100﹣2x）（50﹣2x）=3600【答案】D【解析】设切去的小正方形的边长为x．根据题意得（100﹣2x）（50﹣2x）=3600．随练2、如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为．【答案】(22-x)(17-x)=300【解析】设道路的宽应为x米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）=300，随练3、如图是一张长100cm，宽50cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成底面积是3600cm2的一个无盖长方形纸盒，求剪去的正方形边长．【答案】5cm【解析】设剪去的正方形边长为xcm，则纸盒底面长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据题意得：（100－2x ）（50－2x ）＝3600，整理，得：x 2－75x ＋350＝0，解得：x 1＝5，x 2＝70（不合题意，舍去）．故：剪去的正方形边长为5cm ．经济问题例题1、某种药品原价为36元／盒，经过连续两次降价后售价为25元／盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是（）A.36（1－x ）2＝36－25 B.36（1－2x ）＝25C.36（1－x ）2＝25 D.36（1－x 2）＝25【答案】C【解析】第一次降价后的价格为36×（1－x ），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x ，为36×（1－x ）×（1－x ），则列出的方程是36×（1－x ）2＝25．例题2、某商场销售一批真丝围巾，平均每天可售出20条，每条盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定适当降价。
初中数学相等问题教案
初中数学相等问题教案教学目标：1. 理解相等关系的概念，掌握相等关系的表示方法。
2. 能够判断两个图形是否相等，并能够用符号表示。
3. 能够解决实际问题中的相等问题，提高解决问题的能力。
教学重点：1. 相等关系的概念及表示方法。
2. 判断图形是否相等的方法。
教学难点：1. 相等关系的理解和应用。
2. 图形相等的判断方法。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 图形教具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入相等关系的概念，让学生举例说明生活中遇到的相等问题。
2. 引导学生思考相等关系的表示方法。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解相等关系的概念，解释相等关系的意义。
2. 介绍相等关系的表示方法，如“=”，“==”等。
3. 通过示例讲解如何判断两个图形是否相等，如使用尺子测量边长等。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生分组进行图形相等的判断练习，每组提供一些图形，要求判断它们是否相等。
2. 让学生独立完成一些相等关系的应用题，如长度、面积、角度等的计算题。
四、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生复述相等关系的概念和表示方法。
2. 引导学生思考相等关系在实际问题中的应用，如在工程、设计等领域中的应用。
五、作业布置（5分钟）1. 布置一些有关相等关系的练习题，要求学生在课外完成。
2. 鼓励学生寻找生活中的相等问题，进行思考和解决。
教学反思：本节课通过引入相等关系的概念和表示方法，让学生掌握判断图形是否相等的方法，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
在课堂练习环节，通过分组合作和独立完成练习题，提高学生的合作意识和解决问题的能力。
在总结与拓展环节，引导学生思考相等关系在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣和创新思维。
通过作业布置，巩固所学知识，并鼓励学生将所学应用于生活实际。
小学一年级数学上册教案：让你明白相等的概念
（开场）小学一年级数学上册教案：让你明白相等的概念数学是一门需要理解的学科，许多孩子在初学时遇到的问题通常都是基本概念的理解问题。
这也是为什么小学一年级数学上册的教案中有着相等的内容。
在这篇文章里，我们将会一起深入研究数学中相等的概念，让你明白它的含义和应用。
（正文）相等是什么？相等的概念，在每个人的生活中都有体现，例如拥有相等的权利和机会、彼此之间相互尊重等等。
在数学中，相等是指两个物体、两个数或两个图形在某些特定条件下是相等的。
一般情况下，这些条件可能包括大小、形状、长度、体积等等因素。
如何判断相等？在数学中，用于判断相等的工具主要有两个：比较和衡量。
在比较中，我们通常可以通过直接看、摸或比较两个数量的大小或形状来判断它们是否相等。
在衡量中，我们通常使用实际工具来帮助我们测量大小、长度和体积等。
教学活动设计为了帮助小学一年级学生明白相等的概念，我们可以采用以下教学活动：1. 运用图像判断讲解教师可以使用一些图像，例如两个画着相类似的车或者一些拼图，让学生进行观察与比较。
引导学生思考，这两 obj-行为-是否相等？2. 使用数学工具讲解教师可以给学生发一些物品，例如方糖、积木、颜色纸片等。
通过量具可以学生学生能够了解相等的概念，并帮助学生判断一个数或一组数的大小。
3. 数学小游戏数学小游戏可以增加学生的趣味性和互动性，例如：“找出相等物品”，“相等物品串串通”等。
这些游戏有助于培养学生观察能力以及判断和比较大小能力。
4. 组织小班互动学生需要加深对相等概念的理解，教师可以准备一些早教资源，例如小学堂或者小学一年级的配套问卷，让学生观看配套的画面和习题，激发学生的阅读热情，从而深化对相等概念的理解和认可。
（结论）相等是数学中非常基本的概念，对于小学一年级来说更是如此。
本次文章中，我们通过讲解和教学活动来帮助学生了解相等的概念与应用。
通过这些活动和练习，小学一年级的学生们能够更好地理解相等的含义，从而在数学中取得更好的成绩。
第二章第04讲 解题技巧专题：一元一次不等式(组)中含参数问题(7类热点题型讲练)-2023-202
第04讲 解题技巧专题：一元一次不等式(组)中含参数问题(7类热点题型讲练)目录【考点一 根据一元一次不等式的定义求参数的值】 ............................................................................................. 1 【考点二 根据一元一次不等式的解集求参数】 ..................................................................................................... 1 【考点三 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】 ............................................................................. 2 【考点四 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 ......................................................................... 2 【考点五 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 ................................................................. 3 【考点六 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 .......................................................................... 3 【考点七 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】 . (4)【考点一 根据一元一次不等式的定义求参数的值】例题：（2023下·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知关于x 的不等式(1)0m m x-≥∣∣是一元一次不等式，那么m 的值是 . 【变式训练】【考点二 根据一元一次不等式的解集求参数】例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）若关于x 的不等式()11m x m ->-的解集为1x <，则m 的取值范围是（ ） A ．m >0 B ．1m > C ．1m < D ．0m <【变式训练】【考点三 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】例题：（2023下·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）已知关于x 的不等式1x a -≤有且仅有2个正整数解，则a 的取值范围是 ． 