和差倍半与动点问题训练

和差倍半与动点问题训练
24.如图，在四边形A BCD 中，AD∥BC，E 为C D 的中点，连接A E、BE，延长A E 交B C 的延长线于点F.
（1）△DAE 和△CFE 全等吗？说明理由；
（2）若A B=BC+AD，说明B E⊥AF；
（3）在（2）的条件下，若E F=6，CE=5，∠D=90°，你能否求出E到A B 的距离？如果能请直接写出结果。

【答案】
（1）△DAE≌△CFE 理由如下：
证明：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E 是C D 的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE 与△FCE 中
⎨ ⎩
⎨ ⎩
⎧∠ADC ＝∠ECF （已证） ⎪DE ＝EC
（已证） ⎪∠AED ＝∠CEF （对顶角相等）
∴△ADE ≌△FCE （ASA ）
（2）由（1）得△ADE ≌△FCE ， ∴AD =CF ，AE =EF （全等三角形的对应边相等）
∴E 为 A F 中点，即 B E 是△ABF 中 A F 边上的中线 ∵AB =BC +AD
∴AB =BC +CF=BF
∴BE ⊥AF （三线合一）
（3）5
【考点】全等三角形的性质与判定；等腰三角形三线合一
25. 如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，BC ＝4cm ，点 D 为 A B 的中点。

如果点 P 在线段 BC 上以 1cm /s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 C A 上有 C 点向 A 点运动。

（1） 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说
明理由；
（2）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD
与△CQP 全等？
（3）若点 Q 以（2）中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，
都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
【答案】证明：（1）依题意∵t ＝1s
∴BP ＝CQ ＝1×1＝1cm ，
∵AB ＝6cm ，点 D 为 A B 的中点，
∴BD ＝3cm ．
又∵PC ＝BC －BP ，BC ＝4cm ，
∴PC ＝4－1＝3cm ，
∴PC ＝B D ．
又∵AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠C ，
在△BPD 和△CQP 中，
⎧PC = BD ⎪∠B = ∠C ， ⎪BP = CQ ∴△BPD ≌△CQP （SAS ）． （2）依题意：∵V P ≠V Q ，
∴BP ≠CQ ，
∵∠B ＝∠C ，要使得△BPD 与△CPQ 全等， 则 B P ＝PC ＝2cm ，CQ ＝BD ＝3cm ，
∴点P，点Q运动的时间t=2s ，
∴V Q=CQ
t=
3
2cm / s
（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得3
2x =1 x + 2 ⨯ 6
解得x=24．
∴点P共运动了24×1=24cm．
△ABC 周长为：6＋6＋4＝16cm，
24÷16=1 (8)
∴p点运动完一圈，且第二圈运动了8cm
∵点P在线段B C 上由B点向C点运动，BC=4cm，AC=6cm
∴点P、点Q在A C 边上相遇，
∴经过24s点P与点Q第一次在边A C 上相遇．
27．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.
(1)如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明
理由；
(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，
请说明理由；
(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之
间的数量关系是________________．
27．解：(1)α＋β＝180°
理由：因为∠DAE＝∠BAC，
所以∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
又因为AB＝AC，AD＝AE，
所以△ABD≌△ACE(SAS)．
所以∠ABC＝∠ACE.
在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACE，
所以∠BAC＋∠ACB＋∠ACE＝180°.
因为∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＝β，
所以α＋β＝180°.
(2)α＝β
理由：因为∠DAE＝∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAE.
又因为AB＝AC，AD＝AE，
所以△ABD≌△ACE(SAS)．
所以∠ABC＝∠ACE.
因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，
所以∠ACD＝∠ABC＋∠BAC＝∠ACE＋∠ECD.
所以∠BAC＝∠ECD.
所以α＝β.
(3)α＝β.画图略．
22．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CD于E，BD⊥CD于D，AE=5cm，BD=2cm，
（1）求证：△AEC≌△CDB；
（2）求DE的长．
解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠DCB=90°，
∵AE⊥CD于E，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DCB，
∵BD⊥CD于D，
∴∠D=90°，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）∵∴△AEC≌△CDB，
∴AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，
∴DE=CD﹣CE=3cm．
1.为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、
100
（）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？
全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元？
2，如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为每秒1个单位长度，点N的运度为每秒2
个单位长度当点M第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
点M、N运动几秒后，可得到等边三角形AMN？
当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰？如存在，请求
出此时M、N运动的时间．
27. 根据路程差构建方程即可解决问题；
设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，如图①中，根据，构建方程即可解决问题；
当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设是等腰三角形，根据，构建方程即可解决问题；
23. 某公司技术人员用“沿直线AB折叠检验塑胶带两条边缘线a、b是否互相平行”．（1）如图1，测得∠1＝∠2，可判定a∥b吗？请说明理由；
（2）如图2，测得∠1＝∠2，且∠3＝∠4，可判定a∥b吗？请说明理由；
（3）如图3，若要使a∥b，则∠1 与∠2 应该满足什么关系式？请说明理由．。