【变式训练】1．（2023下·江苏南京·七年级统考期末）已知关于x 的不等式210x m -+<的正整数解有且只有2个，则m 的取值范围为 ．2．（2023下·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）已知不等式30x a -≤的正整数解只有1，2，3，那么a 的取值范围是 ．【考点四 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】例题：（2023·浙江·模拟预测）已知关于x 的不等式组0922x a x -≤⎧⎨-<⎩恰好有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ． 【变式训练】(2)若关于t 的不等式组()(),2216,2,232M t t M t t a ⎧-<⎪⎨+≤+⎪⎩恰好有3个整数解，求a 的取值范围．【考点五 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】例题：（2023下·湖南永州·八年级校考期末）若关于x 的一元一次不等式组20x x a <⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是 . 【变式训练】【考点六 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】例题：（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）关于x 、y 的方程组13317x y mx y m -=+⎧⎨+=+⎩的解x 与y 满足条件14x y +≤，则m 的最大整数值是 ． 【变式训练】1．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知关于x ，y 的方程组326x y x y a -=⎧⎨+=⎩的解满足x y b +<，且满足条件的正整数a 仅有4个，则b 满足的条件取值范围是 ．2．（2023下·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考阶段练习）若关于x 和y 的二元一次方程组24232x y x y m -=⎧⎨-=-+⎩，满足0x y +>，求整数m 的最小值 ．3．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）关于x、y的方程组21232x y kx y k+=-⎧⎨+=-⎩的解x、y满足3x y-≥-，那么k的取值范围是．【考点七整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】5．（2023下·全国·八年级专题练习）已知方程组913x y ax y a +=--⎧⎨-=-+⎩的解x y 、都小于1．(1)求a 的取值范围；(2)在（1）的条件下，当a 为何整数时，关于x 的不等式()2323a x a +>+的解集为1x <．。
部编数学九年级上册第04讲二次函数的图象和性质(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！函数y =ax 2+bx +c 为二次函数的前提条件是a ≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意．典型例题例题1．（2022·浙江丽水·九年级期中）下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝21x ＋x ＋1B ．y ＝x 2－(x ＋1)2C ．y ＝－12x 2＋3x ＋1D ．y ＝3x ＋1【答案】C 【详解】A. y ＝21x ＋x ＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； B. y ＝x 2－(x ＋1)221x =--，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； C. y ＝－12x 2＋3x ＋1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；D. y ＝3x ＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；故选C例题2．（2022·安徽宿州·九年级期末）如果()()221y m x m x =-+-是关于x 的二次函数，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≠B ．2m ≠C ．2m ≠且1m ≠D ．全体实数【答案】B【详解】∵()()221y m x m x =-+-是关于x 的二次函数，∴20m -≠，∴2m ≠，故选B ．例题3．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是（ ）A ．正方体集装箱的体积3m y ，棱长x mB ．小莉驾车以108km h 的速度从南京出发到上海，行驶x h ，距上海y kmC ．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤D ．高为14m 的圆柱形储油罐的体积3m y ，底面圆半径x m 【答案】D【详解】A.由题得：3y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意；B.由题得：108y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意；C.由题得：86y x=，不是二次函数，故此选项不符合题意；D.由题得：214y x p =，是二次函数，故此选项符合题意．故选：D ．例题4．（2021·广西南宁·九年级期中）若12m y x x -=+是关于x 的二次函数，则m ＝_______【答案】3【详解】解：∵函数12m y x x -=+是关于x 的二次函数，∴12m -=，解得：3m =．故答案为：3．例题5．（2021·北京市宣武外国语实验学校九年级期中）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x ，那么十月份医用防护服的产量y （万件）与x 之间的函数表达式为______．【答案】()2501=+y x 【详解】解：十月份医用防护服的产量y （万件）与x 之间的函数表达式为()2501=+y x 故答案为：()2501=+y x例题6．（2021·全国·九年级专题练习）已知函数()()221y m m x mx m =-+++，m 是常数．()1若这个函数是一次函数，求m 的值；()2若这个函数是二次函数，求m 的值．【答案】（1）1m =；()20m ≠且1m ≠．【详解】（1）依题意得200m m m ì-=í≠î∴010m m m ==ìí≠î或∴1m =；()2依题意得20m m -≠，∴0m ≠且1m ≠．1．（2022·全国·九年级单元测试）下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．2832y x x =++B ．81y x =+C ．8y x =D ．28y x =【答案】A【详解】A 、2832y x x =++是二次函数，符合题意；B 、81y x =+是一次函数，不合题意；C 、8y x=是反比例函数，不合题意；D 、28y x =不是二次函数，不合题意；故选A ．2．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）若函数()1334m y m x x -=++-是二次函数，则m 的值为（ ）A ．－3B ．3或－3C ．3D ．2或－2【答案】C【详解】解：∵函数()1334m y m x x -=++-是二次函数，∴12m -=且m ＋3≠0，解得：m =3，故选：C ．3．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；②圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；③物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）；④导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【详解】形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C ．4．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3（m 为常数）．（1）当m _______时，该函数为二次函数；（2）当m _______时，该函数为一次函数．【答案】 ≠2 =2【详解】解：（1）∵函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3为二次函数，∴m ﹣2≠0，∴m ≠2．（ 2 ）∵函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3为一次函数，∴m ﹣2=0，m ≠0，∴m =2．故答案为：（1）≠2；（2）=25．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x 元，则可卖出()35010x -件，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为________．【答案】2105607350y x x =-+-【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：()21x -元，所以：()()2135010y x x =--2102103507350x x x =-++- 2105607350x x =-+-故答案为：2105607350y x x =-+-6．（2022·全国·九年级课时练习）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：(1)如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p 是较大的数m 的函数；(2)一个半径为10cm 的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S （cm 2）是方孔边长x （cm ）的函数；(3)有一块长为60m 、宽为40m 的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S （cm 2）是草坪宽度a （m ）的函数．【答案】(1)p = m 2﹣5m ，是二次函数(2)S =100π﹣4x 2，是二次函数(3)S =4a 2﹣200a +2400；是二次函数【详解】(1)解：这两个数的乘积p 与较大的数m 的函数关系为：p =m （m ﹣5）=m 2﹣5m ，是二次函数；(2)解：剩余的面积S （cm 2）与方孔边长x （cm ）的函数关系为：S =100π﹣4x 2，是二次函数；(3)解：郁金香的种植面积S （cm 2）与草坪宽度a （m ）的函数关系为：S =（60﹣2a ）（40﹣2a ）=4a 2﹣200a +2400，是二次函数；7．（2019·湖北·黄州区宝塔中学九年级阶段练习）已知函数()()24323mm y m x m x +-=++++（其中0x ≠）．()1当m 为何值时，y 是x 的二次函数？()2当m 为何值时，y 是x 的一次函数？【答案】()1当m 为2时，y 是x 的二次函数；()2当m 为3-y 是x 的一次函数．【详解】()1根据题意得30m +≠且242m m +-=，解得2m =，即当m 为2时，y 是x 的二次函数；()2当30m +=时，即3m =-时，y 是x 的一次函数；当240m m +-=且20m +≠时，y 是x 的一次函数，解得m =当241m m +-=且320m m +++≠时，y 是x即当m 为3-y 是x 的一次函数．类型二：二次函数的图象与性质二次函数的解析式中，a 决定抛物线的形状和开口方向，h 、k 仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a 必相等．典型例题例题1．（2022·浙江湖州·九年级期末）对于二次函数y ＝x 2-4x -1的图象，下列叙述正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴为直线x ＝2C ．顶点坐标为（-2，-5）D ．当x ≥2时，y 随x 增大而减小【答案】B【详解】解：∵224125y x x x =--=--（），∴该函数图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为（2，-5），∴当2x ³时，y 随x 的增大而增大，故选项B 符合题意，故选：B ．例题2．（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）抛物线()2235y x =--的顶点坐标是（ ）A ．(3,5)--B ．(3,5)-C ．(3,5)-D ．(3,5)【答案】C【详解】解：抛物线()2235y x =--的顶点坐标是()3,5-，故选：C ．例题3．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c ＞1；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<．你认为其中错误的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个【答案】D【详解】解：（1）根据图示知，该函数图象与x 轴有两个交点，∴240b ac D =->；故本选项正确；（2）由图象知，该函数图象与y 轴的交点在点（0，1）以下，∴1c <；故本选项错误；（3）由图示，知对称轴12bx a=->-；又函数图象的开口方向向下，∴0a <，∴2b a -<-，即20a b -<，故本选项正确；（4）根据图示可知，当x ＝1，即0y a b c =++<，∴0a b c ++<；故本选项正确；综上所述，其中错误的是（2），共有1个；故选：D ．例题4．（2022·全国·九年级专题练习）若点A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （4，y 3）为二次函数y ＝﹣x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是____（用“＞”号连接）．【答案】y 2＞y 3＞y 1【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+4x +5中a ＝﹣1，∴函数图象开口向下，∵y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，∴函数的对称轴为直线x ＝2，∵A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （4，y 3），∴A 点到对称轴的距离为3，B 点到对称轴的距离为1，C 点到对称轴的距离为2，∴y 2＞y 3＞y 1，故答案为：y 2＞y 3＞y 1．例题5．（2021·福建漳州·模拟预测）已知抛物线25y x bx =-++与x 轴交于A ，B 两点．(1)若抛物线的对称轴是直线x ＝2．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)当b ≥4，0≤x ≤2时，函数y 的最大值满足5≤y ≤13，求b【答案】(1)①245y x x =-++；②存在，点P （2）或P （2，(2)4≤b ≤6【详解】（1）解：①抛物线25y x bx =-++的对称轴为直线()212b bx =-=´-，Q 抛物线的对称轴是直线x ＝2，∴22b=，解得b ＝4，∴抛物线的解析式为245y x x =-++；②存在．理由如下：抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，若点P 在x 轴上方，点B 关于OP 对称的点B '在对称轴上，连结OB ′、PB ，则OB '＝OB ，PB '＝PB ，如图所示：对于245y x x =-++，令y ＝0，则2450x x -++=，即2450x x --=，解得125,1x x ==-，∴A （﹣1，0），B （5，0），∴OB '＝OB ＝5，∴在Rt B OC ¢D 中，90B CO ¢Ð=°，5,2OB OC ¢==，则B C ¢===∴(B ¢，设点P （2，m ），由22BP B P ¢=，得22=，即(229m m +=，解得m =，∴P （2，同理，当点P 在x 轴下方时，P （2，综上所述，点P （2P （2；（2）解：∵抛物线25y x bx =-++的对称轴为直线2bx =，∴当b ≥4时，22bx =³，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，∴当0≤x ≤2时，取x ＝2，y 有最大值，即y ＝﹣4+2b +5＝2b +1，∵5≤y ≤13，∴5≤2b +1≤13，解得2≤b ≤6，又∵b ≥4，∴4≤b ≤6．1．（2022·全国·九年级课时练习）下列关于二次函数y ＝2x 2的说法正确的是（ ）A ．它的图象经过点（－1，－2）B ．它的图象的对称轴是直线x ＝2C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．当－1x ££2时，y 有最大值为8，最小值为0【答案】D【详解】解：二次函数y =2x 2，当x =-1时，y =2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A 不合题意；二次函数y =2x 2的图象的对称轴是直线 y 轴，故选项B 不合题意；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故选项C 不合题意；二次函数y =2x 2，在-1≤x ≤2的取值范围内，当x =2时，有最大值8；当x =0时，y 有最小值为0，故选项D 符合题意；故选：D ．2．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）抛物线()2314y x =+-的顶点坐标是( )A ．（1，4）B ．（1，﹣4）C ．（﹣1，4）D ．（﹣1，﹣4）【答案】D【详解】解：根据题意得：抛物线()2314y x =+-的顶点坐标是（﹣1，﹣4）．故选：D3．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a ＋c ＜2b ；③3b ＋2c ＜0；④m （am ＋b ）＋b ＜a （m ≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①④【答案】B【详解】解：∵函数图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，∴b 2−4ac >0，∴4ac −b 2<0，故①正确；∵函数图象与x 轴的一个交点的横坐标在0至1之间，∴函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标在-2至-3之间，由图象可知：当x =−2时，y >0，∴4a −2b +c >0，∴4a +c >2b ，故②错误；∵12ba-=-，∴b =2a ，∵当x =1时，y <0，∴a +b +c <0，∴102b bc ++<，3b +2c <0，故③正确；∵由函数图象可知x =−1时，该二次函数取得最大值，∴a −b +c >am 2+bm +c (m ≠−1)，∴m (am +b )<a −b ，故④正确；∴正确的有①③④三个，故选：B ．4．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）已知抛物线21y x x =--与经过点（m ，1），则代数式m ²-m +2019的值为_____．【答案】2021【详解】解：∵抛物线2=1y x x +-经过点(,1)P m ∴21=1m m --，即22m m -=∴²2019m m -+=2+2019=2021．故答案为：2021．5．（2022·全国·九年级课时练习）已知点A （-1，y 1），B （2 ，y 2），C （5，y 3）在二次函数y ＝x 2﹣6x +c 的图象上，则y 1， y 2， y 3的大小关系是_____________ （按照从小到大用＜连接）．【答案】231y y y <<【详解】解：∵二次函数y =x 2-6x +c 中a =1＞0，∴抛物线开口向上，有最小值．∵63221b x a -=-=-=´，∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，∵3(1)5332-->->-，∴231y y y <<；故答案为：231y y y <<．6．（2022·福建三明·九年级期末）平面直角坐标系中，抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的顶点为A ．(1)当抛物线经过点（1，2），求抛物线的函数表达式；(2)求顶点A 的坐标（用含字母a 的代数式表示），判断顶点A 是在x 轴上方还是下方，并说明理由；(3)当x ≥0时，抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的最高点到直线y ＝3a 的距离为5，求a 的值．【答案】(1)241y x x =-+-(2)()2,1a a a -+，顶点A 在x 轴上方，理由见解析(3)2+-1【详解】（1）解：当抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）经过点（1，2），∴2121a a =-++-，整理得2a =．将2a =代入221y x ax a -++-＝中，∴抛物线的函数表达式为241y x x =-+-；（2）解：∵抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的顶点为A ，∴()2221b ax a a =-=-=´-，将x a =代入221y x ax a -++-＝中，得到222211y a a a a a =-++-=-+，∴顶点为A 的坐标为()2,1a a a -+；顶点A 在x 轴上方，理由如下：∵2213124a a a æö-+=-+ç÷èø，2102a æö-³ç÷èø，∴2314a a -+³，∴顶点A 在x 轴上方．（3）解：由（2）可知，抛物线221y x ax a -++-＝的对称轴为x a =，顶点坐标为()2,1a a a -+，①当0a ＞时，对称轴在y 轴右侧，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是顶点()2,1a a a -+，且最高点到直线y ＝3a 的距离为5，∴2135a a a -+-=，即2415a a -+=，若2415a a -+=，解得1222a a =+=-（不合题意，舍去），若2415a a -+=-，()222a -=-，原方程无解；②当0a =时，对称轴是y 轴，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是顶点()0,1，最高点到直线y ＝3a 的距离不可能为5，∴此种情况不存在；③当0a ＜时，对称轴在y 轴左侧，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是()0,1a -，且最高点到直线y ＝3a 的距离为5，∴135a a --=，解得1a =-．综上所述，a 的值为2+或-1．类型三：二次函数的解析式用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：（1）设一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y =ax 2+bx +c ，将已知条件代入解析式，得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组，解方程组求出a ，b ，c 的值，解析式便可得出．（2）设顶点式：y =a （x -h ）2+k ，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y =a （x -h ）2+k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．（3）设交点式：y =a （x -x 1）（x -x 2）（a ≠0），若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为（x 1，0），（x 2，0)，设所求二次函数为y =a （x -x 1）（x -x 2），将第三个点的坐标（m ，n )（其中m ，n 为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式．典型例题例题1．（2021·江苏·九年级专题练习）已知二次函数的图象的顶点是(1,2)-，且经过点(0,5)-，则二次函数的解析式是（ ）．A ．23(1)2y x =-+-B ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =---D ．23(1)2=--y x 【答案】C【详解】解：设该抛物线解析式是：y ＝a （x -1）2﹣2（a ≠0）．把点（0，-5）代入，得a （0-1）2﹣2=-5，解得a=-3．故该抛物线解析式是23(1)2y x =---．故答案选：C例题2．（2020·内蒙古·乌海市海南区教育局教研室九年级期中）若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（ ）A ．y=4（x-2）2 -3B ．y=-2（x-2）2+3C ．y=-2（x-2）2-3D ．y= -225(x-2）2+3【答案】B【详解】∵抛物线的顶点为（2，3），∴设抛物线的解析式为y=a （x-2）2+3，∵经过点（3，1），∴代入得：1=a （3-2）2+3，解得：a=-2，即y=-2（x-2）2+3，故选B ．例题3．（2020·吉林·九年级阶段练习）将二次函数2y x x =+的图象沿x 轴翻折后，所得图象的函数解析式是（ ）A ．2y x x =+B ．2y x x =-C ．2y x x =-+D ．2y x x=--【答案】D【详解】∵2211(24y x x x =+=+-，∴二次函数2y x x =+的图象顶点坐标为（-12，-14），∴将二次函数2y x x =+的图象沿x 轴翻折后，所得图象的顶点坐标为（-12，14），且图形开口方向相反，开口大小相等，故a=1，∴翻折后图象的函数解析式为2211(24x y x x =-++=--，故选：D.例题4．（2022·湖北襄阳·九年级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为()0,5-，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）．【答案】25y x =-（答案不唯一）【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴二次函数()()20=-+≠y a x h k a 中0a >，∵顶点坐标为()0,5-，∴这个二次函数的解析式可以是25y x =-故答案为：25y x =-（答案不唯一）点评：例题4主要考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．根据二次函数的图象开口向上，可得0a >，再由顶点坐标为()0,5-，即可求解例题5．（2022·河南新乡·九年级期末）小刚在用描点法画抛物线C 1：2y ax bx c =++时，列出了下面的表格：x …01234…y…36763…请根据表格中的信息，写出抛物线C 1的解析式：______．【答案】243y x x =-++【详解】解：把（0，3）（1，6）（2，7）代入y =ax 2+bx +c 中得：36427c a b c a b c ìï++íï++î＝＝＝，解得：143a b c -ìïíïî＝＝＝，∴抛物线C 1的解析式为：y =-x 2+4x +3，故答案为：y =-x 2+4x+3．点评：例题5考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是准确熟练地进行计算．例题6．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学九年级期末）在下图的平面直角坐标系中，已知抛物线22y x mx =-与x 轴的一个交点为A （4，0）．(1)求抛物线的表达式及顶点B 的坐标；(2)将05x ££时函数的图象记为G ，点P 为G 上一动点，求P 点纵坐标的取值范围；(3)在（2）的条件下，若经过点C （4，-4）的直线0y kx b k =+≠（）与图象G 有两个公共点，结合图象直接写出b 的取值范围．【答案】(1)24y x x =-，B （2，-4）(2)45P y -££(3)40b -<£【详解】（1）解：∵A （4，0）在抛物线22y x mx =-上∴1680m -=，解得2m =．∴24y x x =-，即()224y x =--∴顶点坐标为B （2，-4）．（2）解：如图所示，当2x =时，y 有最小值-4；当5x =时，y 有最大值5∴点P 纵坐标的P y 的取值范围是45P y -££．（3）解：如图所示： b 的取值范围为−4＜b ≤0，直线0y kx b k =+≠（）与图象G 有两个公共点．1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线与二次函数y ＝2x 2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）A ．y ＝﹣2（x ﹣1）2 +2021B ．y ＝2（x ﹣1）2 +2021C ．y ＝﹣2（x +1）2+2021D ．y ＝2（x +1）2+2021【答案】C【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），∴设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）2+2021，∵抛物线y ＝a （x +1）2+2021与二次函数y ＝2x 2的图象的开口大小相同，开口方向相反，∴a ＝﹣2，∴抛物线的解析式为y ＝﹣2（x +1）2+2021．故选：C ．2．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线()()213y x x =+-关于y 轴对称后所得到的抛物线解析式为（ ）A ．()()213y x x =-+-B ．()()213y x x =--C ．()()213y x x =-+D ．()()213y x x =--+【答案】C【详解】∵拋物线()()()2213=2-1-8y x x x =+-，∴顶点坐标为（1，－8），关于y 轴对称后顶点坐标为（－1，－8），且开口向上，∴该抛物线的解析式为()()()221-823-1y x x x =+=+；故选：C ．3．（2021·江苏·九年级专题练习）已知点()2,3在抛物线22y ax ax c =-+上，则下列四个点中，一定也在该抛物线上的是（ ）A ．()0,3B ．()0,3-C ．()3,2D ．()2,3--【答案】A【详解】解：将点（2，3）代入抛物线22y ax ax c =-+，可得y=c=3，∴223y ax ax =-+．当x=0时，y=c=3；当x=3时，y=9a-6a+3=3a+3；当x=-2时，y=4a+4a+3=8a+3；故（0，3）一定在该抛物线上，故选：A ．4．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）抛物线2y ax bx =+经过点A （2，0），该抛物线顶点在直线2y x =-+上，则该抛物线解析式为______．【答案】22y x x=-+【详解】∵抛物线2y ax bx =+经过点()0,0 ，A （2，0），∴顶点横坐标为1，∵顶点在直线y =-x +2上，∴y =-1+2=1，∴顶点坐标（1，1），∵y =ax 2+bx 过点A （2，0），（1，1），∴1420a b a b +=ìí+=î，∴12a b =-ìí=î，∴22y x x =-+．故答案为：22y x x =-+．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(x ，y )的坐标值：x …﹣10123…y…343…则这条抛物线的解析式为_______．【答案】2y x 2x 3=-++【详解】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-将（0，3）代入解析式得33a =-解得1a =-\解析式为2(1)(3)23y x x x x =-+-=-++故答案为：2y x 2x 3=-++．6．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）如图，抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与直线y =x +1相交于A （-1，0），B （4，n ）两点，且抛物线经过点C （5，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与点A 、点B 重合），过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E ，设点P 的横坐标为m ．①求线段PE 长的最大值，并求此时P 点坐标；②是否存在点P 使BEC △为等腰三角形？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)245y x x =-++(2)①PE 有最大值254，点P 的坐标为335,24æöç÷èø；②存在，4或0或34【详解】（1）解：由题意，抛物线2y ax bx c =++的解析式可化为(1)(5)y a x x =+-，将点()4,B n 代入直线1y x =+得：415n =+=，将点(4,5)B 代入(1)(5)y a x x =+-得：(41)(45)5a +´-=，解得1a =-，则抛物线的解析式为2(1)(5)45y x x x x =-+-=-++，即245y x x =-++；（2）①由题意：设2(,45)P m m m -++，(,1)E m m +，点P 在点E 的上方，则()2223254513424PE m m m m m m =-++-+=-++=-öç÷ø+æè-∵ -1＜0∴当m =32时，PE 有最大值，最大值为254当m =32时，235454m m -++=，此时点P 的坐标为（32，354）；②存在，m 的值为4或0或34．(4,5),(5,0),(,1)B C E m m +Q ，222(54)(05)26BC \=-+-=，2222(4)(15)2(4)BE m m m =-++-=-，22222(5)(10)(5)(1)CE m m m m =-++-=-++，由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（ⅰ）当BC BE =时，BEC △为等腰三角形，则22BC BE =，即22(4)26m -=，解得4m =4m =（ⅱ）当BC CE =时，BEC △为等腰三角形，则22BC CE =，即22(5)(1)26m m -++=，解得0m =或4m =（舍去）；（ⅲ）当BE CE =时，BEC △为等腰三角形，则22BE CE =，即2222(4)(5)(1)m m m -=-++，解得34m =；综上，m 的值为4或0或34．类型四：二次函数的平移问题（1）抛物线在平移的过程中，a 的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．（2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y =a （x -h ）2+k 的形式．（3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y =ax 2的顶点是（0，0），y =ax 2+k 的顶点是（0，k ），y =a （x -h ）2的顶点是（h ，0），y =a （x -h ）2+k 的顶点是（h ，k ）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松地看出平移的方向．（4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典型例题例题1．（2021·黑龙江·兰西县第三中学九年级期中）将抛物线2y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）A ．2(2)1y x =++B ．2(2)1y x =+-C ．22()1y x =-+D ．2(2)1y x =--【答案】C【详解】∵抛物线2y x =的顶点坐标为（0，0），∴2y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的图象的顶点坐标为（2，1），∴得到新抛物线的解析式是22()1y x =-+，故选：C ．例题2．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）将抛物线()2325y x =++向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（ ）A ．（－4，4）B ．（0，4）C ．（0，6）D ．（－4，－6）【答案】B【详解】解：将抛物线()2325y x =++向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的解析式为：()232251,y x =+-+- 即234,y x =+∴抛物线的顶点坐标为：()0,4,故选:B例题3．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）要得到抛物线22(4)1y x =-+，可以将抛物线22y x =（ ）A ．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【详解】解：∵y =2(x -4)2+1的顶点坐标为（4，1），y =2x 2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y =2x 2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y =2(x -4)2+1．故选：B ．例题4．（2022·天津滨海新·九年级期末）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向下平移___________个单位得到的．【答案】3【详解】解：抛物线2y x =向左平移2个单位，向下平移3个单位得到的函数图象的解析式为：()223y x =+-．故答案为：3．例题5．（2022·江苏·九年级专题练习）已知抛物线2(1)y a x h =-+，经过点(0,3)-和(3,0)．(1)求a 、h 的值；(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．【答案】(1)14a h =ìí=-î；(2)242y x x =-+【详解】（1）解：将点(0,3)-和(3,0)代入抛物线2(1)y a x h =-+得：22(01)3(31)0a h a h ì-+=-í-+=î解得：14a h =ìí=-î，∴1a =，4h =-；（2）解：∵原函数的表达式为：2(1)4y x =--，向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得\平移后的新函数表达式为：22(11)42=42y x x x =---+-+即242y x x =-+；1．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）将抛物线y = x 2先向左平移5个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线的解析式是（ ）A ． y =()25x +-4B ． y =()25x ++4C ． y =()25x --4D ． y =()25x -+4【答案】A【详解】解：将抛物线y =2x 先向左平移5个单位，再向下平移4个单位所得直线解析式为：y =()25x +-4．故选：A ．2．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）把抛物线有()2213y x =--+的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A ．()2216y x =--+B ．()2216y x =---C ．()2216y x =-++D ．()2216y x =-+-【答案】C【详解】解：∵抛物线()2213y x =--+的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是()1,6-∴所得抛物线解析式是()2216y x =-++．故选：C ．3．（2022·湖南长沙·九年级期末）要将抛物线241y x x =++平移后得到抛物线2y x =，下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．向右平移2个单位，再向上平移3个单位D ．向右平移2个单位，再向下平移3个单位【答案】C【详解】解：∵241y x x =++=(x +2)2-3∴241y x x =++的顶点为(-2，-3)，而2y x =的顶点为（0，0）∴抛物线241y x x =++向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得2y x =，故选：C ．4．（2022·全国·九年级单元测试）抛物线 23y x =- 向上平移 4 个单位长度，得到抛物线____；再向____平移____个单位长度得到抛物线 231y x =--．【答案】 234y x =-+ 下 5##五【详解】解：抛物线23y x =-向上平移4个单位长度得到抛物线234y x =-+，再向下平移5个单位长度得到抛物线231y x =-- ．故答案为：234y x =-+；下；5．5．（2022·广西河池·九年级期末）已知抛物线212y x bx c =-++经过点()1,0，30,2æöç÷èø．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线212y x =-经过某种平移后得到212y x bx c =-++，请写出这种平移的方法．【答案】(1)21322y x x =--+(2)向左平移一个单位，再向上平移2个单位【详解】(1)把()1,0、30,2æöç÷èø代入抛物线解析式得：10,23,2b c c ì-++=ïïíï=ïî解得：1,3,2b c =-ìïí=ïî则抛物线解析式为：21322y x x =--+．(2)()2213112222y x x x =--+=-++，将抛物线212y x =-向左平移一个单位，再向上平移2个单位后可得到21322y x x =--+．6．（2022·陕西延安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+bx +c 经过A （0，-1），B （4，7）．(1)求抛物线的函数表达式；(2)把抛物线y=x2+bx+c向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得新抛物线．在新抛物线上是否存在一点M、新抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得以AB为边，且点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M，N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x2-2x-1；(2)存在，，M（6，12），N（2，4）或M（-2，12），N（2，20）．【详解】(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A（0，-1），B（4，7），∴1 1647cb c=-ìí++=î，解得：21 bc=-ìí=-î，∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-1；(2)解：存在，理由如下：∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，∴顶点为（1，-2），把抛物线y=x2-2x-1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则新抛物线顶点为（2，-4），∴新抛物线解析式为y=（x-2）2-4=x2-4x，∵点N在对称轴上，设N（2，n），①如图1，若四边形ABMN为平行四边形，∴AB∥MN，由平移可知，点A向右平移4个单位再向上平移8个单位到B，∴点N（2，n）向右平移4个单位再向上平移8个单位到M，∴M（6，n+8），∵点M在抛物线y=x2-4x上，∴n+8=62-4×6，解得，n=4，∴M（6，12），N（2，4）；②如图2，若四边形ABNM为平行四边形，∴AB∥MN，由平移知，点B（4，7）向左平移4个单位再向下平移8个单位到A（0，-1），∴点N（2，n）向左平移4个单位再向下平移8个单位到M（-2，n-8），∵点M在抛物线y=x2-4x上，∴n-8=（-2）2-4×（-2），解得，n=20，∴M（-2，12），N（2，20）．综上所述，M（6，12），N（2，4）或M（-2，12），N（2，20）．。
初二-第04讲-不等式的基本性质与解集(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲-不等式的基本性质与解集授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解不等关系；②掌握不等式的基本性质；③掌握不等式解与解集的概念与表示方法。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、不等式的定义：一般的，用符号“<”（或“≤”）“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。
2、常用的不等号：种类符号实际意义读法小于号< 小于、不足小于大于号> 大于、高出大于小于或等于号≤不大于、不超过、至多小于或等于（不大于）大于或等于号≥不少于、不低于、至少大于或等于（不小于）不等号≠不相等不等于3、列不等式：体系搭建不等式表示代数式之间的关系，与方程表示的相等关系相对应，列不等式表示不等关系的方法步骤：（1）分析题意，找出题中的各种量； （2）寻找各种量之间的相等或者不等关系； （3）用代数式表示各种量；（4）用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来。
4、不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
5、不等式的其他性质（1）对称性，也叫互逆性：若a b > ，则b a < 。
（2）传递性：若a b >，b c > ，则a c > 。
（3）若0ab > ，则,a b 同号，反之，若,a b 同号，则0ab > ；若0ab < ，则,a b 异号，反之，若,a b 异号，则0ab <。
（4）若0a b -> ，则a b >，反之，若a b >，则0a b ->；若0a b -< ，则a b < ，反之，若a b <，则0a b -<。
第04讲 有理数的加法与减法(十大题型)(学生版)24-25学年六年级数学上册同步(沪教版2024)
第04讲有理数的加法与减法（十大题型）学习目标1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变加法交换律符号语言a+b ＝b+a文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变有理数加法运算律加法结合律符号语言(a+b)+c ＝a+(b+c)要点：交换加数的位置时，不要忘记符号．二、有理数的减法1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．要点： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.【即学即练1】计算31-+的结果为（ ）A ．2B ．4C ．2-D ．4-【即学即练2】计算：()23---=（ ）A ．5-B ．5C ．1-D ．1【即学即练3】计算：112342-=【即学即练4】将()()()3652--+--+-写成省略括号的和的形式为 ．【即学即练5】若a<0，且5a =，则1a +=．()a b a b -=+-题型1：有理数加法运算(4)如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，那么a＋b______0．题型3：有理数加法运算律示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（微信红包一来自王某某14.00+-某平台商户8.00-扫二维码付给某店9.00A．收入14元(1)中间第2站上车人数是______人，下车人数是______人，开车时车上人数是______人；(2)中间的7个站中，第______站没有人上车，第______站没有人下车，第______站上车人数与下车人数相同；(3)从表中你还能知道什么信息？请说出一条即可．题型5：有理数减法运算【典例21】．算式35--的结果对应图中的（A ．aB ．b 【典例22】．下列说法中正确的是( )【典例25】．哈尔滨市2023年元旦的最高气温为2℃，最低气温为8-℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）A ．10-℃B ．6-℃C ．6℃D ．10℃【典例26】．某矿井下A ，B ，C 三处的海拔高度分别为35.6-米，122.7-米，67.8-米．(1)求A 处比C 处高多少米？(2)求B 处比C 处高出多少米？题型7：有理数减法在数轴和绝对值中的应用【典例27】．有理数a b ，在数轴上的位置如图，则正确的结论是（A ．a b>B ．0a b +>C ．0a b -＞【典例28】．已知24m n ==，，0n >，求m n -的值．2=b(1)A、B两点间距离是，B、C两点间距离是，A、C两点间距离是(2)若将点A向右移动5个单位到点D，B、C、D这三点所表示的数哪个最大？最大数比最小数大多少？题型8：有理数加减混合运算一、单选题1．计算：61-+的结果是（ ）A ．5-B ．2C ．7D ．92．贵阳市元月份某一天早晨的气温是-3℃，中午上升了2℃，则中午的气温是（）A ．-5℃B ．5℃C ．-1℃D ．1℃3．式子20357-+-+的正确读法是（ ）A ．负20，加3，减5，加7的和B ．负20加3减负5加正7C ．负20，正3，负5，正7的和D ．负20加正3减负5加正74．下列各式中，计算结果属于负数的是（ ）A ．|7||1|-+-B ．|7|(1)---C ．|1||7|---D ．|1|(7)---5．若x>0，y<0，且x y <，则x+y 一定是（ ）A ．负数B ．整数C ．0D ．无法确定符号6．若a ＜0＜b ＜c ，则（ ）A ．a ＋b ＋c 是负数B ．a ＋b －c 是负数C ．a －b ＋c 是正数D ．a －b －c 是正数7．绝对值不大于3的所有负整数的和为（ ）A ．0B ．－6C ．－3D ．38．设a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，c 是倒数等于自身的有理数，则a －b +c 的值为（ ）A ．0B ．-2C ．0或3D ．0或－29．计算123456782017201820192020+--++--+++--L 值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．2020D ．-202010．将1，2，3，...，30，这30个整数，任意分为15组，每组2个数.现将每组数中的一个数记为x ，另一个数记为y ，计算代数式()1||||2x y x y -++的值，15组数代入后可得到15个值，则这15个值之和的最小值为（ ）A ．2252B ．120C ．225D ．240二、填空题11．计算：﹣32＋12＝ ．12．某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为()200.15kg ±的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差kg ．13．如果一个数加上314-所得的和是6，那么这个数是．14．若1a +与1a -互为相反数，则=a ．15．已知||9,||3a b ==，则||a b b a -=-，则a b +的值．16．在自然数中，前100个偶数和减去前100个奇数和的差是 ．17．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是213211+-=-的计算过程，则下图2表示的算式是．18．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“Ä”法则：a b c a b c a b c ÄÄ=++-+-，例如：()()()12-312-312-3ÄÄ=++-+-．在57274,,0,,,99393--这6个数中，任意取三个数作为,,a b c 的值，则a b c ÄÄ的最大值为 ．三、解答题19．运用加法运算律计算：(1)(－7)＋7＋(－2)；(2)11162727æö-+++ç÷èø20．计算：（1）（-5.8）+（-4.3）；（2）（+7）+（-12）；（3）（283-）+0；（4）（-6.25）+164．21．用简便方法计算：(1)(－2．39)＋(－1．57)＋(－7．61)＋(＋6．57)；(2)125676æöæö+-+-+ç÷ç÷èøèø57æö+ç÷èø；(3)11143( 2.16)83( 3.84)(0.25)3435æö-+-+++-+-+ç÷èø22．计算(1)()154130.532656æöæö-+++-++ç÷ç÷èøèø；(2)()()()()815912---+---；(3)53141553266767æöæöæöæö-+-++--+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø；(4)()114 3.256422æö⎡⎤-++-+ç÷êúèø⎣⎦23．有一架直升飞机从海拔1000 m 的高原起飞，第一次上升了1500 m ，第二次上升了－1200 m ，第三次上升了2100 m ，第四次上升了－1700 m ，求此时这架飞机高于海平面多少米？24．(1)已知一个数的绝对值为3，另一个数的绝对值是2，求两数之和；(2)已知一个数的绝对值为4，另一个数的绝对值是2，且一个数总大于另一个数，求两数之和．25．若21a =，27b =，且||a b a b +=+，求a b -的值．26．小虫从某点O 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：cm ）：5+，3-，10+，8-，6-，12+，10-．问：(1)请说明小虫最后的具体位置？(2)小虫离开出发点O 最远是多少厘米？(3)在爬行过程中，如果每爬行1cm 奖励三粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？27．去掉绝对值符号11119889-=-．(1)计算：111111112324354-+-+-+-；(2)计算111111112324320242023-+-+-+×××+-．28．一位病人发高烧进医院治疗，医生给他开了药、挂了水，同时护士每隔1小时为病人测体温，及时了解病人的好转情况，下表记载的是护士对病人测体温的变化数据：时间7:008:009:0010:0011:0012:0013:0014:0015:00体温升0.2降1.0降0.8降1.0降0.6升0.4降0.2降0.2降0（与前—次比较）注：病人早晨进院时医生测得病人体温是40.2℃．问：（1）把上升的体温记为正数，下降的体温记为负数，请填写上表．（2）病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？（3）病人中午12点时体温多高？（4）病人几点后体温稳定正常（正常体温是37℃）．29．阅读下题的计算方法．计算：5231591736342æöæö-+-++-ç÷ç÷èøèø解：原式＝5231(5)(9)17(3)6342⎡⎤⎡⎤⎡⎤æöæöæöæö-+-+-+-+++-+-ç÷ç÷ç÷ç÷êúêúêúèøèøèøèø⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝5231[(5)(9)17(3)]6342⎡⎤æöæöæö-+-++-+-+-++-ç÷ç÷ç÷êúèøèøèø⎣⎦＝0＋54æö-ç÷èø＝－54．上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：522120192018403616332æöæöæö-+-++-ç÷ç÷ç÷èøèøèø30．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A 处出发去看望B 、C 、D 处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A 到B 记为：A→B （+1，+4），从B 到A 记为：B→A （﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中（1）A→C （ ， ），B→D （ ， ）；（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D ，请计算该甲虫走过的路程；（3）若这只甲虫从A 处去甲虫P 处的行走路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出依次行走停点E 、F 、M 、N 的位置．31．距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题.唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度．绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．例如：3是指数轴上表示3的点到原点的距离 ，6-是指数轴上表示6-的点到原点的距离．概念延伸①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，25-= ；②数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是 ，()()25---= ；③数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ，()13--= ．归纳总结点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ， 则AB = ．拓展应用①数轴上表示数x 和 1的两点A 和B 之间的距离为1AB x =-，则1x -的最小值是 ，此时x 的值为 ．②数轴上表示数x 和1-的两点A 和B 之间的距离为AB = ，如果2AB =，那么x 的值为 ；③式子12x x ++-有最小值吗？若有，请求出它的最小值．。
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第四讲相等问题
专题简析
我们已经知道用移多补少的方法可使不相等变成相等。
在分东西的题中，有很多把不相等的数量转化成相等数量的问题，这就需要我们分析两个数量之间的关系，再进行移多补少。
解决这类问题，首先要明确“移多补少”至相等时，移的部分是相差部分的一半；由相等移为不等，相差的部分是移的部分的两倍。
如果说移后两个数量仍然不相等，要知道原来两个数量之间是什么关系，你会吗？
例题1 甲筐比乙筐多8个西瓜，从甲筐拿了6个西瓜到一筐后，哪筐西瓜多？多几个？【思路导航】根据“从甲筐拿了6个西瓜到乙筐后”，可知甲筐与乙筐相差2×6＝12（个），与“甲筐比乙筐多8个西瓜”相比，乙筐反而比甲筐多，多出12－8＝4（个）西瓜。
列式如下：
2×6－8＝4（个）
答：乙筐西瓜多，多4个。
练习1
1.哥哥比弟弟多5张画片，哥哥给了弟弟3张后，两人谁多？多几张？
2.小林和小珊有一些邮票，小林比小珊多8张，小林给小珊4张后，两人邮票谁多？多几张？
3.小明有两个书架，第一个书架比第二个书架多20本书，第二个书架给第一个书
例题2 亮亮家有大小两个鱼缸，两个鱼缸里的金鱼数量相等。
如果从小鱼缸里拿出4条放到大鱼缸里，这时大鱼缸里的金鱼数量是小鱼缸的2倍。
小鱼缸里原来有多少条金鱼？
【思路导航】
大鱼缸：
小鱼缸：
原来两个鱼缸里金鱼的数量相等，如果从小鱼缸里拿出4条放入大鱼缸，那么大鱼缸里的金鱼比小鱼缸多4＋4＝8（条）。
又已知变化后“这时大鱼缸里的金鱼数量是小鱼缸里的2倍”，也就是比小鱼缸的金鱼数量多2－1＝1倍。
从图上可以看出，这多的1倍正好是8条。
所以，现在小鱼缸里的鱼的条数是：8÷（2－1）＝8（条），那么原来小鱼缸里金鱼的条数是8＋4＝12（条）。
列式如下：
4×2＝8（条）
8÷（2－1）＝8（条）
8＋4＝12（条）
答：小鱼缸里原来有金鱼12条。
练习2
1.哥哥和弟弟收集画片，原来两人的画片张数相等。
如果哥哥给弟弟8张画片，则弟弟的画片张数是哥哥的2倍，哥哥原来有画片多少张？
2.小歌和小聪集邮，原来两人的邮票张数相等。
如果小歌给小聪6张邮票，则小聪的邮票张数是小歌的2倍，小聪现在有邮票多少张？
放入4条
3.小华有两盒糖果，原来两盒糖的粒数同样多。
如果从甲盒取9粒糖放到乙盒，
则乙盒糖的粒数是甲盒的2倍，乙盒原来有糖多少粒？
例题3大篮和小篮中共有鸡蛋30个，从大篮里拿6个放入小篮里，两篮鸡蛋个数就同样多，原来小篮里有几个鸡蛋？
【思路导航】两篮鸡蛋同样多，每篮都装有30÷2＝15（个）鸡蛋，而小篮里的15个鸡蛋有6个是从大篮里拿过来的，所以原来小篮中只有15－6＝9（个）鸡蛋。
列式如下：30÷2＝15（个）
15－6＝9（个）
答：原来小篮里有9个鸡蛋。
练习3
1.哥哥和妹妹共有40张邮票，哥哥给妹妹4张后，两人的邮票张数同样多，原来妹妹有几张邮票？
2.一个两层书架，上层和下层共有28本书，从上层拿4本放入下层后，上下两层的书一样多，原来上层有多少本书？
3.甲笼里原有10只小白兔，从乙笼里再捉4只小白兔放入甲笼，两笼的小白兔只数同样多，问甲、乙两笼共有几只小白兔？
例题4小青有两盒糖，甲盒有78粒，乙盒有38粒，每次从甲盒取5粒糖放到乙盒中，取几次两盒糖的粒数就同样多？
【思路导航】由题意可知，甲盒比乙盒多78－38＝40（粒）。
从这40粒糖中取出一半40÷2＝20（粒）放入乙盒，两盒糖的粒数就同样多了。
20粒糖每次取5粒，要取20÷5＝4（次）。
列式如下：
78－38＝40（粒）
40÷2÷5＝4（次）
答：取4次两盒糖的粒数就同样多。
练习4
1.甲、乙两堆棋子，甲堆有68粒，乙堆有40粒，每次从甲堆中取2粒到乙堆中，取几次两堆棋子的粒数同样多？
2.二（1）班教室有48张凳子，二（2）班教室有12张凳子，每次搬3张，搬几次二（1）班教室的凳子和二（2）班教室的凳子同样多？
3.甲、乙两筐苹果，每次从乙筐中拿出2个苹果到甲筐，共拿5次，两筐的苹果同样多，已知甲筐现在有20个苹果，乙筐中原有多少个苹果？
例题5欢欢买了9本练习本，心心买了同样的6本练习本，丁丁没有买。
现在3人平均分，丁丁付出1元5角，每本练习本多少钱？
＝5（本）。
丁丁拿了5本，付出1元5角，可以知道每本练习本1元5角÷5＝3角。
列式如下：
（9＋6）÷3＝5（本）
1元5角÷5＝3角
答：每本练习本3角钱。
练习5
1.小青、小怡、小季三个小朋友买邮票。
小青买了11张，小怡买了同样的7张，小季没买。
现在3人平均分邮票，小季2元4角，每张邮票多少钱？
2.三个小朋友买馒头，甲买了8个，乙买了6个，丙买了1个。
三个小朋友平均分馒头吃，丙给了2元钱，每个馒头多少钱？
3.一班有学生52人，二班有学生55人，开学时又转来25位新同学。
怎样分才能使两班同学人数相等？。